对数函数及其性质(1)(1)
对数函数及其性质(一)
2.2.2 对数函数及其性质（一）一、教学目的和要求【知识与技能目标】通过具体实例，直观了解对数函数模型刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图象和性质。
【过程与方法】通过从具体到一般的过程，数形结合的方法，体会研究具体函数及其性质的过程和方法。
【情感、态度与价值观】培养学生数形结合的思想，学会研究函数性质的方法，能应用对数函数的性质解有关问题。
二、重点难点教学重点：对数函数的概念，图像和性质教学难点：利用数形结合的方法从具体到一般地探究，理解对数函数的图象及其性质。
三、教学过程（一）复习引入2.2.1例6 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代。
死亡年数t 就是要得到的碳14的含量P 的函数。
这个函数写成对数的形式是 。
（二）讲授新课 1. 对数函数的定义：函数y ＝log ax (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数，定义域为(0,＋∞)，值域为(－∞,＋∞)。
提问：①．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1。
②．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解。
判断下列函数是不是对数函数：例1 求下列函数的定义域:2. 对数函数的图象： P t 573021log =x y 2log )1(2=x y 2log )2(-=1log )3(2+=x y 2log )1(x y a =)4(log )2(x y a -=)9(log )3(2x y a -=通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 21log =的图像。
思考：两图像有什么关系？因为x x y x 2log log log log 212221-===,所以两图像关于x 轴对称。
对数函数及其性质
2.2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数 y＝ logax(a＞ 0，且 a≠ 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0 ，＋∞ )．(2)对数函数的特征：log ax的系数： 1特征 log ax的底数：常数，且是不等于 1的正实数log ax的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数 y＝ log7x 是对数函数，而函数y＝－ 3log 4x 和 y＝ logx2 均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例 1－ 1】函数 f(x)＝ (a2－ a＋ 1)log (a＋1)x 是对数函数，则实数a＝ __________ ．解析：由 a2－ a＋ 1＝ 1，解得 a＝ 0,1 ．又 a＋ 1＞ 0，且 a＋ 1≠ 1，∴ a＝ 1．答案： 1【例 1－ 2】下列函数中是对数函数的为__________ ．(1)y＝ log a x (a＞ 0，且 a≠ 1) ； (2)y＝ log2x＋2；(3)y＝ 8log 2 (x＋ 1) ； (4)y＝ log x6(x＞ 0，且 x≠ 1) ；(5)y＝ log 6x．解析：序号是否理由(1)×真数是x ，不是自变量x(2)×对数式后加 2(3)×真数为 x＋1，不是 x，且系数为 8，不是 1(4)×底数是自变量 x，不是常数(5) √底数是 6，真数是 x答案： (5)2．对数函数y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1)的图象与性质(1)图象与性质a＞ 1 0＜ a＜ 1图象(1)定义域 { x|x＞0}(2)值域 { y|y R }性(3)当 x＝1 时， y＝0，即过定点 (1,0)质(4)当 x＞1时， y＞ 0；当 0＜ x＜ 1(4) 当 x＞1 时， y＜0；当 0时， y＜0 ＜x＜1 时， y＞0(5) 在 (0，＋∞ )上是增函数(5) 在 (0，＋∞ ) 上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数． a＞ 1 时，函数单调递增；0＜ a＜ 1 时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较第 1 页共 10 页解析式y＝ a x(a＞0，且 a≠ 1) y＝ logax (a＞ 0，且a≠ 1)定义域R (0，＋∞ )值域(0，＋∞ ) R 性(0,1) (1,0) 过定点质单调性一致，同为增函数或减函数单调性奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数 a 对对数函数的图象的影响①底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 a＞ 1 时，对数函数的图象“上升”；当 0＜ a＜ 1 时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞ 1 还是 0＜ a＜ 1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0) 点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线 y＝ 1 来切，自左到右 a 变大．【例 2】如图所示的曲线是对数函数y＝ log ax 的图象．已知a 从3 ，4 ， 3 ， 1 中取值，则相应曲线C1， C2， C3， C4的 a 值依次为 ()3 5 10A．3， 4 ，3 ， 13 5 10B． 3 ， 4 ， 1 ， 33 10 5C．4 ， 3 ，3 ， 13 5 10D．4 ， 3 ， 1 ， 33 10 5解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜ C3的底数＜ C2的底数＜ C1的底数．故相应于曲线C1， C2， C3， C4的底数依次是3 ，4，3，1．答案： A3 5 10点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在 x 轴下方“底大图左”； (2)方法y＝二：作直线1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数 y＝ a x (a＞ 0，且 a≠ 1) 与对数函数y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1) 互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝ x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：第 2 页共 10 页①由 y＝ f(x)解出 x，即用y 表示出x；②把 x 替换为 y， y 替换为 x；③根据 y＝ f(x)的值域，写出其反函数的定义域．【例 3－ 1】若函数y＝ f(x)是函数 y＝ a x(a＞ 0，且 a≠ 1)的反函数，且 f(2)＝ 1，则 f(x)＝ ( )1A． log 2x B ．2xC． log 1 x D．2x－ 22解析：因为函数 y＝a x(a＞ 0，且 a≠ 1)的反函数是f(x)＝ loga x，又f(2)＝ 1，即 log a2＝ 1，所以 a＝ 2．故 f(x)＝ log 2x．答案： A【例 3－ 2】函数 f(x)＝ 3x(0＜ x≤ 2)的反函数的定义域为 ( )A． (0 ，＋∞ ) B ． (1 ,9]C． (0,1) D ． [9，＋∞ )解析：∵ 0＜ x≤ 2，∴ 1＜ 3x≤9，即函数 f(x)的值域为(1,9] ．故函数 f(x)的反函数的定义域为(1,9] ．答案： B【例 3－ 3】若函数 y＝ f(x)的反函数图象过点(1,5) ，则函数 y＝ f(x)的图象必过点 () A． (5,1) B． (1,5) C． (1,1) D ． (5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝ x 对称，而点 (1,5) 关于直线 y＝ x 的对称点为(5,1)，所以函数 y＝ f(x)的图象必经过点(5,1)．答案： A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1) 中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝ n 或图象过点 (m， n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝ logax(a＞ 0，且 a≠ 1)，利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如loga m＝ n，这时先把对数式 logam＝ n 化为指数式的形式a n＝ m，把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式m＝ k n(k＞ 0，且k≠1) ，1 1则解得 a＝ k＞ 0．还可以直接写出a m n，再利用指数幂的运算性质化简m n．例如：解方程－2 1loga 4＝－ 2，则 a＝ 4，由于4221 ．又 a＞ 0，所以 a1，所以a．当2 21 1 11然，也可以直接写出a 4 2，再利用指数幂的运算性质，得a 4 2(22) 22 1．【例 4－ 1】已知 f(e x) ＝x，则f(5)＝ ( )2A ． e 5B ． 5eC ． ln 5D ． log 5 e解析： (方法一 )令 t ＝ e x，则 x ＝ ln t ，所以 f(t)＝ lnt ，即 f(x)＝ ln x ．所以 f(5) ＝ ln5 ．(方法二 )令 e x＝ 5，则 x ＝ ln 5 ，所以 f(5) ＝ ln5 ．答案： C【例 4－ 2】已知对数函数 f(x)的图象经过点1,2 ，试求 f(3)的值．9分析： 设出函数 f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出． 解： 设 f(x)＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，∵ 对数函数 f(x)的图象经过点 1 , 2 ， ∴f 1 log a 1 2． ∴ a 2＝ 1．99 9 9第 3 页 共 10 页1 2 1 21 21 1x ． ∴ a ＝3．∴ f(x)＝ log 19 3 31 1 ∴ f(3)＝log 1 3 log 1＝－ 1．33 3【例 4－ 3】已知对数函数 f(x)的反函数的图象过点 (2,9) ，且 f(b)＝ 1，试求 b的值．2解： 设 f(x)＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，则它的反函数为y ＝ a x (a ＞ 0，且 a ≠ 1)，由条件知 a 2＝ 9 1 1＝ 32，从而 a ＝ 3．于是 f(x)＝ log 3 3 ，解得 b＝ 3 2 3 ． x ，则 f(b)＝ log b ＝25．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为 (0 ，＋∞ )．