矢量分析与场论课后答案
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
答案 矢量分析与场论(A卷)
系别_______ _____ _ _ 专业__________ ___年级_________ ____姓名______ _ ______学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 05电气，06电气专升本 专 业 矢量分析与场论 课2006——2007学年度第一学期期末考试试卷 答案(A 卷)一、判断题：在每道题前的括号中划错对号。
(每题2分, 共10分)1.√二、填空题：把正确答案填到每道题的前的括号中。
（每题3分, 共30分)（1）0 （2） k j i 4128++ （3）k t t j t t t i t t t t )1610()1743()4103(647648765--++++--+-（4）k a 2 π- （5）⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎪⎩⎪⎨⎧=++=2zxy 21y 1x 10z y -x 21y 1x 1或 （6）3100 （7）)723(621k j i ++ （8）0 （9）0（10）0三、计算题（每题10分, 共30分)1.解: r rgradr = ------------------------------------------1分 dr d r2)r (f )r (f -=''⇒----------------------------7分 k z j y i x++++=222z y x 1 1ln 2)r (f ln c r +-='⇒-----------------8分)]z y x (3r [r1gradr)(div 22223++-=∴ 22)r (f -='⇒r c ----------------------9分 =r2------------------------------------------3分 413)r (f c r c +=⇒-------------10分 )r (f )gradr (div )r (f )]r (gradf [div ''+'= 43)r (f c rc+=或=)r (f )r (f r2''+'------------------------------4分 0)]r (gradf [div = 0)r (f )r (f r2=''+'∴---------------------------------5分 )r (f r2)r (f '-=''⇒)r (f r2)r (f '-='⇒dr d ---------------------------------6分2.解：△u =)53243)((3322222222--++-∂∂+∂∂+∂∂y x y x z y z x zy x ----------------------------3分=)33()324()2126(222332z y x zyz x y y x xz x -∂∂+--∂∂+++∂∂-------------7分 z y z z xy 2362624--+=-----------------------------------------------------------------10分3.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22242420202y yz x yz z x z A D --------------------------------------------2分k j x x i yz yz A rot)00()22()44(-+-+-=∴=0-----------------------------------------------------------------------3分所以矢量场A为无旋场------------------------------------------------------------4分故为保守场，则存在数性函数)z ,y ,x (u 使得du =dl A --------------5分其中， dz )(R dy )(Q dx )P()u(zy 0x⎰⎰⎰++=x,y,z x,y,0x,0,0x,y,zdz )12(z22⎰-+=z y x ----------------------------------------------6分z222z)z (-+=z y xz z 222-+=z y x --------------------------------------------7分⎰⎰=∴B Aldl A dl A------------------------------------------------------8分⎰=BAd u --------------------------------------------------------9分(5,-1,3)(3,0,1)222z)z (-+=z y x73881=-=-------------------------------------------10分四、证明题（每题10分, 共30分)1.证明：k u j u i u gradu z y x '+'+'=--------------------3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''=∴zz zyzxyzyyyx xzxy xx u u u u u u u u u D(gradu)--------------------------6分 k )u -u (j )u -u (i )u -u ()gradu (rot xy yx zx xz yz zy''''+''''+''''=∴--------------8分 因为函数)z ,y ,x (u 有二阶的连续偏导数所以，xy yx zx xz yz zy u u u u u u ''=''''=''''=''；；---------------9分 0)gradu (rot=∴-------------------------------------10分2.证明： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6-20241012A D ---------------------------3分06-42A div =+=∴----------------------------6分0)11()00()22(A rot=-+-+-=k j i -------9分所以，矢量场A为调和场。
电磁场理论 柯亨玉 著 人民邮电出版社 课后答案
v v v v v v ∇ ⋅ ( E × H ) = ∇ ⋅ ( Ec × H ) + ∇ ⋅ ( E × Hc )
再 ∇ 算子的矢量性，并据公式
v v v v v v v v v a ⋅ (b × c ) = c ⋅ (a × b ) = b ⋅ (c × a )
1-6. (1) 证： ∇ ⋅ A =
v
∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂z ∂x ∂y dAx ∂u dAy ∂u dAz ∂u + + du ∂x du ∂y du ∂z
=
v dA = ∇u ⋅ du
ˆx ( (2) 证： ∇ × A(u ) = e
v
∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ˆy ( ˆz ( − )+e − )+e − ) ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x
v
性质
a）偶函数： δ ( x ) = δ ( − x ) b）取样性：
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x − a)dx = f (a)
有机会用到的表达式：
δ (r − r ') = −
v
1 2 1 ∇ v 4π r − r'
1-1.
