初一奥数有理数
七年级奥数有理数竞赛优质
解:(1) ∵ a< - b, 且 >0,
a b a<0,b<0,a b<0,ab>0 a b a b ab a b a b ab ab 2a
(2) ∵ -2 a 0 a 2 0, a 2 0, a 2 a 2 a 2 a 2 4
【巩固练习】
化简:( 1) 3.14 -π ;(2) 8 - x ( x 8)
( (2)已知 | x |= 4,| y |= 6,求代数式 | x + y | 的值
结合数轴化简代数式【A、B卷】
例5、有理数 a, b, c在数轴上对应点如图所 示,化简b a a c c b
例1、|-5|=___ ; |=____;
| +5 |=____ ;
| -[-(-5)]
【绝对值具有非负性】
例2、(1) | |=3 ; | | =5; (2)已知x 是有理数,且|x|=|-4|,那么
x= 2 x 5 5 0; ;
3
(3)解方程:|4x+8|=15 ;
经典例题【B卷题型——代数式求值】
a (a>0) (2) | a | 0 (a 0) (代数意义) a(a<0)
(3)若 | a | a, 则a 0;若 | a | -a,则a 0;
(4)任何一个数的绝对值都 不小于这个数,也不小 于这个数的相反数, 即 | a | a,| a | -a;
(5)若 | a || b |, 则a b或a -b; (几何意义)
【巩固2】数a , b在数轴上对应的点如图 所示,化简a b b a b a a
a 例6、( 1)已知a< - b且 >0,化简a b a b ab ; b (2)若 - 2 a 0, 化简 a 2 a 2 ; (3)已知x<0<z, xy>0, y > z > x , 求 x z y z x - y 的值;
初中奥数有理数的运算
第1讲有理数的运算有理数范围内可以进行加、减、乘、除(除数不为0)四则运算,对于相同的有理数相乘,我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算,除了要熟悉四则运算的法则之外,还应该注意到:1、有理数对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算的结果是封闭的(仍是有理数)。
2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立,乘法对加法的分配律也成立。
3、由于有了正、负数,加法与减法的界限消失,加、减可以互相转换,统一为代数和。
如(-3)-7=(-3)+(-7)。
在有理数范围内,除法可以转化为乘法,比如(-5)÷7=(-5)71。
7第2讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性.(一)括号的使用在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.1计算:46.02562)158175.18(47)1((2)411)54()1()21(12)1()2(219983分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化.注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算.2 计算下式的值:211×555+445×789+555×789+211×445.分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000.说明加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧.3 计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n.分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法.解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n.下面需对n的奇偶性进行讨论:当n为偶数时,上式是n/2个(-1)的和,所以有:s=(-1)*n/2当n为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有4 在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.这启发我们将1,2,3,…,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.所以,所求最小非负数是1.说明本例中,添括号是为了造出一系列的“零”,这种方法可使计算大大简化.(二).用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22.这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ①这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算.5 计算3001×2999的值.解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999.6 计算103×97×10 009的值.解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919.7 计算:分析与解直接计算繁.仔细观察,发现分母中涉及到三个连续整数:12 345,12 346,12 347.可设字母n=12 346,那么12 345=n-1,12 347=n+1,于是分母变为n2-(n-1)(n+1).应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,即原式分母的值是1,所以原式=24 690.8 计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).分析式子中2,22,24,…每一个数都是前一个数的平方,若在(2+1)前面有一个(2-1),就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了.解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1.9 计算:分析在前面的例题中,应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2.这个公式也可以反着使用,即a2-b2=(a+b)(a-b).本题就是一个例子.通过以上例题可以看到,用字母表示数给我们的计算带来很大的益处.下面再看一个例题,从中可以看到用字母表示一个式子,也可使计算简化.10 计算:我们用一个字母表示它以简化计算.(三).观察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分.87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.分析与解若直接把20个数加起来,显然运算量较大,粗略地估计一下,这些数均在90上下,所以可取90为基准数,大于90的数取“正”,小于90的数取“负”,考察这20个数与90的差,这样会大大简化运算.所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799,平均分为90+(-1)÷20=89.95.例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值.分析观察发现:首先算式中,从第二项开始,后项减前项的差都等于2;其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000,于是可有如下解法.解用字母S表示所求算式,即S=1+3+5+…+1997+1999.①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1.②将①,②两式左右分别相加,得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500.从而有S=500 000.说明一般地,一列数,如果从第二项开始,后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997,都等于2),那么,这列数的求和问题,都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决.13 计算1+5+52+53+…+599+5100的值.分析观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前面一项的5倍.如果将和式各项都乘以5,所得新和式中除个别项外,其余与原和式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算.解设S=1+5+52+…+599+5100,①所以5S=5+52+53+…+5100+5101.②②—①得4S=5101-1,说明如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5),那么这列数的求和问题,均可用上述“错位相减”法来解决.14 计算:分析一般情况下,分数计算是先通分.本题通分计算将很繁,所以我们不但不通分,反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差,然后再计算,这种方法叫做拆项法.解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项,这种方法在有理数巧算中很常用.。