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于 0，底数大于 0，且不等于 1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等， 在解答问题时需要保证各个方面都有意义． 一般地，判断类似于 y ＝ loga f(x)的定义域时，应首先保证 f(x)＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于 1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 【例 5】求下列函数的定义域．(1)y ＝ log 5(1－ x)； (2) y ＝ log(2x － 1)(5x － 4)；(3) y log 0.5 (4 x 3) ．分析： 利用对数函数 y ＝ log ax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)的定义求解． 解： (1)要使函数有意义，则 1－ x ＞ 0，解得 x ＜ 1， 所以函数 y ＝ log5(1 － x)的定义域是 { x|x ＜ 1} ．5x 4>0,(2)要使函数有意义，则2x 1>0, 解得 x ＞ 4且 x ≠1，2x 1 1, 5所以函数 y ＝ log(2x － 1)(5x －4) 的定义域是4 ,1 (1，＋∞ )． 54x 3 0, 解得 3＜ x ≤ 1，(3)要使函数有意义，则log 0.5 (4x 3) 0, 4所以函数ylog 0.5 (4x 3)x 3的定义域是<x 1 ．46．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y＝ loga f(x)(a＞ 0，且 a≠1) 的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成 y＝ logau， u＝ f(x)这两个函数；②求 f(x)的定义域；③求 u 的取值范围；④利用 y＝ logau 的单调性求解．(3)对于函数 y＝ f(log ax)(a＞ 0，且 a≠ 1) ，可利用换元法，设loga x＝ t，则函数 f(t)(t R )的值域就是函数 f(log ax)(a＞ 0，且 a≠1) 的值域．注意： (1) 若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母 )，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．第 4 页共 10 页(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例 6－ 1】求下列函数的值域：(1)y ＝ log 2(x 2＋ 4) ； (2) y ＝ log 1 (3＋2x － x 2) ．2解： (1) ∵ x 2＋ 4≥ 4， ∴ log 2(x 2＋ 4)≥ log 24＝2．∴ 函数 y ＝ log 2(x 2＋ 4)的值域为 [2 ，＋ ∞ )．(2)设 u ＝ 3＋ 2x－ x2，则 u ＝－ (x － 1)2 ＋ 4≤4． ∵ u ＞0， ∴ 0＜ u ≤ 4． 又 y ＝ log 1 u 在 (0，＋∞ )上为减函数，∴ log 1 u ≥－2．2 2∴函数 y ＝ log 1 (3＋2x － x 2) 的值域为 [－ 2，＋∞ )．2 ，求 y ＝ [f(x)] 2 ＋f(x 2)的最大值及相应的【例 6－ 2】已知 f(x)＝ 2＋ log 3x ， x [1,3] x 的值．分析： 先确定 y ＝ [f (x)] 2 ＋ f(x 2)的定义域，然后转化成关于 log3 x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解： ∵ f(x)＝ 2＋ log 3 x ， x[1,3] ，∴ y ＝ [f(x)] 2 ＋ f(x 2)＝ (log 3x)2＋ 6log 3 x ＋ 6 且定义域为 [1,3] ．令 t ＝ log 3x(x [1,3]) ．∵ t ＝ log3 x 在区间 [1,3] 上是增函数， ∴ 0≤t ≤ 1．从而要求 y ＝ [f(x)] 2＋ f(x 2)在区间 [1,3] 上的最大值，只需求 y ＝ t 2＋ 6t ＋ 6 在区间 [0,1]上的最大值即可． ∵ y ＝ t 2＋ 6t ＋ 6 在 [－ 3，＋ ∞ )上是增函数，∴ 当 t ＝ 1，即 x ＝ 3 时， y max ＝ 1＋ 6＋ 6＝ 13．综上可知，当 x ＝ 3 时， y ＝ [ f(x)] 2＋ f(x 2)的最大值为 13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)过定点 (1,0) ，即对任意的 a ＞ 0，且 a ≠ 1 都有 loga1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数 y ＝ b ＋ kloga f(x)(k ，b 均为常数，且 k ≠ 0)，令f(x)＝ 1，解方程得 x ＝ m ，则该函数恒过定点 (m ， b)．方程 f (x) ＝0 的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题向左 (b>0)或向右 (b<0)①函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)――------- -- -------→ 函数 y ＝ log a(x ＋ b)(a ＞ 0，且 a ≠ 1)平移 |b|个单位长度 向上(b>0)或向下 (b<0)②函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)――------- -- ------→函数 y ＝ loga x ＋b(a ＞0，且 a ≠ 1)平移|b|个单位长度③函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1) 当 x>0时，两函数图象相同函数 y ＝ loga |x|(a ＞ 0，且 a ≠ 1) ―------ -- --- -- ---―→当x<0时，将 x>0时的图象关于 y 轴对称④函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)―― 保留 x 轴上方的图象--- → 函数 y ＝ |logax|(a ＞ 0，---------- -- ------------- --x 轴的对称变换---------- 同时将 x 轴下方的图象作关于且 a ≠ 1)【例 7－ 1】若函数 y ＝ log a(x ＋ b)＋ c(a ＞ 0，且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 (3,2) ，则实数 b ，c的值分别为 __________ ．解析： ∵ 函数的图象恒过定点 (3,2) ，∴ 将 (3,2)代入 y ＝ loga (x ＋ b)＋ c(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，得 2＝ loga(3＋ b)＋ c ． 又 ∵ 当 a ＞ 0，且 a ≠ 1 时，log a 1＝ 0 恒成立，∴ c ＝ 2． ∴ loga (3＋ b)＝ 0．∴ b ＝－ 2．答案： － 2,2【例 7－ 2】作出函数 y ＝ |log 2(x ＋ 1)|＋2 的图象．解： (第一步 )作函数 y ＝ log 2x 的图象，如图 ① ；(第二步 )将函数 y ＝ log2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度， 得函数 y ＝ log 2(x ＋ 1)的图象，如图 ② ；(第三步 )将函数 y ＝ log2(x ＋ 1)在 x 轴下方的图象作关于 x 轴的对称变换， 得函数 y ＝ |log2 (x ＋1)|的图象，如图 ③ ；(第四步 )将函数 y ＝ |log2 (x ＋ 1)|的图象， 沿 y 轴方向向上平移 2 个单位长度， 便得到所求函数第 5 页 共 10 页的图象，如图④ ．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数 (是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与 1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量 0,1 进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“ 1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于 1 进行分类讨论．【例 8－ 1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log 31.9 ， log3 2；(2)log 23， log0.3 2； (3)logaπ， loga3.141 ．分析： (1) 构造函数 y＝ log 3x，利用其单调性比较；(2) 分别比较与的大小； (3) 分类讨论底数的取值范围．解： (1)因为函数 y＝ log 3x 在 (0 ，＋∞ )上是增函数，所以 f(1.9)＜ f (2)．所以 log31.9 ＜ log32．(2)因为 log 23＞ log21＝ 0， log0.32＜ log0.31＝ 0，所以 log23＞ log 0.32．(3)当 a＞ 1 时，函数 y＝ loga x 在定义域上是增函数，则有 logaπ＞ log a3.141 ；当 0＜ a＜ 1 时，函数 y＝ log a x 在定义域上是减函数，则有 log aπ＜ log a3.141 ．综上所得，当 a＞ 1 时， log aπ＞ loga3.141 ；当 0＜ a＜ 1 时， log aπ＜ log a3.141 ．【例 8－ 2】若 a2＞ b＞ a＞ 1，试比较 log aa， logb b， logb a， log a b 的大小．b a分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵ b＞a＞ 1，∴ 0＜a＜ 1．b∴log a a＜ 0， loga b＞ log aa＝ 1， logb1＜ logb a＜ log bb，即 0＜ logba＜ 1．b第 6 页共 10 页由于 1＜ b＜ b ， ∴ 0＜ log b b＜ 1．由 log b a－ logb b＝ log b a 2， a a ab 2 ＞ b ＞ 1， ∴ a 2∵a ＞ 1．b ∴ log b a 2log b b ＞ 0，即 log b a ＞ a b ∴ logab ＞ logb a ＞log bb ＞ log a a a b．． 9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当 a ＞ 0，且 a ≠ 1时，有① logaf (x)＝ loga g(x) f(x)＝g(x)(f(x) ＞0， g(x)＞0) ；②当 a ＞ 1 时， logaf(x)＞loga g(x) f(x)＞ g( x)(f(x)＞ 0， g(x)＞ 0)；③当 0＜ a ＜ 1 时， log af(x)＞ log ag(x) f(x)＜ g(x)(f(x)＞0， g(x)＞ 0) ．