证明：
v v ˆx9 + e ˆy 2 − e ˆz 6) ⋅ (e ˆx 2 + e ˆy3 + e ˆz 4) A ⋅ B = (e =18+6-24
1 ∂u ∂ 2 u 1 ∂ 2u ∂ 2u + 2 + 2 + ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ 2 ∂z 2
矢量分析与场论(定理一及例题)
而全体势函数为 v sin y x2 yz 2 c
例2. 用不定积分法求例1中矢量场的势函数.
解：在例1中已经证得A为有势场，故存在函数u满足
ur A gradu, 即有
由第一个方程对x积分，得
与 代入
比较，得 得
从而，势函数
v
v
v
v
例3. 证明 A 2xyz3i x2z3 jur 3xr2 yz2k
所以
vv A dl
x2 yz3
B
12 4
8
»AB
A
代入公式
v
v
v
v
例4. 若 A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k 为保守场，
则存在函数u(M )使
vv
B
A dl u(M ) u(B) u( A)
AB
A
得
z
R(x, y, z)dz z0
例1. 证明矢量场
v
r
r
ur
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
为有势场，并求其势函数.
解：由
2 yz2
D
uv A
2xz
2
4xyz
2 xz 2 sin y 2x2z
4xyz
2
x
2
z
2x2 y
得rotAv 0v， 故Av为有势场。
y
z
ur
定理1. 在线单连域内,矢量场A 为有势场的
ur
充要条件是 A为无旋场.
此性质表明：
ur r A dl Pdx Qdy Rdz
u dx u dy u dz x y zdu即表来自式ur Ar dl
电动力学答案
r 1 1 a 3(a r )r ( a r ) 3 3 (a r ) 3 3 r r r r r5 （2） （3） [(a r ) r ] r ( a r ) (a r ) r 4a r ( a )
（4） [(a r ) r ] (a r ) r (a r ) r a r
A B 3e x e y 解 （1） A C 3e x 2e y 3e z （2）
ex
ey Ay By
ez Bz
ex 1
ey 0
ez 1
A B C
（3） （4）
Ax Bx
Az C 2
1 1 ( e x e y 2e z ) 0
(uv )
1 u 1 v 1 u 1 v 1 u 1 v ve 1 ue 1 ve 2 ue 2 ve 3 ue 3 h1 q1 h1 q1 h2 q 2 h2 q 2 h3 q3 h3 q3
（2）
1 v 1 u 1 v 1 v 1 u 1 u u e e e v e e e 1 2 3 1 2 3 h q h q h q h q h q h q 2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 1 1 uv vu (h3 A3 ) (h2 u ) (h2 A2 ) 1 (h3u ) (uA) A3 u A2 u e 1 h2 h3 q 2 q 2 q 3 q3 (h3u ) (h3 A3 ) (h1 A1 ) 1 (h1u ) A1 u A3 u e 2 h1h3 q3 q3 q1 q1 (h2 A2 ) (h1u ) (h1 A1 ) 1 (h2 u ) A2 u A1 u e 3 h1h2 q1 q1 q 2 q 2
第一章 练习题参考答案
第一章 矢量分析 练习题参考答案参考答案:1、解：（1）z y x e ˆe ˆeˆB A 427--=+ （2）103310=+-=⋅B A2、解：（1）y xy A +-=⋅∇2（2）2ˆˆx e z e A z x +=⨯∇3、解：（1）z y x e e eB A ˆ2ˆˆ-+=- （2） 60=θ4、解：（1） 12-+=⋅∇x A（2） ⎰⎰⎰+-=+-===⋅11110x y S xdxdy S d A5、解：（1）y x e ˆyu e ˆx u u ∂∂+∂∂=∇y x e ˆy e ˆx 22+= （2） 2=∇u6、解：（1） z y x P e e eˆ3ˆ2ˆ++-=∇ψ 梯度的大小：14=∇P ψ（2）梯度的方向 14ˆ3ˆ2ˆˆz y x e e en++-= 7、解：（1）2ˆ3ˆ6ˆ301021ˆˆˆz y x z y x e e ee e e B A -+-=-=⨯ （2）z y x e e eB A ˆ3ˆ2ˆ2-+=+ 8、解：（1）y A 24-=⋅∇（2）在点()1,1处 矢量 y x e e A ˆ4ˆ-=所以矢量场A 在点()1,1处的大小为()171422=-+=A 9、解（1） 21y x A ++=⋅∇（2）z x e y eyz A ˆˆ2+=⨯∇ 10、解：（1） 52122=+=A()103122=-+=B（2） z z y y x x B A B A B A B A ++=⋅()1300211=-⨯+⨯+⨯= 11、解：（1）zE y E x E E z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ 0=（2）点()43,处y x e