垂直关系的判定数学ppt
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
垂直关系的判定-课件ppt
北师大版必修二第一章第六节第一课时
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直示例
栽树问题
M
E
A C
DP3 OB
F
P1 P2
概念
• 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面垂直.
• 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任 何一条直线都垂直.
概念辨析与应用
作业
•作业本作业：课本第41页第4题和第5题；
•课外探究：1、课本第36页第3题； •2、如何证明直线与平面的判定定理
பைடு நூலகம்
• (1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直， 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
• (2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条直 线垂直于梯形所在的平面.( )
• (3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这 条直线垂直于三角形的第三边.( )
典例剖析
O
小结
• 1、本节课主要学习了哪些知识？ • 概念、定理。 • 2、探究概念定理时所采用了什么方法？ • 生活实例、实验演示、类比联想等. • 3、解题过程中用了什么方法？体现了什么思想？ • 线线垂直与线面垂直的不断转化, • 从条件出发推理，从问题入手分析. • 4、你觉着本节课还有什么遗憾没有？ • 课后探究
•（1）如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，则这条 直线和这个平面垂直。
•（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面。
l
判定定理 • 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线 与此平面垂直。
定理应用
• 1、生活实例
• 2、折纸
• 3、判断错对
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直示例
栽树问题
M
E
A C
DP3 OB
F
P1 P2
概念
• 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面垂直.
• 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任 何一条直线都垂直.
概念辨析与应用
作业
•作业本作业：课本第41页第4题和第5题；
•课外探究：1、课本第36页第3题； •2、如何证明直线与平面的判定定理
பைடு நூலகம்
• (1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直， 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
• (2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条直 线垂直于梯形所在的平面.( )
• (3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这 条直线垂直于三角形的第三边.( )
典例剖析
O
小结
• 1、本节课主要学习了哪些知识？ • 概念、定理。 • 2、探究概念定理时所采用了什么方法？ • 生活实例、实验演示、类比联想等. • 3、解题过程中用了什么方法？体现了什么思想？ • 线线垂直与线面垂直的不断转化, • 从条件出发推理，从问题入手分析. • 4、你觉着本节课还有什么遗憾没有？ • 课后探究
•（1）如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，则这条 直线和这个平面垂直。
•（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面。
l
判定定理 • 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线 与此平面垂直。
定理应用
• 1、生活实例
• 2、折纸
• 3、判断错对
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件
a⊥β α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ交于b， 因为直线a//，所以a//b
β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
证明问题：
已知： ， A , C B , 且 D C A . 求D 证：B CD
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂直
线面垂直 面面垂直
定义
性质
问题2 , a , a , 判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， ， 知直 平 a,且 线 面 ,A,B
a/ /,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
符号语言：
ab
a ,b a //b
α
线面垂直关 系
最新版整理ppt
线线平行关 系
3
平面与平面垂直的性质
温故知新
直线与平面垂直的判定PPT课件
例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
线面垂直的判定。PPT
高中数学模块2 高中数学模块2第二章
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
旗杆与地面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例， 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？ 几个吗？
大桥的桥柱与水面垂直
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
ι
⊂ α ,a∩b=p, ι ⊥ a, ι⊥b,
b
α
p
注意:定理中的”两条相交直线”这一条件不可忽视。
简记为： 简记为：线线垂直
线面垂直
判断：
1.如果一条直线 和一个平面内的无数条 无数条直线都垂 1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 互相垂直（ ） 直，则直线 l 和平面 α互相垂直（
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
发现： 发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，这样翻折 之后竖立的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌 面α垂直，其他位置都不能使AD与桌面α垂直。
A
B
D
C
折图
A A
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
B
D
C
α
B C
D
①折痕AD与桌面α上的一条直线垂直，是否足以保 证AD垂直桌面α? ②由折痕AD⊥BC，翻折之后这一垂直关系是一个不 变关系，即有AD⊥CD，AD⊥BD，你能得到什么结 论呢？ ι 定理： 定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直。 a 若a ⊂ α ,b 则 ⊥ α.
