平面三角形与空间四面体之间的类比
类比法
类比方法在数学解题中的应用陕西咸阳武功绿野高中 712203 王少华 康娟娟在高中数学学习过程中，类比的方法技巧经常出现在各种练习和考题中，它不仅仅提高了学生的学习效率及灵活性，而且为人类研究其他各类学科的问题提供了非常有参考价值的思路方法。
比如说梯形面积公式()()221n n a a n S n d d h S +=+=项和与等差数列前下上梯形无论从形式上还是推导方法技巧上都有惊人的相似之处，平面向量基本定理及坐标运算与空间向量基本定理及坐标运算一直到N 维柯西不等式的证明，三角形面积由平行四边形的推导，和三棱锥体积由三棱柱拆分求得等，都给人以某种遐思；林林总总的各种习题枚不胜举，下面结合自己在教学中的心得体会和搜集到的题目加以说明，以便帮助广大同学和各位同仁共勉。
一，类比在数列中的应用例1， 等差数列有如下性质：若{}n a 是等差数列，则数列na a ab nn +∙∙∙++=21是等差数列，类比上述性质：若{}n a 是正项等比数列，则，则数列=n b 也是等比数列。
分析：由等差数列和的性质自然联想到等比数列积的性质评注：本题也可看作“算术平均数”到“几何平均数” 推广，考查的是知识的迁移能力例2， （1）设数列{}n a ，若()N n n n a a n n ∈≥=++,1,21，求证：{}{}122,-n n a a 是等差数列；（2）设数列{}n a ，若,21nn n a a =⋅+()N n n ∈≥,1,类比上述性质你能得到什么类似的结论，并证明你的结论。
（答案：{}{}122,-n n a a 是等比数列） 分析：由数列和的性质作差变形联想到等比数列作商变形评注：“和”对应“差”，“积”对应“商 ”，充分体现了辩证法思想，是类比的典范小结：等差数列往往表现为和的性质，等比数列往往表现为积的性质，二，类比在几何中的应用例3， 在平面几何里有勾股定理：设三角形ABC 中角A 为直角，则有三边长的等量关系：222BC AC =+AB ，拓展到空间，研究以A 为顶点的三棱锥A-BCD ，当三条侧棱AB,AC,AD 彼此相互垂直时，三个侧面的面积与低面BCD 面积的关系如何呢？ 经过类比分析可以得出的结论应该是?（答案：2BCD 2ABD 22ABC S S S ∆∆∆∆=++ACD S ）分析：由“线”到“面”，由“长度”到“面积”，从二维到三维空间是我们学习中最常见的类比方法评注：形式上的平方和不变例4， 已知三角形ABC 中三边长分别为a,b,c 内切球半径为r ，则三角形ABC 面积()r c b a s ++=21，请你在三棱锥中写出一个类似的结论？答案是：设三棱锥A-BCD 四个面的面积分别为r s s s s 内切球半径为4321,,,，则有等量关系()r S S S S V BCD A 432131+++=- 例5， 在平面几何里设三角形ABC 中角A 为直角，于是有直角三角形的射影定理BC,DC AC BC BD AB D D,BC AD 22⋅=⋅=⊥且是垂足，则于类似的在空间立体几何学习中，在四面体ABCD 或者说三棱锥A-BCD 中，若有已知条件为：在底面内，为垂足，且底面平面O O BCD AO ABC AD ,,⊥⊥则你能由此得到什么类似的结论呢？解答 ：有结论为 BCDBOD ABD BCD COD ACD BCDBCO ABC S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆⋅=⋅=⋅=222（证明从略）练习：1、等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则232,,.....n n n n n S S S S S --成等差数列，类比得等比数列{}n a 前n 项和为n S ()0n S ≠，则232,,.....n n n n n S S S S S --2、矩形的一对角线长的平方和等于相邻边长平方和，那么长方体中有类似结论：例6， 在ABC t ∆R 中两直角边分别为a,b 斜边c 上的高为h ，则有结论：222111ba h +=如图，在正方体的一个角上截取三棱锥P-ABC,其中PO 爲棱锥的高，记2PO 1M =,记2221PB 1PA 1N PC ++=,那么M 与N 的大小关系为？答案：M=N三，类比法在向量中的应用在教材中平面向量一章有结论：“点P 在直线AB 上的充要条件是：对直线外任一点O 存在实数()st λλλ-+=1”，空间向量一章有结论：“点P 在ABC 面内的充要条件是：对空间任一点O 存在三个实数OC OB OA OP st 321321,,,λλλλλλ++=，其中三个实数满足条件：1321=++λλλ”练习1.当012,,a a a 成等差数列时，有01220a a a -+=；当0123,,,a a a a 成等差数列时，有0123330a a a a -+-=，当01234,,,,a a a a a 成等差数列时，有012344640a a a a a -+-+=由此归纳：当0123,,,a a a a ......n a 成等差数列时，有 （答案：()012012...10nn n n n n n C a C a C a C a -+++-=）；类比得：当0123,,,a a a a ......n a 成等比数列时，有 （答案：()0121012...1n nnnn nC C C C na aa a --=）2.在等差数列{}n a 中，若100a =，则有等式：()121219......19,n n a a a a a a n n N *-++=++<∈成立，类比上述结论，相应的在等比数列{}n b 中，若91b =，则有等式 答案：()121217......17,n n b b b b b b n n N*-=<∈3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列。
三角形的性质定理在四面体中的推广_黄继芳
四面体 : 如图 1 , 在四面体 A - BCD 中, 设 S1, S 2, S 3, S 4 分别为 v ADC, v ADB, v BDC 和 v ABC 面积 . 又二面角 B - AD - C = A , A - BD - C = BA - DC -B = C , 则有 S 4 = S 1 + S 2 + S 3 - 2S 1 S2 cosA - 2S2 S 3 cosB 2S 1 S 3 cosC .
