矩阵论复习

5. 设V 是C 上的n维线性空间，T是V上的线性变换，
0 T (1 , 2 ,, n ) (1 , 2 ,, n )
其中1,2,,n是V 的一个基.
1
0
1 0
证明：V 的包含n的T 的不变子空间只有V.
k A 收敛的根据 k 0
是(
), 幂级数的和是(
).
k k 6k A 是 k 0
A 是( ).
k
1 8 4.已知 A ,则矩阵幂级数 2 1

(
),其理由是(
).
1 1 5. 设 A ，则矩阵幂级数 0 1

k 0

1k
i 1 j 1

2 m n A F aij , 从属范数：A max Ax ；A 1 , A 2 , A ; x 1 i 1 j 1
1 2
习题：
1. 证明：Cnn 中的矩阵范数 m 与 F 等价.
2. 证明: Cnn 中的矩阵范数 m1 与Cn中的向量 范数 p 相容。 3. 设A=(aij)mn,定义实数
矩阵论复习
一. 线性空间
1. 线性空间的概念
2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐 标变换） 3. 线性子空间的概念与运算
(1)定义 (2) 运算（交与和，直和）
1. 判断 1，sinx, cosx 的线性相关性.
2. 若1, 2, …, r线性无关，则向量组1= 1+k1r ,
证明：T 为对称变换 ATG=GA，其中G为1,2,,n
的度量矩阵. 7. 设n 维Eulid空间Vn的基1,2,,n的度量矩阵为G , 正交变换T 在该基下的矩阵为A，证明 : (1)T1,T2,,Tn是Vn的基；（2）ATGA=G.
8. 设1,2,,n是n维欧式空间V的标准正交
i 1 j 1
2
2
1 1 0 1 取 A1 , A2 ,W L( A1 , A2 ) 0 0 1 1
（1）求W的一个基；
（2）利用W与W的基求R22的一个标准正交基.
2. 已知欧式空间Vn的基1,2,,n的度量矩阵为A,
1 i j 证明在Vn中存在基1,2,,n，使满足 ( , ) i j 0 i j
3.线性变换的矩阵 T (1,2,,n)=(1,2,,n)A
rankT=rankA, nullT=nrankA
（1,2,,n 为 线性空间V 的一个基）
4. 线性变换的运算 加法，数乘，乘法，逆，多项式.
5. 化简线性变换的矩阵 (1) 线性变换的特征值与特征向量 (2) 在不同基下的矩阵相似
3. 设1,2;1, 2是欧式空间V2两个基, 又
1=122, 2=12,
(1,1)=1, (1,2)=-1 ,(2,1)=2,(2,2)=0
分别求基1,2与1,2的度量矩阵. 4. 设实线性空间Vn的基1,2,,n，设，Vn
在该基下的坐标分别为(1,,n)T,(1,,n)T; 定义
6. 设线性空间V3的线性变换T 在基1,2,3下的 矩阵
1 2 2 A 2 1 2 2 2 1
证明：W=L(21, 31)是T 的不变子空间.
7. 求下列矩阵的Jordan标准形
1 0 3 1 1 1 4 1 0 A 3 3 3 , B 7 1 2 2 2 2 7 6 1
=(b1,b2,bn)T,且由基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵为C，
证明： x β 2C为正交矩阵.
6. 给定矩阵A,BCnn,且B可逆，定义
x Ax 1 3 Bx 3
验证 x 是Cn中的向量范数。
7. 设 A C
mn n
，证明
AA 2 1
第3 章 矩阵分析及其应用
(3) C上的线性空间V上的T ，一定存在V的一个基使
得T在该基下的矩阵是Jordan矩阵
(4) C 上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T
在该基下的矩阵为对角阵 T有n个线性无关的特征
向量。
(5) Hamilton 定理与矩阵的最小多项式
6. 不变子空间
定义: W是V的子空间，T是V的线性变换，如果
基，T是V中的正交变换，由1,2,,r(r<n)生
成的r维子空间W=L(1,2,,r)是T的不变子
空间，证明：W的正交补空间
W=L(r+1,r+2,,n)
也是T 的不变子空间.
9. 设矩阵空间R22的子集V={X=(xij)x11+x22=0} (1) 验证V是R22的子空间，并求V的一个基。
2= 2+k2r , , r= r (kiK)也线性无关.
3. 求向量组
1 (1,2,1,0) 1 (2,1,0,1) 2 (1,1,1,1) 2 (1,1,3,7)
分别生成的子空间的交的基和维数.
4. 设 V1, V2 分别是
V1 ( x1 , x2 , xn ) x1 x2 xn 0, xi K V2 ( x1 , x2 , xn ) xi xi 1 0, xi K
(,)=11++nn 证明 ：（1）(,)是Vn的内积；
（2）在该内积下，基1,2,,n是Vn的标准正交基.
5. 设ARmn，证明在列向量空间Rm中，
R(A)=N(AT)
6. 设T是n 维Eulid空间V 的线性变换，
T(1,2,,n)=(1,2,,n)A
一.矩阵序列{Ak}
k 0 k c A , c A 二.矩阵级数 kwk.baidu.comk k 收敛(A)<r
