双曲线和抛物线

双曲线和抛物线

一、知识梳理

1. 双曲线的定义

（1）定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值为常数2a (122a F F <)的动点P 的轨迹叫双曲线，其中两个定点F 1、F 2叫双曲线的焦点.

当12122PF PF a F F -=<时， P 的轨迹为双曲线; 当12122PF PF a F F -=>时， P 的轨迹不存在;

当12122PF PF a F F -==时， P 的轨迹为以F 1、F 2为端点的两条射线. 2. 双曲线的标准方程和几何性质

a b a b

3.抛物线的定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.

注：当定点F 在定直线l 时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线. 4.抛物线的标准方程和几何性质

二、方法归纳

1.(1)求双曲线离心率必须分两种情况，共渐近线的双曲线方程为：λ=-22

22b

y a x )

0(≠λ的形式，它们的渐近线为x a

b

y ±

=. (2)关于双曲线的渐近线，可做如下小结：

若已知双曲线方程为12222=-b y a x 或122

22=-b

x a y ，则它们的渐近线方程只需将常数“1”

换成“0”，再写成直线方程的形式即可；若已知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即

02

222=-b y a x 的形式，再设出双曲线方程λ=-22

22b y a x )0(≠λ.

2.抛物线题型：利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

题型一：双曲线的定义及标准方程

【例1】双曲线方程为，则它的右焦点坐标为

【例2】已知双曲线C 与双曲线22

1164

x y -=

有公共焦点，且过点（2）.求双曲线C

的方程.

【适时导练】

1.根据下列条件，求双曲线的标准方程.

（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭

⎫

⎝⎛-

5316，Q . （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上.

2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点()31

-，P ，且离心率为2的双曲线方程.

题型二：与渐近线有关的问题

【例1】已知双曲线的渐近线方程是1

2

y x =±，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 .

【例2】若双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离

心率为

2

2

21x y -=

【例3】设双曲线122

22=-b

y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角（锐

角或直角）θ的取值范围是________；

【适时导练】

1. 焦点为（0，6），且与双曲线2

212

x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是

2. 经过点（3，2），且与双曲线2

212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是

3.(2014·苏州一调)与双曲线x 29－y

216

＝1有公共渐近线且经过点A (－3,23)的双曲线的方程是

________．

题型三：求离心率或离心率的范围

【例1】已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点，过1F 且垂直

于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是

变式1．(2013·南京、盐城三模)在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，

b >0)的右焦点，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长F A 与另一条渐近线交于点B .若FB ＝2FA ，则双曲线的离心率为________．

变式2. 如图所示，F

1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，

以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________． 变式3．(2014·苏州调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线E ：x 2a 2－y 2b

2＝

1(a >0，b >0)的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若△ABC 为直角三角形，则双曲线E 的离心率为________．

变式4．(2014·苏州摸底)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a 2，则双曲线x 2

a 2－

y 2

b 2

＝1的离心率为________． 变式5．(2014·南通模拟)设F 是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，

过点F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量

BF 与FA 同向，则双曲线的离心率e ＝________.

变式6．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双

曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．

变式7．(2013·镇江质检)设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的

右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线离心率的最大值为________．

变式8. 已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 2的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．

题型四：抛物线的定义和方程

【例1】动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 .

【例2】设斜率为2的直线过抛物线的焦点F ，且和轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为

【例3】．(2013·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.

【例4】．(2014·苏州模拟)顶点在原点且以双曲线x 23－y 2＝1的右准线为准线的抛物线方程是

________．

【例5】．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．

【适时导练】

1.抛物线的焦点坐标是 .

2.若抛物线2

2y px =的焦点与双曲线2

213

x y -=的右焦点重合，则P 的值 .

3.抛物线x 2

＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 2

3

＝1相交于A ，B 两点，若△ABF

为等边三角形，则p ＝________.

P (2,0)F 20x +=P l 2(0)y ax a =≠y 2

8y x =