2105 常用的连续型随机变量的数学期望.
常用的连续型随机变量
常用的连续型随机变量(1) 均匀分布U a b (,)(Uniform distribution)a. 定义称X 在区间(,)a b 上服从均匀分布，X 的概率密度为 ϕ(),,x b a a x b =-<<⎧⎨⎪⎩⎪10其它记为X U a b ~(,)。
.2:ba EX +=数学期望方差：12)(2a b DX -=b.意义a b F x ()0x1X 具有下述意义的等可能性，即X 落在(,)a b 中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。
换句话说，它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。
即∀+⊂(,)(,),c c l a bab ldx a b dxx l c X c P l c cl c c-=-==+<≤⎰⎰++1)(}{ϕF x x a x ab a a x b x b(),,,=≤--<≤>⎧⎨⎪⎩⎪010xϕ()x 1b a-a b例1 某公共汽车站从上午7时起每15min 来一班车，即7：00，7：15，7：30等时刻有汽车到达车站。
如果某乘客到达此站的时间是7：00—7：30之间的均匀随机变量。
试求他等候（1）不到5min ，（2）超过10min 的概率。
ξξ⎰⎰=+=<<+<<302515103130130130251510dx dx P P )()(ξξ解设乘客于7时分到达此站，由于是区间（0，30）上的均匀随机变量，故为使等候时间不到5min ，必须且只需在7：10—7：15之间或7：25—7：30之间到达此站，因此（1）所求的概率为：类似的，当且仅当在7：00—7：05之间或7：15—7：20之间到达此站时，需要等候10min 以上，故（2）所求概率为：31201550=<<+<<)()(ξξP P210t X t 例2、设随机变量X 服从[1，6]上的均匀分布，求一元二次方程有实根的概率。
随机变量期望值公式
随机变量期望值公式
期望：在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望是试验中每次某个可能结果的概率乘以这个结果数值的总和。
如果假设每次试验出现结果的概率相等，期望就是随机试验在同样的机会下重复多次的结果相加，计算出的等概率“期望”的平均值。
需要注意的是，期望值也许与每一个结果都不相等，因为期望值是该变量输出值的平均数，期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
离散型随机变量期望的公式化表示为如下，假设随机变量为XX，取值x i(i=1,2,...,n)x i(i=1,2,...,n)，对应发生概率p i(i=1,2,...,n)p i(i=1,2,...,n)，E(X)E(X)为随机变量的期望：E(X)=∑n i=1p i x i E(X)=∑i=1np i x i。
当p i(i=1,2,...,n)p i(i=1,2,...,n)相等时，也即p i=1np i=1n时，E(X)E(X)可以简化为：E(X)=1n∑n i=1x i E(X)=1n∑i=1nx i
连续型随机变量的期望，可以使用求随机变量取值与对应概率乘积的积分求得，设XX为连续性随机变量，f(x)f(x)为对应的概率密度函数，则期望E(X)E(X)为：E(X)=∫xf(x)dxE(X)=∫xf(x)dx。
1。
连续性数学期望的公式
连续性数学期望的公式
连续性数学期望是概率论中用来衡量随机变量平均值的重要概念。
许多概率论问题都将连续性数学期望作为其中的重要研究中心，用来深入分析并探索一般变量的相关特性。
连续性数学期望的公式为：E[X] = ∫(-∞，∞)*f(x)dx，其中E[X]是对随机变量X的数学期望，f(x) 是随机变量 X 的概率分布函数，(-∞，∞)表示随机变量 X 可能取值范围。
这个公式能够衡量一个随机变量的平均值，以及这个随机变量在特定范围内的概率分布情况。
通过这个公式，可以在实际的概率论问题中获得更加准确的问题解决方案。
例如，通过知道随机变量 X 的概率分布函数 f (x)，就可以得到它的数学期望值，从而可以更精确的判断该随机变量的概率特性。
连续性数学期望是概率论中一个重要的概念，它能够很好的帮助我们研究概率论问题，得出更正确的解决方案。
此外，通过连续性数学期望计算机可以实现自动化仿真，从而研究不同变量不同概率特性之间的相关性，从而得到更为全面的问题解决方案。
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量概述:在概率论和数理统计中，期望和方差是两个重要的统计量。
它们用于描述随机变量的集中程度和离散程度。
本文将介绍期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望和方差公式:离散型随机变量是指在有限或可数的样本空间内取值的随机变量。
对于一个离散型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:期望是用来衡量随机变量取值的中心位置，常表示为E(X)。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中，x表示随机变量X取到的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率。
2. 方差公式:方差是用来衡量随机变量取值的离散程度，常表示为Var(X)或σ²。
方差的计算公式为：Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]其中，x表示随机变量X的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率，E(X)表示X的期望。
二、连续型随机变量的期望和方差公式:连续型随机变量是指取值在某一连续区间内的随机变量。
对于一个连续型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:连续型随机变量的期望的计算公式为：E(X) = ∫[x * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