七年级奥数培训讲义 第一章有理数
七年级奥数教学讲义七年级奥数讲义第一章《有理数》要求:掌握基本概念和基本运算技能会灵活应用运算律和运算法则解题。
同号相加号不差,绝对值要相加;异号相加“大”减“小”,符号跟着大的跑;(异号相加取绝大,大绝要把小绝压;)谁同0加谁当家,相反数相加0自夸。
遇到减法细观察,改变符号再相加。
乘除符号意义大,同正异负莫出差;谁同0乘0自夸,互为倒数1当家。
混合运算顺序化,乘方乘除再相加;运算律的好处大,合理运用能简化;分配侓,别漏乘,定符号,再相乘。
括号由里小中大,切记负号别拉下。
认真仔细基础打,长大当个科学家。
【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
1-1⒈正数和负数的概念负数:比0小的数正数:比0大的数 0既不是正数,也不是负数注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。
(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。
注:“0”的9 种说法:(1)既不是正数也不是负数的数.(2)最大的非正数.(3)最小的非负数.(4)与其相反数相等的数.(5)最小的非负整数.(6)最大的非正整数.(7)最小的自然数.(8)绝对值最小的有理数.(9)没有倒数的数.4、有理数的概念【定义】:整数与分数统称为有理数(注意:所有的有限小数和无限循环小数都可以化为分数。
)⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
七年级奥数题(有理数的巧算)
七年级奥数题(有理数的巧算)有理数的巧算1.计算题1.计算(1)2002的值。
答案:B。
12.a为有理数,则a+2000的值不能是什么?答案:C。
03.计算2007{2006[2007(20062007)]}的值。
答案:B。
20094.计算(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)的结果。
答案:A。
-15.计算(-1)2006+(-1)2007÷(-1)2008的结果。
答案:A。
06.计算-2÷(-2)+(-2)的结果。
答案:D。
07.计算:3.825×(-1.825)+0.25×3.825+3.825×0.的结果。
答案:无8.计算:2002-2001+2000-1999+。
+2-1的结果。
答案:无9.计算:(-1)3÷2.5×(-0.75)×(-1)÷(-1)的结果。
答案:无10.计算:-5×+6×的结果。
答案:无11.练:计算2-2+2-3+2-4+。
+2-29+2-10的结果。
答案:2n(2-1)=2n-112.计算:(1/3)1+(1/3)2+(1/3)3+。
+(1/3)10的结果。
答案:(1-1/3^10)/(1-1/3)=2.13.计算:(1/2)+(2/3)+(3/4)+。
+(98/99)+(99/100)的结果。
答案:无14.求x+1+x-2的最小值及取最小值时x的取值范围。
答案:最小值为-1/2,x的取值范围为[1/2,2]15.练:已知实数a,b,c满足-1c>a,求c-1+a-c-a-b的值。
答案:-2b7年级奥数教案——有理数的巧算1.计算 $(-1)^{1998}+(-1)^{1999}+\cdots+(-1)^{2007}$ 的值为(C)A。
1B。
$-1$C。
0D。
102.若 $m$ 为正整数,那么 $1-\dfrac{(-1)^{m^2-1}}{4}$ 的值为(B)A。
初一奥数 第五讲 有理数的计算技巧
第六节 活学巧算【知识要点】1.裂项相消法:有些求若干个分数之和的计算题,如果用通分的方法来解答,显得既繁又难,也很不容易求出正确答案,我们可以把其中的每个加数,根据()11111+-=+n n n n 的原理,分裂为两个分数之差,这样算式中除首、尾两项之外,其余各分数均加、减相消,可巧妙求出整个算式的和,这种巧解思路,称为裂项相消法.2.裂项公式:(1)()11+n n 型(n 为自然数)裂项公式.因为111+-n n =())1(1)1(11+=+-++n n n n n n n n , 所以,有裂项公式()11111+-=+n n n n . (2))(1k n n +型(k n ,均为自然数)裂项公式.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k n n k 111()()()k n n k n n n k n n k n k +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=11 所以,有裂项公式:⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 姓名: 日期:(3))(k n n k +型(k n ,均为自然数)裂项公式.因为)()()(11k n n k k n n n k n n k n k n n +=+-++=+-,所以,有裂项公式kn n k n n k +-=+11)(.3.倒写相加法:用将原式倒序排列后所得的新式,再与原式对应项相加,使所得的和均相等,这样能使计算简便,这种计算方法叫做倒写相加法.4、整体换元法用字母将算式中具有共同特点的部分进行整体代换后,可以使计算简化。
这种方法叫做整体换元法。
【典型例题】例1 计算:10032114321132112111+++++++++++++++.例2 求证:()()()212324321641531421311+++-=+++⨯+⨯+⨯+⨯n n n n n .例3 计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++19991141131121119991411311211413112113121121例4、 计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++9897983981656361434121例5.计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+9182734637281941322314312213211211例6.比较200022000164834221+++++=S 与2的大小.例7、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++199613121119971413121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-199614131211997131211【经典练习】1.计算:()()13231741411+-++⨯+⨯n n .2.计算:191817143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯3.计算:200320017531++++++4.计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++60596058602601545352514342413231215.计算:2019181715432143211⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯6.122000200120012001+++=7.1111399241111111111111111112232342399+++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.111113142531999199720001998+++++=⨯⨯⨯⨯⨯9.⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++7665544332766554433221121766554433221766554433221210.计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++17113111119117113111111911711311111711311111思考题:222222221223342000200112233420002001+++++++=⨯⨯⨯⨯有理数的巧算作业1.111111123456761220304256++++++=2.32191617815413211++++姓名: 成绩:3.1111 1661111165156 ++++⨯⨯⨯⨯4.()() 22222222 24610013599 12310981++++-+++= ++++++++5.1111 224246246200 ++++++++++。
初一年级奥数知识点:有理数的混合运算
初一年级奥数知识点:有理数的混合运算一、有理数:整数和分数统称为有理数。
正整数正整数整数0正有理数负整数正分数有理数正分数有理数0 负整数分数负有理数负分数负分数注意:正负数表示具有相反意义的量(具有相反意义的量,只要求意义相反,而不要求数量一定相等,负号“-”本身就表示意义相反的意思)。
0既不是正数也不是负数。
1、正数前面可以加“+”号,也可以不加“+”号。
2、判断一个数是不是负数,要看它是不是在正数的前面加“—”号,而不是看它是不是带有“—”号。
注意“—a”不一定是负数。
3、相反意义的量是成对出现的。
4、0是有理数,也是整数,也是最小的自然数。
5、奇数、偶数也可以扩充到负数,如—1,—21,—53?等都是奇数;—2,—22,—26^等都是偶数。