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如 loga f(x)＞ log ag(x)的不等式， 借助函数 y ＝ log ax 的单调性求解， 如果 a 的取值不确定，需分 a ＞ 1 与 0＜ a ＜ 1 两种情况讨论．②形如 loga f(x)＞ b 的不等式，应将 b 化为以 a 为对数的对数式的形式，再借助函数 y ＝ logax的单调性求解．③形如 loga b g(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用f(x)＞log 对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如 f(log ax)＞ 0 的不等式，可用换元法 (令 t ＝ log ax)，先解 f( t)＞ 0，得到 t 的取值范围．然后再解 x 的范围．【例 9－ 1】解下列不等式： (1) log1xlog 1 (4 x) ；77(2)log x(2x ＋ 1)＞ logx (3－ x)．x>0,解： (1)由已知，得4 x>0, 解得 0＜ x ＜ 2． x<4x,所以原不等式的解集是 { x|0＜ x ＜ 2} ． (2)当 x ＞ 1 时，有当 0＜ x ＜ 1 时，有2x 1>3 x,2x 1>0, 解得 1＜ x ＜3； 3 x>0,2x 1<3x,2x 1>0, 解得 0＜ x ＜ 2．3 x>0, 3所以原不等式的解集是2 或．x 0<x<31<x<3【例 9－ 2】若log a 23 2＜ 1，求 a 的取值范围．2 22＜ 1，即 loga 1 2解：∵log a＜ 1，∴ － 1＜log a log alog aa ．3 3 a 3(1)∵当 a ＞ 1 时， y＝ log ax 为增函数，∴ 1 2 a ．∴ a＞3，结合 a＞ 1，可知 a＞3．a 3 2 2第 7 页共 10 页1 2 (2)∵ 当 0＜ a ＜ 1 时， y ＝ loga x 为减函数， ∴ > >a ．∴ a ＜ 20＜ a ＜ 1，知 0＜ a＜ 2a 3，结合 ．3 3∴ a 的取值范围是a 0<a< 2，或 a> 3． 3 210．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键： 一是看底数是否大于 1，当底数未明确给出时， 则应对底数a 是否大于 1 进行讨论； 二是运用复合法来判断其单调性； 三是注意其定义 域．(2)关于形如 y ＝ loga f(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数 y ＝ logaf(x)的单调性与函数 u ＝ f(x)(f(x)＞ 0)的单调性， 当 a ＞ 1 时相同， 当 0＜ a ＜ 1 时相反．例如：求函数y ＝ log2 (3 －2x)的单调区间． 分析： 首先确定函数的定义域，函数y ＝ log2(3－ 2x)是由对数函数 y ＝ log 2u 和一次函数 u ＝3 － 2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数 u ＝ 3－ 2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝ log2 u 的单调性考虑．解： 由 3－ 2x ＞ 0，解得函数 y ＝ log2(3 － 2x)的定义域是－ ∞ ， 3． 2设 u ＝ 3－2x ， x3 － ∞ ， 2 ， ∵ u ＝ 3－ 2x 在 － ∞ ， 3上是减函数，且 y ＝ log 2u 在 (0，＋ ∞ )上单调递增，2∴ 函数 y ＝ log 2(3 － 2x)在 － ∞ ， 3上是减函数．2∴ 函数 y ＝ log2(3 － 2x)的单调减区间是－ ∞ ，3．2【例 10－ 1】求函数 y ＝ log a (a － a x)的单调区间．t ＝ a － a x递减． 解： (1)若 a ＞ 1，则函数 y ＝ log a t 递增，且函数又 ∵ a － a x ＞ 0，即 a x＜a ，∴ x ＜ 1． ∴ 函数 y ＝ log a (a － a x)在 (－∞ ， 1)上递减．(2)若 0＜ a ＜ 1，则函数 y ＝ log at 递减，且函数 t ＝ a－ a x递增．又 ∵ a － a x ＞ 0，即 a x＜ a ，∴x ＞ 1．∴ 函数 y ＝ loga(a － a x)在 (1，＋ ∞ )上递减．综上所述，函数y ＝ loga (a － a x)在其定义域上递减．析规律判断函数 y ＝ log af(x)的单调性的方法 函数 y ＝ log af(x)可看成是 y ＝ logau与 u ＝ f(x) 两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性 “ 同增异减 ” 的规律即可判断．需特别注意的是， 在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即 “ 定义域优先 ”．【例 10－ 2】已知 f(x)＝ log 1 (x 2－ ax － a)在 , 1 上是增函数，求 a 的取值范围．22解：, 1 是函数 f(x)的递增区间，说明 , 1是函数 u ＝ x 2－ ax － a 的递减区间，2 2 由于是对数函数，还需保证真数大于0．令 u(x)＝ x 2－ ax － a ， ∵ f(x)＝log 1 u(x) 在, 1 上是增函数， 2 2∴ u(x)在 , 1上是减函数，且u(x)＞ 0 在, 1 上恒成立．22第 8 页 共 10 页a 1 , a 1, ∴ 22 即 1 a 0. u 14 a 0, 22∴－ 1≤ a ≤ 1．2∴满足条件的 a 的取值范围是a 1 a 1 ．211． 对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1) 求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数， 当定义域关于原点对称时，判断f(－ x)与 f(x)或－ f(x)是否相等； (2) 当 f(－ x)＝ f(x)时，此函数是偶函数；当 f(－ x)＝－ f(x)时，此函数是奇函数；(3) 当 f(－ x)＝ f(x)且 f(－x)＝－ f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数； (4) 当 f(－ x)≠ f(x)且 f(－x)≠－ f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如，判断函数f(x)＝log a ( x 2 1＋ x) (x R ， a ＞ 0，且 a ≠ 1) 的奇偶性． 解： ∵ f(－ x)＋ f(x)＝＝ log a ( x 2 1 x) ＋ log a ( x 21＋x) )＝log a (x 2 ＋ 1－ x 2)＝ log a 1＝ 0，∴f(－ x)＝－ f(x)． ∴ f(x)为奇函数．【例 11】已知函数 f(x)＝ 1 x loga 1 (a ＞ 0，且 a ≠1) ．x(1) 求函数 f(x)的定义域； (2) 判断函数 f(x)的奇偶性； (3) 求使 f(x)＞ 0 的 x 的取值范围．分析： 对于第 (2) 问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第 (3) 问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解： (1)由 1x＞ 0，得－ 1＜ x ＜1，1 x故函数 f(x)的定义域为 (－1,1) ．1 x ＝ 1 x＝－ f(x)，(2)∵ f(－ x)＝log a 1 x loga 1 x又由 (1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称，∴ 函数 f(x)是奇函数．(3)当 a＞ 1 时，由log a1x＞ 0＝ loga1，得1x＞ 1，解得 0＜ x＜ 1；当 0＜ a＜ 1 时，1x 1 x由 log a1x＞ 0＝ loga1，得0＜ 1x＜ 1，解得－ 1＜ x＜0．1 x 1 x故当 a＞ 1 时， x 的取值范围是 { x|0＜ x＜ 1} ；当 0＜ a ＜ 1 时， x 的取值范围是 { x|－ 1＜x＜ 0} ．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液 pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；第 9 页共 10 页(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论． 由此看， 直接给定参数待定的函数模型时， 利用待定系数法的思想， 代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题． 代入法、 方 程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例 12】我国用长征二号 F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历 史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家 (其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱 )．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度 y(单位： km/s) 关于燃料重量 x(单位：吨 ) 的函数关系式为y ＝ kln(m ＋ x)－kln( 2m )＋4ln 2( k ≠ 0)，其中 m 是箭体、 搭载的飞行器、 航天员的重量和． 当燃料重量为 (e － 1)m 吨时， 火箭的最大速度是 4km/s ．(1)求 y ＝f(x)；(2)已知长征二号 F 型运载火箭的起飞重量是 479.8 吨 (箭体、搭载的飞行器、 航天员、 燃料 )，火箭的最大速度为 8 km/s ，求装载的燃料重量 (e ＝ 2.7，精确到0.1) ．解： (1)由题意得当 x ＝(e － 1)m 时， y ＝ 4， 则 4＝ kln[ m ＋ (e － 1)m]－ kln( 2m )＋ 4ln 2 ，解得 k＝ 8． 所以 y ＝ 8ln(m ＋ x)－ 8ln(2m )＋ 4ln 2 ，即 y ＝ 8ln m x． m(2)由于 m ＋ x ＝ 479.8，则 m ＝479.8 － x ，479.8 ，解得 x ≈302.1． 令8 8ln479.8x 302.1 吨． 故火箭装载的燃料重量约为第 10 页共 10 页。
对数函数及其性质PPT课件(1)
a ＝ log3π>1 ， b ＝ log2
1 3＝2
故有 a>b>c.故选 A. 【答案】 A
1 (1)已知 loga3>1，求 a 的取值范围； 1 1 (2)已知 log32a<log3(a－1)， 求 a 的取值范围．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①(1)中底数含有参数； ②(2)中底数相同． 解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解．
2a>a－1 即 ，解得 a>1.即实数 a 的取值范围是 a－1>0
a>1.
