有理数的乘方(1)

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有理数的乘方1初中数学原创课件

n个
aaa a
n个
n个相同因数的积的运算
剖析概念
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
底数
an
指数幂
乘方定义理解时需要关注： 1.指数n取正整数. 2.底数a可以代表所有数，可以是正数，负数，零.
3.一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是 51，指数1通常省略不写.
剖析概念
底数 an
指数幂
2. 思想方法特殊到一般
思考
珠穆朗玛峰是世界的最高峰，今年5 月27日珠峰高程测量登山队登顶成功，重测它的海拔高度. 这是我们作为中国人的骄傲，有人说把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折27次的厚度就能超过珠穆朗玛峰. 这是真的吗？
珠穆朗玛峰是世界的最高峰，今年5月27日珠峰高程测量登山队登顶成功，重测它的海拔高度. 这是我们作为中国人的骄傲，有人说把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折27次的厚度就能超过珠穆朗玛峰. 这是真的吗？
227
134217728×0.1mm=13421.7728m≈13 422m 2005年测量高度为8844.43米
分析：对折 1次 2次 3次 4次次数
纸的层数 2 4 8 16
层数可表示为 2
22 23 24
... 27次 ...
134217728 ...
227
对折 1次 2次 3次 4次次数
纸的层数 2 4 8 16
层数可表示为 2
22 23 24
... 27次 ...
134217728 ...
（5） 8
3
想一想
与一样吗？为什么？
-81
例题

1.6.1 有理数的乘方(1)

按键顺序
显示
4 +/- yx 3 =
-64
4 +/- yx 4 =
16
知1－讲
（来自教材）
例2 下列对于－34的叙述正确的是( C ) A．读作－3的4次幂 B．底数是－3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个－3的积
知1－讲
导引：注意－34与(－3)4的区别，前者表示34的相反数，后者表示4个－3的积．
（来自《点拨》）
例3 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义．
知1－讲
(1)(－2)×(－2)×(－2)；
(2) 2 2 2 2 ；
3333
(3) 3 3 3 3 3 . 导引：先5确5定底5 数5 ，5 再写成乘方的形式．
解：(1)(－2)×(－2)×(－2)＝(－2)3；底数－2表示相同的因数；
1 课堂讲解 2 课时流程
有理数的乘方的意义有理数的乘方运算
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
1.看下面的故事：从前，有个“聪明的乞丐”他要到了一块面包。他想，
天天要饭太辛苦，如果我第一天吃这块面包的一半，第二天再吃剩余
面包的一半，……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，这样下去，
我就永远不用去要饭了！
请你们交流讨论，再算一算，如果把整块面包看成整体“1”，那第十
天他将吃到面包的______.
2.拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，
再拉伸，反复多次，就能把这根很粗的面条，拉成许多很细的面条.
想想看，捏合
次后，就可以拉出32根面条.
知识点 1 有理数的乘方的意义
知1－讲
乘方的意义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，如： a•a••a ，

有理数的乘方(一)

1 3 ) 2
解：1、53=5×5×5=125
1 2
当底数是负数或分数时，书写时一定要用括号把底数括起来.
2、(-3)4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81
3、（
）3=（
1 1 ）×（ 2 2
）×（
1 2
1 ）= 8
如（-3）4 不能写成-34，
（ 1 3不能写成 1 3 ） 2 2
第二章有理数及其运算 9.有理数的乘方分钟便由1个分裂成2 个。现有1个细胞，经过5小时能分裂成几个？
细胞分裂示意图
思考：
分裂5小时会有多少个细胞？
一次
2个
二次
2× 2个
三次
２×２×２个
5小时要分裂10次，所以共有细胞： 2×2×2…×2×2=1024个 10个2
计算： ① （-3）3；
③ (-1/2)2
3 (2/3)
② (-6)3;
4 (-2)
⑥ 7
4
例2：计算
(2) （1）
3 ( 2 ) 解：（1）
3
；（2）
2
4
3 ；（3） 4
2
=-[（-2）×(-2)×(-2)]=8；
=-(2×2×2×2)=-16；
3 3 =4
4 2 （2 ）
试一试：
设n为正整数，计算：
（1）、
（-1）2n ；（2）、（-1）2n+1 2n为偶数， 2n+1为奇数
解：（1）、（-1）2n =1 （2）、（-1）2n+1=-1
说一说：
1、你能说一说本节课学到了哪些知识？

2、在有理数乘方运算中，你感觉需要注意哪些问题？

有理数的乘方(1)

