复合函数的零点问题PPT课件
复合函数多零点求参数范围
–2
1
2
3
4
x
–2
g(t)
有 8 个不等的实数根
O
1
2
t
总结提升
＋
＋
＝
，
＋
− (＋ ) ＝，③对；
作出图形.
()＝，则 ＝.
由图可知
＜ ＜，＜ ＜.
则 ＞,切点( , − )．
∵
＝
对于④，
由上可知 ＝ − ，
＝ −
∴
∴
＝ − ．
＋ ＝ ＋ ＝，④对．
故答案为②③④
例3
指数函数+三角函数
∵ 2 − ＝ 2＋ ，且 为偶函数
4
， 结合“双勾”函数性质可画出函数()的简图．
t
＋1
t=t1
令＝()，等价于关于 t 的方程 2 ＋( − 3)＋＝0
t=t2
在区间(0，2)上有两个不等的实根．
＝( − 3) − 4＞0，
3−
0＜
＜2，
2
⇒
(0)＝＞0，
g(t)
2
则
(2)＝3 − 2＞0，
即实数的取值范围为
例1
已知函数 ＝
， ⩽
，若关于的方程 ＋ − ∙ ＋＝恰好
，＞
＋
有 6 个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．
例2
例3
例1
二次函数+分式函数
2 ， ⩽ 0
已知函数 ＝
4
，若关于的方程 2 ＋ − 3 ∙ ＋＝0恰好
复合函数零点问题
复合函数零点问题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x b f x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++=答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
零点与极点的关系PPT课件
零点与极点的相互影响
零点对极点的影响
在函数图像上，零点是函数值为0的 点，而极点是函数值无穷大的点，因 此零点的位置会影响极点的位置。
极点对零点的影响
极点的位置也会影响零点的位置，因 为函数值在极点附近会变得非常大或 非常小，从而影响函数的零点。
零点与极点的性质比较
01
零点的性质
零点是函数值为0的点，是函数图像与x轴的交点。
2023
PART 05
总结与展望
REPORTING
零点与极点的重要性和意义
零点与极点在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决复杂问题的关键。 零点与极点的概念和性质在数学分析、复变函数、信号处理等领域中占有重要地位。
零点和极点的分析有助于深入理解函数的性质、系统的稳定性和信号的传播等。
未来研究方向和展望
02
极点的性质
极点是函数值无穷大的点，是函数图像上凹凸性改变的点。
03
零点和极点的关系
在函数图像上，零点和极点可以重合，也可以不重合。如果重合，则该
点既是函数的零点也是函数的极点；如果不重合，则该点只可能是零点
或只可能是极点。
2023
PART 03
零点与极点的应用
REPORTING
在信号处理中的应用
2023
PART 04
零点与极点的实际案例
REPORTING
信号处理中的零点与极点案例
总结词
信号处理中的零点与极点案例展示了零点与极点在信号处理中的实际应用和影响。
详细描述
在信号处理中，零点和极点是影响信号频域特性的重要因素。零点可以改变信号的相位，而极点则影响信号的幅 度。通过在信号处理过程中合理地设计零点和极点，可以实现信号的滤波、均衡、调制和解调等操作，从而提高 信号的质量和性能。
数学绝杀系列之：复合函数的零点精品讲义
复合函数的零点复合函数的零点 一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为_______． 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是__________.2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为________．3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形；另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+，D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是 A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．66.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =_______． 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xx f t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围． 7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为________．12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或614．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．615．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ．16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围．17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>复合函数的零点复合函数的零点 一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为_______． 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是__________.2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为________．3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形；另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+，D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是 A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．66.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =_______． 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xxf t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围． 7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为________．12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或614．