矢量分析与场论课后答案

矢量分析与场论课后答案矢量分析与场论

习题1

1(写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 xatybt,,cos,sin，，

2 xtytzt,,,3sin,4sin,3cos，，

1解: ，其图形是平面上之椭圆。 ratibtj,，cossinxOy，，

，其图形是平面与圆柱面rtitjtk,，，3sin4sin3cos430xy,,2，，222xz，,3之交线，为一椭圆。

2234(求曲线x,t,y,t,z,t的一个切向单位矢量。 ,3

223,，，rtitjtk解:曲线的矢量方程为 3

dr2,i，2tj，2tk则其切向矢量为 dt

dr242||,1，4t，4t,1，2t 模为 dt

2drdri，2tj，2tk

/||,于是切向单位矢量为 2dtdt1，2t

,2t,6(求曲线在处的一个切向矢量。 xatyatzat,,,sin,sin2,cos,4 2ratiatjatk,，，sinsin2cos解:曲线矢量方程为

dr,,,，,atiatjatksin22cos2sin切向矢量为 dt

,d2rt,在处， ,,,,aiak,4t,4d2t

22t,27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t，1,y,4t,3,z,2t,6t 法平面方程。

22r,(t，1)i，(4t,3)j，(2t,6t)k,M(5,5,,4),解:由题意得曲线矢量方程为dr在的点M处，切向矢量 t,2,,,[2ti，4j，(4t,6)k],4i，4j，2kt,2dtt,2 y,5y,5x,5z，4x,5z，4于是切线方程为 ,,,即,,442221于是法平面方程为，即 2(x,5)，2(y,5)，(z，4),0

2x，2y，z,16,0

238(求曲线上的这样的点，使该点的切线平行于平面。

xyz，，,24rtitjtk,，，

dr2解:曲线切向矢量为， ? ,,,，，23itjtkdt

平面的法矢量为，由题知 nijk,，，2

22 ,,，，,，，niktt,，itjtk2302j，,,143，，，，

1t,,,1,得。将此依次代入?式，得3

111

|,|11t,,,,,i，j,k,,,i，j,k t,,39273

111,,,,,,1,11,,,故所求点为，，,,3927,,

习题2

1(说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。

11 u,;，，AxByCzD，，，

z2,sinuarc ，，22，xy

1AxByCzD，，，,0解:场所在的空间区域是除外的空间。，，

等值面为

11,C或Ax，By，Cz，D,,0，这是与平(C,0为任意常数)11Ax，By，Cz，DC1

面平行的空间。 AxByCzD，，，,0

2222场所在的空间区域是除原点以外的的点所组成的空间部分。，，zxy,，222222等值面为， z,(x，y)sinc,(x，y,0)

当时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外); sin0c,

当时，是除原点外的平面。 sin0c,xOy

22xy，M1,1,2u,2(求数量场经过点的等值面方程。，，z

M1,1,2解:经过点等值面方程为，，

2222xy，，11u,,,1， z2

22即，是除去原点的旋转抛物面。 zxy,，

(已知数量场，求场中与直线相切的等值线方程。 3xy，,,240uxy,

xy, 解:设切点为，等值面方程为，因相切，则斜率为 xycxy,,，，0000

y10k,,,, ，即 x,2y00x20

xy,点在所给直线上，有，，00

xy，,,24000

解之得yx,,1,2 00

xy,2故

2224(求矢量的矢量线方程。 Axyixyjzyk,，，

解矢量线满足的微分方程为 Adr，,0，

dxdydz 或,, 222xyxyzy

dxdzxdx,ydy,,.有 xz

22,x,y,C,1解之得 (C,C为任意常数),12z,Cx2,

225.求矢量场通过点的矢量线方程。 (2,1,1)MA,xi，yj，(x，y)zk dxdydz,,.解矢量线满足的微分方程为 22x，yzxy()

dxdy11由， ,得,，C122xyxy

()dx,ydzd(x,y)dz,,按等比定理有即解得 ,.x,y,Cz.222(x，y)zx,yx,yz

11,,,，C1,1xy故矢量线方程为又求得 C,,,C,1M(2,1,1),122,x,y,Cz2,

111,,,,xy2.故所求矢量线方程为 ,

,x,y,z,

习题3

23224M2,0,1, 1(求数量场在点处沿的方uxzyz,，2，，lxixyjzk,,，23

向导数。

24lxixyjzkik,,，,，2343解:因，其方向余弦为，，MM

43cos,,,cos,,0,cos,,. 55

,u,u,u3222M(2,0,,1)在点处有 ,2xz,,4,,4yz,0,,3xz，2y,12,,x,y,z

,u43,,(,4)，0,0，,12,4所以 ,l55

2223M1,1,1,t2(求数量场在点处沿曲线朝uxzxyz,,，3，，xtytzt,,,,,, 增大一方的方向导数。

u解:所求方向导数，等于函数在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点

M所对应的参数为,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为t,1 dydxdz2， ,1,,,2t,,2,,3t,3t,1t,1dtdtdtMMM

123其方向余弦为 cos,,,cos,,,,cos,,.

141414,u,u,u2,(6xz,y),7,,,x,,1,,(3x，2z),5又。 MMM,x,y,zMMM

于是所求方向导数为

,u,u,u,u1,2324,(cos，cos，cos),7，，(,1)，，

5，,,,,lxyz,,,,14141414MM

23M2,1,1,3(求数量场在点处沿哪个方向的方向导数最大, ，，uxyz,

,u0解: 因,,,grad grad cos,， ulu，，,l