2. 方差公式:连续型随机变量的方差的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，E(X)表示X的期望。
总结:本文介绍了期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∑[x * P(X = x)]，方差的计算公式为Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∫[x * f(x)] dx，方差的计算公式为Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx。
第4.1节数学期望
【泊松分布】
设 ξ ~ P (λ ), 且分布律为
λ k −λ P{ξ = k } = e , k = 0,1, 2,L , λ > 0. k!
则有
λ −λ E (ξ ) = ∑ k ⋅ e k! k =0
∞ k
k −1 λ = e −λ ∑ ⋅λ k =1 ( k − 1)! ∞
= λe − λ ⋅ e λ = λ .
ξ
p
10000 1 105
5000 2 105
1000 100 10 0 10 105 100 1051000 105 p0
每张彩票平均能得到奖金
1 2 E (ξ ) = 10000 × 5 + 5000 × 5 + L + 0 × p0 10 10
= 0.5(元 ), 每张彩票平均可赚 2 − 0.5 − 0.3 = 1.2(元 ), 因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为 100000 × 1.2 = 120000(元 ).
已知随机变量 ξ 的分布列为
ξ
p
则有
1 p
0 1− p
E (ξ ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ q = p ,
【二项分布 】
设随机变量 ξ 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 n k P {ξ = k } = p (1 − p )n − k ,( k = 0,1, 2,L , n), k 则有 0 < p < 1.
设以 k 个人为一组时 , 组内每人化验的次数为 ξ, 则 ξ 为一随机变量 , 且其分布列为
ξ
pk
1 k q
k
k +1 k 1− q
kபைடு நூலகம்
随机变量的数学期望和方差
随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。
对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。
通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。
以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。
则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。
通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。
则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
13个期望计算公式
13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。
1. 离散型随机变量的期望计算公式。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。
其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望计算公式。
对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，f(x)表示X的概率密度函数。
3. 二项分布的期望计算公式。
对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
4. 泊松分布的期望计算公式。
对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。
其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
5. 几何分布的期望计算公式。
对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。
其中，p表示每次试验成功的概率。
6. 均匀分布的期望计算公式。
对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。
其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。
7. 指数分布的期望计算公式。
对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。
其中，λ表示事件发生的速率。
8. 正态分布的期望计算公式。
对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。
其中，μ表示分布的均值。
9. 超几何分布的期望计算公式。
对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。
其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。
随机变量的数学期望
P{ X = xiY = y j } = pij ,i , j = 1,2,
则 E( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑ ∑ g ( x i , y j ) pij .
j i
型随机变量, (2) 若(X,Y)是连续型随机变量,联合概率密度为 , ) 连续型随机变量 f(x,y),则 ( , )
1 k 1 1 k k E 因此, 因此, ( X ) = q + (1 + ) (1 q ) = 1 q + , k k k
N个人需化验的次数的数学期望为 个人需化验的次数的数学期望为 例如, 例如,
0.9910 0.1 = 0.804 , 1 k 就能减少验血次数. 当 q > 时, 就能减少验血次数.