1 求函数 y＝log (3＋2x－x2)的单调区间和值域． 2 【思路点拨】 由题目可以获取以下主要信息： 1 ①函数由 y＝log2u 与 u＝3＋2x－x2 复合． ②要注意在函数定义域内讨论单调性．
1 【解析】 由 3＋2x－x2>0 解得函数 y＝log2 (3＋2x－x2)的定义域是{x|－1<x<3}． 设 u ＝ 3 ＋ 2x － x2( － 1<x<3) ， 又 设 － 1<x1<x2≤1， 1 1 则 u1<u2.从而 log2u1>log2u2，即 y1>y2. 故函数 y 1 ＝log2(3＋2x－x2)在区间(－1,1]上单调递减． 同理可得函数在区间(1,3)上单调递增． 函数 u＝3＋2x－x2(－1<x<3]的值域是(0,4]， 1 1 2 故函数 y＝log (3＋2x－x )的值域是 y≥log 4. 2 2 即{y|y≥－2}．
Байду номын сангаас
(1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对 数函数的单调性． (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则． (3)若含有字母，应考虑分类讨论．
高中数学：2.2.2对数函数及其性质 (1)
2．2.2对数函数及其性质第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)比较对数值的大小[例1]比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)．[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，于是log a5.1＜log a5.9；当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，于是log a5.1＞log a5.9.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性．1．比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (2)log 0.56，log 0.54； (3)log 132与log 152;(4)log 23与log 54.解：(1)因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8. (2)因为函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log 0.56＜log 0.54. (3)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215. 又∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15，∴0＞log 2 13＞log 2 15，∴1log 213＜1log 215.∴log 132＜log 152. (4)取中间值1，∵log 23＞log 22＝1＝log 55＞log 54，∴log 23＞log 54.[例2] (1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .求解对数不等式①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解．②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．2．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围． 解：由题意知log a (3a －1)＞0＝log a 1. 当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＞1，3a －1＞0，解得a ＞23，∴a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜1，3a －1＞0，解得13＜a ＜23.∴13＜a ＜23. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).有关对数型函数的值域与最值问题[例3] 求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R. 因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2， 所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4. 因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12u ≥log 124＝－2，所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．3．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值． 解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵f (x )的定义域为[1,9]， ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13. ∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.[例4] 已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中(a ＞0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x )．求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由． [解] ∵f (x )＝log a (1＋x )的定义域为{x |x ＞－1}， g (x )＝log a (1－x )的定义域为{x |x ＜1}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x ＞－1}∩{x |x ＜1}＝{x |－1＜x ＜1}． ∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，∴h (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－h (x )， ∴h (x )为奇函数． [一题多变]1．[变条件]若f (x )变为log a 1＋x1－x (a ＞1)：求f (x )的定义域．解：因为f (x )＝log a 1＋x1－x，需有1＋x1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞0，1－x ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜0，1－x ＜0，所以－1＜x ＜1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．2．[变设问]在本例条件下，若f (3)＝2，求使h (x )＜0成立的x 的集合． 解：∵f (3)＝log a (1＋3)＝log a 4＝2，∴a ＝2. ∴h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， ∴h (x )＜0等价于log 2(1＋x )＜log 2(1－x )，对数函数性质的综合应用∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x ，1＋x ＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜0.故使h (x )＜0成立的x 的集合为{x |－1＜x ＜0}．层级一 学业水平达标1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，∴x 的取值范围是(2,7]，故选B.2．已知log 12m ＜log 12n ＜0，则( )A ．n ＜m ＜1B ．m ＜n ＜1C ．1＜m ＜nD ．1＜n ＜m解析：选D 因为0＜12＜1，log 12m ＜log 12n ＜0，所以m ＞n ＞1，故选D.3．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．4．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选D 由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a . 5．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A. 6．比较大小： (1)log 22______log 23； (2)log 3π______log π3.解析：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3，所以log 22＞log 2 3. (2)因为函数y ＝log 3x 增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1. 同理1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3. -=-=答案=-=-：(1)＞ (2)＞7．不等式log 13(5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧5＋x >0，1－x >0，5＋x >1－x ，得－2<x <1.-=-=答案=-=-：{x |－2<x <1}8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增， ∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12＝2，a ＝4. -=-=答案=-=-：49．已知对数函数f (x )的图象过点(4,2)，试解不等式f (2x －3)＞f (x )． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， 因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)＞f (x )⇒log 2(2x －3)＞log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，x ＞0，2x －3＞x ⇒x ＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．10．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．解：要使y ＝log 12(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1,1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 12(1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 12(1－x 2)是增函数．故函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 12(1－02)＝0.层级二 应试能力达标1．若a ＞0，且log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C ∵log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，∴a 2＜a 3，即a 2(1－a )＜0，∴a ＞1，故选C.2．设a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：选D 由于b ＝log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c . 3．关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是增函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是减函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数 D ．.f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是减函数 解析：选C 由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．由1－2x ＞0，得x ＜12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为(－∞，12)．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数，故选C. 4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．5．若y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3＞1，解得a ＞2. -=-=答案=-=-：(2，＋∞)6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________________．解析：∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称．∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，做出函数图象如图所示．由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 18x )＞0⇒log 18x ＜－13或log 18x ＞13⇒x ＞2或0＜x ＜12， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． -=-=答案=-=-：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 7．求函数f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． 解：f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2 ＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤－12(log 2x －1) ＝－12[](log 2x )2＋log 2x －2. 设log 2x ＝t .∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]，则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]， 因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12， ∴它在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98. 当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2.∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98.8．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0＜a ＜1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0， 解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]， 因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。
