2019年开封市高考数学一模试卷及答案

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河南省开封市2019届高三一模考试(数学文)

河南省开封市2019—2019学年度高三第一次模拟考试数学试题（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。

2．选择题答案用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．若222{|},{2},P P y y x Q x y ===+=则Q= （）A ．[0B ．{1111}（,）,(-,)C ．D ．[2．已知i 为虚数单位，复数121iz i+=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知等比数列{}n a 的前三项依次为2,2,8,n a a a -++则a = （）A ．38()2nB ．28()3nC ．138()2n -D ．128()3n -4．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都平行于γ；②存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l//α，l //β，m//α，m//β； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．已知命题：1:1,1,p x q p x≤<→命题q:则是成立（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．给出30个数2，3，5，8，12，17，…，要计算这30个数的和，该问题的程序框图如图：则框图中判断框①和执行框 ②应是（） A ．30;1i p p i ≤=+- B ．31;1i p p i ≤=++ C ．30;i p p i ≤=+D ． 31;i p p i ≤=+7．函数2()sin cos f x x x x =+的图象的一个对称中心是（）A ．2(,32π-B ．(,62π5-C ．2(3π-D ．(,3π8．连续掷两次骰子分别得到的点数为m ，n ，则点P （m ，n ）在直线5x y +=左下方的概率为（）A ．16B ．14 C ．112 D ．19 9．已知a 是函数12()2log xf x x =-的零点，若000,x a <<则f(x )的值满足（）A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．0()f x 的符号不能确定10．某校为了解高三学生在寒假期间的学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在 6到8小时内的人数为（） A ．50 B ．45C ．40D ．3011．过双曲线222:1(0)y M x b b-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且AB BC =，则双曲线的离心率是（）ABC．2D．312．如图，动点P 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面交于M 、N ，设BP=x ，MN=y ，则函数()y f x =的图象大致是（）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填写在答题卷指定位置）13．若曲线4y x =的一条切线与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为。

2019届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题(word版)

开封市2019届高三第一次模拟考试数学（文科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D6.已知函数若，则的值是A. 1B. 2C. -2或2D. 1或2【答案】D7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C10.在中，，，为的重心，则的值为A. 1B.C.D. 2【答案】A11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，则在方向上的投影为__________．【答案】-314.某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是__________．【答案】4015.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若，的周长为6，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知的边转化为角的形式，然后利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得的大小.（2）根据周长列出一个方程，利用余弦定理列出第二方程，解方程组求得的值，并求得三角形的面积.【详解】（1）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（2）∵，的周长，∴，由余弦定理得，∴，，∴的面积.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的周长公式和面积公式，还考查了三角形的内角和定理，以及两角和的正弦公式.正弦定理在本题中的作用是将边转化为角的形式，已知条件全部转化为角的形式后，再利用三角函数恒等变换的知识来化简求值.18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程.（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学生先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.参考数据：参考公式：，其中【答案】（1）列联表见解析有关系（2）【解析】【分析】（1）根据优等生的人数、学习大学先修课程的人数，结合等高条形图计算数值，填写好表格，计算出的值，比较题目所给参考数据，得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系”这个结论.（2）利用列举法，求得基本事件的众数为种，其中“没有学生参加大学先修课程学习”的情况有种，利用对立事件的概率计算方法，求得至少有名参加了大学先修课程学习的概率.【详解】（1）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（2）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程的学习的2名学生为，，记没有参加大学先修课程学习的3名学生为，，.则所有的抽样情况如下：共10种，，，，，，，，，，，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有1种，为.记事件为至少有1名学生参加了大学先修课程的学习，则.【点睛】本小题主要考查等高条形图的识别，考查列联表及独立性检验，考查古典概型等知识，属于中档题.20.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.设函数（其中）．（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数．【答案】(1)答案见解析；(2)函数在定义域上有且只有一个零点．【解析】试题分析：（1）由题意得函数函数的定义域，对函数求导，再对进行分类讨论，根据与，可得函数的单调区间；（2）依题意得，结合第一问的单调性，结合函数的图象，从两个方面考虑函数的变化趋势，或时，从而可得零点的个数.试题解析：（1）函数的定义域为，，①当时，令，解得.∴的单调递减区间是，单调递增区间是，②当时，令，解得或.∴在和上单调递增，在上单调递减.③当时，，在上单调递增.④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；（2），①当时，由（1）知，当时，，此时无零点，当时，.又∵在上单调递增∴在上有唯一的零点∴函数在定义域上有唯一的零点，②当时，由（1）知，当时，，此时无零点；当时，，.令，则，∵在上单调递增，，∴在上单调递增，得，即.∴在上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点．综合①②知，当时函数在定义域上有且只有一个零点．点睛：本小题主要考查利用导数求解关于零点个数问题.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用；(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)1【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.。

2019届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试卷及解析

2019届开封市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】。

河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题+Word版+详解

开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D ．考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B 【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B 选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 7.已知函数若，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】B 【分析】依题意，对a 分a与a讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可.【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆中，所对的圆心角为，，点A,B为定点，点为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件，延长交于点，设，由题意可知：，由于三点共线，据此可得：，则，则的最大值即的最大值，由于为定值，故最小时，取得最大值，由几何关系易知当是，取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e2．故选：B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a ＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数等于__________．【答案】-120【分析】利用通项公式即可得出．【详解】（1﹣x）10的展开式中，T r+1（﹣x）r，令r＝3，则T4x3，则x3的系数120．故答案为：﹣120．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为__________．【答案】，，解得，，，所以与的夹角为.15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•sin a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n＝T2n ﹣T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴，∴，，，…，，，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n，令B n＝T2n﹣T n，则B n+1﹣B n0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1，故实数λ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) F为AD中点.【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：参考公式：，其中【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，从而得到的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.【详解】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ)【分析】（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f（x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ），当时，，，得，∴在上单调递增；，得或，∴在和上单调递减.∴的极小值为，极大值为.（Ⅱ）由得，由得，设，则在内有零点，设为在内的一个零点，由知在和不单调.设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.，，当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，当时，令得，∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，若有两个零点，则有，，，，，设，，则，令，得，当时，，递增；当时，，递减.∴，∴恒成立.由，，得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)，.【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.第- 21 - 页共21 页。

河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试(理数)

