浙教版八年级下册第六章反比例函数 第1讲(反比例函数的图象与性质)培优讲义(含解析)

反比例函数 第1讲（反比例函数的图象与性质）反比例函数的图象与性质 命题点一：根据反比例函数的定义求函数表达式 【方法归纳】

确定反比例函数的表达式，关键是确定比例系数k 的值，常用的方法：①根据反比例函数的定义或性质列方程求解；②根据图象中点的坐标求解；③利用待定系数法求解；④利用好比例系数k 的几何意义求解.

例1如图，菱形ABCD 的顶点A 在x 轴上，D 在y 轴上，B ，C 在反比例函数的图象上，对角线

AC ，BD 交于点E ，且BD ∥x 轴，若AE ＝1，∠ADE ＝30°，则反比例函数的表达式为( D )

A ．y ＝2x

B ．y ＝3x

C ．y ＝3x

D ．y ＝23

x

例2已知反比例函数y ＝(m －1)xm 2－m －3，当x <0时，y 随x 的增大而减小，求反比例函数的表达式．

解：由反比例函数y ＝(m －1)xm 2

－m －3，得⎩⎨

⎧

m 2

－m －3＝－1，m －1≠0，解得m ＝2或m ＝－1.

由当x <0时，y 随x 的增大而减小，得m －1＞0，m ＞1， ∴m ＝2.

故反比例函数的表达式为y ＝1

x

.

命题点二：利用反比例函数的增减性解题 【方法归纳】

比较函数值大小的方法一般有三种：①性质法，即利用反比例函数的额增减性进行比较；②求值法(或特殊值法)，即代入自变量的值，求出函数值进行比较；③图象法，即画出函数的图象，在图象上画出点的相应位置，由点的位置直接比较函数值大小.例3已知反比例函数y ＝1－3m x

的图象上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 当x 1<0

A ．m <0

B ．m >0

C ．m <13

D ．m >1

3

例4若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝m

x

(m<0)的图象上，则y1，y2，y3

的大小关系为( B )

A．y1

命题点三：根据反比例函数的定义求比例系数k的值或范围

例5(1)如图，过点C(1,2)分别作x轴，y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A，B两点，若反

比例函数y＝k

x

(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是( A )

A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8

【方法归纳】

当反比例函数与一次函数或平面图形结合时，常因条件的隐含性、综合性而增加难度，从代数式的表达形式和图形性质综合考虑是突破难点的关键，而点的坐标与线段长度的转化是数形结合的桥梁．

(2)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C(0,3)，点B

在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y＝k

x

的图象上，则k的值为( A )

A．3 B．4 C．6 D．12

例6如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在

边AB上，且OC＝3B D.反比例函数y＝k

x

(k≠0)的图象恰好经过点C和点D，则k的值为( A )

A ．

81325 B ．81316 C ．8135 D ．813

4

命题点四：利用反比例函数代数式求值 【方法归纳】

如图，反比例函数||k 的几何意义：

①S △AOB ＝S △AOC ＝1

2|k |；②S 矩形OBAC ＝|k |.

下面两个结论是上述结论的 拓展：

①如图①，S △OPA ＝S △OCD ，

S △OPC ＝S 梯形PADC ； ②如图②，

S 梯形OAPB ＝S 梯形OBCA ， S △BPE ＝S △ACE .

例7(1)如图，直线y＝kx(k>0)与双曲线y＝4

x

交于A(x1，y1), B(x2，y2) 两点，则2x1y2－7x2y1

的值等于 20 .

(2)如图所示，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y

＝9

x

在第一象限的图象经过点B，则OA2－AB2的为 18 .

例8(1)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝6

x

的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

那么(x2－x1)(y2－y1)的值为 24 .

(2)如图，A，B为直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝1

x (x>0)

于C，D两点．若BD＝2AC，则4OC2－OD2的值为 6 .

命题点五：利用函数的系数，判断函数图象的可能性

例9反比例函数y＝kb

x

的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是( C )

例10如图，在同一直角坐标系中，函数y＝k

x

与y＝kx＋k2的大致图象是( C )

命题点六：利用反比例函数k的几何意义解题

例11(1)下列选项中，涂色部分面积最小的是( C )

(2)如图，在平面直角坐标系中，A(－6,0)，曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为－6，－4，－2的三点B，C，D分别向x轴，y轴作垂线，图中的涂色部分是由这些垂线围成的，且面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为 27 .

例12如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C(3,4)，边OA落在x正半轴上，P为线段

AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA，交平行四边形各边如图．若反比例函数y＝k

x

的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为( B )