九年级数学上册第21章二次根式小专题3比较二次根式大小的常用方法作业课件新版华东师大版
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九年级数学上册 21.1二次根式课件 新人教版
15 17
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
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4、已知 1 有意义,那A(a,
a
a )在 二 象限.
∵由题意知a＜0
∴点A(－,＋)
二次根式的性质
（1）a
2
a,(a0)
（2） a 2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
1.填空:
1 1 02 _ 1_ 0_ _ ,2 2 1 5 2 _ 2 _ 15 _ _ ,3 7 2 2 _ _ _ 72 _ .
21.1二次根式 重点、难点
形 如 a (a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号的结果.
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
2.计算:
1 375
2 25 33
15
12 6
例 1：已知：x＜0，化简： 16x2
解 ： 1 6 x 2 = （ 4 x ） 2 =|4x|
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = - 4x
计算:
1 28 4
2 1 1
3
4
2
3 23 35
18 6
4 52 122
13
5 132 122
5
6
1 82 172
(1) x1 x 1
(2) 3x x0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x
x0
(5) x 3 x0
1 (6) x 2
九年级数学上册《第21章_二次根式》小结课件_人教新课标版
一、本章知识结构图
二次根式
a aa 0
2
a 2 aa 0
二 次 根 式 的 化 简 与 运 算
二次根式乘除
二次根式加减
二、回顾与思考 1.对于二次根式，要明确被开方数必须是非负数，也就是说， 对于 ，只有当a≥0时才有意义. a
2.二次根式的运算中，一般要先把式子中的二次根式适 当化简.举例说明什么是最简二次根式？
2 = 2 ______ . 5 5
一般地，对二次根式的除法规定
a a a 0, b 0 b b
二次根式的加法
8＋ 18 2 2＋3 2 （化成最简二次根式） 2＋3 2 5 2
（分配律）
分析上面计算 8＋ 18 的过程，可以看到，把 8 和 18 化 成最简二次根式 2 2 和 3 2 后，由于被开方数相同（都是2）， 可以利用分配律将 3 2 和 2 2 进行合并.
二次根式相加时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将 被开方数相同的二次根式进行合并.
二次根式的减法
18 = 3 2 2 8 3 2 2 2 （化成最简二次根式） 2
（分配律）
分析上面计算 18 8 的过程，可以看到，把 18 和 8 化 成最简二次根式 3 2 和 2 2 后，由于被开方数相同（都是2）， 可以利用分配律将 2 2 和 3 2 进行合并.
二次根式相减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将 被开方数相同的二次根式进行合并.
4.结合本章内容，进一步体会代数式在表 示数量关系方面的作用.
3 2 a 2 2, , 10 a
这些式子有如下两个共同点： （1） 被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
二次根式
a aa 0
2
a 2 aa 0
二 次 根 式 的 化 简 与 运 算
二次根式乘除
二次根式加减
二、回顾与思考 1.对于二次根式，要明确被开方数必须是非负数，也就是说， 对于 ，只有当a≥0时才有意义. a
2.二次根式的运算中，一般要先把式子中的二次根式适 当化简.举例说明什么是最简二次根式？
2 = 2 ______ . 5 5
一般地，对二次根式的除法规定
a a a 0, b 0 b b
二次根式的加法
8＋ 18 2 2＋3 2 （化成最简二次根式） 2＋3 2 5 2
（分配律）
分析上面计算 8＋ 18 的过程，可以看到，把 8 和 18 化 成最简二次根式 2 2 和 3 2 后，由于被开方数相同（都是2）， 可以利用分配律将 3 2 和 2 2 进行合并.
二次根式相加时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将 被开方数相同的二次根式进行合并.
二次根式的减法
18 = 3 2 2 8 3 2 2 2 （化成最简二次根式） 2
（分配律）
分析上面计算 18 8 的过程，可以看到，把 18 和 8 化 成最简二次根式 3 2 和 2 2 后，由于被开方数相同（都是2）， 可以利用分配律将 2 2 和 3 2 进行合并.
二次根式相减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将 被开方数相同的二次根式进行合并.
4.结合本章内容，进一步体会代数式在表 示数量关系方面的作用.
3 2 a 2 2, , 10 a
这些式子有如下两个共同点： （1） 被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
人教版九年级数学上册《二十一章 二次根式 21.3 二次根式的加减》公开课课件_12
到0.01千米) (1)25 t 2 4千米 (2)90.14千米
北
东
轮船
物体自由下落时,下落距离h(米)可用公式 h=5t2来估计,其中t(秒)表示物体下落所经过的 时间.
(1)把这个公式变形成用h表示t的公式; t h 5
(2)一个物体从54.5米高的塔顶自由下落,落到 地面需几秒(精确到0.1秒)? 3.3秒
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
如图所示的值表示正方形的面积，
则正方形的边长是 b 3
b-3
S
a2 2500 b 3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数， 表示二次根号 .
a 1 是不是二次根式? 不是
凭着你已有的知识,说说对二次 根式 a 的认识,好吗?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
取值范围是__3___x___0
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 a1有意义,那么A(a, a) 在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
思考题
已知 2x 1 1 2x y 3,
第二十一章二次根式
北
东
轮船
物体自由下落时,下落距离h(米)可用公式 h=5t2来估计,其中t(秒)表示物体下落所经过的 时间.
(1)把这个公式变形成用h表示t的公式; t h 5
(2)一个物体从54.5米高的塔顶自由下落,落到 地面需几秒(精确到0.1秒)? 3.3秒
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
如图所示的值表示正方形的面积，
则正方形的边长是 b 3
b-3
S
a2 2500 b 3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数， 表示二次根号 .
a 1 是不是二次根式? 不是
凭着你已有的知识,说说对二次 根式 a 的认识,好吗?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
取值范围是__3___x___0
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 a1有意义,那么A(a, a) 在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
思考题
已知 2x 1 1 2x y 3,
第二十一章二次根式
初中数学九年级上册《21.1二次根式》PPT课件 (2)
二次根式
知识回顾
1. 4 的 平 方 根 是_____，81的 算 术 平 方 根 是____ . 25
2. 当x ____ 时，3 x 2的值是零.
3. 若x 2 64，则3 x _____ .
探索新知
上 一 节 我 们 学 习 了 平 方 根 和 算 术 平 方 根 的 意 义 ， 引 进 了 一 个 新 的 记 号 a .
问题：
（1） a表 示 什 么 ？ （2）a需 要 满 足 什 么 条 件 ？ 为 什 么 ？
知识点概括
1.二 次根 式 的 概念 ： 形 如 a（a 0） 的 式子 叫 做 二次 根 式 .
2.二 次 根 式 的 特 征 ： （1） 从 形 式 上 看 ， 带 二 次 根 号 “ （2） 从 被 开 方 数 来 看 ，a 0.
知识点概括
二次根式 a2的化简：
a， (a 0） a 2＝a ＝0， (a 0)
a，(a 0)
说一说
式子 a 2 与 a2 是一样的吗？
主要区别： 1.运 算 顺 序 不 同 ； 2.a的 取 值 范 围 不 同.
例5 化简：
(1) 32； (2) (6)2；
a
0b
课堂小结
• 1、二次根式的概念； • 2、二次根式的性质； • 3、二次根式的 a化2 简.
比较分析
• 计算下列各式的值：
2 2 (1) 22 ____，(2)2 ____； 3 3 (2) 32 ____，(3)2 ____； 0 (3) 02 ____ .
观察分析：(1) a 2中a的取值有没有限制？
a （2）当a 0时，a 2 ____； -a 当a 0时，a 2 ____ .
知识回顾
1. 4 的 平 方 根 是_____，81的 算 术 平 方 根 是____ . 25
2. 当x ____ 时，3 x 2的值是零.
3. 若x 2 64，则3 x _____ .
探索新知
上 一 节 我 们 学 习 了 平 方 根 和 算 术 平 方 根 的 意 义 ， 引 进 了 一 个 新 的 记 号 a .
问题：
（1） a表 示 什 么 ？ （2）a需 要 满 足 什 么 条 件 ？ 为 什 么 ？
知识点概括
1.二 次根 式 的 概念 ： 形 如 a（a 0） 的 式子 叫 做 二次 根 式 .
2.二 次 根 式 的 特 征 ： （1） 从 形 式 上 看 ， 带 二 次 根 号 “ （2） 从 被 开 方 数 来 看 ，a 0.
知识点概括
二次根式 a2的化简：
a， (a 0） a 2＝a ＝0， (a 0)
a，(a 0)
说一说
式子 a 2 与 a2 是一样的吗？
主要区别： 1.运 算 顺 序 不 同 ； 2.a的 取 值 范 围 不 同.
例5 化简：
(1) 32； (2) (6)2；
a
0b
课堂小结
• 1、二次根式的概念； • 2、二次根式的性质； • 3、二次根式的 a化2 简.
比较分析
• 计算下列各式的值：
2 2 (1) 22 ____，(2)2 ____； 3 3 (2) 32 ____，(3)2 ____； 0 (3) 02 ____ .
观察分析：(1) a 2中a的取值有没有限制？
a （2）当a 0时，a 2 ____； -a 当a 0时，a 2 ____ .
初中数学九年级上册《21.1二次根式》PPT课件 (1)
【综合运用】 21．(14 分)甲、乙两位同学做一道相同的题目： 化简求值：1a＋ a12＋a2－2，其中 a＝15. 甲同学的解法是：
原式＝1a＋ （1a－a）2＝1a＋1a－a＝2a－a＝10－15＝459. 乙同学的解法是：
原式＝1a＋ （a－1a）2＝1a＋a－1a＝a＝15. 请问哪位同学的解法正确？请说明理由．
A. －7 B.3 m C. 1＋x2 D. 2x
2．(3 分)下列各式中，不一定是二次根式的为( A )
A. a B. b2＋1 C. 0 D. （a－b）2
3．(3 分)(2014·株洲)x 取下列各数中的哪个数时，二次根式
x－3有意义( D )
A．－2 B．0 C．2 D．4 4．(3 分)(2014·铜仁)代数式 xx－＋11有意义，则 x 的取值范围
__m__≥_2_，__n_＝___2______．
18 ． (2014 · 黔 南 州 ) 实 数 a 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 化 简
（a－1）2＋a＝__1__．
19．(12 分)计算： (1) 42－ （－2）2＋(3 5)2－(－ 7)2；
解：40
(2)(－13 3)2＋ （－53）2－ （ 3－2）2.
解：甲同学的解法是正确的，理由如下：∵ a12＋a2－2＝ （a－1a）2＝ |1a－a|，且 a＝15，即1a＝5，∴1a＞a.∴1a－a＞0.∴|1a－a|＝1a－a.乙同学在去绝对值 时忽略了1a与 a 的大小关系，导致错误．
21．1 二次根式
1．形如
a(a≥0) 的式子叫做二次根式．
2．在 a中，a 的取值必须满足
a≥0
，即二次根式的被开
方数必须是 非负数 ．
九年级上数学《21.1二次根式》课件
3
? a a ( 0)2 0
2
(a≥0)
观测上述等式 的两4边2 ,你4 能得 0.012 0.01 到什么启Βιβλιοθήκη ? 1 2 1 3 3
02 0
a2 a (a≥0)
计算：
52 5
当a0时
a2 a
1 12 6 6
当a0时
a2 a
解 ： ∵ a+2 ≥ 0、 |3b-9|≥ 0、 (4-c) 2≥ 0， 又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
已知a.b为实数，且满足 a2b112b1 求a 的值.
4 .
1
2
7
5 . 10 2
练习2:
1
1
2
2
2 1
2 x12 x 1 (x>0 )
3 x22xyy2 x y2 (x﹤y) yx
(2)已知 a,b,c为△ ABC 的三边, 长 化简(abc)2 (bac)2
(1)
(2)
(a为任何实数)
(a 1 ) 2
(1)
(2) (a1)2
(a=1)
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
引 例 ： |a - 1 |+ ( b + 2 ) 2 = 0 , 则 a =
b=
已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。
? a a ( 0)2 0
2
(a≥0)
观测上述等式 的两4边2 ,你4 能得 0.012 0.01 到什么启Βιβλιοθήκη ? 1 2 1 3 3
02 0
a2 a (a≥0)
计算：
52 5
当a0时
a2 a
1 12 6 6
当a0时
a2 a
解 ： ∵ a+2 ≥ 0、 |3b-9|≥ 0、 (4-c) 2≥ 0， 又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
已知a.b为实数，且满足 a2b112b1 求a 的值.
4 .
1
2
7
5 . 10 2
练习2:
1
1
2
2
2 1
2 x12 x 1 (x>0 )
3 x22xyy2 x y2 (x﹤y) yx
(2)已知 a,b,c为△ ABC 的三边, 长 化简(abc)2 (bac)2
(1)
(2)
(a为任何实数)
(a 1 ) 2
(1)
(2) (a1)2
(a=1)
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
引 例 ： |a - 1 |+ ( b + 2 ) 2 = 0 , 则 a =
b=
已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。
人教版数学九上21.1《二次根式》ppt课件.
15
2.（2010·盐城中考）使 x 2 有意义的x取值范围是____。
【பைடு நூலகம்析】要使式子 x 2 有意义，要满足x-2≥0， 解得x≥2. 答案： x≥2
16
3．下列式子一定是二次根式的是（ A． x 2 B． x
） D． x 2 2
C． x 2 2
【解析】选C.A中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A不一
2
2
1 2
,把
2
3 答案：a=1,a+b= 2
14
1.（2010·芜湖中考）要使式子 a 2 有意义，
a的取值范围是（
A. a≠ 0 C. a＞-2或a≠ 0
）
a
B. a＞-2且a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0
a
【解析】选D.要使式子 a 2 有意义，须同时满足a+2≥0， a≠0两个条件，解两个不等式可得a≥-2且a≠0 。
10
判断下列代数式中哪些是二次根式？
(3) a 2 2a 2 ， (5) m 32
⑴
1 2
，
⑵ 16 (4)
x
x0
11
【例2】求下列二次根式中字母的取值范围：
1
a 1
2
1 1- 2a
3 a 3
2
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可
知a+1 ≥ 0，即a≥-1. （2）由于被开方数是非负数，且分母不 1 为零，可知1-2a>0，即a< . 2 2 （3）由（a-3） ≥0，可知a可以取任意实数.
正数的正的平方根叫做它的算术平方根。
用
a (a≥0)表示。 其中0的算术平方根是0。
九年级数学上册_第21章《二次根式》教学课件_人教新课标版
23.(2010·东营中考)先化简，再求值：
（ 1 1 2y ） 2 , 其中x 3 2, y 3 2. 2 x y x y x 2xy y 1 1 2y ） 2 x y x y x 2xy y 2
2
（ 【解析】
x y x y x y · x y x y 2y
【思路点拨】将括号内的各代数式化为最简二次根式 → 合并 → 除法 (或 除法 → 将各代数式化为最简二次根式 → 合并 )
/
【解析】 原式 (6 3 2 3 4 3) 2 3
3 28 14 3 2 3 . 3 3 2
1 3 12 3 48 (或原式 2 3 2 3 2 3 1 14 3 2 .) 3 3
.
2.(2010·南通中考)若 取值范围是( (A)x≥-2 ) (B)x≠-2
3x 6
在实数范围内有意义，则x的
(C)x≥2
(D)x≠2
【解析】选C.由被开方数大于等于0，得3x-6≥0,x≥2.
3.下列各式中，一定是二次根式的是(
)
A
7
B 3 m
C
1 x2
D
2x
(
)
(A)a-2
(B)2-a
(C)a
(D)-a
【解析】选D.根据公式
2 a 2 =|a|可知： a 1 1
＝|a-1|-1，由于a＜1，所以a－1＜0，
因此|a-1|-1＝(1－a)－1＝－a．
13.(2010·自贡中考)已知n是一个正整数，135n
n的最小值是( )
是整数，则
(A)3
20.(2010·新疆建设兵团中考)化简 18 8 =________. 【解析】 18 8 3 2 2 2 2. 答案： 2
人教版初三九年级数学第二十一章二次根式全章复习PPT课件内容完整课件
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主讲人：
时间:
初 三代 数
二次根式
（全章复习）
王润仁
七楼A座办公家园
一、复习方法：
点
线
面
1、全章复习： 概念、性质、公式、运算。
2、按章节复习：概念、性质、公式、运算。
七楼A座办公家园
二类二次根式
有理化因式
1、ab a ba 0,b 0
七楼A座办公家园
例3、计算：
1. 5 4 9 4 11 11 7 4 7
2.14 6 5 3 5
七楼A座办公家园
探索性练习：
7、（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
15 15
24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
七楼A座办公家园
2、当 x 1994 1 , 2
求代数式 4x3 1997x 1994 2003
3、设S= 1 1 1 1 1 1 ........ 1 1 1
二 次
两个性质
a 2、 b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
七楼A座办公家园
例1、判断下列各题是否正确
1、 a a 0 是二次根式。
2、代数式 1
在实数范围内有意义时x的
1 x
限制条件是x≠0
主讲人：
时间:
初 三代 数
二次根式
（全章复习）
王润仁
七楼A座办公家园
一、复习方法：
点
线
面
1、全章复习： 概念、性质、公式、运算。
2、按章节复习：概念、性质、公式、运算。
七楼A座办公家园
二类二次根式
有理化因式
1、ab a ba 0,b 0
七楼A座办公家园
例3、计算：
1. 5 4 9 4 11 11 7 4 7
2.14 6 5 3 5
七楼A座办公家园
探索性练习：
7、（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
15 15
24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
七楼A座办公家园
2、当 x 1994 1 , 2
求代数式 4x3 1997x 1994 2003
3、设S= 1 1 1 1 1 1 ........ 1 1 1
二 次
两个性质
a 2、 b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
七楼A座办公家园
例1、判断下列各题是否正确
1、 a a 0 是二次根式。
2、代数式 1
在实数范围内有意义时x的
1 x
限制条件是x≠0
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