12章 代数系统习题补充
图论及代数系统答案A
计算机04级代数系统及图论试题（A ）答案一、证明：（1） 由表1可得<{e,a},*>的运算表如下：（酌情给1~5分）由表可知，幺元为e ，a 的逆元为a ，显然运算满足封闭性、结合律，故<{e,a},*>是一个群。
（酌情给1~5分）（2） 设{e,a}=M ，则M 的所有左陪集有bM={a,b}，cM={b,c}，dM={c,e} （酌情给1~5分）若<G ,*>是群，则应满足 |M|⎢|G|，但|M|=2，|G|=5，故<G ,*>不是群。
（酌情给1~5分）二、证明：必要性设f 是入射。
因为f(e)=e ’，所以e ∈Ker(f)。
若另有a ∈G ，使得f(a)=e ’，则f(a)=f(e)，由于f 是入射，故必有a=e ，因此Ker(f)={e}。
（酌情给1~5分）充分性设Ker(f)={e}。
对于a,b ∈G 1，如果f(a)=f(b)，则有f(b*a -1)=f(b)∆f(a -1)=f(a)∆f(a -1)= f(a*a -1)=f(e)=e ’,故b*a -1∈Ker(f)，所以b*a -1=e ，因此有（b*a -1）*a=e*a ，即b=a ，所以f 是入射。
（酌情给1~5分） 三、(a)不是格，(b),(c),(d)都是格；（酌情给1~4分）其中(b)是有界格、分配格；(c)是有界格、分配格、有补格；(d)是有界格、有补格。
（酌情给1~6分） 四、证：设a 是L 中的任意一个元素，如果21,a a 都是a 的补元，则有)()()()()()()()(2112212221211211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∧=∧∨∧=∨∧=∧=∧∨∧=∨∧=故有21a a =。
（酌情给1~10分）其它正确的证明方法。
（酌情给1~10分） 五、解：G 与G 的并为完全图K n ，因为n 为奇数，所以K n 中每个顶点的度为n-1，为偶数。
代数系统基础习题及答案
习题71.有理数集Q 和Q 上定义的下列运算*是否构成一个代数系统。
(1)()1*2a b a b =+ (2)()2*a b a b =-(3)2*2a b b =+(4)*10a ba b +=解答：（1）是。
（2）否。
运算不封闭（3）否。
运算不封闭（4）是2.设集合{1,2,3,,10}A = ，判断下面定义的运算关于集合A 是否封闭。
(1)*max{,}x y x y = (2)*min{,}x y x y = (3)*gcd{,}x y x y =，即x y ，的最大公约数(4)*{,}x y lcm x y = ，即x y ，的最小公倍数解答：(1)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为10，零元为1。
(2)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为1，零元为10。
(3)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元不存在，零元为1。
(4)不封闭。
3.设{1,2,3,4,6,12}A =，A 上的运算*定义为:*=a b a b - （1）写出二元运算*的运算表。
（2）A 和*能构成代数系统吗？为什么？解答：（1）运算表如下*12346121012351121012410321013943210286543206121110986（2）不能。
0,5,8,9,10,11不是A 中的元素，运算不封闭。
4.考虑有理数集Q ，设*是如下定义的Q 上的运算：*a b a b ab=+-(1)求3*4,2*(-5)和7*1/2。
(2)*在Q 上可结合吗？*在Q 上可交换吗？(3)求Q 上关于运算*的单位元。
(4)集合Q 上所有元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。
解答：(1)3434125*=+-=-，2(5)25107*-=-+=，71271721*=+-=。
(2)()()a b c a b ab c a b c ab ac bc abc**=+-*=++---+()()a b c a b c bc a b c ab ac bc abc **=*+-=++---+即()()a b c a b c **=**。
第三部分 代数系统
(4) 如果V1=V2，则称作自同态
第八章
代数系统
第九章
半群与群
广群
定义9.1 广群（groupoid）仅有一个二元运 算的代数系统称之为广群。
半群
定义9.2 半群（semigroup）：设有代数系统<S， *>， 其中S是非空集合， *是S上的可结合的二元运算， 则称<S， *>为半群。 由定义， 半群中的二元运算 *应满足下面两个条件： 1) *在S上封闭； 2) *在S上可结合。
唯一性定理
定理8.1 设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的 左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.
证： el = el◦er r为右单位元) (e r = er l为左单位元) el◦e (e
所以el = er , 将这个单位元记作e. 假设e也是 S 中的单位元，则有 e=e◦e = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：
f 2＝{(1， 3)， (2， 4)， (3， 1)， (4， 2)} f 3＝{(1， 4)， (2， 1)， (3， 2)， (4， 3)}
例题
还可求得 f 4＝{(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)， (4， 4)}＝f 0 f 5＝f， f 6＝f 2， …， 一般的有
f 1＝f res4 (i) (i∈N)
二元运算的性质
定义8.9 设◦为S上的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 z◦x=z◦y，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足左消去律. (2)若对任意x,y,z∈S有 x◦z=y◦z，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足右消去律. 左消去律和右消去律都称为消去律，又称为可约律。
2023年新版近世代数练习题题库
§1 第一章基础知识1.1鉴定题:1.2设和所有是非空集合, 那么。
（）1.3A×B = B×A （）1.4只要是到一一映射, 那么必有唯一逆映射。
（）1.5假如ϕ是A到A一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a。
( )1.6集合A到B可逆映射一定是A到B双射。
（）1.7设、、所有是非空集合, 则到每个映射所有叫作二元运算。
（）1.8在整数集Z上, 定义“”：a b=ab(a,b∈Z), 则“”是Z一个二元运算。
（）1.9整数整除关系是Z一个等价关系。
( )1.10填空题:1.11若A={0,1} , 则A⨯A= __________________________________。
1.12设A = {1, 2}, B = {a, b}, 则A×B =_________________。
1.13设={1,2,3} B={a,b},则A⨯B=_______。
1.14设A={1,2}, 则A⨯A=_____________________。
1.15设集合；, 则有。
1.16假如是和间一一映射, 是一个元, 则。
