抛物型方程数值解
抛物型方程的galerkin有限元方法
抛物型方程的Galerkin有限元方法一、引言抛物型方程是一类常见的偏微分方程，具有广泛的应用。
在数值解中，Galerkin有限元方法是一种常用且有效的方法。
本文将介绍抛物型方程的基本概念，并详细讲解Galerkin有限元方法在求解抛物型方程中的应用。
二、抛物型方程的基本概念抛物型方程是指具有二阶时间导数和二阶空间导数的偏微分方程。
一般形式为：∂u−Δu=f∂t其中，u为未知函数，t为时间变量，Δ为Laplace算子，f为给定的函数。
抛物型方程的一个重要特点是初始条件和边界条件对解的影响非常大。
合适的初始条件和边界条件能够唯一确定方程的解。
三、Galerkin有限元方法Galerkin有限元方法是一种利用函数空间进行近似的数值计算方法。
它基于以下思想：将问题的解表示为函数空间中的一个函数，通过求解一组代数方程组来近似求解原始方程。
1. 函数空间的选择在应用Galerkin有限元方法求解抛物型方程时，需要选择合适的函数空间。
常用的函数空间有有限维函数空间和无限维函数空间。
具体的选择需要根据问题的特点和计算的要求来确定。
2. 弱形式的推导对于抛物型方程，我们可以将其转化为弱形式。
弱形式是通过将方程两边乘以一个测试函数，并进行积分得到的。
这样可以减小对解的要求，并使得问题更容易求解。
3. 数值离散和代数方程的建立接下来，需要对时间和空间进行离散。
通常使用网格来进行离散，将时间和空间分割为有限个小区域。
然后，通过选择适当的基函数，在每个小区域上近似原方程的解。
最终得到一组代数方程组。
求解代数方程组是Galerkin有限元方法的最后一步。
可以使用常用的数值方法，如迭代法、直接法等，来求解代数方程组。
根据计算要求和问题特点，选择合适的求解方法。
四、应用案例以一维热传导方程为例，展示Galerkin有限元方法在求解抛物型方程中的应用。
热传导方程是一个典型的抛物型方程，描述了物体内部的温度分布随时间变化的规律。
一类变系数抛物型方程的数值解法
式 ， 用方程 算 出第一 层 的数值 解 ， 利 之后 每一层 的
计 算都 用到 前两 层 的数值解 。每一层 的计算都 是 解 线性 方程 组 。计算 过程 避免 了迭 代运 算 。通过 该 格式 可 以计算 出 的数 值解 。利 用 ７的数 值解 ２ 和下 面差分 格式 可 以计算 出 “和 “的数值 解 。
ｎ 上 的 网 格 函 数 。 引 入 以 下 记 号 ：
式
。其 收敛 阶 为 Ｏ（ 。 ） ｈ ＋ｒ 。
跏 一
Ｄ， 一 叫
二 二
１≤ ｉ Ｍ 一 １ １≤ ｋ≤ Ｎ 一 １ ≤ ，
气 一
一
＋ 宰 ＋
０≤ ｋ≤ Ｎ
厂（ ｚ）
ａ女
一
一
第 ４期
１≤ ｉ≤ Ｍ — ｌ
ｆ （ ｉ ｘ）
１ 三 层 线 性 化 格 式
一
在 问 题 （ ） 令 ， Ｕ ， 定 “ ，） ０ １中 一 假 （ ￡≠ ，
罕Ｎ
并 （一 ， 一 ，到 题 １ 记ａ） 警 ｐ） 警 得 问 （ 的 （ ）
我们 用 Ｍａｌｂ进 行 编 程 计 算 ， ｐ ｔ ａ 在 ｃ机 上计 算 出 的数值结 果见 表 １ ～表 ４ 。
表 １ Ｍ ＝５ Ｎ－ ５ ０。 － ０时 Ｈ ， ） 绝 对 误 差 （ １的
）＝＝ ＋ ＝
１＋
表 ２ Ｍ ＝５ 。 ０ Ｎ＝５ ０时 ａ ｆ 的 绝 对 误 差 （）
ｎ — ｎ＾× ＊
存 在 Ｏ ｉ≤Ｍ ， 得 ≤ 。 使
∈ Ｌ Ｘ。ｌ ｉ ＋
ｍａ ｎ ｔ） 口 ≤ ｃｈ ＋ ｒ ） ｘ ｌ （女 一 ｌ （
萋
用 类 似 的 方 法 可 以 给 出 如 下 向 后 欧 拉 格
二维抛物型方程的广义galerkin方法
二维抛物型方程的广义galerkin方法二维抛物型方程的广义Galerkin方法引言：二维抛物型方程广义Galerkin方法是一种数值计算方法，用于求解二维抛物型偏微分方程。
在许多科学和工程领域中，二维抛物型方程是非常重要的模型，例如热传导方程、扩散方程等。
本文将介绍广义Galerkin方法的基本思想、数学原理以及求解步骤，并通过一个例子来说明其应用。
一、广义Galerkin方法的基本思想广义Galerkin方法是一种弱形式求解偏微分方程的方法，其基本思想是通过将原方程乘以一个试探函数，然后在整个计算域上进行积分，通过适当的近似和转化，将原方程转化为一组离散的代数方程。
广义Galerkin方法通过这种离散化的方式，将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，从而实现了数值求解。
二、广义Galerkin方法的数学原理1. 试探函数空间和测试函数空间的选择：广义Galerkin方法中，我们需要选择适当的试探函数空间和测试函数空间。
通常情况下，我们选择的试探函数空间和测试函数空间是具有一定光滑性质的函数空间，例如Sobolev空间。
2. 弱形式的推导：将原方程乘以一个试探函数，并在整个计算域上进行积分，得到一个弱形式的方程。
这个弱形式的方程通常是具有更好的可求解性质的。
3. 离散化：通过适当的近似和转化，将弱形式的方程转化为一组离散的代数方程。
通常情况下，我们使用一组基函数来近似试探函数和测试函数，并通过在有限元网格上进行积分，将积分方程离散化为代数方程。
三、广义Galerkin方法的求解步骤1. 确定试探函数和测试函数空间：根据问题的特点和要求，选择合适的试探函数和测试函数空间。
2. 推导弱形式：将原方程乘以试探函数，并在整个计算域上进行积分，得到弱形式的方程。
3. 离散化：选择适当的基函数，通过在有限元网格上进行积分，将弱形式的方程离散化为代数方程。
4. 求解代数方程：通过求解离散化的代数方程，得到数值解。
抛物型方程的差分方法
抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。
差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。
首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。
抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。
这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。
差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。
差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。
在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。