图 1
图 2
于是问题得证 . 设面 DBC, 面 DA C, 面 DAB 与面 ABC 所成的角分别
图 3
四面体 : 如图 2 , 四面体 V - ABC 中 , 棱 VB 与面 ABC 和面 A VC 成的角分别为 A , B则 S v ABC S v A VC = . sinB sinA
16
为 A , B , C , 作 DO L 面 ABC 于 O, 过 O 作 OE L BC 于 E, 连 DE, 则 DE L BC ( 三垂线定理 ), N DEO = A . 在 R tv DOE 中, OE = DE # co sA .
[ 1]
252000 252000 ( 4 ) 三角形
黄继芳 魏清泉
[ 2]
: 三角形有外接圆, 其圆 心为外
心, 外心是各边的中垂线的交点. 外心到三角形各顶 点的距离相等 , 都等于外接圆的半径. 四面体: 四面体有外接球 , 其球心为外心, 外心 是各棱的中垂面的交点. 外心到四面体的各顶点的 距离相等 , 都等于球的半径. [ 2] ( 5 ) 三角形 : 三角形有内切圆, 其圆 心为内 心, 内心是各角的平分线的交点. 内心到各边的距离 相等 , 三角形面积 S = 1 ( a + b + c) @ r, 其中 a、 b、 2 c 为各边边长, r 为内切圆的半径 . 四面体: 四面体有内切球 , 其球心为内心, 内心 是各二面角的平分面之交点 . 内心到各面的距离相 1 等, V = ( S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ) @ r, 其中 V 为四面体 3 的体积, S 1, S 2, S 3, S 4 为各面面积 , r 为内切球半径. 以上的推广是比较普遍的, 也是大家所比较熟 悉的 , 但有关三角形的性质定理不止这些, 三角形的 其他性质定理是否也能类 比的推广到四面 体中去 呢, 答案是肯定的, 下面我们来研究三角形的其他性 质定理类比推广到四面体中 . 定理 1 . 1 三角形两边之和大于第三边 , 两边 之差小于第三边. [ 3] 定理推广 1 . 1 四面体三个面面积的和大于
盘点平面到空间的类比推理问题
角形 中的边 与 高 的 关 系 式 类 比 空 间 中两 两 垂 直 的棱 的 三棱 锥 中边 与高 的关 系 即可．
题 型 ３ 特殊 点 、 线、 面 关 系 类 比
为 斜边 上 的高 ， 则 一 ＋ ， 由此 类 比： 三 棱 锥
， ￡ “ Ｕ
ＡＢ Ｃ 中的 ３ 条侧棱 Ｓ Ａ、 Ｓ Ｂ、 Ｓ Ｃ两 两 垂 直 ， 且 长 度 分
例 ３ 设 Ｐ 是 Ａ ＡＢＣ 内 别 为 ｈ 、 ｈ Ｂ 、 ｈ ㈡ Ｐ 到 ３边
ｃ
的距离 依 次 为 ｌ 。 、 ｚ 、 ｌ ， 则
平 面 图形 与 空 间 图形 之 间 在 概 念 与性 质 上 有 些
类 似 的知识 与方 法 ， 许 多平 面几 何 中 的命 题 可 以推 广 成 立体 几何 中 的相 应 命 题 ， 它们往往将数学 知识、 方
则 ＋ 一 ３ ， 由 平 面 图 形 类 比到 空 间 图 形 ， 如 图
如图 １ ， 因为 Ｓ Ａ、 Ｓ Ｂ、 Ｓ Ｃ两两垂直 ， 且 长 度 分别 为 口 、 ｂ 、 ｆ ， 所以 Ｓ Ａ Ｌ面 Ｓ Ｂ Ｃ， 作 Ｓ Ｄ上
ｏ，
Ｂ ｃ ， 则ｓ Ａ Ｊ ＿ Ｓ Ｄ 且Ｓ Ｄ－ － 雨 ｂ ｃ ， 作Ｓ Ｏ ￣ Ａ Ｄ于
｝
法 和原 理 融 于一 体 ， 突 出对 数 学 思想 方 法 的 考 查 ， 体 现数学 的思维价 值 ． 以下 举例 说 明．
题型 １ 边 角关 系的 类 比
一 Ｊ －
去 ＾ Ａ ＋ 。 急 Ｂ ＋ 。 去 （ 一
类 比到 空 间 ， 设 Ｐ 是 四 面
③， 各个 面都 是 全 等 的正 三 角 形 ， 所 以各 面都 是 面 积 相等的三角形 ， 同一 顶 点 上 的 任 ２条 棱 的夹 角 都 相
类比小结
将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接，所得四条线段交于一点，且是每一条线段的一个四等分点．
在ΔABC中， 的平分线交BC于D，则 ．
在四面体A-BCD中，二面角C-AB-D的平分面交棱CD于点E，则， ．
设ΔABC的三边长分别为 、 、 ，ΔABC的面积为 ，内切圆半径为 ，外接圆半径为 ，则
（1） ；
（2） ．
设四面体A-BCD的四个侧面的面积分别为 ， ， ， ，内切球的半径为 ，外接球的半径为 ，则（1） ；
（2） ．
在ΔABC中，
（正弦定理）．
在四面体A-BCD中，棱AB与面ACD、BCD的夹角分别 ， ，则 ．
在ΔABC中，
(射影定理)
其中 分别为角 的对边．
在四面体A-BCD中，四个侧面的面积分别为 ， ， ， ，则
正三角形（边长为 ）
正四面体（棱长为 ）
正三角形的三边相等．
正四面体的四个面面积相等，六条棱长相等．
正三角形的三角相等．
正四面体的四个面中任意两面所成的二面角都相等（注：不为 ），各条棱与其相交面所成的线面角都相等，相交的棱的夹角都相等．（注：异面棱垂直）
正三角形的高 周长 面积
正四面体的高 表面积 体积
四面体中交与同一顶点的三条棱的中点连成的三角形的面积等于第四个面面积的 ,且该三角形所在平面平行于第四个面.中截面分得两部分的体积比为１：７．
三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分.
四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四面体分成体积相等的两部分．
正三角形内任意一点到三边的距离和为定值即正三角形的高．
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——推理与证明
常用结论
1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定 其正确性，则需要证明.
2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯 机械类比的错误.
3.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导 果，就是寻找已知的必要条件.
4.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然 后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.
B.3(2n＋2) D.(n＋2)(n＋3)
索引
解析 由已知中的图形可以得到： 当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4， 当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5， 当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6， 当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，…… 由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3).
，则8 771用算筹应表
示为( ) C
中国古代的算筹数码
A.
B.
C.
D.
索引
解析 由算筹的定义，得
所以8 771用算筹应表示为
.
索引
(2)“正三角形的内切圆半径等于此正三角的高的31”，拓展到空间，类比平面
几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( C )
1
1
A.2
B.3
1
1
索引
感悟提升
1.归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号. (2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律. (3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验 法验证其真伪性. 2.类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数 列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运 算类比；圆锥曲线间的类比等. 3.演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问 题，应当首先明确什么是大前提和小前提.
三角形到四面体性质的类比推广
外接球半径 ：
证明： 显然 ｓ ｉ ｎ ０ ｌ ＝ 旦
，
ｓ ｉ ｎ
， ｉ ｎ ０ ３ ： ，
Ｒ ＿ 争 争 ‘
内切圆半 径 ：
一
Ｒ ＝ ｝ ‘
内切球半径 ：
— —
。 ｉ ｎ ２ ０ ￣ ＋ ｓ ｉ ｎ ＋ ｉ ｎ ２ ０ ３ ： （ 生） ＋ （ ） ： ＋ （ 生） ：
作者简介 ： 马建萍（ １ ９ ７ ２ 一 ） ， 女。 土族 ， 青海 乐都人 。青海师范大学数学 系 教授 。 王冉４ １ １ － （ １ ９ ８ ９ 一 ） ， 女。 河北衡 水人 。河北衡水市枣强县马屯 中学教师。
９１
马建萍
王冉冉 ： 三角形到 四面体性质的类 比推广
一Hale Waihona Puke 外接圆半径 ： 且满足 ｓ ｉ ｎ ＋ ｓ ｉ ｎ ＋ ｓ ｉ ｎ １
直角侧 面与底 面的关系 ：
设面 Ｐ Ａ Ｂ、 Ｐ Ｂ Ｃ、 Ｐ ＡＣ与底面 ＡＢ Ｃ所 成的二面角依 次为 ａ 、 ７ ， 那么 ：
设 三棱 锥 Ｐ － Ａ Ｂ Ｃ的三 个 侧 面 Ｐ Ａ Ｂ 、 Ｐ Ａ Ｃ 、 Ｐ Ｂ Ｃ两两互相垂直 ，点 Ｐ在平面 Ａ Ｂ Ｃ上的射影
四面体 类比 推广
面体 的一 些类似结论 ， 并给 出部分性质的证明．
关键词 ： 三 角形
１ 引言
从直角三角形的性质出发 ， 通过类 比得到直
类 比法就是根据不同的两个对象之 间在某
角四面体的一些类似结论 ， 如下表所示：
直角三 角形 射影定理
ｄ ＝ ｃ ・ Ｂ Ｄ－ ｂ ・ Ａ Ｄ
已知直 角边求斜边 ：
已知直角棱求底 面积 ：
三角形类比四面体的相关结论
三角形类比四面体的相关结论近几年来高考数学命题的类比问题也已经从幕后走到前台，成为考查学生学习潜能的良好素材，在培养学生的发散思维和创新思维能力方面有其独特的作用。
本文对三角形的性质在空间中类比推广做了进一步的探究，以期对大家有所启发，起抛砖引玉的作用。
题目.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想并证明。
（教74页例3）分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以可以选取有三个面两两垂直的四面 体，作为直角三角形的类比对象，将直角三角形中的三边关系与四面体中的四个面的面积关系进行类比。
解：在Rt ▲ABC 中由勾股定理得222b a c +=，类比直角三角形的勾股定理可知：在四面体P －ABC 中，PA PC PC PB PB PA ⊥⊥⊥,,，则2222PCA PBC PAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=，证明：设c PC b PB a PA ===,,，则ab S PAB 21=∆，ac S PAC 21=∆，bc S PBC 21=∆，故PAB S ab ∆=2，PAC S ac ∆=2，PBC S bc ∆=2， 222222221a c b c b c b S ABC+++=∆22222221a c b a c b ++= 23222144421S S S ++=.232221S S S ++= 故2222PCA PBC PAB ABC S S S S ∆∆∆∆++= 点评：从平面几何到空间几何，从二维平面到三维空间，应注意其相应的度量元素的变化，其次是从问题解决的办法寻找相似点作为问题解决的突破口．变式一。
