八年级数学图形运动产生的面积问题(分析运动过程)(人教版)(含答案)

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2017-2018学年八年级数学上册综合训练图形运动产生的面积问题讲义鲁教版

图形运动产生的面积问题知识点睛图形运动产生的面积问题的处理思路：1.研究背景图形，标注．需要把运动图形跟运动背景结合起来进行对比研究．2.分析运动过程，分段，定范围．关注运动过程中的“碰撞”点（运动图形的顶点落在运动背景的边上），确定对应时刻，进行分段．3.根据不变特征建等式．根据各个阶段的运动状态画出符合题意的图形，设计方案表达面积．精讲精练1.如图，已知△ABC 是边长为4 的等边三角形，四边形DEFG3是边长为 6 的正方形．现将△ABC 和正方形DEFG 按如图所示的方式摆放，使点C 与点E 重合，点B，C（E），F 在同一条直线上，△ABC 从该位置出发，以每秒1 个单位长度的速度沿EF 向右匀速运动，当点C 与点F 重合时运动停止．设运动的时间为t 秒（t ≥0 ），△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为S，请求出S 与t 之间的函数关系式．A D GB C(E ) FA D GB C(E ) FA D GB C(E ) F2 2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ，D 的坐标分别为A (0，1)，D ( 1，0)，作直线 AD ，并以线段 AD 为一边向上作正方形 ABCD ．（1）点 B 的坐标为，点 C 的坐标为．（2）正方形 ABCD 以每秒个单位长度的速度沿射线 DA 向上运动，当正方形的顶点 C 落在 y 轴上时运动停止．设运动的时间为 t 秒，正方形 ABCD 落在 y 轴右侧部分的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量 t 的取值范围．3.如图，在矩形ABCD 中，AD=6cm，AB=3cm，在梯形EFGH 中，EH∥FG，∠EFG=45°，∠G=90°，EH=6cm，HG=3cm，且点B，C，F，G 在同一条直线上．当点C，F 重合时，矩形ABCD 以 1cm/s 的速度沿射线FG 向右匀速运动，当点B，G 重合时，运动停止．设运动的时间为x（s），矩形ABCD 与梯形EFGH 重叠部分的面积为y（cm2），请求出y 与x 之间的函数关系式．A D E HB C(F ) GA D E HB C(F ) GA D E HB C(F ) G3 4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线y3x 12 与直线y3x 相交于点 M ，与 x 轴相交于点 N ．已知矩形 ABC D 中，3AB ，BC =3，边 AB 在 x 轴上，矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以每秒个单位长度的速度移动．设矩形 ABCD 与△OMN重叠部分的面积为 S ，移动的时间为 t 秒（从点 B 与点 O 重合时开始计时，到点 A 与点 N 重合时计时结束），求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量 t 的取值范围．3 D AC B OMNxD AC B OyD AC B O。

部编数学八年级上册专题24多乘多与图形面积(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题24 多乘多与图形面积1．如图，正方形卡片A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为（a ＋2b ），宽为（3a ＋b ）的大长方形，则需要C 类卡片（）张．A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】根据整式的乘法法则：（a ＋2b ）（3a ＋b ）＝3a 2＋7ab ＋2b 2，可知，需要面积为ab 的卡片7张．【详解】解：∵（a ＋2b ）（3a ＋b ）＝3a 2＋7ab ＋2b 2，∵一张C 类卡片的面积为ab ，∴需要C 类卡片7张．故选：C ．【点睛】本题考查整式的乘法，理解用图形面积表示多项式与多项式的乘法运算是解题的关键．2．如图可以通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．这个大正方形边长为a ＋b ＋c ，用()2a b c ++可求得其面积．同时，大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和；已知a ＋b ＋c ＝8，22226a b c ++=，则ab ＋bc ＋ac 的值是（）A ．34B ．23C ．20D ．19【答案】D 【分析】根据题设提到的大正方形的面积的两种计算方法可得一个关于,,a b c 的等式，再将已知等式的值代入计算即可得．【详解】解：由正方形的面积公式得：这个大正方形的面积为()2a b c ++，Q 这个大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和，\这个大正方形的面积为222222ab bc ac a b c +++++，()2222222ab bc ac a b c a b c \+=++++++，222826,a a c b c b +++=+=Q ，2222268ab bc ac ++=\+，解得19ab bc ac ++=，故选：D ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，根据图形面积的两种计算方法建立数学等式是解题关键．3．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（）A ．a （b －x ）＝ab －axB ．b （a －x ）＝ab －bxC ．（a －x ）（b －x ）＝ab －ax －bxD ．（a －x ）（b －x ）＝ab －ax －bx ＋x 2【答案】D 【分析】要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．【详解】解：图1中，阴影部分＝长（a －x ）宽（b －x ）的长方形面积，∴阴影部分的面积＝（a －x ）（b －x ），图2中，阴影部分＝大长方形面积－长a 宽x 长方形面积－长b 宽x 长方形面积＋边长x 的正方形面积，∴阴影部分的面积＝ab －ax －bx ＋x 2，∴（a －x ）（b －x ）＝ab －ax －bx ＋x 2．故选：D ．【点睛】点评：本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．正确观察图形是解题的关键．4．挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：如图是一个简单的阶梯形，可用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，可以得到：112233a b a b a b ++=（）A ．()()()()12312121233a b b a a b b a a a b -++-+++B ．()()()()11212121232a b b a a b b a a a b -++-+++C ．()()()()11212231233a b b a a b b a a a b -++-+++D ．()()()()12312231232a b b a a b b a a a b -++-+++【答案】C 【分析】通过用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，从而列式求解．【详解】解：如图，ABMC DMNE FNHG APDC PQFE QBHG S S S S S S ++=++Q 矩形矩形矩形矩形矩形矩形，11223311212231233()()()()a b a b a b a b b a a b b a a a b \++=-++-+++，故选：C ．【点睛】本题考查整式的混合运算，准确识图，通过用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系列出等式是解题关键．5．“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a +b ）（a +b ）＝2a 2+3ab +b 2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（）A ．（a +3b ）（a +b ）＝a 2+4ab +3b 2B ．（a +3b ）（a +b ）＝a 2+3b 2C ．（b +3a ）（b +a ）＝b 2+4ab +3a 2D ．（a +3b ）（a ﹣b ）＝a 2+2ab ﹣3b 2【答案】A【分析】根据大长方形的面积（长为3a b +、宽为a b +）等于1个边长为a 的小正方形的面积、4个长方形的面积（长为a 、宽为b ）、3个边长为b 的小正方形的面积之和即可得出答案．【详解】解：由图可知，22(3)()43a b a b a ab b ++=++，故选：A ．【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，读懂题意，理解几个图形的面积之间的联系是解题关键．6．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：①（2a +b ）（m +n ）；②2a （m +n ）+b （m +n ）；③m （2a +b ）+n （2a +b ）；④2am +2an +bm +bn ．你认为其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】根据不同方法表示出长方形的面积，进而逐项分析即可．【详解】根据长方形的面积可表示长为2a b +，宽为m n +的长方形，则面积为()()2a b m n ++故①正确；将长方形表示成2个宽为a ，长为m n +，1个长为b ，宽为m n +的长方形，则面积为2()()a m n b m n +++，故②正确；将长方形表示成为长为2a b +和宽分别为,m n 的两个长方形，其面积为()()22a b m a b n +++，故③正确将长方形表示成6个小长方形，则面积为2am +2an +bm +bn ，故④正确．故选D【点睛】本题考查了多项式的乘法与图形面积关系，掌握多项式的乘法是解题的关键．7．用如图的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为2a +b ，宽为（a +b ）的矩形，需要B 类卡片 _____张．【答案】3【分析】先求出长为2a +b ，宽为a +b 的矩形面积，然后对照A 、B 、C 三种卡片的面积，进行组合．【详解】解：长为2a +b ，宽为a +b 的矩形面积为22(2)()23a b a b a ab b ++=++，A 图形面积为2a ，B 图形面积为ab ，C 图形面积为2b ，则可知需要A 类卡片2张，B 类卡片3张，C 类卡片1张．故答案为：3．【点睛】本题主要考查多项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．8．如图，大正方形ABCD 的边长为a ，小正方形CEFG 的边长为b ，则阴影部分的面积是_____ ；9．如图（图中长度单位：m ）阴影部分的面积是_____m 2（用含x 的式子表示），面积表达式是_____次三项式．【答案】 236x x ++ 二【分析】由阴影部分的面积等于大的长方形的面积减去小的长方形的面积可得第一空的答案；再结合多项式的项与次数可得第二空的答案.【详解】解：阴影部分的面积()()322x x x =++-2256236,x x x x x =++-=++236x x ++有三项，最高次项是2,x所以236x x ++是二次三项式，故答案为：236x x ++，二【点睛】本题考查的是图形面积与多项式的乘法运算之间的关系，多项式的次数与项的概念，理解多项式的乘法运算与图形面积之间的关系是解本题的关键.10．如图，现有正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为()3a b +，宽为()32a b +的大长方形，那么需要C 类卡片的张数是___________；【答案】11【分析】按照长方形面积公式计算所拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可得解．【详解】解：∵（a ＋3b ）（3a ＋2b ）＝3a 2＋11ab ＋6b 2，∵一张C 类卡片的面积为ab ，∴需要C 类卡片11张．故答案为：11．【点睛】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，属于基础知识的考查，比较简单．11．通过计算几何图形的面积可以得到一些恒等式，根据如图的长方形面积写出的恒等式为______．【答案】()2222a a b a ab+=+【分析】由题意知，大长方形的面积等于2a 乘以（a ＋b ），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系．【详解】解：由题意得：()222222a a b a ab ab a a ab +=+++=+，故答案为：()2222a a b a ab +=+．【点睛】本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键．12．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①2（a+b ）（m+n ）；②2a （m+n ）+b （m+n ）；③m （2a+b ）+n （2a+b ）；④2am+2mn+bm+bn ，你认为其中正确的有______【答案】②③④【分析】根据图形中各个部分的面积得出答案即可．【详解】解：表示该长方形面积的多项式有：纵向三个大长方形面积之和：②2a （m+n ）+b （m+n ）；横向两个大长方形面积之和：③m （2a+b ）+n （2a+b ）；六块小长方形面积之和：④2am+2mn+bm+bn ；故答案为：②③④．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式和单项式乘以单项式，能正确根据图形列出算式是解此题的关键．三、解答题13．如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a 米，四条小路的长与宽都为b 米和2b 米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元．(1)用含a 、b 的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．(2)若a ＝6，b ＝6，计算草坪的造价．【答案】(1)()2624b ab -+平方米(2)19440元【分析】（1）根据已知条件，用大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面积即可求解．14．小明计划用三种拼图将长为(520)a b +米，宽为(315)a b +米的客厅铺上一层漂亮的图案．其中A 和B 两种拼图为正方形，C 为长方形，边长如图所示．如果拼图不允许切割，请你帮助小明计算一下：(1)分别需要A ，B 和C 三种拼图多少块？(2)若A ，B 和C 三种拼图的单价分别为5元，3元，2元，且购买任意一种拼图的数量超过100块时，这种拼图的价格按照八折优惠，求小明的总花费．【答案】(1)需要A ，B 和C 三种拼图分别为：15块，300块，135块(2)小明的总花费为1011元【分析】（1）根据题意求出（5a ＋20b ）（3a ＋15b ）即可得出答案；（2）根据（1）中的A ，B 和C 三种拼图块数乘以对应的单价即可求出答案．（1）解：由题意得：（5a ＋20b ）（3a ＋15b ）＝15a 2＋75ab ＋60ab ＋300b 2＝15a 2＋135ab ＋300b 2∵SA ＝a 2，SB ＝ b 2，SC ＝ab ，∴分别需要A ，B 和C 三种拼图15块，300块，135块．（2）解：15×5＋300×3×0.8＋135×2×0.8＝75＋720＋216＝1011（元），答：小明的总花费为1011元．【点睛】本题主要考查了整式的乘法，有理数的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．15．如图，在长为3a +2，宽为2b -1的长方形铁片上，挖去长为2a +4，宽为b 的小长方形铁片(1)求剩余部分面积．(2)求出当a ＝3，b ＝2时的面积．【答案】(1)432ab a --(2)13【分析】（1）首先利用大长方形的面积减去小长方形的面积列出整式，然后化简，即可得出结果；（2）根据（1）中算出的结论，把a ＝3，b ＝2代入并计算，即可得出结论．（1）解：剩余部分的面积为：(32)(21)(24)a b b a +--+643224ab b a ab b=+----432ab a =--．（2）解：当32a b ==，时，原式432332=´´-´-2492=--13=．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积、代数式求值，解本题的关键在正确列出阴影部分面积的代数式．16．如图，将一个边长为a b +的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形．解答下列问题：(1)根据图中条件．试通过两种方法求出该图形的总面积，并用公式的形式将两种关系表达出来；(2)当图中的(),0a b a b >>满足2257a b +=，12ab =．求a b +的值．【答案】(1)222()2a b a ab b +=++(2)a b +的值为9【分析】（1）用两种方法计算四边形的面积即可得出相应等式；（2）利用（1）中结论得出9a b +=±，根据题意即可得出结果．（1）解：∵2()()()a b a a S b b =++=+四边形，22222ab a b S ab a ab b =+++=++四边形，∴222()2a b a ab b +=++．（2）∵2257a b +=，12ab =，∴222()25721281a b a b ab +=++=+´=，即9a b +=±，∵0a b >>，∴9a b +=，即a b +的值为9．【点睛】题目主要考查完全平方公式的应用及变形计算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．17．（1）已知三个连续的奇数，若中间那个为n ，求这三个奇数的积．（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）34n n -（2）223.5a 【分析】（1）分别表示出另外两个奇数，再相乘即可．（2）阴影部分面积可看作是大长方形的面积减去两个空白部分的面积，据此可求解．【详解】（1）解：由题意可知：()()3224n n n n n-´´+=-（2）解：()()22.533323 2.523.5S a a a a a a a a a a=+++++-´´=阴影【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则，组合图形的面积，熟练找出，阴影部分有哪几部分的和或差得到的解答本题的关键．18．如图，请用两种不同的方法求阴影部分的面积．【答案】4a 2+2ab +3b 2．【分析】方法1：阴影部分的面积=大长方形的面积-中间空白部分的小方形的面积；方法2：阴影部分的面积=三个小方形的面积和．【详解】解：方法1：阴影部分的面积=(a +3b +a )(2a +b )-2a •3b=(2a +3b )(2a +b )-6ab=4a 2+2ab +6ab +3b 2-6ab=4a 2+2ab +3b 2；方法2：阴影部分的面积=2•2a •a +b (a +3b +a )=4a 2+b (2a +3b )=4a 2+2ab +3b 2．【点睛】本题考查了整式乘法的应用，用于培养学生的观察图形的能力和计算能力．19．某学校教学楼前有一块长为(62)a b +米，宽为(42)a b +米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A 、B 两正方形区域是草坪，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为()a b +米．请你求出要铺地砖的面积是多少？【答案】要铺地砖的面积是（22a 2+16ab +2b 2）平方米【分析】根据题意列出算式，再利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可得出答案．【详解】解：（6a +2b ）（4a +2b ）-2（a +b ）2=24a 2+20ab +4b 2-2a 2-4ab -2b 2=（22a 2+16ab +2b 2）平方米，答：要铺地砖的面积是（22a 2+16ab +2b 2）平方米．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，根据题意正确列出算式是解决问题的关键．20．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：（a +2b ）（a +b ）＝a 2﹣3ab +2b 2．(1)由图2，可得等式：．(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a +b +c ＝12，ab +bc +ac ＝28，求a 2+b 2+c 2的值；(3)计算（2a +b ）（a +3b ）＝．利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证上面的等式（要求图中有长度和面积的标识）【答案】(1)2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；(2)88；(3)22273a ab b ++，作图见解析【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可；（3）先计算多项式乘以多项式，然后根据等式，作出相应图形即可．（1）解：2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；故答案为：2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（2）Q a +b +c ＝12，ab +bc +ac ＝28，222a b c \++()2()2a b c ab ac bc =++-++212228=-´14456=-88=；（3）（2a +b ）（a +3b ）=2222263273a ab ab b a ab b +++=++，故答案为：22273a ab b ++作图如下：【点睛】此题考查了多项式乘以多项式与几何图形的面积，代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

