第二讲抽样分布与分位数

的样本，则有
X ~ N(, 2 )
n
即 X ~ N (0,1) n
3 在总体 X ~ N(12,22)中随机抽取容量为5的样本， 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率
解
X
~
22 N (12, )
5
P{| X 12 | 1} 1 P{11 X 13} 1[(13 12) (1112)]
0
n1 n2
n1 n2
x) 2
x0 x0
称F服从第一自由度为n1 ，第二自由度为
n2的F分布
简记为 F~F(n1 , n2)
2 不同自由度的F 分布密度曲线
(1,10)
(5,10)
(10,10 )
F
四 抽样分布五大定理
定理 1 (样本均值的分布)
P140
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N (, 2 )
2 2
)，且X与Y独立,
X1, X2,…, X n1是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的样本
均值，S12和S22 分别是这两个样本的样本方差,
则有
S12 S22

2 1

2 2
~ F (n1 1, n2 1)
五 单側分位数
1 定义：设0< <1,对随机变量X，称满足
的样本, X , S 2分别为样本均值和样本方差,
则有
X ~ t(n 1)
S/ n
定理 4 (两总体均值差的分布)
设X ~ N (1, 2 )，Y ~ N (2, 2 )，且X与Y独立, X1,X2,…, X n1 是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是 取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的样本
P{1.2
X
5.2}
( 5.2
6
3.2
)

(1.2
6
3.2 )
n
n
( n ) ( n )
3
3
( n ) ( n ) 2( n ) 1 0.95
3
3
3
( n ) 0.975 3
n 1.96 3
所以 n最小为35
n 34.5744
P( X x )
的点 x 为X关于
1

的单側分位数.
x
2 标准正态分布的上分位数 z 的求法 P301
问题 (z ) ? 1
z 的求法是:
倒查1-α 例 z0.025 u0.025 =1.96
z0.05 u0.05 =1.64
倒查 0.975
倒查 0.95
2
( x )
称T服从有n个自由度的 t 分布
记为: T~t(n)
2 不同自由度的t 分布密度曲线
标准正态分布
标准正态分布
t (n= 13)
t 分布
x
t 分布与标准正态分布的比较
t (n = 5)
z
t
不同自由度的t分布
t 分布是类似正态分布的一种对称分布， 通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的 分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由 度的增大，分布也逐渐趋于正态分布
2

0
x0 x0
称Y服从自由度为n的c2 分布
记为: Y~c 2 (n)
2 不同自由度的c2-分布密度曲线
(x)
n=1
n=4 n=10 n=20
c2
分布的形状取决于其自由度n的大小，通常 为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐 渐趋于对称
二 t 分布(student分布)
P137
t 分布是高塞特 于1908年在一篇以“学生” （student为笔名的论文中首先提到的
高塞特（W、S、Cosset，18761937）美国人，t分布的发现者，年轻时在 美国牛津大学学习数学与化学，1899年在 一家酿酒厂任酿酒技师，从事实验和数据 分析工作。 这项工作中进行的小样本实验
的结果使他怀疑存在一个不属于正态分布 曲线的其它分布,经过研究，终于得到新的 密度曲线,并与1908年以笔名“student”发 表此次结果。故后人称次分布为“学生氏 分布”或“t分布”。
解
（1）P{X 2.18} 0.975
P{X 20.09} 1 P{X 20.09} 1 0.01 0.99
（2）P{X } 0.025 17.534 （3） P{X } 0.95 P{X } 0.05 15.507
4 自由度为n1,n2的
F分布的上
分位数 F (n1, n2 )
F
(n1, n2 )

F1
1 (n2 , n1)
例如:
F0.05(8,12) 2.85
F0.9 (12,15)
1 1F0.1 (15,12)