当堂检测
V
1.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有 A 直线m,使m与l( B ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2.如图，PA ⊥ 面ABC, ΔABC中， ACB =90°， ∠ 4 则图中RtΔ的个数为_____个. 3.两条直线和一个平面所成的角相等，这两 条直线一定平行吗？若两条直线平行，则它 们与一个平面所成的角一定相等吗？ 4.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC, AB=BC,求证 VB ⊥ AC
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
旗杆与地面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例， 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？ 几个吗？
大桥的桥柱与水面垂直
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
ι
⊂ α ,a∩b=p, ι ⊥ a, ι⊥b,
b
α
p
注意:定理中的”两条相交直线”这一条件不可忽视。
简记为： 简记为：线线垂直
线面垂直
判断：
1.如果一条直线 和一个平面内的无数条 无数条直线都垂 1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 互相垂直（ ） 直，则直线 l 和平面 α互相垂直（
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
发现： 发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，这样翻折 之后竖立的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌 面α垂直，其他位置都不能使AD与桌面α垂直。
A
B
D
C
折图
A A
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
B
D
C
α
B C
D
①折痕AD与桌面α上的一条直线垂直，是否足以保 证AD垂直桌面α? ②由折痕AD⊥BC，翻折之后这一垂直关系是一个不 变关系，即有AD⊥CD，AD⊥BD，你能得到什么结 论呢？ ι 定理： 定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直。 a 若a ⊂ α ,b 则 ⊥ α.
当堂检测
V
1.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有 A 直线m,使m与l( B ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2.如图，PA ⊥ 面ABC, ΔABC中， ACB =90°， ∠ 4 则图中RtΔ的个数为_____个. 3.两条直线和一个平面所成的角相等，这两 条直线一定平行吗？若两条直线平行，则它 们与一个平面所成的角一定相等吗？ 4.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC, AB=BC,求证 VB ⊥ AC
垂直关系的判定及其性质ppt课件演示文稿
题型三 面面垂直 【例3】 (2011· 聊城模拟)如图，菱形ABCD所在平面与矩形 ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)求证：平面DEF⊥平面BEF.
(1)如图，设AC∩BD＝O，连接OE，由题意得EM＝ EF＝ AC＝AO. 2 2 ∵EM∥AO， ∴四边形EOAM为平行四边形，EO∥AM. ∵EO⊂平面BDE，AM⊄平面BDE. ∴AM∥平面BDE. (2)如图，连接DM，BM，MO.∵AF⊥AC，EC⊥AC，平面ACEF⊥平面 ABCD，∴AF⊥平面ABCD，EC⊥平面ABCD，∴AF⊥AD，EC⊥DC，又四 边形ABCD为菱形， ∴AD＝DC，∴DF＝DE. 又点M是EF的中点，∴ DM⊥EF. 1 ∵BD＝2AF，∴DO＝2 BD＝AF＝MO， ∴∠DMO＝45°，同理，∠BMO＝45°， ∴DM⊥BM. 又EF∩BM＝M，∴DM⊥平面BEF.
1
1
变式3-1 (2011· 江苏海安如皋联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1.
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以 AC⊥BD，A1A⊥平面ABCD， 而BD⊂平面ABCD，于是BD⊥A1A. 因为AC、A1A⊂平面A1ACC1且AC交A1A于点A， 所以BD⊥平面A1ACC1. 因为BD⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面 A1ACC1.
2. 平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ________，就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的________，则这 两个平面互相垂直． (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 __________的直线垂直于另一个平面．
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件
24
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
垂直关系课件
2．面面垂直的性质 (1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个 平面．此种方法要注意“平面内的直线”． (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直
于第三个平面．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
AC＝BC，点D是AB的中点． (1)求证：BC1∥平面CA1D； (2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B. 证明： (1)连结AC1交A1C于E， 连结DE，
化的关系和没有变化的量．把平面图形的垂直关系运用到空间图形中去， 又将空间中的有关问题放到平面中去计算，常可以使问题得以顺利解 决．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
如图(1)，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，
∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且 使平面PBD⊥平面BCD，如图(2)．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点．
又D是AB的中点，∴在△ABC1中，DE∥BC1. 又DE平面CA1D，BC1⃘平面CA1D， ∴BC1∥平面CA1D. (2)∵AC＝BC，D为AB的中点，
∴在△ABC中，AB⊥CD.
又AA1⊥平面ABC，CD平面ABC， ∴AA1⊥CD.又AA1∩AB＝A， ∴CD⊥平面AA1B1B. 又CD平面CA1D，
∴AD⊥平面PGB.∵PB Nhomakorabea面PGB， ∴AD⊥PB.
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
两条直线平行和垂直的判定ppt课件
6. 过 Am,1 与 B(1, m) 的 直 线 与 过 点 P(1,3) ， Q(5,0) 的 直 线 垂 直 ， 则
-3 m _____________.
解析：过点
Am,1
与
B(1,
m)
的直线的斜率为
m 1 1 m
,
过点 P(1,3) ， Q(5,0) 的直线的斜率为 3 0 1 , 15 2
l1 l2 k1k2 1 .
直线斜率 对应关系
图示
k1，k2 都存在 若 l1⊥l2 ⇔ k1·k2 = – 1
y
l1
l2
x
O
一条斜率不存在，另一条斜率为零
l1与l2的位置关系是 l1⊥l2
y
l2
l1
O
x
注意：“两条直线的斜率之积等于–1”是“这两条直线垂直”的充 分不必要条件；因为两条直线垂直时，除了斜率之积等于 –1，还有 可能一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0.
值范围及正切函数的单调性可知，1 2 ，因此l1 l2 .
y l1 l2
α2 α1
O
x
对于斜率分别为 k1 ， k2 的两条直线l1 ，l2 ，有 l1 l2 k1 k2 .
注意:当1 2 90 时，直线的斜率不存在，此时l1 l2 . 若直线 l1 ，l2 重合，此时仍然有 k1 k2 .用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
不存在，下面对 a 进行讨论：当 a 2 3 ，即 a 5 时，l1 的斜率不存在，l2 的斜率
为 0，此时满足 l1 l2 .当 a 2 3，即 a 5 时，直线l1 ，l2 的斜率均存在.设直线l1 ，
l2
的斜率分别为 k1
，k 2
直线与平面垂直的判定和性质PPT
4.如图所示：在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC= 60 PA=AC=a, PB=PD= 2a 求证：PA⊥面ABCD
解析：利用勾股定理得线线垂直，再由判 P 定定理得线面垂直。
证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC= 60
∴AB=AD=AC=a
A
在△PAB中，由 PA2 AB2 2a2 PB2
1.直线与平面垂直的定义，垂线、垂面、垂足的概念。
2.直线与平面垂直的判定：（三种方法）
（1）用定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，
就说直线 l 与平面α互相垂直。
（2）用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两相交直线都垂直，则该 直线与此平面垂直。
（3）利用例1的结论：
∴PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．
(4)如图 25，
图 25 P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心．
A．有且只有一个
B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个
D．—定不存在
(2)正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且 PA⊥平面ABCD，则在△PAB、 △PBC、△PCD、△PAD、 △PAC及△PBD中， 为直角三角形有___5___个
知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
在RtA1BO中，A1B
2a, BO 2 a, 2
直线与平面垂直的判定公开课ppt课件
证明两平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
直线与平面垂直的判定-PPT课件
作业
P41 习题1-6 A组 第7题
正确的是（ B）
A.(1)(3)(4)
BHale Waihona Puke (1)(4)C.(1)D.都正确
3.有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长
10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上
的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果
这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和
地面垂直，为什么？
A
C
BD
课堂小结
判定定理的 简单应用 线面垂直的 判定定理 线面垂直的 定义
直线与平面的 一条边垂直
l
P
如果一条直线垂直于一个平面内
的无数条直线，那么这条直线是否
与这个平面垂直？
A
不一定
C C
B B
那我们如何判定直线与平面垂直呢？
动手实践
α
设想把书中的一页取掉，那么这种性质改变吗？ 换个角度再想，要想这种性质不变，至少保留 多少页才合适？
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
√ 直，则直线与此平面垂直
定理应用
例1、如图所示，在RtAB中C， B，点90Ｐ0 为 所在A平B面C外一点， 平面 P．A 问 四面A体BC 共有几个PA直B角C 三角形？
注意：
直线与平面之间的垂直关系，可以相互转化， 当线垂直面时，线就会垂直平面内的所有线； 当一条直线垂直于一个平面内的相交直线时， 这条直线就垂直于这个平面．
该直线与此平面垂直．
线不在多，
重在相交
l
la
b
Aa
l b a
l
b
a b A
思想： 直线与平面垂直
直线与平面垂直的判定定理完美版PPT
定理:一条直线如果与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
பைடு நூலகம்
探究2.