八年级春季班-16-动点产生的面积问题-马秋燕-学生版

运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题．本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解．动点产生的面积问题内容分析知识结构模块一：面积计算的问题知识精讲xy12Q PAOCBxyAOB【例1】如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x向上平移1个单位长度得到直线P A ，点Q 是直线P A 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积．【难度】★★ 【答案】【解析】【例2】如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =交于点B 两点．求△AOB 的面积．【难度】★★ 【答案】【解析】例题解析xyOBA【例3】如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解析式．【难度】★★ 【答案】【解析】【例4】如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）【难度】★★★ 【答案】【解析】A B CDE F 图1GHABCDE F 图2GH【例5】如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ．（1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值；（2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例6】如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点．（1）求直线AM 的表达式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标；（3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】A BCD EFxy OABOMxy【例7】如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ．（1）试证明：AP ＝PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当S △AOQ ＝23S △APQ 时，求点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大．模块二：与面积相关的函数解析式知识精讲P QAy Ox【例8】如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像．【难度】★★ 【答案】【解析】【例9】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由．【难度】★★ 【答案】【解析】例题解析ABCDP QAB CDMP【例10】已知：如图1，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连结EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于P．设正方形ABCD的边长为1．（1）证明：△CMG≌△NBP；（2）设BE＝x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点E在边AB 上，CE＝CD．（1）如图1，当∠BCD为锐角时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当CD＝5时，求△CDE的面积．【难度】★★★【答案】【解析】AB CDEA BCDEFGPMN【例12】如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ．（1）当点E 恰为AB 中点时，求m 的值；（2）当点E 在线段OA 上，记△ODE 的面积为y ，求y 与m 的函数关系式并写出定义域；（3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试判断四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S 关于m 的函数关系式．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例13】如图1，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．（1）当E 是AB 中点时，求证AG ＝BF ；（2）当E 在边AB 上移动时，观察BF 、AG 、AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论；（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE ＝x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域．【难度】★★★ 【答案】【解析】AB C D E OxyA BCD EFG【例14】如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21．点P 从点A 出发沿AD 以每秒1个单位的速度向点D 匀速运动，点Q 从点C 沿CB 以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当AB ＝10时，设A 、B 、Q 、P 四点构成的图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出定义域；（2）设E 、F 为AB 、CD 的中点，求四边形PEQF 是平行四边形时t 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例15】如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AB ＝4．左右作平行移动的正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上．当点G 到边BC 中点时，点E 恰好在边AB 上．（1）如图1，求正方形EFGH 的边长；（2）设点B 与点F 的距离为x ，在正方形EFGH 作平行移动的过程中，正方形EFGH 与菱形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FH 、HC ，当△FHC 是等腰三角形时，求BF 的长．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABC DEF P A BCDQ 图1备用图HA BCDE F G【例16】如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形．A (0，4)，C (5， 0)，点D 是y 轴正半轴上一点，将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处．过点E 作y 轴的平行线与x 轴交于点N ．折痕与直线EN 交于点M ，联结DE 、OM . 设OD ＝t ，MN ＝s ．（1）试判断四边形EDOM 的形状，并证明；（2）当点D 在线段OA 上时，求s 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）用含t 的代数式表示四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积．【难度】★★★ 【答案】【解析】A B CDE MNABCOOxyxy【例17】已知：如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A ＝90°，∠C ＝45°，AB ＝AD ＝4．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作EF ⊥BE 交直线CD 于点F ．联结BF ．（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示） ①求证：BE ＝EF ；②设DE ＝x ，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域；（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】AB CDEFABCD图1备用图备用图ABCD【例18】如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H 分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF．（1）当DG＝1时，求证菱形EFGH为正方形；（2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当DG＝433时，求∠GHE的度数．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDEFGH【例19】已知：如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0，0)，A(8，0)，B(4，4)，C(0，4)，直线l：y＝x＋m保持与四边形OABC的边交于点M、N（M 在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝S1－S2（S≥0）．（1）求∠OAB的大小；（2）当M、N重合时，求l的解析式；（3）当m≤0时，线段AB上是否存在点N，使得S＝0?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与m的函数关系式．【难度】★★★【答案】【解析】ABCOx yNMxy BAOC【例20】在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设P A =x ，PCE S y =△．（1）求证：DF =EF ；（2）当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形?如果能，请直接写出P A 的长；如果不能，请简单说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题1】如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积．【难度】★★ 【答案】【解析】随堂检测ABCDE F P O【习题2】已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线(0)y kx b k =+≠经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分．若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题3】直线364y x =-+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿O B A →→运动．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABxyOQPxy QPAOC B【习题4】如图，已知：过点A （8，0）、B （0，83）两点的直线与直线3y x =交于点C ，平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1）写出点C 的坐标和t 的取值范围；（2）求s 与t 的函数关系式．【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业1】如图，已知直线P A ：(0)y x n n =+>与直线PB ：2()y x m m n =-+>交于点P ．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积56，AB=2，试求点P 的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式．【难度】★★ 【答案】【解析】课后作业ABCDEOxy lFPxy FEO【作业2】如图所示，直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，点E 的坐标为（－4，0）．（1）求直线y kx b =+的表达式；（2）若点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为点A 、B ，试求四边形OAPB 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业3】如图，已知：直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，点P 从点A 出发，沿ADCB 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动，设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 和y 的取值范围；（2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDPQ【作业4】如图，在平面直角坐标系中，两个函数162y x y x ==-+，的图像交于点A ，动点P 从点O 开始在线段O 向点A 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PAMN ，设它与△ABO 重叠部分的面积为S ．（1）求点A 的坐标；（2）试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动的时间t （秒）的关系式．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCP QOyx。