河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2,0}xA y y x ==>，2{|log (2)}B x y x ==-，则()R A B =ðA ．[0,1)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[2,)+∞ 2.已知复数z满足(1)1z i +=+，则复平面内与复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知函数44()sin cos f x x x =-，则下列说法正确的是A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的图像关于y 轴对称D ．()f x 在区间[,]42ππ上单调递减 4.已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S =A ．26B ．52 C.78 D ．1045.已知直线m ，n 和平面α，n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．16π- B ．164π- C.322π- D ．644π-7.已知函数123,2,()log (1),2,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()1f a ≥，则a 的取值范围是 A ．[1,2) B ．[1,)+∞ C.[2,)+∞ D ．(,2][1,)-∞-+∞8.若x ，y 满足约束条件22,2,20,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2y x +的取值范围为A ．1[,1]2-B ．1(,][1,)2-∞-+∞ C. [0,1] D ．1[,1]29.已知数列{}n a 中，112a =，111n n a a +=-，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A ．2012n ≤B ．2015n ≤ C.2017n ≤ D ．2018n ≤ 10.已知ABC ∆的内角3A π=，6AB =，4AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，且满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC =+，则m n +的值为A ．1118 B ．1 C.718D ．2 11.已知P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，且在x 轴上方，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12||12F F =，直线2PF的斜率为-12PF F ∆的面积为曲线的离心率为A ．3B ．2D12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是 A． B．C. D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.10(1)x -的展开式中，3x 的系数等于．14.已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 方向上的投影为-3，则向量a 与b 的夹角为．15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2DF AF =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足12a =，3()n n S n m a =+，()m R ∈，且n n a b n =.若存在*n N ∈，使得2n n T T λ+≥成立，则实数λ的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 如图所示，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =.（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由.19. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求||||AB MF 的最小值.20. 大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X ，求X 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21. 已知函数21()xax bx f x e++=. （Ⅰ）当1a b ==时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若(1)1f =，且方程()1f x =在区间(0,1)内有解，求实数a 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,1,x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos ,2sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线1:OP θα=（其中02πα<<）与曲线C 交于O ，P 两点，射线2:2OQ πθα=+与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长||OP .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-.（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CDCBD 6-10: ABACA 11、12：BB二、填空题13. -120 14.120︒ 15.413 16.13三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=， ∵sin sin()C A B =+=sin cos cos sin A B A B +，∴sin sin cos sin B A A B =， ∵sin 0B ≠∴sin cos A A =，∵(0,)A π∈∴4A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==，由2a =及余弦定理得2242cos 4b c bc π=+-，又222b c bc +≥，故2(2bc ≤=，当且仅当b c =时，等号成立.∴ABC ∆1.18. 解：（Ⅰ）∵AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴AE BE ⊥，AE BC ⊥，又∵BC AB ⊥，∴AE AB A =，∴BC ⊥平面ABE ，又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABE . （Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -，∵1AE =，2AB =，AE BE ⊥，∴BE =假设线段AD 上存在一点F 满足题意，1,0)2E ，(0,2,0)B ，(0,0,)F h ，(0)h >，易知：平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =，∵33(,0)2BE =-，(0,2,)BF h =-， ∴设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得302220x y y hz -=⎪⎨⎪-+=⎩，取1y =，得2(3,1,)n h =，6cos ,4||||m n m n m n ⋅===⋅，∴1h =.点F 为线段AD 的中点时，二面角A BF E --19. 解：（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)∴抛物线的焦点为(1,0)F ，∴2p =，抛物线的标准方程为24y x =. （Ⅱ）①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，易得：||24AB p ==，||2MF =，||2||AB MF =. ②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知，AB 的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为(1)y k x =-，且11(,)A x y ，22(,)B x y .联立方程组：24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=；21222(2)kx x k++=，121x x ⋅=，216(1)0k ∆=+>，12|||AB x x -=224(1)k k +=FM 所在的直线方程为1(1)y x k =--，联立方程组：1(1)1y x kx ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，得点2(1,)M k -，∴||MF==∴224(1)||2||kABMF+==>，综上所述：||||ABMF的最小值为2.由列联表可得21250(50900200100)25010001501100k⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯18.939 6.635≈>，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为P=25501000.90.80.6250250250⨯+⨯+⨯502530.40.32502505+⨯+⨯=.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为X，则3(4,)5X，4432()()()55k k kP X k C-==，0,1,2,3,4k=，估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为150905⨯=.21. 解：（Ⅰ）2'(2)1()xax a b x bf xe-+-+-=，当1a b==时，2'()xx xf xe-+=，'()0f x>，得01x<<，∴()f x在(0,1)上单调递增；'()0f x<，得0x<或1x>，∴()f x在(,0)-∞和(1,)+∞上单调递减.∴()f x 的极小值为(0)1f =，极大值为3(1)f e=. （Ⅱ）由(1)1f =得1b e a =--，由()1f x =得21xe ax bx =++，设2()1xg x e ax bx =---，则()g x 在(0,1)内有零点，设0x 为()g x 在(0,1)内的一个零点，由(0)(1)0g g ==知()g x 在0(0,)x 和0(,1)x 不单调.设'()()h x g x =，则()h x 在0(0,)x 和0(,1)x 上均存在零点，即()h x 在(0,1)上至少有两个零点.'g ()2x x e ax b =--，'()2x h x e a =-，当12a ≤时，'()0h x >，()h x 在(0,1)上递增，()h x 不可能有两个及以上零点，当2e a ≥时，'()0h x <，()h x 在(0,1)上递减，()h x 不可能有两个及以上零点，当122e a <<时，令'()0h x =得ln(2)(0,1)x a =∈， ∴()h x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增，()h x 在(0,1)上存在最小值(ln(2))h a ，若()h x 有两个零点，则有(ln(2))0h a <，(0)0h >，(1)0h >，(ln(2))h a =32ln(2)1a a a e -+-，1()22e a <<，设3()ln 12x x x x e ϕ=-+-，(1)x e <<，则'1()ln 2x x ϕ=-，令'()0x ϕ=，得x =当1x <<'()0x ϕ>，()x ϕx e <时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减.∴max ()10x e ϕϕ==-<，∴(ln(2))0h a <恒成立. 由(0)120h b a e =-=-+>，(1)20h e a b =-->，得21e a -<<.22. 解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅱ）依题意，∵(0,)2πα∈，∴||4cos OP α=，1|||sin()cos()|22OQ ππαα=+-+1sin cos αα=+，12cos ||||12cos sin OPQ S OP OQ ααα∆===+，∴tan 1α=，(0,)2πα∈，∴4πα=，||OP =23. 解：（Ⅰ）()2()f x g x +=|2|2|1|x a x ++-|2||22|x a x =++-|2|(22)||2|1x a x a ≥+--=+=∴1a =-或-3.（Ⅱ）当1[,1]2x ∈时，|2||1|1x a x ++-<，即|2|11x a x ++-<， ∴|2|x a x +<，3ax a -<<-， ()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，即132a -<且1a ->，∴312a -<<-.。

河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(文)答案(PDF版)

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故函数 f x 在定义域 , 上有唯一的零点．
………………11 分
综合①②知，当 k 0 时函数 f x 在定义域 , 上有且只有一个零点．……………12 分 22.解: （Ⅰ）直线 l 的普通方程为 x y 1 0 ，极坐标方程为 cos sin 1 0 ，…2 分曲线 C 的普通方程为 x 2 y 4 ,极坐标方程为 4 cos .
B1 ， B3 ， A1，A2，B1 ， A1，A2，B2 ， A1，A2 ，B3 ， A1 ，B1 ，B2 ， A1 ， ……………8 分 B2 ， B3 ， A1，B2，B3 ， A2，B1，B2 ， A2 ，B1 ，B3 ， A2 ，B2 ，B3 ， B1 ，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有 1 种，为 B1，B2，B3 . ………………10 分
a 1或 3.
……………5 分
（文科）
·4·
4 13
16.
1 2
三、解答题（共 70 分） 17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得： sin A cos B sin B sin A sin C ， ………………2 分 sin C sin( A B ) sin A cos B cos A sin B ， sin B sin A cos A sin B ，…………4 分
………………12 分
x x 21.解：（Ⅰ） f x xe kx x e k ， k e时， f x x e x e ， ………1 分