有一旗杆高8米，在它的顶点处系两条长10 米的绳子，拉紧绳子并把它们的另一端固定 在地面的两点上，这两个点离旗脚多远就能 保证旗杆和地面垂直，为什么？
VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC
解：取AC的中点P，连接VP、VB V
∵VA=VC,且P为AC的中点
\ACVP 同理ACBP
又VP 面VPB,PB 面VPB A
P
C
且VP∩BP=P
\ AC面VPB \ ACVB
B
正方体中存在哪些线面垂直关系
(可添加对角线)
A
B
A
B
D
C
D
C
A` D`
B`
A`
直线与平面垂直的判定定理
直立的书本
1.直线与平面垂直的定义：
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，
我们就说直线 l 与平面 垂直，记作 l.
直线 l 叫做平面 的垂线，
平面 叫做直线 l 的垂面。
l
直线与平面的交点叫做垂足。
mP
探究1:过△ABC的顶点A翻折三角形 纸片得到折痕AD,将翻折后的 纸片竖起放置在桌面上，
1）折痕AD是否与桌面垂直 2）如何翻折才能使折痕AD与桌面
所在的平面垂直 A
B
D
C
2.直线与平面垂直的判定定理
定理:一条直线如果与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
l
n
Am
例1．如图，已知 a∥b ，a ⊥ ，
求证：b ⊥
a
b
m
An
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证明：过A做AD垂直于PB，垂足是D
求证：BC⊥AB 平面PAB 平面PBC, AD PB
AD 面PBC
AD BC 又 PA 平面ABC
PA BC 又 AD PA A BC 平面PAB
BC AB
研一研·问题探究、课堂更高效
小结:一证明线线垂直往往要证线面垂直；二证明线面垂直，
能力，几何直观感知能力；感悟和体验线面垂直和面面垂
直转化为线线垂直的思想方法．
研一研·问题探究、课堂更高效
[问题情境]
我们知道“在平面内，如果两条直线同垂直于另”．在空间中有相同或者类似的结
时
论吗？
栏
目
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 直线与平面垂直的性质 问题 1 观察下图，两个长方体中的直线 a，b 与平面 α 有怎
本
①垂直于同一直线的两条直线平行；
课
②垂直于同一直线的两个平面平行；
时
③垂直于同一平面的两条直线平行；
栏 目
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是
(B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选 B.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 平面与平面垂直的性质
样的关系？由此你能得出直线 a，b 有什么关系吗？
本 课 时 栏 目
答 直线 a 与直线 b 都垂直于平面 α，这时 a∥b.
抽象概括
定理6.3 直线与平面垂直的性质定理：如果 两条直线同垂直于 一个平面，那么这两条
直线平行。
符号语言：
a b
a
/
/b
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．下列命题：
∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD.
研一研·问题探究、课堂更高效
又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，
本
课
所以 AD⊥平面 PBG，
时 栏
所以 AD⊥PB.
目
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，
证明： 面ADE 面BCDE, AD DE
AD 面BCDE
AD BC 又 BC CD, AD CD D BC 面ACD
又 BC 面ABC 面ACD 面ABC
跟踪训练 2 如图所示，P 是四边形 ABCD 所
在平面外的一点，ABCD 是∠DAB＝60°且边长
为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平
本 除利用定义和判定定理外，另外一种重要的方法是利用面面
课 时
垂直的性质定理证明，应用时应注意：(1)两平面垂直；(2)
栏 目
直线必须在一个平面内；(3)直线垂直于交线．
跟踪训练1
如图，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使 得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE．求证：平 面ABC⊥平面ACD．
面垂直于底面 ABCD.G 为 AD 边的中点．
本
(1)求证：BG⊥平面 PAD；
课
(2)求证：AD⊥PB.
时 栏
证明 (1)由题意知△PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点，
目
∴PG⊥AD.
