判断函数单调性地常用方法

1

江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 判断函数单调性的常用方法

一、定义法

设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数. 【例1】

证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。

证明：令01111)()

1ln()(>+=+-

='+-=x

x x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的

0)01ln(0)0()(=+-=>⇒f x f ，所以)1ln(x x +>。

二、性质法

除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C （C 为常数）具有相同的单调性；

⑵ f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性；

⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；

三、同增异减法

是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.

注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；

（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；

（3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数.

设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增.

2

江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 x

y

2

1

-(2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增. (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减. 例1. 求函数2

22

)(-+=x x x f 的单调区间.

教学意图：先让学生学会找出外层函数和层函数然后再进一步教会学生如何求此

函数的单调区间.此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法. 解题过程：

外层函数：t

y 2=

层函数：22

-+=x x t

层函数的单调增区间：]

,21

[+∞-∈x 层函数的单调减区间：

]

21,[--∞∈x 由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：]

,21

[+∞-∈x 复合函数的减区间为：

]

21

,[--∞∈x 四、求导法

导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点

求函数值域的常用方法 1．观察法

用于简单的解析式。

y ＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]

y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞). 2.配方法

多用于二次(型)函数。

y ＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）

3

江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞） 3. 换元法

多用于复合型函数。

通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。

特别注意中间变量（新量）的变化围。 y=-x+2√( x -1)+2 令t=√(x -1),

则t≤0, x=t^2+1.

y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1]. 4. 不等式法

用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。 y=（e^x+1）/(e^x-1), (0

11/(e-1),

y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞). 5. 最值法

如果函数f(x)存在最大值M 和最小值m.那么值域为[m,M]. 因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6. 反函数法 有的又叫反解法.

函数和它的反函数的定义域与值域互换.

如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者. 7. 单调性法

若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为 [f(b), f(a)]. 8. 数形结合法

利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像法求函数的值域.

例1 已知函数232

()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数,数a 的取值

围.

解: