Φ-Laplace方程正解的存在性和多解性
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（ ＿ ￡“ ） （／ ） （ －８ ，ｔ“ ） Ｏ ｌ ］ ６ ｂａ ×［ ，］ Ｂ ） （， ， ＞９ ｂ ８ ／ １ ） （ ， ， ∈［ ， 一艿 ×［ ，／］ 一 ０ ； 厂
（ ｌ ＿ ｔＭ ） Ｂ ） （， ， ＜ （ ／ １ ） ， ｔ“ ） ０ １ ×［ ，］ 一ｄ，］ ｛厂 ａ （ ＋走 ） （， ， ∈［ ，］ ｏ 口 ×［ ｏ．
５ ６
太 原 师 范 学 院 学 报（ 自然 科 学 版 ）
第 ｌ 卷 Ｏ
Ｐ（ ０ ａ， ， ， ７， ， ｂ ｃ ）一 ｛ ∈ Ｐ： 口 ） （ ）≤ ｆ ｙ 甜 ｄ） ｂ≤ （ ， “ ， （ ）≤ ；
Ｏ 引 言
本文 主要考 虑下 面 ＠ Ｌ ｐａｅ ａ ｌｃ 方程 边值 问题 ： ｆ （ ￡） ＋ ／ “ ￡ ， ｆ）一 ０ ｔ ［ ，］ （ “ （） ） （， （） Ｍ （） ，∈ ０１ ， …
Ｉ（ 一０ （ 一 （（ ） ， “０ ，１ ｇ“１ 一ｏ ，） “ ） ）
ｔ ｄ， ｆＬ １ ｔ 【 Ｉ Ｇ ｏ， ， Ｌ ， ∈ ０Ｉ
以＜ ｍａ 』 ２ ｆ ≤ ｂ ａ ｍｉ ｆ ２ ＜ ｂ ｍａ ｉ“ （ ）ｉ ａ ｘ （）Ｉ ／ ， ｎ “ （ ）ｌ ， ｘ ３ｔ ＜ ．
， ［ ， － ８ ∈ １ ］
１ 相 关 概 念 及 引 理 、 理 定
其 中 ， ｇ满 足 以 下 条 件 ： ｆ，
¨
（ ｆ：Ｏ １ ×Ｒ × — 。 Ａ ） ［ ，］ ‘ 连续 ， 这里Ｒ 一［ ， ］ ０ ；
（ ） ： 一ｄ， 一 翼 是 递 增 的 同 胚 的奇 函数 ； Ａ： （ ｄ）
（ 。 ｇ Ｒ 一 臆 连 续 ， 对 某 个 志 １ 有 ｇ（ ≤ 忌 Ｉ Ａ）：Leabharlann 且 ≥ ， ） Ｊ ， ． ∈
则 问题 （ ） 少存在 三个非 负解 “ ， “ ， 有 １至 “ ， 。且
ｍａ “ ｔ ≤ ｄ ｉ １ ２ ３ ｂ ｘ ｌ （）ｌ ， 一 ，， ， ＜
， Ｌ １。 ∈ ０， ｆ Ｌ １『 ∈ ｏ・
ａ ｎ （）｛ ｍａ （）ｌ ｋ ｒｉ ｌ １ ｔ ， ｘ ｌ １ｔ ≤ （ ＋ １ ｄ Ｕ ），
第 ｌ Ｏ卷
第 １ 期
太 原 师 范 学 院 学 报 （ 然科 学版 ） 自
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ（Ｆ ＴＡＩ ） ＹＵＡＮ ＮＯＲＭＡＩ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） Ｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｉ
Ｖｏ・ ０ Ｎ ・ ｌ １ ｏ １
Ｍａ． ２ １ ｒ ０ １
