一阶隐式方程与参数表示
常微分方程第六讲：一阶隐式微分方程.ppt
13
x2
将p x 代入方程 y 2 x p 得到特解 1 y - x. 2
x
2
2
(p )2
dp 1 由方程 知 dx 2
于是原方程的通解为
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1 p x C , 2
1 x2 1 y 2 x ( x C ) ( x C )2 2 2 2 1 2 2 x C x C . 4
11
dp 若只能从关于 的方程求得通积分 dx G (p ,x ,C ) 0, y f (x ,p ) 则可通过联立方程 ， G (p ,x ,C ) 0
再消去p ，得到原方程的通积分。
dp 若只能从关于 的方程求得解 dx x (p ,C ),
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y '2 (3x y) y ' 3xy 0.
1
若不能从(1)解出 y 的一阶导数，或者即使能解 出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。
本节主要介绍三种类型隐式微分方程 的求解方法。
（1）不含 y （或 x）的方程 （2）可解出 x 的方程
（3）可解出 y 的方程
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** 借助于一些变量代换，将隐式形式的 方程化为参数形式方程。
20
作业：P46 T1（2）（4）（6）
(8)
(10)
T2.求一曲线，使它上面的每一点的切线与两坐标 轴所围城的三角形的面积都等于2。
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21
p
p dy
p dy
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常微分方程§24 一阶隐式微分方程及其参数表示24 一阶隐式微分方程及其参数表示
其中p是参数,c为任意常数。
，则原方 ，则
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
2 x f ( y, dy ) dx
解法 x f ( y, p)
(2.4.4)
( 2.4.5)
dy p dx
两边对 y 求导 1 f f dp (2.4.6)
dy (t)dx (t)(t)dt
dy (t)(t)dt y (t)(t)dt c
若求得为
p y p dy
p ( y,c)
1 f dp p y
则(2.4.4)的通解为x f ( y, ( y, c)) dy
f
p
若求得为 ( y, p, c) 0
x f (y, p) 则(2.4.4)的通解为 ( y, p, c) 0
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
3 4
p2
y
2c
1
p3
p 2
( p 0)
当 p=0 时, 由y p3 2xp 可知，y=0也是方程的解。
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
解法2：
解出
x，并把
dy dx
p
，x 得y p3 2p
两边对 y 求导 p(1 3 p2 dp ) ( y p3 ) dp
1
dy
dy
p
2p2
( p 0)
pdy ydp 2 p3dp 0
2yp p4 c
y c p4 2p
一阶隐式微分方程与参数表示
F ( x, y ') 0 (4.5) 的方程的解法
F ( x, p) 0 代表xp平面上 记 ，从几何地观点看， 的一条曲线。设把这曲线表为适当的参数形式
dy p y' dx
x (t ), p (t )
(4.6)
这里t为参数。再注意到，沿方程（4.5）的任何一条积 分曲线上，恒满足基本关系 dy pdx
dp 从 1 0 解得 p x c，代入求得原方程的解为： dx
x y cx c 2 2
x 2 p x 0 从 解得 p 2
2
，代入求得原方程的解为：
x2 y 4
注意：此例解中的一个特解，即奇解。
奇解
奇解图
2. 讨论形如
dy x f ( y, ) dx
4.1 可以解出x（或y）的方程 1. 讨论形如
y f ( x, dy ) dx (4.1)
dy ) 有连续的偏导数。 dx
的方程的解法，这里假设函数 f ( x,
p 解：作变换（引入参数）： dy dx
，有
y f ( x, p)
两边求关于x的导数：
f f dp p x p dx
以（4.6）代入上式得
两边积分，得到
dy (t ) '(t )dt
y (t ) '(t )dt c
于是得到方程（4.5）的参数形式的通解为
于是得到方程（4.5）的参数形式的通解为
x (t ) y (t ) '(t )dt c
(4.2)
(4.3)
方程(4.3)是关于x,p的一阶微分方程，若它的导数已解出。 则（4.1）的解有如下几种形式：
微分方程解的结构
微分方程解的结构引言微分方程是数学中重要的研究对象，它描述了自然界中的变化和运动规律。
解微分方程是求解方程中未知函数的过程，它在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
解微分方程的结构可以帮助我们理解问题的本质，找到问题的解析解或数值解，从而得到有意义的结果。
一阶微分方程的解的结构一阶微分方程是最简单的微分方程形式，它可以表示为：dy=f(x,y)dx其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
一阶微分方程的解的结构可以分为三类：显式解、隐式解和参数形式解。
显式解显式解是指将未知函数y表示为x的函数的形式，即y=F(x)，其中F(x)是x的函数。
显式解可以通过分离变量、变量代换、积分等方法求解。
隐式解隐式解是指将未知函数y表示为x和y的关系式的形式，即F(x,y)=0，其中F(x,y)是x和y的函数。
隐式解通常不能直接求得解析解，但可以通过数值方法求得近似解。
参数形式解参数形式解是指将未知函数y表示为参数t的函数的形式，即y=F(t)，其中t是参数。
参数形式解可以通过变量代换、积分等方法求解。