在平面几何中有命题：“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似的命题是什么？解：平面几何中该命题的证明方法：面积分割法，即将该点与三角形的三个顶点连接所得的3个小三角形面积的和等于正三角形的面积，化简可得PD ＋PE＋PF 为定值，即正三角形的高度。
三角形与四面体之间的类比关系探究
于点Ｅ， ＥＢ ＝ △ｃ ｓ Ｂ 如 图２ ． 则Ａ ，Ｅ ｓ Ｄ △ｃ ／ Ｄ（ ）
３在 四 面体 Ａ Ｃ ． Ｂ Ｄ中 ， Ｆ Ｇ分别 是 Ａ Ａ ， Ｄ 中点 ， Ｅ， ， Ｂ， Ｃ Ａ 的 则
Ｏ Ｂ Ｄ ＆ Ｃ ‘
：
—
—
过 程 中 ， 师 可 利 用 “ 何 画 板 ” 件 工 圆 教 教 几 软 具 ， 着 动 点 在 圆 周 上 反 复 运 动 ， 学 生 观 察 同 一 条 弧 所 拖 让 对 的 圆周 角 与 它 所 对 的 圆 心 角 的 大 小 关 系 ， 现 并 证 明 圆 发 周 角定理 。 三 、 过 小 组 合 作 的课 外 实 验 。 通 多角 度 探 究解 题 思路 问 题 是 数学 的心 脏 ，例 题 教 学 是 数 学 课 堂 教 学 的 基 本 组 成 部 分 。 果 在 例 题教 学 时 仅 仅 为 了结 论 而 讲 解 ． 略 解 题 思 如 忽 路 的形 成 过程 ， 么 学 生 对 知识 的 理解 就不 会 深 刻 。 因此 ， 那 教 师 应 鼓 励 学 生 大 胆 尝 试 ， 极 参 与 数 学 实 验 ， 多方 位 、 角 积 从 多 度 去 思 考 和 探索 。 比如 ， “ 量 建 筑 物 的高 度 ” 在 测 教学 过 程 中 ． 可 首 先 让 学 生分 小 组 讨 论 测 量 方 案 ： 自 己小 组 选 的 方 法 要 用
五 、 过 直观 模 拟 实验 ， 证 和 发 现 数 学 规律 通 验 数 学 新 课 程 内 容 更 注 重形 象 直 观 的 实 验 。 在课 堂教 学 中 。 教 师应 适 宜 地 将 教 学 环 节 设 计 为 模 拟 发 现 的 过 程 ，注 重 合 情 推理 。模 拟 发 现 的 教 学 模 式 一 般 包 括 以 下 四个 环 节 ： 设 “ 创 生 活一 数 学 ” 情 境 、 造 “ 手 一 操 作 一 实 验 ” 空 间 、 主 探 的 创 动 的 自 究 与 合作 交 流 、 想 与 验 证 。 比如 在 “ 纸 中 的学 问— — 经 验 猜 折 公式 的推 导 ” 教学 中 ， 让 学 生 用 正 方 形 薄 纸 片 、 度 尺 、 算 可 刻 计 器 和小 刀 ． 过重 复地 将 纸 片对 折 后 一 分 为二 的操 作 ， 学 生 通 让 计算 扔 掉 的第 ｎ 纸 片 的 面 积 和 余下 的 纸 片 面 积 ， 把 扔 掉 的 块 并
高二北师大数学选修22第一节归纳与类比1.2类比推理教学设计
第一章推理与证明1.2类比推理教学目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。
会进行简单的类比推理。
3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。
提高归纳、类比联想的能力。
重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；教学过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．例题分析我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c;(1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。
(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
即例3如图，已知点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，则1111111=++CC OC BB OB AA OA （Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论 （Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。
(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
类比推理——数学思维的引路者
维类 比． （） 如 ． １譬 出现 最 多 的是 三 角形 在 空 间 的类 比 问题 ， 就两 者都 是 有 数 目最 少 的 简单 分界 元 素所 嗣 成 的这样 一 点 来 说 ， 四
理 ， 空 间 中 ， 面体 所 在 的 四个 平 面 将 在 四
空 间分 成 部 分．
面体 可 以看 成 三角 形在 空 间 的类 比 ： 平 在
分 析 考 虑 平 面 上 的 类 似 命 题 ： 过 “
面上 ，条 直线 不 能 围成 一 个有 限 的 图形 ， ２ 然 而３ 直 线 却 可 以 围成 一 个 ｉ角 形 ： 条 在
空 间 中 ，个 平 面 不 能 围 成 一 个有 限 的 图 ３
图２
的关 键 在 于 如 何把 关 于对 象 在 某 些 方 面
一
致性 的 含糊 认识 说 清楚 ． 所谓 类 比， 质 上 就是 由两 个 对象 的 实
同类 变 式 ： 平 面 巾 ，三 在 ＝ 条两 两 相 交
上 任一 点０ 别 作 分 ∥ ，Ｂ／Ｖ ， Ｏ 。 Ｂ ／
Ｏ ， ＣＡ， ， 。 Ｃ∥Ｖ ， ， ， 分别是所作直线与侧 ＢＣ
面 交点 ， 证 ： 求 ＋ ＋ 为 定 值．
降维 类比
的直 线 （ 交 与一 点 ） 平 面 分 成７ 分 ． 不 将 部
试 题研究＞ 知识延 伸
数学教学通讯 （ 师版 ） 教
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浙江 嵊 州 第一 中学
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美 籍 匈 牙 利 数 学 家 乔 治 ・ 利 亚 指 波 出 ：类 比是 某 种类 似 的相 似 性 ， …是 一 “ … 种 更 确 定 的和 更 概 念 性 的 相 似． 波 利 亚 ” 在 此 所 说 的 “ 似 性 ” 指对 象 在 某 些 方 相 是 面的一 致 性 ． 而类 比则是 指 可 以清 楚定 义 的一致 性 ， 由此 ， 照 他 的观 念 ， 用类 比 按 应
合情推理-归纳推理与类比推理
分析：面积法 由12r(a+b+c)=S 2S r=a+b+c
.
