一阶隐式方程与参数表示

得 y p3 2xp 两边对 x 求导
p 3p2 dp 2x dp 2 p dx dx
3 p2dp 2xdp pdx 0
当 p 0 时，上式乘以 p，得
3 p3dp 2xpdp p 2dx 0
积分，得
3 p 4 xp2 c 4
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
有参数形式通解
(x, p, c) 0 y f (x, p)
其中p是参数,c为任意常数。
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
2 x f ( y, dy ) dx
解法 x f ( y, p)
(2.4.4)
y f (x, p)
(ii) 若得出(2.4.3)通解形式为 x ( p, c) ，则原方程(2.4.1)
有参数形式的通解
x ( p,c) y f ( ( p, c), p)
其中 p 是参数，c为任意常数。
(iii) 若求得(2.4.3)通解形式 (x, p, c) 0，则原方程(2.4.1)
c 3 p4
解出 x，得 x
4 p2
将它代入 y p3 2xp
2(c 3 p 4 )
y p3
4
p
因此，方程参数形式通解
x
c p2

3 4
p2
y

2c

1
p3
p 2
( p 0)
当 p=0 时, 由 y p3 2xp 可知，y=0也是方程的解。
代入，得
dp
p f x
dx
f
关于 x 和 p 显式方程
p
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
(i) 若已得出(2.4.3)的通解形式为, p (x, c) 代入(2.4.2)得
y f (x,(x,c)) 就是(2.4.1)的通解。
求解方程 y ( dy )2 x dy x2
dx
dx 2
解
令 dy p dx
得 y p 2 xp x 2 2
两边对 x 求导，得 p 2 p dp x dp p x dx dx
( dp 1)(2 p x) 0 dp 1 0
dx
dx
将它代入 y p 2 xp x 2
2
得方程的通解 y x2 cx c2
2
p xc
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
方程的通解 y x2 cx c 2
2 再由 2 p x 0 得
p x 2
将它代入 y p 2 xp x 2 ，又得方程的一个解 y x 2
pdy ydp 2 p3dp 0
2 yp p4 c
y c p4 2p
所以，方程的通解为:
此外，还有解 y = 0
x

c p4 2p

p3

c 3p4
2p
4p2
x

c 4p2

3 4
p2


y

c 2p

p3 2
p来自百度文库0
例2
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
解法2：
解出 x，并把
dy p ，得 dx
x
y p3 2p
两边对 y 求导 p(1 3 p2 dp) ( y p3 ) dp
1
dy
dy
p
2p2
( p 0)
( 2.4.5)
dy p dx
两边对 y 求导 1 f f dp (2.4.6)
p y p dy
若求得为 p ( y, c) 则(2.4.4)的通解为 x f ( y, ( y, c))
1 f
dp dy
p y f
p
若求得为 ( y, p, c) 0
x f (y, p) 则(2.4.4)的通解为 ( y, p, c) 0
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
例1 求解方程 解法1： 解出 y
(dy)3 2x dy y 0
dx
dx
令 dy p dx
§2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示
/Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
一、 能解出 y (或 x )的方程
2
4
注意: 此解与通解 y x2 cx c2 中的每一条积分曲线均
2
相切这样的解我们称之为奇解
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
y x2 cx c2 2
y
x2 y
4
x o
练习：P70 1(1)
1 y f (x, dy) dx
这里假设函数 f (x, dy ) 有连续的偏导数。 dx
解法：引进参数 dy P ，则(2.4.1)变为
dx
(2.4.1)
y f (x, p)
dy
两边关于 x 求导，并把 p
dx
p f f dp
( 2.4.3)
x p dx
(2.4.2)