二阶微分方程的解的结构二阶微分方程是常见的微分方程形式，它可以表示为：d2y dx2=f(x,y,dydx)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y,dydx)是已知函数。
二阶微分方程的解的结构可以分为四类：通解、特解、特殊解和奇点解。
通解通解是指包含了所有特解的解的集合。
对于二阶微分方程，通解一般包含两个任意常数，可以通过给定初始条件求得特解。
特解特解是指满足特定初始条件的解。
给定初始条件后，可以确定特解。
特殊解特殊解是指满足特定边界条件或特殊条件的解。
特殊解可以通过变量代换、积分等方法求解。
奇点解奇点解是指在某些点上解不存在或不唯一的情况。
奇点解的存在使得微分方程的解的结构更加复杂。
高阶微分方程的解的结构高阶微分方程是包含多个导数的微分方程，它的解的结构更加复杂。
高阶微分方程的解的结构可以通过降阶、变量代换等方法简化。
一阶隐式微分方程
隐式微分方程的解法讨论摘要：隐式微分方程是常微分方程中的一个重要课题，但是在大学时期，我们学习讨论的一般是一阶隐式微分方程，而本文主要就是研究讨论关于一阶隐式微分方程的几种比较常见的解法.关键词：参数；微分法；包络；奇解；克莱罗方程.引言：若要讨论一阶隐式微分方程的解法，首先应该了解隐式方程显示方程之间的联系，然后总结好解析一阶隐式微分方程问题的大致思路.下面，我们首先来了解几种常见的一阶隐式微分方程类型.一阶隐式微分方程的概念与求解思路1. 定义没有就'y 解出的形如F （,x y ,'y ）=0的方程我们称为一阶隐式微分方程.2. 求解思路如果能从方程F （,x y ,'y ）=0中解出'y 那么求解方程就可以归纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程F （,x y ,'y ）=0的解.例 1 解微分方程 220x x dy x dy y e xye dx y dx ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：将此微分方程的左端分解因式得2x dy dy x y e dx dxy ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0 分别解两个微分方程dy dx =2y x e 和dy dx =xy，得到的解分别是 x e +11C y-0=和2220y x C --= 于是我们得到所求微分方程的通解为11x e C y ⎛⎫+-⎪⎝⎭()2220y x C --=应当说，例1当中的一阶方程的通解只有一个任意常数，但是在这个通解的表达式中有两个常数1C 和2C 。
对于给定两个常数1C ，2C ,要么只有通解表达式两个因子之一为0确定积分曲线，要么两个因子同时为零，这时，两个常数1C 和2C 就不是独立的了.总之，决定积分曲线时，总是只有一个常数起作用.一般来说，很难从方程F （,x y ,'y ）=0中解出'y ，或者即使解出'y ，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出'y ，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方程类型，这里主要有以下四个类型：1）y ='(,)f x y 2）x ='(,)f y y 3）'(,)0F x y = 4）'(,)0F y y =二、可解出y 或x 的方程的解法1.可解出y 的隐式方程y ='(,)f x y如果从方程F （,x y ,'y ）=0中可以解出y ，那么就可以得到第一种类型y ='(,)f x y在这里假设函数y ='(,)f x y 有关于x 、'y 有连续的偏导数. 引入参数p ='y ，则原方程变为y =(,)f x p 将上式两边对x 求导数，并以p 代替'y ，这样可以得到()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂ 该方程是关于x ，p 的一阶显方程 如果求的该方程的通解为p =ϕ（,x C ）将它代入y =f （,x p ），这样得到原方程的通解为y f =（,x ϕ（,x C ）） （C 为任意常数）如果，方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解 p=u （x ）把上式代入到y =f （,x p ），那么就得到原方程的相应解y =f （x ,u （x ）） 如果能求得方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂的通解 F=（x ,p ,C ）=0将它和y =f （,x p ）结合，就能得到原方程参数形式的通解{(,,)0,(,),F x p C y x p ==其中p 是参数，C 是任意常数，如果方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解 (,)0G x p =将它和y =f （,x p ）结合，这样得到方程相应的参数形式的解{(,)0,(,),G x p y f x p ==其中p 为参数.根据上面讨论，为了求解方程y ='(,)f x y ,我们引进参数'p y =，通过对x 进行求导数，从而消去y ，把问题简化成求解关于x 与p 的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.例2．解方程：1dyx y dx =++ 解：原方程是就dydx 解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以把它当作可就y 解出的方程来求解.原方程就y 解出可得1dyy x dx=-- 令dydx=p ，则可得：1y p x =-- 对上式两边关于x 求导，用dyp dx =代入则可得1dp p dx =- 也就是1dp p dx=+1）当10p +≠时，分离变量，可得1dpdx p =+ 两边同时积分可得ln 1ln p x c +=+ （c 为不等于0的常数）或 ln 1p x c +=+ （c 为任意常数）即1ln 1x p ce x p c =-=+-或将上面两个式子代入到1y p x =--可得(2)x y ce x =-+ （c 为不等于0的任意常数）或ln 11y p p c =-++- （c 为任意实数） 2）当10p +=有：1p =-把它代入到1y p x =--可得：(2)y x =-+ 根据1）、2）即可知，原方程通解为：(2)x y ce x =-+（c 为任意常数）其参数形式的通解可表示为：{ln 1ln 11x p cy p p c =+-=-++- （1p ≠，参数；c 为任意常数）及(2)y x =-+例3. 