通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。
2.建立差分格式。
差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。
对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。
其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。
因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。
3.编写计算程序。
在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。
具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。
4.计算结果的验证与分析。
求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。
在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。
下面将对其中一些问题进行详细讨论。
1.边界条件的处理。
边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。
10_抛物型方程的有限差分方法
10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。
有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。
有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。
对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。
有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。
假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。
在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。
对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。
重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。
总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。
它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。
二维抛物型方程的交替方向隐格式
二维抛物型方程的交替方向隐格式二维抛物型方程的交替方向隐格式是一种数值解法，用于求解二维抛物型方程的数值解。
这种解法将二维问题分解为两个一维问题，并采用隐式差分方法来求解。
具体来说，二维抛物型方程可以表示为：u_t = a^2 u_{xx} + b^2 u_{yy} + f(x,y,u)其中，u是待求解的函数，t是时间，a和b是两个不同的参数，f是右侧的非线性函数。
为了求解这个问题，我们可以采用交替方向隐式差分方法，将问题分解为两个一维问题：1、在x方向上，从左到右扫描每一行数据，更新每个点的u值。
这个过程可以使用隐式差分方法来实现：u^[i,j]^(n+1) = u^[i,j]^(n) + dt a^2 (u^[i+1,j]^(n) - 2u^[i,j]^(n) + u^[i-1,j]^(n)) / h^2 + dt f^[i,j]^(n) 其中，u^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点的u值，h是x方向上的步长，dt是时间步长，f^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点上的非线性函数f的值。
2. 在y方向上，从上到下扫描每一列数据，更新每个点的u值。
这个过程也可以使用隐式差分方法来实现：u^[i,j]^(n+1) = u^[i,j]^(n) + dt b^2 (u^[i,j+1]^(n) - 2u^[i,j]^(n) + u^[i,j-1]^(n)) / h^2 + dt f^[i,j]^(n) 其中，u^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点的u值，h是y方向上的步长，dt是时间步长，f^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点上的非线性函数f的值。
通过交替更新每个点的u值，我们可以逐步逼近方程的数值解。
这种解法具有二阶精度和稳定性，可以应用于多种二维抛物型方程的问题。
pde 方程
pde 方程抛物型偏微分方程及其应用引言：偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中的一个重要分支，它描述了自然界中的许多现象和规律。
本文将重点介绍一类常见的PDE方程——抛物型偏微分方程，以及它在物理、工程等领域中的应用。
一、抛物型偏微分方程的定义和特点抛物型偏微分方程是指具有一阶时间导数和二阶或更高阶空间导数的偏微分方程。
其一般形式可以表示为：∂u/∂t = a∂²u/∂x² + bu + c其中，u代表未知函数，t和x分别表示时间和空间变量，a、b和c 为常数。
抛物型偏微分方程具有以下特点：1. 方程中包含时间导数，因此描述的是随时间变化的系统或现象。
2. 方程中包含二阶或更高阶空间导数，因此描述的是具有扩散、传导等特性的系统或现象。
3. 方程中的系数a、b和c可以是常数，也可以是与时间和空间变量有关的函数。
二、抛物型偏微分方程的应用抛物型偏微分方程在物理、工程等领域中具有广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用：1. 热传导方程热传导方程是抛物型偏微分方程的一个重要应用。
它描述了物体内部的温度分布随时间的变化规律。
热传导方程在热学、材料科学等领域中有广泛的应用，如研究材料的热稳定性、热传导性能等。
2. 扩散方程扩散方程也是抛物型偏微分方程的一种应用。
它描述了物质在空间中的扩散过程，如溶质在溶液中的扩散、气体的扩散等。
扩散方程在化学反应、生物学、环境工程等领域中有重要的应用价值。
3. 粘弹性流体方程粘弹性流体方程是一类描述粘弹性流体流动行为的抛物型偏微分方程。
