大一第二学期高数论文设计

姓名：某某某

学院：某某学院

班级：某某***班

学号：**********

【摘要】

又经过一个学期的学习，我对高数的认识又有不同了，大一上学期的学习主要是对高数的基础进行认识，而大二的学习就是更深入延伸和拓展，在原有学习的基础上更深入的了解其精髓，重点学习了高数中的导数、微分和积分的扩充，对于我们更深刻的掌握高数这门学科有很大的好处。这一学期里我们，即从对一元函数的求导到对多元函数的求导，求偏导和求全微分，从一重积分扩充到二重积分和三重积分，但是之前的一重积分主要是运算，但是重积分则更加注重在其运用上，积分也从之前的对某一个区域积分延伸到对曲线积分和曲面积分上。另外，这学期也新引入了无穷级数和微分方程。学习高数我们应该有严谨的态度，在努力的基础上加上认真，才能更好的学习。

【关键词】

导数微分重积分级数

一、对高数的认识

已经经过两个学期的学习，我对高数的认识已然不同，高数是最最有用的课程之一，后面的好多课程都会用到高数的知识。高数是公共基础课，对工科学生尤为重要，后续课程都会用到，比如，接下来的复变函数、积分变换是高数的延续，而大学物理、电路、电子技术等都需要高数的知识进行解题。是进一步进修不可或缺的考研等都要考数学。总之高数是理工科基础的基础。就像你小学学的加减法是你继续学习的基础一样。数学培养的是

我的思维，是分析问题、解决问题的思维方式。许多实际问题都需要建立数学模型来解决，而我建立模型地基础就是我怎样把实际问题转化为数学问题。

而很多时候数学的学习是有很多趣味的，像重积分，二重积分，哪怕是三重积分，那些变化，通过立体模型的解题过程是多么的好玩，多么的妙趣横生。

二、如何学习

(1)课前预习

从小到大，经过这么多年的学习，当然发现适当的预习是必要的，在上课前对所学知识的先行认识，相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。

(3)课后复习

复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某个定理的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，不清楚之处再对照教材或笔记。

三、高数解题方法（多重积分）

1.高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛。

1.1曲面的面积

设曲面∑的方程为()，y x f z

,=∑在xoy 面上的投影为xy D ，函数()

y x f ,在D 上具有连续偏导数，则曲面∑的面积为：

()()⎰⎰⎰⎰

++=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=D y x D

d y x f y x f dxdy y f x f A σ,,112

22

2

若曲面∑的方程为()，z y g x ,=∑在yoz 面上的投影为yz D ，则曲面∑的面

积为：

()()⎰⎰⎰⎰

++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=D

z y D

d z y f z y f dydz z g y g A σ,,112

22

2

若曲面∑的方程为()，x z h y ,=∑在zox 面上的投影为zx D ，则曲面∑的面

积为：

()()⎰⎰⎰⎰

++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=D

x z D

d x z f x z f dzdx x h z h A σ,,112

22

2

例1：计算双曲抛物面xy z =被柱面222

R y x =+所截出的面积A 。

解：曲面在xoy 面上投影为222

:R y x

D ≤+,则

⎰⎰++=D

y x dxdy z z A 2

2

1

即有

:

()322

20

2113R

D

A d R πθπ⎡⎤===+-⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰⎰

从而被柱面222

R y x

=+所截出的面积A 如上所示。

例2:求半径为a 的球的表面积.

解:取上半球面方程为222y x a z --=

,

则它在xoy 面上的投影区域

(){}2

22,a y x y x D ≤+=.

又由 ,222y x a x x z ---=∂∂,222y x a y y z ---=∂∂

得

.12

222

2

y x a a y z x z --=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+

因为这函数在闭区域D 上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域

(){}

()a b b y x y x D <<≤+=0,2221为积分区域,算出相应于1D 的球面面积

1A 后,令a b →取1A 的极限就得半球面的面积.

⎰⎰

--=1

,2

2

2

1D dxdy y

x a a A

利用极坐标,得

⎰

⎰⎰

⎰-=-=b

D a d d a d d a a A 0

2

220

2

211

ρρ

ρθθρρρπ

于是

()

.22lim lim 2221a b a a a A a

b a

b ππ=--=→→ 这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为

.42a A π=

1.2质量

1.2.1平面薄片的质量

若平面薄片占有平面闭区域

D ，面密度为()y x ,μ，则它的质量为

()⎰⎰=D

d y x m σμ,，其中()σμd y x dm ,=称为质量元素.

1.2.2物体的质量

若物体占有空间闭区域

Ω

，体密度为

()

z y x ,,μ，则它的质量为

()⎰⎰⎰=D

dv

z y x m ,,μ

例3：由螺线θρ

2=，与直线2

π

θ=

，围成一平面薄片D ，它的面密度为

22y x +=μ，求它的质量。