对数函数及其性质
当 0 ＜ a ＜ 1 时， y loga x 是减函 数. （4）当 a ＞1 时
x ＞1，则 loga x ＞0
（4）当 a ＞1 时，函数图象在（1， 0＜ x ＜1， loga x ＜0 0）点右边的纵坐标都大于 0，在（1， 0）点左边的纵坐标都小于 0. 当 0 当 0＜ a ＜1 时 ＜ a ＜1 时，图象正好相反，在（1， x ＞1，则 loga x ＜0 0）点右边的纵坐标都小于 0，在（1， 0）点左边的纵坐标都大于 0 . 0＜ x ＜1， loga x ＜0
对数函数及其性质（一）
1. 画出 y 2x 、 y ( ) x 的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 讲授新课： 1.对数函数的图象和性质： ① 定义：一般地，当 a＞0 且 a≠1 时，函数 y=loga x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是 x； 函数的定义域是（0，+∞） ② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如： y 2log 2 x ， y log5 (5 x) 都 不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (a 0 ，且 a 1) ．
5.1
0.9
)
二、填空题 3 －3 3 －3 4 －4 －1 13．化简：(a ＋a )(a －a )÷[(a ＋a ＋1)(a－a )]＝＿＿＿＿＿． 2 x x 14．f(x)＝x －bx＋c 满足 f(1＋x)＝f(1－x)且 f(0)＝3，则 f(b )与 f(c )的大小关系是＿． 1 |x＋1|＋|x－2| 15．y＝( ) 的递增区间是＿＿＿＿递减区间是＿＿＿． 3 16．(2005．北京)对于函数 f(x)定义域中任意的 x1≠x2，有如下结论： ①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) ②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2) f(x1)－f(x2) x1＋x2 (x1)＋f(x2) ③ ＞0 ④f( )＜ x1－x2 2 2 当 f(x)＝lgx 时，上述结论中正确的序号是＿＿＿＿＿＿． 三、解答题 a －1 17．已知函数 f(x)＝ x (a＞0 且 a≠1) a ＋1 ①求 f(x)的定义域和值域．②讨论 f(x)的单调性．
对数函数及其图象与性质(一)1课件人教新课标
1、类比思想 2、数形结合的思想 3、分类讨论思想
作业设置： 学案中【课后作业】
分别以y log2 x 和 y log 1 x 为例，用描点法画图．
y2
x y log2 x
1 -1
2
10 21
42 6 2.6 83
1
3
y log 2 x
2
0
1
-1
0 1 2 3 45678x
-2
-1
-2.6 -2
-3
-3
y log 1 x
2
知识探究：对数函数y=logax（a>0且a≠1）的图象和性质
3. 指数函数的图象和性质
y＝ax
图 象
定义域
a＞1
y y＝ax
(0,1)
y＝1
O
x
R
0＜a＜1
y＝ax y (0,1) y＝1 Ox
值域
定点 单调性 函数值 的符号
(0，＋∞)
过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
在R上是增函数
x＞0时，y＞1; x＜0时，0＜y＜1
在R上是减函数
x＞0时，0＜y＜1; x＜0时，y＞1
所以，t 是关于P的函数。
知识探究：
1、对数函数定义：形如 y loga x(a 0, 且a 1) 的函数叫
做对数函数,其中 x 是自变量；
定义域是(0, ＋∞). 对数函数的情势：
练习：1、判断下列函数是否是对数函数（1）系数为1
（1）y
lo2）底数是大于0且不等于
课堂导学：求对数函数定义域问题
应用一：求下列函数的定义域
课堂导学：求对数函数定义域问题
应用一：求下列函数的定义域
对数函数及其性质(1)
2.2.2 对数函数及其性质（1）学习目标1.理解对数函数的概念，知道对数函数是一类重要的函数模型；2.理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点；重点难点重点：对数函数的定义、图象及其性质；难点：由对数函数图象总结归纳出对数函数性质。
自主学案预习学案1. 定义：一般地,我们把函数log (0a y x a =>,且1)a ≠叫做对数函数，其中 是自变量,函数的定义域是2. 对数函数图象与性质a>10<a<1图 象 y0 xy0 x性 质①定义域： ②值域： ③过定点： ④增区间：④减区间：预习思考1. 函数log (0a y x a =>,且1)a ≠的图象过定点2.函数2()log 2f x x =-的定义域3.函数5()2+log f x x =(1x ≥)值域是合作探究探究点一：对数函数的概念 一、概念一般地，我们把函数log (0a y x a =>,且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0+∞，. 二、概念理解1、在函数的定义中，为什么要限定0,a >且1a ≠？2、为什么对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的定义域是()0+∞，？3、下列函数是不是对数函数？①2-log y x =，②212log y x =，③3log (1)y x =+，④31log y x=，⑤log 5x y = 三、典例剖析例1. 求下列函数的定义域(1)22log (45)y x x =-- (2) log (22)y x =-(5-x)类题突破2 (1) 23log (31)2x y x x +=++-2 （2）0.5log (43)y x =-探究点二：对数函3数的图象和性质 一、对数函数2log y x =与12log y x =的图象请用描点法分别作出两个函数图象！ “列表——描点——连线”x121 2 4 8 162log y x =12log y x =y y2log y x = 12log y x =0 1 x 0 1 x思考：函数2log y x =与12log y x =的图象有什么关系？y 1.注意结合x 、y 对应值表以及2log y x = 函数图象观察分析！关系：2.如何证明这种关系？1 x12log y x =二、探究对数函数的性质在同一直角坐标系下分别作出函数13log y x =，12log y x =，2log y x =，3log y x =的图象，观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？y0 1 x三、对数函数log (0a y x a =>,且1)a ≠的图象及性质a>1 0<a<1图 象性 质①定义域： ②值域：③过定点 ，即当x= 时，y= ④在(0,+∞)上是 函数④在(0,+∞)上是 函数四、典例剖析例3、比较大小：①2log 3与2log 4；②12log 5与12log 3；③log 2a 与log 5a .例4、已知下述4个函数图象是底数分别为 A 、B 、C 、D 的对数函数图象，试比较 A 、B 、C 、D 的大小.例5、若函数log (34)a y x =+（0<a<1）的函数值恒大于0，求x 的取值范围？类题突破6 求使函数log (34)a y x =+的值恒为负值的x 的取值范围？概括整合1、对数函数的概念，底数、真数的取值范围；2、对数函数的图象及其性质的应用；3、用数形结合的方法解决问题.4、。
2.2.2对数函数及其性质教案(1)
2.2.2对数函数及其性质教案(1)2.2.2对数函数及其性质（一）教学目标（一）教学知识点1．对数函数的概念；2．对数函数的图象与性质．（二）能力训练要求1．认知对数函数的概念；2．掌握对数函数的图象、性质；3．培养学生数形结合的意识．（三）德育渗透目标1．重新认识事物之间的广泛联系与相互转变；2．用联系的观点看看问题；3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．教学重点对数函数的图象、性质．教学难点对数函数的图象与指数函数的关系．教学过程一、复习引入：1、对数的概念：如果ax=n,那么数x叫作以a为底n的对数,记作logan＝x（a>0,a≠1）2、指数函数的定义:函数y=ax(a＞0,且a≠1)叫作指数函数,其中x就是自变量,函数的定义域就是r.3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y就是对立次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2则表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个??细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x?log2y.如果用x则表示自变量，y则表示函数，这个函数就是y?log2x.带出新课--对数函数．二、新授内容：1．对数函数的定义：函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数，定义域为(0,??)，值域为(??,??)．x第1页共11页例1．求下列函数的定义域：（1）y?logax2；（2）y?loga(4?x)；（3）y?loga(9?x2)．分析：此题主要利用对数函数y?logax的定义域（0，+∞）解．求解：（1）由x>0得x?0,∴函数y?logax2的定义域就是?x|x?0?；2（2）由4?x?0得x?4，∴函数y?loga(4?x)的定义域是?x|x?4?；2（3）由9?x?0得-3?x?3，∴函数y?loga(9?x2)的定义域是?x|?3?x?3?．2．对数函数的图象：通过列表、描点、连线作y?log2x与y?log1x的图象：232.532.5221.51-11.510.51110.50-0.512345678-101-0.512345678-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5思索：y?log2x与y?log1x的图象存有什么关系？23．练习：教材第73页练习第1题．1.图画出来函数y=log3x及y=log1x的图象，并且表明这两个函数的相同性质和相同性质.3解：相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x=1,y=0.不同性质：y=log3x的图象是上升的曲线，y=log1x的图象3就是上升的曲线，这表明前者在（0，+∞）上就是增函数，后者在（0，+∞）上就是减至函数.4．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．32.52a＞132.520＜a＜11.51.5图象1-111110.50.50-0.512345678-101-0.512345678-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5性定义域：（0，+∞）第2页共11页质值域：r过点（1，0），即当x=1时，y=0x?(0,1)时y?0x?(1,??)时y?0在（0，+∞）上是增函数三、讲解范例：基准2．比较以下各组数中两个值的大小：x?(0,1)时y?0x?(1,??)时y?0在（0，+∞）上是减函数⑴log23.4,log28.5；⑵log0.31.8,log0.32.7；⑶loga5.1,loga5.9(a?0,a?1)．解：⑴考查对数函数y?log2x，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4?log28.5．⑵考查对数函数y?log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上就是减至函数，于是log0.31.8?log0.32.7．小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：①确认所必须考查的对数函数；②根据对数底数推论对数函数多寡性；③比较真数大小，然后利用对数函数的多寡性推论两对数值的大小．⑶当a?1时，y?logax在（0，+∞）上就是增函数，于是loga5.1?loga5.9；当0?a?1时，y?logax在（0，+∞）上就是减至函数，于是loga5.1?loga5.9．小结2：分类探讨的思想．对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．四、练1。
2.2.2对数函数及其性质运算(1)课件
练习1:
比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 ⑵ log0.56 ＜ log108 log0.54 ＜ ⑶ log0.10.5 ＞ log0.10.6 ⑷ log1.51.6 ＞ log1.51.4
y log 1 x
y log 1 x
2
x
3
对数函数的图象与性质：
函数 底数
y
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) a＞1
y 1
0＜a＜1
图象 定义域
o
1
x
o
x
(0,+∞)
(0,+∞)
值域 定点
值分布
R (1,0)
当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
R (1,0)
⑵因为函数y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数, 且1.8<2.7,所以log 0.31.8＞log 0.32.7.