ˆeˆE 34+= ，故其大小为 53422=+=E12、解： （1） 不一定（2） 由： C A B A ⋅=⋅ 知： ()0=-⋅C B A此时当有三种可能：C B = 或 0=A 或 A 与C B -相互垂直13、解：（1）点电荷位置矢量 z y x s e e er ˆ4ˆˆ3++-= 场点位置矢量 z y x f e e er ˆ3ˆ2ˆ2+-=（2） 点电荷到场点的距离矢量 s f r r R -=z y x e e eR ˆˆ3ˆ5--= 14、解：（1）y x e yu e x u u ˆˆ∂∂+∂∂=∇y x e y e ˆ2ˆ+-= （2）梯度在正x 方向的投影 1ˆ-=⋅∇x eu15、解：（1）设直角坐标系中的坐标为()z y x ,,，由圆柱坐标系与直角坐标系转换关系得：232cos 4cos -===πϕρx 464.332sin 4sin ===πϕρy 3=z （2）任意点的位置矢量为 z y x e z e y ex r ˆˆˆ++= 将()z y x ,,的数值代入得该点的位置矢量： z y x e e er ˆ3ˆ464.3ˆ2++-= 16、解：（1）3=⋅∇A（2）矢量场A 在点()2,2,1处的大小 3=A17、解：（1）根据2cos ==⋅θAB B A3714.01385.52cos =⨯=θ 所以 12.68=θ（2）矢量A 在B 上的分量为 2=⋅=⋅B A BB A 18、解（1）直角坐标中的表达式z y x r e z e y e x r r eE ˆˆˆˆ++=== (2) 3=E19、解：(1) 0=⨯∇A(2) 矢量场A 的在点()1,1处的大小为：2=A20、证明：在直角坐标系里计算3=⋅∇r若在球坐标系里计算，则 232211()()()3r r r r r r r r r ∂∂∇⋅===∂∂由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1）Txy=，2）Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy =，xC y=；⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1）ua xb y cz=++1，2） =-uz xy 22+， 3）uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22，()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂MMxzx xu ，620-=-=∂∂MMzyu ，42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义，可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章 矢量分析习题解答
A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
1
3.三种常用的正交坐标系 1）直角坐标系
在直角坐标系内的任一矢量 A 可以表示为
A( x, y, z ) Ax ( x, y, z )e x Ay ( x, y, z )e y Az ( x, y, z )e z
与三个坐标面单位矢量相垂直的三个面积元分别为
2
d S d ， d dS z d dz ， dS z d d
体积元为
dV d d dz
同一空间位置点的圆柱坐标与直角坐标的关系为
x cos y sin z z
3）球坐标系
任一矢量场 A 在球坐标系中可表示为
A Ar er A e A e
式中 Ar , A , A 称为球坐标分量，是矢量 A 在该点的三个垂直坐标轴 er , e , e 上的投影。 在球坐标系中，位置矢量为
r rer
位置矢量的微分为
dr d (rer ) er dr rder drer rd e r sin de
与三个坐标面单位矢量相垂直的三个面积元分别为
dSr r 2 sin d d ， dS r sin drd ， dS rdrd
3
体积元为
dV r 2 sin drd d
同一空间位置点的球坐标与直角坐标的关系为
n x r s i n y r s i z r c os
k A kAx e x kAy e y kAz e z
若 k 0 ，则 kA 与 A 同方向；若 k 0 ，则 kA 与 A 与反方向。 2） 标量积
A B ABcos AB
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矢量分析与场论课后答案矢量分析与场论习题11(写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 xatybt,,cos,sin，，2 xtytzt,,,3sin,4sin,3cos，，1解: ，其图形是平面上之椭圆。
ratibtj,，cossinxOy，，，其图形是平面与圆柱面rtitjtk,，，3sin4sin3cos430xy,,2，，222xz，,3之交线，为一椭圆。
2234(求曲线x,t,y,t,z,t的一个切向单位矢量。