解方程2'2'()2x y y xy =--+.解：令'y p =，原方程可化为222x y p xp =-+，两边同时对x 求导，可得2,dp dp p pp x x dx dx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭化简整理之后可得(2)(1)0dpp x dx--= 对10dpdx-=积分就可以得到上式的通解 p x C =+ （C 为任意常数）把它代入到222x y p xp =-+，便可以得到原方程通解222x y Cx C =++ （C 为任意常数）又从20p x -=，便可得原方程一个解2x p =，把它代入222x y p xp =-+又可以得到方程一个特解： 24x y =应该注意到方程的通解222x y Cx C =++和这个特解24x y =它们同时经过点2(2,)P C C -，并且在改点斜率为C -.做出特解和通解的图形，从下图我们可以知道，在积分曲线24x y =上每一点处，都有积分曲线族222x y Cx C =++中的某一条积分曲线在该点与之相切.在几何中，我们称24x y =是曲线族222x y Cx C =++的包络.在微分方程中我们称积分曲线24x y =对应的解为原解的奇解，奇解对应的曲线上的每一点，至少有方程的两条积分曲线通过.而作为y ='(,)f x y 的一种重要类型，一般我们把形如：''()y xy y ϕ=+的方程称为克莱罗方程，它是关于y 可以解出的一阶隐式方程，其中()z ϕ二阶连续可微，且"()0z ϕ≠.可以利用微分法求解该方程，令'y p =，并对x 求导数可得'()dp dp p p xp dx dx ϕ=++ 即('())0dp x p dxϕ+= 当0dpdx=时，有p C =，因此通解为 ()y CX C ϕ=+当'()0x p ϕ+=时，可得克莱罗方程一个特解{''()()()x p y p p p ϕϕϕ=-=-+通解()y CX C ϕ=+是一族直线特解{''()()()x p y p p p ϕϕϕ=-=-+是该直线的包络.例 4 求解方程''1y xy y=+解：该方程克莱罗方程，''20p xp p =-，'0p =，21x p=所以该方程有通解：1y Cx C =+ 以及特解：211x p y px p ==+⎧⎪⎨⎪⎩消去参数p ，得到原方程的奇解：24y x = 所以该方程通解是直线族：1y Cx C=+，而奇解是通解的包络：24y x =. 2.可解出x 的隐式方程x =f （',y y ） 对于可解出x 的方程的第二种类型x =f （',y y ）该方程的求解方法和方程y =f （',x y ）的求解方法基本完全类似，这里，我们可以假定函数'(,)x f y y =有关于y 、'y 的连续偏导数. 引进参数'y p = ，则原式可变为(,)x y p =将上式两边对y 求导数， 并以1dx dy p =代入，可得 1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂ 该方程是联系y p 、，并且可以根据dpdy解出的一阶微分方程，因此可以按照前面的方法来求解. 如果求的方程1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂的通解形式： (,)p w y c = （c 为任意常数）则原方程x =f （',y y ）的通解为：(,(,))x f y w y c = （c 为任意常数）如果求的方程1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为：· (,)y v p c =（p 为参数，c 为常数）则原方程x =f （',y y ）的通解为：{((,),)(,)x f v p c p y v p c ==（p 为参数，c 为常数）如果求的方程1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为： (,,)0y p c Φ=则方程(,)x y p =的参数形式的通解为：{(,)(,,)0x f y p y p c =Φ= （p 为参数，c 为任意常数）例5．解方程：2'3'20y y xy y +-=解：在这里我们可以把原方程当作可就x 解出的方程来求解，因此就有.2'2'22y y y x y =-令'y =p ，则可得：2222y y p x p =-对上式两边关于y 求导，用'11dy dx y p==代入整理可得 3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭由0dp pdy y+=，可以求得上式的通解C p y=， 将它代入到方程2222y y p x p =-，整理后可得原方程通解 232y Cx C =+再由312yp +=0可得3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的特解312y p =-原方程的参数表示的特解为433812x p y p =-=-⎧⎪⎨⎪⎩三、不显含x 或y 的方程的解法 1. 不显含y 的隐式方程如果从几何的观点来看，微分方程'(,,)0F x y y =的解是平面xOy 的一条曲线，它可以用直角坐标系来表示，同样也可以用参数坐标来表示，微分方程的解也可以用参数坐标来表示。
常微分方程的初等解法与求解技巧
山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名张娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dx dy变为dydx 的形式 ................................................................... 18 6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
1.7一阶隐式微分方程.
x
(t ) (t)
dt
C
y (t)
例 4 求解方程 x 1 y2 y .