P
S1 Ｃ S2
C
A
Ａ
S3
Ｂ
△PAB的面积为S
S1 S2 S3 S
几何中常见的类比对象
平面图形（二维） 点
立体图形（三维） 点或线
线
线或面
平面直角坐标系
空间直角坐标系
几何中常见的类比对象
圆
球
三角形
四面体（各面均为三角形）
四边形
六面体（各面均为四边形）
代数中常见的类比对象
复数 向量
方程 函数 不等式
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新的 结果，具有发现的功能，启 发思路、提供线索、举一反 三、触类旁通的作用。
类比推理的结论不一定成立
• 1．下面几种推理是类比推理的是( ) • A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和
是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2) • B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 • C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员
ac
)2
ac (
a2 c2
b2]
a2 c2
1 (a2 4
c
2
)
(
a a2
2c
2
c
2
b2)
1 a2c2 4
1 a2b2 4
1 4
b2c
2
s12
s22
s32
s 2 s12 s22 s32
变式练习：在三角形ABC中有结论：
AB+BC>AC，类似地在四面体P-ABC中
类比推理在数学解题中的“六类”
．BCBD图2 AO类比推理在数学解题中的“六类”著名数学家波利亚曾指出：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似”类比是从已经解决的问题和已经获得的知识出发，提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移，它是由特殊到特殊的推理．类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征、明确的类比关系，所以运用类比的关键是确定类比对象，而确定类比对象的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象．不能让类比仅仅停留在叙述方法或结构形式等外层表象上，还需要对数学结论的运算变形、思想方法、思维策略、推理过程等深入层面寻求内在关联，开展多角度、全方位的类比探析活动．由于类比推理的逻辑根据是不充分的，带有或然性，具有猜测性，不一定可靠，不能作为一种严格的数学方法，因此还须经过严格的逻辑论证，才能确认其猜测结论的正确性．本文由问题出发，从定义生成类比、属性关系类比、降维减元类比、结构形式类比、思想方法类比、无限有限类比等六个不同角度层面，针对如何进行类比推理，做些分类探究解析的有益尝试，培养学生运用类比进行合情推理的能力． 一、定义生成类比问题1：若定义集合A 与B 的运算：A B?{,x B x A B }挝锨或且x x A ,试写出()哪A B A 成立的等式．探究：一个抽象的集合问题，利用已有的集合知识，借助于韦恩图，通过类比问题，进行探索，可发现一些含有新定义集合运算关系的等式．若记A B C ?，如图1中阴影部分所示，则类比得C A{x x C ,x A x C A }?挝锨或且＝B ，所以A B A B 哪（）＝．问题2：试指出三角形在空间的类比探究：上，两条直线不能围成一个有限的封闭图形，然而三条直线可以围成一个三角形；在空间里三个平面不能围成一个有限的封闭几何体，然而四个平面可以围成一个四面体．因此，四面体可以看成三角形在空间的类比．例如：由三角形的三条内角平分线相交于一点，这就是三角形内切圆的圆心，即生成内心.我们类比猜测：四面体的六个内二面角的平分面也相交于一点，而且这就是四面体内切球的球心，即不妨也称之为生成内心（如图2）同样地可否类比猜测：四面体的生成外心、垂心、重心等等． ②、从直接生成的角度去考虑，棱锥可以看成三角形在空间的类比，如果三角形可以看成将线段（所在直线）外的一点与DABCAB图3CE D线段上的各点用线段相连所生成的平面图形，那么棱锥就可以看成将多边形（所在平面）外的一点与多边形上各点用线段相连所生成的空间图形．（如图3）． 二、属性关系类比问题3：过双曲线2222x y 1a b-=(a 0,b 0)>>的右焦点F （c ，0）的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，设PM MF,PN NF =l =m u u r u u r u u r u u r （如图4），则l +m 为定值222a b．试写出关于椭圆的相似结论，并加以证明．探究：探索圆锥曲线中的定值问题，可考虑特殊位置，利用特殊方法进行投石问路，找到定值．对于双曲线，当该直线过原点这个特殊位置时，直线与x 轴重合，则点P(0,0)，M(a,0)-,N(a,0),PM (a,0),PN (a,0)=-=u u r u u r ,MF (c a,0)=+u u r,NF (c a,0)=-u u r ,由题设可得a (c a)a (c a)ì-=l +ïïíï=m -ïî，其中222c a b -=.于是a a c a c a l +m=-+=+-222222a 2a c a b=-（定值）．由于椭圆与双曲线有很多相类似的属性关系，因此，可类比双曲线的这一结论以及获得的这个定值的特殊方法，寻找其中变与不变的规律．同理，对于椭圆也得到l +m=222222a 2a c a b=--（定值），其中222a cb -=．关于椭圆的相似结论：过椭圆2222x y1a b+=(a b 0)>>的右焦点F(c,0)的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，设PM MF,PN NF =l =m u u r u u r u u r u u r （如图5）.则l +m 为定值222a b-．