经济数学微积分期末复习资料
大学微积分期末复习重点
大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。
期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。
以下是大学微积分期末复习的重点内容。
一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。
熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握函数的四则运算和复合函数的求法。
2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。
掌握极限的四则运算法则和存在准则。
熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。
掌握无穷小的比较和运算。
二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。
掌握导数的物理意义和经济意义。
2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。
掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。
会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。
掌握微分的计算方法和应用。
三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。
2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。
求函数的极值和最值。
3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。
求函数的拐点。
4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。
四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。
掌握不定积分的基本性质。
2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。
掌握换元积分法和分部积分法。
五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。
掌握定积分的基本性质。
2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。
会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。
（完整版）微积分复习资料
（完整版）微积分复习资料基本知识复习⼀、不定积分1．不定积分概念，第⼀换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的⼀个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的⼀个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+?（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=?2。
()()'F x dx F x C =+? 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+（3）基本不定积分公式表⼀()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x x µµµµ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+（3）第⼀换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du =??=?2．第⼆换元积分法，分部积分法（1）第⼆换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.⼜设()()'f t t ψψ具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-??这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-??（3）基本积分公式表⼆(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三⾓函数有理式的积分，某些简单⽆理式的积分⼀、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，⼜称为有理分式.我们总假定分⼦多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分⼦多项式()P x 的次数⼩于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利⽤多项式的除法,总可以将⼀个假分式化成⼀个多项式与⼀个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分⽅法.对于真分式()()n m P x Q x ,⾸先将()m Q x 在实数范围内进⾏因式分解,分解的结果不外乎两种类型:⼀种是()kx a -,另外⼀种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若⼲个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.⼆、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++?解由三⾓函数知道,sin x 与cos x 都可以⽤tan2x的有理式表⽰,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ ⽽2arctan ,x u =从⽽2.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222 xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++??+ ?++??=??-+ ?++??=++=+++ ?=+++例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从⽽所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =?=++?=-=-++??=+ 例6求u =,于是322,3,x u dx u du =-=从⽽所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+?=-+ +=-+++=+例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从⽽所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++?=-=-+ +=+例8求解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从⽽所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-?=----?=-+=--+ -+=-++--+=-++⼆、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。