2.1 0.476
P305
6 t 分布的上分位数
例 t0.05(10) 1.812 t0.025(13) 2.16
2
2
5
5
1 ( 5 ) ( 5 ) 1 ( 5 ) 1 ( 5 )
2
2
2
2
=0.2628
6设总体 X ~ N (3.2,62) X1, X 2,..., X n 是X的样本, 则容量n应取多大,才能使得 P{1.2 X 5.2} 0.95
解 62
X ~ N (3.2, ) n
一 c2 分布(卡方分布)
P135
由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出,海尔墨特(Hermert)和 皮尔逊(K.Person)分别于1875和1900年导出的
(k.Pearson,1857-1933)英国著名统计 学家 1879年毕业于剑桥大学，1901年，他 与高尔顿、韦尔登创办的生物统计学杂志 《biometrika》, 使数理统计有了自己的阵 地。他发展了一系列频率曲线，将复相关 和回归理论扩展到许多领域，并为大样本 理论奠定了基础。皮尔逊的最大贡献是在 1900年发表的一篇文章中引进的拟合优度 的卡方检验。不少人把这视为近代统计学 的开端。
P{X } 0.01 2.8965
Z 0.1 U 0.1 1.64
2
2
Z 0.05 U 0.05 1.96
2
2
F (n1, n2 )

1 F1 (n2 , n1 )
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
定理 2 (样本方差的分布)
P140
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N (, 2 )
的样本, X , S 2分别为样本均值和样本方差,
则有
(1)
(n 1)S2
2
~
c 2 (n 1)
(2) X 与 S 2 相互独立
定理 3
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N (, 2 )
Cosset的t分布打开了人们的思路,开创 了小样本方法的研究。
1 t 分布分布的定义 设随机变量X,Y相互独立，且X ~ N(0,1)
Y ~ c2(n)，令 T X
Y /n
则 T 的概率密度函数为:
(x)
n 1 2
(1
x2
n1
)2
n n
2
3 自由度为n的 c 2
分布的上分 位数 c2
例如:
c
2 0.3
(3)

3.665
c
2 0.95
(6)

1.635
c
2 0.1
(10)

15.987
P304
例 已知 X ~ c 2(8) ，求（1）P{X 2.18} ，P{X 20.09}
（2）若 P{X } 0.025 求 （3）若 P{X } 0.95 求
t0.15(7) 1.119
P303
例 已知 X ~ t(8) ,求(1) P{X 2.306} P{X 1.3968} （2）若 P{X } 0.01求
解
P{X 2.306} 0.025 P{X 1.3968} 1 P{X 1.3968} 1 0.1 0.9
1 F 分布的定义
设X
~
c2(n1) ,
Y
~ c2(n2) ,X与Y独立
F

X / n1 Y / n2
则 F的概率密度函数为:
பைடு நூலகம்x)


n1 n2 2
n1 n1 2 2


n1 n2
n1
2 n1 1 x 2 (1
均值, S12和S22分别是这两个样本的样本方差,
则有
X Y (1 2 )
(n1 1)S12 (n2 1)S22 1 1
~ t(n1 n2 2)
n1 n2 2
n1 n2
定理 5 (两总体方差比的分布)
P140
设X
~
N
(
1,
2 1
),Y
~
N
(
2
,
第二讲 抽样分布与分位数 P135
一 c2 分布(卡方分布) 二 t 分布(student分布) 三 F 分布 四 抽样分布五大定理 五 单侧分位数
统计量g(X1,X2,…,Xn)既然是依赖于样 本的，而后者又是随机变量，故统计量也 是随机变量，因而就有一定的分布，这个 分布叫做统计量的“抽样分布” .
1 c2 分布的定义
设 X1 ~ N (0,1) X 2 ~ N (0,1) ... X n ~ N (0,1)
X1, X 2 ,...X n 相互独立
令
Y

X
2 1

X
2 2
...
X
2 n
则 Y的概率密度函数为
( x)

n 22
1
n

n 1 x
x2 e 2
三 F 分布
P138
F分布是以统计学家费歇（R.A.Fisher）姓氏的第一 个字母命名的
费歇(R.A.Fisher,1890-1962),英国 统计学家,遗传学家,现代数理统计的主 要奠基人之一。他是使统计成为一门有 坚实理论基础并获得广泛应用的主要统 计学家。对数理统计有众多贡献,内容涉 及估计理论,假设检验,实验设计和方差 分析等重要领域，他还是一位举世闻名 的遗传学家，优生学家，他用统计方法 对这些领域进行研究，作出了许多重要 贡献。由于他的成就，他曾多次获得美 国和许多国家的荣誉。