2007年全国数学建模大赛A题中国人口增长预测与控制题目和论文赏析(1)(1)

中国人口增长预测与控制摘要近年来，中国人口最突出的特点是：老龄化加速、出生人口性别比持续增高和乡村人口城镇化。

针对这些特点，建立各个影响因素的数学模型，最后建立中国人口的增长模型。

对于问题一，首先将人口增长的预测问题转化为对出生率、死亡率和城镇乡转移率的预测。

通过原题附录3数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可以归结为出生率、死亡率和城镇乡转移率，并依此建立了不同参数随时间变化的递推数学模型，讨论了各个参数对人口增长的影响。

其次，分别拟合死亡率和生育率、城镇乡转移率对年龄的分布。

建立了差分数学模型，将死亡率、生育率与城镇乡转移率的预测归结到总和死亡率、总和生育率与城镇乡总和转移率的预测，由于概率分布是相对稳定的，模型参数整体健壮。

对中短期的预测而言，总和死亡率、生育率和转移率的变化是近似线性的；对长期的预测，采用SI和SIS模型来描述其非线性变化，其模型的控制参数变化体现了国家人口政策的控制力度，结果表明模型具有长期可控性。

对于问题二，采用所建模型对0—90岁人口做出中短期和长期预测。

2006-2030年总人口逐年增加，2006年为13.062亿，2007年为13.109亿，2008年为13.158亿，2010年为13.3亿，2023年达到高峰期13.829亿，以后开始下降趋于平缓，到2030年为13.805；乡城转移率逐年增加，短期线性变化，2006年为0.454，2007年为0.471，2008年为0.490，2010年为0.526，长期由非线性模型描述，到2030年，城乡比例为0.901；整体老龄化程度增大，2006年为0.129，2007年为0.134，2008年为0.139，2010年为0.150，到2030年为0.325，在农村老龄化尤其严重，可以确定为地区间的迁移。

同时在做长期预测时，不同的国家策略导致不同的人口状况(见图[26-30])，得到的结论可以作为国家制定人口方针的建议。

对于问题三，指出模型的优缺点。

通过求解经典的Logistic模型和Leslie模型，并将所得结果与本文模型结果比较，发现本文模型具有易操作性、可控性、健壮性等优点；主要缺点是在短期预测时准确度稍差。

关键词：人口控制差分模型预测拟和Leslie模型Logistic方程一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。

附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；还要指出你们模型中的优点与不足之处。

二、问题分析为了与机理分析结合求得较精确的结果，可以建立递推模型，利用附录中所给数据确定未知参数，进而确定描述中国人口增长的数学模型，并用此进行中短期、长期预测。

首先，由于人口增长受多个因素影响，我们分别建立描述各因素的数学模型，包括：死亡率模型、出生人口模型、生育性别比模型和迁移模型。

由于死亡率模型和生育性别比有性别差异，各模型皆有城、镇、乡差异，所以需将男性人口与女性人口，城、镇、乡人口分开考虑。

其次，由于中短期、长期预测时问题的复杂程度不同，侧重点不同，因此中短期、长期预测的模型有所差异。

中短期预测仅利用现有数据的变化趋势进行预测，长期预测需要通过机理分析得到。

最后，要检验模型的准确性，必须参照别的模型实际数据，因此我们用两个经典的模型：Logistic模型和Leslie模型进行求解并与本文模型进行比较。

三、问题的假设假设一每一年的人口总数，人口结构及分布和其他有关各量仅在年末发生变化，变化顺序是：一部分人先死亡，然后一部分人生小孩，最后一部分人迁移假设二本文中所提到的婴儿出生率指的是婴儿出生且在一岁前存活的概率假设三生育妇女一年只生一胎假设四九十岁以上的人口变化对总人口变化影响不大，因此不予以考虑假设五人口的迁移路径仅考虑从村到镇，从村到城假设六国际迁入迁出对于人口的影响较小四、符号说明五、 模型建立与求解5.1中国人口增长的影响因素分析人口变化包括人口增长及人口性别结构、年龄结构的变化。