6、整数也可以看作分母为1的分数。
7、a的相反数是?a,但—a 不一定是负数。
8、求一个式子的相反数,一定要将整个式子加上括号,再在括号前面加上“—”号,例如x?y的相反数是—(x?y),即y?x。
9、多重符号的化简化简的结果取决与正数前面负号“—”的个数,“奇负偶正”。
二、数轴三要素:原点、单位长度、正方向。
1、两方向无限延伸;三要素缺一不可;原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际情况需要规定的。
2、画法:一条直线——取一点为原点——正方向,用箭头表示(一般规定向右)3、所有有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点并不是都表示有理数数。
4、数轴上的点,右边的数左边的数。
正数0 负数3、任何一个有理数,都可以用数轴上的一个点来表示。
(反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数)4、如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。
(0的相反数是0)5、在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的侧,且到原点的距离相等。
数轴上两点表示的数,右边的总比左边的大。
正数在原点的右边,负数在原点的左边。
(完整版)七年级奥数题(有理数的巧算)
有理数的巧算考考你:1、2002)1(-的值 ( B )A. 2000B.1C.-1D.-20002、a 为有理数,则200011+a 的值不能是 ( C ) A.1 B.-1 C .0 D.-20003、()[]}{20072006200720062007----的值等于 ( B )A.-2007B.2009C.-2009D.20074、)1()1()1()1()1(-÷-⨯---+-的结果是 ( A )A.-1B.1C.0D.25、2008200720061)1()1(-÷-+-的结果是 ( A )A.0B.1C.-1D.26、计算)2()21(22-+-÷-的结果是 ( D ) A.2 B.1 C.-1 D.07、计算:.21825.3825.325.0825.141825.3⨯+⨯+-⨯8、计算:.311212311999212000212001212002-++-+-Λ9、计算:).138(113)521()75.0(5.2117-⨯÷-÷-⨯÷-11、计算:.363531998199992000⨯+⨯-练习:.22222222221098765432+--------.2)12(2221n n n n =-=-+ 612、计算:)9897983981()656361()4341(21++++++++++ΛΛ 结果为:5.612249122121=⨯++⨯+Λ13、计算:.200720061431321211⨯++⨯+⨯+⨯Λ应用:)111(1)1(+-=+n n d n n d练习:.1051011171311391951⨯++⨯+⨯+⨯Λ13、计算:35217106253121147642321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯. 结果为5214、求21-++x x 的最小值及取最小值时x 的取值范围.练习:已知实数c b a ,,满足,01b a c <<<<-且,a c b >>求b a c a c ---+-1的值.答案:练习:1、计算2007200619991998)1()1()1()1(-+-++-+-Λ的值为 ( C )A.1B.-1C.0D.102、若m 为正整数,那么()[])1(11412---m m 的值 ( B ) A.一定是零 B.一定是偶数C.是整数但不一定是偶数D.不能确定 3、若n 是大于1的整数,则2)(12)1(n n n p ---+=的值是 ( B )A.一定是偶数B.一定是奇数C.是偶数但不是2D.可以是奇数或偶数4、观察以下数表,第10行的各数之和为 ( C ) 14 36 7 813 12 11 1015 16 17 18 1926 25 24 23 22 21…A.980B.1190C.595D.4905、已知,200220012002200120022001200220012⨯++⨯+⨯+=Λa 20022002=b ,则a 与b 满足的关系是 ( C )A.2001+=b aB.2002+=b aC.b a =D.2002-=b a6、计算: .35217201241062531211471284642321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯527、计算:.561742163015201412136121++++++83288、计算:.100321132112111+++++++++++ΛΛ9、计算: .999999999999999999999+++++10、计算)100011)(99911)(99811()411)(311)(211(10201970198019992000-------++-+-ΛΛ.610 11、已知,911,999909999==Q p 比较Q P ,的大小. Q p ==⨯⨯=⨯⨯=9099909999099119991199)911(12、设n 为正整数,计算:43424131323332312122211+++++++++++ .1112141424344nn n n n n n n n ++-++-+++++++++ΛΛΛ 2)1(21+=+++n n n Λ13、2007加上它的21得到一个数,再加上所得的数的31又得到一个数,再加上这次得到的41又得到一个数,… ,依次类推,一直加到上一次得数的20071,最后得到的数是多少?2005003)200211()311()211(2002=+⨯⨯+⨯+⨯Λ14、有一种“二十四点”的 游戏,其游戏规则是这样的:任取四个1至13之间的 自然数,将这四个(每个数用且只用一次)进行加减四则运算与)321(4++⨯应视作相同方法的运算,现有四个有理数3,4,-6,10.运用上述规则写出三种不同方法的运算,使其结果等于24,运算式:(1)_______________________;(2)________________________;(3)________________________;15.黑板上写有1,2,3,…,1997,1998这1998个自然数,对它们进行操作,每次操作规则如下:擦掉写在黑板上的三个数后,再添写上所擦掉三个数之和的个位数字,例如:擦掉5,13和1998后,添加上6;若再擦掉6,6,38,添上0,等等。
初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算
初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算第一篇:初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算金苹果文化培训学校奥数学提高班第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性.1.括号的使用在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.例1 计算下式的值:211×555+445×789+555×789+211×445.例2 在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?2.用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算.金苹果文化培训学校奥数学提高班3.观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分.87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值.2399100例6 计算1+5+5+5+…+5+5的值.例7 计算:金苹果文化培训学校奥数学提高班(6)1+4+7+ (244)1111(7)1++2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2000333***9-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-(8)1-+***99002.某小组20名同学的数学测验成绩如下,试计算他们的平均分.81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.金苹果文化培训学校奥数学提高班再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1.②将①,②两式左右分别相加,得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500.从而有 S=500 000.例6 计算1+5+52+53+…+599+5100的值.分析观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前面一项的5倍.如果将和式各项都乘以5,所得新和式中除个别项外,其余与原和式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算.99100 解设S=1+5+52+…+5+5,①所以231001015S=5+5+5+…+5+5.②②—①得1014S=5-1,例7 计算:分析一般情况下,分数计算是先通分.