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．615．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ．16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围．17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>参考答案：1．4【分析】由题知2log 2x =，即求.【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，也即()22log log 10x −=的解.()22log log 1x =，即2log 2x =解得4x =，即函数()g x 的零点为4． 故答案为：4 2．a ≤【分析】对()f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f (a )≥－2，再对a 的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当()0f a <时，f (f (a ))≤2即为2()()2f a f a +≤，()()[1][2]0f a f a −+≤， 解得()21f a −≤≤，所以()20f a −≤<；当()0f a ≥时，f (f (a ))≤2即为2()2f a −≤，因为2()2f a ≥−恒成立，所以()0f a ≥满足题意.所以f (a )≥－2，则202a a a <⎧⎨+≥−⎩或22a a ≥⎧⎨−≥−⎩，解得a ≤故答案为：a ≤【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题. 3．14322−−−，，， 【分析】由题可知求()()1f g x =的解，再利用分段函数求方程的解即可. 【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解．由方程②可得320t t −=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解，由方程2680x x −−−=解得4x =−或2x =−； 将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x −−−=，解得3x =−．综上，函数()h x 的零点为14322−−−，，，，共四个零点． 故答案为：14322−−−，，，. 4．A【分析】由题可得2e x x a x +−=，再利用函数的单调性即求.【详解】显然()f x =于是()()00f f y y =等价于()00f y y =，即00y =≥， 又00sin 1y x =≤，故001y ≤≤，从而0200e y a y y =+−，令()2e x g x x x =+−， 则()()'e 12''e 20x xg x x g x =+−=−=，，令()''0g x =，则ln2x =，可知当[]0ln2x ∈，时，()'g x 单调递减，当[]ln21x ∈，时，()'g x 单调递增， 从而()()''ln232ln20g x g ≥=−>， 故()g x 在[]01，上单调递增， 从而()()][011e a g g ⎡⎤∈=⎣⎦，，. 故选：A ． 5．B【详解】试题分析：设0x 为方程的 ()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦的一个根，∴00[()]f g x x =，∴{}00()[()]g x g f g x =，再令0()t g x =，故有 [()]t g f t =，从而可知方程[()]g f x x =至少有一个实数根 t ，A ，C ，D 选项中的函数均符合条件，而B 选项：215x x x ++=无解，故选B ． 【点睛】本题考察的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦进行等价变形，可以得到 [()]g f x x =至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B ． 6．D【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mf x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=−对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =−对称．而选项D 中41616422++≠.故选D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 7．A【分析】由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于1()f x x =或2()f x x =，按照12x x <、12x x >分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 为函数()f x 的极值点， 所以2()320f x x ax b '=++=有两解12,x x ，所以方程()()()232f x af x +0b +=等价于1()f x x =或2()f x x =，当12x x <时，则1x 为函数()f x 的极大值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极小值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；当12x x >时，则1x 为函数()f x 的极小值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极大值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；综上，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根. 故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.8．{}416，．【分析】由题可求()122log f x x =−，再利用数形结合即求.【详解】∵定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令()12log f x x c +=，则()3f c =，在上式中令x c =，则()1122log log 3f c c c c c +==−，，解得2c =，故()122log f x x =−，由()2f x =122log 2x −=2log x =在同一坐标系中作出函数2log y x =和y =可知这两个图像有2个交点，即()42，和()164，，则方程()2f x ={}416，． 故答案为：{}416，. 9．104t −<<．【分析】令21xm −=，由题得()232410m t m t −+++=，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．