又平面 PAD⊥平面 ABCD，
∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°，
《垂直关系的性质》
6.2 垂直关系的性质
[学习要求]
1．理解并掌握直线与平面，平面与平面垂直的性质定理；
2．会应用两个性质定理证明有关平行或垂直的问题．
本 课
[学法指导]
时
通过借助对图形的直观感知，操作确认，提炼出直线与平
栏
面，平面与平面垂直的性质定理；通过两个性质定理的学
目
习，培养和发展推理论证能力，运用图形语言进行交流的
抽象概括
• 定理6.4 面面垂直的性质定理：如果两个 平面互相垂直，那么在一个其中平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
符号语言：
AB
=MN MN
AB
AB 试写出BC 的情况
下面请大家一起记忆这两个定理,时间2分钟
例1
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面 PAB⊥平面PBC．
问题 1 观察下面两个图，两个长方体中的平面 α 和 β 垂直
相交于直线 b，平面 α 内的直线 a 与直线 b 及平面 β 有怎
样的关系？由此你能猜想出怎样的结论？
本
课
时
栏 目
答 直线 a 与直线 b 垂直，直线 a 与平面 β 也垂直．由此可
猜想出：若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面．
利用垂直关系可判定平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即
本
两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于
课 时
这个平面．
栏 目
2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．
作业
• 一默写两个性质定理 • 二跟踪训练1，2
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求证：BC⊥AB 平面PAB 平面PBC, AD PB
AD 面PBC
AD BC 又 PA 平面ABC
PA BC 又 AD PA A BC 平面PAB
BC AB
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小结:一证明线线垂直往往要证线面垂直；二证明线面垂直，
能力，几何直观感知能力；感悟和体验线面垂直和面面垂
直转化为线线垂直的思想方法．
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[问题情境]
我们知道“在平面内，如果两条直线同垂直于另”．在空间中有相同或者类似的结
时
论吗？
栏
目
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 直线与平面垂直的性质 问题 1 观察下图，两个长方体中的直线 a，b 与平面 α 有怎
本
①垂直于同一直线的两条直线平行；
课
②垂直于同一直线的两个平面平行；
时
③垂直于同一平面的两条直线平行；
栏 目
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是
(B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选 B.
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探究点二 平面与平面垂直的性质
样的关系？由此你能得出直线 a，b 有什么关系吗？
本 课 时 栏 目
答 直线 a 与直线 b 都垂直于平面 α，这时 a∥b.
抽象概括
定理6.3 直线与平面垂直的性质定理：如果 两条直线同垂直于 一个平面，那么这两条
直线平行。
符号语言：
a b
a
/
/b
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．下列命题：
∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD.
研一研·问题探究、课堂更高效
又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，
本
课
所以 AD⊥平面 PBG，
时 栏
所以 AD⊥PB.
目
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，
证明： 面ADE 面BCDE, AD DE
AD 面BCDE
AD BC 又 BC CD, AD CD D BC 面ACD
又 BC 面ABC 面ACD 面ABC
跟踪训练 2 如图所示，P 是四边形 ABCD 所
在平面外的一点，ABCD 是∠DAB＝60°且边长
为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平
本 除利用定义和判定定理外，另外一种重要的方法是利用面面
课 时
垂直的性质定理证明，应用时应注意：(1)两平面垂直；(2)
栏 目
直线必须在一个平面内；(3)直线垂直于交线．
跟踪训练1
如图，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使 得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE．求证：平 面ABC⊥平面ACD．
面垂直于底面 ABCD.G 为 AD 边的中点．
本
(1)求证：BG⊥平面 PAD；
课
(2)求证：AD⊥PB.
时 栏
证明 (1)由题意知△PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点，
目
∴PG⊥AD.
又平面 PAD⊥平面 ABCD，
∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°，
《垂直关系的性质》
6.2 垂直关系的性质
[学习要求]
1．理解并掌握直线与平面，平面与平面垂直的性质定理；
2．会应用两个性质定理证明有关平行或垂直的问题．
本 课
[学法指导]
时
通过借助对图形的直观感知，操作确认，提炼出直线与平
栏
面，平面与平面垂直的性质定理；通过两个性质定理的学
目
习，培养和发展推理论证能力，运用图形语言进行交流的
抽象概括
• 定理6.4 面面垂直的性质定理：如果两个 平面互相垂直，那么在一个其中平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
符号语言：
AB
=MN MN
AB
AB 试写出BC 的情况
下面请大家一起记忆这两个定理,时间2分钟
例1
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面 PAB⊥平面PBC．
问题 1 观察下面两个图，两个长方体中的平面 α 和 β 垂直
相交于直线 b，平面 α 内的直线 a 与直线 b 及平面 β 有怎
样的关系？由此你能猜想出怎样的结论？
本
课
时
栏 目
答 直线 a 与直线 b 垂直，直线 a 与平面 β 也垂直．由此可
猜想出：若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面．
利用垂直关系可判定平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即
本
两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于
课 时
这个平面．
栏 目
2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．
作业
• 一默写两个性质定理 • 二跟踪训练1，2
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