我 们所考 虑 的问题 （ ） １ 中的非线 性 项 与文 ［ ］ 相 同． ［ ］ 用 Ｌ ｒｙＳ ｈ ｕ ｅ 度 理论 对 ｑ Ｉ ｐａ ｅ １２ ， 文 １运 ｅａ —ｃ ａ ｄ ｒ Ｔ ｌｃ ＞ ａ 方程在 Ｄ ｒ ｈｅ 边 值和 Ｎｅ ｍａ ｎＳｅ ｌｖ边值 条件 下解 的存 在性 进 行研 究 ， 得 至少 存 在 一个 解 的结 果． ｉ ｃ ｌｔ ｉ ｕ ｎ — ｔｋｏ 获
Ｐ（ ）一 ｛ ∈ Ｐ ：，“ ：ｄ｝ ｙ， ） ）＜ （ ； Ｐ（，ａ， ， ）一 ｛ ∈ Ｐ ： （ ， （ ） ｂ ， Ｍ ６≤ ） ｙ ）≤ ｄ｝ ；
收 稿 日期 ： ０ ０ １ ４ ２ １ — ２０
作 者 简 介 ： 慧 芬 （ ９ ３）女 ， 西 忻 州 人 ， 杨 １８ ， 山 山西 大 学 数 学 科 学 学 院 在 读硕 士研 究 生 ， 要 从 事 非线 性 泛 函分 析 主
获得 了 至 少三 个 非 负解 的 存 在 性 结 果 ．
（ 键 词］ 关 Ｉａ ａ ｅ方 程 ； ｅ ｙ Ｐｅ ｅ ｓ ｐｌ ｃ Ａｖ ｒ — ｔ ｒ ｏｎ定 理 ； 个 正 解 ； 多 锥 （ １ ． （ 献 标 识 码 ］ Ａ ３ ７７ ９１ 文
［ 章 编 号 ］ １ ２ ２ ７（ Ｏ１１ ０卜０ ５ ０ ［ 图 分 类 号 ］ 文 ６７ — ０２ ２ ） ０５ － ４ 中
现 在 引 用 一 些 必 要 的 定 义 ， 理 及 定 理 ， 将 所 考 虑 的 边 值 问 题 转 化 为 某 个 全 连 续 算 子 的 不 动 点 的 问 引 并
题．
设 ）０ ， 是定义 在锥 Ｐ 上 的非 负连续 凸泛 函 ， 定义 在锥 Ｐ 上 的非负 连续 凹泛 函 ， ， ａ是 是定 义在 锥 Ｐ 上 的 非 负连续泛 函 ， ， ，， “ ｂ Ｃ ｄ皆为 正数 ， 我们定 义下 列 凸集 ：
定 理 １ 设 （ ，Ａ ） （ ） 立 ， Ｏ ａ ｂ ａ ／ 是 － ） 其 中 ∈ （ ，／ ） 若 ＿满 足 下 列 条 件 ： Ａ ） （ ，Ａ。成 令 ＜ ＜ ≤ ｄ （ ４１ ， ０ １２． 厂
（ ｆ ｔＵ ） （ ／ ） （， ） ０ １ ×［ ，走 ）ｆ ×［ Ｂ ） （， ， ≤￣ ｄ ２ ，￡ ， ∈［ ， ］ ０ （ ＋１ ６ ］ 一ｄ，］ Ｏ；
文［ ］ 运用 Ａｖ ｒ— ｅｅｓ ｎ不动点 定理 对 Ｐ Ｌ ｐａｅ 程 解 的存 在性 进 行 研究 ， ２， ｅｙＰ ｔｒｏ —ａ ｌ 方 ｃ 获得 了至少 存 在 三个 非 负 解的结 果． 受此 启发 ， 文综 合利 用［ ］ ２ 中的方法 ， 究 问题 （ ） 得 到下 面的定 理． 本 １ 和Ｅ ］ 研 １，
２１ ０ １年 ３月
一
Ｌ ｐａｅ ａ ｌｃ 方程 正 解 的存 在 性 和 多解 性
杨 慧芬 袁 志 宏
（ 山西 大 学 数 － 科 学 － 院 ， ９ ９ 山西 太 原 ０ ０ ０ ） ３ ０ ６