当 x 0或x 1 时， f x 0 ，所以 f x 在 , 0 和 1, + 上单调递增，当 0 x 1 时， f x 0 ，所以 f x 在 0,1 上单调递减，

2019届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试数学(文)试卷及解析

2019届开封市高三上学期一模考试数学（文）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得集合的范围，求对数的定义域求得集合的范围并求得其补集，再求的的范围.【详解】由解得.由解得，故，故，所以选C.2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D。

2019年河南省开封市高三第一次模拟考试(数学理)试卷(含答案)

高考数学精品复习资料2019.5高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第(22)-(24)题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}{}1|lg(2),|2,x A x R y x B y R y x A -=∈=-=∈=∈，则A .R B.(][),02,-∞+∞ C.[)2,+∞ D.(],0-∞ 2．复数5(3)z i i i =-+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为A ．2- i B.2+i C.4- iD.4+i3．直线224x my m +=-与直线22mx y m +=-垂直的充要条件是A.m=2B.m=-2 C ．m=0D.m ∈R4．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)则第五个顶点的坐标可能为A.(1，1，1)B.(1，1，2) C ．(1，1，3)D.(2，2，3)5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．12-B ．12C ．-1D ．1 6．阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填人的条件是A. S<10?B. S<12?C. S<14?D. S<16?7．把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰好能围成三角形的概率是A ．12 B.1 C ．14 D ．188．半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四个点，且满足0,0AB AC AC AD ⋅=⋅=,0AD AB ⋅=,则ABC ACD ADB S S S ∆∆∆++的最大值为A. 64B. 32 C ．16 D ．89．已知函数()sin 2cos cos2sin ,()f x x x x R ϕϕ=+∈，(z ∈R)其中ϕ为实数，且2()()9f x f π≤对任意实数R 恒成立，记257(),(),()366p f q f r f πππ===，则p 、q 、.r 的大小关系是A .r<p<q B. q<r<p C. p<q<r D. q<p<r10．从双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b-a 的关系为A.MO MT b a ->-B.MO MT b a -<-C ．MO MT b a -=- D.MO MT -与b-a 无关11．等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-则'(0)f =A. 122B.92 C ．82 D ．6212.已知函数()f x 定义在R 上，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-+(1)y f x =-的图像关于直线x=1对称，(1)2f -=,则(2013)f =A. 2-+B.2+ C ．2- D ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答，第(22)题～第(2/1)题为选考题，考生根据要求做答。

河南省开封市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题

河南省开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知函数若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意，对a分a与a讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可.【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆中，所对的圆心角为，，点A,B为定点，点为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件，延长交于点，设，由题意可知：，由于三点共线，据此可得：，则，则的最大值即的最大值，由于为定值，故最小时，取得最大值，由几何关系易知当是，取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e2．故选：B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a ＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数等于__________．【答案】-120【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】（1﹣x）10的展开式中，T r+1（﹣x）r，令r＝3，则T4x3，则x3的系数120．故答案为：﹣120．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】，，解得，，，所以与的夹角为 .15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•sin a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n＝T2n ﹣T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴，∴，，，…，，，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n，令B n＝T2n﹣T n，则B n+1﹣B n0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1，故实数λ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) F为AD中点.【解析】【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：参考公式：，其中【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，从而得到的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.【详解】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f（x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ），当时，，，得，∴在上单调递增；，得或，∴在和上单调递减.∴的极小值为，极大值为.（Ⅱ）由得，由得，设，则在内有零点，设为在内的一个零点，由知在和不单调.设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.，，当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，当时，令得，∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，若有两个零点，则有，，，，，设，，则，令，得，当时，，递增；当时，，递减.∴，∴恒成立.由，，得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.。

开封市2019届高三第一次模拟考试(含解析)