1.17设A =｛a1, a2,…a8｝, 则A上不同样二元运算共有个。
1.18设A、B是集合, | A |＝| B |＝3, 则共可定义个从A到B映射, 其中有个单射, 有个满射, 有个双射。
1.19设A是n元集, B是m元集, 那么A到B映射共有____________个.1.20设A={a,b,c}，则A到A一一映射共有__________个.1.21设A={a,b,c,d,e}, 则A一一变换共有______个.1.22集合元间关系～叫做等价关系, 假如～适合下列三个条件: _____________________________________________。
1.23设 A =｛a, b, c｝, 那么A所有不同样等价关系个数为______________。
第8章习题答案
习题81.设S＝{a，b}，试问S上总共可定义多少个二元运算？解由于S是n元集，则S×S应有n2个元素，S上的一个二元运算就是S×S到S的函数，这样的函数有个2n n，因此S＝{a，b}上的二元运算有222＝16个。
2.分别给出满足下列条件的代数系统。
(1)有幺元。
(2)有零元。
(3)同时有幺元和零元(代数系统元素个数大于1)。
(4)有幺元，但无零元。
(5)有零元，但无幺元。
(6)运算不可交换。
(7)运算不可结合。
(8)有左零元，无右零元。
(9)有右幺元，无左幺元。
(10)有幺元，每个元素有逆元。
解给出的例子如下所示：(1)、(2)、(10) (3) (4) (5)、3.S＝Q×Q S<a，b b>。
(1)运算*是否满足交换律和结合律？是否满足幂等律？(2)关于运算*是否有幺元和零元？如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
解 (1)因为<0，0>*<1，1>＝<0，0>，<1，1>*<0，0>＝<0，1>，则有<0，0>*<1，1>≠<1，1>*<0，0>，所以运算*不满足交换律。
因为(<a，b>*<x，y>)*<u，w>＝<ax，ay＋b>*<u，w>＝<axu，axw＋ay＋b>，<a，b>*(<x，y>*<u，w>)＝<a，b>*<xu，xw＋y>＝<axu，axw＋ay＋b>，所运算*满足结合律。
因为<1，1>*<1，1>＝<1，2>≠<1，1>，所以运算*不满足幂等律。
(2)因为<a，b>*<1，0>＝<a，b>，<1，0>*<a，b>＝<a，b>，所以关于运算*存在幺元<1，0>。
第六章 代数系统
第六章代数系统1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。
2。
判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。
3. 判断正误,并说明原因：实数集合R上的除法运算“÷”是个封闭的运算。
4.填空题：代数系统的定义是:( ）。
5。
填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性,则它的运算表的特征是( ）。
6.填空题：＊是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。
7。
简答题：*是X上的二元运算，＊具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？8. 简答题：＊是X上的二元运算，＊具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？9. 简答题：*是X上的二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素是元素x的逆元？10 令N4=｛0,1，2,3},N4上定义运算+4：任何x,y∈N4 , x+4 y=（x+y)(mod 4) 。
例如2+43=(2+3)（mod 4）=5（mod 4)＝1请列出<N4, +4〉的运算表.然后判断+4运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么.11。
判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“－”来说，0是幺元.12. 填空题：E是全集,E=｛a,b}，E的幂集P（E）上的交运算⋂的幺元是( ）。
零元是（）.有逆元的元素是( ），它们的逆元分别是（)。
13. 填空题：E是全集,E={a，b}，E的幂集P（E)上的并运算⋃的幺元是（）。
零元是( ）。
有逆元的元素是（)，它们的逆元分别是（）.14. 填空题：E是全集，E=｛a,b}，E的幂集P（E)上的对称差运算⊕的幺元是（）。
零元是( )。
有逆元的元素是( ）.它们的逆元分别是（)。
15。
填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。
16。
填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。
17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有( ），其零元是( ）。
代数系统练习题答案
代数系统练习题答案1. 以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1) P关于对称差运算⊕，其中P为幂集.构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。
2) A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2. 设集合A={a,b}，那么在A上可以定义多少不同的二元运算？在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3. 设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1) 列出B的元素.元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={IA，EA}2) 给出代数系统V=的运算表.3) 求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.幺元EA、零元IA；只有EA可逆，其逆元为EA.4) 说明V是否为半群、独异点和群？V是为半群、独异点，不是群4. 设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1) 给出关于*运算的一个运算表.其中表中？位置可以是a、b、c。
2) *运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*=c ≠*b=b5. 设是一个代数系统。
*是R上的一个二元运算，使得对于R中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b.证明：: 是独异点.6. 如果是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则*=a*b.*= a**b结合律= a**b 交换律= *= a*b.7. 设是一个群,则?a,b,c∈S。
试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.8. 设是群，a∈G .现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，?x,y∈G .证明：也是群 .证明：显然⊙是G上的一个二元运算。
代数系统