微积分总复习
微积分总复习第二章经济变化趋势的数学描述一、极限的计算1、代入法【适用形式】x 0在初等函数f (x )的定义区间内。
【方法】计算极限)(lim 0x f x x →时，可以把x 0代入f (x )以得到极限的结果：)()(lim 00 x f x f x x =→。
【例】计算极限：①11lim 223-+→x x x ；②130)2(lim -→-x x x 。
2、初等方法⑴消零法【适用形式】函数为分式，分子、分母都是多项式且都是无穷小量。
【方法】将分子、分母分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。
【例】计算极限：①465lim 222-+-→x x x x ；②423lim 4-+-→x x x x 。
⑵消极大公因子法【适用形式】函数为分式，分子、分母都是多项式或含有根式、指数、正(余)弦，且分子、分母都为无穷大量。
【方法】分子、分母都是多项式或含有根式时把分子、分母同除以变量最高次数，然后利用01lim =∞→x x 、极限的四则运算计算极限；分子、分母含有指数时除以底数较大(指数为无穷大量)或较小(指数为无穷小量)的指数形式然后利用)10(0lim <<=+∞→a a x x (或)1(0lim <=+∞→q q n n )、极限的四则运算计算极限。
【例】计算极限：①)14()13()12()1(lim 423324++++∞→x x x xx ；②112lim -+∞→n n n ；③1154255232lim ++∞→++??++x x x x x x x 。
⑶有理化法【适用形式】函数为分式，分子或分母含有根号且根式阻碍了极限的计算(特别是有根式相减)。
【方法】将根式有理化。
【例】计算极限：)2)(1(lim 2+-+∞→n n n n 。
⑷通分法【适用形式】函数为两个分式相减或分式与其他形式相减，且都不能直接代入(即两个无穷大量相减)。
【方法】通分。
【例】计算极限：)11411(lim 3----∞→x x x n 。
微积分复习资料
09—10学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章 函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。
二．复习要求1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。
2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。
3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。
其中⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln vv u ue =⑵.对于反三角函数arctan y x =不仅要熟习它的定义域、值域及简单性质，还要熟记它在特殊点的函数值.4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。
5、 知道分段函数，隐函数的概念。
. 三．例题选解例. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.4352x x y e-=⑵.2arctan ln(1)y x ⎡⎤=+⎣⎦分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是简单函数。
解：⑴.43,,5,2u y e u v w v x w x==-==⑵.2arctan ,ln ,1y u u v v x ===+四．练习题及参考答案1. ()arctan f x x =则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = . 2.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.ln(2)y x =-答案：1.（-∞ +∞）, (,)22ππ-,,04π.2. ⑴.,3u y e u x ==-⑵.ln ,2.y u u x ==-自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶。
第二章 极限与连续一．本章重点极限的计算，初等函数的连续性。
二．复习要求1．了解变量极限的概念，掌握函数f (x )在x 0点有极限的充要条件是：函数在x 0点的左右极限都存在且相等。
微积分复习资料_微积分公式运算法则
《 微积分》综合复习资料一、填空题1、设1ln ,0,()1,0x x f x x x+>⎧⎪=⎨<⎪⎩，则)(x f 的定义域 ,1()f e = .2、曲线2xy x e =+在点（0，1）处的切线方程是 .210,2Q C Q Q =+=3、设产量为时的成本为则产量时的平均成本 边际成本为4、设21,11,()1,13,x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨-<≤⎩，则(1)f = .(0)f = (2)f =5、曲线ln y x x =在点（1，0）处的法线方程是: .6、3(),()f x dx x C f x dx '=+=⎰⎰则7、设111)(++-=x x x f ，则)(x f 的定义域 ,(1)f x += . 8、曲线1xy x=+的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 。
9、设需求函数为505,Q P =-2P =时的边际收益为 10、设21()1f x x=++，则)(x f 的定义域 ,2()f x π+= . 11、曲线41y x =+在点(1,2)处的切线方程是 。
12、设需求函数时的边际收益为则销售量2,210=-=Q QP . 二、选择题1、 下列函数中的奇函数是（ ）(a)2()sin ,[0,1]f x x x x =+∈ (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 2()tan(1),(,)f x x x =+∈-∞+∞ 2、下列级数中绝对收敛的是（ ）(a)∑∞=121n n (b) ∑∞=-1)1(n nn (c)14()n n ∞=π∑ (d) 11n n n ∞=+∑ 3、下列算式中不正确的是（ ）(a)(sin )sin cos x x x x x '=+ (b)22()x x e e '=(c)2()2d x xdx +π= (d)1ln(1)1d x dx x+=+ 4、下列函数中函数是非奇非偶的函数是（ ）(a)2()sin ,[1,1]f x x x x =+∈- (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 24()log (1),(,)f x x x =+∈-∞+∞5、若130(4)0x k dx -=⎰，则k=（ ）(a) -1 (b) 1 (c) 0 (d) 26、下列算式中不正确的是（ ）(a)2(ln )2ln x x x x x '=+ (b)(sin 2)2cos 2x x '= (c)2()d x xdx +π= (d)222ln(1)1d xx dx x +=+ 7、下列函数对中是偶函数的是（ ）(a)53)(x x f = (b)x x x x x f cos 1)(224++=(c)x x x f sin )(+= (d)2)(x x x f +=8、2211(),121x x f x x kx x ⎧-≤==⎨->⎩在点连续，则k=( ) (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 19、下列极限中能用罗必达法则计算得出结果的是（ ） (a)21lim1++→x x x (b) )1sin(1lim 1--→x x x(c) xx xx x sin sin lim +-∞→ (d) x x x x x e e e e --+∞→+-lim10、下列函数中既是偶函数又是有界函数的是（ ） (a)]1,0[,)(2∈=x x x f (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) ),(,11)(2+∞-∞∈+=x xx f 11、31(),11x kx f x x x kx -≤⎧==⎨+>⎩在处连续，则k=( ) (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 12、下列算式中不正确的是（ ）(a)x xt e dt e dx d =⎰0 (b))()(x f dx x f dxd =⎰(c)C x dx x dx d +=⎰22sin )(sin (d)1cos cos xdtdt x dx =⎰三、判断题1、已知2(1)1,f x x -=+则2()22f x x x =++（ ）2、如果极限lim ()x af x →存在，则函数()f x 在点a 连续 ( )3、已知边际收益函数为()2R p p '=，则总收益函数为2()R p p =( )4、函数()sin(21)f x x =+是周期函数，也是有界函数( )5、如果函数()f x 在点a 的导数存在，则()f x 在点a 连续。
微积分-期末复习总结整理-第一章.docx
第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。
2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。
二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。
显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。
当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。
第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。
经济数学微积分复习资料(1)
17级《经济数学》复习题一、函数的定义域：1、21ln(1)arcsin 3x y x -=-+ 2、211y x =+- 3、arcsin y x = 4、y5、下列函数哪些是同一函数1)()f x =x x g =)(2) 2()ln f x x =,()2ln g x x =;3) ()arcsin arccos f x x x =+ ，()2g x π=;4)()f x =()f x = 5)()f x =()g x x = ;6) 22()sin cos f x x x =+,()1g x =;7) ()arctan arccot f x x x =+,()2f x π=8)1()lnx f x x-=,()ln(1)ln f x x x =-- 二、求极限：1、sin 1lim(sin )x x x x x→∞+2、01lim arctan x x x→3、201lim sin x x x→4、20152052lim 321x x x x x →∞++++5、203050(31)(23)lim (71)x x x x →∞-++ 6、3222(32)lim (21)(34)x x x x x x →∞++++7、1lim sinx x x→∞8、3232lim 31x x x x x →∞++++9、02lim sin x x x e e xx x-→---10、21lim 221-+-→x x x x11、2sin lim0-+--→x x x e e xx12、201sin lim xx e x x --→ 13、lim xx x a x a →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭ 14、1lim 1xx x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 15、23lim 1x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭16、lim 1xx x x →∞⎛⎫⎪-⎝⎭ 17、1lim 2xx x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 18、32lim 1x x x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭19、20sin 1lim x x e x x →--20、332132lim 1x x x x x x →-+--+21、202lim x x x e e x -→+-22、2)1(lim xx x x +∞→ 23、1lim 0-→x x e x24、xx e 10lim →25、11lim 21--→x x x26、11ln dtlim1xx t x →-⎰27、02tan dt limxx t x →⎰28、0(3)()limh f x h f x h→--三、连续1、函数2sin 20()0xx f x x x k x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩在0=x 处连续，求k2、设函数293()33x x f x x k x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩连续，求K.3、设函数0()0x e x f x x k x ⎧<=⎨-≥⎩连续，求K.4、设函数sin 0()cos 0xx f x xx k x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩连续，求K 5、设函数211()1kx x f x xx -<⎧=⎨≥⎩连续，求K 四、导数与微分：1. 