现用一般方法给出严格证明如下：设此直线方程为y k(x c)=-（斜率k 存在），则点P(0,kc)-．设两交点1122M (x ,y ),N (x ,y )，得1111P M (x ,yk c ),M F (c x ,y )=+=--u uru ur，由P M M F =l uu r uu r 得1111x (c x )y kc y ì=l -ïïíï+=-l ïî，11x c x \l =-．同理：22m=-x c x ，则1212x x c x c x l +m=+--121221212c (x x )2xx c c (x x )xx +-=-++ ①，由2222y k(x c)x y 1ab ì=-ïïïíï+=ïïîABC C 1 A 1B 1D 1图6O ABC 1A 1B 1O图7消去y ,整理得22222222222(a k +b )x 2a k cx a k c a b 0-+-=，当0D >时，由韦达定理得22122222a k cx x a k b +=+，2222212222a k c ab x x a k b -=+将此两式代入①得2222222222222222222222222222a k c 2(a k c a b )c a k b a k b 2a k c a k c a b c c a k b a k b -?++l +m=--?++222222a b (c a )b=-222a b =-（定值），得证． 三、降维减元类比问题4：在四面体ABCD 内部有一点O ，使得AO 、BO 、CO 、DO 与 四面体的四个面BCD 、CDA 、DAB 、ABC 分别交于1111A B C D 、、、 四点，且满足1111AO BO CO DOk A O B O C O D O====（如图6），试求k 的可能值．探究：在三维空间，立体几何中的四面体，可以降到二维或一维空间，与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，对应地，体积与面积类比，面积与线段长类比等．于是，原问题经降维减元类比可以从“在三角形内部有一点O ，使得直线AO 、BO 、CO 与三角形的三条边BC 、CA 、AB 分别交于111A B C 、、三点，且满足111AO BO COk A O B O C O===（如图7）．试求k 的可能值．”的推理过程探求解题途径．在平面几何中，因为同底三角形的面积比为对应的高之比，等于相似比，所以ABC 11OBC 111S A A AO A O AO 1k 1S A O A O A O +===+=+V V ，ABC 1OCA 1S B Bk 1S B O==+V V ，ABC 1OAB 1S C Ck 1S C O==+V V ，于是A B CO B CO C A 3S (k 1)(S S S)=+++V V VV ．得3k 1=+，故k 2=．根据上述利用面积关系求解思路推理的启发，在空间四面体中，可转化为利用体积关系进行类比来推理．在四面体中，因为同底四面体的体积比为对应的高之比，等于相似比，所以ABCD 11OBCD 111V A A AO A O AO k 1V A O A O A O +====+，ABCD 1OCDA 1V B Bk 1V B O==+，ABCD 1ODAB 1V C C k 1V C O ==+，ABCD 1OABC 1V D Dk 1V D O==+，于是ABCD OBCD OCDA ODAB OABC 4V (k 1)(V V V V )=++++，得4k 1=+，故k 3=．四、结构形式类比问题5：任给7个实数x k (k=1,2,3,…,7),能否求证其中有两个实数x i 、x j ,满足不等式i ji jx x 01x x -＃+． 探究：此问题若从待证不等式出发，转化为不等式组求证，容易陷入复杂的分类与讨论之中，即第一类讨论任给7个实数中有某两个实数相等，结论显然成立；第二类讨论7个实数互不相等，则难以下手．但经过联想观察可发现：i j i jx x 1x x -+与两角差的正切公式()tan tan tan 1tan tan a -ba -b =+a b在结构形式上极为相似．因此，可以作适当的代换k k x tan =a （k＝1,2,3…,7），与正切公式()i j tan a -ai j i jtan tan 1tan tan a -a =+a a 作类比问题探究．令k k x tan =a （k＝1,2,3…,7），k ,22骣p p ÷ça ?÷ç÷ç桫.则原问题转化为求证：其中存在两个实数i j ,,22骣p p ÷ça a ?÷ç÷ç桫，满足ij 0tan()3 -a是否成立．注意到tan00=，tan 63p =，正切函数y tanx =在,22骣p p ÷ç-÷ç÷ç桫上是递增函数，故将区间,22骣p p ÷ç-÷ç÷ç桫等分成6个子区间,23纟p p çú--ççúèû，,36纟p pçú--ççúèû，,06纟p çú-ççúèû，0,6纟p çúççúèû，,63纟p p çúççúèû，,32骣p p ÷ç÷ç÷ç桫，由抽屉原理知，7个实数k a 中必有2个实数i j ,a a （不妨设i j a 砤）同属于某一个子区间内，而又因为每一个子区间的长度均为6p，则ij 06p-a，因此，其中存在两个实数i j ,,22骣p p ÷ça a ?÷ç÷ç桫，满足ij 0tan() -a成立．五、思想方法类比问题6：先阅读下列不等式的证法.再解决后面的问题：若12a ,a R Î，12a a 1+=，则22121a a 2+． 证明：构造函数2212f(x)(x a )(x a )=-+-． 因为对一切x R Î，恒有f(x)0³，即2221212f (x )2x 2(a a)x aa =-+++222122x 2x a a 0=-++ 对一切x R Î恒成立．所以221248(a a )0D =-+ ，从而得22121a a 2+． 现若12n a ,a ,,a R 鬃孜，12n a a a 1++鬃?=，请写出上述结论的推广，并加以证明．探究：由于函数与不等式有着深刻的内在联系，研究不等式通常需用函数的性质作为工具．