【详解】令21xm −=，则()430f m t m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，即14230m t m m ⎛⎫+−+−= ⎪⎝⎭，去分母得：()232410m t m t −+++=，此方程最多有两个根，由函数21xm =−图像可知，方程()232410m t m t −+++=的两根必须有一根m 1≥，另一根01m <<，才能保证原方程有三根，设()()23241g m m t m t =−+++，因此由根的分布知识得：()()041011(32)410g t g t t ⎧=+>⎪⎨=−+++<⎪⎩或()()11(32)410041032012g t t g t t ⎧⎪=−+++=⎪=+>⎨⎪+⎪<<⎩，，，解得：104t −<<．10．C【分析】结合函数的图象可知1102a ++=，进而可得()1f x =或()12f x =，即求.【详解】作函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，的图象如图所示，则由函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点知1102a ++=，解得32a =−．解()()231022f x f x −+=得()1f x =或()12f x =．若()1f x =，则2x =或3x =或1x =； 若()12f x =，则0x =或4x =． 故222221234530x x x x x ++++=.故选：C ．11．(]01，． 【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =， 则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t >时，有唯一的x 与之对应；当1t ≤时，有两个不同的x 与之对应． 由方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x 知，需要方程②有两个不同的t ，且一个1t >，一个1t ≤，结合图象可知，当(]01a ∈，时，满足一个(]10t ∈−，，一个(]12t ∈，，符合要求， 综上，实数a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01， 12．(]23，． 【分析】利用数形结合即求.【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()g f x a =的解， 令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解， 作出函数()y f x =和直线y t =的图象如图所示． 由图可知，当1t >−时，有两个不同的x 与之对应；当1t =−时，有一个x 与之对应，当1t <−时，没有x 与之对应．由方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有六个不同的x 解知，需要方程②有三个不同的t ，且都大于1−，作出函数()y g t =和直线y a =的图象如图所示，由图可知当(]23a ∈，时满足要求， 综上，实数a 的取值范围为(]23，． 故答案为：(]23，13．A【详解】()()()()'12,xf x x x e f x =−+∴在(),2−∞−和()1,+∞上单增，()2,1−上单减，又当x →−∞时，()0,f x x →→+∞时，()f x →+∞故()f x 的图象大致为：令()f x t =，则方程250t mt e −−=必有两个根，12,t t 且125t t e=−，不仿设120t t << ，当1t e=−时，恰有225t e −=，此时()1f x t =，有1个根，()2f x t =，有2个根，当1t e <−时必有2205t e −<<，此时()1f x t =无根，()2f x t =有3个根，当10e t −<<时必有225t e −>，此时()1f x t =有2个根，()2f x t =，有1个根，综上，对任意m R ∈，方程均有3个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 . 14．A【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象 15．【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设()2,2210f x t t bt =++=，要使得有8个零点，就是()f x t =有4个解，由图象知()f x t =，(0,1)t ∈内有4个解． 二次方程22210t bt ++=在内有两个不等的实数根，故有故填16．（3，+∞）．【分析】令函数()y f x =的零点为m ，即f （m ）＝0，则由对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ．可得f [f （x ）]＝x ，进而x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣logax （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x ﹣3|＝1﹣logax （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．【详解】令函数y ＝f （x ）的零点为m ，即f （m ）＝0， ∵对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ． 则f [f （n ）]＝n 恒成立， 即f [f （x ）]＝x ，若关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣logax （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根， 即|x ﹣3|＝1﹣logax （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，当0＜a ＜1时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣logax 的图象如下图所示：由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；当1＜a＜3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有一个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有一个不同的根，不满足条件；当a＝3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；当a＞3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣logax 的图象有三个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣logax （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，满足条件；综上所述，实数a 的取值范围是（3，+∞）.17．D【详解】试题分析：当2x ≠时，()1()0,2f x x =∈+∞−且关于y 轴对称， 因为方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解，所以当时，，必为方程的一个解，代入方程得，即选项B 正确； 因为()()131f f ==，所以， 所以选项A 、C 正确，而选项D 错．故正确答案选D ．。