本题通分计算将很繁,所以我们不但不通分,反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差,然后再计算,这种方法叫做拆项法.解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项,这种方法在有理数巧算中很常用.第二篇:初一奥数提高班第03讲-绝对值_金苹果文化培训学校奥数学提高班第3讲绝对值(1)一主要知识点回顾1.有理数:按有理数的符号分为三类:正有理数、负有理数和零,简称正数、负数和零2.数轴的三要素——原点、正方向和单位长度,缺一不可.相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数(符号相反且绝对值相等的两数)绝对值一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数二典型例题分析:例1 a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?(1)|a+b|=|a|+|b|;(2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|;(4)若|a|=b,则a=b;5)若|a|<|b|,则a<b;(6)若a>b,则|a|>|b|.例2 设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|.三.专项练习(一).填空题:1.a>0时,|2a|=________;(2)当a>1时,|a-1|=________;2.已知a++b-3=0,则a____b______3.如果a>0,b<0,a<b,则a,b,—a,—b这4个数从小到大的顺序是______________________(用大于号连接起来)4.若xy>0,z<0,那么xyz=______0.5.上山的速度为a千米/时,下山的速度为b千米/时,则此人上山下山的整个路程的平均速度是_______________千米/时(二).选择题:6.值大于3且小于5的所有整数的和是()A.7B.-7C.0D.57.知字母a、b表示有理数,如果a+b=0,则下列说法正确的是()A.a、b中一定有一个是负数B.a、b都为0C.a与b不可能相等D.a与b的绝对值相等8.下列说法中不正确的是()A.0既不是正数,也不是负数B.0不是自然数C.0的相反数是零D.0的绝对值是09.列说法中正确的是()A、-a是正数B、—a是负数C、-a是负数D、-a不是负数10.x=3,y=2,且x>y,则x+y的值为()A、5B、1C、5或1D、—5或—111.<0时,化简aa等于()A、1B、—1C、0D、±112.若ab=ab,则必有()A、a>0,b<0B、a<0,b<0C、ab>0D、ab≥013.已知:x=3,y=2,且x>y,则x+y的值为()A、5B、1C、5或1D、—5或—1(三).解答题:14.a+b<0,化简|a+b-1|-|3-a-b|.15..若x-y+y-3=0,求2x+y的值.16.当b为何值时,5-2b-有最大值,最大值是多少?17.已知a是最小的正整数,b、c是有理数,并且有|2+b|+(3a+2c)2=0.4ab+c求式子的值.22-a+c+418.若a,b,c为整数,且|a-b|19+|c-a|99=1,试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.《春雨的色彩》说课稿一、教材内容分析:春天里万物复苏,百花争艳、绿草如荫、一派迷人的景色。
七年级上册有理数奥数题
七年级上册有理数奥数题一、有理数奥数题。
1. 计算:(-1)+2+(-3)+4+·s+(-99)+100- 解析:- 我们可以将相邻的两项分为一组,即(-1 + 2)=1,(-3+4)=1,以此类推。
- 从1到100共有100个数,两两一组,可以分成100÷2 = 50组。
- 所以原式=1×50 = 50。
2. 若| a - 2|+(b + 3)^2 = 0,求a + b的值。
- 解析:- 因为绝对值是非负的,一个数的平方也是非负的。
- 要使| a - 2|+(b + 3)^2 = 0成立,则| a - 2|=0且(b + 3)^2 = 0。
- 由| a - 2|=0可得a - 2 = 0,即a = 2;由(b + 3)^2 = 0可得b+3 = 0,即b=-3。
- 所以a + b=2+(-3)=-1。
3. 计算:1 - 2 - 3+4+5 - 6 - 7 + 8+·s+97 - 98 - 99+100- 解析:- 把原式每四项分为一组,(1-2 - 3 + 4)=0,(5 - 6 - 7+8)=0,以此类推。
- 因为100÷4 = 25,所以原式=0×25 = 0。
4. 已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值是2,求(a + b)/(m)+m - cd 的值。
- 解析:- 因为a、b互为相反数,所以a + b = 0;因为c、d互为倒数,所以cd = 1;因为m的绝对值是2,所以m=±2。
- 当m = 2时,(a + b)/(m)+m - cd=(0)/(2)+2 - 1=1;当m=-2时,(a +b)/(m)+m - cd=(0)/(-2)-2 - 1=-3。
5. 计算:(-2019)×(2017)/(2018)- 解析:- 我们将-2019写成(-2018 - 1),则原式=(-2018-1)×(2017)/(2018)- =(-2018)×(2017)/(2018)-1×(2017)/(2018)- =-2017-(2017)/(2018)=-2017(2017)/(2018)。
初一奥数知识点:有理数
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性更快、更高、 更强。
国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事,由国际数学教育专家命 题,出题范围超出了所有国家的义务教育水平,难度大大超过大学入 学考试。
奥数对青少年的脑力锻炼有着一定的作用,可以通过奥数对思维 和逻辑进行锻炼,对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用,通常比 普通数学要深奥一些。
下面是 1 有理数 1 凡能写成形式的数,都是有理数正整数、0、负整数统称整数; 正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数注意 0 即不是正数, 也不是负数;-不一定是负数,+也不一定是正数;不是有理数; 2 有理数的分类①② 3 注意有理数中,1、0、-1 是三个特殊的数,它们有自己的特性; 这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特 性; 4 自然数 0 和正整数;>0 是正数;<0 是负数; ≥0 是正数或 0 是非负数;≤0 是负数或 0 是非正数 2.数轴数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 3.相反数 1 只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0 的相反数还是 0; 2 注意-+的相反数是-+-;-的相反数是-;+的相反数是--; 3 相反数的和为 0+=0、互为相反数 4 绝对值 1 正数的绝对值是其本身,0 的绝对值是 0,负数的绝对值是它的相反数;注意绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; 2 绝对值可表示为或;绝对值的问题经常分类讨论; 3;; 4||是重要的非负数,即||≥0;注意||·||=|·|, 5 有理数比大小 1 正数的绝对值越大,这个数越大;2 正数永远比 0 大,负数永远比 0 小;3 正数大于一切负数;4 两个负数比大小, 绝对值大的反而小;5 数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大; 6 大数-小数>0,小数-大数<06 互为倒数乘积为 1 的两个数互为倒数;注意 0 没有倒数;若≠0, 那么的倒数是;倒数是本身的数是±1;若=1、互为倒数;若=-1、互 为负倒数7 有理数加法法则 1 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; 2 异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去 较小的绝对值; 3 一个数与 0 相加,仍得这个数 8.有理数加法的运算律1 加法的交换律+=+;2 加法的结合律++=++ 9.有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数;即 -=+10 有理数乘法法则 1 两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘; 2 任何数同零相乘都得零; 3 几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零, 积的符号由负因式的个数决定 11 有理数乘法的运算律 1 乘法的交换律=;2 乘法的结合律=; 3 乘法的分配律+=+ 12.有理数除法法则除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意零 不能做除数, 13.