固体物理作业
《固体物理》作业
⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+-=+=k c j a i a j a i a a aa 321232232选做题•1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比。
•2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ •3. 晶面指数为（123）的晶面中ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基矢a1、a2和a3重合，除O 点外,OA 、OB 和OC 上是否有格点？ 若ABC 面的指数为（234），情况又如何？• 4.求晶格常数为a 的体心立方晶面族（h1h2h3）的面间距。
•5.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面指数为( ), 其面间距为( )。
• 6. FCC 晶胞中的（1 0 0）面在其原胞中的晶面指数是多少？• 7. 轴对称的证明。
必做题1. 分析HPC 原胞取法，（即画原胞）2. 平面蜂房结构如何取原胞、确定基矢。
3. （课本1、3、4、5、6、7题）1． 何谓布喇菲格子（布格子）？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。
何以金刚石结构是复式格子？2．3． 体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。
试证明之。
4． 若基矢a ，b ，c 构成正交体系，试证：晶面族（hkl ）的面间距为d hkl =5． 对于六角密集结构，固体物理学中原胞的基矢为：，求其倒格子的基矢。
6． 试证六角密集结构中， 。
7．如将等体积的硬球堆积成下列结构，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为：简立方： 6π； 体心立方： π83； 面心立方： π62； 六角密集：π62； 金刚石：π163。
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++c l b k a h 1633.1382/1=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a c书上T13、T14.3.一对分子间的总的相互作用势能可以导为：U （r ）=126rB r A +-，或者写为雷纳德-琼斯势：U （r ）=4ε]r r [126）（）（σσ+-,其中B 4A A B 26/1≡≡εσ；）（。
固体物理作业答案
(4)六方密堆积： 2 （5）6金刚石： 3
8
(3)面心立方：2
6
6
16
第二章
所以压缩因子
1/ K 9V0
mn UO
解：
Ur
N 2
rm
rn
dUr
由平衡条件
0 dr rr0
由题意得
ur
A r9
-
B r
1
1
r0
k
2 B
1.3810-23 J K-1
2.1510-8 K-2 T
n 6.021023 Zm 1022 ~ 1023 1
A
me 9.110-31kg 2.810-3
6.7103
前３ 个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的共平面轴a1 ， a2， a3上的截距a1 / h， a 2/ k ， a3 / i ，第４ 个指数表示该晶面的六重 轴c 上的截距为c / l 。证明：i = -(h+ k) 并将下列（hkl ）表示的晶面改 用（ hkil ） 表示（001）（-133）（1-10）（3-23）（100）（010）
对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为： R f
2a 2
对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb 那么
3a 2
Rf 2a 6
Rb
3a 3
1.2 晶面指数为（１２３）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、
OB和OC分别与基矢a1 ，a2 和a3 重合，除O点外，OA、OB和OC上是否 有格点？若ABC面的指数为（２３４）情况又如何？
固体物理作业
固体物理作业1.分别用空间点阵、晶格和原胞的概念给晶体下一个定义。
2.简单阐述下列概念：I.晶格、晶胞、晶列、晶向、晶面、晶系。
II.固体物理学原胞（初级原胞）、结晶学原胞（惯用原胞）和魏格纳赛斥原胞（W-S 原胞）。
III.正格子、倒格子、布喇菲格子和复式格子。
3.晶体的重要结合类型有哪些，他们的基本特征为何？4.为什么晶体的稳定结合需要引力外还需要排斥力？排斥力的来源是什么？5.何谓声子？试将声子的性质与光子作一个比较。
