09高数(A)转系_东南大学 试卷及答案

09年转系考试 高数(A)

一、填空题(每小题4分，满分20分)

1.

函数 0

()(2 (0)x F x dt x =

-

>⎰

的单调减少区间为 1

(0,)4 。

2．设()f x 有一个原函数是

sin x x

，则2

()xf x dx π

π'=⎰

4

1π

- 。

3．设函数),(y x z z =是由方程2(,)0F x z y z --

=所确定的隐函数，其中F 可微，则z x

∂=∂

112

2xF F F + 。

4．设区域221为D x y +≤，则2

D

x dxdy =⎰⎰

4

π

。

5．函数1

()1z e f z z

=

-在奇点0z =处的留数为 1

11!

或e n ∞

-∑

。

二、单项选择题(每小题4分，满分16分)

6

．设21,0

()00 , x f x x

x ≠=⎪=⎩

，则()0在点f x x =处 【 C 】

(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导

7．由曲线223212

x y z ⎧+=⎨=⎩绕y

轴旋转一周得到的旋转曲面在点处，指向曲面外侧的单位法向量为

【 B 】

(A)

(0,)55-

-

(B)

(0,

55

(C)

(0,,)55

-- (D)

(0,

55

8．设(,)f x y 为连续函数，则4

1

00

d (cos sin )d f ,π

ϕρϕρϕρρ⎰⎰= 【 A 】

（A

） 0 (,)y

y f x y dx

（B

） 0 0

(,)f x y dx ⎰

（C

） 0 0

(,)f x y dy

（D

） 0 (,)x

f x y dy

9．L aurent 级数1

1(1)

(1)(1)(2)

2

n

n

n

n

n n z z ∞

∞

==-+

--

-∑∑

的收敛域为 【 D 】

（A ）21z ->； （B ）21z -<； （C ）021z <-<； （D ）122z <-< 三．计算下列各题(每小题8分)

10．求极限21lim sin cos x

x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝

⎭

11．求圆3ρ=与心形线2(1cos )ρϕ=+

12．计算三重积分2

2

()I xy x y z dV Ω

=

++⎰⎰⎰

,其中Ω是由旋转抛物面22

z x y =+与平面1

z =围成的闭区域。 13．设解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，其中(,),(,)u x y v x y 满足：

(,)(,)(cos sin )x

u x y v x y e y y x y -=---。求()f z

14．设函数()f x 具有二阶连续导数，(0)0,(0)1f f '==，且 2

[()()][

()

]0

x y x y f x y d x f x x y d y '+

-

++= 为全微分方程。求函数()f x 及此全微分方程的通解。

15．计算曲线积分22

1(5)()

x

y

L

I xy e

dx x e dy =

++-

⎰

，其中L 为曲线2

2y x x =-从点(0,0)(4,8)到点O A 的

有向弧段。 16．已知()n u x 满足方程1()(),(为正整数)n x n

n u x u x x

e n -'=+，且(1)n e u n

=。

求函数项级数1

()n n u x ∞

=∑的和函数。

17．设(,,)f x y z 连续，Σ是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧。计算曲面积分

[(

,,)][2(,,)][(,,)]I f x y z x dy dz f x y z y dz dx f x y z z dx dy ∑

=

+∧++

∧++∧⎰⎰