有理数乘方的法则 1 正数的任何次幂都是正数; 2 负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意当为正奇数 时-=-或-=--,当为正偶数时-=或-=14.乘方的定义 1 求相同因式积的运算,叫做乘方; 2 乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘 方的结果叫做幂; 32 是重要的非负数,即 2≥0;若 2+||=0=0,=0;4 据规律底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位 15.科学记数法把一个大于 10 的数记成×10 的形式,其中是整 数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法 16 近似数的精确位一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个 近似数的精确到那一位 17 有效数字从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止, 所有数字,都叫这个近似数的有效数字 18 混合运算法则先乘方,后乘除,最后加减;注意怎样算简单, 怎样算准确,是数学计算的最重要的原则 19 特殊值法是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进 行猜想的一种方法,但不能用于证明【初一奥数知识点有理数】。
2初一奥数第02讲有理数的加减法
2初一奥数第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1.理解有理数加法法如此,了解有理数加法的实际意义.2.准确运用有理数加法法如此进展运算,能将实际问题转化为有理数的加法运算.3.理解有理数减法与加法的转换关系,会用有理数减法解决生活中的实际问题.4.会把加减混合运算统一成加法运算,并能准确求和.经典·考题·赏析【例1】〔某某某某〕某天股票A开盘价18元,上午11:30跌了1.5元,下午收盘时又涨了0.3元,如此股票A这天的收盘价为〔〕ABCD.18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时,首先将具有相反意义的量确定一个为正,另一个为负,其次在计算时正确选择加法法如此,是同号相加,取一样符号并用绝对值相加,是异号相加,取绝对值较大符号,并用较大绝对值减去较小绝对值.解:18+〔-1.5〕+〔0.3〕=16.8,应当选C.【变式题组】01.今年某某省元月份某一天的天气预报中,某某市最低气温为-6℃,某某市最低气温2℃,这一天某某市的最低气温比某某低〔〕A.8℃B.-8℃C.6℃D.2℃02.〔某某〕飞机的高度为2400米,上升250米,又下降了327米,这是飞机的高度为__________03.〔某某〕珠穆朗玛峰海拔8848m,吐鲁番海拔高度为-155m,如此它们的平均海拔高度为__________【例2】计算〔-83〕+〔+26〕+〔-17〕+〔-26〕+〔+15〕【解法指导】应用加法运算简化运算,-83与-17相加可得整百的数,+26与-26互为相反数,相加为0,有理数加法常见技巧有:⑴互为相反数结合一起;⑵相加得整数结合一起;⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起;⑷一样符号的数结合一起.解:〔-83〕+〔+26〕+〔-17〕+〔-26〕+〔+15〕=[〔-83〕+〔-17〕]+[〔+26〕+〔-26〕]+15=〔-100〕+15=-85 【变式题组】01.〔-2.5〕+〔-312〕+〔-134〕+〔-114〕02.〔-13.6〕+0.26+〔-2.7〕+〔-1.06〕03.0.125+314+〔-318〕+1123+〔-0.25〕【例3】计算1111 12233420082009 ++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n=-++进展裂项,然后邻项相消进展化简求和.解:原式=1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++- =111111112233420082009-+-+-++- =112009-=20082009【变式题组】01.计算1+〔-2〕+3+〔-4〕+ … +99+〔-100〕02.如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形,接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形,再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形,如此进展下去,试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++=__________. 【例4】如果a <0,b >0,a +b <0,那么如下关系中正确的答案是〔 〕A .a >b >-b >-aB .a >-a >b >-bC .b >a >-b >-aD .-a >b >-b >a【解法指导】紧扣有理数加法法如此,由两加数与其和的符号,确定两加数的绝对值的大小,然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来,即可得出结论.解:∵a <0,b >0,∴a +b 是异号两数之和又a +b <0,∴a 、b 中负数的绝对值较大,∴| a |>| b |将a 、b 、-a 、-b 表示在同一数轴上,如图,如此它们的大小关系是-a >b >-b>a【变式题组】01.假如m >0,n <0,且|m |>|n |,如此m +n ________ 0.〔填>、<号〕02.假如m<0,n>0,且|m |>|n |,如此m+n ________ 0.〔填>、<号〕03.a<0,b>0,c<0,且|c |>|b |>|a |,试比拟a、b、c、a+b、a+c的大小【例5】425-〔-33311〕-〔-1.6〕-〔-21811〕【解法指导】有理数减法的运算步骤:⑴依有理数的减法法如此,把减号变为加号,并把减数变为它的相反数;⑵利用有理数的加法法如此进展运算.解:425-〔-33311〕-〔-1.6〕-〔-21811〕=425+33311+1.6+21811=4.4+1.6+〔33311+21811〕=6+55=61【变式题组】01.21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02.434-〔+3.85〕-〔-314〕+〔-3.15〕03.178-87.21-〔-43221〕+1531921【例6】试看下面一列数:25、23、21、19…⑴观察这列数,猜测第10个数是多少?第n个数是多少?⑵这列数中有多少个数是正数?从第几个数开始是负数?⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律,应该从特殊到一般,找到前面几个数的规律,通过观察推理、猜测出第n个数的规律,再用其它的数来验证.解:⑴第10个数为7,第n个数为25-2(n-1)⑵∵n=13时,25-2(13-1)=1,n=14时,25-2(14-1)=-1故这列数有13个数为正数,从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,其和=〔25+1〕+〔23+3〕+…+〔15+11〕+13=26×6+13=169【变式题组】01.(某某)观察如下等式1-12=12,2-25=85,3-310=2710,4-417=6417…依你发现的规律,解答如下问题.⑴写出第5个等式;⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少?02.观察如下等式的规律9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20⑴用关于n〔n≥1的自然数〕的等式表示这个规律;⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例7】〔第十届希望杯竞赛试题〕求12+〔13+23〕+〔14+24+34〕+〔15+25+35+45〕+…+〔150+250+…+4850+4950〕【解法指导】观察式中数的特点发现:假如括号内在加上一样的数均可合并成1,由此我们采取将原式倒序后与原式相加,这样极大简化计算了.解:设S=12+〔13+23〕+〔14+24+34〕+…+〔150+250+…+4850+4950〕如此有S=12+〔23+13〕+〔34+24+14〕+…+〔4950+4850+…+250+150〕将原式和倒序再相加得2S=12+12+〔13+23+23+13〕+〔14+24+34+34+24+14〕+…+〔150+2 50+…+4850+4950+4950+4850+…+250+150〕即2S=1+2+3+4+ (49)49(491)2⨯+=1225∴S=1225 2【变式题组】01.计算2-22-23-24-25-26-27-28-29+21002.〔第8届希望杯试题〕计算〔1-12-13-…-12003〕〔12+13+14+…+12003+1 2004〕-〔1-12-13-…-12004〕〔12+13+14+…+12003〕演练巩固·反应提高01.m是有理数,如此m+|m|〔〕A.可能是负数B.不可能是负数C.比是正数D.可能是正数,也可能是负数02.如果|a|=3,|b|=2,那么|a+b|为〔〕A.5B.1C.1或5D.±1或±503.