复合函数课件
2 常见求导法则
根据复合函数中各个函数的性质和运算规则， 可以推导出常见的复合函数的求导法则。
复合函数的逆运算与逆函数的求解
逆运算
复合函数的逆运算可以通过将复合函数的内外 函数交换位要解方程f(g(x))=x，找 到使得等式成立的函数g(x)。
复合函数的性质和运算规则
结合律
复合函数满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
分布律
复合函数满足分布律，即f∘(g+h) = (f∘g)+(f∘h)。
单位元
单位元函数是指f(x)=x，它与任何函数的复合都 不改变原函数。
逆元素
逆元函数是指f(g(x))=x，即复合函数和原函数相 互抵消。
复合函数ppt课件
本课件将详细介绍复合函数的定义、例子、性质和运算规则，以及复合函数 在实际问题中的应用。还将探索复合函数与反函数的关系，介绍复合函数的 求导法则和逆运算求解。
复合函数的定义和例子
定义
复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数， 其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
例子
例如，如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函 数为f(g(x))。
复合函数可以用来模拟经济变量之间的 相互关系，帮助经济学家预测市场走势。
工程学
复合函数可以用来优化工程设计，提高 系统的性能和效率。
复合函数与反函数的关系
反函数
反函数是指复合函数的逆运算，将一个函数的输出作为输入，返回原来的输入。
复合函数的求导法则
1 链式法则
复合函数求导的链式法则是将外函数的导数 与内函数的导数相乘。
复合函数的图像和图像变换
图像
复合函数的图像是由两个函数的图像组合而成的。
浅析复合函数零点的个数问题
一类是判断零点个数，另一类是已知零点个数求参
数的取值范围．以下本文通过对典型例题的分析来探究
一下复合函数零点问题中求零点个数和求参数的问题．
１．判断复合函数零点的个数
｛ 例１ 已知函数犳（狓）＝
５ 狓－１ －１（狓 ≥０）， 则 狓２＋４狓＋４（狓 ＜０），
关 于狓的方程犳２（狓）－５犳（狓）＋４＝０的实数根的个数
零点个数即方程犳（狓）＝０的
根个数，也即犳（狓）的图像与
狓 轴 交 点 的 个 数，若 方 程
犳（狓）＝０犵（狓）＝犺（狓），即
为两函数犵（狓）与犺（狓）图像
图１
交点的个数．该问题只需要确
定零点个数并 不 需 要 求 出 零 点，也 可 画 出 函 数 图 像，
结合图像确定交点的个数，由狋２ －５狋＋４＝０，得狋＝４ 或１，所以犳（狓）＝４或１，由函数图像犳（狓）分别与狔＝ １、狔＝４有４个交点和３个交点，所以犳（狓）＝１、犳（狓） ＝４分别有４个根和３个根，所以方程犳２（狓）－５犳（狓） ＋４＝０共有７个根．
图２ 图３
２．已知复合函数的零点个数求参数的取值范围 例２ 已 知 函 数 犳（狓）的 图 像，若 函 数 犵（狓）＝ ［犳（狓）］２ －犽犳（狓）＋１恰有４个零点，则实数犽 的取值 范围是（ ）．
（ ） Ａ．（－
∞，－２）∪
（２，＋
∞）
８ Ｂ．ｅ２
，２
（ ） ４
Ｃ．ｅ２
若犳（狓）＝１，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝１，解得
狓＝１±ｌｏｇ５２，当狓 ＜０时，即狓２＋４狓＋３＝０，解得狓
＝－１或 －３．
若犳（狓）＝４，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝４，解得
第12讲 复合函数零点问题
第12讲复合函数零点问题在数学中，复合函数是由两个或更多个函数组成的函数。
具体地说，设y=f(t)，t=g(x)，且函数g(x)的值域为f(t)定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为y=f(g(x))。
复合函数函数值计算的步骤：求y=g(f(x))函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知f(x)=2x，g(x)=x^2-x，计算g(f(2))解：f(2)=4，因此g(f(2))=g(4)=12.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。
例如：已知f(x)=2，g(x)=x-2x，若g(f(x))=x^2，求x。
解：令t=f(x)，则g(t)=t-2t=-t。
解得t=0或t=2.当t=0时，f(x)=2，此时x∈Ø。
当t=2时，f(x)=2，此时x=1.复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g(f(x))=0的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x)的方程，观察有几个f(x)的值使得等式成立；第二层是结合着第一层f(x)的值求出每一个f(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为g(f(x))的根的个数。
求解复合函数y=g(f(x))零点问题的技巧：此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出f(x),g(x)的图像。
若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f(x)的方程g(f(x))中f(x)解的个数，再根据个数与f(x)的图像特点，分配每个函数值fi(x)被几个x所对应，从而确定fi(x)的取值范围，进而决定参数的范围。
例1：设定义域为R的函数$f(x)$如下，若关于$x$的方程$2+\frac{x}{3}=f^2(x)+bf(x)+c$有$3$个不同的解$x_1,x_2,x_3$，则$x_1+2x_2$的值为多少？解析：先作出$f(x)$的图像，观察可发现对于任意的$y$，满足$y=f(x)$的$x$的个数分别为$2$个（$y>0,y\neq 1$）和$3$个（$y=1$），已知有$3$个解，从而可得$f(x)=1$必为$f^2(x)+bf(x)+c$的根，而另一根为$1$或者是负数。
复合函数的零点问题