E( X) = ∫ xf ( x)dx
∞
+∞
13
例5
设随机变量X的概率密度函数为 设随机变量 的概率密度函数为
3 x 2 , 0 < x < 1 f ( x) = 其它 0 , 的数学期望. 求X的数学期望. 的数学期望
解
E( X ) = ∫
+∞ ∞
1 0
xf ( x ) dx
2
=∫
3 x 3 x dx = . 4
+∞
+∞
=∫
+∞ 0
x e dx = 2 .
2
18
x
设随机变量( , ) 例8 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
1 3 3 2 , < y < x, x > 1 y f ( x, y) = 2 x y x 0, else 1 ). 求 E(Y ), E( XY
解 E(Y ) =
连续型随机变量的数学期望与方差
(1)D( )
E[
E( )]2
[x
E( )]2
p( x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
x2 p(x)dx
x p( x)dx
例2 随机变量的概率密度函数
6x(1 x)，当0 x 1
p(x)
0
当x 0或x 1时
求随机变量的方差。
12
4、方差的性质 设 k ,b,c均为常数，则有
E( ) xp(x)dx
15
2、数学期望的性质
(1)EaX b aEX b
(2)EaX aEX
(3)EX b EX b
(4)Eb b
(5)EX Y EX EY
(6)E( f ( )) f (x)p(x)dx
(6)E f ( ) f (xk )PK
k
16
（二）连续型随机变量ξ取值的方差
(1)D(c) 0
(2)D(k ) k 2D( ) (3)D( b) D( )
(4)D(k b) k 2D( )
13
下页
三、练习
• 课本第90页 第6题
14
四、小结 （一）连续型随机变量ξ取值的数学期望
1、连续型随机变量的数学期望的定义 p(x) 设连续型随机变量 的密度函数为
若积分 xp(x绝)d对x 收敛，则 的数学期望为：
x0 x1 x2 L xn
xi xi1 xi
b i
【xi
,
xi
）
+1
y p(x)
o
x0b0 x1 xi bi xi1
xn x
6
连续型随机变量ξ的概率分布
ξ 【x0 , x1）【x1, x2）
8.3常用随机变量的数学期望
观测其颜色后放回, 如此这般共进行四次观测, 记 X 为观
测到的红球次数, 试求期望 E X .
解：
易知
X
~B
4,
7 12
,
故由二项分布期望知
E X np 4 7 7 .
12 3
例2 设随机变量 X 服从区间 0, a 上的均匀分布, 且有
P X 1 1 , 试求期望值 E X .
3
解 ：由题意知 1 P X 1 a 1 dx a 1
3
1a
a
解得 a 3 2
故 EX a 3.
24
例3 设随机变量 X 的分布函数为
F
x
0.3
x
0.7
x
2
1
其中 x 为标准正态分布的分布函数, 试求期望 E X .
解 ：设f x 为随机变量的密度函数, 则
f
x
F
x
a
a
a
In
xnexdx 1
0
xnd
0
e x
1
x n
e x
0
n
x e n1 axdx
0
n
I n 1
n n 1
1
I0
n!
n
0
e xdx
n!
n1
⑵常用连续型随机变量的数学期望
2.指数分布 E :
EX 1
E( X ) x exdx 0
x1 exdx 0
1,2
随机变量 函数的
数学期望
谢谢
1.均匀分布 R a,b : E X a b
f
(
x)
b
1
a
,
x (a,b)
概率论与数理统计4.2连续型随机变量的数学期望
例11 设(X,Y )服从以点 (0, 0), (0, 2), (1, 0)为顶点的三角形区域 A上
的均匀分布,试求函数 Z XY的数学期望.