代数系统一、选择题：1、下列正整数集的子集在普通加法运算下封闭的是（ D ）A 、{30x x ≤}B 、{x x 与30互质}C 、{x x 是30的因子}D 、{x x 是30的倍数}2、设S={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于S 非封闭的有（ D ）A 、x*y=max(x ,y)B 、x*y=min(x ,y)C 、x*y=取其最大公约数D 、x*y= 取其最小公倍数3、设集合A 的幂集为()A ρ，-⨯I U 、、、为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算，则下列系统中是代数系统的为（ D ）A 、()A ρI ,B 、()A ρU ,C 、(),A ρ-D 、(),A ρ⨯4、在自然数集上定义的下列四种运算，其中满足结合律的是（C ）A 、a b a b *=-B 、||a b a b *=-C 、max{,}a b a b *=D 、2a b a b *=+5、设Z +为正整数集，*表示求两数的最小公倍数，对代数系统*A Z +=,，有（ A ）A 、1是么元，无零元B 、1是零元，无么元C 、无零元，无么元D 、无等幂元6、设非空有限集S 的幂集为()S ρ，对代数系统()A S ρ=I ,，有（ B ）A 、Φ是么元，S 是零元B 、Φ是零元，S 是么元C 、唯一等幂元D 、无等幂元7、在有理数集Q 上定义的二元运算*： xy y x y x -+=*，则Q 中元素满足（ C ）A 、都有逆元B 、只有唯一逆元C 、1x ≠时，有逆元D 、都无逆元8、设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 一定不是（ D ）A 、半群B 、独异点C 、可交换的独异点D 、循环独异点9、设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >（ B ）A 、是半群，但非独异点B 、是独异点，但非群C 、是群，但非阿贝尔群D 、是阿贝尔群10、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）A 、不能构成群B 、不一定能构成群C 、能构成群D 、能构成阿贝尔群二、填充题：1、下表中的运算均定义在实数集上，请在相应的空格中打“√”或填上具体实数（不满足2、设(6)。
代数系统练习
一、填空1.下列集合中， 对普通加法和普通乘法都封闭。
（ ）（A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{}N n n ∈22、在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的？ （ ） （A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a -3、有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？（ ） （A ）b a b a =* （B ）()1ln 22++=*b a b a（C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=*4、下列运算中，哪种运算关于整数集I 不能构成半群？（ ） （A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=*5．设代数系统〈A ，·〉，则（ ）成立.A ．如果〈A ，·〉是群，则〈A ，·〉是阿贝尔群B ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉是循环群C ．如果〈A ，·〉是循环群，则〈A ，·〉是阿贝尔群D ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉必不是循环群6．设〈L ,∧∨,〉是格，〈L ，≤〉是由这个格诱导的偏序集，则（ ）不成立.A ．对任意a L b a ,,∈≤b b a b =∨↔B ．∧∨对是可分配C ．∧∨,都满足幂等律D ．〈L,≤〉的每对元素都有最小上界与最大下界7．在下列四个哈斯图表示的偏序集中（ ）是格.8. 已知偏序集的哈斯图，如图所示，是格的为( )9. 6阶有限群的任何子群一定不是（）。
(A) 2阶(B) 3 阶(C) 4 阶(D) 6 阶10. 下列哪个偏序集构成有界格（）(1) （N,≤）(2) （Z,≥）(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),⊆)11. 下面代数系统中（G、＊）中（）不是群A、G为整数集合＊为加法B、G为偶数集合＊为加法C、G为有理数集合＊为加法D、G为有理数集合＊为乘法12. 设<G、＊> 是阶大于1的群，则下列命题中（）不真。
代数系统
代数系统一、单项选择题：1．设集合A={1,2,…,10}，在集合A上定义的运算，不是封闭的为（）。
（A）∀a, b∈A，a*b=lcm{a, b}（最小公倍数）（B）∀a, b∈A，a*b=gcd{a, b}（最大公约数）（C）∀a, b∈A，a*b=max{a, b}（D）∀a, b∈A，a*b=min{a, b}2．下列代数系统<G, *>（其中*是普通加法运算）中，（）不是群。
（A）G为整数集合（B）G为偶数集合（C）G为有理数集合（D）G为自然数集合3．在自然数N上定义的二元运算◦，满足结合律的是（）。
（A）a◦b=a- b（B）a◦b=a+4b（C）a◦b= min{a, b} （D）a◦b=| a- b|4．在布尔代数L中，表达是(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。
（A）b∧(a∨c) （B）(a∧c)∨(a∧b)（C）(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) （D）(b∨c)∧(a∨c)5．设集合A={a, b, c}，代数系统G=<{∅, A}, ⋃>和H=<{{a, b}, A}, ⋃>同构的映射是（）。
（A）f : G→H, f (A)=∅, f ({a, b})=A（B）f : G→H, f (∅)=A, f (A)={a, b}（C）f : G→H, f ({a, b})=∅, f (A)=A（D）f : G→H, f (∅)={a, b}, f (A)=A6．同类型的代数系统不具有的特征是（）。
（A）子代数的个数相同（B）运算的个数相同（C）相同的构成成分（D）相同元数的运算个数相同7．下列图表示的偏序集中，是格的为（）。
（A）（B）（C）（D）8．下列各代数系统中不含有零元素的是（）。
（A）<Q, *>，Q是全体有理数集，*是普通乘法运算（B）<M n(R), *>，M n(R)是全体阶n实矩阵集合，*是矩阵乘法运算（C）<Z, *>，Z是整数集，*定义为x*y=xy, x, y∈Z（D）<Z, +>，Z是整数集，+是普通加法运算9．设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A)，+,-,/为数的加、减、除运算，⋂为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有（）。
习题几个典型的代数系统
第五章习题几个典型的代数系统.设A={0,1},试给出半群<A A,>的运算表,其中为函数的复合运算。
.设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。