,3223,，，rtitjtk解:曲线的矢量方程为 3dr2,i，2tj，2tk则其切向矢量为 dtdr242||,1，4t，4t,1，2t 模为 dt2drdri，2tj，2tk/||,于是切向单位矢量为 2dtdt1，2t,2t,6(求曲线在处的一个切向矢量。
xatyatzat,,,sin,sin2,cos,4 2ratiatjatk,，，sinsin2cos解:曲线矢量方程为dr,,,，,atiatjatksin22cos2sin切向矢量为 dt,d2rt,在处， ,,,,aiak,4t,4d2t22t,27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t，1,y,4t,3,z,2t,6t 法平面方程。
22r,(t，1)i，(4t,3)j，(2t,6t)k,M(5,5,,4),解:由题意得曲线矢量方程为dr在的点M处，切向矢量 t,2,,,[2ti，4j，(4t,6)k],4i，4j，2kt,2dtt,2 y,5y,5x,5z，4x,5z，4于是切线方程为 ,,,即,,442221于是法平面方程为，即 2(x,5)，2(y,5)，(z，4),02x，2y，z,16,0238(求曲线上的这样的点，使该点的切线平行于平面。
xyz，，,24rtitjtk,，，dr2解:曲线切向矢量为， ? ,,,，，23itjtkdt平面的法矢量为，由题知 nijk,，，222 ,,，，,，，niktt,，itjtk2302j，,,143，，，，1t,,,1,得。
将此依次代入?式，得3111|,|11t,,,,,i，j,k,,,i，j,k t,,39273111,,,,,,1,11,,,故所求点为，，,,3927,,习题21(说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
11 u,;，，AxByCzD，，，z2,sinuarc ，，22，xy1AxByCzD，，，,0解:场所在的空间区域是除外的空间。
，，等值面为11,C或Ax，By，Cz，D,,0，这是与平(C,0为任意常数)11Ax，By，Cz，DC1面平行的空间。
AxByCzD，，，,02222场所在的空间区域是除原点以外的的点所组成的空间部分。
，，zxy,，222222等值面为， z,(x，y)sinc,(x，y,0)当时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外); sin0c,当时，是除原点外的平面。
sin0c,xOy22xy，M1,1,2u,2(求数量场经过点的等值面方程。
，，zM1,1,2解:经过点等值面方程为，，2222xy，，11u,,,1， z222即，是除去原点的旋转抛物面。
zxy,，(已知数量场，求场中与直线相切的等值线方程。
3xy，,,240uxy,xy, 解:设切点为，等值面方程为，因相切，则斜率为 xycxy,,，，0000y10k,,,, ，即 x,2y00x20xy,点在所给直线上，有，，00xy，,,24000解之得yx,,1,2 00xy,2故2224(求矢量的矢量线方程。
Axyixyjzyk,，，解矢量线满足的微分方程为 Adr，,0，dxdydz 或,, 222xyxyzydxdzxdx,ydy,,.有 xz22,x,y,C,1解之得 (C,C为任意常数),12z,Cx2,225.求矢量场通过点的矢量线方程。
(2,1,1)MA,xi，yj，(x，y)zk dxdydz,,.解矢量线满足的微分方程为 22x，yzxy()dxdy11由， ,得,，C122xyxy()dx,ydzd(x,y)dz,,按等比定理有即解得 ,.x,y,Cz.222(x，y)zx,yx,yz11,,,，C1,1xy故矢量线方程为又求得 C,,,C,1M(2,1,1),122,x,y,Cz2,111,,,,xy2.故所求矢量线方程为 ,,x,y,z,习题323224M2,0,1, 1(求数量场在点处沿的方uxzyz,，2，，lxixyjzk,,，23向导数。
24lxixyjzkik,,，,，2343解:因，其方向余弦为，，MM43cos,,,cos,,0,cos,,. 55,u,u,u3222M(2,0,,1)在点处有 ,2xz,,4,,4yz,0,,3xz，2y,12,,x,y,z,u43,,(,4)，0,0，,12,4所以 ,l552223M1,1,1,t2(求数量场在点处沿曲线朝uxzxyz,,，3，，xtytzt,,,,,, 增大一方的方向导数。
u解:所求方向导数，等于函数在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
曲线上点M所对应的参数为,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为t,1 dydxdz2， ,1,,,2t,,2,,3t,3t,1t,1dtdtdtMMM123其方向余弦为 cos,,,cos,,,,cos,,.141414,u,u,u2,(6xz,y),7,,,x,,1,,(3x，2z),5又。
MMM,x,y,zMMM于是所求方向导数为,u,u,u,u1,2324,(cos，cos，cos),7，，(,1)，，5，,,,,lxyz,,,,14141414MM23M2,1,1,3(求数量场在点处沿哪个方向的方向导数最大, ，，uxyz,,u0解: 因,,,grad grad cos,， ulu，，,l,,0当时，方向导数最大。