6.何谓夫伦克耳缺陷和肖脱基缺陷？7.自由电子气体的模型的基本假设是什么？8.绝缘体中的镜带或能隙的起因是什么？9.试简述重要的半导体材料的晶格结构、特征。
10.超导体的基本电磁性质是什么？作业解答：1.分别用空间点阵、晶格和原胞的概念给晶体下一个定义。
解答：I. 取一个阵点做顶点，以不同方向上的平移周期a、b、c为棱长，做一个平行六面体，这样的平行六面体叫做晶胞。
由很多个晶胞结合在一起构成晶体。
II. 在空间点阵各个点上配置一些粒子，就构成了晶格。
晶格是晶体矩阵所形成的空间网状结构。
在网状结构的点上配置一些结构就构成了晶体。
III. 在空间无限排列最小的结构称为原胞，原胞是构成了晶体的最小结构。
2.简单阐述下列概念：解答：I . 晶格、晶胞、晶列、晶向、晶面、晶系。
晶格：又称晶架，是指的晶体矩阵所形成的空间网状结构——说白了就是晶胞的排列方式。
把每一个晶胞抽象成一个点，连接这些点就构成了晶格。
晶胞：顾名思义，则是衡量晶体结构的最小单元。
众所周知，晶体具有平移对称性。
在一个无限延伸的晶体网络中取出一个最小的结构，使其能够在空间内密铺构成整个晶体，那么这个立体就叫做晶胞。
简而言之，晶胞就是晶体平移对称的最小单位。
晶列：沿晶格的不同方向晶体性质不同。
布喇菲格子的格点可以看成分裂在一系列相互平行的直线系上,这些直线系称为晶列。
晶向：布喇菲格子可以形成方向不同的晶列,每一个晶列定义了一个反向，称为晶向。
固体物理作业及答案
固体物理作业2.1 光子的波长为20 nm ，求其相应的动量与能量。
答：由λhP =，υh E =得：动量12693410313.3102010626.6----⋅⋅⨯=⨯⋅⨯==m s J ms J hP λ 能量J ms m s J chh E 189183410932.9102010998.210626.6----⨯=⨯⋅⨯⨯⋅⨯===λυ2.2 作一维运动的某粒子的波函数可表达为：, 求归一化常数A? 粒子在何处的几率最大？答：再由2)()(x x ψω=得：222)()(x a x A x -=ω 其中 a x ≤≤0；322222462)(x A x aA x A a dx x d +-=ω 令0)(=dx x d ω得：2,21a x a x ==而a x =1时，0)(=x ω，显然不是最大； 故当22ax =时，粒子的几率最大。
3.1 晶体中原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？在什么情况下排斥力和吸引力分别起主导作用？ 答：在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离0r r 时, 吸引力起主导作用;当相邻原子间的距离0r r 时, 排斥力起主导作用。
3.2已知某晶体中相邻两原子间的相互作用势能可表达为：(1) 求出平衡时两原子间的距离；(2) 平衡时的结合能；(3) 若取m=2, n=10，两原子间的平衡距离为3 Å，晶体的结合能为4 eV/atom 。
请计算出A 和B 的值。
答：设平衡时原子间的距离为0r 。
达到平衡时，相互作用势能应具有最小值，即)(r u 满足：0)(0=∂∂r rr u ，求得mn AmBn r -=10)(……（1） 将0r 代入，得平衡时的结合能mn mn m AmBn AmBn A r u --+-=n 0)(B )()( (2)当m=2，n=10时，由（1）式得5B=A 0r 8，再由0r =3Å，)(0r u -=4eV 代人（2）式可得： 109610001090.54)(m eV r r u B ⋅⨯=-=- 2192000100201050.4)(45)(m eV r r u r u r r A ⋅⨯=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-B4.1 一定温度下，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？ 答：频率为的格波的(平均) 声子数为：.因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.4.2 爱因斯坦模型和德拜模型的主要近似分别是什么？简述德拜温度及其物理意义。
高二物理人教版课堂练习《固体》作业