开封市2019届高三第一次模拟考试数学（文科）试题（答案详解）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}(){}22log ,01-==>-=x y x B x x A ，则()=⋂B C A R（）A. [)1,0B. ()2,1C. (]2,1D. [)+∞,22.已知复数z 满足()i z i +=+131，则复平面内与复数z 对应的点在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.已知函数()x x x f 44cos sin -=，则下列说法正确的是（） A. ()x f 的最小正周期为π2 B. ()x f 的最大值为2C.()x f 的图像关于y 轴对称D. ()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，上单调递减4.在等比数列{}n a 中，有71134a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77a b =，则=13S （）A. 26B. 52C. 78D. 1045.已知直线n m ,和平面αα⊂n ,则“n m //”是“α//m ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.已知函数()()⎩⎨⎧≥<=--2,log 2,1312x x e x f x x 若()1=a f ，则a 的值是（） A. 1 B. 2 C. -2或2 D. 1或27.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）A. π-16B. π4-16C. π2-32D. π4-648.若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+02222x x y y x 则2+x y的取值范围为（）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21-B. [)∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞，，121--C. []1,0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,219.在数列{}n a 中，n n a a a 11,2111-==+，利用下面程序框图输出该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A. 2012≤nB. 2015≤nC. 2017≤nD. 2018≤n10.在ABC ∆中，1,1-=⋅=B A C A AC ρρ，O 为ABC ∆的重心，则C A O B ρρ⋅的值为（）A. 1B. 23C. 35D. 211.已知P 是双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 上一点，且在x 轴上方，21,F F分别是双曲线的左、右焦点,1221=F F ，直线2PF 的斜率为34-，21F PF ∆的面积为324，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C. 3D. 212.有四根长均为2的直铁条，若再选两根长均为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛2738,0 B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛27316,0 C. ⎥⎦⎤⎝⎛33,0 D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛332,0 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()3,1=a ，()33,3-=b ，则b 在a 方向上的投影为_____． 14.某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是______．15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设AF DF 2=，若在大等边三角形ABC 中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是____．16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T ，满足21=a ，(),,3R m a m n S n n ∈+=且21=n n b a .若对任意*∈N n ，n T >λ恒成立，则实数λ的最小值为____．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且.sin cos c A b B a =+ （1）求角A 的大小；（2）若2=a ，ABC ∆的周长为6，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥AE 平面BCE ，且1=AE .（1）求证：平面⊥ABCD 平面ABE ；（2）线段AD 上是否存在一点F ，使三棱锥BEF C -的高56=h ？若存在，请求出AF DF的值；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人学习了大学先修课程.（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习大学先修课程与优等生有关系？（2）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学生先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.参考数据：参考公式：，其中20.（本小题满分12分）已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点F 与椭圆13422=+y x 的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M . （1）求抛物线的标准方程；（2）求MFAB的最小值.21.（本小题满分12分）设函数()()221xk e x x f x --=．（1）当e k =时，求()x f 的极值；（2）当0>k 时，讨论函数()x f 的零点个数．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==1t y t x （t 为参数），曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 2cos 22y x （ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）已知射线αθ=1:OP （其中20πα<<）与曲线C 交于P O ,两点，射线2:2παθ+=OQ 与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP .23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()().1,2-=+=x x g a x x f .（1）若()()x gxf2+的最小值为1，求实数a的值；（2）若关于x的不等式()()1<+xgxf的解集包含⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21，求实数a的取值范围.开封市2019届高三第一次模拟考试数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【分析】先求得集合的范围，求对数的定义域求得集合的范围并求得其补集，再求的的范围.【详解】由解得.由解得，故，故，所以选C.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合补集的基本概念和求交集.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零. 对于含有多个以上情况的解析式，要求它们的交集来得到最终的结果.2.【答案】D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f∵x∵∵sin4x∵cos4x∵sin2x∵cos2x∵∵cos2x∵∴函数的最小正周期T∵π∵∵f∵∵x∵∵∵cos∵∵2x∵∵∵cos2x∵f∵x∵∵∵f∵x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f∵x∵∵cos2x在[∵]上单调递减，故f∵x∵∵∵cos2x在[∵]上单调递增．故选：C∵【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.【答案】B【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．6.【答案】D【分析】令分段函数每一段解析式等于，解出对应的值，由此求得的值.【详解】当时，符合题意.当时，，解得（负根舍去），故的值为或.故选D.【点睛】本小题主要考查分段函数的概念，考查已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，属于基础题. 7.【答案】A【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，该几何体是柱体，底面可看作是边长为2的正方形截去了半径为1的41个圆，因此，底面积为4-4π，柱体的高为4，则该柱体的体积为.-1641-44ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 8.【答案】A【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x ，y 满足约束条件的可行域如图：△ABC ，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B （2，﹣2），同理可得A （2，4），当直线经过点B 时，M 取最小值：，当直线经过点A 时，M 取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A ．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.【答案】C【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.【答案】A【分析】利用是的重心，得到，而，由此化简的表达式，并求得它的值.【详解】由的，而，由余弦定理得.由于是的重心，故，由于，所以.故选A. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算与三角形的重心的性质，属于中档题.11.【答案】B【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF 1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e2．故选：B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.【答案】B【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=此时0＜a ＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a 的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】-3【分析】根据在方向上的投影公式，列式求得在方向上的投影.【详解】在方向上的投影为.【点睛】本小题主要考查一个向量在另一个向量上的投影的计算，考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.14.【答案】40【分析】先求出组距，然后根据已知的第二个样本的编号，求得第三个样本的编号.【详解】从名学生中抽取名，组距为，由于抽取到第二个编号为号，故第三个样本的编号为号.【点睛】本小题主要考查系统抽样的知识，先求得系统抽样的组距，然后根据已知来求得未知的样本编号，属于基础题.15.【答案】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•sin a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.116.【答案】2【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n∵T2n∵T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n∵∵n+m∵a n∵∵3S1∵3a1∵∵1+m∵a1，解得m∵2∵∵3S n∵∵n+2∵a n∵①∵当n≥2时，3S n∵1∵∵n+1∵a n∵1∵②∵由①∵②可得3a n∵∵n+2∵a n∵∵n+1∵a n∵1∵即（n∵1∵a n∵∵n+1∵a n∵1∵∵∵∵∵∵∵…∵∵∵累乘可得a n ∵n ∵n +1∵∵ 经检验a 1∵2符合题意， ∵a n ∵n ∵n +1∵∵n ∈N *∵又由(),1112112121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+==n n n n b b a n n n 得则n n b b b T +++=Λ21=.2111-12111131-2121-121<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⨯n n n Λ因为对任意 nT N n >∈*λ,恒成立，所以(),21,max ≥>λλ则n T 即λ的最小值为.21【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】∵1∵∵2∵【分析】（1）利用正弦定理将已知的边转化为角的形式，然后利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得的大小.（2）根据周长列出一个方程，利用余弦定理列出第二方程，解方程组求得的值，并求得三角形的面积. 【详解】∵1∵由已知及正弦定理得：∵ ∵∵∵∵∵∵∵∵∵. ∵2∵∵∵的周长∵∵∵ 由余弦定理得∵∵∵∵∵的面积.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的周长公式和面积公式，还考查了三角形的内角和定理，以及两角和的正弦公式.正弦定理在本题中的作用是将边转化为角的形式，已知条件全部转化为角的形式后，再利用三角函数恒等变换的知识来化简求值.18.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】∵∵∵∵平面∵平面∵平面∵∵∵∵又∵∵∵∵∵平面∵又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系∵∵∵∵∵∵.假设线段上存在一点满足题意∵∵∵∵∵易知：平面的一个法向量为∵∵∵∵∴设平面的一个法向量为∵由∵得∵取∵得∵∵∵.点为线段的中点时∵二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.【答案】∵1∵列联表见解析有关系∵2∵【分析】（1）根据优等生的人数、学习大学先修课程的人数，结合等高条形图计算数值，填写好表格，计算出的值，比较题目所给参考数据，得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系”这个结论.（2）利用列举法，求得基本事件的众数为种，其中“没有学生参加大学先修课程学习”的情况有种，利用对立事件的概率计算方法，求得至少有名参加了大学先修课程学习的概率.【详解】∵1∵列联表如下：由列联表可得∵因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.∵2∵在这5名优等生中，记参加了大学先修课程的学习的2名学生为∵∵记没有参加大学先修课程学习的3名学生为∵∵.则所有的抽样情况如下：共10种∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有1种，为.记事件为至少有1名学生参加了大学先修课程的学习，则.【点睛】本小题主要考查等高条形图的识别，考查列联表及独立性检验，考查古典概型等知识，属于中档题.20.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)2【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为∵∵∵抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时∵易得∵∵∵.②当动弦所在的直线斜率存在时∵易知∵的斜率不为0.设所在直线方程为∵且∵.联立方程组：∵得∵∵∵∵所在的直线方程为∵联立方程组∵∵得点∵∵∵∵综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.【答案】(1)答案见解析；(2)函数在定义域上有且只有一个零点．【解析】试题分析：（1）由题意得函数函数的定义域，对函数求导，再对进行分类讨论，根据与，可得函数的单调区间；（2）依题意得，结合第一问的单调性，结合函数的图象，从两个方面考虑函数的变化趋势，或时，从而可得零点的个数.试题解析：（1）函数的定义域为∵∵①当时，令，解得.∴的单调递减区间是，单调递增区间是∵②当时，令，解得或.∴在和上单调递增，在上单调递减.③当时，∵在上单调递增.④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；∵2∵，①当时，由（1）知，当时，，此时无零点，当时，.又∵在上单调递增∴在上有唯一的零点∴函数在定义域上有唯一的零点，②当时，由（1）知，当时，，此时无零点；当时，∵.令，则∵∵在上单调递增，∵∴在上单调递增，得，即.∴在上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点．综合①②知，当时函数在定义域上有且只有一个零点．点睛：本小题主要考查利用导数求解关于零点个数问题.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用；(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．选修4-4：坐标系与参数方程22.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)1【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．∵∵∵利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为∵极坐标方程为∵曲线的普通方程为∵极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.【答案】(1) 或4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.。

2019-2020学年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)

）
祝C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵ =（m﹣1，1）， =（m，﹣2），
∴ ⇔m（m﹣1）﹣2=0．由 m（m﹣1）﹣2=0，解得 m=﹣1 或 m=2． ∴“m=2”是“ ⊥ ”的充分不必要条件．
故选：A．
4．（5 分）在△ABC 中，a=2，b= ，B= ，则 A=（）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面 AA1C1C 上的正投影与正方形
相切，排除 C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部
分，由于两球不等，所以排除 A；B 正确；
故选 B 10．（5 分）函数 y=xln|x|的图象大致是（）
！功
A．
B．
成 C ．
BE 折起使 A 到点 P 的位置，平面 PEB⊥平面 BCDE，如图 2．（Ⅰ）求证：PB⊥平面 PEC；
！
（Ⅱ）求三棱锥 D﹣PEC 的高．
功
成
到 19．（12 分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017 年双 11 期
马间，某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币．与此同时，相关管理部门推出
的距离为，则该双曲线的方程为（）
A．
B．x2﹣y2=1 C．
D．x2﹣y2=2
8．（5 分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，
万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）
M，N．
功（1）当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l1，l2 的方程，并证明 l1⊥

河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)答案(PDF版)

∴X 的分布列为
， k 0， 1，， 2 3，， 4
………………10 分
估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为 150
，∴ h=1 .
………………10 分
点 F 为线段 AD 的中点时，二面角 A-BF-E 所成角的余弦值为 19.解：（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为 1, 0
6 . ………………12 分 4
………………2 分
2
∴抛物线的焦点为 F 1, 0 ， p 2, 抛物线的标准方程为y 4 x . （Ⅱ）①当动弦 AB 所在直线的斜率不存在时，易得：

AE BC ，…2 分 18. 解：（Ⅰ）AE 平面BCE ， BE 平面BCE，BC 平面BCE ，AE BE，
又 BC AB ， AE AB A ， BC 平面ABE ， ………………4 分 ………………5 分
又BC 平面ABCD，平面ABCD 平面ABE .
综上所述：
2 1, ， k
………………9 分
………………11 分
MF
的最小值为 2.
………………12 分
（理科）
·2·
20.解：（Ⅰ）列联表如下：优等生学习大学先修课程 50 没有学习大学先修课程 100 总计 150 由列联表可得 k
非优等生 200 900 1100
（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系 A—xyz，假设线段 AD 上存在一点 F 满足题意，
AE 1，AB 2，AE BE， BE 3 .
………………6 分
3 1 E h 0 ， 2 , 2 ,0 , B 0,2,0 , F 0,0, h ，易知：平面 ABF 的一个法向量为 m 1,0,0 ， ……………8 分 3 3 , ,0 , BF 0, 2, h ， BE 2 2 设平面 BEF 的一个法向量为 n x, y, z ，

2019年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{x|y＝log2（x﹣2）}，则A∩（∁R B）＝（）A．[0，1）B．（1，2）C．（1，2]D．[2，+∞）2．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）＝sin4x﹣cos4x，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）的图象关于y轴对称D．f（x）在区间[，]上单调递减4．（5分）已知等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A．26B．52C．78D．1045．（5分）已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝1，则a的值是（）A．1B．2C．﹣2或2D．1或27．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）A．16﹣πB．16﹣4πC．32﹣2πD．64﹣4π8．（5分）若x，y满足约束条件，则的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[﹣∞，﹣]∪[1，+∞）C．[0，1]D．[，1]9．（5分）已知数列{a n}中，a1＝，a n+1＝1﹣，利用如图程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A．n≤2012B．n≤2015C．n≤2017D．n≤201810．（5分）在△ABC中，AC＝1，＝﹣1，O为△ABC的重心，则•的值为（）A．1B．C．D．211．（5分）已知P是双曲线＝1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，直线PF2的斜率为﹣4，△PF1F2的面积为24，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．12．（5分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量＝（1，），＝（3，﹣3），则在方向上的投影为．14．（5分）某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是．15．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．满足a1＝2，3S n＝（n+m）a n，（m∈R），且a n b n＝，若对任意n∈N*，λ＞T n恒成立，则实数λ的最小值为．三、解答題：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B+b sin A＝c．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，△ABC的周长为6，求△ABC的面积．18．（12分）如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE＝1．（I）求证：平面ABCD⊥平面ABE；（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥C﹣BEF的高h ＝？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程．（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率．参考数据：参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆+＝1的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值．21．（12分）设函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣．（Ⅰ）当k＝e时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当k＞0时，讨论函数f（x）的零点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OP：θ1＝α（其中0＜α＜）与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2＝与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）+2g（x）的最小值为1，求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+g（x）＜1的解集包含[，1]，求实数a的取值范围．2019年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：集合A＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，B＝{x|y＝log2（x﹣2）}＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，则（∁R B）＝{x|x≤2}，∴A∩（∁R B）＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．故选：C．2．【解答】解：由（1+i）z＝1+i，得z＝，∴复平面内与复数z对应的点的坐标为（），在第四象限角．故选：D．3．【解答】解：∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．4．【解答】解：等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，可得a72＝4a7，解得a7＝4，数列{b n}是等差数列中b7＝a7＝4，则S13＝×13（b1+b13）＝13b7＝13×4＝52．故选：B．5．【解答】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．【解答】解：①当a＜2时，解方程e a﹣1＝1得：a＝1，②当a≥2时，解方程log3（a2﹣1）＝1得：a＝2，综合①②得：方程f（a）＝1的解为：a＝1或a＝2，故选：D．7．【解答】解：根据几何体的三视图：得到：该几何体是由一个长为2，宽为4高为2的长方体，挖去一个半径为1，高为4的圆柱构成，故：V＝2，＝16﹣π．故选：A．8．【解答】解：作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：＝，当直线经过点A时，M取最大值＝1．则的取值范围：[﹣，1]．故选：A．9．【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A＝，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1﹣＝，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．10．【解答】解：取AC中点为D，因为O为△ABC的重心，则＝，由三角形法则有：＝（+），所以＝（+），•＝（+）•＝（﹣﹣）•＝2﹣•＝+＝1，故选：A．11．【解答】解：P是双曲线＝1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|＝＝13，|PF2|＝＝7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e＝＝2．故选：B．12．【解答】解：如图，AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝2．过A作AE⊥CD于E，连结BE，则AE＝＝BE，又AB＝a，∴＝，∴＝，令，则f′（a）＝16a3﹣3a5＝0，解得当a2＝时，（V A﹣BCD）max＝．∴此三棱锥体积的取值范围是（0，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：∵＝（1，），＝（3，﹣3），∴＝1×＝﹣6，||＝2，则在方向上的投影为＝＝﹣3．故答案为：﹣314．【解答】解：∵12号、26号、54号同学在样本中，54﹣26＝28，26﹣12＝14，∴抽样间隔为14，∴样本中还有一位同学的编号应是26+14＝40．故答案为：40．15．【解答】解：由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE＝，∴∠AFC＝π﹣＝；∴△DEF的面积为S△DEF＝•2a•2a•sin＝a2，△AFC的面积为S△AFC＝•a•3a•sin＝a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P＝＝．故答案为：．16．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝2，3S n＝（n+m）a n，（m∈R），n＝1时，3a1＝（1+m）a1≠0，解得m＝2．∴n≥2时，3a n＝3S n﹣3S n﹣1＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，化为：＝．∴n≥2时，a n＝••……••a1＝•••……•＝n（n+1）．n＝1时上式也成立．∴a n＝n（n+1）．∵a n b n＝，∴b n＝＝．∴T n＝＝．若对任意n∈N*，λ＞T n恒成立，则实数λ的最小值为．故答案为：．三、解答題：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）△ABC中，a cos B+b sin A＝c，由正弦定理得：sin A cos B+sin B sin A＝sin C，又sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B sin A＝cos A sin B，又sin B≠0，∴sin A＝cos A，又A∈（0，π），∴tan A＝1，A＝；…6分（Ⅱ）∵a＝2，△ABC的周长为6，∴b+c＝4，∴由余弦定理可得：a2＝（b+c）2﹣2bc﹣2bc cos A，∴4＝16﹣2bc﹣bc，可得：bc＝6（2﹣），…10分∴S△ABC＝bc sin A＝6（2﹣）×＝3（﹣1）…12分18．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，AE⊥BC，又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴平面ABCD⊥平面ABE；（Ⅱ）由AE⊥BE，AE＝1，AB＝2，得BE＝，∴，易知AD∥平面BCE，∴V C﹣BEF＝V F﹣BEC＝V A﹣BEC＝V C﹣ABE，∴＝，又∴由BE⊥AE，可得BE⊥EF（三垂线定理），∴得EF ＝，∴，∴，∴，故存在点F 满足题意，且．19．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；由列联表计算K2＝＝≈18.939＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系；（Ⅱ）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程学习的两名学为A、B，没参加大学先修课程学习的3名学生为c、d、e，在这5学生中任选3人，基本事件是ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde共10种，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有cde共1种，则这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率为P＝1﹣＝．20．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆+＝1知，其右焦点为（1，0），即抛物线的焦点为F（1，0），∴＝1，解得p＝2；∴抛物线C的标准方程为y2＝4x；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，易得|AB|＝2p＝4，＝2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，易知AB的斜率不为0，设AB所在直线方程为y＝k（x﹣1），且A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0；∴x1+x2＝，x1•x2＝1，且△＝16（k2+1）＞0；∴|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝；FM所在的直线方程为y＝﹣（x﹣1），联立方程组，求得点M（﹣1，），∴|MF|＝＝2，∴＝＝2＞2；综上所述，的最小值为2．21．【解答】解：（Ⅰ）当k＝e时，，f′（x）＝xe x﹣ex＝x（e x﹣e），当x＜0或x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0．所以，函数f（x）的极大值为f（0）＝﹣1，极小值为；（Ⅱ）①当0＜k＜1时，令f′（x）＞0，解得x＜lnk或x＞0，f（x）在（﹣∞，lnk）和（0，+∞）上单调递增，在（lnk，0）上单调递减，当k＝1时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增．所以，当0＜k≤1时，当x＜0时，＝，此时，函数f（x）无零点；当x≥0时，f（0）＝﹣1＜0，f（2）＝e2﹣2k≥e2﹣2＞0，又f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以，f（x）在[0，+∞）上有唯一的零点，故函数f（x）在定义域R上有唯一的零点；②当k＞1时，令f′（x）＞0，解得x＜0或x＞lnk，f（x）在（﹣∞，0）和（lnk，+∞）上单调递增，在（0，lnk）上单调递减，当x＜lnk时，f（x）≤f（x）max＝f（0）＝﹣1，此时，f（x）无零点；当x≥lnk时，f（lnk）＜f（0）＝﹣1＜0，，令，t＝k+1＞2，则g′（t）＝e t﹣t，令h（t）＝g′（t）＝e t﹣t，所以，h′（t）＝e t﹣1，∵t＞2，h′（t）＞0，g′（t）在（2，+∞）上单调递增，得g′（t）＞g′（2）＝e2﹣2＞0，则g（t）在（2，+∞）上单调递增，所以，g（t）＞g（2）＝e2﹣2＞0，即f（k+1）＞0，所以，f（x）在[lnk，+∞）上有唯一的零点，故函数f（x）在定义域R上有唯一的零点．综合①②知，当k＞0时，函数f（x0在定义域上有且只有一个零点．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程是（t为参数），转换为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．转换为极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ+1＝0．曲线C的参数方程是，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2＝4，转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ．（Ⅱ）由于0＜α＜，所以：|OP|＝4cosα，|OQ|＝＝．所以：＝＝1，所以：tanα＝1，由于：0＜α＜，故：，所以：|OP|＝4cos．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣1|．f（x）+2g（x）＝|2x+a|+2|x﹣1|＝|2x+a|+|2x﹣2|≥|2x+a﹣（2x﹣2）|＝|a+2|＝1，解得a＝﹣1或a＝﹣3；（Ⅱ）x∈[，1]时，不等式f（x）+g（x）＜1，即：|2x+a|+|x﹣1|＜1，可得：|2x+a|+1﹣x＜1，∴|2x+a|＜x．∴﹣＜x＜﹣a，不等式f（x）+g（x）＜1的解集包含[，1]，即：且﹣a＞1，∴．实数a的取值范围：（﹣，﹣1）．。

2019年河南省新乡、开封市名校联考一模数学试卷

2019 年河南省新乡、开封市名校联考一模数学试卷（满分120 分，考试时间100 分钟）一、选择题（每小题 3 分，共30 分）1.-3 的倒数是（）A．-3 B．3 C．-13D．132.小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000 326 毫米．0.000 326 毫米用科学记数法表示正确的是（）A．3.26×10-4 毫米B．0.326×10-4 毫米C．3.26×10-4 厘米D．32.6×10-4 厘米3.如图是由6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A.主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图4. 下面是一位同学做的四道题：①(a+b)2=a2+b2；②(-2a2)2=-4a4；③a5÷a3=a2，④a3·a4=a12．其中做对的一道题的序号是（）A．①B．②C．③D．④5.在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5 名学生的成绩（单位：分）如下：80，98，98，83，91，关于这组数据的说法错误的是（）A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是56 6.已知关于x 的一元二次方程x2-2x+k-1=0 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜07.“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30 天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．60-60 = 30 B.60 -60 = 30 x (1+ 25%)x (1+ 25%) x x60 ⨯(1+ 25%) 60 60 60 ⨯ (1+ 25%)18.一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1-6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3 的倍数的概率等于（）A.16B.13C.12D.239.如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C 为圆心，仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D；（3）连接BD，BC．下列说法不正确的是（）A．∠CBD=30°B．S△BDC3AB24C．点C 是△ABD 的外心D．sin2A+cos2D=1第9 题图第10 题图10.如图，菱形ABCD 的边长是4 cm，∠B=60°，动点P 以1 cm/s 的速度自A 点出发沿AB 方向运动至B 点停止，动点Q 以2 cm/s 的速度自B 点出发沿折线BCD 运动至D 点停止．若点P，Q 同时出发运动了t s，记△BPQ 的面积为S cm2，下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（）A B C D⎨⎪二、填空题（每小题 3 分，共15 分）11. 分解因式：a3b+2a2b2+ab3= ．⎧x +1 > 012.不等式组⎪11-⎩ 2x≥0的最小整数解是．13.一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE 相交于点D，则∠BDC= ．14.如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA 上，则边BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．15.如图，矩形ABCD 中，AD=5，AB=7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D′落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为．2 ÷三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） m 2- 4m + 4 ⎛ 3 16. （8 分）先化简，再求值： - m -1⎫ ，其中m = - ． m -1 m -1 ⎪2 ⎝ ⎭17. （9 分）某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分市民开展了“你最喜爱的电视节目”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），根据要求回答下列问题：（1）本次问卷调查共调查了名观众；图 2 中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数新闻体育综艺科普节目的百分比为；（2）补全图 1 中的条形统计图；（3）现有最喜爱“新闻节目”（记为 A ），“体育节目”（记为 B ），“综艺节目”（记为 C ），“科普节目”（记为 D ）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“B ”和“C ”两位观众的概率．18.（9 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=x+b 的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数y =k（x＞0）的图象交于B(a，4)．x（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）M 是直线AB 上一点，过M 作MN∥x 轴，交反比例函数y =k（x＞0）x的图象于点N，若以点A，O，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标．19.（9 分）如图，PA 与⊙O 相切于点A，过点A 作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O 于点B．连接PB，AO，并延长AO 交⊙O 于点D，与PB 的延长线交于点E．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sin E 的值．20.（9 分）某区域平面示意图如图，点O 在河的一侧，AC 和BC 表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A 处测得点O 位于北偏东45°，乙勘测员在B 处测得点O 位于南偏西73.7°，测得AC=840 m，BC=500 m．请求出点O 到BC的距离．（参考数据：sin73.7︒≈24，cos73.7︒≈257，tan 73.7︒≈24）25 721.（10 分）某公司投入研发费用80 万元（80 万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6 元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=-x+26．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20 万元（20 万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5 元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12 万件．请计算该公司第二年的利润W2 至少为多少万元．2 22.（10 分）如图1，在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中，AB=2，AB′= ，连接CC′．（1）问题发现：CC'=；BB'（2）拓展探究：将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB′，试判断：当0°≤θ＜360°时，CC'的值有无变化？请仅就图 2 中的情形BB'给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D′三点共线时BB′的长．23.（11 分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B 的坐标为(1，0)，抛物线y=-x2+bx+c 经过A，B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D，交线段AB 于点E，使PE 1DE ．2①求点P 的坐标和△PAB 的面积．②在直线PD 上是否存在点M，使△ABM 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10。

精品解析：2019年12月河南省开封市一模数学(理)试题(解析版)

开封市2020届高三第一次模拟考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解二次不等式得，再求交集即可得解.【详解】解：解不等式，解得：，即，又，则，故选：B.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于直线的左上方，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由复数的运算可得，再结合复数在复平面所对应的点的位置列不等式求解即可.【详解】解：因为复数，又复数对应的点位于直线的左上方，则，即，故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数在复平面所对应的点的位置，属基础题.3.已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义可求得,结合正切的二倍角公式即可求得的值.【详解】因为角的终边经过点由三角函数定义可得根据正切的二倍角代入可得故选:D【点睛】本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,属于基础题.5.已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（）A. -15B. -7C. 3D. 15【答案】A【解析】【分析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得的值.根据奇函数性质,即可求得的值.【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称则,解得因为奇函数当时,则故选:A【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.6.某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为，，，，五个等级，等级，等级，等级，，等级共.其中等级为不合格，原则上比例不超过.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示.若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到级及以上级别的学生人数有（）A. 45人B. 660人C. 880人D. 900人【答案】D【解析】【分析】根据等级的人数和占比,可计算出样本容量.再根据扇形图可计算出、、等级一共的人数,即可估计该年级拿到级及以上级别的学生人数.【详解】由条形图和扇形统计图可知,在抽取的部分学生中等级共有人,占样本容量的所以样本容量为则样本中等级人数为人由条形图可知样本中等级人数为人所以在样本中级及以上级别的学生人数为人则该年级拿到级及以上级别的学生人数为人故选:D【点睛】本题考查了条形图与扇形图在统计中的应用,样本与总体的关系,属于基础题.7.国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为（）A. 17米B. 22米C. 3l米D. 35米【答案】C【解析】【分析】先确定的已知角及已知边，再结合正弦定理求解即可.【详解】解：设旗杆高为米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则，在中，,, ,即，由正弦定理可得，所以，解得：，故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理及三角函数的实际应用，属中档题.8.已知是斐波那契数列，则，（且），下图程序框图表示输出斐波那契数列的前项的算法，则（）A. 10B. 18C. 20D. 22【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的结构,计算出前几项,结合归纳推理即可得解.【详解】第一次循环:第二次循环:第三次循环:由以上循环可知,每循环一次,输出斐波那契数列的2项所以当时,共输出数列的项故选:C【点睛】本题考查了程序框图循环结构的特征,斐波那契数列的特征,归纳推理的应用,属于基础题.9.设，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质及换底公式即可得解.【详解】解：因为，，则，且，所以，，又,即,则，即，故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.10.已知为双曲线：的右焦点，圆：与在第一象限、第三象限的交点分别为，，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】先设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可得：四边形为矩形，再列方程组，运算即可得解.【详解】解：不妨设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可得：四边形为矩形，则为直角三角形，设，，则，解得，即，即，则，则，得，故选：A.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，重点考查了双曲线的几何性质，属中档题.11.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若的对称中心为坐标原点，则关于函数有下述四个结论：①的最小正周期为 ②若的最大值为2，则③在有两个零点 ④在区间上单调其中所有正确结论的标号是（） A. ①③④B. ①②④C. ②④D. ①③【答案】A 【解析】【分析】根据辅助角公式化简,根据平移后的图像关于原点中心对称可求得解析式.根据正弦函数的图像与性质可依次判断四个选项是否正确. 【详解】函数,由辅助角公式可得将图像向右平移单位长度可得因为的对称中心为坐标原点,由正弦函数图像与性质可知过即,可得则对于①的最小正周期为,所以①正确;对于②若的最大值为2,则,解得,所以②错误对于③,令,当时,满足,.解方程可得或,所以③正确;对于④,,则其一个单调递增区间为,解得,当时满足在区间上单调,所以④正确.综上可知,正确的为①③④故选:A【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质的综合应用,辅助角公式的用法,三角函数图像平移变换,综合性较强,属于中档题.12.已知正方体的棱长为1，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等,可得该平面的截面.由正方体的棱长及投影形状,即可求出正投影的面积.【详解】正方体的棱长为1,平面过正方体的一个顶点,且与正方体每条棱所在直线所成的角相等,可得空间几何体及平面如下图所示:该正方体在平面内的正投影如下图所示:则即为该正方体在平面内的正投影面积,该投影是正六边形.因为正方体的棱长为1,则则由正六边形的性质可知则所以则故选:B【点睛】本题考查了空间中直线与平面的夹角,空间几何体在平面上的投影面积问题,对空间想象能力要求较高,属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量，，若，则______.【答案】1【解析】【分析】根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.【详解】向量,则,则因为即,化简可得解得故答案为:【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.14.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为______.【答案】48【解析】【分析】将问题转化为不同的5位同学坐从左到右的5个座位，乙同学不坐第1个座位，丙同学必须坐在甲同学的左边，再结合排列组合中的分步原理求解即可.【详解】解：不妨将问题转化为不同的5位同学坐从左到右的5个座位，乙同学不坐第1个座位，丙同学必须坐在甲同学的左边，则可先在2至5号座位上选1个座位给乙坐，然后在剩下的4个座位中选2个坐丙同学和甲同学，且丙坐在甲的左边，剩下的2个座位坐剩下的两位同学即可，即不同的坐法共有，即不同的着舰方法种数为48，故答案为：48.【点睛】本题考查了排列组合中的分步原理，重点考查了特殊元素优先处理的解题方法，属基础题.15.设点为函数上任意一点，点为直线上任意一点，则，两点距离的最小值为______.【答案】【解析】【分析】先设为函数上一点，且以点为切点的直线与直线平行，利用导数的几何意义求得，再利用点到直线的距离公式即可得解.【详解】解：设为函数上一点，且以点为切点的直线与直线平行，由，则，由已知有，化简得,解得：，则，两点距离的最小值为点到直线的距离，由点到直线的距离公式，故答案为：.【点睛】本题考查了已知直线斜率求切点坐标，重点考查了点到直线的距离，属中档题.16.若数列满足，则称数列为“差半递增”数列.若数列为“差半递增”数列，且其通项与前项和满足，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】根据,利用递推公式求得数列的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数的取值范围.【详解】因为所以当时,两式相减可得,即,所以数列是以公比的等比数列当时,所以则由“差半递增”数列的定义可知化简可得解不等式可得即实数的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,等比数列通项公式在新定义里的应用,属于中档题.三、解答题：共70分。

2019年河南省开封市一模数学试卷

2019年河南省开封市一模数学试卷（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的数是（）A ．0B ．1C ．-πD．2. 2019年河南省清明节旅游市场共接待游客1 437万人次，旅游收入89.14亿元，则数据89.14亿用科学记数法表示为（） A ．89.14×106B ．89.14×107C ．8.914×108D ．8.914×109 3. 下列运算正确的是（）A ．2a 2-5a 2=3a 2B ．(-a 2)3=-a 6C ．(a -1)2=a 2-1D ．a 3·a 4=a 12 4. 关于x 的一元二次方程x 2+4x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值为（）A ．k =4B ．k =-4C ．k ≥-4D ．k ≥45. 2019年3月31日，以“双城有爱，一生一世”为主题的郑开马拉松开赛．在这次马拉松长跑比赛中，抽取了10名女子选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：A ．这组样本数据的中位数是186B ．这组样本数据的众数是195C ．这组样本数据的平均数超过170D ．这组样本数据的方差小于30 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A ．16+12πB ．16+4πC ．16+8πD ．24+2π7. 不等式组211423x x x +-⎧⎨+>⎩≥的最大正整数解为（）A ．1B ．2C ．3D ．48. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（） A ．①B ．②C ．①②D ．①③俯视图左视图主视图9. 如图，⊙O 的半径为4，将⊙Q 的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心O ．则折痕AB 的长为（） A．B．C ．6D ．310. 如图，菱形ABCD 的边长是4 cm ，∠B =60°，动点P 以1 cm/s 的速度从点A 出发沿AB 方向运动至点B 停止，动点Q 以2 cm/s 的速度从点B 出发沿折线BCD 运动至点D 停止．若点P ，Q 同时出发，运动了t s ，记△BPQ 的面积为S cm 2，则下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（）A ．B ．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线交BC 于点P ，连接AP ，当∠B 为__________度时，AP 平分∠CAB ．12. 如图，在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =3 cm ，BO =4 cm ．将△AOB 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，此时线段OB 1与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，则线段B 1D =__________cm ．13. 如图，△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，BC上，若AD :DB =CE :EB =2:3，则S △DBE :S △ADC =__________．B 1A 1ABODDABCPEDCBA14.如图，已知顶点为(-3，-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1，-4)，下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥-6；③若点(-2，m)，(-5，n)在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1，其中正确的是__________．15.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1-S2为__________．EFG 三、解答题（本大题共8小题，共75分）16.（8分）先化简，再求值：22112x yx y x y x y⎛⎫-+÷⎪-+-⎝⎭，其中x，y满足|x-2|+(2x-y-3)2=0．17.（9分）当今社会手机越来越普遍，有很多人每天过分依赖手机，每天使用手机时间过长而形成了“手机瘾”．为了解某高校大学生每天使用手机时间的情况，某社团随机调查了部分学生使用手机的时间，将调查结果分为五类：A．基本不用；B．平均每天使用1～2小时；C．平均每天使用2～4小时；D．平均每天使用4～6小时；E．平均每天使用超过6小时．并把所得数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：E 10% D 18%C 40%BA 8%调查结果扇形统计图调查结果条形统计图（1）将条形统计图补充完整；（2）若每天使用手机的时间超过6小时，则患有严重的“手机瘾”．该校共有学生14 900人，试估计该校约有多少人患有严重的“手机瘾”；（3）在被调查的基本不使用手机的4位同学中有2男2女，现要从中随机抽取两名同学去参加座谈会，请你用列表法或树状图法求出所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率．18. （9分）如图，在平行四边形ABCD 中，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 与⊙O 相切于点C ，点P 是劣弧上的一个动点（点P 不与B ，C 点重合），连接P A ，PB ，PC ．（1）求证：CA =CB ；（2）当AP =AC 时，试判断△APC 与△CBA 是否全等，请说明理由；（3）填空：当∠D 的度数为__________时，四边形ABCD 是菱形．PD19. （9分）如图，某数学社团测量坡角∠BCD =30°的斜坡上大树AB 的高度．小东在离山脚底部C点1米的F 处，测得大树顶端A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，测得斜坡上树底B 点到山脚C点的距离为AB 的高度．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）AB C DF20. （9分）参照学习函数的过程与方法，探究函数2x y x -=（x ≠0）的图象与性质．因为221x y x x -==-，即21y x =-+，所以我们对比函数2y x =-来探究．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以2y x =相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来．（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而__________；（填“增大”或“减小”）②2xyx-=的图象是由2yx=-的图象向_______平移______个单位而得到；③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）（3）函数2xyx-=与直线y=-2x+1交于点A，B，求△AOB的面积．21.（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2 000元，乙种商品共用了2 400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品每件的进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品每件售价为60元，乙种商品每件售价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原售价的七折销售；乙种商品售价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2 460元，问甲种商品按原售价至少销售多少件？22. （10分）（1）操作：如图1，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．（不写画法）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）探究二：如图3，DE ，BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE :EC =1:2，∠BAE =∠EDF ，CF ∥AB ．若AB =5，CF =1，求DF 的长度．图1M NQ PO图2F EDC B AAB C D E F图323.（11分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与抛物线212y x bx c=-++（b，c是常数）交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B重合）．①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求PDOD的最大值；②如图3，若点P在x轴上方，连接PC，以PC为一边作正方形CPEF．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点E或F恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．图1图2图3。