第四章线性方程组直接法,矩阵三角分解

第四章 习题答案

1。用Gauss 消去法解方程组

1231231

2323463525433032

x x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩ 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

对其进行Gauss 消去得12323441

4726002x x x ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭

得方程组12312323

32346

131

44

822

24

x x x x x x x x x ++=⎧=-⎧⎪⎪⎪

-=-⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩-=-⎪⎩ 2。用Gauss 列主元素消去法解方程组

1233264107075156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素

1233264107075156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12r r ↔−−−→1231070732645156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

21

3113

10122

31070716106101055052

2r r r r x x x +-⎛

⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭23

r r ↔−−−→123107075505221

61061010x x x ⎛

⎫⎛⎫

⎪ ⎪-⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭ ⎪

⎪-⎝⎭⎝⎭

321

25r r +−−−→12310707550

52231310055x x x ⎛

⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到方程组1212323310770555122131315

5x x x x x x x x ⎧

⎪-==⎧⎪

⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩ 3。举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU 分解。

例如：设

()0010001000

P P B C A A LU M M A D B C P M AB M AC D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=≠≠=== ⎪

⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

=⎧⎪=⎪⇒=⎨=⎪⎪+=⎩可分解M 0,P 0,有

与题设相矛盾，所以一个非奇异矩阵不一定存在LU 分解。

4。下列矩阵能否分解为LU （其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵）？若能分解，那么分解是否唯一？

123111126241,221,251546733161546A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

解：12A 10,0,24

=-=而且

不能分解;

设111221331B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪

⎝⎭

B 可以进行LU 分解，则B=1112

1321222331323310

01

0010

0u u u l u u l l u ⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

计算得

111213213122323112322232321,1,1,2,3,0.

310 3.

u u u l l u a l u l u l l B LU =======+=⨯+⨯=∴∴而可以任意选，的分解不唯一。

12C 0,0,,.25

≠≠而且能分解且分解唯一

5。对下列给定的矩阵A 作LU 分解，并利用分解结果计算A -1。

24

8418166220A -⎛⎫ ⎪

=-- ⎪ ⎪--⎝⎭

解： 24

8418166220A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭100248210010323110076-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪

=- ⎪⎪ ⎪⎪

--⎝

⎭⎝⎭

L=100210311⎛⎫

⎪

⎪ ⎪-⎝⎭

U= 24

8010320076-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

由()1111

A LU A LU U L ----===有41

61319095951114951909551116

76

76⎛⎫--

⎪ ⎪

⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭

6。用Doolittle 分解法解方程组

123

4102050101312431701037x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ 解：A=10200

10112430

103⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=10001

0200

100010112100

0210

1010

002⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎪

⎝⎭⎝⎭

其中L=10000

10012100101⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪

⎪⎝⎭ U=1

0200

10100210

002⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎝⎭

由Ly=()53617T

，，， 解得y=()5364T

，，， 由Ux=y ， 解得x=()1122T

，，，