曲线ln y x =在点（1,0）处的切线方程2. 曲线1y x =在点1(3,)3处的切线方程 3. 曲线xy xe =在点(0,0)处的切线方程4. 求曲线2(1)arctan y x x =+在点(0,1)处的切线方程5. 设(sin cos )2sin 2f x x x +=+,则()f x '6. 设()cos 2,xf x x x e =++求(0)f '' 7. 设2(1)1f x x x +=-+,求"()f x 8.设ln(y x =，求y '9. 设,arcsin )(x x f =求()f x 在0x =处的微分 10. 函数2(41)arctan 2y x x =+，求dy ,y '' 11. 函数21(1)xy x e +=+，求dy ,y ''12. 函数arccot(21)y x =+，求dy ,y ''13. 函数arcsin 2y x =，求dy ,y '' 14. 函数38cos y x x x =+-，求dy ,y ''15. 函数()ln a xf x a x-=+，求dy ,y '' 16. 已知函数()2ln 1y x =+，求y '，dy ,y ''17. 已知函数()2sin y x=，求dy ,y ''.18. 函数2cos(1)y x =-，求dy ,y '' 19.设函数已知y = (0) '''及y y . 20. 函数y =dy ,y ''21. 函数2(41)arctan 2y x x =+，求dy ,y ''22. ()xydy y y x e dx=函数由方程-e -sinxy=0确定，求,dy. 23. ()y y x =是由方程0x yxy e e -+-=确定的隐函数，求dy dx24. 2()10x y dy y y x e xy y dx +=++=函数由方程确定，求,dy.25. ()y y x =是由方程2yy xy e e --=确定的隐函数，求dy dx26. ()y y x =是由方程3330x y axy +-=确定的隐函数，求dy dx ，()1,1dy dx27. ()y y x =是由方程32236x y xy +=确定的隐函数，求dy dx.28. 求方程333x xy y +-=确定的隐函数的导数dy dx.五、积分：1. 若()f x 的一个原函数为cos x ,求()f x dx '⎰2. 已知tan(3)x是()f x 的原函数，求()f x dx ⎰.3. 若()f x 的一个原函数为xxe , 求()xf x dx '⎰4. 若()=sin f x x ,求'()f x dx ⎰5.若()cos f x x =，求()f x dx '⎰ 6. 已知()f x 的导数为cos x ，求()f x dx ⎰7. 2()sin 2f x dx x x C =++⎰若成立，求()f x8. sin cos x xdx ⎰ 9.2cos(1)x x dx +⎰10. ⎰+dx ee xx5 11. 2-xxe dx ⎰12.22cos 2sin cos xdx x x ⎰13. 11cos 2dx x +⎰14. 1(1)dx x x +⎰15. 221x dx x +⎰ 16. 11xdx e +⎰17. 1xxe dx e +⎰ 18.⎰ 19. 2cos sin x xdx ⎰20. 2x xdx e ⎰21. 23sin x x dx ⎰22.11)x dx -⎰23.222cos cos x xdx x x -+⎰24. 2121tan 1x xdx x -+⎰ 25. 1231(cos )x x x dx -+⎰26. 11(tan sin )x x dx -+⎰27.41⎰； 28. sin 0cos x e xdx π⎰29.10(2)xx e dx +⎰ 30. 1ln e x xdx ⎰31. ()11ln ex xdx -⎰32. ()22xx e dx -⎰ 33. 0cos x xdx π⎰34.20sin x xdx π⎰35. 1ln ex xdx ⎰ 36. sin 0cos x e xdx π⎰37.41⎰38. 20x xe dx π⎰39. 120(3)x x e dx -⎰40.20cos x x dx六、应用1. 求函数()3239f x x x x =--的单调区间与极值、凹凸区间与拐点.2. 求函数()32221673f x x x x =--+的单调区间与极值、凹凸区间与拐点. 3. 求32()395f x x x x =-++-的单调区间与极值、凹凸区间与拐点。
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
经济数学—微积分(函数的知识点及结论)
集合与简易逻辑一、集合：1、知识点归纳①定义：一组对象的全体形成一个集合②特征：确定性、互异性、无序性③表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}韦恩图④分类：有限集、无限集、空集φ⑤数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N *、空集φ⑥关系：属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等＝⑦运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};补运算AC U＝{x|x∉A且x∈U}，U为全集⑧性质：A⊆A；φ⊆A；若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B；A∩C U A＝φ；A∪C U A＝I；C U( C U A)＝A；C U(A⋃B)＝(C U A)∩(C U B)方法：数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决2、注意：①区别∈与、与⊆、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②A⊆B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ③若集合A中有n)(Nn∈个元素，则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2-1, 所有非空真子集的个数是22-n④空集是指不含任何元素的集合}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为BA⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A的情况⑤理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？可用列举法、数形结合等方法来理解集合中元素的意义海伦·凯勒：“当一个人感觉到有高飞的冲动时，他将再也不会满足于在地上爬。