1.5.1有理数的乘方（1）一、教学目标1.知识与技能：掌握理解乘方的意义以及几个相关的概念，正确进行乘方运算。

2.过程与方法：经历折纸数学游戏的过程，迁移正方形面积正方体体积的表示，类比得到乘方的表示，发展观察归纳总结能力。

3.情感态度价值观：体会乘法与乘方的关系，感受事物之间的普遍联系。

二、教学重难点分析1.教学重点：理解乘方的意义，能利用乘方运算法则进行有理数的乘方运算。

2.教学难点：有理数乘方的计算法则的探索及利用法则进行计算三、教学过程1.情境引入教师提出折纸游戏，每对折一次，层数变为原来的两倍，如下：次数层数1 224=2×238=2×2×2416=2×2×2×2532=2×2×2×2×2……302×2×2×…×230个2相乘思考：当对折30次后，层数变为30个2相乘，那么有没有一种更简便的方法来表示30个2相乘呢？引出课题：有理数的乘方（1）2.定义生成思考：讲到乘方，我们联想到了一个方的概念，正方形和正方体，边长为a,它们的面积和体积分别是什么？如何表示？学生说，教师板书：2a a a⋅=（读作a的平方或a的二次方）3⋅⋅=（读作a的立方或a的三次方）a a a a又例如：4记作，读作“2的四次方”(2)(2)(2)(2)(2)--⨯-⨯-⨯--52222222()()()()()()-5555555-⨯-⨯-⨯-⨯--记作，读作“的五次方” 猜想：假设a a a a ⋅⋅⋅= 4a 读作 a 的四次方 ...a a a ⋅⋅⋅ n a读作 a 的n 次方n 个总结：一般地，n 个相同的因数a 相乘，即...a a a ⋅⋅⋅，记作n a ，读作“a 的n次方”定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方........a a a =n 个说明：当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂。

有理数的乘方(1)

练习与作业:P43;P45T1,T2.
再见
列式
2 2 ×2 2 ×2 ×2 2 ×2 × 2×2
数量(根)
2 4 8
简记
16
32 64
2 ×2 × 2×2×2
2 ×2 × 2×2×2×2
21 22 23 24 25 26
先填表，再观察所列式子，有什么发现？
如图，一正方体的棱长为4cm, 4×4×4 立方厘米. 则它的体积为_______
4
我能行某种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个。经过 24 小时，这种细胞由 1 个能分裂成多少个？解：每30分钟分裂一次，24小时能分裂48次。
248 = 281474976710656（个） ≈2.8×1014(个)
答：略
总结
正数的任何正整数次幂；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0.
某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个.经过3小时这种细胞由1个能分裂成多少个？
你能算出来吗？
分裂方式如下所示:
这个细胞分裂一次可得多少个细胞? 2× 2个分裂两次呢? 分裂三次呢? 2× 2× 2个
6次
2个
那么,3小时共分裂了多少次?
可得多少个细胞? 2× 2× 2× 2× 2× 2 个
科学计算器
• 阿基米德故事告诉我们,当一粒米在64 格棋盘上,每个格都以倍数增加的时候, 最后一格就需要1800亿兆粒米,相当于全世界米粒总数的10倍.这就是网络倍增学的原理，也是被爱因斯坦称之为世界第八大奇迹的市场倍增学的来历. 市场倍增学又叫网络学.自古以来广泛运用于社会各个阶层的管理.现在好多公司都借助于市场倍增学原理而设计出各种营销方式.使赚钱变得轻松！

课件4：1.5.1有理数的乘方(1)

an读做“ a 的
n次幂”
n
a
底数
=an
指数
运算
an读做“ a的 n 次方”，
练习
4
9
9
4 9 4 表示4个____相乘，
9
1、在
中，底数是____,指数是_____,
9的4次方
9的4次幂
读作___________，也读作____________.
2
（
5
）
2个-5相乘
-5
2
2、
的底数是______,指数是________,表示____________,
3
2
)
(3) (-2)3= 8
×
8
)
(
(2)
2 23 ( × )
3
222 2 (
3
×
(1)
4

×
（
）
9
6
-8
4
3
喜羊羊的学问
第1天: 1
第2天: 2
第3天: 4
第4天: 8
=2×2
=2 ×2 ×2
第5天: 16
= 2 ×2 ×2 ×2
……
第20天
=2
2
=23
19个2
=2×2×······×2
第一章有理数
1.5.1 有理数的乘方(1)
如果你第一天给我1元，第二天给我2元，
第三天给我4元，以此类推，一直给20天，
我就答应你！
每天给我10元，
一共给20年。
我就不吃你！
灰太狼能不能吃
着喜羊羊呢？
第1天: 1
相同因数的乘法
第2天: 2
第3天: 4 =2×2

有理数的乘方 (1)

拓展提高
2.小明认为-42与(-4)2是一样的，你同意吗？
()
3 3 2 与 2 呢？ 3 3
3.把下列相同的因数写成幂的形式,并说明底数和指数
(1)(6) (6) (6) =(-6)3 2 2 2 2 2 (2) =( )4 3 3 3 3 3
注意:底数如果是分数与负数时,要添上括号
学以致用
例1 计算：
（1）53
（2）(-3)4
1 3 (3) ( ) 2
学以致用
练习：
2 （2） -3）（3） -1.5）（（
（1） 7
2
3
2 3 （4）（） 3
1 2 （5） - ）（ 7
学以致用
例2 计算：

（（1）- -2）（2） -2
3
4
3 （3） 4
2
学以致用
3 2 2 1.（1）- -3）（2）- - ）（3） -3 （（ 4
创设情境
一种细胞每过30分钟由1 个分裂成2个，经过1小时，这种细胞由1个能分裂成多少个？经过1.5小时呢？ 2小时呢？ 5小时呢？
2
2×2
2×2×2
自主学习一
自学内容：自学课本P58页，例1以上的内容自学时间：2分钟自学要求：（1）理解乘方，指数，底数，幂的概念 n （2）的含义是什么？底数是，指数是 a
2
2 （4） 5
3
学以致用
有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1 次后，厚度为2×0.1毫米。
1次
2次
15次
（1）对折2次后，厚度为多少毫米？（2）对折15次后，厚度会超过你的身高，你相信吗？
1.学习本节课你有哪些感受？ 2.乘方的意义，你懂了吗？

有理数的乘方(1)

n个a
记作什么呢？
记作an
求几个相同因数的积的运算，叫
做乘方。乘方的结果叫做幂。
a叫做底数，n叫做指数、an读
作a的n次幂或a的n次方
幂 an
指数
底数
指出下列各数读作什么？其中底数是什么？指数是什么？表示什么意义?(用乘法表示)
23
32 （-4）2 -24
(- 51)2
记得哦！！
-(51)2
8
底数为负数和分数要加括号！
例计算：
（1）（-2）3
（2）（-2）4
（3）（-2）5
(4 ) 43
解：
(1) (-2)3=(-2)(-2)(-2)=-8
(2) (-2)4=(-2)(-2)(-2)(-2)=-32
(3) (-2)5 =(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=-32
(4) 43 =4*4*4=64
(- 4)2＝（）
5
150＝（）－1100＝（）（-0.2）＝（）
2
-
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有理数的乘方(一)AnUlUP