.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：x,y∈Z,x y=x+y-2问Z关于运算能否构成群为什么.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=1-x,f4(x)=(1-x)-1,f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。
(1) 给出运算的运算表。
(2) 验证<F,>是一个群。
.设G为群,且存在a∈G,使得G={a k|k∈Z}, 证明G是交换群。
.证明群中运算满足消去律..设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。
.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。
.证明4阶群必含2阶元。
设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。
.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。
(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。
. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。
(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。
(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。
(3) A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。
(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。
.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba..设H是群G的子群,x∈G,令xHx-1={xhx-1|h∈H},证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。
.设(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表(2) 试找出G的所有子群(3) 证明G的所有子群都是正规子群。
(完整word版)离散数学习题解+代数系统
离散数学习题解代数系统习题四 第四章代数系统1．设I 为整数集合。
判断下面的二元关系是否是I 上的二元运算a ）+=｛（x ，y ），z|x ，y ，zI 且z=x+y}b ）－={（（x ，y ），z ）｜x,y ，zI 且z=x －y}c ）×={（（x,y)，z ）｜x ，y ，zI 且z=x ×y}d ）/={(（x ，y)，z)|x ，y ，zI 且z=x/y ｝e ）R={（（x,y ），z)｜x,y,zI 且z=x y｝f ）=｛（（x ，y),z ）｜x ，y ，zI 且z=yx }g)min = ｛(（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=max （x ，y)} h ）min = {（（x,y ），z)|x,y,zI 且z=min （x ，y ）} i ）GCD = {（(x ，y ），z ）｜x ，y ，zI 且z= GCD(x ，y ）} j ）LCM={（（x ，y ）,z ）｜x ，y ，z ∈I 且z= LCM （x ，y ）｝[解］ a ）是。
由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一,故知+：I 2→I 是I 上的一个二元运算. b ）是。
由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一,故知一：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
c ）是.由于两个整数这积仍为整数,且结果唯一，故知x ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
d ）不是:例如若x=5，y=6,则z=x/y=5/6∉I;当y=0时z=x|y=x/0无定义. e ）不是。
例如若x=2,y= —2，则z=x y=2–2=221=I 41∉；若x=y=0，则z=x y=0,则z=I 2x ∉=χ; g ）是。
由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。
故知max ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
h ）是。
由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。
故知min ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
代数系统习题
第三部分：代数系统1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。
( )2.每一个有限整环一定是域，反之也对。
( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
( )4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。
( )5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。
( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。
( )7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。
( )8.循环群一定是阿贝尔群。
( )9.每一个链都是分配格。
( )1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈( )A. min(,)a b a b *=B. 2a b a b *=+C. 3a b a b *=+-D. a b a b *=+ (mod3)2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 不能构成交换群D. 能构成交换群3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )A. 5B. 6C. 3D. 94. 设<A,*, >是环，则下列正确的是 ( )A. <A, >是交换群B. <A,*>是加法群C. 对*是可分配的D. *对 是可分配的5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. NB. {2|}x x I ∈C. {21|}x x I +∈D. {x |x 是质数}6. 具有如下定义的代数系统,G 〈*〉，哪个不构成群 ( )A. G={1,10}，*是模11乘B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G 〈*〉的么元为 () A.不存在 B. e ＝0023⨯ C. e ＝2×3 D. e ＝1123--⨯8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 必能构成群D. 能构成交换群9. 