高二物理《固体》作业1.一个外形规则的固体，表面形状为六面体，则关于它的说法，正确的有()A．一定是单晶体B．一定是多晶体C．一定是非晶体D．可能是晶体，也可能是非晶体2.关于晶体和非晶体，下列说法中正确的是()A．有规则的几何外形的固体一定是晶体B．晶体在物理性质上一定是各向异性的C．非晶体在适当的条件下可能转化为晶体D．晶体有确定的熔点，非晶体没有确定的熔点3.在图甲、乙、丙三种固体薄片上涂蜡，由烧热的针接触其上一点，蜡熔化的范围如图甲、乙、丙所示，而甲、乙、丙三种固体在熔化过程中温度随加热时间变化的关系如图丁所示，以下说法正确的是()A．甲、乙为非晶体，丙是晶体B．甲、乙为晶体，丙是非晶体C．甲、丙为非晶体，乙是晶体D．甲为多晶体，乙为非晶体，丙为单晶体4.关于晶体和非晶体，下列说法中正确的是()A．可以根据各向同性或各向异性来鉴别晶体和非晶体B．一块均匀薄片，沿各个方向对它施加拉力，发现其强度一样，则此薄片一定是非晶体C．一个固体球，如果沿其各条直径方向的导电性不同，则该球一定是单晶体D．一块晶体，若其各个方向的导热性相同，则一定是多晶体5.下列叙述中正确的是()A．晶体的各向异性是由于它的微粒按空间点阵排列B．单晶体具有规则的几何形状是由于它的微粒按一定规律排列C．多晶体有确定的熔点是因为物质微粒的有规则排列D．石墨的硬度与金刚石相比差得多，是由于它的微粒没有按空间点阵分布6.关于石墨和金刚石的区别，下面说法正确的是()A．石墨和金刚石是同种物质微粒组成的空间结构相同的晶体B．金刚石晶体结构紧密，所以质地坚硬，石墨晶体是层状结构，所以质地松软C．石墨与金刚石是不同的物质微粒组成的不同晶体D．石墨导电，金刚石不导电是由于组成它们的化学元素不同7.下列说法正确的是()A．将一块晶体敲碎后，得到的小颗粒是非晶体B．固体可以分为晶体和非晶体两类，有些晶体在不同方向上有不同的光学性质C．由同种元素构成的固体，可能会由于原子的排列方式不同而成为不同的晶体D．在合适的条件下，某些晶体可以转变为非晶体，某些非晶体也可以转变为晶体E．在熔化过程中，晶体要吸收热量，但温度保持不变，内能也保持不变《固体》作业答案1.解析：选D.物体具有规则的几何形状可能是机械加工造成的，它可能是单晶体、多晶体和非晶体，故选D.2.判断晶体与非晶体的关键是有没有确定的熔点．因为外形是否规则可以用人工的方法处理，所以A错误；多晶体在物理性质上是各向同性的，B错误；实验证明非晶体在适当的条件下可以转化为晶体，C正确；晶体与非晶体的区别表现在是否有确定的熔点，D正确．故选CD.3.由图甲、乙、丙可知：甲、乙各向同性，丙各向异性；由图丁可知：甲、丙有固定熔点，乙无固定熔点，所以甲、丙为晶体，乙为非晶体，其中甲为多晶体，丙为单晶体．故D正确．故选D.4.多晶体和非晶体都显示各向同性，只有单晶体显示各向异性，A、B错误，C正确；单晶体具有各向异性的特性，仅是指某些物理性质，并不是所有的物理性质都是各向异性的，换言之，某一物质的物理性质显示各向同性，并不意味着该物质一定不是单晶体，D错误．故选C5.晶体内部微粒排列的空间结构不同决定着晶体的物理性质不同，也正是由于微粒按一定规律排列，使单晶体具有规则的几何形状．石墨与金刚石的硬度相差很大是由于它们内部微粒的排列结构不同，石墨的层状结构决定了它的质地柔软，而金刚石的网状结构决定了碳原子间的作用力很强，所以金刚石有很大的硬度．多晶体在熔化时需破坏晶粒的空间点阵，故有确定的熔点．故选ABC6.由化学知识知道，石墨和金刚石是碳的同素异构体，其化学性质相同．它们的分子的空间结构不同，石墨中的碳原子排列为层状结构，层与层之间距离很大，所以其质地松软；金刚石中的碳原子排列紧密，相互间作用力很强，所以其质地坚硬．显然A、C、D错误，B正确．故选B7.将一块晶体敲碎后，得到的小颗粒仍是晶体，故选项A错误．单晶体具有各向异性，有些单晶体沿不同方向上的光学性质不同，故选项B正确．例如金刚石和石墨由同种元素构成，但由于原子的排列方式不同而成为不同的晶体，故选项C正确．晶体与非晶体在一定条件下可以相互转化．如天然水晶是晶体，熔融过的水晶(即石英玻璃)是非晶体，也有些非晶体在一定条件下可转化为晶体，故选项D正确．熔化过程中，晶体的温度不变，但内能改变，故选项E错误．故选BCD.。
固体物理习题带答案
第二章：原子的结合
1． 设原子间的互作用能表示为 u (r ) 态，则 n>m. 解：原子间的相互作用能为： u (r )
作用能处于极小值： 这时有
r
m
rn
。证明：要使两原子处于平衡状
r
m
rn
。若两原子处于平衡状态时，则其相互
du (r ) (m) m 1 (n) n 1 dr r r
子晶格的情形比较， 与 q 之间存在着两种不同的色散关系。一维复式晶体中可以存在两 种独立的格波。两种不同的格波的色散关系：
2 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M ) (m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M )
xn (t ) A cos(t 2 naq) 。试求格波的色散关系。
解：一维单原子链中，牛顿方程为：
n ( x n 1 xn 1 2 xn ) m x
若将其振动位移写成 xn (t )
A cos(t 2 naq) 代入牛顿方程，则有
2
2 [1 cos(2aq)] 因此其色散关系为 m
0 。 所 以 有
r0
m
r0
m 1
n
r0
n 1
。所以
m nm r0 。 n
0
r0
同
时
有