其中，人口性别结构、年龄结构的变化影响人口增长量及增长速度。

为了建立中国人口增长的数学模型，并进行预测，首先须考虑人口变化的影响因素。

其中，老龄化、城镇化、性别比的增高等中国人口变化的特点须给与考虑。

当前各地区的人口总数和人口比例、人口年龄结构决定以后的人口总数和人口比例、人口年龄结构。

人口总数和人口比例、人口年龄结构表现为老龄化程度、城镇化程度和性别比。

其变化情况由出生率、死亡率、迁移率决定。

国家政策影响出生率、死亡率、迁移率。

5.2中国人口增长总模型将男、女人口，城、镇、村的人口分开考虑，得到六个子对象，如图2所示：图2以下建立适用于各个子对象的通用模型。

男、女性分别用下标m ，w 表示；城、镇、村分别用下标,,c t v 表示。

将第1t +年初的人口分为在第t 年末出生的人口与第t 年末未死亡未迁出的非新生人口两类，即：(1)()()born other P t P t P t +=+设有年龄结构向量：01n ()[(),(),,()]T P t P t P t P t =其中，()i P t 为第t 年初年龄为i 的该类地区人数 4.1.1求第t 年末出生的人口数()born P t设()i t μ为第t 年末年龄为i 的人的死亡率，()i h t 表示各年龄生育的女性占总生育女性的概率分布（即生育模式），()t β为第t 年末平均每个育龄女性的生育数，可以得到：第t 年末年龄为i 的妇女人数为,,()[1()]w i w i P t t μ-第t 年末年龄为i 的妇女生下的婴儿数量为,,()[1()]()()w i w i P t t h i t μβ- 另外，设()t σ为第t 年末生育性别比，则有：第t 年末年龄为i 的妇女生下的男婴数量为,,()()[1()]()()()1w i w i t P t t h i t t σμβσ-+第t 年末年龄为i 的妇女生下的女婴数量为,,1()[1()]()()()1w i w i P t t h i t t μβσ-+表示为矩阵形式可得： 第t 年末出生的男婴数量为12,,00()()00000000()()()[1()]()()100m born w i w h i h i t P t t t P t t σβμσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⨯-⨯⎢⎥+⎢⎥⎣⎦第t 年末出生的女婴数量为12,,00()()000000001()()[1()]()()100w born w i w h i h i P t t t P t t βμσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⨯-⨯⎢⎥+⎢⎥⎣⎦5.1.2求第t 年末未死亡未迁出的非新生人口数()other P t设从农村到城镇迁移率、从农村到城市迁移率分别为t i ()t i ti t λ=第年末从农村迁往城镇的年龄为的人数第年末年龄为的农村人数t i ()t i ci t λ=第年末从农村迁往城市的年龄为的人数第年末年龄为的农村人数则第t 年末未死亡未迁出的非新生人口数可表示为： 对农村人口111,22200001()()()000()01()()()001()()()0()c t c c other c t c cn tn cn c t t t P t t t t t t t P t μλλμλλμλλ⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⨯对城镇人口，未死亡未迁出的非新生人口包括城镇原来的剩下人口加上从农村迁移至城镇的人口：11,220000000001()000()000()01()0()0()00()1()0()0t t t other t t t v tn tn t t P t t P t t P t t t μλμλμλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦同理得，对于城市人口：11,2c20000000001()000()000()01()0()0()00()1()0()0c c c other c c v cn cn t t P t t P t t P t t t μλμλμλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦5.3各影响因素模型 5.3.1死亡率模型记死亡率()i t i t t i μ=第年末年龄为的死亡人数第年末年龄为的总人数（1）年龄对死亡率的影响众所周知，在同一时期的人口中，少年儿童的死亡率随年龄增长而下降，中青年人的死亡率变化较平稳，老年人的死亡率随年龄增长快速升高；总体来说，死亡率-年龄曲线为一“U ”字型。

因此，考虑利用Kannisto 模型（文献[11]）通过数据拟合对死亡率随年龄增长的变化进行描述：1(1)ii i e e γγφμφ=+-其中，i μ为年龄为i 的人的死亡率，φ和γ为参数，通过数据拟合得到。

对于城市、乡镇拟合曲线大致如图3所示（不考虑90岁以上的人口）年龄图3通过对上面图形分析可知：1 死亡率大致与年龄反相关，这说明中国的城镇医疗发展水平以已经较高，儿童的成活率比较高。

2 随着年龄的增加，死亡率明显增大，而且增大的趋势明显。

对于乡村死亡率，变化图形如图4所示：死亡率1.522.533.544.555.56-4图4通过图4分析可知：1. 小于10岁的人口死亡率比较高，整个趋势大体为U 字型。

这说明乡村的医疗等水平比较低，严重影响了儿童的成活率，因此对于乡村来说，提高医疗水平是非常重要的。

2. 随着年龄的增长，死亡率逐渐增加。

通过上面拟合可以得到市，镇，乡0岁到90岁死亡率的离散化数据。

用于后面人口的预测。

（2）时间对()i t μ的影响a. 中短期内，()i t μ随时间的变化速度改变不大，我们采用线性回归的方法，得出如下结果：对于城市男性：()278.3 3.135cm t t μ=- 对于城市女性：()205.9 4.357cw t t μ=- 对于城镇男性：()276.6 4.81tm t t μ=+ 对于城镇女性：()18210.07tw t t μ=+ 对于农村男性：()372.59.766vm t t μ=+ 对于农村女性：()280.27.605vw t t μ=+ 各方程均通过显著性检验。