在自然数集N 上，下面哪个运算是可结合的，对任意a,b N ∈ ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 5a b a b *=+D. ||a b a b *=-10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q 〈*〉的幺元为( )A. aB. bC. 1D. 011. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ （ ）A.数的加B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. ,G 〈*〉是群，则对* ( )A. 满足结合律、交换律B. 有单位元，可结合C. 有单位元，可交换D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R 的下列运算，哪个满足结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=21 C. n m n m 2+= D. 22n m n m +=14. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环一定是域B. 域下一定是整环C. 域一定是整环D. 域一定不是整环16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )A. {1,10}G =，*是模11乘B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)C. G Q = (有理数集)，*是普通加法D. G Q =，*是普通乘法17. Q 为有理数集，,Q ⨯ (其中⨯为普通乘法)不能构成 ( )A. 群B. 独异点C. 半群D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|19. 设I 是整数集，+，分别是普通加法和乘法，则,,I +是 ( )A. 域B. 整环和域C. 整环D. 含零因子环20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *=，则代数系统,R *是( )A. 半群B. 独异点C. 群D. 阿贝尔群21. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )A. min(,)a b a b *=B. 3a b a b *=++C. 2a b a b *=+D. a b a b *= (mod3)22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是( )A. aB. bC. 1D. 023. 设,H ，,K 是群,G 的子群，下面哪个代数系统仍是,G 的子群( )A. ,HKB. ,H KC. ,H K -D. ,K H -24. 群,R +与{0},R -⨯ ( )A. 同态B. 同构C. 后者是的前者的子群D. (2)与(3)都正确25. 在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的 ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 2a b a b *=+D. ||a b a b *=-26. 循环群,I +的所有生成元为 ( )A. 1,0B. -1,2C. 1，2D. 1，-127. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群B. 置换群C. 变换群D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪一个可以构成群？ （ ）(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。
代数系统-环-例题
例题1、 设 <A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，A1⨯A2 是环的直积定义为：A1⨯A2 ={<a,b>|a ∈A1,b ∈A2}。
在 A1⨯A2 上定义运算 ⊕ 和 ⊗ 如下：对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2，则<a1,b1>⊕<a2,b2>=<a 1★a2,b 1★b2><a1,b1>⊗<a2,b2>=<a1 * a2,b1 * b2>证明：（1）<A1⨯A2,⊕,⊗>构成环；（2）若 A1,A2 都是有单位元的环，则 A1⨯A2也是吗？（3）若 A1,A2 都是无零因子的环，则 A1⨯A2也是吗？（1）<A1⨯A2,⊕>交换群首先运算是封闭的，是一个代数系统：对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2， <a1,b1>⊕<a2,b2>=<a 1★a2,b 1★b2>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以★运算在A1，A2上封闭，a1∈A1，a2∈A1,所以，a 1★a2∈A1,b1∈A2，b2∈A2,所以，b 1★b2∈A2，所以<a 1★a2,b 1★b2>∈A1⨯A2所以封闭结合律：对任意的<a1,b1>,<a2,b2><a3,b3>∈ A1⨯A2，(<a1,b1>⊕<a2,b2>)⊕<a3,b3>＝< (a 1★a2)★a3, (b 1★b2)★b3><a1,b1>⊕(<a2,b2>⊕<a3,b3>)＝< a 1★(a2★a3), b 1★(b2★b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以<A1,★> ,<A2,★>满足结合律所以(a 1★a2)★a3＝a 1★(a2★a3)，(b 1★b2)★b3＝b 1★(b2★b3)所以< (a 1★a2)★a3, (b 1★b2)★b3>＝< a 1★(a2★a3), b 1★(b2★b3)>所以(<a1,b1>⊕<a2,b2>)⊕<a3,b3>＝<a1,b1>⊕(<a2,b2>⊕<a3,b3>)所以满足结合律单位元：设<A1,★> ,<A2,★>上单位元分别是e1,e2则，任取<a1,b1>∈ A1⨯A2， <a1,b1>⊕<e1,e2>=<a 1★e1,b 1★e2>=<a1,b1><e1,e2>⊕<a1,b1>=<e1★a1,e2★b1>=<a1,b1>所以存在单位元<e1,e2>逆元：任取<a1,b1>∈ A1⨯A2，因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以在<A1,★>上存在a1的逆元11a -，在<A2,★>上存在b1的逆元11b -，<a1,b1>⊕<11a -,11b ->=<a1★11a -, b1★11b ->=<e1,e2>, 所以<11a -,11b ->是<a1,b1>的逆元，所以，存在逆元交换律：对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊕<a2,b2>=<a 1★a2,b 1★b2><a2,b2>⊕<a1,b1>=<a2★a 1, b2★b 1>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以<A1,★>满足交换律，<A2,★>满足交换律，所以，a 1★a2＝a2★a 1，b 1★b2＝b2★b 1，所以<a 1★a2,b 