小结:对于同底不同真数的对数大小比较，应利 用对数函数的单调性判断大小。
⑶ loga5.1 , loga5.9 ( a＞0 , a≠1 )
解:①当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函 数,于是log a5.1＜log a5.9; ②当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 减函数,于是log a5.1＞log a5.9.
例2.比较下列各组数中两个值的大小： (1) log23.4 , log28.5; ⑵ log0.31.8, log0.32.7; ⑶ loga5.1 , loga5.9 (a＞0,a≠1 ).
对数函数及其性质
对数函数及其性质对数函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于科学和工程领域。
它的性质包括增减性、定义域、值域等。
本文将详细介绍对数函数及其性质，帮助读者深入理解并运用该函数。
一、对数函数的定义对数函数是指以某个固定的正数（底数）为底，将任意的正数（真数）映射到另一个数上的函数。
对数函数的常见表示形式为y=logₐx，其中底数a>0且a≠1，真数x>0。
二、对数函数的性质1. 增减性对数函数的增减性与底数a的大小有关。
当底数a>1时，对数函数随着真数的增加而增加；当底数0<a<1时，对数函数随着真数的增加而减小。
2. 定义域和值域对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
值域为实数集，即y∈R。
3. 特殊值当真数x=1时，对数函数的值为0，即logₐ1=0。
当底数a=1时，对数函数无定义。
4. 对数函数的基本关系（1）对数函数和指数函数的互逆关系：对于任意的正实数x和底数a>0且a≠1，有aⁿ=x⇔logₐx=n。
（2）对数函数的乘积法则：logₐ(xy)=logₐx+logₐy，其中x、y>0。
（3）对数函数的商法则：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy，其中x、y>0。
（4）对数函数的幂法则：logₐ(xⁿ)=nlogₐx，其中x>0，n为任意实数。
5. 对数函数的图像当底数a>1时，对数函数的图像呈现典型的递增曲线；当底数0<a<1时，对数函数的图像呈现典型的递减曲线。
对数函数在x轴的正半轴上的图像称为对数曲线。
三、对数函数的应用1. 数据压缩与展示对数函数可以用于对数据进行压缩和展示。
当数据的幅度较大时，可以通过对数函数对其进行压缩，从而使得数据更易读取和呈现。
2. 指数增长模型对数函数常用于描述指数增长模型，如人口增长、物种繁殖等。
对数函数能够将指数增长转化为线性关系，便于模型的建立和求解。
3. 信号处理对数函数在信号处理中有广泛的应用，如音频信号处理、图像处理等领域。
对数函数及其性质(1)(精)
对数函数及其性质（1）一、教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。
对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。
与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。
学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。
虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。
二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。
由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。
教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。
三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。
四、教学目标1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。
五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题1．让学生看材料：材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。
对数函数及其性质(一)
定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :
R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是： 增函数
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
探索发现:认 真观察函数
y 2
y log1
2
x
1 11
42
的图象填写 下表
图象特征
0 -1 -2
1 2 3 4
x
函数性质
图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸
y log 3 x
0
1 2 3
4
x
y log 1 x
y log 1 x
2
-1 -2
3
练习
1.求下列函数的定义域：
（1） y
log 5 (1 x)
(,1) (0,1) (1,)
1 （2） y log 2 x
y=logax
例2. 比较下列各组数中两个值的大小：
定义域 : 值 域 :
( 0,+∞) R
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是：减函数
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1)
的图象与y
x =1
y l oga x (a 1)
0＜a＜1
(1,0)
O
X
O
(1,0)
y l oga (0 a 1)
函数 y log a x, y log b x, y log c x, y log d x 的图像如图所示， 则下列式子中正确的是（
1
7
x
∴ log 2 7 ＞ log 5 7
例4:比较下列各组数中两个值的大小： log 6 7 ＞ log 7 6 log 6 7 ＞ log 6 6 = 1 log 7 6 ＜ log 7 7 = 1 log 6 7 ＞ log 7 6
对数函数及其性质(1)
对数函数y=log a x (a>0, a≠1) 对数函数
a>1 图 象
o y (1, 0) x y
0<a<1
（1, 0) o
x
(1) 定义域： (0,+∞) 定义域： (2) 值域：R 值域： 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 性 (3) 过点 (4) 当0<x<1时, y<0; 时 (4) 当0<x<1时, y>0; 时 当x>1时, y>0 时 当x>1时, y<0 时 上是增 上是减 上是 在 上是 质 (5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
我们在研究指数函数性质 研究了哪些方面？ 时，研究了哪些方面？通过 什么来研究? 什么来研究?
二.对数函数图象 对数函数图象
作出函数y=log 的图像， 作出函数y=log2x与 y = log 1 x 的图像，并观察这两
2
个函数图象之间有怎样的关系。 个函数图象之间有怎样的关系。
三.对数函数的性质 对数函数的性质
y 0 1
㈠
a>1 x
㈡ 图象特征 图象都在__轴的右侧 图象都在y __轴的右侧 __ 这些图象都经过______点 这些图象都经过______点 ______ a>1， x∈(0,1)时图象在x a>1，当x∈(0,1)时图象在x轴 时图象在 下 ____方 x∈(1,+∞)时图象 的____方； x∈(1,+∞)时图象 轴的____ ____方 0<a<1,正好 在x轴的____方; 0<a<1,正好 上 相反 从左向右看: 从左向右看: a>1时图象 逐渐上升 a>1时图象 ________; 0<a<1时图象 逐渐下降 时图象_________; 0<a<1时图象_________;
2.2.2对数函数及其性质(一) 新课标高中数学人教A版 必修一 教案
2.2.2 对数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识技能（1）理解对数函数的概念.（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.2．过程与方法（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.3．情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1、重点：（1）对数函数的定义、图象和性质；（2）对数函数性质的初步应用.2、难点：底数a对图象的影响.（三）教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.（四）教学过程一般式吗？.概念．质，.的图象之间有什么关系？对数函数图象有以下特征对数函数有以下性质相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）.不同点：y=log3x的图象是上升=log x的图象是下降的.备选例题例1 求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域. 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-><012x x x . ∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}.【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.例2 求函数y = log 2|x |的定义域，并画出它的图象. 【解析】函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }. 函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨⎧<->)0()(log )0(log 22x x xx ，其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）.x。
第二章 2.2.2 第1课时 对数函数及其性质(一)
2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数及其性质(一)学习目标 1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.知识点一 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).知识点二 对数函数的图象与性质对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：1.由y ＝log a x ，得x ＝a y ，所以x >0.( √ )2.y ＝2log 2x 是对数函数.( × )3.y ＝a x 与y ＝log a x 的单调区间相同.( × )4.由log a 1＝0，可得y ＝log a x 恒过定点(1,0).( √ )题型一 对数型函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x ). 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3＋x >0，得－3<x <3，∴函数的定义域是(－3,3). (2)由16－4x >0，得4x <16＝42， 由指数函数的单调性得x <2，∴函数y ＝log 2(16－4x )的定义域为(－∞，2).反思感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变. 跟踪训练1 求下列函数的定义域. (1)y ＝x 2－4lg (x ＋3)；(2)y ＝12－x＋ln(x ＋1). 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥2，x >－3，x ≠－2，即－3<x <－2或x ≥2，故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞).(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，x ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，∴－1<x <2. 故所求函数的定义域为(－1,2). 题型二 对数型函数的求值问题例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 3x ，x >0，(1)求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫127的值； (2)若f (a )＝12，求a 的值.解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫127＝log 3127＝－3， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫127＝f (－3)＝2－3＝18. (2)当a >0时，由f (a )＝12，得log 3a ＝12.∴a ＝123＝ 3.当a ≤0时，由f (a )＝12，得2a ＝12，∴a ＝－1，综上所述a 的值为－1或 3.反思感悟 理解运算对象，选择运算方法即对于分段函数要注意分类讨论，掌握运算法则，即指数、对数的运算法则，求得运算结果，所以本题充分体现了数学运算的核心素养. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝log 3(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析 ∵f (a )＝log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝3，∴a ＝2.