高一基本不等式

高一数学 基本不等式及其应用

1．基本不等式1 对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立．

基本不等式2 对任意正实数a 和b ，有2

a b +≥a b =时等号成立．

说明：对于基本不等式2，有两个重要变形○1若,a b ∈+R ，则a b +≥○2若,a b ∈+R ，则2)2(

b a ab +≤，它们的主要作用是求代数式的最小值和最大值．

2．设0x >，求142x x ++

的最小值并指出最小值取得时x 的值．

3．已知0, 0a b >>且4ab =，求下列各式最小值及此时,a b 的值．

（1）2a b +； （2）

11a b +．

4．设1x >，求1251

x x ++

-的最小值并指出最小值取得时x 的值．

5．设2x >，求2332

x x x -+-的最小值并指出最小值取得时x 的值．

62

的最小值．

7．已知0, 0a b >>且4a b +=，求下列各式最大值及此时,a b 的值．

（1）4ab ； （2）22a b ； （3）(1)(2)a b ++．

8．已知302x <<

，求()532x x -的最大值并指出最小值取得时x 的值．

9．已知22, 02a b a b >+=且，求12y =

10．已知,0a b >且3ab a b =++，求a b +的最小值

11．（1）已知正数x y 、满足21x y +=，求

11x y +的最小值． （2）190,0,2x y x y

>>+=设且

，求x y +的最小值．

12．已知集合{}25M y y x ==-+，4,11N y y x x x ⎧

⎫==+>⎨⎬-⎩⎭

，则M P = ______ 13. 若703

x <<，则()73x x -的最大值为 ________ 14．已知x ∈R 2

的最小值是_____________________．

15．若0,0,231a b a b >>+=，则ab 的最大值是____________________．

16．建造一个容积为8立方米、深为2米的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每 平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价是多少元？

17．若直角三角形面积为24cm ，求此三角形周长的最小值．

18．如图，某小区要在一块矩形的绿化地块（图中的阴影部分）四周筑路，使上、下路面 的宽为1米，左右路面的宽为2米 ．为了保证绿化面积为72平方米，并且使路面与绿 化地块的占地总面积最小，那么绿化地块的长和宽应该分别为多少米？

19．求下列不等式的解集．

（1）

131x x +≥- ； （2）|||1|a x x ->-．

20．若不等式 2||<+b ax 的解集为)6,2(，求实数b a ,的值．

21．关于x 的不等式()211a

x a x -<-的解集非空，则a 的取值范围是______________．

22．设x R ∈，用[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]3π=，[ 1.4]2-=-，[5]5=．

（1） 若[]2x =，则x 的范围为________________________；

(2 ) 若[|1|]3x -=，则x 的范围为_____________________．

23．已知集合102x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}40B x px =+<，若B A ⊆，求实数p 的范围．