解 三角形区域 A 如图3-1, 易知 A 的面积为1，故
1 (x, y) D f (x, y) 0 其它
y 2
A O
x y 1 2
1 x
河北农业大学理学院
EX=
xf X (x)dx
而
同理
河北农业大学理学院
二维连续型随机变量数学期望的例题分析
例 1 已知 X,Y的联合密度函数
求，EX,EY 解：
同理
y
y=x
0
1
x
河北农业大学理学院
概率论与数理统计
连续型随机变量函数的数学期望
二维连续型随机变量函数的数学期望
E(g(X )) g(x) f (x)dx
b
a
x [a,b]
0
其它
所以
EX=
xf (x)dx
b a
x
b
1abd1xa21
a
x
2bb 2a
河北农业大学理学院
一维连续型随机变量数学期望的例题分析
例1 设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求EX.
解
X的概率密度函数为
ex
f (x)
0
x0 x0
所以,
EX=
xf (x)dx
xexdx xd (ex )
连续型随机变量函数的数学期望例题分析
于是
E(Z) E(XY )
xy f (x, y)dxdy
y 21Biblioteka 2 (1 x )xydxdy 0 dx 0 xydy A
全期望公式
全期望公式
下面是全期望公式的详细解释：
设X和Y是两个随机变量，它们之间存在其中一种依赖关系。
全期望
公式告诉我们可以通过给定其中一随机变量的条件下，求解另一随机变量
的期望值。
按照全期望公式的表达方式，我们可以将其分为两个公式，第
一个是离散型随机变量的全期望公式，第二个是连续型随机变量的全期望
公式。
离散型随机变量的全期望公式为：
E(X)=ΣxP(X=x)E(Y，X=x)
其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Σx表示对所有可能的取值进
行求和，P(X=x)表示X取值为x的概率，E(Y，X=x)表示给定X=x的条件下，随机变量Y的期望值。
连续型随机变量的全期望公式为：
E(X) = ∫xf(x)E(Y，X = x)dx
其中，E(X)表示随机变量X的期望值，∫xf(x)dx表示对所有可能的
取值进行积分，f(x)表示X的概率密度函数，E(Y，X = x)表示给定X =
x的条件下，随机变量Y的期望值。
全期望公式的本质是利用条件概率的概念求解期望值。
它是由条件概
率公式和期望的定义推导而来的。
根据条件概率公式，我们可以知道E(Y，X=x)表示给定X=x的条件下，随机变量Y的期望值。
然后，我们对所有可
能的取值进行求和或积分，得到整体的期望值。
总结起来，全期望公式是概率论中的一种重要工具，用于计算随机变
量的期望值。
通过给定其中一随机变量的条件下，求解另一随机变量的期
望值。
它有离散型和连续型两种形式，可以广泛应用于统计学和概率论中。
概率论与数理统计：连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望下面我们考虑连续型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散型场合，用密度函数代替分布列，积分代替和式，就可以把离散型场合推广到连续场合.【引例】（正态分布）设随机变量2~(,)X N μσ,X 的数学期望如何求呢？ 连续型随机变量的数学期望定义4.2 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ．若积分()d x f x x +∞-∞⎰收敛,则称积分()d xf x x +∞-∞⎰为随机变量X 的数学期望，简称期望或均值,记为()E X ,即()()d E X xf x x+∞-∞=⎰．