,u,u,ugrad u,(i，j，k)M,x,y,zM32322,(2xyzi，xzj，3xyzk),,4i,4j，12k,Mgrad u,,4i,4j，12k即函数沿梯度方向的方向导数最大 uM最大值为。
grad u,176,411M13122u,(x,y)u,0,,1,,24.画出平面场中的等值线，并画出场在与点M(2,2)1222处的梯度矢量，看其是否符合下面事实: M(3,7)2(1)梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小;u(2)在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向增大的方向。
2222x,y,0,x,y,1,2222x,y,2,x,y,3,解:所述等值线的方程为:其中第一个又可以写为22x,y,4,Oxx,y,0,x，y,0为二直线，其余的都是以轴为实轴的等轴双曲线(如下图,图中 G,grad u,1M1) G,grad u,2M2由于 grad u,xi,yj,故grad u,2i,2j,M1grad u,3i,7j,M2由图可见，其图形都符合所论之事实。
P1,2,35(用以下二法求数量场在点处沿其矢径方向的方向导数。
uxyyzzx,，，，，1 直接应用方向导数公式; ，，2 作为梯度在该方向上的投影。
，，1r,14.解:点P的矢径其模其方向余弦为 r,i，2j，3k,，，123又 cos,,,cos,,,cos,,.141414,u,u,u,(y，z),5,,(x，z),4,,(x，y),3 PPP,x,y,zPPP,,,,uuuu,(cos，cos，cos),,,,,,,,lxyzPP所以123225，，4，，3，,。
14141414,u,u,u2grad u,(i，j，k),5i，4j，3k, ，，P,x,y,zPr1230r,,i，j，k. r141414,u123220,grad u,r,5，，4，，3，,。
故 P,l14141414P222 6，求数量场在点与点O(0,0,0)A(1,1,1)u,x，2y，3z，xy，3x,2y,6z处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0, 解: grad u,(2x，y，3)i，(4y，x,2)j，(6z,6)k,grad u,3i,2j,6k,grad u,6i，3j，0k, OA222222其模依次为: 3，(,2)，(,6),7,6，3，0,35326grad u于是的方向余弦为 cos,,,cos,,,,cos,,,.O77721grad u的方向余弦为 cos,,,cos,,,cos,,0.A552x，y，3,0,,,求使之点，即求坐标满足之点，由此解得grad u,04y，x,2,0,,,6z,6,0,故所求之点为 x,,2,y,1,z,1(,2,1,1).27(通过梯度求曲面上一点处的法线方程。
M(1,,2,3)xy，2xz,42解:所给曲面可视为数量场的一张等值面，因此，场在点 uu,xy，2xz处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即 M2 grad u,(2xy，2z)i，xj，2xk,2i，j，2k,MMx,1y，2z,3,,.故所求的法线方程为 212习题 42222r,xi，yj，zk1.设S为上半球面求矢量场向上穿过S的通量x，y，z,a(z,0),。
【提示:注意S的法矢量n与r同指向】 ,解:23,,r,dS,rdS,rdS,adS,a,2,a,2,a.n,,,,,,,,SSSS2222v,(x，y，z)k2.设S为曲面求流速场在单位时间内下x，y，z,a(0,z,h), 侧穿S的流量Q。
22Q,(x，y，z)dxdy,,(x，y，x，y)dxdy,解: 其中D为S在xOy面上的,,,, SD222Q,,(rcos,，rsin,，r)rdrd,投影区域:用极坐标计算，有 x，y,h.,,D32,2h2,hh12232,,,d(rcos,，rsin,，r)dr,,[(cos,，sin,)，]d,,,,h.,,,000342223.设S是锥面z,x，y在平面z,4的下方部分，求矢量场向A,4xzi，yzj，3zk下穿出S的通量。
,解:略4.求下面矢量场A的散度。
323(1) A,(x，yz)i，(y，xz)j，(z，xy)k;(2) A,(2z,3y)i，(3x,z)j，(y,2x)k;(3)A,(1，ysinx)i，(xcosy，y)j.22解:(1) div A,3x，2y，3zdiv A,0(2)div A,ycosx,xsiny，1(3)333div A5.求在给定点处的值:(1) A,xi，yj，zk在点M(1,0,,1)处;2(2) A,4xi,2xyj，zk在点M(1,1,3)处;(3) A,xyzr(r,xi，yj，zk)在点M(1,3,2)处;222div A,(3x，3y，3z),6解:(1) MMdiv A,(4,2x，2z),8(2) MMdiv A,xyzdiv r，grad(xyz),r,3xyz，(yzi，xzj，xyk),(xi，yj，zk)(3) div A,6xyz,36,6xyz，故。