它在流体力学、工程领域中有广泛的应用，如石油工程中的油藏模拟、地下水流动模拟等。
4. 扩散反应方程扩散反应方程是描述物质在扩散和反应过程中的变化规律的抛物型偏微分方程。
它在化学动力学、生物学等领域中有重要的应用，如描述化学反应速率、生物体内物质传输等。
三、抛物型偏微分方程的数值解法由于抛物型偏微分方程的解析解往往难以求得，因此需要采用数值方法进行求解。
抛物方程的pod-galerkin外推解法研究
抛物方程的pod-galerkin外推解法研究抛物方程是一类常见的偏微分方程，描述了许多物理现象，例如热传导、扩散等。
对于抛物方程的数值解法研究，其中一种有效的方法是使用有限元方法进行离散化和求解。
在有限元方法中，通常采用Galerkin方法来离散化抛物方程。
该方法将抛物方程转化为一组线性方程组，通过求解这组方程组得到数值解。
然而，Galerkin方法的求解过程中，需要计算大量的内积和矩阵操作，对于大规模问题，计算量较大，耗时较长。
为了提高抛物方程的求解效率，一种有效的方法是使用POD-Galerkin外推解法。
POD (Proper Orthogonal Decomposition) 是一种基于数据的降维方法，通过提取空间中具有最大能量的主成分来近似原始数据。
在POD-Galerkin外推解法中，先利用POD对抛物方程的解进行逼近，然后使用Galerkin方法进行离散化和求解。
POD-Galerkin外推解法的基本思想是，利用POD构建一个近似解空间，然后将原始问题在该空间中进行求解。
通过选取适当的POD基函数，可以减小原始问题的维度，从而降低计算复杂度。
此外，POD-Galerkin外推解法还可以提高数值解的精度和稳定性。
研究表明，POD-Galerkin外推解法在抛物方程的数值计算中具有很好的效果。
它可以显著减少计算时间和存储空间，并提高数值解的精确度。
然而，POD-Galerkin外推解法的实现较为复杂，需要对抛物方程的特性以及POD技术有一定的了解。
总结起来，抛物方程的POD-Galerkin外推解法是一种有效的数值解法，可以用于提高抛物方程求解的效率和精度。
它在科学计算和工程应用中具有重要的意义。
经典偏微分方程课后习题答案
第四章 抛物型微分方程有限差分法1设已知初边值问题22, 01, 0<(,0)sin , 01(0,)(1,)0, 0 u ux t t x u x x x u t u t t T π⎧∂∂=<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩T ≤, 试用最简显格式求上述问题的数值解。
取h=0.1,r=0.1.0 1/10 2/10 … 1 T 2τ τt解: 1.矩形网格剖分区域. 取空间步长1, 时间2510h =0.00τ=以及0.01τ=的矩形网格剖分区域, 用节点)表示坐标点(,j k (,)(,)j k x t jh k τ=, 0,1,...1/; 0,1,...,/j h k T τ==, 如图所示.显然, 我们需要求解这(1/1)(/1)h T τ+×+个点对应的函数值. 事实上由已知初边界条件蓝标附近的点可直接得到, 所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可. 沿用记号[]k(,)j j k u x t =。
u 2. 建立差分格式, 对于11,...1; 0,1,...,1Tj k hτ=−=−, 用向前差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式:1122k k k k k1jj j j u u u u u h ++−+=. 变形j τ−−有:1112(12) (k k k kj j j j u ru r u ru r h τ+−+=+−+=(4.1)用向后差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式最简隐格式:111122k k k k k j jj j j u u u u u h τ++++−−+=11+−1kj +,变形有:1111(12) k k k j j j ru r u ru u ++−−−++−= (4.2)(4.1)*0.5+(4.2)*0.5得CN 格式为:111112222k k k k k k k k j jj j j j j j u u u u u u u u h τ+++−+−−++−+=111++−1kj +x x变形有:111111(22)(22) k k k k k j j j j j ru r u ru ru r u ru ++−−+−−++−=+−+ (4.3)3 初边界点差分格式处理.对于初始条件u x (,0)sin , 01=π≤≤h 离散为(4.4)0sin 0,1,...1/j u jh j π==对于边界条件离散为(0,)(1,)0, 0 u t u t t T ==≤≤00 0,1,.../k k N u u k T τ===(4.5)总结: 联立方程(4.1)(4.4)(4.5)得到已知问题的最简显格式差分方程组:11100(12)1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N u ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ+−+⎧=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.2)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的最简隐格式差分方程组:1111100(12) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N ru r u ru u T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+⎧−++−=⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.3)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的CN 格式差分方程组:11111100(22)(22) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k k j j j j j jk k N ru r u ru ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+−⎧−++−=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩1k j + 4 求解并显示结果利用软件计算(Matlab)如上最简显格式差分方程组.h=1/10;tau=0.0025;T=0.5; r=tau/h^2;M=1/h+1;N=T/tau+1; u=zeros(M,N);for m=1:Mu(m,1)=sin((m-1)*h*pi); endu(1,1:N)=0;u(M,1:N)=0;for n=1:N-1for m=2:M-1u(m,n+1)=r*(u(m+1,n)+u(m-1,n))+(1-2*r)*u(m,n); end end u=u’ 这样我们就计算出不同时刻不同位置k t j x 对应的函数值(,)j k u x t 取tau=0.0025, 即r=0.25绘图, 取tau=0.01, r=1再绘图,如图()图4.2 习题1数值解图示(左r=0.25, 右r=1)2.