八年级数学竞赛例题专题讲解23：面积的计算含答案

专题23 面积的计算○阅 ○读 ○与 ○思 ○考计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识： 1.常见图形的面积公式；2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等； 3.等比定理：(1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.(2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论：例题与求解【例1】如图，△ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD 的面积为x ，则x ＝________.（黄冈市竞赛试题）解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.【例2】如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE ＝6，那么△ABC 的面积等于 ( ) (全国初中数学联赛)A ．12B ．14C ．16D ．18解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△ABC 与四边形BCDE 面积存在一定的关系.例1图C【例3】如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使BE AB ＝CF BC ＝DG CD ＝AHDA ＝m ，若S 四边形EFGH ＝2S 四边形ABCD ，求m 的值.解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于m 的方程.【例4】如图，P ，Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，P A 与CQ 相交于点E ，且∠P AD ＝∠QAD ，求证：S 矩形ABCD ＝S △APQ .解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化.【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，移动速度为每秒2个单位长度. 过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1) 求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少？ (江西省中考试题) 解题思路：对于(1)利用△ADE ∽△ABC 可得y 与x 的关系式；对于(2)先写出S 关于x 的函数关系式，再求最大值.例2图C例3图例4图C【例6】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F . 求证：(1)PD AD ＋PE BE ＋PFCF＝1； (2)P A AD ＋PB BE ＋PC CF＝2 解题思路：过点A ，P 分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把P AAD转化为面积比，利用面积法证明.○能 ○力 ○训 ○练A 级1．如图， ABCD 中，AE ∶BE ＝1∶2，S △AEF ＝6cm 2，则S △CDF 的值为________. (济南市中考试题) 2．如图，正六边形ABCDEF 的边长为23cm ，P 为正六边形内任一点，则点P 到各边距离之和为_______.例5图C例6图D3．如图，P 是边长为8的正方形ABCD 外一点，PB ＝PC ，△PBD 的面积等于48，则△PBC 的面积为_____________. (北京市竞赛试题)4．如图，已知△BOF ，△AOF ，△BOD ，△COE 的面积分别为30，40，35，84，则△ABC 的面积为________.(浙江省竞赛试题)5．如图，已知AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，DE 是Rt △ADC 斜边上的高，如果DC ∶AD ＝1∶2， S △DCE ＝a ，那么S △ABC 等于 ( ) (金华市中考试题)A ．4aB ．9aC ．16aD ．25a6．如图，已知M 是 ABCD 边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为（）（山西省中考试题）A ．16B ．14C ．13D ．5127．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若S △ADE ＝2S △DCE ，则S △ADES △ABC等于( )(浙江省宁波市中考试题) A ．14 B ．12 C ．23 D ．498．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（）cm 2. (广东省竞赛试题)A ．4B ．2 3C ．3 3D ．4 3第5题图C第2题图CF第1题图第3题图P第4题图D第6题图C9．如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和 A ′B ′C ′D ′，且正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′在正方形ABCD 的中心，当正方形A ′B ′C ′D ′绕A ′ 转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值. 这个结论对吗？证明你的判断. （“希望杯”邀请赛试题）10．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB ，CD 的中点分别为K ，M .求证：S 四边形ABCD ＝S △ABM ＋S △DCK..11．如图1，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC ，S △DAC ，S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝S △DAC ＋S △DBC2………..①.(1) 如图2，若图1中AB 与CD 不平行时，①式是否成立？请说明理由.(2) 如图3，若图1中AB 与CD 相交于点O 时，问S △DMC 与S △DAC 和S △DBC 有何相等关系？试证明第10题图第8题图第7题图C第9题图C'(1) 如图2，若图1中AB 与CD 不平行时，①式是否成立？请说明理由.(2) 如图3，若图1中AB 与CD 相交于点O 时，问S △DMC 与S △DAC 和S △DBC 有何相等关系？试证明你的结论. （安徽省中考试题）图2图1图312．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ′.(1) 如图1，当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ，证明：△A ′CD 是等边三角形；(2) 如图2，连接A ′A ，B ′B ，设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S △ACA ′和S △BCB ′.求证：S △ACA ′∶S △BCB ′＝1∶3. (3) 如图3，设AC 的中点为E ，A ′B ′的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝_____时，EP 长度最大，最大值是____________. （安徽省中考试题）图2图1图3B 级1．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7cm 2和11cm 2，则△CDE 的面积等于___________cm 2. （武汉市竞赛试题）2．如图，P 为正方形ABCD 内一点，P A ＝PB ＝10，并且P 到CD 边的距离也等于10，那么正方形ABCD 的面积是_______________. (北京市竞赛试题)3．如图，四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 上，DF FC ＝1，CEBE ＝2，若△ADF 的面积为m ，四边形AECF 的面积为n (n ＞m )，则四边形ABCD 的面积为___________. (全国初中数学联赛试题)4．如图，图形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 和BD 相交于点O ，若AC ＝5，BD ＝12，中位线长为132，△AOB的面积为S 1，△OCD 的面积为S 2，则S 1＋S 2＝_________. (山东省竞赛试题)5．如图，分别延长△ABC 的三边AB ，BC ，CA 至A ′，B ′，C ′，使得AA ′＝3AB ，BB ′＝3BC ，CC ′＝3AC ，若S △ABC ＝1，则S △A ′B ′C ′等于 ( ).A ．18B ．19C ．24D ．27(山东省竞赛试题) 6．如图，若ABCD 是2×2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于点I ，BD 和AF 相交于点H ，那么四边形BEIH 的面积是 ( )A ．13B ．52 C ．715 D ．815(江苏省竞赛试题)7．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的点，已知S △ABE ＝S △ADF ＝13S ABCD ，则S △AEF S △CEF 的值等于 ( ) (北京市竞赛试题)A ．2B ．3C ．4D ．58．(1) 探究：如图1，在 ABCD 的形外分别作等腰直角三角形ABF 和等腰直角三角形ADE ，∠F AB ＝∠EAD ＝90°，连接AC ，EF. 在图中找一个与△F AE 全等的三角形，并加以证明.第6题图第4题图第3题图B第2题图第1题图F第5题图第7题图A BEF(2) 应用：以 ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF ，GH ，IJ ，KL ，若 ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________. （长春市中考试题）图1图2J9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝DC ＝2cm ，BC ＝4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR ＝120°，底边QR ＝6cm ，点B ，C ，Q ，R 在同一条直线l 上，且C ，Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/s 的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S cm 2.(1) 当t ＝4时，求S 的值；(2) 当4≤t ≤10时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值. (广州市中考试题)10．有一根直尺的短边长为2cm ，长边长为10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm ，如图1将直尺的短边DE 放置与直角三角纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合将直尺沿AB 方向平移，如图2，设平移的长为x cm(0≤x ≤10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积S cm 2.(1) 当x ＝0时，S ＝________，当10=x 时，S ＝________； (2) 当0＜x ≤4时，求S 关于x 的函数关系式；(3) 当4＜x ＜10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值. (徐州市中考试题)图1图2E11．如图，设H 是等腰三角形ABC 的三边上的高线的交点，在底边BC 保持不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时HBC ABC S S ∆∆⋅的值变大、变小、还是不变?证第9题图B C(Q)R明你的结论. (全国初中数学联赛试题)12．(1) 请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(2) 如图2，点M 是矩形ABCD 内一定点，请你在图2中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(3) 如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ，OB ＝6，BC ＝4，CD ＝4. 开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P (4，2)处. 为了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分. 你认为直线l 是否存在?若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由. (陕西省中考试题)图1图2图3第11题图D。

第四节图形的面积(含答案)...八年级数学学而思

第四节图形的面积1.一些常见的面积公式正方形面积2边长×边长；长方形（矩形）面积=长×宽；平行四边形面积=底×高：三角形的面积21=×底×高；梯形面积⨯=21（上底+下底）×高， 2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分1.计算面积常用的方法(1)和差法：把图形面积用常见图形的面积和或差表示，通过常规图形面积公式计算． (2)割补法：有时直接求图形的面积有困难，我们可以通过分割或补形，把图形转化为容易观察或解决的图形的面积进行求解．(3)等积变形法：对某些图形，找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换为易求图形的面积．(4)等比法，将面积比转化为线段的比． 2.两个三角形的面积关系同（等）高时，面积之比等于底之比；同（等）底时，面积之比等于高之比， 3.等分三角形面积三角形一边中线平分三角形面积． 4.常见的基本模型续表例1．如图1-4-1所示，△ABC 中，已知点F E D ,,分别是CE AD BC ,,边上的中点，且24S cm ABC =∆则BEF ∆S 的值为（）22.cm A 21.cm B 25.0.cm C 225.0.cm D141-- 241-- 341--检测1．如图1-4-2所示，AD 是△ABC 边BC 的中线，F E ,分别是BE AD ,的中点，若△BFD 的面积为6，则△ABC的面积等于( )18.A 24.B 48.C 36.D例2．如图1-4-3所示，在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，0是AD 上任意一点，=∆ABO S ,12S ,3CO BO ==∆∆A D S那么=∆COD S检测2．如图1-4-4所示，三角形ABC 的面积是30平方厘米，,32,BC BD FD AE ==则三角形BED 的面积为平方厘米．例3．如图1-4-5所示，已知AE AD ,分别是△ABC 的高和中线，,12,9cm AC cm AB ==.90ο=∠CAB(1)求△ABE 的面积．(2)求AD 的长度．(3)求△ACE 和△ABE 的周长的差，441-- 541-- 641--检测3.如图1-4-6所示，在△ABC 中．,3,8,5,cm BE cm AC cm BC AC BE ===⊥(1)则△ABC 的面积为(2)画出△ABC 中的BC 边上的高AD ，并求出AD 的值例4．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为检测 4.（安徽桐城市模拟）已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为,,,c b a h h h 且,6:5:4::=c b a 那么c b a h h h ::等于( )6:5:4.A 4:5:6.B 10:12:15.C 15:12:10.D第四节图形的面积(建议用时:30分钟)实战演练1．（湖南衡阳期末）能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条( ) A ．角平分线 B ．中线 C ．高线 D ．既垂直又平分的线段2．如图1-4-1所示，4x4的方格中每个小正方形的边长都是1，则⋅ABCD 四边形S 与DF E C S 四边形的大小关系是( )DFABDC A EC S S .四边形四边形=DFABDC B EC S S .四边形四边形<1S S .EC +=DF ABDC C 四边形四边形 2S S .EC +=DF ABDC D 四边形四边形141-- 241-- 341--3．（江苏沭阳期末）如图1-4-2所示，在CE AD ABC ,,中∆分别是△ABC 的高，且,4,2==CE AD 则=BC AB :4:3.A 3:4.B 2:1.C 1:2.D4．如图1-4-3所示，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为CDQ a ∆,的面积为6．则阴影四边形的面积等于( )b a A +. b a B -. 2.ba C + D ．无法确定441-- 541-- 641--5．如图1-4-4是3个边长为1的正方形拼成的，则图中共有( )个面积为0.5的三角形．7.A 6.B 5.C 4.D6．在一堂“探索与实践”活动课上，小明借助学过的数学知识，利用三角形和长方形为班里的班报设计了一个报徽，设计图案如图1-4-5所示，两条线段EF ，MN 将大长方形AB-CD 分成四个小长方形，已知,,b AE a DE ==,,d BN c AN ==且1S 的面积为2S ,8的面积为3S ,6的面积为5，则阴影三角形的面积为( ) 310.A 3.B 4.C 25.D 7．如图1-4-6所示，,7S ,4S ,5S a a a BFG ACG AFG ===∆∆∆则=∆AEG Sa A 1127.a B 1128. a C 1129. a D 1130.8．有三条线段a c b a ,,,长2.12米，6长2.71米，c 长3.53米．以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形，如图1-4-7所示，第个梯形的面积最大．741--9．如图1-4-8所示，图④③②①,,,都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3×3平方厘米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为321S ,,S S 和⋅4S 则321,S ,S S 和4S中最小的与最大的和是平方厘米．841--10.如图1-4-9所示，两个相同的梯形重叠在一起，则上面的梯形中未重叠部分面积是11．如图1-4-10所示，将△ABC 的三个顶点与同一个内点连接起来，所得三条连线把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积在图中已标明，则△ABC 的面积为941-- 1041-- 1141-- 1241--12.如图1—4- 11所示，四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,上的点，且,31AD AH =,31AB BE =,31BC CF =,31CD DG =如果阴影部分的面积为10平方厘米，则四边形ABCD 的面积等于平方厘米．13．等边△ABC 的面积为G F E ,,,1是其各条边上的5等分点，其位置如图1-4- 12所示，那么△EFG 的面积为 14.梯形的上底a 、下底b 和高h 都是整数，下底比上底长10 cm ，h 小于a ，梯形面积是,5612cm 请写出三元整数组),,(h b a 的所有可能15.如图1-4 - 13所示，AD 为△ABC 的中线．BE 为△ABD 的中线．,15)1(ο=∠ABF ,26ο=∠BAD 求BED ∠的度数：(2)若△ABC 的面积为,5,40=BD 则△BDE 中BD 边上的高为多少．16.如图1-4 - 14所示，△ABC 内的线段BD ．CE 相交于点O.已知,2,OE OC OD OB ==设COD BOC BOE ∆∆∆,, 和四边形AEOD 的面积分别为4321S ,S ,,S S1341--(1)求31:S S 的值； (2)如果,22=S 求4S 的值．17．(1)如图1-4 - 15所示，已知△ABC 的面积为a ，1541--① 如图①所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，使,BC CD =连接DA.若△ACD 的面积为,1S 则=1S（用含a 的代数式表示）； ② 如图②所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使==AE BC CD ,,CA 连接DE.若△DEC 的面积为,2S 则=2S （用含a 的代数式表示）；③ 在图②所示的基础上延长AB 到点F ，使,AB BF =连接,,FE FD 得到△DEF(如图③所示）．若阴影部分的面积为,S 3则=3S（用含a 的代数式表示）；(2)像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图③所示），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的倍，拓展创新18.（江苏南京秦淮区期末）如图1-4 -16所示．(1)如图①．AD 是△ABC 的中线，△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系，为什么？(2)若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为如图②，已知,ABC S ∆△ABC 的中线AD ，CE 相交于点0，求四边形BDOE 的面积，,1S =∆ABC拓展1．如图③，已知1441--1641--是BC 边上的三等分点，F ，G 是AB 边上的三等分点，E D ABC ,,1S =∆AD ．CF 交于点0，则四边形BDOF 的面积为拓展2．如图④，已知F E D ,,,1S ABC =∆是BC 边上的四等分点，G ，H ，I 是AB 边上的四等分点，AD ．CG 交于点0，则四边形BDOG 的面积为极限挑战19.设一个三角形的三边分别是.8,31,3m -(1)求m 的取值范围；(2)是否存在整数m 使三角形的周长为偶数？若存在，求出三角形的周长；若不存在，说明理由；(3)如图1-4 -17所示，在(2)的条件下，当3,31,8=-==BC m AC AB 时，若D 是AB 的中点，连接CD ，P 是CD 上动点（不与C ，D 重合，当P 在线段CD 上运动时，有两个式子）：;S S S BPD APC ABC ∆∆∆+①,ABPBPA +②其中有一个的值不变，另一个的值改变．问题：请判断出谁不变，谁改变；若不变的求出其值，若改变的求出变化的范围，1741--答案。

2018年人教版中考压轴题汇编《因动点产生的面积问题》含答案

1.6 因动点产生的面积问题例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题答案例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个．思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值．满分解答（1）抛物线的解析式为2188y x =-+．（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下：设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218x ．而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128x +．因此PD －PF ＝2为定值．（3）“好点”共有11个．在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ．因为S △POD ＝1()32P OD x x ⋅-=-，S △POE ＝2111624P OE y x ⋅=-+，S △DOE ＝12，所以 S △PDE ＝21316124x x --+-＝21344x x --+＝21(6)134x -++．因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6．如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，方程21(6)13124x -++=的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内．所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．图4例2 2017年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P 从A 向B 运动，可以体验到，当P 运动到AB 的中点时，△PBQ 的面积最大．双击按钮“△PBQ 面积最大”，再拖动点K 在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数，求二次函数的最小值． 2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4)．所以－8a ＝－3．解得38a =．所以抛物线的解析式为3(2)(4)8y x x =+-233384x x =--．（2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝35．在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝35t ．所以S △PBQ ＝211399(63)(1)2251010BP QH t t t ⋅=-⨯=--+．因为0≤t ≤2，所以当t ＝1时，△PBQ 的面积最大，最大面积是910。