若积分()d x f x x +∞-∞⎰不收敛,则称随机变量X的数学期望不存在．注 （1）数学期望)(X E 是一个实数，它由分布唯一确定；（2）数学期望)(X E 的数学解释就是X 加权平均，权就是密度函数，若X 表示价格，则)(X E 表示平均价格，从分布观点看数学期望，则数学期望是分布的重心位置；（3）定义中要求积分dx x xf ⎰+∞∞-)(绝对收敛，其原因同离散型情形一样.例4.4 设随机变量X 服从柯西分布,其概率密度为21()()π(1)f x x x =-∞<<+∞+, 试证：X 的数学期望不存在． 证明 因为2201()d d 2d π(1)π(1)xx f x x x x x x x +∞+∞+∞-∞-∞=⋅=++⎰⎰⎰ 201ln(1)πx +∞=+=+∞，即()d x f x x +∞-∞⎰不收敛,所以()E X 不存在.例4.5（均匀分布）设随机变量X 在区间(,)a b 上服从均匀分布,求()E X .解 随机变量X 的概率密度为1,,()0,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他,则1()()d d 2baa bE X xf x x x x b a +∞-∞+==⋅=-⎰⎰ 例4.6（指数分布）设随机变量X 服从参数为θ指数分布,其概率密度为11e 0()00x x f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，， 0θ>,求()E X .解 11101()()d ed eed exxxxE X xf x x x x x x θθθθθθθ----+∞+∞+∞-∞+∞+∞===-+=-=⎰⎰⎰例4.7（正态分布）设随机变量2~(,)X N μσ,求()E X . 解X 的概率密度为22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞,因而22()2()()d d x E X xf x x x x μσ--+∞+∞-∞-∞==⎰⎰，令x t μσ-=,则2222()d d t t E X t t μσμ+∞+∞---∞-∞=+=⎰⎰ *柯西分布 2111)(x x f +⋅=π，由于+∞=∞++=+=+=⎰⎰⎰∞+∞+∞-∞+∞-0)1ln(1)1(2)1(1)(2022x dx x xdx x xdx x f x πππ故柯西分布的数学期望不存在，可见并不是所有的连续型随机变量的数学期望都是存在的.小结上面的结果，有下面公式例4.8 设某种电子元件的寿命X （以年计）具有概率密度函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<-≤≤=其它,043,2230,6)(x x x xx f求这种元件的平均寿命。
常见的连续型随机变量
第五节 常见的连续型随机变量
7
例 1（续）
所以，
PB P10 X 15 P25 X 30
P40 X 45 P55 X 60
15
1 dx 30
1
45
dx
1
60
dx
1
dx
10 60
25 60
40 60
55 60
1 3
．
第五节 常见的连续型随机变量
8
例2
设随机变量 服从区间 3, 6上的均匀分布，求方程
上的均匀分布．
第五节 常见的连续型随机变量
6
例 1（续）
其密度函数为
f
x
1 60
0
0 x 60
其它 ．
令 B 被带往甲地 ．
开往甲地汽车的到达时间：
7:00， 7:15， 7:30， 7:45， 8:00； 开往乙地汽车的到达时间：
7:10， 7:25， 7:40， 7:55， 8:10．
k!