试构造初边值问题 ()()()()(), 0.51, 0,,0, 0.51,0.5,0, 1,0.51,, 0u u x x x T t x x u x x x u ⎪∂u t t u t t T x ϕ⎧∂∂∂⎛⎞=<<<≤⎜⎟⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪=≤≤⎨⎪==−≤≤⎪∂⎩的显格式，并给出其按最大范数稳定的充分条件。
抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班）指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式。
本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析。
关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian（Class 2, Grade 2011，College of Mathematics and Information Science）Advisor: Nie huaAbstract：The common methods to solve parabolic equations include differential method，finite element method etc。
The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations。
In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover，the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words：differential method，finite element method, convergence，stability1 绪 论1。
《工程数值计算Python教程》第7章 偏微分方程
, − = ,
将上式代入五点格式方程可以排除假格点，于是得到：
, = + ℎ, 0 + − ℎ, 0 + 1 − , 0
2
= +ℎ + −ℎ + 1−
2
利用上式计算 = 一行格点处的值，然后再用五点格式方程计算n ≥ 2时的值。
其中： = /ℎ2 。上式可用作关于变量逐步求解的工具，如果 , 在0 ≤ ≤ 1和
0 ≤ ≤ 0 时已知，那么由上式可求得 = 0 + 的解。由于解在区域边界上是已知的，
反复运用上式即可求得区域内部的近似解。该法求解过程很直接，称为显式法。
方程中四点位置如图7-2所示。
ℎ
2
2
2
ቤ
1
,−2
1
= , − , −
1
2
由于的值仅在的整数倍处是已知的，因此将形如 , − 的项都由在上下两个
相邻格点的算术平均值代替。
1
1
, − ≈ , + , −
2
2
代入偏微分方程得到：
1
ሾ + ℎ, + + ℎ, − − 2 , − 2 , − + − ℎ,
网格示意图
将上述方程组写为矩阵形式，已知项移至右端，未知向量排列为：
= 11 , 21 , 31 , 12 , 22 , 32 , 13 , 23 , 33
系数矩阵为：
4 − ℎ2 11
−1
0
−1
0
0
0
0
0
抛物型方程的galerkin有限元方法
抛物型方程的galerkin有限元方法抛物型方程是一类重要的偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
而galerkin有限元方法是一种常用的数值解法，可以有效地求解抛物型方程。
本文将介绍抛物型方程的galerkin有限元方法。
一、抛物型方程抛物型方程是一类偏微分方程，其一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (a\nabla u) + cu = f $$其中，$u$是未知函数，$a$和$c$是已知函数，$f$是给定函数。
抛物型方程的特点是时间和空间都是连续的，因此需要使用时间和空间上的离散化方法来求解。
二、galerkin有限元方法galerkin有限元方法是一种常用的数值解法，它将偏微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，然后通过求解系数来得到解。
具体来说，galerkin有限元方法将偏微分方程的解表示为：$$u_h(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$其中，$u_i(t)$是待求系数，$\phi_i(x)$是一组基函数，$N$是基函数的个数。
将上式代入偏微分方程中，得到：$$\sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial u_i}{\partial t} - \nabla \cdot(a\nabla \phi_i) + c\phi_i \right) \phi_j = \int_\Omega f\phi_j $$对于任意的$j=1,2,\cdots,N$，上式都成立。
因此，可以得到一个关于系数$u_i(t)$的线性方程组，通过求解该方程组即可得到解$u_h(x,t)$。
三、抛物型方程的galerkin有限元方法将抛物型方程代入galerkin有限元方法中，得到：\sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial u_i}{\partial t} - \nabla \cdot (a\nabla \phi_i) + c\phi_i \right) \phi_j = \int_\Omega f\phi_j $$对于任意的$j=1,2,\cdots,N$，上式都成立。
数值分析在差分方程数值解中的应用