部编数学八年级下册专题09一次函数与几何图形综合的七种考法(解析版)含答案

专题09 一次函数与几何图形综合的七种考法类型一、面积问题例．如图，直线AB 的表达式为364y x =-+，交x 轴，y 轴分别与B ，A 两点，点D 坐标为()4,0-点C 在线段AB 上，CD 交y 轴于点E ．(1)求点A ，B 的坐标．(2)若CD CB =，求点C 的坐标．(3)若ACE △与DOE V 的面积相等，在直线AB 上有点P ，满足DOC △与DPC △的面积相等，求点P 坐标．∵CD CB =，∴DF BF =，∵点D 坐标为()4,0-，点B 的坐标为(∴12BD =，8OB =，∴6BF =，∴2OF =，∵DOC △与DPC △的面积相等，∴点O 和点P 到距离相等，此时OP ∥∴直线OP 的解析式为35y x =，联立得：36435y x y xì=-+ïïíï=ïî，解得：x y ì=ïïíï=ïî【变式训练1】如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．(1)填空：k =________；b =________；m =________；(2)在x 轴上是否存在一点E ，使BCE V 的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若动点P 在射线DC 上从点D 开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP ，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP △和ADP △的面积比为1:2？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）∵点P 在射线DC 上从点∴(2,0)D -，∵(2,2)C ，∴22(22)225CD =++=，∵点P 的运动时间为t 秒．②点P 在线段DC 的延长线上，∵ACP △和ADP △的面积比为1:∴12CP DP =，∴22545DP =´=，综上：存在t 的值，使ACP △和【变式训练2】在平面直角坐标系中，O 为原点，点()4,0A ，()2,0B -，()3,2C -，点D 是y 轴正半轴上的动点，连接CD 交x 轴于点E ．(1)如图①，若点D 的坐标为()0,2，求ACD V 的面积；(2)如图②，若12ABD ABC S S =V V ，求点D 的坐标．(3)如图③，若BDE ACE S S =△△，请直接写出点D 的坐标．【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线AB ：13y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．过点()1,0E 且垂直于x 轴的直线DE 交AB 于点D ，P 是直线DE 上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式和点B 的坐标；(2)求ABP V 的面积（用含n 的代数式表示）；(3)当ABP V 的面积为2时，以PB 为边在第一象限作等腰直角三角形BPC ，求出点C 的坐标．，则90PEB BP CGB Ð=Ð=Ð=°，PB BC =，∴90PBE BPE Ð+Ð=°，90BPE CPG Ð+Ð=°，∴BPE CPG Ð=Ð，∴()AAS BEP PGC ≌V V ，∴2BE PG ==，2PE CG ==，∴点()3,4C ；②以PB 为底时，如图，过点C 作CG PE ^于点G ，作CH x ^轴于点H ，则90PGC CGE CHB PEB PCB Ð=Ð=Ð=°=Ð=Ð，CP CB =，∴90GCH PCB Ð=°=Ð，∴PCG BCH Ð=Ð，∴∴()AAS BCH PCG ≌V V ，∴BH PG =，CH CG =，∴BE BH PE PG +=-，即22BH BH +=-，∴0BH PG ==，∴点()3,2C ；综上，符合题意的点C 坐标为()5,2或()3,4或()3,2．类型二、最值问题例．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+¹的图像经过()4,0A 、()0,4B 两点．(1)k =______，b =______．(2)已知()1,0M -、()3,0N ，①在直线AB 上找一点P ，使PM PN =．用无刻度直尺和圆规作出点P （不写画法，保留作图痕迹）；②点P 的坐标为______；③点Q 在y 轴上，那么PQ NQ +的最小值为______．【答案】(1)1-，4；(2)①见解析；②()1,3；③5【详解】（1）解：将()4,0A 、()0,4B 代入()0y kx b k =+¹中，得：044k b b =+ìí=î，解得；14k b =-ìí=î，故答案为：1-，4；（2）①如图，点P 即为所求；【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线l经过1,32Aæöç÷èø和()3,2B-两点，且与x轴，y轴分别相交于C，D两点．(1)求直线l的表达式；V的面积等于2时，求点E的坐标；(2)若点E在直线AB上，当ODE-的值最小，则点P的坐标为______；(3)①在x轴上找一点P，使得PA PB-的值最大，则点Q的坐标为______．②在x轴上找一点Q，使得QA QB【变式训练2】如图，一次函数2y x =+的图象分别与x 轴和y 轴交于C ，A 两点，且与正比例函数y kx=的图象交于点()1,B m -．(1)求正比例函数的表达式；(2)点D 是一次函数图象上的一点，且OCD V 的面积是4，求点D 的坐标；(3)点P 是y 轴上一点，当BP CP +的值最小时，若存在，点P 的坐标是______．取点C 关于y 轴的对称点C ¢，则PC PC =CP BP C P BP C B ¢¢\+=+³，即点P 位于C B ¢与x 轴的交点时，BP +∵点(2,0)C - ，【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内，()3,4A -，()3,2B ，点C 在x 轴上，AD x ^轴，垂足为D ，BE x ⊥轴，垂足为E ，线段AB 交y 轴于点F ．若AC BC =，ACD CBE Ð=Ð．(1)求点C 的坐标；(2)如果经过点C 的直线y kx b =+与线段BF 相交，求k 的取值范围；(3)若点P 是y 轴上的一个动点，当PA PC -取得最大值时，求BP 的长．类型三、等腰三角形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数21y x =--的图像分别交x 轴、y 轴于点A 和B ．已知点C 的标为()3,0-，若点P 是x 轴上的一个动点．(1)A 的坐标是______，B 的坐标是______；(2)过点P 作y 轴的平行线交AB 于点M ，交BC 于点N ，当点P 恰好是MN 的中点时，求出P 点坐标．(3)若以点B 、P 、C 为顶点的BPC △为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P 点坐标．【变式训练1】直线8y kx =-与x 轴、y 轴分别交于B C 、两点，且43OC OB =．(1)求OB 的长和k 的值：(2)若点A 是第一象限内直线8y kx =-上的一个动点，当它运动到什么位置时，AOB V 的面积是12？(3)在（2）成立的情况下，y 轴上是否存在点P ，使POA V 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程）由题意得，12OB AD ´´=6OB =Q ，\解得，AD当21294OA OP =+==当397OA OP ==时，3P 当22AP OP =时，作2P H ^22AP OP =Q Q 2P 为线段OA 垂直平分线与【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线MN 交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点()0,3N -，30Ð=°ONM ，作线段MN 的垂直平分线交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．(1)如图1，求直线MN 的解析式和A 点坐标；(2)如图2，过点M 作y 轴的平行线l ，P 是l 上一点，若ANP S =△P 坐标；(3)如图3，点Q 是y 轴的一个动点，连接QM 、AQ ，将MAQ V 沿AQ 翻折得到1M AQ △，当1M MN △是等腰三角形时，求点Q 的坐标．过T 作TS AM ^于S ，则AT ∴22333322AS æö=-=ç÷èø，同理2315Q P y x =--：，综上：()3,6P ，(3,P -（3）①如图，当MN MM =由轴对称的性质可得：AM ∵()223323AN =+=，∴()0,1Q ．②当1NM NM =时，如图，由23AN NM AM ===，∴ANM V 为等边三角形，此时Q ，N 重合，∴()0,3Q -；③当11M M M N =时，1M 在直线∵30OAB Ð=°，【变式训练3】如图，一次函数()0y kx b k =+¹的图象与x 轴交于点C ，与y 轴交于点()0,5A ，与正比例函数12y x =的图象交于点B ，且点B 的横坐标为2，点P 为y 轴上的一个动点．(1)求B 点的坐标和k 、b 的值；(2)连接CP ，当ACP △与AOB V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)连接BP ，是否存在点P 使得PAB V 为等腰三角形?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．③当PA PB =时，如图2，设(0,P m 22(5)PA m =-，1PH m =-，所以PB 所以222(5)(1)2m m -=-+，解得m类型四、直角三角形存在性问题例．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线AB :3y 4x b =+与直线AC ：9y kx =+交于点(2,)A n ，与x 轴分别交于点0()6,B -和点C ．点D 为线段BC 上一动点，将ABD △沿直线AD 翻折得到ADE V ，线段AE 交x 轴于点F ．(1)直线AC 的函数表达式．(2)当点D 在线段BO 上，点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标．(3)若DEF V 为直角三角形，求点D 的坐标．【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与直线11433y x =-+交于点C ．直线11433y x =-+与x 轴交于点D ，若点P 是线段AD 上的一个动点，点P 从点D 出发沿DA 方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A （到 A 停止运动）．设点P 的运动时间为s t ．(1)求点A 和点B 的坐标；△的面积为12时，求t的值；(2)当ACP△为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使ACP若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点()30A -，与y 轴交于点()06B ，，点C 是直线AB 上的一点，它的坐标为()4m ，，经过点C 作直线CD x ∥轴交y 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)已知点P 是直线CD 上的动点，①若POC △的面积为4，求点P 的坐标；②若POC △为直角三角形，请求出所有满足条件的点P 的坐标．②Q OCP Ð一定不是直角，当90OPC Ð=°时，点P 恰好在点D ，\()04P ，，当90POC Ð=°时，，由题可得221417OC =+=，2222416OP DP DP =+=+，()221CP DP =+，Q 222CP OC OP =+，\()2211716DP DP +=++，\16DP =，\()164P ，，综上所述，所有满足条件的点P 的坐标为()04，或()164P ，．【变式训练3】如图，已知函数1y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1B -，与x 轴以及1y x =+的图象分别交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,n ．(1)则k =______，b =______，n =______；(2)关于x ，y 的二元一次方程组y =x +1,y =kx +b的解为______；(3)求四边形AOCD 的面积；(4)在x 轴上是否存在点P ，使得以点P ，C ，D 为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P 的坐标．①当P D DC ¢^时，22P C P D ¢¢=类型五、等腰直角三角形存在性问题例．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ^于D ，过B 作BE ED ^于E ．(1)求证：BEC CDA V V ≌．(2)模型应用：已知直线14:43l y x =+与y 轴交与A 点，将直线1l 绕着A 点顺时针旋转45°至2l ，如图2，求2l 的函数解析式．(3)如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为()8,6，A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，设PC m =，已知点D 在第一象限，且是直线26y x =-上的一点，若APD △是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．∵45BAC Ð=°，∴ABC V 为等腰直角三角形，由（1）得：CBD BAO V V ≌∴BD AO =，CD OB =，∵直线4:4l y x =+，∴()626122AE x =--=-由（1）得：ADE DPF △△≌∴DF AE =，即1228x x -=-，解得：4x =；∴()4,2D ；∴266212BF x x =--=-；同（1）得，APB PDF △≌△∴8AB PF ==，PB DF ==∴()88BF PF PB x =-=--=∴21216x x -=-，解得：283x =；∴2838,33D æöç÷èø；【变式训练1】综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，点C 是线段OA 的中点，点D 与点C 关于y 轴对称，作直线BD ．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求直线BD 的函数表达式；(3)若点P 是直线BD 上的一个动点．请从A ，B 两题中任选一题作答．我选择______题．A ．如图2，连接AP ，CP ．直接写出ACP △为直角三角形时点P 的坐标．B ．如图3，连接CP ，过点P 作PQ x ^轴于点Q ．直接写出CPQ V 为等腰直角三角形时点P 的坐标．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线1:3AB y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．直线1x =交AB 于点D ，交x 轴于点E ，P 是直线1x =上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式；(2)当2ABP S =△时，在第一象限内找一点C ，使BCP V 为等腰直角三角形，求点C 的坐标．∵1x =时，12133y x =-+=，P 在点∴23PD n =-，∴12PAB APD BPD S S S PD AM =+=×+V V V ∵2ABP S =△，3∵90,45CPB EPB Ð=°Ð=°，∴45NPC EPB Ð=Ð=°．又∵90,CNP PEB BP PC Ð=Ð=°=，∴CNP BEP ≌V V ，∴2PN =NC =EB =PE =，∴224NE NP+PE ==+=，∴()3,4C ；若90,PBC BP BC Ð=°=，如图，过点C 作CF x ^轴于点F ．∵90,45PBC EBP Ð=°Ð=°，∴45CBF PBE Ð=Ð=°．又∵90,CFB PEB BC BP Ð=Ð=°=，∴CBF PBE ≌V V ．∴2BF CF PE EB ====，∴325OF OB BF =+=+=，∴()5,2C ；若90,PCB CP EB Ð=°=，如图，∴45CPB EBP Ð=Ð=°，∵,,CP EB CPB EBP BP BP =Ð=Ð=，∴PCB PEB ≌V V ，∴2PC CB PE EB ====，∴()3,2C ；∴点C 的坐标是()3,4或()5,2或()3,2．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AP 交x 轴于点(),0P p ，与y 轴交于点()0,A a ，且a ，p ()230a +=．(1)求直线AP 的解析式；(2)如图1，直线2x =-与x 轴交于点N ，点M 在x 轴上方且在直线2x =-上，若MAP △的面积等于6，请求出点M 的坐标；(3)如图2，已知点()2,4C -，若点B 为射线AP 上一动点，连接BC ，在坐标轴上是否存在点Q ，使BCQ △是以BC 为底边，点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．∵MD AP P ，MAP △的面积等于∴DAP V 的面积等于6，∴162A DP y ××=，即12DP ×∴4DP =，∴()3,0D -，y∴,33OE t BE t ==-，∵BCQ △是以BC 为底边的等腰直角三角形，∴BQ CQ =，90BQC Ð=∴90BQE NQC Ð=°-Ð=又∵BEQ QNC Ð=Ð，∴()AAS BEQ QNC V V ≌，∴BG t =，33OG t =-，∴BT t =，33OT t =-，同②可证CFQ QTB V V ≌∴QF BT t ==，QT CF =∴OQ OT QT OF =+=+∴52t =，∴513422OQ =+=，类型六、平行四边形存在性问题例．在平面直角坐标系xOy 中，直线36y x =+分别与x 、y 轴相交于A 、B 两点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ．连接BC 交x 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)P 为x 轴上的动点，连接PB ，PC ，当PB PC -的值最大时，求此时点P 的坐标．(3)点E 在直线AC 上，点F 在x 轴上，若以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F 的坐标；【答案】(1)点C 的坐标为()4,2-(2)()6,0P (3)点F 的坐标为()17,0-或()13,0或()23,0【详解】（1）解：令0y =，则2x =-，()2,0A \-，令0x =，则6y =，()0,6B \，26OA BO \==，，过点C 作CH x ^轴于H ，9090CAD BAO BAO ABO ÐÐÐÐ+=°+=°Q ，，CAD ABO ÐÐ\=，90AHC BOA ÐÐ\==°，由旋转得AB AC =，()AAS ABO CAH \V V ≌，26CH OA AH BO \====，，4OH AH OA \=-=，\点C 的坐标为()4,2-；（2）作点C 关于x 轴的对称点C ¢，连接BC ¢延长交x 轴于点P ，则点P 就是所求的最大值点，\()4,2C ¢设直线BC ¢的解析式为y kx b =+，\642b k b =ìí+=î，解得16k b =-ìí=î，6y x \=-+，()6,0P \；（3）()()()2,04,20,6A C B --Q ，，，设直线AC 的解析式为y mx n =+，则2042m n m n -+=ìí+=-î【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点(),0A m ，与y 轴交于点()0,B n ，且m n ，满足：()260m n n ++-=．(1)求：AOB S V 的值；(2)D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边作等腰直角BDE V ，连接EA ，求直线EA 与y 轴交点F 的坐标；(3)在（2）的条件下，当2AD =时，在坐标平面内是否存在一点P ，使以B E F Р、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点Р的坐标，若不存在，说明理由．∵EDB △为等腰直角三角形，∴,90DE DB EDB =Ð=°，∴18090EDG ODB Ð+Ð=°-。