已知这个不等式的证法是构造函数的方法，利用二次函数的性质并结合判别式，实现函数与不等式的转化思想.现在只是从二元()12a ,a 推广到n 元()12n a ,a ,,a 鬃 的情形，所以结论的推广和证明完全可以类比上述构造二次函数，与不等式转化的思想方法获得解决． 结论推广：若12n a ,a ,,a R 鬃孜 ，12n a a a 1++鬃?= ，则22212n 1a a a n++鬃? ． 证明：构造函数22212n f(x)(x a )(x a )(x a )=-+-+鬃?-222212n 12n nx 2(a a a )x a a a =-++鬃?+++鬃?222212n nx 2x a a a =-+++鬃? 因为对一切x R Î，恒有f(x)0³，所以22212n 44n(a a a )0D =-++鬃? ，从而证得：22212n 1a a a n++鬃? ． 六、无限有限类比 问题7：试求2n 11n¥=å. 探究：在不能运用极限方法求无限和的时候，我们可以通过无限和与有限和进行类比，寻找求解思路.设2n 次代数方程24n 2n012n a a x a x (1)a x 0-+-鬃?-=①有2n 个不同的根1122n n c ,c ,c ,c ,,c ,c --鬃?，则24n2n012n a a x a x (1)a x -+-鬃?-=222022212nx x x a (1)(1)(1)c c c --鬃?，比较等式两边2x 的系数得：n102k 1k1a a c ==å②，已知函数sinx 的展开式357x x x s i n xx 3!5!7!=-+-+鬃 ，且方程sinx 0=有无穷多个根为0,,2,3,眕眕眕鬃 ，它们也是无穷次方程357x x x x 03!5!7!-+-+鬃? 的根，则方程246x x x 103!5!7!-+-+鬃?③有无穷多个根为,2,3,眕眕眕鬃 ．上面的方程③左边有无穷多项，它并非代数方程，但把它当作方程①看待，运用②式进行无限与有限的类比．246sinx x x x 1x 3!5!7!=-+-+鬃?Q22222222x x x x (1)(1)(1)(1)(2)(3)(n )---鬃?鬃p p p p ，2222111113!(2)(3)(n )\=+++鬃?+鬃 p p p p ，从而有2222211116123n p =+++鬃?鬃 ，故22n 11n 6¥=p =å．由于这一结论建立在无限与有限类比之上，因此它只是一个大胆的猜想，为了验证这一猜想的可靠性，我们是可以运用复数的棣莫佛定理给予严格证明的（限于篇幅，证明从略）．总之，形神兼备的类比，其基本模式是：若A对象具有属性a、b、c、d，且B对象具有属性a、b、c，猜想：B对象具有属性d。
平面三角形与空间四面体之间的类比
平面三角形与空间四面体之间的类比平面三角形和空间四面体都是数学中常见的几何图形，它们之间存在一些有趣的类比关系。
在本文中，我们将探讨平面三角形与空间四面体之间的类比，并从几何特征、性质和应用等方面进行比较。
一、几何特征的类比1. 边和面的对应关系平面三角形由三条边和三个内角所构成，而空间四面体由四条边和四个面所构成。
在几何特征上，三角形的边与四面体的边相对应，三角形的内角与四面体的面相对应。
2. 顶点和角的类比平面三角形的顶点指的是三条边的交点，而空间四面体的顶点指的是四条边的交点。
类似地，三角形的内角可以与四面体的角对应。
二、性质的类比1. 周长和体积的对比平面三角形的周长是三条边的长度之和，而空间四面体的体积是四个面之间的空间体积。
尽管在维度上有所差异，但周长和体积都是这两个几何图形中重要的性质。
2. 相似性和全等性平面三角形和空间四面体都存在相似性和全等性的概念。
相似性可以描述两个图形在形状上的相似程度，全等性则表示两个图形在形状和大小上完全相同。
三、应用的类比1. 几何推理平面三角形和空间四面体的类比可以帮助我们进行几何推理。
通过观察和比较这两个几何图形的特征和性质，我们可以推导出一些结论，并解决相关的几何问题。
2. 网格剖分在计算机图形学中，平面三角形和空间四面体的类比有助于进行网格剖分。
通过将平面分割为许多小三角形，可以实现对平面的离散表示。
类似地，通过将空间分割为许多小四面体，可以实现对空间的离散表示。
3. 三维建模在三维建模领域中，平面三角形和空间四面体的类比经常被用于建立复杂物体的模型。
通过将平面的三角形连接起来，我们可以构建出各种形状的三维物体模型。
类似地，通过将四面体组合起来，可以构建出更复杂的三维物体模型。
结论通过对平面三角形和空间四面体之间的类比进行深入研究，我们可以发现它们之间存在着许多有趣的对应关系。
这些对应关系不仅有助于我们理解几何图形的特征和性质，还可以在几何推理、网格剖分和三维建模等领域中得到应用。
人教B版高中数学选修2-2课件2.1.1《合情推理(类比推理)》
与圆心距离相等的 与球心距离相等的两个截面圆的
两弦相等
面积相等
圆的周长C=πd
球的表面积S=πd2
圆的面积S=πr2
球的体积V=πr3
其中前三个类比得到的结论是正确的，最 后一个猜测则是错误的。由此可见，类比 的结论值具有或然性，即可能真，也可能 假。
虽然有类比所得到的结论未必是正确的， 但它所具有的有特殊到特殊的认识功能， 等于发现新的规律和事实却是十分有用的。
两弦相等
面积相等
圆
球
圆心与弦（非直径） 球心与截面圆（不经过球心的小 中点的连线垂直于 截面圆）圆心的连线垂直于截面
弦
与圆心距离相等的 与球心距离相等的两个截面圆的
两弦相等
面积相等
圆的周长C=πd
球的表面积S=πd2
圆
球
圆心与弦（非直径） 球心与截面圆（不经过球心的小 中点的连线垂直于 截面圆）圆心的连线垂直于截面
四面体的中截面（以任意三条棱 的中点为顶点的三角形）的面积 等于第四个面的面积的一半，且 平行于第四个面。
一般地，如果类比的相似性越多，相似的 性质与推测的性质之间越相关，那么类比 得出的命题就越可能为真。
例1．找出圆与球的相似性质，并用圆的下 列性质类比球的有关性质：
（1）圆心与弦(非直径)中点的连线垂直 于弦；
（2）与圆心距离相等的两弦相等； （3）圆的周长C=πd（d是直径）； （4）圆的面积S=πr2.