数值分析在差分方程数值解中的应用数值分析是一门研究如何利用计算机进行数值计算的学科，广泛应用于科学计算和工程实践中。
在差分方程的数值解中，数值分析方法可以提供高效且准确的数值计算，为实际问题的求解提供了有效的工具和技术。
本文将介绍数值分析在差分方程数值解中的应用。
一、差分方程的概念与数值解法差分方程是描述离散时间和连续状态之间关系的方程。
它可以用来求解许多实际问题，比如物理问题、生物问题和经济问题等。
差分方程的数值解法主要包括两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法是一种求解差分方程的数值解的精确方法。
它通过将差分方程转化为代数方程组，然后使用数值代数方法求解方程组得到差分方程的数值解。
其中，矩阵运算是直接法的关键。
2. 迭代法迭代法是一种通过不断迭代逼近差分方程的数值解的方法。
常见的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次上松弛迭代法等。
迭代法的优点是简单易行，但需要注意收敛性和稳定性的问题。
二、差分方程数值解中的数值分析方法差分方程的数值解中，数值分析方法可以提供精确、高效和稳定的数值计算。
以下是一些常用的数值分析方法在差分方程数值解中的应用：1. Euler法和改进的Euler法Euler法是一种基本的差分方程数值解法，通过使用线性逼近来近似求解。
然而，Euler法存在稳定性和精度的问题。
改进的Euler法通过使用更高阶的逼近技术来提高稳定性和精度。
2. Runge-Kutta法Runge-Kutta法是一种常用的差分方程数值解法，它通过使用多个插值点的加权平均来逼近差分方程的数值解。
Runge-Kutta法具有较高的精度和稳定性，被广泛应用于科学计算和工程实践中。
3. 有限差分法有限差分法是一种将微分方程转化为差分方程的方法，通过将函数的导数用差商表示来逼近微分方程的数值解。
有限差分法可以有效地处理复杂的偏微分方程，被广泛应用于计算流体力学和结构力学等领域。
4. 辛算法辛算法是一种保持哈密顿系统辛结构的差分方程数值解法。
解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式
解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式
解二阶抛物型偏微分方程是许多领域中非常重要的问题，例如热传导、扩散、化学反应等。
然而，在实际计算中，由于参数的存在，往往需要使用高精度的差分格式来保证数值计算的准确性。
以下是一种含参数的高精度两层差分格式，可以用于解决二阶抛物型偏微分方程：
1. 先验估计
为了使用高精度两层差分格式，我们首先需要进行先验估计，以确定合适的时间步长和空间步长。
具体来说，我们可以使用稳定性分析来确定时间步长和空间步长的上限值。
2. 差分格式
在确定了时间步长和空间步长之后，我们可以开始使用高精度两层差分格式来求解二阶抛物型偏微分方程。
该差分格式通常包括以下几个步骤：
（1）先用向前差分公式求解第一层，得到一个中间解。
（2）再采用Crank-Nicolson格式对第二层进行差分，同时使用前一步得到的中间解进行修正。
（3）最后，将得到的数值解反推回到未知函数的值域中，得到方程的
数值解。
需要注意的是，在使用这种高精度差分格式进行计算时，我们需要使
用高精度的算法来保证计算的准确性。
3. 参数调节
由于实际问题中经常存在参数不确定性的情况，因此，在进行数值计
算时，我们需要对参数进行调节和优化。
具体来说，我们可以通过多
次求解不同的二阶抛物型偏微分方程，来不断调节参数并逐步优化计
算结果。
以上是一个含参数的高精度两层差分格式，可以用于解决二阶抛物型
偏微分方程的计算问题。
该方法能够保证数值计算的高精度和准确性，同时也能够应对实际问题中的参数不确定性。
偏微分方程数值解法(抛物型方程差分法)2省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
j(H
sin 2
)
| j
|
1 jn
2(n 1)
| (ra2 ) |
(ra2 )
| n |
| 1 |
ra 2
极值点满足
ra2 1 2
1 4ra2 sin2 4ra2 sin2 n 1
2(n 1)
2(n 1)
(ra2 ) 1 2sin2
cos 1
2(n 1)
n1
显式差分格式稳定充分条件. h2 / 2a 2
4/17
无穷大范数定义 ||
uk
||
max
1 jn
|
ukj
|
双层差分格式
n
n
u (k ) k1 jm m
u (k ) k
jm m
f
k j
m1
m1
记矩阵
A(k )
(
) (k )
jm nn
B(k)
(
) (k )
jm nn
双层格式旳矩阵形式 A(k )uk1 B(k )uk f k
双层差分格式初值稳定概念:
2ra2 cos j )]1
j
n
1
]1
[1 4ra2 sin2 nj 1 ]1 1
2(n 1)
11/17
过渡矩阵旳谱半径
(
H
)
max
1 j N 1
|
j
(
H
)
|
1
max
1 jn
|
1
4ra
sin2 (
j
/
2(n
1))
|
1
1 4ra sin2( / 2(n 1)) 1
抛物型方程反问题的数值解
抛物型方程反问 数值解 题的
马 宗立 ， 素 芳 岳
（ 庆师范学院 数学与计算科学学院 ， 徽 安庆 ２６３） 安 安 ４ １３
摘
要 ：利 用再 生 核 空 间 的一 些 性 质 ， 过 联 立 附加条 件 ， 造 两 个 迭 代 序 列 ， 解 一 类 抛 物 型方 程 反 系 数 问题 ， 通 构 求 并
．
￡ １ 一
ｋ． ＝ １ １
的 标 准 正 交 基 ， ＝ ｏ， ｎ ＝ ＝Ｅ Ｔ］× ［ １ 其 内 积 和 范 数 定 义 如 下 ： Ｏ， ］，
其中 “ ∑ ， （ ＾（）Ｖ ∑ ｇ（ ＾（） 一 ｇ ￡ ，一 ） ｚ 。 ）
容易证 明 ｗ（。 ｎ） ２ （ 也是 一个 再 生核 空间 ， ． ） 且其 再生 核 为 ｋ （ ， ）一 ＲＩ （） ） 其 中 Ｒ； ￡ 和 Ｄ ｔｚ ￡Ｒ （ ， ２ ’ （）
＊
收 穑 日期 ：２ ０ —０ — １ ０８ ７ ２
作者 简 介 ： 马 宗立 ， ， 男 山东 临沂 人 ， 庆 师 范 学 院 数 学 与 计 算 科 学 学 院 教 师 ， 士学报 （ 自然 科 学 版 ）
２０ ０ ８正
Ｗ （） ｛ ） 一 ∑ ｇ（ ＾（） ∑ Ｊ Ｉ＜ 一） ￡ Ｉ ） ｚ 钆， ， 其中ｇ（ ， （） ） 分别是ｗ。 ， ］ ｏ１ ｚｈｚ ［ 丁 和ｗ ［ ， ｏ ］
。］ ［ 中 ２
作 者 证 明 了 Ｗ 。０ １ ［ ， ］是 一 个 再 生 核 空 间 ， 给 出 了 它 的 再 生 核 Ｒ （ ， 有 ： 并 ） 即 Ｖ“ ∈ Ｗ ３ Ｏ， ］和 任 意 给 ［ １