题型三 对数函数的图象问题例3 (1)函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )答案 C(2)画出函数y ＝lg|x －1|的图象. 考点 对数函数的图象题点 含绝对值的对数函数的图象 解 (1)先画出函数y ＝lg x 的图象(如图).(2)再画出函数y ＝lg|x |的图象(如图).(3)最后画出函数y ＝lg|x －1|的图象(如图).延伸探究1.把本例(1)的条件“y ＝log a x ”改为“y ＝log a (－x )”，则函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 C解析 ∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0， ∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ； 当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数， y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是减函数，故排除B ； 当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数， y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C. 2.把本例(2)改为f (x )＝|log 2(x ＋1)|＋2，试作出其图象. 解 第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图①所示.第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示.第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示.第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示.反思感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点.1.下列函数为对数函数的是()A.y＝log a x＋1(a＞0且a≠1)B.y＝log a(2x)(a＞0且a≠1)C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D.y＝2log a x(a＞0且a≠1)考点对数函数的概念题点对数函数的概念答案 C2.函数y＝log2(x－2)的定义域是()A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(2，＋∞)D.[4，＋∞)考点对数函数的定义域题点对数函数的定义域答案 C3.函数f(x)＝3－x＋lg(x＋1)的定义域为()A.[－1,3)B.(－1,3)C.(－1,3]D.[－1,3] 答案 C4.已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是下图中的( )答案 B解析 由y ＝log a (－x )，知－x >0，即x <0，可排除A ，C.当a >1时，B 适合. 5.若函数f (x )＝2log a (2－x )＋3(a >0，且a ≠1)过定点P ，则点P 的坐标是__________. 考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 答案 (1,3)1.含有对数符号“log ”的函数不一定是对数函数.判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log ”，还要符合对数函数的概念，即形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的形式.如：y ＝2log 2x ，y ＝log 5x5都不是对数函数，可称其为对数型函数.2.研究y ＝log a f (x )的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.一、选择题 1.给出下列函数：①223log y x ；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概念 答案 A解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.2.已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( ) A.{x |x >－1} B.{x |x <1} C.{x |－1<x <1}D.∅考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 答案 C解析 ∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}， N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}， ∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}.3.函数y ＝log 2(x －1)2－x 的定义域是( )A.(1,2]B.(1,2)C.(2，＋∞)D.(－∞，2) 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，2－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，∴1<x <2.∴函数的定义域为(1,2).4.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2 B.y ＝x 2 C.2log 2xy =D.y ＝log 22x答案 D解析 因为y ＝log 22x 的定义域为R ，且根据对数恒等式知y ＝x . 5.函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(2,1) B.(2,0) C.(2，－1) D.(1,1) 答案 A解析 令2x －3＝1，则x ＝2.∴y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点(2,1).6.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A7.已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6,3)，则f (2)的值为( ) A.－2 B.2 C.12 D.－12考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 答案 B解析 代入(6,3)，3＝log a (6＋2)＝log a 8， 即a 3＝8，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2(x ＋2)，∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.8.若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是( )考点 对数函数的图象题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象 答案 D解析 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1， ∴g (x )的图象应为D. 二、填空题9.函数f (x )＝log 2x －2的定义域是________. 答案 [4，＋∞)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2x －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≥4，∴x ≥4，∴函数f (x )的定义域为[4，＋∞). 10.已知0<a <1,0<b <1，若log (3)1b x a -<，则x 的取值范围是__________.考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 (3,4)解析 ∵0<a <1， ∴log (3)1b x a-<＝a 0等价于log b (x －3)>0＝log b 1.∵0<b <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3<1，解得3<x <4.11.函数12log (3)y x a =- 的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝________. 答案 2解析 由12log (3)y x a =-知，3x －a >0，即x >a3.∴a 3＝23，即a ＝2. 三、解答题12.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log (x －1)(3－x )； (2)f (x )＝2x ＋3x －1＋log 2(3x －1). 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2，故f (x )的定义域是(1,2)∪(2,3). (2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x －1≠0，3x －1>0，解得x >13，且x ≠1.故f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞).13.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式，并画出大致图象.解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x ).又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－lg (1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示，14.已知log a (3a －1)恒为正，则a 的取值范围是________. 考点 对数函数的图象 题点 对数函数的图象答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a <23或a >1 解析 由题意知log a (3a －1)>0＝log a 1. 当a >1时，y ＝log a x 是增函数， ∴3a －1>1，解得a >23，∴a >1；当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<1，3a －1>0，解得13<a <23.∴13<a <23. 综上所述，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a <23或a >1. 15.已知函数f (x )＝log 21＋x1－x .(1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2；(2)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值.(1)证明 左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2.右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2. 所以左边＝右边.(2)解 因为f (－b )＝log 21－b 1＋b ＝－log 21＋b 1－b ＝12， 所以f (b )＝log 21＋b 1－b＝－12， 利用(1)可知f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ，所以f (a )－12＝1， 解得f (a )＝32.。
对数函数性质
对数函数性质对数函数是高中数学中的一个重要知识点，在许多数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
在学习对数函数时，我们需要掌握对数函数的性质，在这里，我将为大家详细介绍对数函数的性质，希望能对大家的学习有所帮助。
一、对数函数定义及性质对数函数的公式为：y=loga x ，其中x、y、a都是实数，a>0，且a≠1。
1.定义域和值域（1）定义域：对数函数的定义域为正实数集R+（2）值域：对数函数的值域为实数集R2.奇偶性（1）当a>1时，对数函数是增函数，是奇函数。
（2）当0<a<1时，对数函数是减函数，是偶函数。
（3）对于任意的a，对数函数均不具有周期性。
3.单调性（1）当a>1时，对数函数是单调递增的；（2）当0<a<1时，对数函数是单调递减的；（3）对于任意的a，对数函数均单调。
4.对称轴当a>1时，对数函数的对称轴是y=x；当0<a<1时，对数函数的对称轴是y=-x。
5.渐近线当a>1时，对数函数的x轴渐近线是x轴；当0<a<1时，对数函数的y 轴渐近线是x轴。
二、对数函数在求解实际问题中的应用对数函数是一种用于描述关系紧密的现象的数学工具，它广泛应用于数学、物理、化学、生物等领域。
下面分别介绍对数函数在不同领域的应用。
1.经济学中的应用对数函数在经济学中有广泛的应用，例如在计算经济增长率和物价指数时常常用到对数函数。
（1）经济增长率的计算对数函数可以用来表示数据的增长趋势。
在经济学中，经济增长率是一个重要指标。
假设某国的国内生产总值（GDP）在2010年为100亿美元，在2011年增加到120亿美元，那么这个国家的GDP增长率为：所以，GDP的增长率为20%。
可以使用以下公式来计算增长率：增长率 = log10(120) - log10(100) = 0.0792。
因此，增长率为7.92%。
（2）物价指数的计算物价指数是描述物价水平的一个指标。
2.2.2对数函数及其性质(1)(1)
2
2）能否猜测y log10 x y log 1 x 分别与哪个图象相似？ 与
10
y
y log2 x
y log10 x
O 1 x
y log 1 x y log1 x
2
10
3）观察以上四个函数的的图象，指出他们的共同点和 不同点？并思考影响它们形状的主要因素是什么？
3 对数函数的图象和性质：
4 对数函数的图象和性质的应用
例1 求下列函数的定义域.