解：令
y
tan
t
，得
x
sin
t
原方程的参数形式为
x sin t
y
tan
t
，由基本关系式得
dy tan t cos tdt 即 dy sin tdt 积分得 y cos t C
2．如果在(1)中不能解出 y 时，则可用下面介绍的“参数法”求解，本节主要介
绍其中两类可积类型，
类型 Ⅰ
y f (x, y), x f ( y, y)
类型 Ⅱ
F (x, y) 0, F ( y, y) 0
类型Ⅰ可以解出 y （或 x ）的方程
考虑类型Ⅰ中的方程 y f (x, y) 参数法求解过程。 从几何上看，方程(2)表示 (x, y, y) 空间中的曲面，
x sin t
故
原
方
程
的
通
解
为
y
cost
C
，消去参数 t，得原方程通积分为
x2 (y C)2 1。
四、作业与习题布置
1——1，2，3
五、归纳总结 1、掌握两种可积类型的参数求解方法 2、理解参数法的解题原理。
参考书： [1] 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社 [2] 常微分方程，伍卓群，李勇，高 0
同理，可以考虑类型Ⅰ的方程
x f ( y, y)
(5) 例 1 求解方程
y y2 xy 1 x 2 2
一阶隐式微分方程与参数表示
积分并注意到 2 xpdp
xdp
2
于是求得x:
3 p4 2 xp c 得到: 4 3 4 c p 4 x p2
故原方程的参数形式的通解为：
3 4 c p 4 x 2 ,p0 p 2c 1 3 y p 2 p
当 p 0 时，y=0也是原方程的解。
例3 求解方程：
分析 于是
3 3
其中c为任意常数
x y ' 3xy ' 0
y ' p tx
3t x 3 1 t
3t x 3 1 t 3 3 1 4 t y c 3 2 2 (1 t )
因此，方程的参数形式的通解为
形如 F ( y, y ') 0
再注意到沿方程45的任何一条积分曲线上恒满足基本关系dypdx于是得到方程45的参数形式的通解为4242不显含不显含的方程的方程因此方程的参数形式的通解为分析于是形如形如的方程的解法的方程的解法的方程其求解方法通方程45的求解方法类似
第四节 一阶隐含方程与参数表示
1、一阶显式微分方程可解类型： (1)可分离变量型：y f ( x) ( y)
x 1 t c y 1 t t
作业：p69： 1(单）， p72-74 1(1,4,14,26,27,31),2,4,5(1,7)
x ( p, c) 则方程（4.1）有参数形式的通解为： y f ( ( p, c), p)
•若求得（4.3）的通解的形式为：
( x, p, c) 0
( x, p, c) 0 则方程（4.1）有参数形式的通解为： y f ( x, p)
dy 3 dy 例1 求方程 ( ) 2 x y 0的通解。 dx dx
一阶隐式微分方程
03 一阶隐式微分方程的特性
稳定性分析
稳定性定义
对于一阶隐式微分方程，如果其解在某个初始条件下不随时间的推移而发生振荡或发散， 则称该解是稳定的。
线性稳定性分析
一阶隐式微分方程
目录
CONTENTS
• 引言 • 一阶隐式微分方程的解法 • 一阶隐式微分方程的特性 • 一阶隐式微分方程的实例分析 • 一阶隐式微分方程的扩展应用
01 引言
定义与理解
定义
一阶隐式微分方程是包含一个未知函 数及其导数的等式，通常表示为 (f(x, y, y') = 0)。
理解
这类方程在数学、物理、工程等领域 有广泛的应用，其解法通常涉及到数 值方法和解析方法。
VS
详细描述
在物理系统中，许多现象都可以通过一阶 隐式微分方程来描述。例如，弹簧振荡器 模型、阻尼振动模型、电磁场模型等都可 以通过一阶隐式微分方程来模拟。这些模 型可以帮助我们理解系统的动态行为，预 测未来的状态，并优化系统的性能。
经济模型
总结词
经济模型是另一类常见的一阶隐式微分方程 的应用场景，通过建立经济系统的微分方程 模型，可以分析经济现象和预测未来的发展 趋势。
要点二
详细描述
延迟微分方程描述了系统在某一时刻的状态不仅与当前时 间有关，还与其过去时刻的状态有关。解决延迟微分方程 需要使用特定的数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，以 处理时间延迟和系统状态的动态变化。
分段连续型微分方程
总结词
分段连续型微分方程是一种特殊类型的一阶隐式微分方 程，它在不同的区间上具有不同的导数或斜率。
一阶隐式微分方程的解法 课程思政
一阶隐式微分方程的解法隐式微分方程是微积分学中的重要内容，它在物理、工程、经济等领域都有着广泛的应用。
解决一阶隐式微分方程需要具备一定的数学知识和解题技巧。
本文将通过分析和解释一阶隐式微分方程的解法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一阶隐式微分方程的一般形式为：\[ F(x, y, y') = 0 \]其中，\( y' = \frac{dy}{dx} \) 表示关于自变量 x 和因变量 y 的一阶导数。
对于一阶隐式微分方程的解法，主要有以下几种方法：1. 分离变量法分离变量法是解一阶隐式微分方程常用的方法之一。
其基本思想是将方程中的自变量和因变量分开，使得方程化为两个变量的乘积的形式，然后对两边同时积分。
具体步骤如下：（1）将隐式微分方程化为 \[ g(y)dy = f(x)dx \] 的形式；（2）对两边同时积分，得到方程的通解；（3）若存在初始条件，则可以进一步确定特解。
对于方程 \[ x\frac{dy}{dx} - y = 0 \]，可以通过分离变量法得到其通解。
2. 伯努利方程的变换伯努利方程是一种特殊的一阶隐式微分方程，其一般形式为\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \]，其中 n 是常数。