1★b2>＝<a2★a1, b2★b1>所以，<a1,b1>⊕<a2,b2>＝<a2,b2>⊕<a1,b1>所以，满足交换律<A1⨯A2, ⊗>半群首先运算是封闭的，是一个代数系统对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊗<a2,b2>=<a1*a2,b1*b2>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以*运算在A1，A2上封闭，a1∈A1，a2∈A1,所以，a1*a2∈A1,b1∈A2，b2∈A2,所以，b1*b2∈A2，所以<a1*a2,b1*b2>∈A1⨯A2 所以封闭结合律：对任意的<a1,b1>,<a2,b2><a3,b3>∈ A1⨯A2，(<a1,b1>⊗<a2,b2>)⊗<a3,b3>＝< (a1*a2)*a3, (b1*b2)*b3><a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊗<a3,b3>)＝< a1*(a2*a3), b1*(b2*b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以<A1,*> ,<A2,*>是半群，满足结合律所以(a1*a2)*a3＝a1*(a2*a3)，(b1*b2)*b3＝b1*(b2*b3)所以< (a1*a2)*a3, (b1*b2)*b3>＝< a1*(a2*a3), b1*(b2*b3)>所以(<a1,b1>⊗<a2,b2>)⊗<a3,b3>＝<a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊗<a3,b3>)所以满足结合律⊗对⊕满足分配律对任意的<a1,b1>,<a2,b2><a3,b3>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊕<a3,b3>)＝< a1*(a2★a3), b1*(b2★b3)>(<a1,b1>⊗ <a2,b2>)⊕(<a1,b1>⊗<a3,b3>)=<( a1*a2)★(a1*a3),(b1*b2)★(b1*b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环,所以，a1*(a2★a3)＝( a1*a2)★(a1*a3)，b1*(b2★b3)＝(b1*b2)★(b1*b3)所以，< a1*(a2★a3), b1*(b2★b3)>＝<( a1*a2)★(a1*a3),(b1*b2)★(b1*b3)>所以，<a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊕<a3,b3>)＝(<a1,b1>⊗ <a2,b2>)⊕(<a1,b1>⊗<a3,b3>)（<a1,b1>⊕<a2,b2>）⊗<a3,b3>＝<（a1★a2）*a3,( b1★b2)*b3>(<a1,b1>⊗ <a3,b3>)⊕(<a2,b2>⊗<a3,b3>)=<( a1*a3)★(a2*a3),(b1*b3)★(b2*b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环,所以，(a1★a2）*a3＝( a1*a3)★(a2*a3)，( b1★b2)*b3＝,(b1*b3)★(b2*b3)所以，<（a1★a2）*a3,( b1★b2)*b3>=<( a1*a3)★(a2*a3),(b1*b3)★(b2*b3)>所以，（<a1,b1>⊕<a2,b2>）⊗<a3,b3>=(<a1,b1>⊗ <a3,b3>)⊕(<a2,b2>⊗<a3,b3>)所以满足分配律（2）A1,A2 都是有单位元的环，设其单位元分别为E1，E2任取<a1,b1>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊗<E1,E2>=<a1*E1,b1*E2>=<a1,b1><E1,E2>⊗<a1,b1>=<E1*a1,E2*b1>=<a1,b1>所以存在单位元<E1,E2>(3)<A1⨯A2,⊕,⊗>的零元是<e1,e2>设<A1,★> ,<A2,★>上单位元分别是e1,e2则，任取<a1,b1>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊕<e1,e2>=<a1★e1,b1★e2>=<a1,b1><e1,e2>⊕<a1,b1>=<e1★a1,e2★b1>=<a1,b1>所以存在零元<e1,e2>（3）假设存在零因子<c1,c2><d1,d2>, <c1,c2>⊗<d1,d2>=<c1*d1,c2*d2>=<e1,e2>即，c1*d1=e1，c2*d2=e2,A1,A2 都是无零因子的环因为A1无零因子，所以c1，d1中有至少一个等于e1，因为A2无零因子，所以c2，d2中有至少一个等于e2，（1）若d1=el, c2=e2即取<c1,e2><e1,d2>,且c1不等于e1, d2不等于e2<c1,e2>⊗<e1,d2>=<c1*e1,e2*d2>因为c1*e1=e1,且e2*d2=e2则存在零因子<c1,e2><e1,d2>（2）同理取c1=e1，d2=e2，则存在零因子<e1,c2><d1,e2>（3）若取c1=d1= e1，c2,d2中有一个为e2,则<c1,c2><d1,d2>,中有一个等于<e1,e2>，矛盾，无零因子（4）若取c1=d1= e1，c2=d2=e2,则<c1,c2><d1,d2>,两个都等于<e1,e2>，矛盾，无零因子 所以，虽然A1,A2 中都无零因子，A1⨯A2中不一定无零因子例2、证明 <{0,1},⊕,⊗>是一个整环，其中运算 ⊕和 ⊗定义如右图。
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代数系统第三篇代数系统（参考答案）第6章习题解答6.1 略6.2 通过运算表判别⼆元运算性质及求特导元素的⽅法：(1)交换律. 若运算表中元素关于主对⾓线成对称分布,则运算满⾜交换律.(2)⼳元.e 设运算表表头元素的排列顺序为,,,21n x x x 如果元素i x 所在的⾏和列的元素排列顺序也是,,,21n x x x 则i x 为⼳元.(3)可逆元素及其逆元.设i x 为任意元素,如果i x 所在的⾏和列都有⼳元,并且这两个⼳元关于主对⾓线成对称分布,⽐如说第i ⾏第j 列和第j ⾏第i 列的两个位置,那么j x 与i x 互为逆元.如果i x 所在的⾏和列具有共同的⼳元,则⼳元⼀定在主对⾓线上,那么i x 的逆元就是i x ⾃⼰.如果i x 所在的和地或者所在的列没有⼳元,那么i x 不是可逆元素.不难看出⼳元e ⼀定是可逆元素,且e e =-1;⽽零元θ不是可逆元素.(4)零元.θ如果元素i x 所在的⾏和列的元素都是i x ,则i x 是零元.(5)幂等元. 设运算表表头元素的排列顺序为,,,21n x x x 如果主对⾓线上第i 个元素恰为},,2,1{n i x i ∈那么i x 是幂等元.易见⼳元和零元都是幂等元.(6)幂等律.设运算表表头元素的排列顺序为,,,21n x x x 如果主对⾓线元素的排列也为 ,,,21n x x x 则该运算满⾜幂等律.其他性质,如结合律或者涉及到两个运算表的分配律和吸收律,在运算表中没有明显的特征,只能针对所有可能的元素z y x ,,等来验证相关的算律是否成⽴.6.3 略6.4 解结果如表6-1所⽰.表6-16.5 解 (1) <6, 13>.(2) 不可交换，可结合.①任取Q Q y x b a ?>∈<><,,,,由>+>=<<*><b ay="" ax="" y="" x="" b="" a="" ,,,<="" p="" bdsfid="82">。
上海大学代数系统练习题教程文件
f(x)=a, f(y)=b 因为<A,*>是半群，必有x*yA，于是
a∘b=f(x)∘f(y)=f(x*y)f(A)，即∘在f(A)上封闭。 a,b,cf(A)，必有x,y,zA，使得f(x)=a，f(y)=b，f(z)=c
