相似三角形与圆综合

(一）知识复习巩固

圆的基本性质:圆周角性质，垂径定理逆定理，切线长定理

相似三角形四种判定,及性质

(二）例题精讲：

例１、已知:如图，△ABC内接于⊙Ｏ,∠BＡC的平分线交⊙O于点Ｄ，交⊙O的切线BF于点F,Ｂ为切点。求证：（１）ＢD平分∠CBF；(2)AB⋅ＢF=AＦ⋅ＣD.

考点:

相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，弦切角定理分析：

(1）由于AF是∠ＢAＣ的角平分线,那么∠１=∠２,利用弦切角定理可得

∠1=∠3,利用同弧所对的圆周角相等,可得∠2=∠4,那么，可证∠3=∠4,即

ＢD平分∠CBF;

（2)由于∠3=∠1，∠F=∠Ｆ,那么可证△DBF∽△BAF,再利用相似三角形

的性质，可得相关比例线段AB：AF=BD：BＦ,又由于∠１＝∠２,同圆里

相等的圆周角所对的弧相等,而同圆里相等的弧所对的弦相等,从而BＤ=CD,

等量代换,可得ＡB：AF＝CD：BF，即ＡＢ•BF=AＦ•CD.

解答:

证明:（１）∵AD平分∠ＢAC，

∴∠1=∠２,(2分)

∵BＦ切⊙Ｏ于点B，∴∠３＝∠2,

∴∠３=∠１,(4分)

又∵∠2=∠4,

∴∠3=∠４,即BD平分∠CBＦ;(6分)

（２)在△ＤＢＦ和△BＡF中，

∵∠３＝∠1，∠F＝∠F,

∴△ＤBＦ∽△BAF,（8分)

∴BＤAB=ＢＦAF即AＢ⋅ＢＦ=AF⋅BD(１0分）

∵∠1=∠2,

∴BD=CD,(11分)

∴AB⋅BＦ＝AF⋅CＤ.(12分)

例2、已知：如图,△ＡBC内接于圆,ＡB＝ＡC,D为延长线上一点,AD交圆于Ｅ. 求证:AB2=ＡＤ⋅AE.

考点:相似三角形的判定与性质，圆周角定理

分析：

如图,作辅助线；证明△AＢＥ∽△AＤＢ，列出比例式，即可解决问题.解答：

证明：如图，连接BE;

∵AＢ=ＡC,

∴∠B=∠ＡCB;

∵∠AEB=∠ＡCＢ，

∴∠AEＢ=∠B,而∠ＢAE=∠BAD,

∴△AＢE∽△ADＢ,

∴AB：AD=AE:ＡB,

∴AＢ２=AD⋅AＥ.

例3、如图，已知AB是⊙O的弦，ＯB=２，∠B=30∘,Ｃ是弦AＢ上的任意一点(不与点Ａ．B重合)，连接ＣO并延长CＯ交⊙O于点D，连接

AD．

（1)弦长AＢ等于＿_____（结果保留根号）；

(２)当∠Ｄ=2０∘时,求∠BＯＤ的度数;

（3）当AC的长度为多少时,以A． C. D为顶点的三角形与以Ｂ. C. 0为

顶点的三角形相似?请写出解答过程。

考点:

圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形

分析：

（１)过点O作OＥ⊥AＢ于E,由垂径定理即可求得ＡB的长;ﻫ(2)连接OA，由OA＝ＯB,OＡ＝OD,可得∠BAO=∠Ｂ，∠DAO＝∠Ｄ,则可求得∠DＡ

Ｂ的度数,又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOＢ的度

数；ﻫ（３）由∠BＣO=∠A＋∠D，可得要使△DAC与△BＯC相似，只

能∠DCA=∠BCＯ=90°,然后由相似三角形的性质即可求得答案.

解答:

（1）过点O作OE⊥ＡB于E，

则ＡE=BE=12AB，∠OEB=９0∘,

∵OB＝２,∠B=３0∘,

∴ＢE=OB⋅cos∠B＝２×３√2=3√

∴ＡB=２３√;

故答案为:２3√;

(2)连接OA，

∵OA＝OB，OA=OＤ，

∴∠BAO＝∠Ｂ，∠DＡO=∠Ｄ，

∴∠ＤAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，

又∵∠B=30∘,∠D=20∘，

∴∠DＡB=50∘，

∴∠BOD=2∠ＤAＢ=1０0∘;

(3)∵∠ＢCO=∠A+∠Ｄ,

∴∠ＢCO＞∠A，∠ＢＣＯ>∠D,

∴要使△ＤＡＣ与△BOC相似，只能∠DCA=∠ＢCO=90∘,

此时∠BＯC＝60∘,∠BOＤ＝1２0∘，

∴∠ＤAC=60∘,

∴△DAC∽△BＯＣ,

∵∠BCO=９0∘，

即OC⊥AB,

∴ＡC=１2AＢ＝3√.

∴当AC的长度为3√时,以A. C. Ｄ为顶点的三角形与以B. C．0为顶点的三角形相似。

例4、如图,在△ABＣ中,∠ＡＣB=9０∘,D是AB的中点，以DC为直径的⊙Ｏ交△ABC的三边，交点分别是G，Ｅ，F点．EG与ＣD交点为Ｍ.

(1)求证:∠GEＦ=∠Ａ；

（２)求证：△OME∽△EＭC；

（3)若ＭE=46√，MD:ＣＯ=2:5,求⊙O面积。

考点：

圆的综合题

分析：

（１)连接DＦ,如图所示,由CD为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为

直角得到∠CFD为直角,又因为∠ACB为直角，利用同位角相等的两直线

平行,得到ＤF与AC平行,根据两直线平行同位角相等可得出∠ＢDF=∠A，而∠BDF与∠GEＦ都为弧FG所对的圆周角，利用同弧所对的圆周角相等

得到∠BDF＝∠ＧEＦ，等量代换可得证;ﻫ(2)由Ｄ为AB的中点，即CD为

直角三角形ＡBC斜边AＢ的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得

出ＣD与ＡD相等,都为ＡＢ的一半，利用等边对等角得到∠A=∠DCA,由(1）∠A=∠GＥF,等量代换得到∠GＥＦ＝∠DＣA,再由一对公共角相等,利用两

对对应角相等的两三角形相似可得证;

（3)由（2）得出的三角形ＣEM与三角形MOE相似，利用相似得比例,得

到ME2=OM•MC，将ME的长代入求出ＯM•MC的值为96,由ＭＤ：CO=2:

５，根据OD＝ＯC，得出OＭ与CM的比值为3:８，设ＯＭ=3x,CM=8x,

代入OM•MＣ=９6中列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定

出半径OC的长,即可求出圆O的面积.

解答:

(1)证明：连接ＤＦ,如图所示：

∵ＣD是圆O直径，

∴∠ＣＦD=９0∘，

又∵∠ACB=90∘，

∴DＦ∥AC，

∴∠BＤF=∠A，

∵∠ＢDF与∠GEF为同弧所对的圆周角,

∴∠BDF=∠ＧEF,

∴∠GEF=∠A；