人教版八年级数学下册期末复习专题在直角坐标系中求几何图形的面积(含答案)

人教版八年级数学下册期末复习专题训练——在直角坐标系中求几何图形的面积1.如图，四边形是矩形，点，在坐标轴上，是由绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段＝2，＝4（1）求直线的解析式．（2）求的面积．2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E．（1）在同一坐标系中画出函数图象；（2）求△ABC的面积；（3）求四边形ADOC的面积；（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集．3.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b 与y=﹣2x+4是“平行一次函数”（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的，求y=kx+b的解析式．4.如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式5.如图1，直线333+-=x y 分别与y 轴、x 轴交于点A 、点B ，点C 的坐标为(－3，0)，D 为直线AB 上一动点，连接CD 交y 轴于点E(1) 点B 的坐标为__________，不等式0333>+-x 的解集为___________(2) 若S △COE ＝S △ADE ，求点D 的坐标(3) 如图2，以CD 为边作菱形CDFG ，且∠CDF ＝60°．当点D 运动时，点G 在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.6.在直角坐标系中，一条直线经过A （﹣1，5），P （﹣2，a ），B （3，﹣3）三点．（1）求a 的值；（2）设这条直线与y 轴相交于点D ，求△OPD 的面积．7.如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=x ﹣5上时，求线段BC 扫过的面积8.已知：如图，已知直线AB 的函数解析式为y=﹣2x +8，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若点P （m ，n ）为线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），作PE ⊥x 轴于点E ，PF ⊥y 轴于点F ，连接EF ，若△PAO 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并写出m 的取值范围；9. 如图,已知直线343+=x y 与坐标轴交于B,C 两点,点A 是x 轴正半轴上一点,并且15=∆ABC S .点F 是线段AB 上一动点(不与端点重合),过点F 作FE ∥x 轴,交BC 于E.(1) 求AB 所在直线的解析式;(2) 若FD ⊥x 轴于D,且点D 的坐标为)0,(m ,请用含m 的代数式,表示DF 与EF 的长;(3) 在x 轴上是否存在一点P,使得△PEF 为等腰直角三角形,若存在,请直接写出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），与x 轴交于点B ．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD 与（1）中所求的直线相交于点D （﹣1，n ），点A 的坐标为（﹣3，0）．①求n 的值及直线AD 的解析式； ②求△ABD 的面积；③点M 是直线y=﹣2x+a 上的一点（不与点B 重合），且点M 的横坐标为m ，求△ABM 的面积S 与m 之间的关系式．11.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．12.如图，边长为5的正方形OABC 的顶点0在坐标原点处，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点E 是0A 边上的点(不与点A 重合)，EF ⊥CE ，且与正方形外角平分线AG交于点P．(1)求证：CE=EP；(2)若点E的坐标为(3，O)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．13.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．14.直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2，2)，求△BOC的面积．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋4(k≠0)与y轴交于点A.(1)如图，直线y＝－2x＋1与直线y＝kx＋4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为－1.①求点B的坐标及k的值；②直线y＝－2x＋1、直线y＝kx＋4与y轴所围成的△ABC的面积等于____________；(2)直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点E(x0，0)，若－2＜x0＜－1，求k的取值范围．16.如图，己知直线l：y=x+1（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点.（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若P是x轴上的一个动点，求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上.若△ACD面积等于4.请直接写出D的坐标.17.如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B →C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?18.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF ⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；答案：1. （1）OC=4,BC=2,B(-2,4)，．设解析式为，．（2），．直线，．当，，，．2.（1）依照题意画出图形，如图所示．（2）令y=x+2中y=0，则x+2=0，解得：x=﹣2，∴点B（﹣2，0）；令y=﹣x+4中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=4，∴点C（4，0）；联立两直线解析式得：，解得：，∴点A （1，3）．S △ABC =BC•y A =×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x +2中x=0，则y=2，∴点D （0，2）．S 四边形ADOC =S △ABC ﹣S △DBO =9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x ＜1时，直线a 在直线b 的下方，∴不等式x +2≤﹣x +4的解集为x ≤1；当x ＞4时，直线b 在x 轴的下方，∴不等式﹣x +4≤0的解集为x ≥4．3.（1）∵一次函数y=kx +b 与y=﹣2x +4是“平行一次函数”，∴k=﹣2，即y=﹣2x +b ． ∵函数y=kx +b 的图象过点（3，1），∴1=﹣2×3+b ，∴b=7．（2）在y=﹣2x +4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴A （2，0），B （0，4），∴S △AOB =OA•OB=4．由（1）知k=﹣2，则直线y=﹣2x +b 与两坐标轴交点的坐标为（，0），（0，b ），于是有|b |•||=4×=1，∴b=±2，即y=kx +b 的解析式为y=﹣2x +2或y=﹣2x ﹣2．4.设直线l 和10个正方形的最上面交点为A ，过A 作AB ⊥OB 于B ，过A 作AC ⊥OC 于C ， ∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是5，∴三角形ABO 面积是7，∴OB•AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直线l 经过（，3），设直线方程为y=kx （k ≠0），则3=k ，解得k=∴直线l 解析式为y=x ．故答案为：y=x ．5.(1) (3，0)、x ＜3(2) ∵S △COE ＝S △ADE ∴S △AOB ＝S △CBD 即33321621⨯⨯=⨯⨯D y ，y D ＝233 当y ＝233时，23233333==+-x x ，∴D (23323，) (3) 连接CF ∵∠CDF ＝60°∴△CDF 为等边三角形连接AC ∵AB ＝AC ＝BC ＝6∴△ABC 为等边三角形∴△CAF ≌△CBD （SAS ）∴∠CAF ＝∠ACB ＝60°∴AF ∥x 轴设D (m ，333+-m )过点D 作DH ⊥x 轴于H ∴BH ＝3－m ，DB ＝6－2m ＝AF∴F (2m －6，33)由平移可知：G (m －9，m 3-)令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=m y m x 39∴点G 在直线393--=x y 上6. （1）设直线的解析式为y=kx +b ，把A （﹣1，5），B （3，﹣3）代入，可得：{533=+--=+b k b k ，解得：，所以直线解析式为：y=﹣2x +3，把P （﹣2，a ）代入y=﹣2x +3中，得：a=7；（2）由（1）得点P 的坐标为（﹣2，7），令x=0，则y=3，所以直线与y 轴的交点坐标为（0，3），所以△OPD 的面积=．7.∵点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（8，0），∴AB=6，∵∠CAB=90°，BC=10， ∴CA==8，∴C 点纵坐标为：8，∵将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=x ﹣5上时，∴y=8时，8=x ﹣5，解得：x=13，即A 点向右平移13﹣2=11个单位， ∴线段BC 扫过的面积为：11×8=88．故选：B ．8.（1）令x=0，则y=8，∴B （0，8），令y=0，则﹣2x +8=0，∴x=4，∴A （4，0），（2）∵点P （m ，n ）为线段AB 上的一个动点，∴﹣2m +8=n ，∵A （4，0），∴OA=4，∴0＜m ＜4∴S △PAO =OA ×PE=×4×n=2（﹣2m +8）=﹣4m +16，（0＜m ＜4） )3,0(30343)1(,9B y x x y 即时，中，当在==+= ∴OB=3同理OC=4 ∵15)(21=⋅+OB OA OC ,153)4(21=⨯+⨯OA ∴OA=6 即点A 的坐标为(6,0) 设AB 所在直线的解析式为y=kx+b⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=-==213063k b b k b 解得则∴AB 所在直线的解析式为 (2)在中,当,即DF= 在中,当m x m y 32,321-=+-=时 mm m EF 35)32(=--= (3)10.（1）∵直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴a=6，∴该直线解析式为y=﹣2x +6 （2）①∵点D （﹣1，n ）在直线BC 上，∴n=﹣2×（﹣1）+6=8，∴点D （﹣1，8）设直线AD 的解析式为y=kx +b ，将点A （﹣3，0）、D （﹣1，8）代入y=kx +b 中，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y=4x +12．②令y=﹣2x +6中y=0，则﹣2x +6=0，解得：x=3，∴点B （3，0）．∵A （﹣3，0）、D （﹣1，8），∴AB=6．S △ABD =AB•y D =×6×8=24．③∵点M 在直线y=-2x+6上，∴M （m ，-2m+6），时，即S=6m-18．11. （1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：{15=+-=+-b k b k ，解得：{32=-=k b ．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=32，令x=0，得y=﹣2， 3232221=⨯⨯=∴s 12．（1）在OC 上截取OK =OE .连接EK .∵OC =OA ，∠1=90°，∠OEK =∠OKE =45°，∵AP 为矩形外角平分线，∴∠BAP =45°∴∠EKC =∠PAE =135°.∴CK =EA .∵EC ⊥EP ，∴∠3=∠4.∴△EKC ≌△PAE . ∴EC =EP （2）y 轴上存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形.如图，过点B 作BM ∥PE 交y 轴于点M ，∴∠5=∠CEP =90°，∴∠6=∠ 4.在△BCM 和△COE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,46C O E B C M OC BC ∴△BCM ≌△COE ，∴BM =CE 而CE =EP ，∴BM =EP .由于BM ∥EP ，∴四边形BMEP是平行四边形由△BCM ≌△COE 可得CM =OE =3，∴OM =CO -CM =2.故点M 的坐标为（0，2）.13.（1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：，解得：．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=，令x=0，得y=﹣2，∴S=×2×=．14.(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．将A(1，0)，B(0，－2)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.∴直线AB 的解析式为y ＝2x －2.(2)S △BOC ＝12×2×2＝2.15.（1）32 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋1＝3，∴B(－1，3)．将B(－1，3)代入y ＝kx ＋4，得k ＝1.(2)y ＝kx ＋4与x 轴的交点为(－4k ，0)，∵－2＜x 0＜－1，∴－2＜－4k＜－1，(1)解得2＜k＜4.16.（1）当y=0时，x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0），当x=0时，y=x+1=1，则B（0，1）；（2）AB==，当AP=AB时，P点坐标为（﹣，0）或（，0）；当BP=BA时，P点坐标为（2，0）；当PA=PB时，作AB的垂直平分线交x轴于P，连结PB，如图1，则PA=PB，设P（t，0），则OA=t+2，OB=t+2，在Rt△OBP中，12+t2=（t+2）2，解得t=﹣，此时P点坐标为（﹣，0）；（3）如图2，设D（x，x+1），当x＞0时，∵S△ABC+S△BCD=S△ACD，∴•2•2+•2•x=4，解得x=2，此时D点坐标为（2，2）；当x＜0时，∵S△BCD﹣S△ABC=S△ACD，∴•2•（﹣x）﹣•2•2=4，解得x=﹣6，此时D点坐标为（﹣6，﹣2），综上所述，D点坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）.故答案为（﹣2，0），（0，1）；（2，2）或（﹣6，﹣2）.17.略18.（1）令x=0，则y=8，∴B（0，8），令y=0，则﹣2x+8=0，∴x=4，∴A（4，0），（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴﹣2m+8=n，∵A（4，0），∴OA=4，∴0＜m＜4∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2（﹣2m+8）=﹣4m+16，（0＜m＜4）第11 页共11 页。