d 2u ( r ) (m)( m 1) m 2 (n)( n 1) n 2 2 dr r r
。
所
以
总结固体物理作业
6 第一章 晶体结构1. 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方 52.06/≈π体心立方 68.08/3≈π面心立方 74.06/2≈π 六方密排 74.06/2≈π金刚石34.016/3≈π2. 试证：六方密排堆积结构中633.1382/1≈⎪⎭⎫⎝⎛=a c 。
又：金属Na 在273K 因“马氏体相变”从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a=0.423 nm , 设六角密堆积结构相的c/a 维持理想值，试求其晶格常数。
解（1）a AC AE AO 333332===aa a AO AD OD 32312222=-=-=633.138322221≈⎪⎭⎫⎝⎛===a OD a c（2）体心立方每个单胞包含2个基元，一个基元所占的体积为23cc aV =， 单位体积内的格点数为.1Vc六角密堆积每个单胞（晶胞）包含6个基元，一个基元所占的体积为32122223843436/323aa a c a c a a V s =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=因为密度不变，所以 s c V V 11=，即：33222/aa c =nma a c s 377.02/61== nma c s 615.0633.1==3. 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a a b i k a a a aππ⨯==+⋅⨯32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++ 同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子4. 证明：简单六角布拉伐格子的倒格子仍为简单六角布拉伐格子，并给出其倒格子的晶格常数。
固体物理练习(2011)附答案
一、简要回答以下问题：(每小题6分，共30分)1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。
非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。
准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。
另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
2.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。
解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与7r 成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O ，F ，N 等）相结合形成的。
该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol 。
3. 什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为)(q w j 的声子平均数为11)()/()(-=T k q w j B j eq n对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。
4. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。
考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。
固体物理作业
1. 泡利自旋磁化率.传导电子在零度()T 0≈时的自旋磁化率用其它的方法讨论令 n +=n (1+η)/2; ()1/2n n η-=-表示自旋向上和向下的电子浓度解:(1)在外磁场B 0, 电子气自旋向上部分的总能量为),1(21-)(105/30ημηε++=+B n E B这里F n εε1030=,费米能量F ε是在零场(B 0=0)时的能量.求相似表达E −. （2）最小能量值-++=E E E total 与η相关，1<<η，计算磁化率为203/2B F M n B με=解： ()1/2n n η+=+，(1)/2n n η-=- 分别表示自旋向上和向下的电子浓度。