ｗ ｏ， ［ Ｔ］＝ “ ｚ）ｌ“， 是 绝 对 连 续 实 值 函 数 ，甜， ∈ Ｌ ［ ， ： （ ：｛ “ “， ｏ Ｔ］， Ｏ （ ）一 ０ ， 内 积 和 范 数 分 ｝其
解四阶抛物型方程的两层显式差分格式
解四阶抛物型方程的两层显式差分格式四阶抛物型方程是指具有四个导数项的抛物型偏微分方程，可以写成如下形式：u_t = a*u_xx + b*u_xxx + c*u_xxxx + f(x,t)其中，u表示未知函数，t表示时间，x表示空间，a、b、c为系数，f(x,t)为已知的源项函数。
为了数值求解这类方程，我们可以使用显式差分格式。
显式差分格式是指通过将方程中的导数项用差分运算进行离散化，将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程。
两层显式差分格式指使用两个时间层次的差分方程进行迭代求解。
下面我们将介绍两种常用的两层显式差分格式：双边五点差分格式和五点中心差分格式。
1.双边五点差分格式（BDF5）双边五点差分格式采用五点差分近似导数，其中时间层次的差分使用五阶向前差分，空间层次的差分使用五阶中心差分，可以得到如下差分方程：(u_i^(n+1)-u_i^n)/Δt=a*(u_{i-2}^n-4u_{i-1}^n+6u_i^n-4u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+b*(u_{i-2}^n-2u_{i-1}^n+2u_{i+1}^n-u_{i+2}^n)/(2Δx^2)+c*(u_{i-2}^n-u_{i-1}^n-u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+f_i^n其中，i表示空间格点的索引，n表示时间层次的索引，Δt和Δx 分别表示时间和空间的步长，u_i^n表示在第n个时间层次上的第i个空间点的解，f_i^n表示在第n个时间层次上的第i个空间点的源项。
2.五点中心差分格式（CD5）五点中心差分格式采用五点差分近似导数，其中时间层次的差分使用五阶前后向差分，空间层次的差分使用五阶中心差分，可以得到如下差分方程：(u_i^(n+1)-u_i^(n-1))/(2Δt)=a*(u_{i-2}^n-4u_{i-1}^n+6u_i^n-4u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+b*(u_{i-2}^n-2u_{i-1}^n+2u_{i+1}^n-u_{i+2}^n)/(2Δx^2)+c*(u_{i-2}^n-u_{i-1}^n-u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+f_i^n这两个差分方程可以通过逐步迭代求解，用现有的时间层次上的解来计算下一个时间层次上的解。
有限差分法求解抛物型方程说明
有限差分法求解抛物型方程偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例.§1 差分方法的基本思想有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组.有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式.泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式.首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+=图1 单变量函数离散化函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++++ （1）或23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+-+ （2）式(1)和(2)重新整理可得2()()()()()2!3!i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'=---（3）和2()()()()()2!3!i i i i i u x u x h u x u x u x h h h '''''--'=+++（4）于是给出在点i x 处函数u 的一阶导数的两个近似公式1()()()i i i ii u x h u x u u u x h h ++--'≈= （5）1()()()i i i i i u x u x h u u u x h h----'≈= （6）因为级数被截断，这两个近似公式肯定要产生误差，此误差与h 同阶，形式分别为()(), ,2()(), .2i i i i i i hE u O h x x h hE u O h x h x ξξξξ''=-=≤≤+''==-≤≤ 若把式(3)和(4)相加并求()i u x '，可得11()()()22i i i i i u x h u x h u u u x h h+-+---'≈= （7）其截断误差与2h 同阶，形式为22()(), ,6i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+若把式(3)和(4)相减并求()i u x ''，可得1122()2()()2()i i i i i i i u x h u x u x h u u u u x h h +-+-+--+''≈= （8）其截断误差与2h 同阶，其形式为22()(), ,12i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+我们可继续用这种方式来推导更复杂的公式，类似的公式还有很多，这里不再一一列举.公式（5）、（6）分别称为一阶向前、向后差分格式，这两种格式具有一阶计算精度，公式（7）、（8）分别称为一阶、二阶中心差分格式，这两种格式具有二阶计算精度.图2 二维区域网格剖分上面的结果可直接推广使用于导出二元函数(,)u x y 的许多有限差分近似公式.如图7.2，把求解区域进行网格剖分，使12(,)(,), ,=0,1,2,i j ij u x y u ih jh u i j ==其中x 方向的网格间距为1,h y 方向的网格间距为2,h 整数i 和j 分别表示函数(,)u x y 沿x 坐标和y 坐标的位置.