三.矩阵函数 (定义，AB=BAeAeB=eA+B)
de At At d cos At Ae , A sin At) 四.矩阵的微积分 ( dt dt
k 0
五.一阶线性常系数（非）齐次微分方程组
3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对
角矩阵.
第2章 范数理论
一.向量范数
1.定义
A范数 x
A
2.结论：lp范数
x T Ax A 0
p n x p i i 1
1 p
3.等价性
m n
二.矩阵范数 1. 定义
1
aij , 2.结论： A m aij , A m n max ij
对W, 有T()W,则W是T 的不变子空间.
1. 求K22上的线性变换 T：T(X)=AX的值域R(T)与核
1 0 N(T)的基与维数, 其中 A 1 0
2. 设T,S 是V 的线性变换，T2=T, S2=S , ST=TS, 证明
(S+T)2=S+TST=O.
8. 求下列矩阵的最小多项式
a A b a b b a b a
0 0 1 0
9.设A 是一个6阶方阵，其特征多项式为 ()=(+2)2(-1)4, 最小多项式为mA()=(+2)(-1)3,
11. 已知欧式空间R22 的子空间 x1 x2 x1 x4 0 V X , x3 x4 x2 x3 0 中的内积为 2 2 b11 b12 a11 a12 A, B aijbij , A , , B i 1 j 1 b21 b22 a21 a22 0 1 T V 中的线性变换为T(X)=XP +X , 任意XV， P . 1 0 1. 给出子空间V 的一个标准正交基； 2. 验证T 是V 中的对称变换；
A G mn max aij
i, j
证明： 是Cmn中的矩阵范数，且与向量的2-范数相 容.
4. 设可逆矩阵SRnn, 且 x s Sx 2 是Rn中的
向量范数. 若 A s 表示Rnn中从属于向量范数
x s 的矩阵范数，试导出 A 与矩阵2-范数之间 s
的关系.
5. 设Vn 是数域R上的线性空间，xVn在基 (I) x1,x2,,xn下的坐标为=(a1,a2,an)T. (1)证明： x α 2 是Vn中的向量范数。 (2)设xVn在基 (II) y1,y2,,yn下的坐标为
(2) 给定V中的变换T：TX=X+XT(XV),验证T
是线性变换。
(3) 求T的全体特征值与特征向量。
10. 给定线性空间V6的基x1,x2,,x6及线性变换
T：Txi=xi+2x7-i
（1）求T的全部特征值与特征向量；
（2）判断是否存在另一个基，使T在该基下 的矩阵是对角矩阵？若存在，把它构造出来。
11 12 13 2 3 f ( X ) 11 12 13 X ， 8. 设 21 22 23
).
,则
9. 设A 是可逆矩阵，则
df （ dX
）.
1 tA e dt 0
(
).
8 2 2 0 9t 10. 已知 A 2 5 4 , b(t ) e 2 e9 t 4 5
3. 设T, S 是V 上线性变换，且T2=T, S2=S ，证明
(1) R(T)=R(S)TS=S, ST=T
(2) N(T)=N(S)TS=T, ST=S 4. 设P[x]2的线性变换T T(a+bx+cx2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x2 求P[x]2的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.
3. 正交补
4. 对称变换与正交变换
(T,)=(,T)T在规范正交基下的矩阵为实对称矩阵. (T,T)=(,) T 在规范正交基下的矩阵为正交矩阵. 5. n阶方阵酉相似于上三角矩阵 n 阶方阵A 酉相似对角矩阵A是正规矩阵.
练习题 1. 在欧式空间R22中的内积为
( A, B) aijbij
证明 Kn=V1V2
5. 设 S,A,T分别为Knn中对称，反对称，上三角方
阵构成的子空间，证明： Knn=S A , Knn=T A .
二. 线性变换 1.定义 T:VV且T( k+l )=kT( )+lT( )
2. 线性变换的值域与核
R(T)=L(T(1),T(2),T(n)),N(T)={T()=,V}
k
2
0 1 A 6.已知 0 7. 设A a a
0 1
a 0 a
0 ,则sin(At)=( ). 2 1 1 1 a (aR),则矩阵幂级数 Ak a k 0 0
收敛a(
dx/dt=Ax,
dx/dt=Ax+b
通解：x(t)=etAc
通解：x(t)=etAc+etA
t
t
0
esAb( s )ds
习题： 1. 设n阶方阵A 不可逆，则cosA亦不可逆。( )
2. 设A是n阶Householder矩阵，则cos(2A)=
0 . 1 0 .3 3. 已知 A ，判定 0 .7 0 . 6
求出A的若当标准形.
10.对于n 阶方阵A，如果使Am=O成立的最小正整数
为m，则称A是m次幂零矩阵，证明所有n阶n-1次幂
零矩阵彼此相似，并求其若当标准形.
三.欧式空间与酉空间
1. 定义 ,度量矩阵((,)=xTAy,A是某基的度量矩阵,x
和y分别是 和 在该基下的坐标)
2. 正交基与规范正交基(sthmidt 正交化)