(a∘b)∘c=(f(x)∘f(y))∘f(z)=f(x*y)∘f(z)=f((x*y)*z)=f(x*(y*z)) =f(x)∘f (y*z)=f(x)∘(f(y)∘f(z))=a∘(b∘c)
为<A,*>是群，x–1A且f(x–1)f(A)，于是 a∘f(x–1)=f(x)∘f(x–1)=f(x*x–1)=f(e) f(x–1)∘a=f(x–1)∘f(x)=f(x–1*x)=f(e)
所以a –1= f(x)–1=f(x–1)f(A)。 因此<f(A),∘>是群。
【例7.16】设Q,＋是有理数加法群， Q-0, ·是非零有 理数乘法群，试证明群Q,＋和群Q-0,·不同构。
所以G中代数系统之间的同构关系是等价关系。 定理7.6.2 设f为由代数系统<A,*>到代数系统<B,∘>的一 个同态映射。 ⑴如果<A,*>是半群，那么同态像<f(A),∘>也是半群。 ⑵如果<A,*>是独异点，那么同态像<f(A),∘>也是独异点。 ⑶如果<A,*>是群，那么同态像<f(A),∘>也是群。 证明：⑴ 设<A,*>是半群，a,bf(A)，必有x,yA，使
12章 代数系统习题补充
1.通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。
⑴A=⎨1,2⎬。
⑵B=⎨b|b是素数⎬。
⑶C=⎨c|c是偶数⎬。
⑷D=⎨2n| n∈N⎬。
解：⑴因为2×2＝4∉A，所以数的乘法运算不A上的二元运算。
⑵因为2、3∈B，2×3＝6∉B，所以数的乘法运算不是B上的二元运算。
⑶∀a,b∈C，a、b是偶数，a×b也是偶数，即a×b∈C且a×b的结果是唯一的，所以数的乘法运算是C上的二元运算。
(4) ∀a,b∈D,∃n,m∈N，使a＝2n，b＝2m，a×b=2n×2m=2n+m,n+m∈N，所以a×b∈D且运算结果唯一，故数的乘法运算是D上的二元运算。
2.集合A=⎨1,2,3,4⎬，*和ο是A上的二元运算，其中运算*定义为a*b=ab−b，运算ο定义为aοb=max(a, b)，试写出*和ο的运算表。
解：*和ο的运算表如表6.12和表6.13所示。
表6.12 表6.133.<N7,＋7>和<N7,×7>是代数系统，其中N7=⎨0,1,2,3,4,5,6⎬，运算＋7是模7加法，运算×7是模7乘法。
试写出＋7和×7的运算表。
解：＋7和×7的运算表如表6.14和表6.15所示。
表6.14----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------表6.154.设代数系统<A ,∗>，其中A =⎨a ,b ,c ⎬，∗是A 上的二元运算，分别由下列表给出。
习题与解答(代数系统) 离散答案
2
2
2
所以 ba=ab ,即 ab=ba， 因此 G 为交换群。 17、设 G 为群，a,b,c∈G, 证明： |abc|=|bca|=|cab| 证明：设|abc|=r , |bca|=t， 则 (abc) =e,
t r
(bca) =e
t
由于(abc) =(abc)(abc)……(abc) =a(bca)(bca)……(bca)a
-1 -1 -1 -1 -1 -1
则存在 h,k∈H, 使得 u=xhx ,v=xkx
-1
-1
,
则有 uv
-1
=(xhx )(xkx ) =(xhx )(xk x )=x(hk )x
-1 -1 -1 -1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
因为 H 为子群,hk 属于 H,从而 x(hk )x 属于 xHx . 即 uv ∈xHx
-1 -1
21、设 G 为群，a 是 G 中给定元素，a 的正规化子 N(a)表示 G 中与 a 可交换的元素构成的集合，即 N(a)={x| x∈G∧xa=ax } 证明：N(a)是 G 的子群 证明: (1) a∈N(a), 所以 N(a)非空(因为 a∈G∧aa=aa) (2) x,y ∈N(a) 则 xa=ax ya=ay
*
=(a∧b)∨(b∧c) =(b∧a)∨(b∧c) =b∧(a∨c) (2) f =(a∨b)∧(b∨c) 14、设 B 是布尔代数， a, b∈B, 证明： a≤b a∧b =0 a ∨b=1
(1) S1= 1 , , 2 , , 3 , , 4 ，运算为普通乘法。 1 2 1 3 1 4
代数系统测试题
代数系统测试题1、设Z4={0，1，2，3}，⊕为模4加法，⊙为模4乘法，构造<Z4, ⊕>和<Z4, ⊙>的运算表。
2、代数系统V1,V2,V3的运算表分别如图所示，说明这些运算是否满足交换律、结合律、幂等率，找出幺元、零元、所有可逆元素的逆元。
3、<A,*>和<B,☉>是两个代数系统，f 是<A,*>到<B,☉>的同构。
证明：（1）如果*是可结合的，那么☉也是可结合的。
（2）如果e 是<A,*>的幺元，则f(e)是<B,☉>的幺元。
（3）如果<A,*>中b 是a 的逆元，那么<B,☉>中f(a)是f(b)的逆元。
5、设V=<Z,+>，问3Z,{n|n=2z+1,z ∈Z},{0},V 是否为Z 的子 * a b c a a b c b b a c c c c c⊙ a b c a a b c b b b c c c c b 。
a b c a a a ab b b bc c c c代数系统？为什么？如果是，说明哪些是平凡子代数？哪些是真子代数？6、判断下面集合关于给定运算能否构成半群、独异点、和群？如果不能，说明理由。
（1）实数集R 关于º运算，其中，a ºb=2(a+b)7、设G 的运算表如表所示，问G 是否为循环群?如果是，求出生成元与子群。
8、设〉〈},*,{b a 是半群，其中b a a =*。
证明：（1）a b b a **=（2）b b b =*10、判断下面的哈斯图所示的关系是否为格？哪些是分配格？哪些是有界格?哪些是有补格？哪些是布尔格？。
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1.通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。
⑴A=⎨1,2⎬。
⑵B=⎨b|b是素数⎬。
⑶C=⎨c|c是偶数⎬。
⑷D=⎨2n| n∈N⎬。
解：⑴因为2×2＝4∉A，所以数的乘法运算不A上的二元运算。
⑵因为2、3∈B，2×3＝6∉B，所以数的乘法运算不是B上的二元运算。
⑶∀a,b∈C，a、b是偶数，a×b也是偶数，即a×b∈C且a×b的结果是唯一的，所以数的乘法运算是C上的二元运算。
(4) ∀a,b∈D,∃n,m∈N，使a＝2n，b＝2m，a×b=2n×2m=2n+m,n+m∈N，所以a×b∈D且运算结果唯一，故数的乘法运算是D上的二元运算。
2.集合A=⎨1,2,3,4⎬，*和 是A上的二元运算，其中运算*定义为a*b=ab−b，运算 定义为a b=max(a, b)，试写出*和 的运算表。
解：*和 的运算表如表6.12和表6.13所示。
表6.12 表6.133.<N7,＋7>和<N7,×7>是代数系统，其中N7=⎨0,1,2,3,4,5,6⎬，运算＋7是模7加法，运算×7是模7乘法。
试写出＋7和×7的运算表。
解：＋7和×7的运算表如表6.14和表6.15所示。
表6.14表6.154.设代数系统<A,∗>，其中A=⎨a,b,c⎬，∗是A上的二元运算，分别由下列表给出。
试分别讨论交换性、幂等性、单位元和逆元。
表6.3表6.4表6.5表6.6解：*的交换性、幂等性、单位元和逆元如表6.16所示。
表6.165.写出代数系统<N7,＋7>的幺元和零元，各元素的逆元。
解：代数系统<N7,＋7>的运算表如表6.14所示。
由表知幺元为0，无零元，0逆元是0，1和6，2和5，3和4互为逆元。
6.写出代数系统<N7,×7>的幺元和零元，各元素的逆元。