由在外磁场0B 电子气向上部分的总能量为5/30053001(1)-(1)22B B E n B n B n n εημηεμ+++=++⎛⎫=- ⎪⎝⎭考虑到存在外加磁场0B 时，自旋方向相反的自旋磁矩在磁场中的取向能为0B B μ，所以53002B n E B n n εμ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将(1)/2n n η-=-代入上式得 53001(1)(1)2B E n B εημη-=-+-（2） ),1(21-)(105/30ημηε++=+B n EB 53001(1)(1)2B E n B εημη-=-+-所以总能量55/33000055/3300055/33011(1)-(1)(1)(1)22(1)(1)33(1)(1)1010total B B B F F B E E E n B n B n B n n n B εημηεημηεηεημηεηεημη+-=+=+++-+-=++--=++--当能量取极小值时2/32/311(1)(1)022total F F B E n n n B εηεημη∂=+---=∂当1<<η时，将上式用泰勒级数展开并只取一级近似得：23F B n n B εημ-=推出32B F B μηε=代入上式中得到 223352B totalF F n B E n μεε=-上式中第二项为磁化能，故磁化强度为：232B F n B M με=2．氢原子的抗磁磁化率。
固体物理作业解答(1)
du r dr
r0
2 r0
3
8 r0
9
0
15
由此得平衡时两原子间的距离为
4 r0 =
而平衡时的势能为
1 6
u r0 Leabharlann r02
r0
8
3 4r
2 0
根据定义，离解能为物体全部离解成单个原子 时所需要的能量，其 恒等于 u r0 ．巳知离解 能为4ev，因此得
dur f r dr
du2 r 0 2 dr r r
0
②
③
由方程①可得： 由方程②可得：
r
m2 0
mA nB mA nB - n1 0 m n m 1 r0 r0 r0 r0
m 1mA n 1nB 0 - m 1mA n 1nB 0 r
n
1 e
k BT
1
即每一个格波的声子数都与温度有关，因 此，晶体中声子数目不守 恒，它随温度的 改变而改变
6
2．温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还 是声学波的声于数目多? 解：频率为ω的格波的(平均)声子数为
n
1 e
k BT
1
因为光学波的频率比声学波的频率高，所以根据 上式可得在温度一定情况下，一个光学波的声子 数目少于一个声学波的声子数目．
8
4．爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的 根源是什么?
解：按照爱因斯坦温度的定义，爱国斯坦 13 模型的格波的频率大约为10 Hz，属于光学支 频率．但光学格波在低温时对热容的贡献非常小， 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波．也就 是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因 斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源．
固体物理-第一章作业
试计算出体心立方的习惯原胞的三个基矢之间的
1.
夹角，并说明为何体心立方不属于三方晶系。
体心立方惯用原胞基矢为：
Ø
a1
a 2
i j k
a2
a 2
i jk
a3
a 2
i
j k
• 设 a1a2 ,a2a3 ,a1a3 , 则
cos a1 a2 1
a1 a2
22
各晶面间距分别为：
d 001
2
a
100
a
2
d 110
a
11 0
2a
2
d 111
2
a
111
3a
6
因此，对体心立方晶体， (110)面原子密度最大，晶面间 距最大。
3. 试证明体心立方和面心立方互为倒格子，并求出 两种倒格子的格常数。
体心立方：设晶格常数为a，则正格子原胞基矢为：
Ø
a1
对体心立方晶体，设晶格常数为a ， (001)，(110)，
•
(111)面原子排布如图所示：
a
a
a
2a
2a
(001)
(110)
(111)
(001)面原子密度为：
4 1 4
1
a2 a2
4 1 1
(110)面原子密度为：
4 2a2
2 2a2
3 1
(111)面原子密度为： 1
6 6 2a2
1 3a2
构因子不为零的条件导出的劳厄条件类似，只
是其中的晶格常数变成b Øb）仍然适用。其中劳厄条件的晶格常数变成b，
布拉格定律的晶面间距将采用晶格常数b为单位 进行计算。
7. 综合题
固体物理作业
i
2 b
j
b
3
2 c
k
倒格子基矢与正格子基矢有相同的形式, 只是系数不同,
它们构成的倒格子也是底心正交的
27
固体物理
固体物理学
2. 非晶材料的结构