k 0, 1, , n, ．
设随机变量T 的分布函数为 FT t ．
则当 t 0 时， FT t 0 ；
第五节 常见的连续型随机变量
18
例 4（续）
当 t 0时， FT t PT t 1 PT t
1 P在长度为 t 的时间间隔内随机事件 A 没发生
1 PX 0 1 et ．
4x2 4 x 2 0
有实根的概率．
解：
由于随机变量 服从区间 3, 6上的均匀分布，所以
的密度函数为
f
x
1 9
0
3 x6
其它 ．
第五节 常见的连续型随机变量
9
例 2（续）
期望值和方差的公式
期望值和方差的公式一、期望值概念：期望值是随机变量取值与其概率的加权平均，用来表示随机变量的平均取值。
1.离散型随机变量的期望值：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的期望值E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn2.连续型随机变量的期望值：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx性质：1.期望值的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)2.期望值的保序性：如果随机变量X的取值总是大于等于随机变量Y的取值，则有：E(X)≥E(Y)二、方差概念：方差是用来度量随机变量与其期望值之间的偏离程度或波动程度。
1.离散型随机变量的方差：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 -E(X))^2*p2 + ... + (xn - E(X))^2*pn2.连续型随机变量的方差：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx性质：1.方差的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)2.方差的非负性：对于任意的随机变量X，有：Var(X) ≥ 03.方差的可加性：对于独立随机变量X和Y，有：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)三、期望值和方差的计算公式1.对离散型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn（2）方差：Var(X) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 - E(X))^2*p2 + ... + (xn -E(X))^2*pn2.对连续型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = ∫xf(x)dx（2）方差：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx总结：期望值和方差是概率论中重要的概念，用于描述随机变量的分布特征。
随机变量的数字特征——期望,方差以及协方差
例12: 设X ~ B(n , p), Y = eaX,求E（Y）。
解：
EY EeaX n eak P( X k)
k0
n
e
akC
k n
pk (1
p)nk
k0
n
C
k n
(e
a
p)k (1
p)nk
k0
(ea p (1 p))n
例13: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E（Y）。
g( xk )pk
k
绝对收敛，则Y 的数学期望存在，且
E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk
k
（2） 设X 为连续型随机变量, 其概率密度为 f (x)，且 Y= g(X)也是连续型随机变量。若
g( x) f ( x)dx
绝对收敛，则Y 的数学期望存在，且
E(Y ) E[g(X )] g(x) f (x)dx
2、几种常见离散型分布的数学期望
1） 两点分布 例3：设随机变量X服从参数为p 的两点分布，求EX
解： EX=0×(1-p)+1×p=p
2） 二项分布 例4：设随机变量X~B(n,p)，求EX 解： 易知 X 的概率分布为：
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, , n
k!
E( X ) kP( X k)
k k e
k0
k0 k!
e
k 1
k0 (k 1)!
ee
例5 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能 打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一 把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门 时试开次数的数学期望.
解:设试开次数为X,
数学期望公式
数学期望公式数学期望是概率论中一个重要的概念，它用于描述随机变量的平均数。
数学期望的计算方法有很多种，其中最常见的是离散型随机变量的数学期望公式和连续型随机变量的数学期望公式。
本文将详细介绍这两个公式，并简要介绍一些常见的应用。
首先，我们来介绍离散型随机变量的数学期望公式。
离散型随机变量的取值是有限个或可数个，用概率分布函数来描述。