二元函数(,)u x y 对x 求偏导时y 保持不变，对y 求偏导时x 保持不变，根据向前差分公式（7.5）可以给出在点(,)i j x y 处函数(,)u x y 的一阶偏导数的两个近似公式1,,1(,)i j i j i ju x y u u xh +∂-≈∂ （9）,1,2(,)i j i j i ju x y u u yh +∂-≈∂ （10）相类似地，根据二阶中心差分格式（8）可以得到函数(,)u x y 的二阶偏导数的近似公式21,,1,221(,)2i j i j i j i ju x y u u u x h +-∂-+≈∂ （11）2,1,,1222(,)2i j i j i j i j u x y u u u yh+-∂-+≈∂ （12）下面我们推导函数(,)u x y 的二阶混合偏导数2ux y∂∂∂在(,)i j x y 的有限差分表达式.根据一阶中心差分格式（7），112111,11,11,11,122121221,11,1(,)(,)(,)1()21 ()()222 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i u x y u x y u x y O h x y h y y u u u u O h O h h h h u u u +-+++--+--+++-∂∂∂⎡⎤⎡⎤∂=-+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦--⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦--≈1,11,1124j i j u h h -+--+二维有限差分近似可以直接推广到三维空间或三维空间加一维时间的情形.定义1 当步长趋于零时，差分方程的截断误差趋于零，则称差分格式与微分方程是相容的.定义2 当步长趋于零时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分格式是收敛的. 定义3 当差分方程的解由于舍入误差的影响，所产生的偏差可以得到控制时，则称差分格式是稳定的.§2 抛物型方程的有限的差分法为了说明如何使用有限差分法来求解偏微分方程，本节我们给出以下几个数值实例.算例1 考虑一维非齐次热传导方程的初边值问题：2212(,), 01,01,(,0)(), 01,(0,)(), (1,)(), 0 1.u ua f x t x t t x u x q x x u t g t u t g t t ⎧∂∂=+<<<≤⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==<≤⎪⎪⎩(7.13),其中2,a =函数11(,)[cos()2sin()],22xf x t e t t =--+-初始条件1()sin,2xq x e =左、右边界条件分别为11()sin(),2g t t =-21()sin()2g t e t =-.该定解问题的解析解为1(,)sin(),(,)[0,1][0,1].2xu x t e t x t =-∈⨯将求解区域{(,)|,0}x t a x b t T Ω=≤≤≤≤进行网格剖分，[,]a b 作m 等分，[0,]T 作n 等分，记,,b a Th m nτ-==则 ,0,,0i k x a ih i M t k k n τ=+≤≤=≤≤对该问题建立如下向前差分格式：11122, 11, 11,k kk k k k i i i i i i u u u u u a f i m k n hτ+-+--+=+≤≤-≤≤-（14） (,0)(),1,i i u x q x i m =≤≤ （15） 12(,)(), (,)(),1.k k k k u a t g t u b t g t k n ==≤≤ （16）令2r ah τ=，差分格式（7.14）整理得111(12), 11, 1 1.k k k k k i i i i i u ru r u ru f i m k n τ+-+=+-++≤≤-≤≤- （17）显然时间在1k t +上的每个逼近值可独立地由k t 层上的值求出。
抛物型方程的一种并行数值解法
抛物型方程的一种并行数值解法
黎光禹;眭洁
【期刊名称】《南开大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1989(000)003
【总页数】10页(P9-18)
【作者】黎光禹;眭洁
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.对抛物型偏微分方程一种新的数值解法的研究 [J], 吐克孜·艾肯;阿布都热西提·阿布都外力
2.抛物型方程的一种新型的时空并行算法 [J], 曹俊英;王自强;张大凯
3.并行求解抛物型偏微分方程的一种新ASE-I格式 [J], 王栋;冯蕾;;
4.Lyapunov矩阵方程的一种数值解法及部分并行处理 [J], 桂冰
5.抛物型方程运动边界问题的一种数值解法 [J], 陆美丽;宋志学;于淑芬
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xlabel('t'); ylabel('p'); title('固定 x figure plot(t,e) xlabel('t'); ylabel('e'); title('固定 x 改变 t u与t 的关系 误差图形')差曲面'); 改变 t u与t 的关系 精确解图形')
精确解：u e
2t
cos x 1 cos t .
利用向前差分法求解 利用 MATLAB 进行求解，编辑函数文件 hql_xiangqianchafen.m。源程序见附录。 编辑调用函数 hql_xiangqianchafen( h,m,n,kmax,ep )的脚本文件，并作出相 应的求解曲面、精确解曲面和误差曲面图形。hql_paowufangcheng.m 源程序见附录。
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运行上述 hql_paowufangcheng.m 文件： （1）当空间步长为 0.1，时间步长为 0.005 时，结果如下：
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求解曲面：
精确解曲面：
误差曲面：
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通过相应曲面的对比，可以发现，此时精解与数值解图形逼近效果明显趋同。 下面分别固定空间 x 和时间 t，观察数值解与精确解的逼近程度。 A. 时间固定，空间 x 与 u 的关系： 数值解：
n n u1n 2u0 u n n 1 sin t , u u , n 1 1 h2 n 1 n n n n uJ uJ uJ n n 1 2u J u J 1 sin tn , u J 1 u J 1 . 2 h
u x j ,0 cos x j , j 0,1, , J .