在1,-1,-2这三个数中,任意两数之和的最大值是〔〕A.1B.0C.-1D.-304.两个有理数的和是正数,下面说法中正确的答案是〔〕A.两数一定都是正数B.两数都不为0C.至少有一个为负数D.至少有一个为正数05.如下等式一定成立的是〔〕A.|x|- x=0B.-x-x=0C.|x|+|-x| =0D.|x|-|x|=006.一天早晨的气温是-6℃,中午又上升了10℃,午间又下降了8℃,如此午夜气温是〔〕A.-4℃B.4℃C.-3℃D.-5℃07.假如a<0,如此|a-(-a)|等于〔〕A.-aB.0C.2aD.-2a08.设x是不等于0的有理数,如此||||2x xx值为〔〕A.0或1B.0或2C.0或-1D.0或-209.〔某某〕2+(-2)的值为__________10.用含绝对值的式子表示如下各式:⑴假如a<0,b>0,如此b-a=__________,a-b=__________⑵假如a>b>0,如此|a-b|=__________⑶假如a<b<0,如此a-b=__________11.计算如下各题:⑴23+〔-27〕+9+5⑵⑶-0.5-314+2.75-712⑷33.1-10.7-〔-22.9〕-|-2310|12.计算1-3+5-7+9-11+…+97-9913.某检修小组乘汽车沿公路检修线路,规定前进为正,后退为负,某天从A地出发到收工时所走的路线〔单位:千米〕为:+10,-3,+4,-2,-8,+13,-7,+12,+7,+5⑴问收工时距离A地多远?⑵假如每千米耗油0.2千克,问从A地出发到收工时共耗油多少千克?14.将1997减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的14,再减去余下的15……以此类推,直到最后减去余下的11997,最后的得数是多少?15.独特的埃与分数:埃与同中国一样,也是世界著名的文明古国,古代埃与人处理分数与众不同,他们一般只使用分子为1的分数,例如13+115来表示25,用14+17+128表示37等等.现有90个埃与分数:12,13,14,15,…190,191,你能从中挑出10个,加上正、负号,使它们的和等于-1吗?培优升级·奥赛检测01.〔第16届希望杯邀请赛试题〕1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于〔〕A .14B .14-C .12D .12- 02.自然数a 、b 、c 、d 满足21a +21b +21c +21d =1,如此31a +41b +51c +61d 等于〔 〕A .18B .316C .732D .156403.〔第17届希望杯邀请赛试题〕a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数,且abcd =441,如此a+b +c +d 值是〔 〕A .30B .32C .34D .3604.〔第7届希望杯试题〕假如a =1995199519961996,b =1996199619971997,c =1997199719981998,如此a 、b 、c 大小关系是〔 〕A .a <b <cB .b <c <aC .c <b <aD .a <c <b05.11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数局部为〔 〕A .1B .2C .3D .406.(-2)2004+3×(-2)2003的值为〔 〕A .-22003B .22003C .-22004D .2200407.〔希望杯邀请赛试题〕假如|m |=m +1,如此(4m +1)2004=__________08.12+〔13+23〕+〔14+24+34〕+ … +〔160+260+…+5960〕=__________ 09.19191976767676761919-=__________10.1+2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=__________ 11.求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12.(a +b )2+|b +5|=b +5,且|2a -b -1|=0,求ab .534333231313.计算(11998-1)(11997-1) (11996-1) … (11001-1) (11000-1)14.请你从下表归纳出13+23+33+43+…+n 3的公式并计算出13+23+33+43+…+1003的值.。
七年级奥数有理数试题及答案
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛,简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性:更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事,由国际数学教育专家命题,出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平,难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
下⾯是⽆忧考为⼤家带来的七年级奥数有理数试题及答案,欢迎⼤家阅读。
⼀、选择题(共30分) 1.下列说法中正确的是 ( ) A.⼀个数的相反数是负数 B.⼀个数的绝对值⼀定不是负数 C.⼀个数的绝对值⼀定是正数 D.⼀个数的绝对值的相反数⼀定是负数 2.数轴上在原点以及原点右侧的点所表⽰的数是 ( ) A.正数 B.负数 C.⾮负数 D.⾮正数 3.绝对值⼤于⼀2且⼩于5的所有的整数的和是 ( ) A.7 B.⼀7 C.0 D.5 4.下列算式中正确的是 ( ) A.(⼀14)⼀5=⼀9 B.0⼀(⼀3)=3 C.(⼀3)⼀(⼀3)= ⼀6 D. =⼀(5—3) 5.下列说法中错误的是 ( ) A.⼀a的绝对值为a B.⼀a的相反数为a C.的倒数是a D.⼀a的平⽅等于a的平⽅ 6.⽐较⼀2.4,⼀0.5,⼀(⼀2),⼀3的⼤⼩,下列正确的是 ( ) A.⼀3>⼀2.4>⼀(⼀2)> ⼀0.5 B.⼀(⼀2)> ⼀3>⼀2.4>⼀0.5 C.⼀(⼀2)> ⼀0.5>⼀2.4>⼀3 D.⼀3>⼀(⼀2)> ⼀2.4>⼀0.5 7.⼀个数的平⽅是81,则这个数是 ( ) A. B.9 C.⼀9 D.92 8.⼀(⼀4)3等于 ( ) A.⼀12 B.12 C.⼀64 D.64 9.有理数a、b在数轴上的位置如图所⽰,则a+b的值 ( ) A.⼤于0 B.⼩于0 C.等于0 D.⼤于6 10.若ab<0,且a⼀b>0,则下列选项中,正确的是 ( ) A.a< 0,b<0 B.a<0.b>0 C.a>0,b<0 D.a>0.b>0 ⼆、填空题(共24分) 11.如果收⼊1 000元记作+1 000元,那么⼀600元表⽰_______________. 12.的相反数是___ ______,倒数是__________,绝对值是__________. 13.⽐⼀3⼤的负整数是_________,⽐3⼩的⾮负整数是_________ . 14.在数轴上,与原点距离为5个单位的点有_________个,它们是_________ 15.⽐较⼤⼩:⼀4.8_________⼀ 3.8; _________ (⼀2)3. 16.,则a+6=_________. 17.—24=_________ (⼀2)4=_________, =_________. 18.太阳直径为1 390 000 km,⽤科学记数法表⽰为_________. 三、解答题(共46分) 19.把下列各数分别填⼈相应的集合⾥. —5,,0,—3.14,,—12,+1.99,—(—6) (1)正数集合:{ …} (2)负数集合:{ …} (3)整数集合:{ …} (4)分数集合:{ …} 20.在数轴上表⽰下列各数,并把它们按照从⼩到⼤的顺序排列. 2,⼀l,⼀1.5,0,,. 21.计算: (1)24+(⼀14)+(⼀16)+8: 22.若,求m+n的值 23.根据某地实验测得的数据表明,⾼度每增加1 km,⽓温⼤约下降6℃,已知该地地⾯ 温度为21℃. (1)⾼空某处⾼度是8 km,求此处的温度是多少; (2)⾼空某处温度为⼀24 ℃,求此处的⾼度. 24.某巡警骑摩托车在⼀条南北⼤道上巡逻,某天他从岗亭出发,晚上停留在A处,规定 向北⽅向为正,当天⾏驶纪录如下(单位:km) +10,⼀9,+7,⼀15,+6,⼀14,+4,⼀2 (1)A在岗亭何⽅?距岗亭多远? (2)若摩托车⾏驶1 km耗油0.05 L,这⼀天共耗油多少升? 25.如果a>0,b<0, 且,试⽐较a,b,—a, —b的⼤⼩ 参考答案 1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.D 9.A 10.C 11.⽀出.600元 12. 13.⼀2:⼀1 0 ,1 ,2 14.2±5 15.<< 16.-1 17.-6 16 18.1.39×106km 19. 20. 21.(1)2(2)2(3)6(4)⼀19(5)⼀5(6)⼀2 22.±3或±13 23.(1)-27℃ (2)7.5 km 24.(1)A在岗亭的南边,距岗亭13 km (2)3.35 L 25.b<-a。
初一奥数 第一讲 有理数的意义
第一节 有理数的意义【知识要点】1.整数和分数统称为有理数; 2.有理数还可以这样定义:形如pm(其中m ,p 均为整数,且0m ≠)的数是有理数。
这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数。