设随机变量X 的取值为x1、x2、...、xn，对应的概率分布函数是P(X=x1)、P(X=x2)、...、P(X=xn)。
则X的数学期望可以通过以下公式计算：E(X)=x1*P(X=x1)+x2*P(X=x2)+...+xn*P(X=xn)其中，E(X)表示随机变量X的数学期望。
接下来，我们来介绍连续型随机变量的数学期望公式。
连续型随机变量的取值是一个区间上的任意实数，在概率密度函数中描述。
设随机变量X的概率密度函数是f(x)，则X的数学期望可以通过以下公式计算：E(X)=∫xf(x)dx其中，∫表示对x的积分。
数学期望公式的意义在于可以帮助我们计算随机变量的平均值，从而更好地理解和解释概率分布的特征。
数学期望是概率论中的一个核心概念，被广泛应用于统计分析、经济学、工程学等领域。
在统计分析中，数学期望可以用来描述一组数据的平均水平。
比如，我们可以计算一个班级学生的平均成绩，从而了解整个班级的学习情况。
在经济学中，数学期望可以用来衡量风险和收益，从而帮助决策者制定合理的投资策略。
在工程学中，数学期望可以用来评估系统的性能和可靠性，从而指导工程设计和优化。
除了离散型和连续型随机变量的数学期望公式，还有一些常见的概率分布的数学期望公式，如正态分布、泊松分布、指数分布等。
这些分布函数都有特定的形式，可以使用数学期望公式来计算其数学期望。
值得注意的是，数学期望并不是随机变量取值的真实平均值，而是其期望值。
这是因为随机变量的取值是根据概率分布进行随机生成的，不同的取值有不同的概率。
连续型随机变量数学期望的求法探究-精选教育文档
连续型随机变量数学期望的求法探究-精选教育文档连续型随机变量数学期望的求法探究如何快速有效地计算随机变量的数学期望是学习概率统计课程和随机过程理论必须掌握的一个知识点，但在一般的概率统计和随机过程教材（如[1，2]）中，计算数学期望主要采用的是定义和性质等常规方法。
基于此，文[3]针对离散型随机变量期望计算，给出了对称法、公式法、分解法、递推法和母函数等求法及其技巧。
在这些工作的基础上，本文针对连续型随机变量期望计算，通过实例介绍了Laplace-Stieltjes变换法、重期望公式法、利用相同概率性质的随机变量分解法和计算高维Markov 过程平均吸收时间的方法。
一、Laplace-Stieltjes变换法例1 设一非负随机变量X的分布函数为F（t）=■■■G■（t-u）d （1-e■），t>00，t≤0，其中n为确定正整数，λ■，j=1，2，…，n 均为已知正数，a=λ1+…+λn，G■（t）为非负随机变量的分布函数，且00和有限均值α。
到达和服务独立。
证明对服务台忙期b的数学期望E（b），当λα小于1时，E （b）=α（1-λα）-1，当λα大于或等于1时，E（b）=∞。
证明：设η表示忙期b中首个顾客的服务时间γ内到达的顾客数，则E（η）=λα。
称服务时间γ内到达的η个顾客ξ1，…，ξη为“特殊顾客”，其后到达的顾客为“普通顾客”。
因顾客类型和服务顺序不影响忙期b的长度，为研究需要，重新定义服务顺序为：服务完忙期首个顾客后，立即服务ξ1和除ξ2，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X1），接着开始服务ξ2和除ξ3，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X2），如此下去，直到最后开始服务ξη及其后所有新到的“普通顾客”（这段时间记为Xη），于是得到分解式b=γ+X1+…+Xη。
由于b，X1，…，Xη都表示从一个顾客开始服务直到服务结束的一段时间，故它们具有相同的概率性质，分布相同，且X1，…，Xη独立于γ和η。
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的分布密度为
p(x)
b
1
a
,
axb
0, x a, x b
E
xp( x)dx
a
b
xp(x)dx
a
xp ( x)dx
b
xp( x)dx
b
xp( x)dx
a
b
x
1 dx
1
a ba
ba
b
xdx
a
1 1 x2 b a b
ba 2 a
2
01 均匀分布
若 R.V .
R[a, b],
则 E a b
2
02 指数分布
设随机变量
的分布密度为
p(x)
ex ,
x0 ,
0, x 0
E
xp(x)dx
0
xp(x)dx xp(x)dx
0
xp(x)dx
xexdx
0
0
xexdx 0
1
02指数分布
若 R.V .
e( ),
则 E 1
03 正态分布
设随机变量 的分布密度为
p(x)
1
( x )2
e , 2 2
2π
E
xp(x)dx
x
1
( x )2
e 2 2 dx
2π
03 正态分布
03 正态分布
若R.V .
N (, 2 ),
则 E
常用的连续型随机变量的数学期望
分布名称
简略记法
分布密度
数学期望
均匀分布 指数分布 正态分布
R[a, b]
p(x)
b
高等数学在线开放课程
常用的连续型 随机变量的数学期望
目录
01 均匀分布 02 指数分布 03 正态分布
连续型随机变量的数学期望
设连续型随
xp( x)dx
绝对收敛，则称
xp( x)dx
为随机变量
的数学期望。
即：
E
xp( x)dx
01 均匀分布
设随机变量
1
a
,
axb
ab
0, x a, x b
2
e( )
ex , x 0
p(x)
0, x 0
1
N(, )2
p(x)
1
( x )2
e 2 2
2π
谢谢