随机变量及其概率习题

习题二 一、填空题

1. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为c

c c c 162

,

85,43,21, 则c = 2______. 解. 2,16321628543211==+++=c c

c c c c

2. 某射手每次命中目标的概率为，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为

k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,)2.0()8.0(33=-k C k k k .

3. 设X 服从参数为p 的两点分布，则X 的分布函数为 ⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<≤-<=1 ,110 ,10 ,0)(x x p x x F .

4. 设随机变量X ~B (2, p ), Y ~B (3, p ), 若9

5

)1(=≥X P , 则)1(≥Y P = 19/27 . 解. 9

4951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2

=

-p , 3

1=p 2719321)0(1)1(3

=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==-=≥Y P Y P . 5. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则=

=)4(X P 2

23

e -. 6. 已知连续型随机变量X 的分布函数为⎩

⎨⎧≤>+=-0 ,00

,)(2x x Be A x F x ，则=A 1 ，

=

B 1

- ，=<<)22

1

(x P 41---e e ，=)(x f

⎩

⎨

⎧≤>-0 ,00

,22x x e x . 7. 设随机变量X 的概率密度函数⎩

⎨⎧∈=其它 ,0]

2,0[ ,)(x Ax x f , 则=A ,

)(x F =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<2

,120 ,4

,02

x x x

x ； =≤)21|(|x P

1

16

.

8. 设随机变量X 的概率密度为

⎪⎩

⎪

⎨⎧∈∈=其它

若若 ,0]6,3[ ,9/2]

1,0[ ,3/1)(x x x f ，若k 使得32)(=≥k X P , 则k 的取值范围是

13k ≤≤.

9. 某公共汽车站有甲，乙，丙三人，分别等1，2，3路车，设每人等车的时间（分钟）都服从[0，5]上的均匀分布，则三人中至少有两人等车时间不超过2分钟的概率为.

10. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442

=+++k kx x 有实根的概率为___3/5__.

解. k 的分布密度为⎪⎩⎪

⎨⎧=0

51

)(k f 其它50≤≤k .

P{02442

=+++k kx x 有实根} = P{03216162

≥--k k }

= P{k －1或k 2} =

5

3

515

2=⎰dk . 11. 设),(~2σμN X 则X Y μ

σ

-=

服从的分布为 )1,0(~N Y .

12. 设),(~2σμN X 则Y aX b =+服从的分布为 ),(22σ+μa b a N . 13. 若随机变量X ~),2(2σN ,且P (2

1

2

210120.10.20.3

X P

p p --

3014

0.60.2

Y P

p

则123,,p p p 分别为，，．

16. 设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2X Y =在(0,4)内的概率密度

）

（y f Y 为 ⎪⎩

⎪

⎨⎧<<=其它，）（ ,040 41

y y y f Y 。 二、选择题

1. 随机变量X 的分布律为：

01230.10.30.40.2X P

()F x 为其分布函数，则(2)F =（ C ）。

(A)0.2;(B)0.4;(C)0.8;(D)1.

2. 如下四个函数哪个不能成为随机变量X 的分布函数 （B ）

(A) 10, 0

1/3, 01

; 1/2, 121, 2

x x F x

x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩（）(B) 20, 0 ();ln , 0x F x x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 2

330, 0

1, 0(C) ()/4, 02 ; (D) ().0, 01, 2

x x e x F x x x F x x x -<⎧⎧-≥⎪=≤<=⎨⎨<⎩⎪≥⎩

解. (A)不满足F(+) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.

3. 设函数 ⎩⎨⎧∈=其它

,0]

,[ ,sin )(b a x x x f , )(x f 可能是某个随机变量的概率密度函数，区间

[]b a ,是（A ）

。 (A) ；，

]2

0[π (B) ];2

2[π

π，- (C) ];,0[π (D) ).2,0(π

4.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( B ）.

(A) 2

-e ； (B) 251e

-

； (C) 24

1e

-

； (D) 221e

-

. 5. 每张奖券中尾奖的概率为

1

10

，某人购买了20张号码杂乱的奖券，设中尾奖的张数为ξ，则ξ服从（ A ）分布。

(A) 二项； (B) 泊松； (C) 指数； (D) 正态.

6.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( D ). (A)1)(0≤≤x f ；

(B))(x f 为偶函数； (C) )(x f 单调不减 ；

(D)

()1f x dx +∞

-∞

=⎰

.

7.设随机变量X 的密度函数为X x F x f x f x f 是且)(),()(),(=-的分布函数,则对任意实数a 有（B ）

(A) ;)(1)(0

⎰-

=-a

dx x f a F (B);)(21)(0

⎰-=

-a dx x f a F (C) ;)()(a F a F =- (D).1)(2)( -=-a F a F

8.设X

的密度函数为01()0,x f x ≤≤=⎪⎩

其他，则1{}4P X >为( A ).