3.有理数的数系表:{{{{⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩正整数整数零负整数有理数正有限小数正分数正无限循环小数分数负有限小数负分数负无限循环小数正整数正有理数正分数或 有理数零负整数负有理数负分数4.有理数可以用数轴上的点表示。
数轴的意义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。
5.零是正数和负数的分界点,也是具有相反意义的量的分界点;零既不是正数也不是负数。
6.如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数。
如果两个数的积为1,则称这两个数互为倒数。
姓名: 日期:【典型例题】一.有理数的基本概念例1、填空。
(1)如果把上升20m 记作+20m ,那么下降15m 记作 。
(2)海平面以上的高度一般用 数表示,比海平面高8848m 的山峰处,它的高度记作海拔 m ,比海平面低11034m 的海沟处,它的高度记作海拔 m 。
(3)粮食产量增产12%,记作+12%,则减产8%记作 。
例2、把下列各数填在相应的大括号里。
-1,0,+0.8,-37, 2.4-,8848,134-,227,80- 整数集合}{;负整数集合}{;正分数集合}{; 负分数集合}{;例3、如果b a ,均为有理数,且0<b ,那么b a b a a +-,,的大小关系是( ) A 、b a b a a -<+< B 、b a b a a +<-< C 、b a a b a -<<+ D 、a b a b a <+<-二.数轴与相反数A BCDEF-511例4 (1)数轴上点A 表示数-3。
在同一数轴上点B 表示数-8,则A 、B 之间的距离是_________;(2)在同一数轴上与点A 相距8个单位的点表示的数是_____; (3)点A 到原点的距离是________。
初一年级奥数有理数的混合运算测试题及答案
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性更快、更高、更强。
国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事,由国际数学教育专家命题,出题范围超出了所有国家的义务教育水平,难度大大超过大学入学考试。
奥数对青少年的脑力锻炼有着一定的作用,可以通过奥数对思维和逻辑进行锻炼,对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用,通常比普通数学要深奥一些。
下面是 1 形如的式子叫做二阶行列式,它的运算法则用公式表示为=-,依此法则计算 2-1-34 的结果为 11-115-22 计算 13÷-3×-13×33 的结果为 1927-33下列各组数中的数是 3×32-2×223×32-2×22322-222332-2224 计算 16-12-13×24 的结果为__-16__5 若-42+|2-|=0,则=__16__,+2-=__1__6 计算 123-3×45=__4__;2-4÷-3×13=__49__7 若为正整数,则-1+-1+12=__0__8计算1-0752÷-1123+-112×12-132;2-32--52÷-2;3-6÷65--33-1-025÷12×18【解】1原式=-342÷-323+-112×162=-916÷-278+1×136=916×827+136=16+136=7362 原 式 =9-25÷-2=-16÷-2=16×12=83 原 式=-6×56--27-1-12×18=-5+495=4909 对于任意有理数,,规定一种 新的运算*=2+2--+1,则-3*5=__33__【解】-3*5=-32+52--3-5+1=9+25+3-5+1=3310 已知 4 个矿泉水空瓶可 以换矿泉水一瓶,现有 16 个矿泉水空瓶,若不交钱,最多可以喝矿 泉水 3 瓶 4 瓶 5 瓶 6 瓶【解】16 个矿泉水瓶换 4 瓶矿泉水,再把喝完的 4 个空瓶再换一瓶水, 共 5 瓶,故选 11 已知 2-=4,则 2-22-3-2+1=__45__【解】∵2-=4,∴-2=-4 原式=2×-42-3×-4+1=4512 十进制的自然数可 以写成 2 的乘方的降幂的式子,如 1910=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=100112,即十进制的 数 19 对应二进制的数 10011 按照上述规则,十进制的数 413 对应二 进制的数是__110011101__【解】41310=256+128+16+8+4+1=1×28+1×27+0×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20=110011101213 如图,一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水,根据图中标明的数据,瓶子的容积是__70__3 第 13 题141 计算 23÷-122-9×-133+-116;2 已知,互为相反数,,互为倒数,||=2,求+• 5-79+8+5-2 的值【解】1 原式=8×4-9×-127+1=32+13+1=33132 由题意,得+=0,=1,=±2,∴原式=0+5-4=115计算11×2×3+12×3×4+13×4×5+…+111×12×13【解】原式=1211×2-12×3+1212×3-13×4+1213×4-14×5+…+12111×12-112×13=1211×2-12×3+12×3-13×4+13×4-14×5+…+111×12-112×13=1211×2-112×13=7731216 阅读材料,思考后请试着完成计算大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题 1+2+3+…+100=?经过研究,这个问题的一般性结论是 1+2+3+…=12+1,其中是正整数现在我们来研究一个类似的问题 1×2+2×3+…+1=?观察下面三个特殊的等式1×2=131×2×3-0×1×2;2×3=132×3×4-1×2×3;3×4=133×4×5-2×3×4 将 这 三 个 等 式 的 两 边 相 加 , 可 以 得 到1×2+2×3+3×4=13×3×4×5=20 读 完 这 段 材 料 , 请 计 算11×2+2×3+…+100×101;21×2+2×3+…+2015×2016【解】11×2+2×3+…+100×101=131×2×3-0×1×2+132×3×4-1×2×3+ …+13100×101×102-99×100×101=13100×101×102-0×1×2=343 4002 同理于 1,原式=132015×2016×2017-0×1×2=2731179360【初 一年级奥数有理数的混合运算测试题及答案】。
初中数学奥数知识点
初中数学奥数知识点一、数与代数1. 有理数有理数的概念可有意思啦。
有理数包括整数和分数,像1、2、3这些整数,还有1/2、3/4这样的分数都是有理数哦。
整数又分正整数、0和负整数,分数也有正分数和负分数之分呢。
比如说 -3,它就是负整数,属于有理数的一员。
在运算方面,有理数的加减法要注意符号。
同号相加,符号不变,绝对值相加;异号相加,取绝对值较大的符号,再用大的绝对值减去小的绝对值。
就像3+(-2),3的绝对值大于 -2的绝对值,结果就是1。
2. 无理数无理数就是无限不循环小数,像圆周率π就是典型的无理数,它约等于3.1415926……但永远也写不完,而且没有循环节。
还有根号2也是无理数,如果把它写成小数形式,也是无限不循环的。
无理数和有理数的区别就在于它不能表示成分数形式。
有理数可以写成两个整数之比,而无理数不行。
3. 代数式代数式是用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子。
像3x+2y,这里的x和y是字母,3和2是数字,通过乘和加的运算符号连接起来就成了代数式。
代数式的值会随着字母取值的变化而变化。
比如代数式x+1,当x = 1时,它的值就是2;当x = 2时,它的值就是3啦。
二、几何图形1. 三角形三角形按角分有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形的三个角都是锐角,直角三角形有一个角是直角,钝角三角形有一个角是钝角。
三角形的内角和是180°哦。
不管是哪种三角形,它的三个内角加起来一定是180°。
比如一个直角三角形,一个直角是90°,那另外两个锐角加起来就是90°。
三角形的三边关系也很重要呢。
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
要是给你三条线段的长度,你就可以用这个关系来判断能不能组成三角形。
2. 四边形四边形有很多种,像平行四边形、矩形、菱形、正方形等。
平行四边形的两组对边分别平行且相等。
矩形是特殊的平行四边形,它的四个角都是直角。
初中七年级奥数课件:有理数篇
4
经典例题【B卷题型—含绝对值运算】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例4、
(1)若 a b,求 a b 的值; (2)化简a b ; 解: (1)∵ a b,b 0
当a<0时,a -b,则a b 0; 当a 0时,a b,则a b 2b. 综上所述:a b 0或2b (2)当a b>0时,即a>b,a b 0; 当a - b 0时,即a b,a b 0; 当a b<0时,即a<b, a b (- a b) b a.
【巩固练习】
1.如果0<m<10,并且m x 10,化简x m x 10 x m 10.
分析:由题意可知:x m 0;x 10 0,x m 10<0.