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精确解曲面：
误差曲面：
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通过相应曲面的对比，可以发现，此时精确解与数值解图形逼近效果明显趋同。 下面分别固定空间 x 和时间 t，观察数值解与精确解的逼近程度。 B. 时间固定，空间 x 与 u 的关系： 数值解：
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精确解：
误差：
数学与计算科学学院 实 验 报 告
实验项目名称 所属课程名称 实 验 类 型 实 验 日 期 抛物型微分方程数值解 微分方程数值解 验证性 2015-4-23
班 学 姓 成
级 号 名 绩
信计 12-2 班 201253100212 黄全林
一、实验概述： 【实验目的】
掌握抛物型方程的有限差分法，并学会应用有限差分法求解抛物型方程数值解 的 MATLAB 实现。本文利用向前差分法求解抛物型方程的数值解。
hql_paowufangcheng.m 文件：
clc clear [p u e x t]=pwxywxq(0.1,0.005,10,200); figure
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shading interp; surf(x,t,u); xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('u'); title('一维抛物线方程 向前欧拉法 数值解'); figure surf(x,t,p); xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('p'); title('精确解曲面'); figure surf(x,t,e); xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('e'); title('误差曲面'); figure plot(x,u) xlabel('x'); ylabel('u'); title('固定时间 figure plot(x,p) xlabel('x'); ylabel('p'); title('固定时间 figure plot(x,e) xlabel('x'); ylabel('u'); title('固定时间 figure plot(t,u) xlabel('t'); ylabel('u'); title('固定 x figure plot(t,p) 改变 t u与t 的关系 数值解图形') 改变 x u与x 的关系 误差图形') 改变 x u与x 的关系 精确解') 改变 x u与x 的关系 数值解')
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强 2.实验方案设计合理 3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻） 4 实验结论正确.
成
绩： 指导教师签名： 批阅日期：
附录：源 程 序
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函数文件： 文件名：hql_xiangqianchafen.m
function [p u e x t]=hql_xiangqianchafen(h1,h2,m,n) （Ut-aUxx=f(x,t),a>0) % 解抛物线型一维方程 向前欧拉格式
数值解与精确解在 x 方向上的走势趋同。
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B. 空间 x 固定，观察时间 t 与 u 的走势，结果如下： 数值解：
精确解：
第 11 页 共 17 页
误差：
可以看出在时间方向基本趋同。
第 12 页 共 17 页
【实验小结】（收获体会） 通过此次上机亲自体验，使我对于数值计算有了更加深刻的认识。同时，我也感 觉自己的编程能力还有待提高，这对于数值计算是至关重要。这直接影响到了程序 的效率以及程序的运行时间以及计算精度。在以后的学习中，更应该加强这方面的 锻炼。 三、指导教师评语及成绩： 评语等级 评 语 优 良 中 及 格 不及格
精确解：
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误差：
数值解与精确解在 x 方向上的走势趋同。 B. 空间 x 固定，观察时间 t 与 u 的走势，结果如下：
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数值解：
精确解：
误差：
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可以看出在时间方向基本趋同。 （2）缩小步长，观察对输出的影响，取空间步长为 0.1，时间步长为 0.001，输 出结果为： 求解曲面：
【实验原理】 抛物型方程的先前差分法求解： 方程离散：
1 un un j j
边值条件：
n n un j 1 2u j u j 1
h2
sin t n , j 1, , J 1, n 1, , N
j 0，
n 1 n u0 u0
j J,
初值条件：
【实验环境】 1.硬件环境
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2.2.软件环境
MATLAB7.0 二、实验内容： 【实验过程】（实验步骤） 实验任务 求解一维抛物方程的初边值问题：
u 2u sin t , 0 x 1, t 0, x x 2 u x 0, t u x 1, t 0, t 0, u x, 0 cos x, 0 x 1.
%不用解线性方程组，由下一层(时间层）的值就直接得到上一层的值 %m,n 为 x,t 方向的网格数，例如（2-0）/0.01=200; %e 为误差，p 为精确解 u=zeros(n+1,m+1); x=0+(0:m)*h1; t=0+(0:n)*h2; for(i=1:n+1) u(i,1)=0; u(i,m+1)=0; end for(i=1:m+1) u(1,i)=cos(pi*x(i)); end for(i=1:n+1) for(j=1:m+1) f(i,j)=0; end end r=h2/(h1*h1); 定 for(i=1:n) for(j=2:m) u(i+1,j)=(1-2*r)*u(i,j)+r*(u(i,j-1)+u(i,j+1))+h2*f(i,j); end end for(i=1:n+1) for(j=1:m+1) p(i,j)=exp(-pi*pi*t(i))*cos(pi*x(j))+(1-cos(t(i))); e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j)); end end %此处 r=a*h2/(h1*h1）；a=1 要求 r<=1/2 差分格式才稳