由图可得，当 k＞－3 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＜－2，t2＞12，即 t＝f(x)＜－2 或 t＝f(x)＞12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 5 个根； 当－4＜k≤－3 时，f(t)＝k 有三个根 t1，t2，t3，且－2≤t1＜－1，－1＜t2≤0，14＜t3≤12， 即－2≤f(x)＜－1 或－1＜f(x)≤0 或14＜f(x)≤12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 6 个根； 当 k＝－4 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＝－1，t2＝14，即 f(x)＝－1 或 f(x)＝14，此 时方程 f(f(x))＝k 有 4 个根； 当 k＜－4 时，f(t)＝k 有一个根 t，且 0＜t＜14，即 0＜f(x)＜14，此时方程 f(f(x))＝k 有 2 个根．
设 f(x)＝t，由图可知，当 t＜0 或 t＞2 时，t＝f(x)有且仅有 1 个实根．当 t＝0 或 1≤t≤2 时，t＝f(x)有 2 个实根；当 0＜t＜1 时，t＝f(x)有 3 个实根，则 g(x)恰有 4 个不同的零 点等价于a0－ ＜1a＜ ＋01， ＜1或a1－ ≤1a＝ ＋01， ≤2或0a＜ ＋a1－ ＞12＜1，或11≤ ≤aa－ ＋11≤ ≤22， ，解得－1＜a＜ 0 或 1≤a＜2．
图(2)
由图可知 y＝f(t)与 y＝3t＋12的图象有两个交点，横坐标
分别在(0，1)和(1，2)之间，不妨设交点横坐标为 t1∈(0，
1)，t2∈(1，2)．如图(3)，当 t1＝f(x)时，由 f(x)图象和直
线 y＝t1，t1∈(0，1)可知，二者有两个交点，此时 F(x) ＝f(f(x))－3f(x)－12有两个零点；当 t2＝f(x)时，由 f(x)图
复合函数与函数的零点
⑶已知函数 ，若 ， ，则函数 的零点个数为________．
【解析】⑴C
⑵C．
⑶
尖子班学案4
【拓1】若 是方程 的解，则 属于区间（）．
A． B． C． D．
【解析】C；
【例7】⑴若函数 ( 且 )有两个零点，则实数 的取值范围是．
⑵若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过 ，则 可以是( )
⑵已知 ， ，且 ，则 。
【解析】⑴ ， ．
⑵
考点：复合函数的单调性
【例4】求下列函数的单调区间：
① ；② ；③ ；④ ．
【解析】①函数需满足 ，即定义域为 ，
内层函数在 上单调递增，在 上单调递减，
外层函数在定义域上单调递增，
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
②函数的定义域为 ，
内层函数在 上单调递减，在 上单调递增，
<教师备案>当 在 上单调，且 时，存在唯一一点 ，使得 ．
在区间 上有零点，不能得到 ．
考点：零点问题
【例6】⑴已知函数 在 上的图象是连续不断的一条曲线，且 ，则
（）
A．在区间 上有 个零点
B．在区间 上零点个数是偶数个
C．在区间 上零点个数可能为
D．在区间 上没有零点
⑵函数 的零点所在的一个区间是( )．
⑶已知函数 是 上的减函数，则 的取值范围是_________．
【解析】⑴ ；
⑵ ；
⑶
1．定义
一般地，如果函数 在实数 处的值等于零，即 ，则 叫做这个函数的零点．
<教师备案>零点不是点，在坐标系中表示函数图象与 轴的交点是 点．
2．零点分析法
如果函数 在一个区间 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 ，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点 ，使得 ，
分段复合函数零点个数问题
分段复合函数零点个数问题是一个复杂的问题，需要考虑函数的定义域、分段函数的性质以及复合函数的性质等多个因素。
以下是一些可能有用的提示和步骤，帮助您解决这个问题：确定函数的定义域：首先，您需要确定函数的定义域，以确保您在正确的范围内求解零点。
分析分段函数的性质：分段函数可能在不同的区间内具有不同的性质。
您需要仔细分析这些性质，并找出可能影响零点个数的关键点。
分析复合函数的性质：复合函数可能具有更复杂的性质，例如连续性、可导性等。
您需要分析这些性质，以确定如何找到零点。
使用代数方法求解零点：一旦您确定了函数的定义域、分段函数的性质和复合函数的性质，您可以使用代数方法（例如因式分解、求解方程等）来求解零点。
考虑特殊情况：在某些情况下，函数可能在某些特定的x值处具有特定的性质（例如奇函数、偶函数等）。
您需要仔细考虑这些特殊情况，并确定它们是否会影响零点的个数。
需要注意的是，解决分段复合函数零点个数问题可能需要一定的数学技巧和经验。
如果您不确定如何解决这个问题，建议请教数学专家或查阅相关的数学教材和文献。
两张图破解复合函数的零点个数问题
Ｙ＝ ， （ ） ］的 图像 如 图３ ， 更
直观 的解 决本 题．
≥
． ／ 『 １ 、 ． ｛ 一
嚣 恤 ｌ
・
４ ０・
中学数 学研 究
１时 ＝０ ＝３ ， ：：
２ ０ １ ５第 １ ０期
：ｌ 。 ｇ ， ＝ ，
由于该 函数是 不连 续 的 ， 因此作 图要分 三步． 首
） ］一１的零 点为 。＝１ ； （ ３ ）当 ＞１时
＝
）
复合 函数 的定 义 ： 设 Ｙ ＝． 厂 （ “ ）的定 义域 为 Ｄｕ ， 值域 为 Ｍｕ ， 函数 ＝ｇ （ ）的定 义 域 为 Ｄ ， 值 域 为
Ｍｘ ， 那 么对于 Ｄ ｘ内的任 意 一个 经 过 “ ； 有 唯 一确
ｌ ｏ ｇ ２ ＞０ 厂 （ ） ）＝ ｌ ｏ ｇ ｚ ！ ）＝ｌ ｏ ｇ ２ 匏 ， 显然 ， 函 ） ）与 函数 Ｙ ＝１也 有 一个 交 点 ， 函数 Ｙ
数 Ｙ＝
＝
定 的 Ｙ值 与之 对应 ， 因此变量 与 Ｙ之 间通 过 变量 Ｕ 形成 的一种 函数 关 系， 记为 Ｙ＝ ｇ （ ｘ ） ） ， 这 种 函数 称 为复 合 函数 （ ｃ ｏ ｍｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ） ， 其中 称为 自 变量 ， 为 中间变 量， Ｙ为 因 变 量 （即 函 数 ） ．例 如 ）＝ｌ ｎ ｘ＋１ ， ｇ （ ） ＝ ３ ｘ一５ ，复 合 函 数 Ｙ ＝
） （ Ｅ Ｄ）的零 点（ ｔ ｈ ｅ ｚ ｅ ｒ ｏ ｏ ｆｔ ｈ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ） ． 函数
．
ｔ
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高二文科数学春季讲义 第5讲 复合函数与函数的零点 教师版