”二、含绝对值的不等式及一元二次不等式知识点归纳1绝对值不等式①不等式)0(><aax的解集是{}axax<<-;②不等式)0(>>aax的解集是{}axaxx-<>或,③不等式｜ax+b｜<c, c>0的解集为{})0(|><+<-ccbaxcx;④不等式｜ax+b｜>c c>0的解集为{})0(,|>>+-<+ccbaxcbaxx或⑤两边都为非负数（或式）时，可两边平方⑥含有多个绝对值不等式时，可用零点分段法⑦含有两个绝对值的不等式可用几何意义解决。
《经济数学基础》微积分部分复习Word版
《经济数学基础》微积分部分复习第一篇 微分学 第一章 函数一、本章考核点1、掌握函数奇偶性的判定，掌握总成本、平均成本、收入、利润函数的概念及表达式，掌握五个基本初等函数的概念及表达式。
2、熟练掌握函数定义域、求函数值、复合函数的复合与分解的计算。
二、基本概念基本初等函数、函数的奇偶性、总成本、平均成本、收入、利润函数奇偶性：若f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数 若f(-x)=－f(x)，则函数f(x)为奇函数 若f(x)不满足上述两式，则函数f(x)为非奇非偶函数总成本函数：10C C C += 隐含条件： 0)0(C C =平均成本：q CC =总收入函数：pq R = 隐含条件：0)0(=R总利润函数：C R L -=基本初等函数： 常数：y=C幂函数：αx y =指数函数：xa y =对数函数：x y log = 自然对数：x y ln = 三角函数：正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx 正切函数 y=tanx 余切函数 y=cotx 三、计算1、求函数的定义域重点是已知函数的解析式求函数的定义域——四个限制已知函数的解析式求定义域，有以下几个限制：①分式的分母不为零； ②对数的真数大于零；③开偶次方的被开方数非负；④2tan ππ+≠=k x x y 中πk x x y ≠=中cot 其中k=0, ±1,2,3,…… 2、求函数值3、复合函数的分解第二章 极限、导数与微分一、本章考核点1、熟练掌握极限的计算、导数微分的计算。
2、掌握函数间断点的求法，判断分段函数分段点是否有极限、是否连续。
二、计算1、极限——数列的极限、函数的极限方法：利用四则运算性质、利用两个重要极限公式 2、导数和微分方法：利用导数的四则运算法则和导数基本公式； 复合函数的导数；隐函数的导数；高阶导数 3、求函数的间断点——两种类型初等函数：初等函数在其定义域内连续 ——函数无定义的点即为初等函数的间断点； 分段函数：分段函数的间断点存在于分段点中。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
微积分总复习题详细答案
微积分总复习题详细答案一、极限与连续性1. 极限的定义- 极限是描述函数在某点或无穷远处的行为。
对于函数f(x)，当x趋近于a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε，则称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限。
2. 极限的运算法则- 极限的加法法则：lim(x→a) (f(x) + g(x)) = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)- 极限的乘法法则：lim(x→a) (f(x) * g(x)) = (lim(x→a)f(x)) * (lim(x→a) g(x))- 极限的除法法则：lim(x→a) (f(x) / g(x)) = (lim(x→a)f(x)) / (lim(x→a) g(x))，前提是lim(x→a) g(x) ≠ 0。
3. 连续性的定义- 函数f(x)在点a处连续，如果lim(x→a) f(x) = f(a)。
4. 间断点的类型- 可去间断点：函数在a点的左极限或右极限存在，但不等于f(a)。
- 跳跃间断点：函数在a点的左极限和右极限都存在，但两者不相等。
- 无穷间断点：函数在a点的左极限或右极限为无穷大。
二、导数与微分1. 导数的定义- 函数f(x)在点a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) [(f(a+h)- f(a)) / h]。
2. 导数的几何意义- 导数表示函数在某点处的切线斜率。
3. 基本导数公式- (c)' = 0，其中c是常数。
- (x^n)' = nx^(n-1)，其中n是实数。
- (sin(x))' = cos(x)。
- (cos(x))' = -sin(x)。
- (e^x)' = e^x。
4. 高阶导数- 高阶导数是一阶导数的导数，记作f''(x)。
经济数学微积分期末复习资料
经济数学--微积分大一下期末复习资料 考试题型：1.求偏导数5*8’=40’2.求偏弹性1*6’=6’3.条件极值1*6’=6’4.二重积分2*6’=12’5.微分方程与差分方程4*6’=24’6.无穷级数2*6’=12’ a.判断正项级数敛散性判断交错级数敛散性及条件或绝对收敛 b.求和函数（收敛半径、收敛域）求和函数展开式一.求偏导类型1：展开式形式，如：xy z =求解：将求的看做变量，另一个看做常数。
求二阶时，只要对相应的一阶再求一次即可。
Eg ：设13323+--=xy xy y x z ，求22x z ∂∂、x y z ∂∂∂2、yx z∂∂∂2、22y z ∂∂解：y -y 3-y x 3xz322=∂∂x -x y 9-y x 2yz23=∂∂22x z ∂∂=2x y 6xy z∂∂∂2=1-y 9-y x 622yx z∂∂∂2=1-y 9-y x 62222yz∂∂=x y 18-x 23类型2:），（y x z f =求解：画链式法则进行求解Eg ：）（z ，，xy y x f w ++=，求zx wx w ∂∂∂∂∂2，解：设u=x+y+z ，v=xyz ，），（v u f w =则链式法则如右图所示参考资料：课本练习册7-16页 二.求偏弹性uwvxz y x yz经济数学-微积分P310 例8 PS ：例8参考资料：练习册21-22页 三.条件极值求解：找出目标函数与约束条件，设出拉格朗日函数，解方程组，得出答案。
参考资料：练习册19-20页 四.二重积分 类型1.直角坐标系下 a.X 型 先积x 再积y b.Y 型 先积y 再积x 类型2.极坐标系下⎩⎨⎧==θθrsin y rcos x θσrdrd d =：PS求解：1.做出积分区间2.判断适合用直角坐标解答还是极坐标3.如果适合用直角坐标系解答，判断是X 型还是Y 型。
4.如果需要，要考虑交换积分次序。