非晶不具有长程有序的特点。非晶态材料是一类新型的固体材料， 包括我们日常所见的种玻璃塑料高分子聚合物以及新近发展起来 的金属玻璃非晶态合金非晶态半导体非晶态超导体等等。晶态物 质内部原子呈周期性颁，而非晶态物质内部则没有这种周期性。 由于结构不同，非晶态物质具有许多晶态物质所不具备的优良性 质。玻璃就是非晶态物质的典型，对其结构的研究已有几十年的 历史并奠定了相当的基础。玻璃和高分子聚合物等传统非晶态材 料的广泛应用也早已为人们所熟悉，而近二、三十年、发展
金刚石结构的空间群属于简单空间群。 闪锌矿Zn晶格的空间群属于简单空间群
×
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固体物理
固体物理学
规则的几何外形 宏观物理性质
对 称 性 平 移 对 称 对 晶 格 定 义 Bravais格 子 以 揭 示 宏 观 对 称
原胞 基矢
||
||
单胞 正交变换
晶列 晶向
32种 点 群
对称操作 对称素
晶格按对称性分类
晶体中不可能存在有五重对称轴
固体材料除了晶态和非晶态以外，还有一种介于晶态 和非晶态之间的新的状态，称之为准晶态
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固体物理
固体物理学
合 金 的 电 子 衍 射 图
16
AlMn
固体物理
固体物理学
原胞的概念
原胞是指一个晶格的最小周期单 元。基矢是指原胞的边矢a1，a2，
a3
原胞示意图
a
1
固体物理习题及答案
固体物理第一章习题及参考答案1．题图1－1表示了一个由两种元素原子构成的二维晶体，请分析并找出其基元，画出其布喇菲格子，初基元胞和W －S 元胞，写出元胞基矢表达式。
解：基元为晶体中最小重复单元，其图形具有一定任意性（不唯一）其中一个选择为该图的正六边形。
把一个基元用一个几何点代表，例如用B 种原子处的几何点代表（格点）所形成的格子 即为布拉菲格子。
初基元胞为一个晶体及其空间点阵中最小周期性重复单元，其图形选择也不唯一。
其中一种选法如图所示。
W －S 也如图所示。
左图中的正六边形为惯用元胞。
2.画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。
(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂 解：基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。
11.对于六角密积结构，初基元胞基矢为→1a =→→+j i a 3(2 →→→+-=j i a a 3(22求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。
倒空间 ↑→ji i (B)由倒格基失的定义，可计算得Ω⨯=→→→3212a a b π=a π2)31(→→+j i →→→→→+-=Ω⨯=j i a a a b 31(22132ππ→→→→=Ω⨯=k ca ab ππ22213正空间二维元胞（初基）如图（A ）所示，倒空间初基元胞如图（B ）所示（1）由→→21b b 、组成的倒初基元胞构成倒空间点阵，具有C 6操作对称性，而C 6对称性是六角晶系的特征。
（2）由→→21a a 、构成的二维正初基元胞，与由→→21b b 、构成的倒初基元胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。
12．用倒格矢的性质证明，立方晶格的（hcl ）晶向与晶面垂直。
证：由倒格矢的性质，倒格矢→→→→++=321b l b k b h G hkl 垂直于晶面（h 、k 、l ）。
固体物理作业答案
ω2 ω02
= dω
dq =
= dω
a ω02 − ω 2 dq 2
代入 ρ (ω )d ω= 2 ×
N Na dq = 2 × π 2π
ω02 − ω 2
2N
dω 1
一维单原子链的频率分布函数 ρ (ω ) =
π
ω −ω2
2 0
3.7．设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有 ω (q = ) ω0 − Aq 2
N α β (− m + n ) r 2 r N mα nβ 1 ( m +1 − n +1 ) = 2 r r 3 NAr 2
∂ 2U N ∂r ∂ mα nβ 1 = [( m +1 − n +1 ) ] 2 ∂V 2 ∂V ∂r r r 3 NAr 2 体弹性模量 = K ( ∂ 2U )V ⋅ V0 ∂V 2 0
1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立 方 。 a2 × a3 a3 × a1 a1 × a2 解 由倒格子定义 b1 = 2π b2 = 2π b3 = 2π a1 ⋅ a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3
5
求证：频率分布函数为 f ( = ω)
V 1 1/ 2 ω − ω ) , ω < ω0 ; 2 3/ 2 ( 0 4π A
f (ω ) = 0 .