（ 要 ］ 文 章 考 虑 一 类 ＠ Ｌａ ａ ｅ边 值 问 题 ． 解 的 存 在 性 ， 用 Ａｖ ｒ — ｔ ｒ ｏ 不 动 点 定 理 摘 ｐｌ ｃ ｆ ｉ － 利 ｅ ｙ Ｐｅ ｅ ｓ ｎ
（ ｌ ＿ ｔＭ ） Ｂ ） （， ， ＜ （ ／ １ ） ， ｔ“ ） ０ １ ×［ ，］ 一ｄ，］ ｛厂 ａ （ ＋走 ） （， ， ∈［ ，］ ｏ 口 ×［ ｏ．
５ ６
太 原 师 范 学 院 学 报（ 自然 科 学 版 ）
第 ｌ 卷 Ｏ
Ｐ（ ０ ａ， ， ， ７， ， ｂ ｃ ）一 ｛ ∈ Ｐ： 口 ） （ ）≤ ｆ ｙ 甜 ｄ） ｂ≤ （ ， “ ， （ ）≤ ；
Ｏ 引 言
本文 主要考 虑下 面 ＠ Ｌ ｐａｅ ａ ｌｃ 方程 边值 问题 ： ｆ （ ￡） ＋ ／ “ ￡ ， ｆ）一 ０ ｔ ［ ，］ （ “ （） ） （， （） Ｍ （） ，∈ ０１ ， …
Ｉ（ 一０ （ 一 （（ ） ， “０ ，１ ｇ“１ 一ｏ ，） “ ） ）
ｔ ｄ， ｆＬ １ ｔ 【 Ｉ Ｇ ｏ， ， Ｌ ， ∈ ０Ｉ
以＜ ｍａ 』 ２ ｆ ≤ ｂ ａ ｍｉ ｆ ２ ＜ ｂ ｍａ ｉ“ （ ）ｉ ａ ｘ （）Ｉ ／ ， ｎ “ （ ）ｌ ， ｘ ３ｔ ＜ ．
， ［ ， － ８ ∈ １ ］
１ 相 关 概 念 及 引 理 、 理 定
其 中 ， ｇ满 足 以 下 条 件 ： ｆ，
¨
（ ｆ：Ｏ １ ×Ｒ × — 。 Ａ ） ［ ，］ ‘ 连续 ， 这里Ｒ 一［ ， ］ ０ ；
（ ） ： 一ｄ， 一 翼 是 递 增 的 同 胚 的奇 函数 ； Ａ： （ ｄ）
（ 。 ｇ Ｒ 一 臆 连 续 ， 对 某 个 志 １ 有 ｇ（ ≤ 忌 Ｉ Ａ）：Leabharlann 且 ≥ ， ） Ｊ ， ． ∈
则 问题 （ ） 少存在 三个非 负解 “ ， “ ， 有 １至 “ ， 。且
ｍａ “ ｔ ≤ ｄ ｉ １ ２ ３ ｂ ｘ ｌ （）ｌ ， 一 ，， ， ＜
， Ｌ １。 ∈ ０， ｆ Ｌ １『 ∈ ｏ・
ａ ｎ （）｛ ｍａ （）ｌ ｋ ｒｉ ｌ １ ｔ ， ｘ ｌ １ｔ ≤ （ ＋ １ ｄ Ｕ ），
第 ｌ Ｏ卷
第 １ 期
太 原 师 范 学 院 学 报 （ 然科 学版 ） 自
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ（Ｆ ＴＡＩ ） ＹＵＡＮ ＮＯＲＭＡＩ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） Ｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｉ
Ｖｏ・ ０ Ｎ ・ ｌ １ ｏ １
Ｍａ． ２ １ ｒ ０ １
我 们所考 虑 的问题 （ ） １ 中的非线 性 项 与文 ［ ］ 相 同． ［ ］ 用 Ｌ ｒｙＳ ｈ ｕ ｅ 度 理论 对 ｑ Ｉ ｐａ ｅ １２ ， 文 １运 ｅａ —ｃ ａ ｄ ｒ Ｔ ｌｃ ＞ ａ 方程在 Ｄ ｒ ｈｅ 边 值和 Ｎｅ ｍａ ｎＳｅ ｌｖ边值 条件 下解 的存 在性 进 行研 究 ， 得 至少 存 在 一个 解 的结 果． ｉ ｃ ｌｔ ｉ ｕ ｎ — ｔｋｏ 获