参考资料：练习册23-26页 五.微差分方程 微分方程：（一）)x (y x dxdy Q P =+）（⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰•⎰==+≡===+≡⎰⋅⋅C Q Q P Q P P P Q P P dx x Y x y x dxdyx dx x -ydyy x -dx dy0y x dxdy0x dx x dx x -）（）（）（运用公式）（）（）不（②）（）（可分离变量为）（时）（①（二）为常数）、（）（q p x f qy y p y xλ =+'+''*x n xnk *x nk *x x 21x 21rx 21x r 1x r 1212y y x f qy y p y x y y y x x y 2k 1k 0k x x y x f qy y p y x f qy y p y 0qy y p y 0x f 0x f x sin x cos r r 0x r 0r r 00q pr r 0qy y p y 0x f 21+==+'+'''''=⎪⎩⎪⎨⎧=====+'+''=+'+''=+'+''=≡⎪⎩⎪⎨⎧+=±=<∆+==∆+=>∆=++=+'+''≡Y Q Q Q C C Y i C C Y C C Y 的通解为）（综上可得）中的相关未知值。
微积分第二学期期末复习题
微积分第二学期期末复习题微积分第二学期期末复习题随着学期的结束，微积分第二学期的期末考试也即将到来。
为了帮助大家更好地复习和准备考试，本文将提供一些复习题，希望对大家有所帮助。
一、定积分1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (x^2 + 3x + 1) dx$。
2. 求定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。
3. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx$。
二、不定积分1. 求不定积分 $\int (2x^3 + 3x^2) dx$。
2. 计算不定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$。
3. 求不定积分 $\int e^x \sin(x) dx$。
三、微分方程1. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$。
2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$。
3. 求解微分方程 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$。
四、级数1. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$。
2. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ 的敛散性。
3. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$。
五、向量1. 求向量 $\vec{A} = (2, -3)$ 和 $\vec{B} = (1, 4)$ 的数量积。
2. 求向量 $\vec{A} = (3, -2)$ 和 $\vec{B} = (4, 1)$ 的叉积。
3. 求向量 $\vec{A} = (1, -2, 3)$ 和 $\vec{B} = (2, 1, -3)$ 的向量积。
六、多元函数1. 计算函数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数。
2. 求函数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2$ 的梯度。
(完整版)微积分复习资料
基本知识复习一、 不定积分1． 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2） 不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。
()()'F x dx F x C =+⎰ 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3） 第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2． 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2） 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3） 基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分 两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例 例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解 设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念1。
经济数学基础--微积分复习提纲
《经济数学基础--微积分》复习提纲(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《经济数学基础--微积分》复习提纲一、第一章：函数1、函数概念，表达式，初等函数，定义域等。
例如：（1）函数21)(x x x f -+=的定义域是x=[0，1]；（2） f(x)＝522-+x x ,得f(x －1)＝5)1(2)1(2--+-x x ＝…；（3）22)1(2+-=+x x x f ，即)(x f ＝2212)1(2+---+x x x ＝…＝542+-x x ；（4）设==))((,1)(x f f x x f 则)1(x f ＝…= 21x； （5）在下列函数中与||)(x x f =表示相同函数的是（ B ） A ．2)(x B.2x C ．33x D ．xx 2(6) 设⎩⎨⎧>+≤+=05402)(2x x x x x f ，则9)1(=f ，2)0(=f ，17)3(=f ，3)1(=-f ； 二、第二章：极限与连续1、概念理解，无穷大＋∞，无穷小－∞，极限运算等。
能代即代……只看最高次……因式分解、分子分母有理化、公式化简等；2个重要极限中的=→xx x sin lim 01。
例如：（1）443222lim ++∞→x x x ＝（只看最高次）＝1/2； （2）3923lim --→x x x ＝（因式分解）＝…＝3； （3）1027776664999888222lim 2323++-+-+∞→x x x x x x x ＝只看最高次＝ 1/4 （4）4586224+-+-→x x x x im l x ＝（因式分解）＝…＝32 （5）xx im l x 110-+→＝（分子有理化）＝…＝21 （6）但是=∞→xx x sin lim0，=→x x x sin lim 01。
（7）已知122=+y x ，即y '＝yx -（课本61页例题） （8）课本35－37页有关例题。
精选-经济数学微积分期末复习资料