对于伯努利方程的解法，可以通过变换 \[ z = y^{1-n} \]，将伯努利方程化为线性微分方程的形式，再利用线性微分方程的解法得到伯努利方程的解。
3. 全微分方程的判断和求解对于形如 \[ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \] 的微分方程，若存在某个函数 u(x, y)，使得 \[ du = Mdx + Ndy \]，则称该微分方程是全微分方程。
对于全微分方程，可以直接通过对 u(x, y) 进行积分得到其通解。
以上即是一阶隐式微分方程的一些解法方法，当然在实际应用中，解题的关键是根据具体的题目选择合适的解法，并结合适当的数学工具和技巧进行求解。
常微分方程第六讲：一阶隐式微分方程
试探法
试探函数形式
根据方程的特点和已知条件，试探性 地设定一个函数形式，然后将其代入 原方程进行验证。
调整函数形式
如果试探的函数形式不满足原方程， 则根据误差情况进行调整，直到找到 满足条件的解为止。
变换法
变量代换
通过引入新的变量进行代换，将原方程转化为更容易求解的形式。
微分算子变换
利用微分算子的性质，将原方程转化为另一个等价的一阶隐式微分 方程，从而简化求解过程。
拓展隐式微分方程在实际问题中的应用
隐式微分方程在物理学、化学、工程学等领域有着广泛的应用，未来可以进一步拓展其在实际问题中的 应用范围，推动相关领域的发展。
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龙格-库塔法
• \end{aligned}
龙格-库塔法
$$
龙格-库塔法的误差分析：四阶龙格-库塔法具有四阶精度，即局部截断误差为 $O(h^5)$，全局误差为 $O(h^4)$。
数值解法的优缺点比较
优点
数值解法可以求解复杂的一阶隐式微分方程，且具有较高的 求解精度；同时，数值解法可以通过调整步长来控制求解精 度和计算效率。
积分因子法
通过引入积分因子，将原方程转化为全微分方程或可分离变量的微 分方程，进而求解得到通解或特解。
04
一阶隐式微分方程的应用举例
几何应用
曲线切线问题
通过一阶隐式微分方程求解曲线上某点的切线方程。
极值问题
利用一阶隐式微分方程研究曲线的极值点、拐点等性质。
面积和体积问题
通过求解一阶隐式微分方程，计算曲线所围成的面积或旋转体体 积。
缺点
数值解法存在截断误差和舍入误差，可能导致求解结果的不 准确；此外，数值解法需要选择合适的算法和步长，否则可 能导致计算效率低下或者求解失败。
一阶隐式微分方程及其参数表示
作业: P.69 第 1, 3, 4题
奇解
小结
F(x, y, y) 0
能解出 y
不能解出 y 或
解出形式复杂
y f (x, y)
引
进
转
参
化
数
变 变量分离、线性、恰当方程等 量
变
熟练掌握
换
F(x, y, y) 0
转 化
y f (x, y)
x f ( y, y)
F(x, y) 0 F( y, y) 0
c
通解为
x
1
3t t
3
y
3(1
4t 3 )
c
2(1 t 3 )2
例4 求解方程 y2 (1 y) (2 y)2
解 令 2 y yt 把 y 2 yt代入原微分方程
得 y 2 ( yt 1) y 2t 2
由此得 y 1 t
p)dp
c
(2.4.7)
4 F( y, y ') 0
(2.4.8)
解法： 引入变换 y (t) 从(2.4.7)得到 y dy (t)
dx
(or 引入变换 y (t)从(2.4.7)得到 y (t) )
dy (t)dx
dx 1 dy 1 (t)dt (t) (t)
解出dxdydydpdydpydppdydxdydxdydxdydxdydxdydxdpdxdpdxdpdxdp中的每一条积分曲线均相切如图p54这样的解我们称之为奇解下一章将给出奇解的确切含义
2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示
Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
第六讲：一阶隐式微分方程
13
x2
将p x 代入方程 y 2 x p 得到特解 1 y - x. 2
x
2
2
(p )2
dp 1 由方程 知 dx 2
于是原方程的通解为
1 p x C , 2
1 x2 1 y 2 x ( x C ) ( x C )2 2 2 2 1 2 2 x C x C . 4
x f (y ,y / ).
解法：
(4)
引入参数 p y / , 于是（4）等价于
x f (y ,p ) . / y p 对x f (y ,p )关于y 求导，得 1 dp / / fy (y ,p ) fp (y ,p ) .
p
dy
这个方程可化为显式形式，用前面类 似的方法能求出（1）的解。
那么 dx (t )dt ,
/
dy (t )dx (t ) (t )dt ,
/
从而
y (t) / (t)d t C .
3
故得原方程参数形式的解 x (t) . / (t)d t C y (t) (t为参数)
பைடு நூலகம்
2 2 2 求方程 ( y ) ( x 1) x 0的通解. 例1
15
dp 由 0 得到p C ,从而有通解 dx y C x (C ).
取x / (p ) 0 与（3）联立有 x / (p ) 0 . y x p (p )
由于 // (p ) 0,则x / (p ) 0 存在隐 函数p p (x ),代入（3）即得到特解 y xp (x ) (p (x )).
第三章初等积分法-34一阶隐式方程与解的积分表示
当的参数形式
x t, p t （3.4.22）
12
这里t是参数。另一方面注意到沿方程 （3.4.20）的任何一条积分曲线，恒有关系
dy pdx 以（3.4.22）代入到上式得
dy t' tdt
两边积分，得到
y t' t dt c
于是得到方程参数形式的通解
x t ,
y
t
'
t
dt
17
于是求得方程参数形式的通解为
x 1 c, y 1 t.