341．复合函数的概念一般地，若y 是t 的一个函数()y f t =，而t 又是x 的一个函数()t g x =，记函数()y f t =的定义域为A ，函数()t g x =的值域为B ，若A B ≠∅，则y 也是x 的一个函数，即()[()]y f t f g x ==，称为复合函数，记作[()]y f g x =．当x a =时，函数y 的值记作[()]f g a ．对于复合函数[()]y f g x =来讲，我们叫()g x 为内层函数，把()f x 叫外层函数． 2．复合函数的定义域⑴ [()]f g x 的定义域为[]a b ，，指的是x 的取值范围为[]a b ，，而不是()g x 的范围为[]a b ，； ⑵ 已知函数()f x 的定义域为D ，求函数[()]f g x 的定义域，只需由()g x D ∈解不等式，求出x ； 3．复合函数的单调性内层函数和外层函数的单调性联合决定复合函数的单调性同增异减：当内外层函数的单调性一致（相同）时，复合函数单调递增；当内外层函数的单调性不一致（不相同）时，复合函数单调递减．<教师备案> 在求复合函数的单调区间问题时，要时刻关注定义域．考点：复合函数的概念【例1】 ⑴ 已知函数()f x 定义域为(02)，，求下列函数的定义域：① 2()2f x +；②2()()3f x f x +-；③212log (2)y x =-⑵ 已知函数()2f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： ①()2f x -；②(32)()1f x f x -+-；③12log (2)y x =-【解析】 ⑴ ①定义域为()()2002-，；②定义域为(02，； ③定义域为(12，．经典精讲知识点睛5.1复合函数第5讲复合函数与 函数的零点35⑵ ①(04)，②定义域为223⎛⎫⎪⎝⎭，；③定义域为()12，．尖子班学案1【拓1】 若函数()y f x =的定义域为122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则2(log )f x 的定义域为__________【解析】4⎤⎦目标班学案1【拓2】 已知函数()f x 的定义域为[12]-，，求下列函数的定义域：⑴()()f x f x --；⑵()()f x a f x a ++-，(0)a >【解析】 ⑴函数定义域为[11]-，；⑵12121212x a a x ax a a x a-+---⎧⎧⇔⎨⎨---++⎩⎩≤≤≤≤≤≤≤≤；①当12a a -+<-，即302a <<时，定义域为[12]a a -+-，；②当12a a -+=-，即32a =时，定义域为1|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；③当12a a -+>-，即32a >时，定义域为∅．【备选】 已知1()log ()x a f x ka a +=-，(1a >，k ∈R )．⑴ 当1k =时，求()f x 的定义域；⑵ 若()f x 在区间[0，10]上总有意义，求k 的取值范围．【解析】 ⑴ 定义域为(0)+∞，；⑵ k 的取值范围为()1+∞，．【例2】 ⑴ 已知2()3f x x x =++，求()2f x，f的解析式．⑵ 已知2()21f x x =+，()1g x x =-，则[()]f g x =__________：[()1]g f x -=________⑶ 已知函数2()0xx f x xx ->⎧=⎨⎩≤,2()3g x x =-，则[()]g f x =______；[()]f g x =_______． 【解析】 ⑴ 242()3f x x x =++；3f x =⑵ 22[()]2(1)1243f g x x x x =-+=-+；22[()1](211)121g f x x x -=+--=-⑶ 2430[()]30x x g f x x x ⎧->⎪=⎨-⎪⎩，，≤；()0g x x >⇔2223[()](3)x x f g x x x ⎧->⎪=⎨-⎪⎩，，，即2423[()]69x x x f g x x x x ⎧-><⎪=⎨-+⎪⎩，，36考点：求函数的解析式<教师备案>求函数解析式常用代入法，拼凑法，换元法，待定系数法． 【例3】 ⑴ 已知()2122f x x x +=++，则()f x =________；⑵ 已知2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x =________；⑶ 已知221111x xf x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x =________ 【解析】 ⑴ 21x +⑵ 22x +．⑶ 221x x+尖子班学案2【拓1】 ⑴ 函数3()232cx f x x x ⎛⎫=≠- ⎪+⎝⎭，满足[()]f f x x =，则常数c =_______ ⑵ 若一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，则()f x =________⑶ 已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x =________．【解析】 ⑴ 3-⑵1或1-⑶ ())2333f x x x x x =-=-，(][),22,x ∈-∞-+∞目标班学案2 【拓2】 ⑴已知fx =，则()f x =________；⑵ 已知()31f x x =-，()23g x x =+，且[()]()f h x g x =，则()h x = 。
28复合函数的零点问题
复合函数方程有解或根的个数问题类型一、(())=k f g x 或(())=k g f x方法：设()=t g x ，则()=k g t ，由()=k g t 求出t 的值或范围，然后结合图象由=y t 和y ()=g x 的交点个数即可。
例1（2019甘肃二诊文12）函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝2对称，如图所示，则方程（f（x ））2﹣5f （x ）+6＝0的所有根之和为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2例2.已知函数)(x f ，x ∈[﹣2，2]的图象如图，y ＝g （x ）的图象如图，若函数y ＝f （g （x ））与y ＝g （f （x ））的零点个数分别为m ，n ，则m +n 的值是（ ）A ．5B ．6C ．9D ．12例3.已知函数()2,04sin ,0π⎧≤=⎨<≤⎩x x f x x x ，则集合{|(())0}==M x f f x 中元素的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例4．（2009•福建）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b x a=-对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是( )A ．{1，2}B ．{1，4}C ．{1，2，3，4}D ．{1，4，16，64}例5.已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2巩固练习：1.（1）已知函数()24=-f x x x ，若方程()()2-32=0+⎡⎤⎣⎦f x f x 的实根个数，（2）已知函数()24=-f x x x ，若方程()()22-32=0+⎡⎤⎣⎦f x af x a 的实根个数， 2.已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根（3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根（4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根 则正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.