经济数学--微积分大一下期末复习资料 考试题型：1.求偏导数5*8’=40’2.求偏弹性1*6’=6’3.条件极值1*6’=6’4.二重积分2*6’=12’5.微分方程与差分方程4*6’=24’6.无穷级数2*6’=12’ a.判断正项级数敛散性判断交错级数敛散性及条件或绝对收敛 b.求和函数（收敛半径、收敛域）求和函数展开式一.求偏导类型1：展开式形式，如：xy z =求解：将求的看做变量，另一个看做常数。
求二阶时，只要对相应的一阶再求一次即可。
Eg ：设13323+--=xy xy y x z ，求22x z ∂∂、x y z ∂∂∂2、yx z∂∂∂2、22y z ∂∂解：y -y 3-y x 3xz322=∂∂x -x y 9-y x 2yz23=∂∂22x z ∂∂=2x y 6x y z ∂∂∂2=1-y 9-y x 622 yx z ∂∂∂2=1-y 9-y x 622 22y z ∂∂=x y 18-x 23类型2:），（y x z f =求解：画链式法则进行求解xEg ：）（z ，，xy y x f w ++=，求zx wx w ∂∂∂∂∂2，解：设u=x+y+z ，v=xyz ，），（v u f w =则链式法则如右图所示参考资料：课本练习册7-16页 二.求偏弹性经济数学-微积分P310 例8 PS ：例8答案中2221222221222P P P Q P P P Q -=∂∂-=∂∂应改为wvx zy y参考资料：练习册21-22页 三.条件极值求解：找出目标函数与约束条件，设出拉格朗日函数，解方程组，得出答案。
参考资料：练习册19-20页 四.二重积分类型1.直角坐标系下 a.X 型 先积x 再积y b.Y 型 先积y 再积x 类型2.极坐标系下 ⎩⎨⎧==θθrsin y rcos x θσrdrd d =：PS求解：1.做出积分区间2.判断适合用直角坐标解答还是极坐标3.如果适合用直角坐标系解答，判断是X 型还是Y 型。
微积分复习资料_微积分公式运算法则
《 微积分》综合复习资料一、填空题1、设1ln ,0,()1,0x x f x x x+>⎧⎪=⎨<⎪⎩，则)(x f 的定义域 ,1()f e = .2、曲线2xy x e =+在点（0，1）处的切线方程是 .210,2Q C Q Q =+=3、设产量为时的成本为则产量时的平均成本 边际成本为4、设21,11,()1,13,x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨-<≤⎩，则(1)f = .(0)f = (2)f =5、曲线ln y x x =在点（1，0）处的法线方程是: .6、3(),()f x dx x C f x dx '=+=⎰⎰则7、设111)(++-=x x x f ，则)(x f 的定义域 ,(1)f x += . 8、曲线1xy x=+的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 。
9、设需求函数为505,Q P =-2P =时的边际收益为 10、设21()1f x x=++，则)(x f 的定义域 ,2()f x π+= . 11、曲线41y x =+在点(1,2)处的切线方程是 。
12、设需求函数时的边际收益为则销售量2,210=-=Q QP . 二、选择题1、 下列函数中的奇函数是（ ）(a)2()sin ,[0,1]f x x x x =+∈ (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 2()tan(1),(,)f x x x =+∈-∞+∞ 2、下列级数中绝对收敛的是（ ）(a)∑∞=121n n (b) ∑∞=-1)1(n nn (c)14()n n ∞=π∑ (d) 11n n n ∞=+∑ 3、下列算式中不正确的是（ ）(a)(sin )sin cos x x x x x '=+ (b)22()x x e e '=(c)2()2d x xdx +π= (d)1ln(1)1d x dx x+=+ 4、下列函数中函数是非奇非偶的函数是（ ）(a)2()sin ,[1,1]f x x x x =+∈- (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 24()log (1),(,)f x x x =+∈-∞+∞5、若130(4)0x k dx -=⎰，则k=（ ）(a) -1 (b) 1 (c) 0 (d) 26、下列算式中不正确的是（ ）(a)2(ln )2ln x x x x x '=+ (b)(sin 2)2cos 2x x '= (c)2()d x xdx +π= (d)222ln(1)1d xx dx x +=+ 7、下列函数对中是偶函数的是（ ）(a)53)(x x f = (b)x x x x x f cos 1)(224++=(c)x x x f sin )(+= (d)2)(x x x f +=8、2211(),121x x f x x kx x ⎧-≤==⎨->⎩在点连续，则k=( ) (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 19、下列极限中能用罗必达法则计算得出结果的是（ ） (a)21lim1++→x x x (b) )1sin(1lim 1--→x x x(c) xx xx x sin sin lim +-∞→ (d) x x x x x e e e e --+∞→+-lim10、下列函数中既是偶函数又是有界函数的是（ ） (a)]1,0[,)(2∈=x x x f (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) ),(,11)(2+∞-∞∈+=x xx f 11、31(),11x kx f x x x kx -≤⎧==⎨+>⎩在处连续，则k=( ) (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 12、下列算式中不正确的是（ ）(a)x xt e dt e dx d =⎰0 (b))()(x f dx x f dxd =⎰(c)C x dx x dx d +=⎰22sin )(sin (d)1cos cos xdtdt x dx =⎰三、判断题1、已知2(1)1,f x x -=+则2()22f x x x =++（ ）2、如果极限lim ()x af x →存在，则函数()f x 在点a 连续 ( )3、已知边际收益函数为()2R p p '=，则总收益函数为2()R p p =( )4、函数()sin(21)f x x =+是周期函数，也是有界函数( )5、如果函数()f x 在点a 的导数存在，则()f x 在点a 连续。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
经济数学--微积分大一下期末复习资料 考试题型：
1.求偏导数5*8’=40’
2.求偏弹性1*6’=6’
3.条件极值1*6’=6’
4.二重积分2*6’=12’
5.微分方程与差分方程4*6’=24’
6.无穷级数2*6’=12’ a.判断正项级数敛散性
判断交错级数敛散性及条件或绝对收敛 b.求和函数（收敛半径、收敛域）
求和函数展开式
一.求偏导