消去t, 得 t
t
y x 1 c
xc
另外，当 y' 0 时原方程变成
y2 4,于是y 2
也是原方程的解。
18
要采用引进参数的方法将方程变成导数
可以解出的类型。
1
本节介绍的方程包括以下几种类型
1 y f x, y' , 2 x f y, y' ,
3 F x, y' 0, 4 F y, y' 0.
*** 可以解出y或x的方程 （1）首先讨论形如
的方程的解y 法f。这x,里ddyx假设函数（3f .4x.,2dd）yx
1
8 y 2 4cx c3 0.
11
*** 不显含y（或x）的方程 （3）现在讨论不显含y的、形如
F x, y' 0
（3.4.20）
的方程的解法。记 p y' dy ，则方程变成
dx
F x, p 0
（3.4.21）
从几何上看，方程（3.4.21）代表xop平面 上的一条曲线，可以把这条曲线表示为适
上的一条曲线，可以把这条曲线表示为适
当的参数形式
y t, p t （3.4.26）
第六讲：一阶隐式微分方程
12
例6 求方程y 2 xy
x2
2
(y )2 的通解.
解
令y / p ,原方程写为
y 2 xp (p )2 . 2 两端关于x 求导得 dp dp p 2 p x 2x 2p , dx dx dp 化简得 （p x ） (1 2 ) 0, dx
17
例8
求解方程y xy 1 y '2 .
y 1 . 思考： 求解方程x 2 y ' ( y ')
18
习题选讲
Ex1： y xy 'ln x ( xy ') .
2
Ex2：
y ln(1 y '2 ).
2 2
Ex3： y ' 2 yy 'cot x y Ex4：
微分方程，即显式方程（ y / f (x ,y )）
一阶隐式微分方程是指
F (x ,y ,y / ) 0
(1)
若能从(1)解出 y 的一阶导数，那么会得到一 个或几个显式方程，用前面的办法求解。
例1: 试求解微分方程：
y '2 (3x y) y ' 3xy 0.
1
若不能从(1)解出 y 的一阶导数，或者即使能解 出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。
x f (y ,y / ).
解法：
(4)
引入参数 p y / , 于是（4）等价于
x f (y ,p ) . / y p 对x f (y ,p )关于y 求导，得 1 dp / / fy (y ,p ) fp (y ,p ) .
§24 一阶隐方程与参数表示
例2.求在第一像限中的一条曲线,使其上每一点的切线 与两坐标轴所围成的三角形面积均等于2.
y y( x), 解: 设所求的曲线为
则过曲线上任一点 ( x, y)的切线方程为
Y y y ( X x)
'
其中( X , Y )为切线上的动点 ,
因此,切线在坐标轴上的
y 横载距a为 : a x ' , y
其中p是参数, c是任意常数 .
数p, 通常用t来替代, 附注1: 在参数形式通解中的参 一方面这是习惯所至 , 另方面, 这也表明在通解中的 dy p只起参数作用 , 而不再表示 y '了. dx ,比如p ( x, c),不应把能解 附注2: 在求得通解后 dy dy 中的p看成 ,即 ( x, c),并进而两边关于 x积 dx dx 分, 得到y ( x, c)dx c1.我们可这样去理解 ,因为
(4) F ( y, y ) 0,
'
dx ( , )上的函数x (t )与y (t ), 使当t ( , )时, 有
dy 定义 对于微分方程 F ( x, y, ) 0, 如果存在定义在
x (t ) dy 则称 , t ( , )为方程F ( x, y, ) 0的参数形式解 . dx y (t )
dy 同样可定义方程 F ( x, y, ) 0的参数形式通解为 dx
(t ) F ( (t ), (t ), ' ) 0, (t )
'
x (t , c) , t ( , ). y (t , c)
一、可解出y(或x)的方程
1 形如
dy y f ( x, ), dx
3-14 -一阶隐方程及其解法
2.4一阶隐方程及其解法(First order implicit differential equation and itssolving methods )[教学内容]1.认识一阶隐方程及其类型;2.介绍等时摆和速降线方程;3.介绍求导法求隐方程;4.介绍参数法求隐方程;5.介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程.[教学重难点]重点是会知道何时选用求导法，何时选用参数法，难点是参数法中如何引入合适的参数[教学方法]自学1、5；讲授2、3、4课堂练习[考核目标]1.认识一阶隐方程及其类型;2.会用求导法求解变量x 或y 可以表出情形下的一阶隐方程;3.会引入合适参数，并用参数法求解一阶隐方程;4.会在求导法和参数法进行适当选择简单的解法;5.会求解简单的函数方程和积分方程.1.认识一阶隐方程形式及其两大类型（1）0)y' y, F(x,=，其中(x)'y y' y(x),y ==.（2）第一大类：由隐方程可以解出)y' f(x,y =或)'y g(y,x =.例如，.P63例题1;P64例题2.（3）第二大类：隐方程很难解出x 或y ，但是隐方程中只含有两个量，即0)y' F(x,=或0)y' F(y,=.例如，(constant) 0,k y ]1)dxdy [(2>=+(这是速降线方程），0y 0,k ,y k 2-g y k 2dx dy >>=)（这是等时摆轨道方程）;1)dx dy (y 22=+;1)dx dy 3(x 22=−.教材P67例题4.2.求导法求解一阶隐方程（1）(a)令 ,dxdy p =再求导得到 x p,满足的方程，或得到y p,满足的方程.(b)将x(p)x =代入原方程得到参数形式通解C)y(p,y C),x(p,x ==，其中C 为任意常数;或将p=p(x)代入原方程后，得到方程的通解y=y(x,C).