高三第一轮复习数学---函数的单调性

高三第一轮复习数学---函数的单调性

一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 三、教学过程：

（一）主要知识： 1、函数单调性的定义；

2、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）从定义入手 （2）从导数入手 （3）从图象入手

（4）从熟悉的函数入手

（5）从复合函数的单调性规律入手 注：先求函数的定义域

3、函数单调性的证明：定义法；导数法。

4、一般规律

（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；

（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；

（4）设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在

M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。 （二）主要方法： 1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数．

3．注意函数的单调性的应用；

4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析：

例1．（1）求函数2

0.7log (32)y x x =-+的单调区间；

（2）已知2()82,f x x x =+-若2

()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞，

（2）2

22

()82(2)(2)g x x x =+---42

28x x =-++，3

()44g x x x '=-+，

令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．

例2．设0a >，()x x e a

f x a e

=

+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．

解：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x x

x x

e a ae ae a e +=

+ ∴11()()x x a e a e --0=对一切x R ∈成立，则1

0a a

-=，∴1a =±，∵0a >，∴1a =．

（2）设120x x <<，则1212

1211

()()x x

x x f x f x e e e e -=-+

-

2121121

122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e e e e +-++-=--=-，

由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e -+>->，2110x x

e +-<，∴12()()0

f x f x -<，

即12()()f x f x <，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数．

例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为

(,2)(2,)-∞-+∞U ．

例4．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有

1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，

（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2

(21)2f x -<． 解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数． （

2

）

设

210

x x >>，则

221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅

-221111()()()()x x

f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21

()x

f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x >

∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．

（3）(2)1f =Q ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，

∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2

(|21|)(4)f x f -<，

又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2

|21|4x -<，解得：x <<

即不等式的解集为(22

-

． 例5．函数9()log (8)a

f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围．

分析：由函数9()log (8)a

f x x x

=+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息：①对任意的

121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80a

x x

+->恒成立．

解：∵函数9()log (8)a

f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的121,x x ≤<有

12()()f x f x <，即919212log (8)log (8)a a x x x x +-<+-，得1212

88a a

x x x x +-<+-，即

1212

()(1)0a

x x x x -+<，

∵120x x -<，∴1210,a x x +> 12

1,a x x >- 12a x x >-，