解
2
, ω > ω0
2
1 2 1 2
= 0, ω < 0 ⇒ ω0 − ω = Aq ⇒ q = A ( ω0 − ω ) ω > ω0时，ω − ω0= Aq > 0 f (ω )
固体物理作业1
������2������2������+1 ������������2
= ������
������2������+2 + 10������2������ − 11������2������+1
方程组有下列形式的格波解 ������2������ = A������������[������������− 2������ ������������]
11������ − ������������2 ������ − ������−������������������ + 10������������������������ ������������ = 0
ቐ −
10������−������������������
+ ������������������������
������2 = 2 ���������Ԧ��� − 2 ���Ԧ���
������3 = ���������Ԧ���
S1(0,0,0)
Mo1(233 ������, 0, ������)
������2
������11
S2(0,0,2z)
x ������2
S3(233 ������, 0,2������ + ������) Mo2(0,0,3z+w) S4(233 ������, 0,4������ + ������)
23
所以
������100: ������110: ������111 = 6: 3: 2 2 面心立方原子堆积最密集的面是(111)面。
4、在晶体中，由于平移对称性的限制，证明
旋转对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴，对称元
固体物理作业题
Chapter 1Problem 1.1:Compute the packing fraction f for the bcc lattice.Problem 1.2:(a) Show that the packing fraction f for the diamond lattice is π 3 /16 .(b) What is the packing fraction and coorination number of the honeycomb lattice?Problem 1.3:Consider the hexagonal close packed lattice. (a) Show that c = a 8 3 = 1.633a . Frequently a crystalstructure is called hcp even c is not exactly equal to the ideal value. (b) Show that the packing fraction forthe ideal hcp lattice is π 2 / 6 = 0.7405Problem 1.4:The ionic compound A+B- crystallizes in the NaCl structure. Plot the packing fraction as a function of theratio + −ζ= r / r . Assume that ζ< 1.Problem 1.5:Repeat the calculation of problem 1.4 for the CsCl structure.Problem 1.6:Use the information in the textbook to calculate the densities (in kgm-3) of the following solids: (a)Aluminum, (b) Iron, (c) Silicon and (d) Zinc. Atomic weights of some common elements are listed in thetextbook.Problem 1.7:SrTiO3 crystallizes in the perovskite structure. The strontium atoms are at the corners of the cube with sidea, the titanium atoms are at the body center, while the oxygen atoms occupy the cube faces. (a) What is the Bravais lattice type?2(b) Verify that the primitive unit cell contains one Sr, one Ti and three O atoms.(c) Write down a set of primitive lattice vectors and basis vectors for the perovskite structure.Problem 1.8:The primitive lattice vectors of a certain Bravais lattice can be writtenR n n ax n by n z v r r r1 2 2 1 3( 2 ) 12= 1 + + +What is the lattice type?Problem 1.9:In each of the following cases indicate whether the structure is a Bravais lattice. If it is, give three primitivelattice vectors. If it is not describe it as a Bravais lattice with as small as possible basis. In all cases thelength of the side of the unit cube is a.(a) Base centered cubic (simple cubic with additional points in the centers of the horizontal faces of thecubic cell).(b) Side centered cubic (simple cubic with additional points in the centers of the vertical faces of the cubiccell).(c) Edge centered cubic (simple cubic with additional points at the midpoints of the lines joining nearestneighbors).Problem 1.10:指出体心立方晶格(111) 面与(100) 面，(111) 面与(110) 的交线的晶向。
《固体物理》第一章作业题
（2）AC
=
OC
−
OA
=
→c +
1 2
→
a+
→
b
−
→
(a+
→
b)
=
−
1 2
→
a+
→
b−
2
→
c
可见
→
AC
与晶列
→
a+
→
b−
2
→
c
平行，因此AC晶列的
晶列指数为 112。
由《固体物理教程》（1.3）式可得面心立方 结构晶胞基矢与原胞基矢的关系
→
→→→
a = − a1+ a2 + a3
→ →→→
b = a1− a2 + a3
第二章 习 题
2.3
若一晶体的相互作用能可以表示为 u(r)
=
−
rm
+
rn
,
求 1）平衡间距 r0 2）结合能 W（单个原子的）
3）体弹性模量
4）若取
m = 2, n = 10, r0 = 0.3 nm, W = 4 eV ，计算 , 值.