设集合A=[0,1),B=[1,2],已知函数⎩⎨⎧∈-∈+=B x x A x x x f ,241)(，,若A x ∈0且A x f f ∈))((0，则0x 的取值范围是（ ）A. ]2141，（B.]121，（C. )2141，（ D .），（1214．（2019•西湖区校级模拟）函数||()(0,1)x b f x a a a -=>≠的图象关于直线x b =对称，据此可推测，对于任意的非零实数a ，b ，m ，n ，p ，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集不可能是( )A ．{1，2}B ．{1，4}C ．{1，2，3，4}D ．{1，4，16，64}5．（2015•南充模拟）已知函数1||,0()0,0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同实数解的充要条件是( )A ．2b <-且0c >B ．2b >-且0c <C ．2b <-且0c =D ．2b -且0c =6．（2005•上海）设定义域为R 的函数||1||,1()0,1lg x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解得充要条件是( )A ．0b <且0c >B ．0b >且0c <C ．0b <且0c =D ．0b 且0c =7．（2018•长安区二模）已知函数11,1|1|()3,1x x f x x ⎧+≠⎪-=⎨⎪=⎩关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123(())f f x x x ++的值为( )A ．12B ．32C ．2D ．38．（2015秋•上海校级月考）设定义域为R 的函数1(1)|1|()1(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，则b c +值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．不能确定9．（2014•泉州模拟）设定义在R 上的函数1,3|3|()1,3x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x b ++=有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(-∞，2)(2--⋃，1)-10．（2011•柳州一模）设函数22,0()21,0x x f x x x x ⎧=⎨-+>⎩若关于x 的方程2()()f x af x =恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．[0，1]D ．(1,)+∞11．（2018秋•青羊区校级期中）设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程2(())([()]1)0f x a f x --=恰有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(-∞，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，0](1,)+∞D ．(-∞，1)(1--⋃，0](1,)+∞12．（2013秋•青羊区校级期中）已知函数1,0(),0x x f x lnx x +⎧=⎨>⎩，则函数[()1]y f f x =+的零点个数( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．513．（2012•荆州模拟）已知()f x 为偶函数，当0x 时，2()(1)1f x x =--+，满足[f f （a ）1]2=的实数a 的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．814．（2019•陕西二模）已知函数2,0()(1),0x e x f x x x ⎧=⎨->⎩，又函数2()()()1()g x f x tf x t R =++∈有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A ．(,2)-∞-B ．(2,)+∞C ．(2,2)-D ．(2,4)15．（2019•长沙一模）已知()|1|1x f x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)16．（2016•绍兴二模）已知函数21,0()21,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 ．17．（2011•鼓楼区校级模拟）设定义在R 上的函数1,1|1|()1, 1.x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123x x x ++= ．18．（2011•重庆模拟）已知函数()||3f x x =-，关于x 的方程2()4|()|0f x f x k -+=恰有8个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．19．（2015•上海二模）设定义域为R 的函数，若关于x 的函数2||,0()2,0lgx x f x x x x >⎧=⎨--⎩，若关于x 的函数22()2()1y f x bf x =++有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ．。
复合函数课件
复合函数图像的绘制方法
步骤四：绘制图像
根据得到的点，使用平滑的曲线连接这些点，绘制出复合函数的图像。
复合函数图像的变换
平移变换
当复合函数的内部函数在自变量上加减一个常数时，图像会沿x轴方向平移。
复合函数图像的变换
01
伸缩变换
02
当复合函数的内部函数在自变量 上乘以或除以一个常数时，图像 会沿x轴或y轴方向伸缩。
如果存在一个常数T，对于定义域内 的所有x，都有f(x+T)=f(x)，则函数 为周期函数。复合函数的周期性由内 外函数共同决定。
复合函数的对称性
总结词
对称性描述了函数图像的对称性质。
详细描述
复合函数的对称性与内外函数的对称性和对应关系有关。例如，如果内外函数都是轴对称的，那么复合函数可能 是轴对称的；如果内外函数都是中心对称的，那么复合函数可能是中心对称的。
的角色。
深化理解
通过研究复合函数，可以深入理 解函数的性质和变化规律，进一
步加深对函数概念的理解。
拓展思维
复合函数可以拓展人们的思维方 式和解题思路，对于提高数学素
养和思维能力有很大的帮助。
02
复合函数的性质
复合函数的单调性
总结词
单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。
详细描述
复合函数的单调性取决于内外函数的单调性以及它们的对应关系。如果内外函 数单调性相同，则复合函数为增函数；如果单调性相反，则复合函数为减函数 。
分部积分法
换元积分法
换元积分法是通过引入新的变量来简 化定积分的计算方法。
分部积分法是一种通过将两个函数的 乘积进行求导来计算定积分的方法。
积分在复合函数中的应用
复合函数求导法则
复合函数零点个数问题