Ｐ（ ）一 ｛ ∈ Ｐ ：，“ ：ｄ｝ ｙ， ） ）＜ （ ； Ｐ（，ａ， ， ）一 ｛ ∈ Ｐ ： （ ， （ ） ｂ ， Ｍ ６≤ ） ｙ ）≤ ｄ｝ ；
收 稿 日期 ： ０ ０ １ ４ ２ １ — ２０
作 者 简 介 ： 慧 芬 （ ９ ３）女 ， 西 忻 州 人 ， 杨 １８ ， 山 山西 大 学 数 学 科 学 学 院 在 读硕 士研 究 生 ， 要 从 事 非线 性 泛 函分 析 主
获得 了 至 少三 个 非 负解 的 存 在 性 结 果 ．
（ 键 词］ 关 Ｉａ ａ ｅ方 程 ； ｅ ｙ Ｐｅ ｅ ｓ ｐｌ ｃ Ａｖ ｒ — ｔ ｒ ｏｎ定 理 ； 个 正 解 ； 多 锥 （ １ ． （ 献 标 识 码 ］ Ａ ３ ７７ ９１ 文
［ 章 编 号 ］ １ ２ ２ ７（ Ｏ１１ ０卜０ ５ ０ ［ 图 分 类 号 ］ 文 ６７ — ０２ ２ ） ０５ － ４ 中
现 在 引 用 一 些 必 要 的 定 义 ， 理 及 定 理 ， 将 所 考 虑 的 边 值 问 题 转 化 为 某 个 全 连 续 算 子 的 不 动 点 的 问 引 并
题．
设 ）０ ， 是定义 在锥 Ｐ 上 的非 负连续 凸泛 函 ， 定义 在锥 Ｐ 上 的非负 连续 凹泛 函 ， ， ａ是 是定 义在 锥 Ｐ 上 的 非 负连续泛 函 ， ， ，， “ ｂ Ｃ ｄ皆为 正数 ， 我们定 义下 列 凸集 ：
定 理 １ 设 （ ，Ａ ） （ ） 立 ， Ｏ ａ ｂ ａ ／ 是 － ） 其 中 ∈ （ ，／ ） 若 ＿满 足 下 列 条 件 ： Ａ ） （ ，Ａ。成 令 ＜ ＜ ≤ ｄ （ ４１ ， ０ １２． 厂
（ ｆ ｔＵ ） （ ／ ） （， ） ０ １ ×［ ，走 ）ｆ ×［ Ｂ ） （， ， ≤￣ ｄ ２ ，￡ ， ∈［ ， ］ ０ （ ＋１ ６ ］ 一ｄ，］ Ｏ；
文［ ］ 运用 Ａｖ ｒ— ｅｅｓ ｎ不动点 定理 对 Ｐ Ｌ ｐａｅ 程 解 的存 在性 进 行 研究 ， ２， ｅｙＰ ｔｒｏ —ａ ｌ 方 ｃ 获得 了至少 存 在 三个 非 负 解的结 果． 受此 启发 ， 文综 合利 用［ ］ ２ 中的方法 ， 究 问题 （ ） 得 到下 面的定 理． 本 １ 和Ｅ ］ 研 １，
２１ ０ １年 ３月
一
Ｌ ｐａｅ ａ ｌｃ 方程 正 解 的存 在 性 和 多解 性
杨 慧芬 袁 志 宏
（ 山西 大 学 数 － 科 学 － 院 ， ９ ９ 山西 太 原 ０ ０ ０ ） ３ ０ ６
（ 要 ］ 文 章 考 虑 一 类 ＠ Ｌａ ａ ｅ边 值 问 题 ． 解 的 存 在 性 ， 用 Ａｖ ｒ — ｔ ｒ ｏ 不 动 点 定 理 摘 ｐｌ ｃ ｆ ｉ － 利 ｅ ｙ Ｐｅ ｅ ｓ ｎ