解：圆与球有下列相似的性质： （1）圆是平面上到一定点距离等于定长的 所有点构成的集合；球面是空间中到一定 点距离等于定长的所有点构成的集合； （2）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称 图形；球是空间中封闭曲面是围成的对称 图形。
高中数学课件
演绎归纳、类比
• 从某种意义上讲，类比是一种相似，两个 系统可以作类比，如果它们各自的部分之 间，在其可以清楚定义的一些关系上一致 的话。也就是说，相似对象彼此在某些方 面带来一致性。
• 例：空间四面体与平面上的三角形。 四面体是有空间中最少数目的平面围成的 有限几何体，三角形是有平面上最少数目 的直线围成的有限图形。四面体在空间的 位置与三角形在平面的位置是一致的，或 者说在这一点上是相似的，它们具有类比 关系。 类比的基础是事物之间的相似性或某种一 致性。只要两个对象有某个方面的相似性， 就可以类比，包括形式上的相似，结构上 的相似，内容上的相似，地位上的相似等 等。
什么是归纳
• 归纳法也称归纳推理，是指由个别到一般 的推理方法，即从两个或几个单称判断或 特称判断（前题）得出一个新的全称判断 （结论）的推理。
• 归纳是指由一类事物பைடு நூலகம்部分对象具有某一 属性，而作出该类事物都具有这一属性的 一般结论的推理方法。
• 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。 • 完全归纳法是指通过考察一类事物的全体 对象，肯定它们具有某一属性，从而做出 这类事物都有这一属性的一般性结论的归 纳推理方法。 • 不完全归纳法亦称部完全归纳推理，是指 根据考察的一类事物的部分对象具有某一 属性，而做出该类事物都具有这一属性的 一般结论的归纳推理。
• 在数学中，常进行两种不同内容的归纳。 11 122 2 例：1、计算 n n x 2、f x , 求f f f x ,
2
1 x
2
i bn 是 3、已知数列an ，其中 an ，数列 i 1 an 中的那些3的倍数由小到大排列而成的数列。 （1）试用k 表示 b2k 1 ,， b2k （2）求 bn 的前 2 m 项之和S 2 m 。
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平面三角形与空间四面体之间的类比
“类比是伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”（波利亚）。
新教材中引入类比这一内容，从根本上改变了我以往对数学的看法。
虽然我以前也知道到类比，但却不敢把它作为一种数学方法理直气壮地在课堂上讲授，让学生使用。
如今总算可以放开手脚，大胆应用了。
首先，平面三角形是平面几何中的一个基本图形，而四面体是立体几何中的一个基本图形。
二者之间有着密切的联系，同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系，一维空间与二维空间的联系，进一步可能有助于对多维空间的理解。
一、从概念上看：三角形是边数最少的多边形，四面体是面数最少的多面体。
二、三角形的任意两边之和大于第三边。
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。
三、任意一个三角形都有一个外接圆，即不共线三点确定一个圆，这个圆圆心称为三角形的外心，外心是各边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点距离相等。
任意一个四面体都有一个外接球，即不共面四点确定一个球；这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心，且它到四面体各顶点的距离也相等。
四、任意一个三角形都有一个内切圆，圆心称为三角形的内心，内心到各边距离相等，是三内角平分线的交点；
且设三角形的周长为c,内切圆半径为r,则三角形的面积为。
任意一个四面体都有一个内切球，球心到各个面的距离相等，是从六条棱出发的六个二面角的平分面的交点。
且设四面体的表面积为S,内切球半径为R，则四面体的
体积为。
五、正三角形棱长为a时，周长为3a,面积为，高为，外接圆半径为，内切圆半径为。
外接圆半径是内切圆半径的2倍。
正四面体棱长为a时，表面积为，高为，外接球半径为，
内切接球半径为。
外接球半径是内切球半径的3倍。
六、任意三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（重心定理）如图1所示：G为的重心。
且
任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点，正是四面体的物理重心，且四面体的重心到顶点的距离是它到对面重心距离的3倍。
（重心定理的推广）
如图2所示：E，F分别为的重心，AE与BF相交于点G，则G为四面体A-BCD的重心。
七、三角形中三个顶点的坐标分别为，
则它的重心坐标为。
四面体中四个顶点的坐标分别为，，
则它的重心坐标为。
八、三角形中有余弦定理：。
在四面体A-BCD中，顶点A,B,C,D所对底面面积分别为；以四面体的各棱为棱的二面角大小分别
为。
则有。
余弦定理证明如下：
证明：在中利用射影定理有
由上面三式得：
向量证明
中，，，：
空间中的余弦定理类比证明如下：
证明：由空间的射影定理知
H为点A在平面BCD中的射影，则
同理有：
于是有
=+
+
所以：。
点评：在上面的推理论证中，我们不光从已知、结论上进行了类比，而且对证明过程也进行了类比。
充分体现了类比的“引路人”作用。
九、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
这是勾股定理，它是余弦定理的一种特殊情形。
于是可利用余弦定理证明。
在有三个面两两互相垂直的四面体中，三个“直角面”的面积平方和等于“斜面”的面积平方。
这是推广的勾股定理，它也正好是前面推广的余弦定理的特殊情形。
于是它可利用推广的余弦定理证明。
十、三角形中有正弦定理：
证明：在中，有
于是有即：。
同理可证：。
而在四面体ABCD中，设棱AB与面ACD，面BCD所成角分别为，则。
证明：如图4：作AH垂直平面BCD，H为垂足。
则就是AB与平面BCD所成角。
所以AH=AB。
所以同理：
所以即。
十一、已知点O是内任意一点，连接AO,BO,CO并延长交对边于A’，B’，C’，
则。
证明：如图5所示，
因为与同底，所以同理：；
所以
而在空间四面体ABCD中也可有类似命题：已知点O是四面体ABCD内任意一点，连接AO,BO,CO,DO并延长交对面于A’，B’，C’，D’, 则。
证明：如图6所示，
因为三棱锥O-BCD与三棱锥A-BCD同底; 所以同理：；
所以。