●课题有理数的乘方（一）●教学目标（一）教学知识点1．有理数乘方的意义．2．能进行有理数的乘方运算．（二）能力训练要求1．在现实背景中，理解有理数乘方的意义．2．能进行有理数的乘方运算．（三）情感与价值观要求通过师生共同交流，渗透利用数学知识解决实际问题的思想，以激发学生学习的兴趣，树立解决问题的信心．●教学重点有理数乘方的意义．●教学难点1．理解有理数乘方的意义上有困难．2．合理进行乘方运算．●教学方法讲练结合法●教具准备细胞分裂示意图投影片四张第一张：练习（记作§2．10．1 A）第二张：例1（记作§2．10．1 B）第三张：例2（记作§2．10．1 C）第四张：法则（记作§2．10．1 D）●教学过程Ⅰ．创设情景问题，引入课题［师］我们知道，每个生物体都是由细胞组成．动物由动物细胞组成，植物由植物细胞组成．活的细胞和生物体一样，也经过生长、衰老、死亡几个阶段．细胞本身的繁殖是以细胞分裂方式进行的．大家来观察一幅某种细胞分裂示意图：（出示“细胞分裂示意图”）这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．想一想：经过5小时，这种细胞由1个能分裂成多少个？［生］1个细胞30分钟后分裂成2个，1个时分裂成4个，1．5小时后分裂成8个，2小时后分裂成16个，……，5小时后，这种细胞由1个能分裂成1024个．［师］对，1个细胞30分钟后分裂成2个，这是第一次分裂；1小时后分裂成4个，可以写成2×2，这是第二次分裂，1．5小时后分裂成8个，可写成2×2×2，这是第三次分裂，2小时后分裂成16个，也可写成2×2×2×2，这是第四次分裂，依次类推，想一想：5小时要分裂多少次？［生甲］5小时要分裂10次．［生乙］老师，我知道了，经过一次细胞分裂，1个可分裂成2个，经过二次分裂，1个可分裂成2×2个，经过三次分裂，1个可分裂成2×2×2个，这样依次类推，经过十次这样的分裂，1个便可分裂成［师］乙同学分析得很好，经过十次分裂后，1个细胞可以分裂成：个，但10个2相乘写起来挺麻烦的，为了简便，可将记为210，210表示有10个2相乘，我们把这种运算叫乘方．今天我们就来探讨有理数的乘方．Ⅱ．讲授新课［师］在小学中，我们把a×a记作a2，读作a的平方，或a的二次方．想一想：a×a 表示什么？［生］表示边长为a的正方形面积．［师］对，还把a×a×a记作a3，读作a的立方，或a的三次方．那a×a×a表示什么？［生］表示棱长为a的正方体的体积．［师］很好，刚才我们又把记作210．一般地，我们有：n个相同的因数a相乘，记作a n，即：这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方（Power）．乘方的结果叫做幂（Power）．在a n中，a叫做底数（base number）．n叫做指数（exponent）．a n读作a的n次方．a n看作是a的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂．在这儿需要注意：乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．如：在94中，底数是9，指数是4，94读作9的4次方，或9的4次幂．下面我们做一练习来熟悉这些概念（出示投影片§2．10 A ），口答： 1．填空：（1）（－1）12的底数是_____，指数是_____．（2）（－3）11表示_____个_____相乘．（3）（－21）5的指数是_____，底数是_____．（4）7．54的指数是_____，底数是_____．［生］（－1）12的底数是－1，指数是12．（－3）11表示11个－3相乘．（－21）5的指数是5，底数是－21， 7．54的指数是4，底数是7．5．［师］很好．那5的底数是什么？指数是什么？［生］5的底数是5，没有指数．［师］对吗？ ……［师］在这里需要注意：一个数可以看成这个数本身的一次方．如：5就是51，指数1通常省略不写．大家也可以这样理解：指数就是指相乘的因数的个数，指数是1，就是指只有一个因数．a n 就是n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算．下面通过例题来熟悉有理数的乘方运算．（出示投影片§2．10 B ）［例1］计算：（1）53；（2）（－3）4；（3）（－21）3解：（1）53=5×5×5=125．（2）（－3）4=（－3）·（－3）·（－3）·（－3）=81．（3）（－21）3=（－21）·（－21）·（－21）=－81注意：（1）当底数是负数或分数时，书写时一定要先用小括号将底数括上，再在其右上角写指数．如：（－3）4不能写成－34，（－21）3不能写成－213．（2）在不会引起误解的情况下，乘号也可以用“·”表示．例如：（－3）×（－3）×（－3）×（－3）×（－3）可写成：（－3）·（－3）·（－3）·（－3）·（－3）接下来，我们做一练习来熟悉有理数的乘方运算（出示投影片§2．10 C ）1．计算：（1）（－1）10；（2）（－1）7；（3）83；（4）（－5）3；（5）（－0．1）3；（6）［生］解：（－1）10=1；（－1）7=－1；83=512；（－5）3=－125；（－0．1）3=－0．001；（－21）4=161； 102=100；103=1000；104=10000；（－10）2=100；（－10）3=－1000；（－10）4=10000［师］很好，大家都注意了底数是负数的乘方的表示．下面我们来观察刚才练习题的结果，你能发现什么规律？可互相交流．［生］正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．［师］对．大家从计算结果中，归纳出乘方运算的符号法则：（出示投影片§2．10 D ）很好．大家再想一想：0的任何次幂等于多少？1的任何次幂等于多少？以10为底数的幂有何特点？［生］由有理数的乘法可以得到：0的任何非零次幂等于0，1的任何次幂等于1． 10的几次幂，在1的后面有几个0．［师］这位同学总结得非常正确．下面，我们通过课堂练习进一步熟悉有理数乘方的概念及其运算．Ⅲ．课堂练习课本P 73 随堂练习 1．（1）在74中，底数是_____，指数是_____．（2）在（－31）5中，底数是_____，指数是_____．答案：（1）7，4；（2）－31，52．计算：（1）（－3）3；（2）（－1．5）2；（3）（－71）2解：（1）（－3）3=（－3）·（－3）·（－3）=－27 （2）（－1．5）2=（－1．5）·（－1．5）=2．25 （3）（－71）2=（－71）·（－71）=4913．一个数的平方为16，这个数可能是几？一个数的平方可能是零吗？答案：一个数的平方为16，这个数是4或－4．一个数的平方可能是零．0的平方是0． 4．看课本P 72～73 5．试一试设n 为正整数，计算：（1）（－1）2n ．（2）（－1）2n +1．分析：n 为正整数时，2n 表示偶数，2n +1表示是奇数．所以由乘方的符号法则，即可得出．解：（－1）2n =1 （－1）2n +1=－1 Ⅳ．课时小结本节课主要学习了有理数的乘方的意义．有关概念及其有理数乘方运算．通过本节的学习，要明确乘方和加、减、乘、除一样，是一种运算，是求n 个相同因数的乘积的运算．乘方实质是一种特殊的乘法运算．幂与和、差、积、商一样，是乘方运算的结果．乘方运算与加减乘除的运算步骤一样，先确定符号，再计算绝对值．Ⅴ．课后作业（一）课本P 74习题2．13 １、2、3．3．1米长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第七次后剩下的小棒有多长？解：第七次后剩下的小棒有：（21）7=21×21×21×21×21×21×21=1281（米）（二）预习内容：课本P 75．准备一张白纸．Ⅵ．活动与探究1．如果｜a +1｜+（b －2）2=0，求（a +b ）39+a 34的值．过程：让学生通过讨论、探索知道：任何一个数的绝对值是一个非负数；任何一个数的平方也是一个非负数；两个非负数的和等于0，则这两个数都为0．这样：a 、b 即可解出．结果：因为｜a +1｜+（b －2）2=0 所以a +1=0，b －2=0 即a =－1，b =2因此（a +b ）39+a 34=［（－1）+2］39+（－1）34=1+1=2． 2．用计算器补充完整下表：31 32 33 34 35 36 37 38 392781从表中你发现3的方幂的个位数有何规律？3225的个位数是什么数字？为什么？过程：让学生用计算器填完表后，认真观察，找出规律，根据规律，确定3225的个位数字．结果：31 32 33 34 35 36 37 38 39278124372921876561从表中发现3的方幂的个位数呈周期性变化，变化周期是4．因为225=56×4+1，所以3225的个位数是3．●板书设计§2．10．1 有理数的乘方（一）一、乘方：二、例1例2●备课资料参考练习题 1．选择题：（1）109表示（）A ．10个9连乘B ．10乘以9C ．9个10连乘D ．9个10连加（2）一个数的平方是正数，那么这个有理数的立方是（） A ．正数 B ．负数 C ．正数或负数 D ．奇数（3）一个数的平方等于它的倒数，这个数一定是（）A ．0B ．1C ．－1D ．2（4）计算（－1）2000+（－1）2001÷｜－1｜的值等于（）A ．0B ．1C ．－1D ．1或－1（5）关于（－3）4的正确说法是（） A ．－3是底数，4是幂B ．－3是底数，4是指数，－81是幂C ．3是底数，4是指数，81是幂D ．－3是底数，4是指数，81是幂答案：（1）C （2）C （3）B （4）A （5）D2．把下列各式写成乘方运算的形式，并指出底数、指数各是什么？（1）（－1．3）·（－1．3）·（－1．3）·（－1．3）（2）51×51×51×51×51×51 答案：（1）（－1．3）（－1．3）（－1．3）（－1．3）=（－1．3）4，其中，底数是－1．3．指数是4．（2）51×51×51×51×51×51=6)51(，其中：底数是51，指数是6． 3．计算：（1）（－5）2；（2）（－43）3；（3）（－101）4；（4）5×（－51)）3．答案：（1）25 （2）－6427) （3）100001) （4）－251。

第13课时有理数的乘方(一)

8. 当n为正整数时，(-1)2n= 1 .(-1)2n-1= 1 .
9、计算：
1、 1
100
2 ;
4
1 1 2、 2 2
4
3
1原式 1 16 解：
16
1 8 2原式 16 1 1 2
同步演练：
一、选择题
1. 下列说法正确的是 A.有理数的平方均为正数 B.有理数的平方不可能为负数 C.有理数的平方大于它本身 D. 任何有理数的偶数次方均为正数（ B ）
同步演练：
一、选择题
2.下列运算正确的是（A ）
1 1 A. 4 2
2 4 C. 3 3
同步演练：
一、选择题
4. 若a2=4，b3=27，则a×b的结果是（ D ） A.±18 B.-18 C.-6 D. ±6
二、填空题
5.把 0.1 0.1 0.1 写成幂的形式为 0.1 ，其指数是 7 ，底数是 0.1 .
5
7
6. 计算：-32÷(-3)2= 1 . 7. (-1)2011= 1 .(-1)2010= 1 .
1 1 1 1 10、计算：
2 3
2010
1
2011
;
解：原式 1 1 1 1 1 1 (1) 1
11.试比较2010
解： 1 1
2
2011
和2011
1
2010
的大小.
2
2
1 1 B. 6 2
1 1 D. 4 2
2
3
同步演练：
一、选择题
3. 下列各组数中，值相等的是（ D ） A. 23 和33 C. 1 2 和 1 2

有理数的乘方(1)教案

2.6 有理数的乘方（1）教学目标1．知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算； 2．知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂；3．会用科学记数法表示较大的数．教学重点 1．有理数乘方的意义，求有理数的正整数指数幂；2．用科学记数法表示较大的数．教学难点有理数乘方结果（幂）的符号的确定候课两分钟：有理数的运算法则背诵问题引入古时候在某个王国里有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋献给了国王，国王为了表示感谢，就满足大臣的一个要求，大臣说："就在棋盘上放些米吧，第一个格子放一粒米，第二个格子放2粒米，第三个格子放4粒米，然后是8粒，16粒，32粒，•，一直到62格。

那么国王应给这位大臣多少粒米？乘方的有关概念试一试：将一张报纸对折再对折……直到无法对折为止．你对折了多少次？请用算式表示你对折出来的报纸的层数．2×2×2×2×2×2记作26，读作“2的6次方”；7×7×7可记作73；读作“7的3次方”．一般地，n a a a a a ⋅⋅⋅⋅个记作a n ，读作“a 的n 次方”．求相同因数的积的运算叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．26、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的6次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数，6、3叫做指数．－(－2)3分别表示什么意义？4．(－23 )4、－243分别表示什么意义？例题讲解例1 计算：（1）①37；②73；③(－3)4；④(－4)3．（2）①(12 )5；②(35 )3；③(－23)4．例2 计算并思考幂的符号如何确定：（1）52、0.23、(23)4；（2）(－4)3、(－23)5、(－1)7 （3）(－1)4、(－3)2、(－12)6 法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．课后练习：《伴你学》、《补充习题》。

15 有理数的乘方(1)讲解

=104.8576米 34×3=102米（2）0.1毫米×230=0.1毫米×1073741824
=107374.1824米 8844.43 ×12=106133.16
这下你该
相信了吧！
反思
这节课你学会了一种什么运算？
你有何体会？
(1)正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂
……
……
<六次>3个小时后：2×2×……×2= 64（个）
6个
想一想
你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，这样捏合7次后能拉出多少根细面条？
…
第一次捏合后
第二次捏合后
第三次捏合后
4+4+4= 4×3 2+2+2+2+2+2= 2×6
(2) 1.53=1.5×1.5 ×1.5=3.375;
（3）

3 4
4
（4） 1 11
解： 3 4 4
3 3 3 3 4 4 4 4
256 81
(4) (-1)11 = -1 (为什么?)
是正数.
(2)负数的乘方,在书写时一定要把整个负数(连同符号),用小括号括起来. 分数的乘方,在书写的时
一定要把整个分数用
小括号括起来.
“乘方”精神：虽然是简简单单的重复，但结果却是惊人的。做人也要这样，脚踏实地，一步一个脚印，成功也会令你惊喜的。
=0.01 =-0.001 =0.0001 =-0.00001
Байду номын сангаас

1_5_1有理数的乘方(1)

1.5.1有理数的乘方（1）【学习目标】:1、理解有理数乘方的意义；2、掌握有理数乘方运算；3、经历探索有理数乘方的运算，获得解决问题经验；【重点难点】：有理数乘方的运算。

【教学过程】一、知识链接1、看下面的故事：从前，有个“聪明的乞丐”他要到了一块面包。

他想，天天要饭太辛苦，假如我第一天吃这块面包的一半，第二天再吃剩余面包的一半，……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，这样下去，我就永远不要去要饭了！请你们交流讨论，再算一算，假如把整块面包看成整体“1”，那第十天他将吃到面包。

2、拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复多次，就能把这根很粗的面条，拉成很多很细的面条.想想看，捏合次后，就能够拉出32根面条.二、合作探究1、分小组合作学习P41页内容，然后再完成好下面的问题1）叫乘方，叫做幂，在式子ａｎ中 ,ａ叫做，ｎ叫做2）式子ａｎ表示的意义是3）从运算上看式子ａｎ，能够读作，从结果上看式子ａｎ，能够读作；2、新知应用1、将以下各式写成乘方（即幂）的形式：（1）（-2）×（-2）×（-2）×（-2）＝.（2）、（—14）×（—14）×（—14）×（—14）＝；（3）x•x•x•……•x（2010个）＝2、例题，P42例1师生共同完成从例题1 能够得出：负数的奇次幂是数，负数的偶次幂是数，正数的任何次幂都是数，0的任何正整次幂都是；3、思考：（—2）4和—24意义一样吗？为什么？4、自学例2 （教师指导）【课堂练习】完成P42页1，2.【拓展训练】2、用乘方的意义计算以下各式：（1）42-；（2）323⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）223-； 3.计算(1) 2221(2)2(10)4----⨯-； (2) 3212(0.5)(2)(8)2⎛⎫-⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭；【课后作业】P47第1题【板书设计】【总结反思】：。

有理数的乘方知识点总结(一)

有理数的乘方知识点总结(一)有理数的乘方知识点前言有理数的乘方是数学中重要的概念之一，它可以用来表示各种实际问题中的数量关系。

在学习有理数乘方时，我们需要掌握一些基本的知识点，以及它们在实际问题中的应用。

正文1. 乘方的定义乘方是指将一个数重复乘以自身多次的运算。

通常用乘方符号表示，即a n，其中a为底数，n为指数。

乘方的结果可以表示为a与自身连乘n次的积。

2. 有理数的乘方规律有理数的乘方满足以下规律： - 零次幂规律：任何数的零次幂都等于1，即a0=1。

- 负指数规律：任何数的负指数幂可以表示为该数的倒数的正指数幂，即a−n=1a n。

- 乘方连乘规律：两个同底数的乘方相乘时，指数可以相加，即a n⋅a m=a n+m。

- 乘方的乘方规律：一个数的乘方再乘方时，指数可以相乘，即(a n)m=a n⋅m。

- 分数指数规律：一个数的分数指数幂可以表示为该数的开方的整数指数幂，即a 1n=√an。

3. 有理数乘方的应用有理数的乘方在实际问题中有着广泛的应用，例如： - 面积和体积计算：对于各种形状的图形，可以通过乘方计算其面积或体积。

例如，正方形的面积可以表示为边长的平方，即a2。

- 利率计算：在金融领域，乘方常常用来计算复利的利息。

例如，定期存款按年付息，根据年利率r，本金P会乘以(1+r)的n次方来计算总金额。

结尾掌握有理数的乘方知识点对于理解和解决实际问题非常重要。

在学习过程中，需要熟悉乘方的定义和规律，并了解其在实际问题中的应用。

通过不断练习和思考，我们可以更好地理解和应用有理数的乘方。

有理数的乘方》(1)

• 活动二：复习引导，探究新知。 • 引例：边长为a的正方形的面积可表示为a.a 简记为a²，读作a 的平方（二次方）；设计意图： • 边长为a 的正方体的体积可表示为 a.a.a，让学生从熟悉的平方，立方过渡简记为a³ ，读作a 的立方（三次方）到4次方，5次方， • 类推： 6次方至n次方上来，学会读写乘 a·a·a·a 可以简记为a4，方运算。其次让读作a的四次方；学生经历从特殊到一般的推导过 a·a·a·a·a.可以简记为a5，程，通过观察、读作a的五次方；联想、猜想发现 6 a·a·a·a·a·a.可以简记为a ，乘方的意义实际就是求几个相同读作a的六次方……。因数的积，从而依此类推，如果有n个a相乘又怎样表示呢？得到乘方运算的概念。概念：求n个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
创设情境导入新课复习引导探究新知
教巩固练习辨析概念例题精讲突出重点课堂训练巩固概念过即学即用解决问题程本课小结巩固新知作业设计强化训练
学
• 四、教学过程设计 • 活动一：创设情境，导入新课。故事导入：古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了感激这位聪明的大臣。国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘里放些米粒吧。第一个格放2粒米，第二格放4粒米，设计意图：第三格放8粒米，然后是16粒米，32 通过故事引入，创设问粒米……一直到第64格。“你真傻，就要题情境，引起学生的好这么一点米粒？”国王哈哈大笑，大臣说：奇心，从而 “就怕您的国库里没有这么多大米？”。你激发学生的学习兴趣。们认为国王的国库里有这么多大米吗？
• 2）教学目标：根据本节内容在教材中的地位和作用，依据新课程标准及七年级学生的认知结构和心理特征，本课时的教学力求达到以下目标： ①、通过现实背景理解有理数乘方的意义。 ②、会进行有理数的乘方运算，并会用计算器完成乘方运算。 ③、理解并运用正数、负数正整数次幂的符号规律。 ④、通过对乘方意义的探究过程，向学生渗透由特殊到一般、联想、猜想、归纳，建立数学模型的数学思想。 • 重点：理解乘方的意义，会进行有理数的乘方运算 • 难点练习2：P42页练习1，2，3

2.9.1有理数的乘方(1)

课题：有理数的乘方（1）课型：新授课教学目标在现实背景中，理解有理数乘方的意义，能进行有理数的乘方运算.幂、底数、指数的概念及其表示，理解有理数乘法运算与乘方间的联系，处理好负数的乘方运算.重点:有理数乘方的概念及运算难点:有理数乘方运算的符号法则教法学法指导:前几节课，学生已掌握了有理数的乘法法则，具备了进一步学习有理数的乘法运算的知识技能基础,尤其是在学生具备了一定的学习能力和探究方法，提出了本节课的具体学习任务，通过学生学习细胞分裂示意图来理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方的概念，学会有理数乘方的运算.为便于学生接受，以学生小组交流,自主探索为主,教师适时引导、示范为辅.课前准备多媒体课件投影教学过程第一环节：创设情景引入新课生:(七嘴八舌)......生1:5h=300min,300 30=10次.师:正确!分裂10次后是多少个?生2:第2次分裂成2×2=4个.生3:第2次分裂成2×2=22个.师:你很棒!这个算式有何特点?你是怎样想到这样表示的?生3:相乘的因数相同.因为正方形的面积表示成a 2,正方体的体积表示成a 3. 师:第3次分裂成几个? 生4: 第3次分裂成4×2=8个. 生5: 第3次分裂成2×2×2=23个.师:第10次呢?你能仿照正方形的面积和正方体的体积的表示方法表示上面的算式吗?请以组为单位交流,讨论.学生活动:学生在笔记本上写出,小组内交流.教师活动:教师巡回观察和辅导,对各小组正确的答案给予肯定.结果如下:(投影展示) ①1×2=2,2×2=4,4×2=8,8×2=16,16×2=32,…,512×2=1024. ②第10次分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024个 ③第10次分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=210=1024个师:大家表现都很棒!若是10个a 相乘呢?2小组:1010a a a a a a a a a a a a=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个师:如果上面不是10个a 相乘,而是n 个a 相乘,如何表示呢?这便是我们今天学习的内容:有理数的乘方.(板书)学生活动:以组为单位讨论交流.设计意图：感受现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用，面对实际问题，主动尝试从数学的角度运用所学知识解决实际问题，并在解决问题的过程中体验到乘法运算的必要性和优越性，同时体会细胞分裂的速度非常快，从而引出本节课的学习课题：有理数的乘方.设计效果：在活动中需要运用乘法运算计算五小时即10次一个细胞能分裂成多少个细胞，这个过程学生利用类比仔细分析，大胆猜想,逐步完成，并依次类推，培养学生的符号感.第二环节：探究新知师:下面展示第3小组的答案:一般地,n 个相同因数a 相乘,记为a n,即: (投影展示)n a n a a a a a a =⨯∙∙∙⨯⨯⨯⨯个,,师:请大家阅读课本58页,探究以下问题:(多媒体展示)设计意图:区分开乘方、幂、指数、底数的概念.为乘方运算作准备. 设计效果:以课本为学习的第一手资料,研读好课本.师:大家学习了有理数的乘方的概念,你能独立完成以下问题吗?(多媒体展示) 设计意图: 为了及时消化新知识,要完成活动中的填空及乘方与乘法的相互转换,为下一步计算打下基础,让每一位同学都找到自信. 注意：相同的分数或相同的负数相乘时，要加括号,当一个数上面没有写指数时,表示指数为1(1省略不写)而不是0. 设计效果: 真正弄清楚幂的读法和写法，区分幂的指数和底数.na第三环节：深入探究应用提高师:我们的学习从不会到会,从基础开始,逐渐提高,请完成以下例题:(多媒体展示)师: 通过例1的计算,哪位同学能说出有理数的乘法与乘方的关系?生:有理数的乘法中,因数可以不一样.有理数的乘方是相同因数的乘积.,因数的个数由指数确定.乘方是乘法的特殊情况.设计意图:教师板书,规范做题步骤,规范书写格式.设计效果:巩固有理数的乘方的概念,当有理数相乘时,注意两个符号相遇一定要加括号.理解并区分有理数的乘法与乘方的关系.师:小组讨论:()4422--与的区别.学生活动：四人一小组，每人都计算这两题，观察结果，进行讨论探索，组长记录讨论结果，准备发言.）6小组: 相乘的相反数个表示相乘，个表示242-2-4)2(44-. 4小组:解:(-2)4=16)2()2()2()2(=-⨯-⨯-⨯-,而-24=-2×2×2×2=-16师:这两个小组同学积极思考,勇于探索,值得其他组同学学习.设计意图:小组合作交流,理解两个算式的意义,也巩固了做题格式, 对有理数的乘方的概念有更进一步的理解.设计效果:学生交流热烈,充分体现学生合作精神.培养学生学习数学的兴趣.师:以上学习大家表现都很棒,下面是每个同学冲锋陷阵的时候了,你准备好了吗?(多媒体展示)学生活动:独立完成,其中有三位在黑板板书,其余同学写在笔记本上.完成的同学组内交流答案.教师活动:教师巡回观察,并用红笔画出不规范的地方和做错的题.特别是432-中,指数2许多同学都写错地方了.用投影展示学生的作业.并纠正黑板上的题.设计意图：只有让学生做,才能发现问题.才能实现自我改正.设计效果：当底数是负数或分数时，书写时有同学没用括号把底数括起来，再有指数没写在右上角.如（-3）4 不能写成-34.师:通过上面练习，以小组为单位讨论：你能发现负数的幂的正负有什么规律？正数呢？0呢？2小组:负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂是正数；0的任何次幂是0.设计意图：把问题再次交给学生，充分发挥学生的主观能动性，鼓励学生尽可能地发现规律.设计效果：让学生主动发现数学的奥秘,激发学生学习的潜能.第四环节：课堂演练设计意图：只学生根据自己学习情况有选择的做题，即照顾学生的个体差异，又关注了学生个性发展.设计效果：使每个学生都参与课堂,都有不同程度的提升.第六个环节：畅谈收获师:孔子曰：学而不思则罔，古人都知道学到知识要总结，何况我们呼！大家谈谈这节课你有收获？生1：知道了n个相同因数a的积的运算叫做乘方.乘方的结果叫做幂.a中,a叫做底数，n叫做指数.生2:在n生3: 底数a是相同的因数，可以是任何有理数，指数n是相同因数的个数，在现阶段中是正整数.乘方是乘法的特殊情况生4:当有理数相乘时,注意两个符号相遇一定要加括号,乘方和乘法都存在这样的易犯错误.生5：当底数是负数或分数时，书写时用括号把底数括起来.生6：负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂是正数；0的任何次幂是0 .生7：指数写在右上角.师:大家总结的很全面.还有和疑惑吗?生:书写时指数经常不注意写错地方.应用题有不会的.师:注意规范格式,应用题一定读懂题意.设计意图：培养学生的交流能力.小结能力，激励学生展示自我，认识自我，建立自信. 设计效果:教师要尊重学生的个体差异.尊重学生在小结过程中所表现出的不同水平，对学习有困难的学生，教师要给予及时的关照和帮助，尽量给他们以发言的机会，鼓励他们主动参与小结，发表看法，要肯定他们的点滴进步，以增强他们的兴趣和信心，而不能每次都由优等生进行课堂小结.第七环节：布置作业(必做题)习题2.13，知识技能1.2.(选做题)数学理解4.(选做题)5.设计意图：复习巩固检测本节知识，训练提高运算技能，以及应用数学知识解决实际问题的能力.设计效果:必答题学生把解答过程写出来，不要直接写出结果.如按乘方的定义，将乘方运算先转为乘法运算再进行计算.并注意乘方运算符号法则的运用.选做题学生根据自己所学来定.第八环节：板书设计通过某种细胞分裂和正方形面积，正方体体积的表示，引出相同因数相乘的计算问题，使学生对乘方的意义有一个直观的了解，同时也可以使学生认识到乘方运算存在于生活实际中．1.通过小组讨论，合作探究，以及一定量的练习，使学生能充分发挥他们的主观能动性，熟悉掌握相同因数相乘的简单表示法及乘方的表示，并计算出结果．2.让学生理解乘方是一种运算，幂是乘方的结果，以及底数和指数的区别．负数和分数的乘方，在书写时要将整个负数或分数用小括号括起来,引导学生去发现正数幂的特点与负数幂的特点．不足:1.学生对负数乘方和乘方的相反数还是易混淆.2.书写格式还是不规范.。