（1）y=loga x ,(a 0, a 1);
2
（2）y=loga (4 x),(a 0, a 1); （3）y=log(x-2)(5 x); （4）y= log 1 (4 Байду номын сангаасx);
2
（5）y= log 5 ( x 3 x 2);
2 2
例4 已知 f (e ) x 2x 3, x 2, 4 ，求函数
x 2
f ( x) 的解析式、定义域和值域.
练习 (1)如下图是对数函数 y log a x, y logb x,
y logc x, y log d x 的图象，则 a, b, c, d 与1的大小关系是 ；
2.2.2对数函数及其性质（1）
一 导入新课
引例 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放 射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为 自然界的“标准时钟” . 动植物在生长过程中衰变的碳14,可以通过与大 气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织 中的碳14的含量保持不变.死亡后的动植物，停止了 与外界环境的相互作用,机体中原有的碳14按确定的 规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.湖 南长沙马王堆古墓女尸出土时碳14的残余量约占原 始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代. 生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系：
对数函数及其性质(1)
Ⅰ Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
2、对数函数的图象与性质：
函数 y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) 1
0 loga N 0 图象 0
底数
a N 0 ＜ a,＞ 1 (0,1)或a, N (1,a) ＜
y y
o
N 1 a, N中一个在(0,1),另一个在(1, )中
1
1
0.5
0
1
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
log0.3 1.8 log0.3 2.7
-1.5
-2
-2.5
（3） log 3 3.4, log 2
解：（3）
0 .5
3.4 0.5
（4）
1
log 2 1.5, log 3 8.5
3 2.5 2 1.5
log 3 log 3 0 log 2 log 2 0
求解对数函数定义域问题的关键是要 （2） y loga (4 x)
∴函数 y loga (4 x) 的定义域是 x | x 4 时，可将其看作一个整体单独提出来,
（３） y log (49 7 x ) 求其大于零的解集,即该函数的定义域.
( x1)
【练习】 求下列函数的定义域：
y log2 x
-1
3
2.5
2
1.5
因为它的底数2>1，所以它在 （0，+∞）上是增函数，于是
1 0
1
0.5
1
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
高中数学课件-2 对数函数及性质(1)
; 1
(3)y loga (x2 1) 2x 1
义的x的取值范围, 其中需真数大于0, 底数大于0且不等 于1
例3.计算函数值
（1）计算对数函数 y log 3 x对应于x取1,3,27时得函数值；
解： 当 x 1 时，y log3 x log3 1 0,
当 x 2 时，y log3 x log3 3 1, 当x 27 时，y log3 x log3 27 3,
1
1
0
a
h(x) logb x
b
x
（2）左右比较：比较图像 与直线y=1的交点，交点 的横坐标越大，对应的对 数函数的底数越大。
思考：
a<1
c,d的大小与图像的 关系。
（1）上下比较：在 直线x=1的右侧， 0<a<1时，a越小， 图像越靠近x轴。
y （2）左右比较：比较图像 与直线y=1的交点，交点 的横坐标越大，对应的对 数函数的底数越大。
例1.判断下列函数是否为对数函数
(1) y 2 log3 x (3) y log2 x 1
（2）y log3(x 1)
(4) y log x x
判断依据：①形如 y log a x; ②底数 a 满足 a 0, a 1 ；
③真数为 x ,而不是x的函数；
④定义域为 (0,) .
例2：求下列函数的定义域 :
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课题：对数函数及其性质（1）
王培
一、教案设计的指导思想：
本教案依据洋思中学教学模式，以及根据本校的实际情况进行设计，废弃陈旧的“一堂课”、“满堂灌”的教学方式。
使学生始终把握教学方向，领悟教学全过程，并以互动的方式完成教学任务，力求突出学生的主体地位，体现教师的主导作用，使学生在知识的发生、发展过程中，自然获得思维、能力、心理，思想品德诸方面的提高。
同时，借助多媒体的教育技术手段，为学生营造一个平等、竞争、自主、创新的学习氛围.
二、三维目标
（一）知识与技能
使学生理解对数函数的定义并了解其图象的特征及对应函数性质；
（二）过程与方法
培养学生动手操作的能力以及自主探究数学问题的素养；
（三）情感态度与价值观
构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流。
三、【教学重点】掌握对数函数的图象和性质；
【教学难点】底数对对数函数值变化的影响.
【教学方法】启发、引导、讨论．
四、课前准备：布置学生课前预习和发放预习稿.
五、教学过程设计及意图
环节
教学过程设计设计意图
展示教学重、难点【教学重点】掌握对数函数定义、图象及性质；
【教学难点】底数对对数函数值变化的影响.
让学生
引起重视，从
而有针对性
地进行探索
学习.
探索新知互动释疑
引导学生分析：对应式
5730
1
2
log
t P
=
用一般代表特殊：
log
a
y x
=引出对数函数的定义，并标出，(0
a>且1)
a≠，x∈
(0,)
+∞，然后提出问题：为什么a要如此规定？如何确定函数
的定义域？
（∵x＝log a y∴原指数函数中a,y在x
＝log a y中的规定不变）
（二）尝试画图、形成感知
首先让学生按预习稿的要求用列
表描点法在同一个直角坐标内画出
2
y log x
=和
1
2
y log x
=的图象（多媒体
展示）
引导学生通过观察图形得出结论：当两个对数函数的底为
互为倒数时，则它们的图象关于x轴对称。
并提出问题：能否
还有其它办法论证
2
y log x
=和
1
2
y log x
=的图象关于x轴对称
呢？（利用换底公式）
然后利用几何画板在同一坐标系中画出当①a=3、4、5、
6……,当②a=
3
1
、
4
1
、
5
1
……的对数函数的图象。
让学生在感
性的认识上来理解对数函数，由教师引导学生，学生互相讨论，
自主发现函数图形的特征。
学生相互补充，自主发现了图象的
下列特征：①图象都在y轴右侧，向y轴正负方向无限延伸；
②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x轴正向逐步上升；
当0<a<1时，图象沿x轴正向逐步下降；④图象关于原点和y
轴不对称。
通过本
环节的设置，
让教师站在
主导的位置
上，给学生充
分表现的空
间，使得获取
新知识的过
程显得自然
和简单。
既突
出了教学重
点，又能轻松
地完成教学
任务
x
a
y=
环节
教学过程设计设计意图
探索新知互动释疑
（三）理性认识、发现性质
通过图形的特征来总结log
a
y x
=(0
a>且1)
a≠的性质。
问题设置：1你能类比前面研究指数函数的思路，提出研
究对数函数图象和性质的方法吗？
2、通过观察图象，你主要能得出哪几个特征？
图
象
1
>
a1
0<
<a
性
质
1、定义域：)
,0(+∞
2、值域：R
3、图象过定点()0
1,，即x=1时，y=0
4、当1
0<
<x时，0
<
y；
当1
>
x时，0
>
y
当1
0<
<x时，0
>
y；
当1
>
x时，0
<
y
5、()是增函数
在∞
+
,0()是减函数
在∞
+
,0
补
充
性
质
设y1＝log a x，y2＝log b x其中a＞1,b＞1(或0＜a＜1,0＜b＜1）
当1
>
x时“底大图低”，即若a＞b，则y1＜y2；
当0＜x＜1时“底大图高”，即若a＞b，则y1＞y2
发现性
质、弄清性质
的来龙去脉，
是为了更好
揭示对数函
数的本质属
性，传统教学
往往让学生
在解题中领
悟。
为了扭转
这种方式，我
先引导学生
回顾指数函
数的性质，再
利用类比的
思想，小组合
作的形式通
过图象主动
探索出对数
函数的性质。
教学实践表
明：当学生对
对数函数的
图象已有感
性认识后，得
到这些性质
必然水到渠
成。
达标检测巩固强化
例1、求下列函数的定义域：
（1）y＝log a x2（2）y＝log a(4－x) （3）y＝x
log
2
解：（1）因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log a x2的定义域是
{}0≠x x
（2）因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝log a(4－x) 的定义域是
{}4
x＜
x
（3）∵log2x≥0 log2x≥log21,根据对数函数的单调性，
∴函数y＝x
log
2
的定义域为{}1≥x
x
主要考
察对数函
数定义中
底数和定
义域的限
制，加深对
概念的理
解.。