解: 原式 x m (x -10) (x m 10) 20 x
经典例题
b a<0,b<0,a b<0,ab>0 a b a b ab a b a b ab ab 2a
(2)∵-2 a 0 a 2 0, a 2 0,
a 2 a 2 a 2 a 2 4
(3) ∵由x<0<z,xy>0可得:y<0<z 又∵ y> z>x ,可得 : y<x<z 原式 x z y z x y o
解:b a a c c b b a (a c) (c b) 2b 2c
【巩固1】已知a,b, c在数轴上的位置如图所示,化简a c b a c b a
【巩固2】数a,b在数轴上对应的点如图所示,化简a b b a b a a
0 ab a 0 1
ab
∵ a b 4
初一奥数培训教材(1—8讲)
第1讲有理数的加减【例1】有理数加法计算:(1)12()()33-+-;(2)(10.8)(10.7)-++;(3)(6)0-+;(4)4452(52)77+-.【例2】有理数减法计算:(1)6(3)--;(2)0(2)--;(3)(7)(5)---;(4)(2)0--【例3】有理数混合计算:(1)263(59.8)()(12.8)55+--+-+;(2)311(2)(2)38(3)843-+---++.【例4】有理数混合计算:(1)3212()(31)()(31)4545-++-+-;(2)2253(7)(4)(2)(5)7575++-++-.【例5】在数23456789,,,,,,,1010101010101010的前面分别添上加“+”或“-”,使它们的和为1.你能想出多少种方法?(开放性题)【例6】一个水井,下面比井口低3米,一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬,第一次往上爬了0.5米后又往下滑了0.1米;第二次往上爬了0.42米,却又下滑了0.15米;第三次往上爬了0.7米,却又下滑了0.15米;第四次往上爬了0.75米,却又下滑了0.1米;第五次往上爬了0.55米,却又下滑了0.48米.问蜗牛有没有爬出井口?课后练习: 1、计算:(1)3.2( 4.2)+-;(2)23()()55-+-;(3)(382.4)(382.4)-++;(4)0(24.1)+-;(5)11 ()() 36 -+-2、计算:(1)(3)(5)---;(2)(7)5--;(3)0 4.2-;(4)( 4.2)0--;(3)(20)3(30)5-----;(6)03(4)5(6)-----.3、计算:(1)0.2(0.3)(0.4)(0.5)-+---+-;(2)10(8)(6)(4)(2)--+---+-;(3)111()326---;(4)1110()5210--+-.4、潜水艇原来在水下200米处,若它下潜50米,接着又上浮130米,问这里潜水艇在水下多少米处?5、判断题:(1)若两个数的和为负数,则这两个数都是负数. ()(2)若两个数的差为正数,则这两个数都是正数. ()(3)零减去一个有理数,差必为负数. ()(4)如果两个数互为相反数,则它们的差为0. ()6、计算:(1)(1)2(3)4(5)6(7)8-++-++-++-+;(2)3313 04()(1)17575-+---+;(3)3232(1)4(2)(2)7373-+--+-;(4)511(3)(3)24(1)635-+---+-.7、请在数1,2,…,2006,2007前适当添加上“+”或“-”号,使它们的和的绝对值最小。
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第二章 《有理数》自我检测一
一、选择题
1. 下列说法正确的是 ----------------------------------------------------------------------------------------- ( )
A a 表示一个正数
B a 表示一个负数
C a 表示一个整数
D a 可以表示一个负
数
2. 一个数的相反数是非负数,这个数是 ---------------------------------------------------------------- ( )
A 负数
B 非负数
C 正数
D 非正数
3. 下列各式中,正确的是 --------------------------------------------------------------------------------- ( )
A -|-16|>0 B |0.2|>|-0.2| C -47>-57
D |-6|<0 4. 若|a|+|b|=0,则a 与b 的大小关系是 -------------------------------------------------------------------- ( )
A a=b=0
B a 与b 不相等
C a,b 异号
D a,b 互为相反数
5. 绝对值等于其相反数的数一定是 ---------------------------------------------------------------------- ( )
A 负数
B 正数
C 负数或零
D 正数或零
6 下列叙述正确的是 ---------------------------------------------------------------------------------------- ( )
A 若|a|=|b|,则a=b
B 若|a|>|b|,则a>b
C 若a<b|,则|a|<|b|
D 若|a|=|b|,则a=±b
7 绝对值大于2,而小于5的所有正整数之和为 ------------------------------------------------------ ( )
A 7
B 8
C 9
D 10
8. 下列说法① 如果a=-13,那么-a=13, ② 如果a=-1,那么-a=-1, ③ 如果a 是负数,
那么-a 是正数, ④如果a 是负数,那么1+a 是正数, 其中正确的是 ------------------------ ( )
A ①③
B ①②
C ②③
D ③④
9.一个数的相反数小于它本身,这个数是 --------------------------------------------------------------- ( )
A 任意有理数
B 零
C 负有理数
D 正有理数
10. 如果a 和2b 互为相反数,且b ≠0,那么a 的倒数是 ---------------------------------------------- ( )
A -12b
B 12b
C -2b
D 2b 11.在有理数-(-3)、-6、31--、- 、[+(8)]--、)]3
2([---中负数有:…( ) A .1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12.一个的相反数是最大的负整数,这个数是:…………………………………( )
A .-1 B. 1 C. 0 D. 不同于-1,1,0
13.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则下列式子正确的是:( )
A .b>a B. |-a|>-b
C. |-b|<-a
D. -b >a
14.若|a|=8,|b|=5,且a+b>0,则a-b 的值为:…………………………………( )
A .13或-1 B. 13或3 C. 3或-3 D. –3或-13
15.下列说法中,(1)-a 一定是负数;(2)|-a|一定是正数;(3)倒数等于它本身的数是±1;
(4)绝对值等于它本身的数是0;(5)负数的平方一定大于它本身;
(6)若ab<0,ac>0,则bc<0,其中正确的个是:…………………………………( )
A .1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二 填空题 1. 在有理数-3, -0.2, -(-1.3),-|-2|,0,31-,-200%,π,310235.1⨯中π, 整数集合: …… 分数 集合 ……
非负数集合: ……
2.32的相反数是____________,-3
2的绝对值是___________。
3.大于-3而不大于2的整数是__________,它们的和是__________,它们的积是_________。
6.如果把长江的水位比警戒水位高0.3米,记作“+0.3”米,那么“-0.2”米表示
_____________________。
7.用“<”连接43-与4
5-:_________________ 8.数轴上点A 表示的数是-4,那么在数轴上与点A 相距5个单位长度的点所表示的数是
______________。
9.写出一个能表示(-10)+8的实际例子:__________________________________
_________________________________________________________________
10.若c 、d 互为倒数,a 、b 互为相反数,|m|=1,则cd m m
b a -++=__________。
13. 如果a -3与a+1互为相反数,那么a= .
14. -323的相反数是 , -(-12)的相反数是 , 是13的相反数, 是13
的倒数.
15. 如果|2x -4|=2,则x= ;
16. 绝对值小于2.5的整数有 ,它们的积为 ;
17. 12的相反数的绝对值是 ,|-12|的倒数的相反数是 , -12
的绝对值的相反数是 .
18.若a 与b 互为相反数,则代数式73a+73
b -5= . 19.小名在写作业时不甚将一滴钢笔水滴在数轴上,根据图中的数值,判断墨迹盖住的整数之
和为
.
20. 如图是一个正方体盒的展开图,若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别添入适当的数,
使得他们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数,则添入正方形A 、B 、C 内的三个数
之积为
.
(第19题图) (第20题图) 2
0-1C B
A
三解答题
1. 将-
2.5,12
,2,-|-2|,-(-3),0在数轴上表示出来,并用“>”把他们连接起来.
2. 已知a,b 互为相反数,b,c 互为相反数,c=3,求c -a+b 的值.
3. 已知-2<x<3,化简|x+2|-|x -3|
4. 已知点a 、 b 、 c 如图,化简|a+b —c|-|b —c+a|
四思考题
如下图,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动了3个单位长度,再向左
移动5个单位长度,可以看到终点表示的数是-2,
已知点A 、B 是数轴上的点,完成下列各题:
(1) 如果点A 表示数-3,将点A 向右移动7个单位长度,那么终点B 表示的数是_________,
A 、
B 两点间的距离是________。
(2) 如果点A 表示数是3,将点A 向左移动7个单位长度,再向右移动5个单位长度,
那么终点B 表示的数是_____,A 、B 两点间的距离是_________。
一般地,如果点A 表示数为a ,将点A 向右移动b 个单位长度,再向左移动c 个单位长度,
那么请你猜想终点B 表示的数是______________,A 、B 两点间的距离是____________。
0。