两角和与差的三角函数(一)
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（2）两角和与差的正弦
sin（α+β）=sinα cos β+ cos α sin β sin（α-β）=sin α cos β -cosα sin β
（3）两角和与差的正切
tan（ ） tan tan 1 tan tan
tan（ ） tan tan 1 tan tan
2、公式的简单应用
tanα+tanβ=tan(α + β )(1- tan α tan β) tan(α + β ) = tanα+tanβ + tan(α + β ) tan α tan β
tan（ ） tan tan 1 tan tan
tanα-tanβ=tan(α - β )(1+tan α tan β) tan(α - β ) = tanα-tanβ - tan(α - β ) tan α tan β
2、几种特殊结构表达式的化简
（1）cosxcos2xcos4x…cos2n-1x=2sinns2inn
x x
（2）tan
x
cot
x
tan
x
1 tan
x
tan2 x 1 tan x
2 tan 2x
sin x c os x
c os x sin x
sin2 x cos2 sin x cosx
x
2 c os2 x sin 2x
4、设α∈（
2
，π）化简：
1cos
1cos
பைடு நூலகம்
1cos 1cos
综合应用
1、已知α、β都是锐角，且{
（3 ，2），求cos2，cos2。 题设条件
2
若co（s x） 3，7 x 7 ,
中一般不 会直接给
4
5 12
4 出某个单
求 sin 2x 2sin2 x 的值. 1 tan x
角的三角 函数值。
（2）已知sin（α-β）= 1，53 sin（α+β）
=
5 13
，且α-β∈
（
2
例题
2010江西卷.已知函数f(x)=(1+
1 tanx )
sin 2
x
m sin(x ）sin(x )
4
4
1.当m
0时，求f(x)在
8
，3
4
的值域
2.当tan x 2时，f (x) 3 , 求m的值 5
（1）
设co（s ） 4，co（s ） 12， （ ，）
5
13
2
2 tan
s in
1
2
tan2
2
1 tan2
cos
1
tan2
2
2
2tan
tan
1
2
tan2
2
应用
（1）已知α为第二象限角，且sin α=
15 4
求
sin
sin（ 2 c
4
）
os2 1
的值。
分析：1、由题设分别求出sinα，cosα代入。
2、将所求表达式化简后再计算。
3、将角
4
作为整体化简计算。
（1）若cos（θ+
4）=
5 13
，θ∈（0，
2）
则sinθ= 。
（2）在△ABC中，tanA=
1 2
，tanB=
1 3
，
则tanC= 。
（3）求函数y=sinx+cosx，x∈（0，π）的值域。
3、公式的拓展及应用
（1）两角和与差的余弦变形
cos（α+β） + cos（α-β） =2cos α cos β cos（α+β） - cos（α-β） = - 2sin α sin β
12，tanβ= -
1， 7
且，α、β∈（0，π），求2α-β的值。
4、若α、β∈（0，π），cos α =
tanβ =
1 3
，求 α+2β的值。
，7 50
5、已知0≤y＜x＜π/2,且满足tanx=3tany， 求x-y的最大值。
（2）两角和与差的正切变形
tan（ ） tan tan 1 tan tan
①和差化积、积化和差的推导方法
co（s ） co（s ） ②tan αtan β= co（s ） co（s ）
（2）两角和与差的正弦变形 sin（α+β） + sin（α-β） =2sinα cos β
sin（α+β） - sin（α-β） = 2cosα sin β
①和差化积、积化和差的推导方法
应用
1、 tan34°+tan26° + 3 tan 34° tan 26°= .
若△ABC中，A、B、C成等差数列，则：
tan
A 2
tan
C 2
3
tan
A 2
tan
C 2
=
。
2、在△ABC中，（1+tanA）（1+tanB）=2 则C= 。
二倍角的正弦、余弦、正切
1、公式
变形
sin2 α =2sinαcosα
，，）α+β
∈
（
3
2
，2）
求：cos2 α与cos2 β的值。
（3）已知0＜x＜
4
，sin（
求
cos2x
co（s 4
x）
的值。
4
-x）=
5 13
，
应用 1、求cos36°cos72°的值。 2、求sin6°cos24°sin78°cos48°的值。
3、化简
1 cos2
tan
2
c
ot 2
3、求值：sin50°(1+ 3tan10°)
c os
sin 2 2 sin
cos2 α=cos2 α-sin2 α =2 cos2 α-1 =1 -2sin2 α
cos2
1
cos 2
2
sin 2
1
cos 2
2
tan
2
2 tan 1 tan2
sin
2
cos
2
tan
2
知识要点
3.衍生公式与万能公式：
tan
s in
1 cos
2 1 cos sin
1 cos2x sin 2x
1 cos2x sin 2x
cos2x sin 2x
（3）tan x
3
sin
x
3 cos cos x
x
2sin（x cos x
）
(4)
1 cos2 2 | cos | 1 cos2 2 | sin | 1 sin 2 | sin cos | 1 sin 2 | sin cos |
②cotαtan β=
sin（ ） sin（ ） sin（ ） sin（ ）
应用
1、si已n（知A锐-B角）△=AB15C中求，证s：in（tanAA+=B2）ta=nB53。
2、求值
（1）csc10°-4sin70°
（2）2sin 80cos70 cos20
3、已知tan（α- β）=
考试要求：
1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 3、会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证明
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、公式 （1）两角和与差的余弦