图形运动产生的面积问题(四)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题
问题1：图形运动产生的面积问题的处理思路是什么？
图形运动产生的面积问题（四）
一、单选题(共3道，每道33分)
1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，，O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且
BP=3．动点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达点A后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从点P出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E，F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E，F的运动过程中，以EF为边作
等边三角形EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒．
（1）当等边三角形EFG的边FG恰好经过点C时，t的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题
2.（上接第1题）（2）若在整个运动过程中，等边三角形EFG和梯形APCD重叠部分的面积有一段时间保持不变，则相应的t的取值范围是( )
A. B.
C. D.不存在
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题
3.（上接第1，2题）（3）在运动过程中，设等边三角形EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，则当时，S与t之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题
学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：结合第2题，说明你是怎么进行分析的．。

八年级数学一次函数之面积问题(铅垂法一)(人教版)(含答案)

一次函数之面积问题（铅垂法一）（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，已知一次函数的图象经过A(2，a)，B(-1，b)两点，则△AOB的面积为( )A. B.5C.3D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积2.如图，已知一次函数y=x-1的图象经过A(m，1)，B(n，-2)两点，则△AOB的面积为( )A.3B.C.2D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积3.如图，已知一次函数的图象经过A(5，-1)，B(-3，-5)两点，则△AOB的面积为( )A. B.C.14D.28答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积4.如图，已知一次函数的图象经过A(5，m)，B(1，n)两点，点C(3，4)，则△ABC 的面积为( )A.8B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积5.如图，已知一次函数的图象经过A(-5，-1)，B(-1，n)两点，点C(-3，0)，则△ABC 的面积为( )A.8B.4C.5D.7答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积6.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(5，5)，C(-1，2)，则三角形的面积为( )A. B.C.21D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积7.如图，直线AB：分别与x轴、y轴交于点A，B，直线CD：y=x+b分别与x轴、y轴交于点C，D，直线AB与CD交于点P(8，5)，则的面积为( )A.12B.16C.18D.20答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积。

图形运动产生的面积问题(含答案)

图形运动产生的面积问题一、知识点睛1. 研究________图形．2. 分析运动状态：①由_____________确定t 的范围；②对t 分段，根据运动趋势画图，找________________，通常是_____________相交时的特殊位置． 3. 分段_________，选择适当方法表达面积．二、精讲精练1. 已知，等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC 的边AB 上，沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其他边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积．（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．A B C M N QPA BCCBA CBACBA2. 如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB＝ CDCE＝AC 、BD 交于点H ．平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发，沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ，当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒，直线RQ 平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x 秒．（1）填空：∠AHB ＝____________；AC ＝_____________；（2）若213S S ，求x ．HDCBAA B CDH H DCBA AB C DM N R QF G HE3. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点P 、Q 同时从点C 出发，以1cm/s 的速度分别沿CA 、CB 匀速运动，当点Q 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．过点P 作AC 的垂线l 交AB 于点R ，连接PQ 、RQ ，并作△PQR 关于直线l 对称的图形，得到△PQ'R ．设点Q 的运动时间为t （s ），△PQ'R 与△P AR 重叠部分的面积为S （cm 2）．（1）t 为何值时，点Q' 恰好落在AB 上？（2）求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．（3）S 能否为98？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．CBACBAABCPRQ Q'l4. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =2cm ，AC =4cm ，动点P 从点A 出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动，动点Q 从点B 同时出发，沿BA 方向以1cm/s 的速度向点A 运动．当点P 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止运动．以AP 为边向上作正方形APDE ，过点Q 作QF ∥BC ，交AC 于点F ．设点P 的运动时间为t s ，正方形APDE 和梯形BCFQ 重叠部分的面积为S cm 2．（1）当t =_____s 时，点P 与点Q 重合；（2）当t =_____s 时，点D 在QF 上；（3）当点P 在Q ，B 两点之间（不包括Q ，B 两点）时，求S 与t 之间的函数关系式．ACCD E FA CA CACA C5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，1）、D （-2，0），作直线AD 并以线段AD 为一边向上作正方形ABCD ．（1）填空：点B 的坐标为________，点C 的坐标为_________．（2）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线DA 向上平移，直至正方形的顶点C 落在y 轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为S ，求S 关于平移时间t （秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围．6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y =12x 与直线l 2：y =-x +6相交于点M ，直线l 2与x轴相交于点N ．（1）求M ，N 的坐标．（2）已知矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，边AB 在x 轴上，矩形ABCD 沿x 轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD 与△OMN 重叠部分的面积为S ，移动的时间为t （从点B 与点O 重合时开始计时，到点A 与点N 重合时计时结束）．求S 与自变量t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围．ADADAD三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．基本 2．（1）起点、终点（2）状态转折点，边与定点 3．画图二、精讲精练1. （1）当t =32时，四边形MNQP（2）当0＜t ≤1时，S =；当1＜t ≤2时，S =当2＜t ＜3时，S = 2．（1）90°；4 （2）x =2.3．（1）当t =125时，点Q' 恰好落在AB 上. （2）当0＜t ≤125时，23-+38S t t =；当125＜t ≤6时，29(8-)56S t =（3）由（2）问可得，当0＜t ≤125时，239-388t t += ；当125＜t ≤6时，299(8-)568t =；解得，t =t =98S =.4．（1）1 （2）45（3）当1＜t ≤43时，29-24S t t =；当43＜t ＜2时，29-10-84S t t =+. 5．（1）（﹣1，3），（﹣3，2）（2）当0＜t ≤12时，25S t =；当12＜t ≤1时，55-4S t =；当1＜t ≤32时，225-515-4S t t =+.6．（1）M （4，2） N （6，0）（2）当0≤t ≤1时，24t S =；当1＜t ≤4时，1-24t S =；当4＜t ≤5时，231349--424S t t =+；当5＜t ≤6时，13-2S t =+；当6＜t ≤7时，()217-2S t =。

中考数学专题动态几何之线动形成的面积问题(含解析)

、专题29动态几何之线动形成的面积问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。

本专题原创编写双（多）动点形成的面积问题模拟题。

在中考压轴题中，线动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

1.如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝△x，AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是【】【答案】C【解析】△AMN的面积=12AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；解：（1）当0＜x≤1时，如图，在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；同理证得，△CDB ∽ △C N M ， CP NM（2）当 1＜x ＜2，如图，MN= ，OC BD即 2 - x = ，MN=2-x ；1 11∴y=2A P×MN= 12x×（2-x ），y=- 12x 2+x ；1∵- ＜0，2∴函数图象开口向下；综上答案 C 的图象大致符合．故选：C ．本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = -2x 2 经过平移得到抛物线 y = -2x 2 + 4x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【】A．2B．4C．8D．16【答案】B。