解
1）晶体内能U (r)
=
N 2
(−
rm
+
rn
置的原子球与处在8个角顶位置的原子球相切，因此晶胞空间对角线的长 度为 3a = 4r,V = a3,一个晶胞内含有2个原子，所以
x = n 4 r3 = 2 4 ( 3 a)3 = 3 0.68
V3
a3 3 4
8
（3）面心立方 对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，如图（c）所示。中
医科大学精品课件：固体物理作业及答案
久期方程变为
E eikb 0 eikb* E
E2 ( )E ( 2 ) 0
E ( )2 42
2
2
6.5 一维单原子链，原子间距a，总长度为L＝Na
1) 用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数
2) 求出其能态密度函数
的表达式
3) 如每个原子s态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级
6.4 由相同原子组成的一维原子链，每个原胞中有两个原子，
原胞长度为a，原胞内两个原子的相对距离为b ：
(1) 根据紧束缚近似，只计入近邻相互作用，写出原子 s态
相对应的晶体波函数的形式。
(2) 求出相应能带的 E (K) 函数。
黄昆书 4.6 题
解：这是相同原子组成的一维复式格子，设第一套原子格点位置为xn，则第二套原子 格点位置为xn+b
解：（1）
势能的平均值
势能的平均值
令
V a2 m2 b2 m 2
96
6
在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数
第一个带隙宽度
Eg1 2V1
8b2
3
m 2
a2
2 3
m 2
第二个带隙宽度
Eg2 2V2
b2
2
m 2
a2
16
2
m 2
6.3 设有二维正方晶格，晶体势场为
U (x, y)
—— s态原子能级相对应的能带函数
—— s原子态波函数具有球对称性
—— 任选取一个格点为原点 —— 最近邻格点有12个
O
12个最邻近格点的位置
O
—— 类似的表示共有12项 —— 归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带
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5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
（
）。
2
9. 将点阵的格点位置在笛卡尔坐标系中用一组整数（n1,n2,n3)表示， 问1：如果n1,n2,n3全为偶数或奇数，对应着什么点阵； 问2：如果n1,n2,n3的和为偶数，对应着什么点阵； 10. 右图为FeCo合金的立方原胞（红球代表铁；蓝球代表钴），假定晶格常数为 a，且Fe与Co的原子形状因子分别为f1与f2。 求： 1）结构因子。 2）如果红球代表钴；蓝球代表铁，求结构因子 3）如果Fe与Co的原子形状因子相同，求结构因子
1
。 5. 画出面心立方结构中密勒指数为（012）晶面的结构图
6.下图是某立方晶体的结构图，图中粗线所示晶面的密勒指数为什么？
z y
x
7. 关于物理学原胞（初级原胞）下面说法正确的是：（ ） (a)仅能包含一个原子。 (b)最小的重复单元。 (c)选取是唯一的。 (d)以上都不对。
8. 下图所示为五个二维晶体的结构图，其中与（a）属于同一类布拉菲格子的是
11. 某二维晶体原胞的基失为
a = 2xˆ b = 1yˆ
其中xˆ yˆ分别表示x和y轴上的单位矢量。 a)求倒点阵的基失。 b)画出它的第一布里渊区。
12. 铜、金刚石、砷化镓晶体都属于面心立方点阵，讨论它们结构因子的异同。
从左至右分别是铜、金刚石、砷化镓晶体 3
13. 两个氢原子之间可以形成离子键么，为什么？定性分析，如果它形成离子键会比形成共价 键能量高或低出多少？ 14. 考虑一面心立方晶体，其原子与原子之间的相互作用势如下