类型1：展开式形式，如：xy z =
求解：将求的看做变量，另一个看做常数。
求二阶时，只要对相应的一阶再求一次即可。
Eg ：设133
2
3
+--=xy xy y x z ，求22x
z ∂∂、x y z ∂∂∂2、y x z
∂∂∂2、22y z ∂∂
解：
y -y 3-y x 3x
z
322=∂∂
x -x y 9-y x 2y
z
23=∂∂
2
2x z ∂∂=
2x y 6
x
y z
∂∂∂2=1-y 9-y x 622
y
x z
∂∂∂2=1-y 9-y x 622
22y
z
∂∂=x y 18-x 23
类型2:），（y x z f =
求解：画链式法则进行求解
Eg ：）（z ，，xy y x f w ++=，求z
x w
x w ∂∂∂∂∂2，
解：设u=x+y+z ，v=xyz ，），（v u f w =
则
链
式
法
则
如右
图
所
示
参考资料：课本练习册7-16页 二.求偏弹性
u
w
v
x
z y x y
z
经济数学-微积分P310 例8 PS ：例8
参考资料：练习册21-22页 三.条件极值
求解：找出目标函数与约束条件，设出拉格朗日函数，解方程组，得出答案。
参考资料：练习册19-20页 四.二重积分 类型1.直角坐标系下 a.X 型 先积x 再积y b.Y 型 先积y 再积x 类型2.极坐标系下
⎩
⎨
⎧==θθrsin y rcos x θσrdrd d =：PS
求解：1.做出积分区间
2.判断适合用直角坐标解答还是极坐标
3.如果适合用直角坐标系解答，判断是X 型还是Y 型。
4.如果需要，要考虑交换积分次序。
参考资料：练习册23-26页 五.微差分方程 微分方程：
（一）)x (y x dx
dy Q P =+）（
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅⎰•⎰==+≡===+≡⎰⋅⋅C Q Q P Q P P P Q P P dx x Y x y x dx
dy
x dx x -y
dy
y x -dx dy
0y x dx
dy
0x dx x dx x -）
（）（）（运用公式
）（）（）不（②）（）（可分离变量为）（时）（①
（二）为常数）、（）（q p x f qy y p y x
λ =+'+''
*
x n x
n
k *x n
k *x x 21x 21rx 21x r 1x r 1212y y x f qy y p y x y y y x x y 2k 1k 0k x x y x f qy y p y x f qy y p y 0qy y p y 0x f 0x f x sin x cos r r 0x r 0r r 00
q pr r 0
qy y p y 0
x f 21+==+'+'''''=⎪⎩
⎪
⎨⎧=====+'+''=+'+''=+'+''=≡⎪⎩
⎪⎨⎧+=±=<∆+==∆+=>∆=++=+'+''≡Y Q Q Q C C Y i C C Y C C Y 的通解为）（综上可得）中的相关未知值。
（通过待定系数法可求出带入原方程中。
、、将的一阶导与二阶导，并）（求出是特征方程的重根。
，是特征方程的单根。
，不是特征方程的解。
，）（的特解为）（即设的特解。
）（再求的通解。
即①步骤。
，求出）（先令时
）不（②）（。
则，，解得虚根）（。
则，解得单根。
则，，解得双根特征方程为）（①λλλλλαλλλβββα
非齐次方程的通解=所对应的齐次方程的通解+非齐次方程的特解
差分方程：一阶 （一））
（x Q ay -y n x 1x =+ ①当时）
（0x Q n ≡ x
x 1x Ca y a
0a -0ay -y ====+方程的通解为解得特征方程为λλ
②当时）不（0x Q n ≡
即）
（x Q ay -y n x 1x =+ 先求所对应的齐次方程的通解。
即① 再求非齐次方程的特解。
即设）（x Q ay -y n x 1x =+的特解为）
（x x y n k *Q = ⎩
⎨
⎧==是特征方程的解。
，不是特征方程的解。
，k 1k k 0k 求出1x *y +，并将*y 、1x *y +代入）（x Q ay -y n x 1x =+中求出）（x n Q 中的各值。
因此）（x Q ay -y n x 1x =+的通解是其所对应的其次方程的通解+原方程的特解，即y=Y+*y （二））（x Q by ay y n x 1x 2x =++++ ①当）
（x n Q =0时
0by ay y x 1x 2x =++++
特征方程为0b a 2=++λλ
）
（，其中）（。
则，，解得虚根）（。
则，解得单根。
则，，解得双根πθβα
β
θβαθθβαλλλλλλλλ<<>=+=⎪⎩
⎪
⎨⎧+=±=<∆+=
=∆+=>∆0,0tan r x sin x cos r 0x 002221x 21x 21x 21x
1121C C Y i C C Y C C Y ②当）
（x n Q 不=0时。
）
（x by ay y n x 1x 2x Q =++++ 先求出所对应的齐次方程的通解，即① 再求非齐次的特解，即
即设）（x by ay y n x 1x 2x Q =++++的特解为）
（x x y n k *Q = ⎩
⎨
⎧==是特征方程的解。
，不是特征方程的解。
，k 1k k 0k 求出2x *y +、*y 、1x *y +，并代入）
（x by ay y n x 1x 2x Q =++++中求出）
（x n Q 中的各值。
因此）
（x by ay y n x 1x 2x Q =++++的通解是其所对应的其次方程的通解+原方程的特解，即y=Y+*y 参考资料:练习册29-38页。
六.无穷级数 1.判断敛散性
找出无穷级数的通项，并进行求极限，若有极限，则收敛，反之，则发散。
基本定理，比较审敛法，比值审敛法
2.判断交错级数 莱布尼茨定理
3.判断收敛交错级数
收敛交错级数带绝对值后，如果收敛，则为绝对收敛，反之，条件收敛。
4.求和函数（收敛半径，收敛域）
找出级数通项并⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∞
→+∞→ρ
ρn n n n
1n n a lim a a lim ，R=ρ1，收敛域为（ρρ11-，），
在将两端点带入原级数中进行检验并决定开闭区间。
5.求和函数展开式 重点：间接展开。
必背：n
0n n 0n n x 1-x -x 11）（）（）（∑∑∞
=∞===+ （-1<x<1） 1
n 20
n n x 1n 21-sinx +∞
=∑+=）！（）（ （∞+∞，-） ∑∞
=⋅='=0n n
2n
n 2x 1-sinx cosx ）！
（）（）（ （∞+∞，-） 1n 2x 1-dx x 1-dx x
11
0arctan -arctanx arctanx 1
n 21
n n
x
n 2n
n x
02
+==+=
=+∞
=∞
=∑⎰
∑⎰
）
（）（ [-1,1]
In(1+x)=
⎰∑∑⎰∑⎰
∞
=+∞
=∞====+x
00
n n 1
n n 0n n x 0n
0n n x
n x 1-dx x 1-dx
x 1-dx x 11）（）（）（）（ (-1,1]
建议做一下课本中老师所画练习题。