cos（α+β）=cos α cos β- sin α sin β cos（α-β）=cos α cos β +sin α sin β
sin（α+β）=sinα cos β+ cos α sin β sin（α-β）=sin α cos β -cosα sin β
（3）两角和与差的正切
tan（ ） tan tan 1 tan tan
tan（ ） tan tan 1 tan tan
2、公式的简单应用
tanα+tanβ=tan(α + β )(1- tan α tan β) tan(α + β ) = tanα+tanβ + tan(α + β ) tan α tan β
tan（ ） tan tan 1 tan tan
tanα-tanβ=tan(α - β )(1+tan α tan β) tan(α - β ) = tanα-tanβ - tan(α - β ) tan α tan β
2、几种特殊结构表达式的化简
（1）cosxcos2xcos4x…cos2n-1x=2sinns2inn
x x
（2）tan
x
cot
x
tan
x
1 tan
x
tan2 x 1 tan x
2 tan 2x
sin x c os x
c os x sin x
sin2 x cos2 sin x cosx
x
2 c os2 x sin 2x
4、设α∈（
2
，π）化简：
1cos
1cos
பைடு நூலகம்
1cos 1cos
综合应用
1、已知α、β都是锐角，且{
（3 ，2），求cos2，cos2。 题设条件
2
若co（s x） 3，7 x 7 ,
中一般不 会直接给
4
5 12
4 出某个单
求 sin 2x 2sin2 x 的值. 1 tan x
角的三角 函数值。
（2）已知sin（α-β）= 1，53 sin（α+β）
=
5 13
，且α-β∈
（
2
例题
2010江西卷.已知函数f(x)=(1+
1 tanx )
sin 2
x
m sin(x ）sin(x )
4
4
1.当m
0时，求f(x)在
8
，3
4
的值域
2.当tan x 2时，f (x) 3 , 求m的值 5
（1）
设co（s ） 4，co（s ） 12， （ ，）
5
13
2
2 tan
s in
1
2
tan2
2
1 tan2
cos
1
tan2
2
2
2tan
tan
1
2
tan2
2
应用
（1）已知α为第二象限角，且sin α=
15 4
求
sin
sin（ 2 c
4
）
os2 1
的值。
分析：1、由题设分别求出sinα，cosα代入。
2、将所求表达式化简后再计算。
3、将角
4
作为整体化简计算。
（1）若cos（θ+
4）=
5 13
，θ∈（0，
2）
则sinθ= 。
（2）在△ABC中，tanA=
1 2
，tanB=
1 3
，
则tanC= 。
（3）求函数y=sinx+cosx，x∈（0，π）的值域。
3、公式的拓展及应用
（1）两角和与差的余弦变形
cos（α+β） + cos（α-β） =2cos α cos β cos（α+β） - cos（α-β） = - 2sin α sin β
12，tanβ= -
1， 7
且，α、β∈（0，π），求2α-β的值。
4、若α、β∈（0，π），cos α =
tanβ =
1 3
，求 α+2β的值。
，7 50
5、已知0≤y＜x＜π/2,且满足tanx=3tany， 求x-y的最大值。
（2）两角和与差的正切变形
tan（ ） tan tan 1 tan tan
①和差化积、积化和差的推导方法
co（s ） co（s ） ②tan αtan β= co（s ） co（s ）
（2）两角和与差的正弦变形 sin（α+β） + sin（α-β） =2sinα cos β
sin（α+β） - sin（α-β） = 2cosα sin β
①和差化积、积化和差的推导方法
应用
1、 tan34°+tan26° + 3 tan 34° tan 26°= .
若△ABC中，A、B、C成等差数列，则：
tan
A 2
tan
C 2
3
tan
A 2
tan
C 2
=
。
2、在△ABC中，（1+tanA）（1+tanB）=2 则C= 。
二倍角的正弦、余弦、正切
1、公式
变形
sin2 α =2sinαcosα
，，）α+β
∈
（
3
2
，2）
求：cos2 α与cos2 β的值。
（3）已知0＜x＜
4
，sin（
求
cos2x
co（s 4
x）
的值。
4
-x）=
5 13
，
应用 1、求cos36°cos72°的值。 2、求sin6°cos24°sin78°cos48°的值。
3、化简
1 cos2
tan
2
c
ot 2
3、求值：sin50°(1+ 3tan10°)
c os
sin 2 2 sin
cos2 α=cos2 α-sin2 α =2 cos2 α-1 =1 -2sin2 α
cos2
1
cos 2
2
sin 2
1
cos 2
2
tan
2
2 tan 1 tan2
sin
2
cos
2
tan
2
知识要点
3.衍生公式与万能公式：
tan
s in
1 cos
2 1 cos sin
1 cos2x sin 2x
1 cos2x sin 2x
cos2x sin 2x
（3）tan x
3
sin
x
3 cos cos x
x
2sin（x cos x
）
(4)
1 cos2 2 | cos | 1 cos2 2 | sin | 1 sin 2 | sin cos | 1 sin 2 | sin cos |
②cotαtan β=
sin（ ） sin（ ） sin（ ） sin（ ）
应用
1、si已n（知A锐-B角）△=AB15C中求，证s：in（tanAA+=B2）ta=nB53。
2、求值
（1）csc10°-4sin70°
（2）2sin 80cos70 cos20
3、已知tan（α- β）=
考试要求：
1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 3、会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证明
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、公式 （1）两角和与差的余弦
cos（α+β）=cos α cos β- sin α sin β cos（α-β）=cos α cos β +sin α sin β