解：代数系统<N7,×7>的运算表如表6.15所示，由表知幺元为1，零元为0，0无逆元，1的逆元为1，6的逆元为6，2和4，3和5互为逆元。
7.设<A,∗>是代数系统，A是有限集，那么⑴当运算∗在A上是封闭的时，其运算表有何特征?⑵当运算∗是可交换运算时，其运算表有何特征?解：代数系统<A,∗>，A是有限集。
⑴当运算∗在A上是封闭的时，其运算表中各元素的运算结果都是集合A中的元素。
⑵当运算∗是可交换运算时，运算表关于主对角线是对称的。
8.设A=⎨1,3,5,7,9⎬，∗是A 上的二元运算，其定义分别为： ⑴a ∗b=min(a ,b ) ⑵a ∗b=a ⑶a ∗b=ab+a问：哪些运算满足幂等律？解：⑴ 满足幂等律。
因为∀a ∈A , a ∗a= min(a ,a )=a 。
⑵满足幂等律。
因为∀a ∈A , a ∗a=a 。
⑶不满足幂等律。
因为1∗1＝1×1＋1＝2≠1 9.写出<N 10,×10>的所有幂等元。
解：因为0×100=0，1×101=1，5×105=5，6×106=6，所以，0,1,5,6为幂等元。
10.设A=⎨1,2,3,4⎬，A 上的二元运算∗定义为取最大值运算，即∀a ,b ∈A ，有a ∗b=max(a ,b )证明∗是可结合的运算，并指出代数系统<A ,∗>的幺元、零元和各元素的逆元。
解：作∗运算表如表6.17所示，由表知，幺元为1，零元为4，1的逆元为1，其余元素无逆元。
(a ∗b )∗c = max(max(a ,b ),c )a ∗(b ∗c )= max(a ,max(b ,c ))以上两式都是取a ，b ，c 三者中得最大者，所以①a ≥b ≥c 和a ≥c ≥b 时，(a ∗b )∗c =a ＝a ∗(b ∗c ) ②b ≥a ≥c 和b ≥c ≥a 时，(a ∗b )∗c =b ＝a ∗(b ∗c ) ③c ≥a ≥b 和c ≥b ≥a 时，(a ∗b )∗c =c ＝a ∗(b ∗c )即∀a,b,c ∈A ，(a ∗b )∗c= a ∗(b ∗c )，∗运算满足结合律。
11.设<Z ,∗>是代数系统，∗的定义分别为：⑴a ∗b=|a+b|， ⑵a ∗b=a b ， ⑶a ∗b=a+b −1， ⑷a ∗b=a+2b ， ⑸a ∗b=2ab 。
问：哪些运算在Z 上是封闭的？哪些运算是可交换的？哪些运算是可结合的？ 解：Z 为整数集合， ⑴因为①整数加法运算在Z 上封闭，绝对值运算在Z 上也封闭。
②∀a,b ∈Z ，a ∗b=|a+b |=|b+a |=b ∗a ③当a ＝1，b ＝2，c ＝-3时，(a ∗b )∗c=||a+b |+c |=0，a ∗(b ∗c )=|a+|b +c ||=2，(a ∗b )∗c ≠a ∗(b ∗c )。
所以，∗运算在Z 上封闭，可交换，但不可结合。
⑵因为①当b ＜0时，a ∗b = a b 不一定是整数，例如a ＝2，b ＝-1，a ∗b =2-1∉Z ，②∀a,b ∈Z ，a ∗b=a b ， b ∗a=b a ，a ∗b 不一定等于b ∗a ，例如a ＝2，b ＝1时，a ∗b=a b =2，b ∗a=b a =1。
a ∗b ≠b ∗a 。
③当a =2，b=1，c =2，(a ∗b )∗c =(a b )∗c =(21)∗2=22=4，a ∗(b ∗c )=a ∗(b c )=2∗(12)=2，(a ∗b )∗c ≠a ∗(b ∗c )。
表6.17所以∗运算在Z 上不封闭，不可交换，不可结合。
⑶因为①整数加法和减法运算在Z 上封闭， ②∀a,b ∈Z ，a ∗b=a ＋b -1= b ＋a -1= b ∗a③∀a,b,c ∈Z ，(a ∗b )∗c =(a ＋b -1)＋c -1=a ＋b ＋c -2=a ＋(b ＋c -1)-1。
所以，∗运算在Z 上封闭，可交换，可结合。
⑷因为①整数加法和乘法运算在Z 上封闭。
②∀a,b ∈Z ，a ∗b=a ＋2b ，b ∗a=b ＋2a 。
a ∗b 不一定等于b ∗a ，如a ＝1，b ＝2时。
a ∗b=a ＋2b =5，b ∗a=b ＋2a=4，a ∗b ≠b ∗a 。
③∀a,b,c ∈Z ，(a ∗b )∗c =(a ＋2b )＋2c ，a ∗(b ∗c )=a ＋2(b ＋2c )=a ＋2b ＋4c ，当a ＝0，b ＝0，c ＝1时，(a ∗b )∗c =2，a ∗(b ∗c )=4，(a ∗b )∗c ≠a ∗(b ∗c )。
所以，∗运算在Z 上封闭，不可交换，也不可结合。
⑸因为①整数乘法运算在Z 上封闭， ②∀a,b ∈Z ，a ∗b=2ab =2ba =b ∗a③∀a,b,c ∈Z ，(a ∗b )∗c =2(2ab )∗c =4abc =2a ×2bc =2a (b ∗c )=a ∗(b ∗c )。
所以，∗运算在Z 上封闭，可交换，也可结合。
12.在代数系统<Z ,∗>中，Z 是整数集合，运算∗定义为a ∗b=a ＋b ＋ab ，证明运算∗在Z 上是封闭的，∗是可交换的和可结合的，并指出其幺元。
证明：①因为整数加法和乘法在整数集合Z 上封闭，所以，∗运算在Z 上是封闭的。
②因为a ∗b=a ＋b ＋ab=b ＋a ＋ba=b ∗a ，所以，∗运算在Z 上是可交换的。
③因为a ∗0=a ＋0＋a ×0=a =0＋a ＋0×a=0∗a ，即0为∗运算的幺元。
13.写出<N 5,＋5>的幺元和各元素的逆元。
解：∀i ∈N 5，i ＋50=i ＋0=i =0＋i =0＋5i 即0为＋5的幺元。
当i ＋j =j ＋i =0时，i 与j 互为逆元，即1和4，2和3互为逆元，0的逆元为0。
14.写出<N 5,×5>的幺元和各元素的逆元(如果有逆元)。
解：∀i ∈N 5，i ×51=i =1×5 i ， 所以，1为×5的幺元。
2×53＝3×52＝1，4×54＝1，所以， 0无逆元，1和4的逆元为自身，2和3互为逆元。
15.请构造一个含幺元的代数系统，且除幺元外，其它元素都没有逆元。
解：令A =⎨a ,b ,c ⎬，∗是A 上的二元运算，∗的运算表如表6.18所示。
根据运算表，a 为幺元，a 的逆元为a ，b 和c 无逆元。
16. <N k ,＋k ,×k >是代数系统，证明×k 对于＋k 是可分配的。
解： 根据＋k 和×k 的定义，一方面，因为a ×(b ＋c －k )=a ×(b ＋c )－ak ，ak mod k = 0，所以a ×(b ＋c －k ) mod k = a ×(b+c )表6.18mod k ，故a ×k (b ＋k c )= a ×(b ＋k c ) mod k =⎩⎨⎧≥+-+⨯<++⨯kc b k k c b a kc b k c b a mod )( mod )( =a ×(b ＋c ) mod k另一方面，当a ×b ＜k 时，a ×k b 也可以看成是a ×b 除以k ，商为0的余数，则a ×k b =a ×b mod k (a ×b 除以k 的余数)，于是对于∀a,b,c ∈N k , 可设a ×b ＝ek+m ，a ×c ＝fk+n ，e,f,m,n 为自然数，0≤m,n ＜k 。
则a ×k b =a ×b mod k =m ，a ×k c = a ×c mod k =n 。
当m ＋n ＜k 时，a ×(b+c ) mod k =(a ×b mod k )+ (a ×c mod k )= m ＋n当m ＋n ≥k 时，a ×(b+c ) mod k =(a ×b mod k )+ (a ×c mod k )－k = m ＋n －k 将以上两式合并成一个式子：a ×(b ＋c ) mod k =(a ×b mod k )＋k (a ×c mod k ) a ×k (b ＋k c )= a ×(b ＋c ) mod k =(a ×b mod k )＋k (a ×c mod k ) = (a ×k b )＋k (a ×k c ) 所以×k 对＋k 满足左分配律。