部编物理八年级上册专题01运动图像分析和计算(解析版)含答案

专题01 运动图像分析和计算（解析版）类型一运动图像分析【方法技巧】（1）弄清楚图像的横坐标及纵坐标所表示的物理量，并根据图像的形状确定这两个物理量之间的关系。

（2）分析图像的起点、交点、拐点和终点的含义，收集和概括相关的信息。

（3）由问题入手，从图像中寻找相关信息解题。

【专项训练】1.如图所示，下面四个图像反映汽车在做匀速直线运动的是( )A. ①④B. ①③C. ②③D. ②④【答案】C【解析】解：①图像中线段与时间轴平行，物体处于静止状态；②此图像表示汽车通过的路程与所用时间成正比，也就是做匀速直线运动；③此图像表示汽车速度保持不变，一直在匀速直线运动；④此图像的意思是汽车加速行驶。

反映汽车在做匀速直线运动的是②③，故C正确，ABD错误。

故选：C。

匀速直线运动的s−t图像是一条倾斜的直线，直线的倾斜程度表示速度的大小；匀速直线运动的v−t图像是一条平行于时间轴的直线。

本题考查匀速直线运动的特点，将物理规律以函数或统计图表的形式呈现，体现了数学学科的基础性、工具性，是中考命题的热点。

2.某物体v−t的图像如图所示，下列说法正确的是( )A. 物体保持静止状态B. 物体运动的速度与时间成反比C. 物体运动的速度与时间成正比D. 图中阴影部分面积表示物体通过的路程【答案】D【解析】解：A、v−t图象是一条水平直线，说明物体在做匀速直线运动，故A错误；BC、匀速直线运动的物体的速度是不变的，即该物体的速度与时间不成比例关系，故BC错误；D、由速度公式的变形s=vt可知图中阴影部分面积表示物体通过的路程，故D正确。

故选：D。

v−t图像是一条水平直线，说明物体在做匀速直线运动，匀速直线运动的物体的速度是不变的，由速度公式的变形s=vt可知图中阴影部分面积表示物体通过的路程。

本题考查学生对v−t图像的认识和对速度公式的理解，属于基础题。

3.如图所示，图甲是小车甲运动的s−t图像，图乙是小车乙运动的v−t图像，由图像可知( )A. 甲车速度大于乙车速度B. 甲车速度小于乙车速度C. 甲车做匀速直线运动，乙车静止D. 甲、乙两车经过5s通过的路程都是10m【答案】D【解析】解：ABC、甲图为s−t图像，为一过原点的倾斜直线，说明甲车通过的路程与时间成正比，做的是匀速直线运动，则甲的速度为：v甲=s甲t甲=10m5s=2m/s；乙图为v−t图像，乙的图像与t轴平行，说明乙做匀速直线运动，v乙=2m/s，所以甲车速度等于乙车速度，故ABC错误；D、甲、乙都以2m/s匀速运动，经过5s通过的路程均为：s′=vt′=2m/s×5s=10m，故D 正确；故选：D。

【决胜】(预测题)中考数学专题30 动态几何之面动形成的面积问题(含解析)

专题30 动态几何之面动形成的面积问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

本专题原创编写面动形成的面积问题模拟题。

在中考压轴题中，面动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

一.平移形成的面积问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M 落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN 的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．【答案】（1）t－2（2）t=4或34）t=5或6≤t≤8。

2019_2020学年八年级数学上册综合训练图形运动产生的面积问题讲义鲁教版

图形运动产生的面积问题(方案设计一)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题
问题1：图形运动产生的面积问题的处理思路是什么？
问题2：“碰撞时刻”指的是什么？
问题3：图形运动产生的面积问题中的“碰撞点”是如何分析的？
图形运动产生的面积问题（方案设计一）（北师
版）
一、单选题(共2道，每道50分)
1.如图，等腰Rt△ABC的直角边长与正方形PQMN的边长均为10，AC与QM在同一条直线上.当点A与点Q重合时，△ABC以每秒2个单位长度的速度沿射线QM的方向匀速运动，
当点C与点M重合时停止运动，设运动的时间为t秒（），△ABC与正方形PQMN重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题
2.如图，直线与直线相交于点A，且分别与x轴交于B，
C两点.把矩形DEFG放入该坐标系中，边EF在x轴上，且点F与点B重合，DE=，EF=1，矩形DEFG从该位置出发，沿x轴方向自左向右以每秒2个单位长度的速度移动，当点G，A重合时，运动停止.设矩形
DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，移动的时间为t秒（），则S与t之间的函数关系
式为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题。

武汉市七一中学八年级数学专题——面积问题(含答案)

武汉市七一中学八年级数学专题——面积问题（含答案）平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有：1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题．3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化．4．等比法：将面积比转化为对应线段的比．熟悉以下基本图形中常见的面积关系：注等积定理：等底等高的两个三角形面积相等．等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比； (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比．例题求解【例1】在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 相交于点O ，若AC=5，BD=12，中位线长为213，△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则21S S += ．(山东省竞赛题)思路点拨本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：S △AOD =S △BOC =21S S ，S梯形ABCD=S 1+S 2+212S S =221)(S S +(读者证明)，于是将问题转化为求梯形ABCD 的面积．【例2】如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE=6，那么△ABC 的面积等于( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 (全国初中数学联赛试题)思路点拨由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE 面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE面积即可．【例3】如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，求证：S矩形ABCD=S△APQ． (重庆市竞赛题)思路点拨把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明．注意等线段的代换．【例4】如图甲，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC =2DBCDAC SS∆∆+·(1)如图乙，若图甲中AB不平行CD，①式是否成立?请说明理由；(2)如图丙，若图甲中A月与CD相交于点O时，问S△DMC和S△DAC和S △DBC有何种相等关系?试证明你的结论． (安徽省中考题)思路点拨对于(1)，因△DMC 、△DAC 、△DBC 同底，要判断①式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：对于(2)，由于M 为AB 中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 的等式寻找它们的关系．注本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证．通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径．【例5】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP 、BP 、CP 交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ．求证：（1）1=++CFPF BEPE ADPD ；（2）2=++CFPC BEPB ADPA ．思路点拨过P点、A点分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比，利用面积法证明．注有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法．用面积法解题的基本步骤是：(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式．(2)化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果．当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不妨用面积法试一试．学力训练1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花株．(第14届“希望杯”邀请赛试题)2．如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为．(2003年上海市中考题)3．如图，在△ABC 中，∠B=∠CAD ，23=ACBD ，则CADABD S S ∆∆= ．(重庆市竞赛题)4．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD=b(a<b)，对角线AC 与BD 相交于O ，△BOC 的面积为梯形ABCD 的面积的92，则ba = ．5．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．42B ．43C ．4D ．6 (湖北省荆州市中考题)6．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则厶BPD 的面积为( ) A ．41 B ．413- C ．81 D ．8132- (武汉市选拔赛题)7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边，在△ABC 外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CK⊥AB分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为( )AC的大 A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定，与AB小有关(2002年8．有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图)，其中AB＝110m，BC=80m，CD=90m，∠EDC=135°．现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是( )(2003年广州市中考题)9．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案．(2000年山东省竞赛题)10．如图，已知梯形ABCD的面积为34cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，△OCD的面积为11cm2，求蝶形(阴影部分)的面积．11．探究规律：如图a，已知：直线m∥ n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m 上两点．(1)请写出图a中，面积相等的各对三角形；(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等．理由是：．解决问题：如图b，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图c所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c中折线CDE)还保留着．张大爷想过正点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．(不计分界小路与直路的占地面积)(1)写出设计方案，并在图c 中画出相应的图形； (2)说明方案设计理由． (河北省中考题)12．如图，△ABC 中，AD 与BE 相交于F ，已知S △AFB =12cm 2，S △BFD =9cm 2，S △AFE =6cm 2，那么四边形CDFE 的面积为 cm 2．(我爱数学夏令营竞赛题)13．如图，分别延长△ABC 的三边AB 、BC 、CA 至A ′、B ′、C ′，使得AA ′=3AB ，BB ′=3BC ，CC ′=3AC ，若S △ABC =1，则S △A'B'C'= ． 14．如图，设△ABC 的面积是1，D 是边BC 上一点，且21 DCBD ，若在边AC 上取一点，使四边形ABDE 的面积为54，则ECAE 的值为． (天津市竞赛题)15．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为． (全国初中数学联赛试题)16．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连结AF 、CE ，设AF 与CE 的交点为G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于( )A ．65 B ．54 C ．43 D ．32 (全国初中数学竞赛题)17．如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是( ) A ．50 B ．62 C ．65 D ．68 (山东省竞赛题)18．如图，在△ADC 中，EF ∥BC ，S △AEF =S △BCE ，若S △ABC =1，则S △CEF 等于( )A ．41 B ．51 C ．25- D ．233-(四川省竞赛题)19．已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是( )A ．165° D ．135° C ． 150° D ．120° (“希望杯”邀请赛试题)20．如图，在锐角△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点，P、Q、R分别是△ADF、△BDE、△CEF的三条中线的交点．(1)求△DEF与△ABC的面积比；(2)求△PDF与△ADF的面积比；(3)求多边形PDQERF与△ABC的面积比．( “希望杯”邀请赛试题)21．如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB、CD的中点分别为K、M，求证：S四边形ABCD=S△ABM+S△DCK．22．如图，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP=BP=CP=6，设PD =x，PE=y，PF=z，若xy+yz+ z x=28，求xyz的值．23．如图，在△ABC中是否存在一点P，使得过P点的任意一直线都将△ABC分成等积的两部分?为什么?24．如图，以△ABC的三边为边向形外分别作正方形ABDE，CAFG，BCHK，连结EF，GH，KD，求证：以EF，GH，KD为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC 面积的3倍． (北京市竞赛题)思考如图，设G(也称重心)为△ABC 三条中线AD 、BE 、CF 的交点，则2===GFCG GE BG GD AG ，请读者证明．。

八年级数学图形运动产生的面积问题(方案设计一)(人教版)(含答案)

图形运动产生的面积问题（方案设计一）（人教
版）
一、单选题(共2道，每道50分)
1.如图，等腰Rt△ABC的直角边长与正方形PQMN的边长均为10，AC与QM在同一条直线上.当点A与点Q重合时，△ABC以每秒2个单位长度的速度沿射线QM的方向匀速运动，
当点C与点M重合时停止运动，设运动的时间为t秒（），△ABC与正方形PQMN重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题
2.如图，直线与直线相交于点A，且分别与x轴交于B，
C两点.把矩形DEFG放入该坐标系中，边EF在x轴上，且点F与点B重合，DE=，EF=1，矩形DEFG从该位置出发，沿x轴方向自左向右以每秒2个单位长度的速度移动，当点G，A重合时，运动停止.设矩形
DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，移动的时间为t秒（），则S与t之间的函数关系
式为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题。