复合函数、分段函数零点个数问题1.已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,412-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点2、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的【 】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3 、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++= 有5个不同的实数解，则m =【 】A 2B 6C 2或6D 4或64.已知函数1+(0)()0(=0)x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪⎩则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个不同的实数解的充要条件是【 】 A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】A ．13B ．16C ．18D ．226 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 67．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。
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莲塘二中：熊 斌 华
一、基础知识：
1、复合函数定义：设 y f t ，t g x，且函数 g x 的值域为 f t 定
义域的子集，那么 y 通过 t 的联系而得到自变量 x 的函数，称 y 是 x 的
复合函数，记为 y f g x
2-2：已知定义在
R
上的奇函数，当
x
0
时，
f
x
2 x1 1,0
1 2
f
x
2,
x x
2 2
，则
关于 x 的方程 6 f x2 f x 1 0 的实数根个数为（
）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
思路：已知方程 6 f
x2
f
x 1 0 可解，得
f1 x
1, 2
f2
x
1 3
，只需统计
y 1 , y 1 与 y f x 的交点个数即可。由奇
2
3
函 数 可 先 做 出 x0 的 图 像 ， x2 时 ，
f x 1 f x 2 ， 则 x 2,4 的 图 像 只 需 将
的个数分别为 2 个（ y0 0, y0 1 ）和 3 个（ y0 1 ），已知有 3 个解，从而可得
f x 1 必 为 f 2 x bf x c 0 的 根 ， 而 另 一 根 为 1 或 者 是 负 数 。 所 以
f xi 1 ，可解得： x1 0, x2 1, x3 2 ，所以 x12 x22 x32 5
f1 x x1, f2 x x2 ，其中 f1 x1 x1 ，若 x1 x2 ，
可判断出 x1 是极大值点， x2 是极小值点。且
f2 x x2 x1 f x1 ，所以 y f1 x 与 f x 有 两个交点，而 f2 x 与 f x 有一个交点，共计
2、复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到
外”的顺序，一层层求出函数值.
3、已知函数值求自变量的步骤：则遵循“由外到内”的顺序，一层 层拆解直到求出 x 的值。
4、函数的零点：设 f x 的定义域为 D ，若存在 x0 D ，使得 f x0 0， 则称 x x0 为 f x 的一个零点 5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 x 的方程 g f x 0 根的个数， 在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于 f x 的方程， 观察有几个 f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 f x 的 值求出每一个 f x 被几个 x 对应，将 x 的个数汇总后即为 g f x 0
答案：5
1-2:对于函数 f (x), g(x) 满足：对任意的 x R ，都有 f (x2 2x 3) g(x) ，
若关于 x 的方程 g(x) sin x 0 只有 5 个实根，则这 5 个根之和为（ ）
2
A、 5
B、6
C、8
D、9
解析：由 f (x2 2x 3) g(x) 知，g(x) 的图像关于直线 x 1对称，而函
3 个 ； 若 x1 x2 ， 可 判 断 出 x1 是 极 小 值 点 ， x2 是 极 大 值 点 。 且
）
A．3 B ．4 C ．5 D ．6
思路：f ' x 3x2 2ax b 由极值点可得：x1, x2 为 3x2 2ax b 0 ①的两
根，观察到方程①与 3 f x2 2af x b 0
结构完全相同，所以可得
3 f x2 2af x b 0 的 两 根 为
1-1 ： 设 定 义 域 为
R
的函数
f
x
1 x 1
,x
1
，若关于 x 的方程
1, x 1
f 2 x bf x c 0 由 3 个不同的解 x1, x2, x3 ，则 x12 x22 x32 ______
解析：先作出 f x 的图像如图：观察可发现对于任意的 y0 ，满足 y0 f x 的 x
思 路 ： 可 将 x2 1 视 为 一 个 整 体 ， 即 tx x2 1 ， 则 方 程 变 为 t2 3t 2 0 可解得：t 1或t 2 ，则只需作出 t x x2 1 的图像，然后
统计与 t 1与 t 2 的交点总数即可，共有 5 个 答案：C
2
x 0,2 的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像
完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通 过数形结合可得共有 7 个交点 答案：B
2-3：若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1，则关于 x
的方程 3 f x2 2af x b 0的不同实根的个数是（
的根的个数
6、求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧： （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 f x, g x 的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 f x 的方程 g f x 0 中 f x 解 的个数，再根据个数与 f x 的图像特点，分配每个函数值 fi x 被几个 x 所对应，从而确 定 fi x 的取值范围，进而决定参数的范围
数 y sin x 也关于直线 x 1对称，即 x 1必为方程 g(x) sin x 0 的
2
2
一个根，而另四根之和为 4，所以 5 个根之和为 5. 答案为 A。
2-1：关于
x
的方程
x2
2
1
3
x2
1
2
0
的不相同实根的个数是（
）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 8