例39.求解2x dx dy x )dx dy (y 22+−=.解：(1)这是y 可由x 和p 表出的形式的隐方程，2x p x p y 22+−=，其中dx dy p =.两边关于x 求导得到，x dx dp x p dx dp 2p p dx dy +−−==.整理得到，x 2p dx dp x)-(2p −=,也即0)1dxdp (x)-(2p =−⋅.(a)若0x 2p =−，则2p x =，将其代入原方程得到322322p 3p 24p 2p p y −=+−=.于是得到原方程的一个特解322p 3p y 2p,x −==.(b)若01dxdp =−，则C x p +=，于是将C x p +=代入原方程.因此，方程的通解为22C x C 2x y ++=.(参见教材P65图（2.6)了解特解和通解曲线族联系和初值问题解的存在不唯一性现象)作业32.求解克莱罗方程dx dy p f(p),p x y =+=，其中0(p)' f ≠.作业33.求解09x y'2y )(y'x 2=+−.例40.求解0y dxdy 2x )dx dy (3=−+.解：(1)由原方程解出dxdy p ,p p x 2y 3=+=.对上述等式两边关于变量x 求导得到，dx dp 3p 2p dx dp x 2p dx dy 2++==.整理得到，2x)(3p p dx dp 2+−=.这不是可分离变量型、不是齐次方程、不是线性方程.思考能否化为可分离变量型？齐次方程、线性方程！(a)当0p ≠时，3p x p2p -2x)(3p dp dx 2−−=+=，由线性方程的常数变易公式得到，2432dp p 2dp p 2p 3/4p C C)dp 3p (p 1C)3p)dp (e (e x −=+−=+−∫∫=∫∫−.(b)当0p =时，将p=0代入原方程得到，0y =也是方程的一个解.(2)再由3p p x 2y +=和24p 3/4p C x −=，得到原方程的参数形式的通解为p/2p 2C y ,p 3/4p C x 424−=−=.解法二：(1)当0p ≠时，解出dx dy p ,2p p y x 3=−=.运用求导法，两边对y 求导得到，232p dy dp )p (y )p dy dp 3p (121p 1dy dx −−−==，整理得到，dydp y)(-2p p 3−=，改写原方程为22p y p 1dp dy −−=，由常数变易公式得到，)p 42(C p 1C))dp 2p (e (e y 42dp p 1dp p 1−=+−∫∫=∫−将上式代入原方程得到，24332p3/2p C 2p p 2p p C x −=−−=.于是，所求方程的参数形式通解为242p 3/2p C x −=,)p 42(C p 1y 4−=.(2)当p=0时，代入原方程可得，y=0也是方程一个解.3.参数法求解一阶隐方程（1）考察0)y' F(x,=，比如求解1)(y'y 22=+.解：令sin t dx dy t,cos y ==，于是(a)当0dx dy ≠1 t)sin t/(sin dxdy /dt dy dt dx −=−==，解得C t x +−=，于是所求参数形式通解为C t x +−=,y=cos t.(b)当0dx dy =时，代入原方程得到，1y ±=.易验证可知，1y ±=也是方程的解.例40.教材P67例题4.教材P69例题5.如何寻找合适的参数形式？作业34.教材P69习题1(3)(4)(5)(6).4.化积分方程或函数方程为微分方程来求解例41.（1）已知函数x(t)在R 上有定义且(0)'x 存在，且具有性质x(t)x(s)1x(s)x(t)s)x(t −+=+，求出函数x(t).（2）已知函数f(x)满足0 x 1,f(t)dtf(x)x 0≠=∫，求出函数f(x).（3）求满足∫+=x0x y(t)dt e y 的解函数y(t).（4）设y(t)在R 上连续且(0)'y 存在，满足性质R s t, y(s),y(t)s)y(t ∈∀⋅=+，求出函数y(t).解：（1）由x(t)的性质知，0x(0)1x(0)x(0)0)x(02=−−=+.现推导x(t)满足的微分方程：Δtx(t)x(t)x(Δ1x(Δx(t)lim Δt x(t)Δt)x(t lim (t)x'0Δt 0Δt −−+=−+=→→t)t)，整理得到))(1)(0(')('2t x x t x +=，这里用到x(t)在x=0处可导必连续，即0x(0)x(Δlim 0Δt ==→t).求解上述微分方程C)tan(t x C,t )0('arctan x ,dt )0('x 1dx 2+=+==+∫∫x x ，注意到0x(0)=，即C=0.因此，所求的解为 t).(0)tan(x'x =（2）由∫x0f(t)dt 连续和∫=x 0f(t)dt 1f(x)知，函数f(x)连续，因而∫x 0f(t)dt 可导.对原方程两边关于x 求导得到，0f(x) f(x)f(t)dt(x)f'x 0=+∫，结合0 x 1,f(t)dt f(x)x 0≠=∫得到，0f(x) f(x)f(x)1 (x)' f =+.因而1/2-2332C)2x (f(x) C,x f 21,dx f -df ,f dx df +=+==−=−∫∫.再由原积分方程知，1](2C)2C)[(2x 2C)(2x 1,f(t)dt f(x)1/21/21/2-x0=−++=∫，即C=0.因此，所求方程的解为-1/22x)(f(x)=.5.一个比较繁琐例题.例如求解1)dxdy 3(x 22=−.解法一：现令tan t dx dy 3 t,sec x ==，于是下面只需定出y 和t 关系即可∫==⋅⋅=⋅=dt 3t t tan sec y ,3 t sec t tan tant sect dx dy dt dx dx dy dt dy 22.∫∫∫+====1)dt t t(tan sec 31- t tan t sec 31tdt sec 31- t tan t sec 31dt 3 t t tan sec y 232C |2t tan 12ttan1|ln 321 t tan t sec 321y +−+−=.原方程参数形式的特解为 t sec =x ,C |2t tan 12ttan1|ln 321 t tan t sec 321y +−+−=.解法二：解得dx dy p ,3p 1x 2=+±=，对上式两边关于y 求导得到，dy dp 3p 13p p 1dy dx 2+±==，于是223p13p dp dy +±=，C )3p 1p 3(ln 613p 1p 321y 22++++±=∓.原方程参数形式的特解为,3p 1x 2+±=C )3p 1p 3(ln 613p 1p 321y 22++++±=∓.。
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有参数形式通解
(x, p, c) 0 y f (x, p)
其中p是参数,c为任意常数。
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
2 x f ( y, dy ) dx
解法 x f ( y, p)
(2.4.4)
pdy ydp 2 p3dp 0
2 yp p4 c
y c p4 2p
所以，方程的通解为:
此外，还有解 y = 0
x
c p4 2p
p3
c 3p4
2p
4p2
x
c 4p2
3 4
p2
y
mplicit First-Order ODE and Parameter Representation
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
解法2：
解出 x，并把
dy p ，得 dx
x
y p3 2p
两边对 y 求导 p(1 3 p2 dp) ( y p3 ) dp
1
dy
dy
p
2p2
( p 0)
2
得方程的通解 y x2 cx c2
2
p xc
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
方程的通解 y x2 cx c 2
2 再由 2 p x 0 得
p x 2
将它代入 y p 2 xp x 2 ，又得方程的一个解 y x 2
1 y f (x, dy) dx
这里假设函数 f (x, dy ) 有连续的偏导数。 dx
解法：引进参数 dy P ，则(2.4.1)变为
dx
(2.4.1)
y f (x, p)
dy
两边关于 x 求导，并把 p
dx
p f f dp
( 2.4.3)
x p dx
(2.4.2)
2
4
注意: 此解与通解 y x2 cx c2 中的每一条积分曲线均
2
相切这样的解我们称之为奇解
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
y x2 cx c2 2
y
x2 y
4
x o
练习：P70 1(1)
y f (x, p)
(ii) 若得出(2.4.3)通解形式为 x ( p, c) ，则原方程(2.4.1)
有参数形式的通解
x ( p,c) y f ( ( p, c), p)
其中 p 是参数，c为任意常数。
(iii) 若求得(2.4.3)通解形式 (x, p, c) 0，则原方程(2.4.1)
代入，得
dp
p f x
dx
f
关于 x 和 p 显式方程
p
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
(i) 若已得出(2.4.3)的通解形式为, p (x, c) 代入(2.4.2)得
y f (x,(x,c)) 就是(2.4.1)的通解。
c 3 p4
解出 x，得 x
4 p2
将它代入 y p3 2xp
2(c 3 p 4 )
y p3
4
p
因此，方程参数形式通解
x
c p2
3 4
p2
y
2c
1
p3
p 2
( p 0)
当 p=0 时, 由 y p3 2xp 可知，y=0也是方程的解。
( 2.4.5)
dy p dx
两边对 y 求导 1 f f dp (2.4.6)
p y p dy
若求得为 p ( y, c) 则(2.4.4)的通解为 x f ( y, ( y, c))
1 f
dp dy
p y f
p
若求得为 ( y, p, c) 0
求解方程 y ( dy )2 x dy x2
dx
dx 2
解
令 dy p dx
得 y p 2 xp x 2 2
两边对 x 求导，得 p 2 p dp x dp p x dx dx
( dp 1)(2 p x) 0 dp 1 0
dx
dx
将它代入 y p 2 xp x 2
x f (y, p) 则(2.4.4)的通解为 ( y, p, c) 0
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
例1 求解方程 解法1： 解出 y
(dy)3 2x dy y 0
dx
dx
令 dy p dx
§2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示
/Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
一、 能解出 y (或 x )的方程
得 y p3 2xp 两边对 x 求导
p 3p2 dp 2x dp 2 p dx dx
3 p2dp 2xdp pdx 0
当 p 0 时，上式乘以 p，得
3 p3dp 2xpdp p 2dx 0
积分，得
3 p 4 xp2 c 4
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation