浙教版八年级下册第六章反比例函数 第1讲(反比例函数的图象与性质)培优讲义(含解析)

反比例函数 第1讲（反比例函数的图象与性质）反比例函数的图象与性质 命题点一：根据反比例函数的定义求函数表达式 【方法归纳】
确定反比例函数的表达式，关键是确定比例系数k 的值，常用的方法：①根据反比例函数的定义或性质列方程求解；②根据图象中点的坐标求解；③利用待定系数法求解；④利用好比例系数k 的几何意义求解.
例1如图，菱形ABCD 的顶点A 在x 轴上，D 在y 轴上，B ，C 在反比例函数的图象上，对角线
AC ，BD 交于点E ，且BD ∥x 轴，若AE ＝1，∠ADE ＝30°，则反比例函数的表达式为( D )
A ．y ＝2x
B ．y ＝3x
C ．y ＝3x
D ．y ＝23
x
例2已知反比例函数y ＝(m －1)xm 2－m －3，当x <0时，y 随x 的增大而减小，求反比例函数的表达式．
解：由反比例函数y ＝(m －1)xm 2
－m －3，得⎩⎨
⎧
m 2
－m －3＝－1，m －1≠0，解得m ＝2或m ＝－1.
由当x <0时，y 随x 的增大而减小，得m －1＞0，m ＞1， ∴m ＝2.
故反比例函数的表达式为y ＝1
x
.
命题点二：利用反比例函数的增减性解题 【方法归纳】
比较函数值大小的方法一般有三种：①性质法，即利用反比例函数的额增减性进行比较；②求值法(或特殊值法)，即代入自变量的值，求出函数值进行比较；③图象法，即画出函数的图象，在图象上画出点的相应位置，由点的位置直接比较函数值大小.例3已知反比例函数y ＝1－3m x
的图象上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 当x 1<0<x 2时，y 1<y 2，则m 的取值范围是( C )
A ．m <0
B ．m >0
C ．m <13
D ．m >1
3
例4若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝m
x
(m<0)的图象上，则y1，y2，y3
的大小关系为( B )
A．y1<y2<y3 B．y2<y3<y1 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y3
命题点三：根据反比例函数的定义求比例系数k的值或范围
例5(1)如图，过点C(1,2)分别作x轴，y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A，B两点，若反
比例函数y＝k
x
(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是( A )
A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
【方法归纳】
当反比例函数与一次函数或平面图形结合时，常因条件的隐含性、综合性而增加难度，从代数式的表达形式和图形性质综合考虑是突破难点的关键，而点的坐标与线段长度的转化是数形结合的桥梁．
(2)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C(0,3)，点B
在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y＝k
x
的图象上，则k的值为( A )
A．3 B．4 C．6 D．12
例6如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在
边AB上，且OC＝3B D.反比例函数y＝k
x
(k≠0)的图象恰好经过点C和点D，则k的值为( A )
A ．
81325 B ．81316 C ．8135 D ．813
4
命题点四：利用反比例函数代数式求值 【方法归纳】
如图，反比例函数||k 的几何意义：
①S △AOB ＝S △AOC ＝1
2|k |；②S 矩形OBAC ＝|k |.
下面两个结论是上述结论的 拓展：
①如图①，S △OPA ＝S △OCD ，
S △OPC ＝S 梯形PADC ； ②如图②，
S 梯形OAPB ＝S 梯形OBCA ， S △BPE ＝S △ACE .
例7(1)如图，直线y＝kx(k>0)与双曲线y＝4
x
交于A(x1，y1), B(x2，y2) 两点，则2x1y2－7x2y1
的值等于 20 .
(2)如图所示，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y
＝9
x
在第一象限的图象经过点B，则OA2－AB2的为 18 .
例8(1)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝6
x
的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
那么(x2－x1)(y2－y1)的值为 24 .
(2)如图，A，B为直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝1
x (x>0)
于C，D两点．若BD＝2AC，则4OC2－OD2的值为 6 .
命题点五：利用函数的系数，判断函数图象的可能性
例9反比例函数y＝kb
x
的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是( C )
例10如图，在同一直角坐标系中，函数y＝k
x
与y＝kx＋k2的大致图象是( C )
命题点六：利用反比例函数k的几何意义解题
例11(1)下列选项中，涂色部分面积最小的是( C )
(2)如图，在平面直角坐标系中，A(－6,0)，曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为－6，－4，－2的三点B，C，D分别向x轴，y轴作垂线，图中的涂色部分是由这些垂线围成的，且面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为 27 .
例12如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C(3,4)，边OA落在x正半轴上，P为线段
AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA，交平行四边形各边如图．若反比例函数y＝k
x
的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为( B )
A．16 B．20 C．24 D．26 命题点七：关于叠加曲线的问题
例13(2018·宁波)如图，平行于x轴的直线与函数y＝k
1
x
(k1>0，x>0)，y＝
k
2
x
(k2>0，x>0)的图
象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为( A )
A．8 B．－8 C．4 D．－4
例14(1)如图，A为函数y＝9
x (x>0)图象上一点，连结OA，交函数y＝
1
x
(x>0)的图象于点B，C
是x轴上的一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为 6 .
命题点八：关于反比例函数的规律性问题
例15如图，在反比例函数y＝10
x
(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3, P4，…，它们的横坐标依次
为2,4,6,8，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右
依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1＋S2＋S3＋…＋S n＝10－
10
n＋1
(用含n的代数式表示)．
例16如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P100A99A100是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，
P
100在反比例函数y＝
4
x
的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A99A100都在x轴上，则点A100的坐
标是 (40,0) .
课后练习
1．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(－4,0)，点B在y轴上．若反比例函数y
＝k
x
(k≠0)的图象过点C，则该反比例函数的表达式为( A )
A．y＝3
x B．y＝
4
x
C．y＝
5
x
D．y＝
6
x
2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数y＝2
x
上的三点，x1<x2<x3，y2<y1<y3，则
下列关系式不正确的是( A )
A．x1·x2<0 B．x1·x3<0 C．x2·x3<0 D．x1＋x2<0
3．(2018·徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx 与y ＝－2
x
的图象交于A ，B 两点，
过A 作y 轴的垂线，交函数y ＝4
x
的图象于点C ，连结BC ，则△ABC 的面积为( C )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x
的图象上，
AC 交x 轴于点E ，BD 交x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝103
，则k 2－k 1等于( A )
A ．4
B ．
143 C ．16
3
D ．6 5．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点O ，矩形的边分别平行于坐标轴，反比例函数
y ＝k x (k >0)的图象交BC 于点M ，交CD 于点N .若A 点坐标为(－2，－2)，S OMN ＝3
2，则k 的值为
( B )
A ．52
B ．2
C ．3
2
D ．1
6．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,5)，C(6,1)．若函数y＝k
x
在第一象限内的图
象与△ABC有交点，则k的取值范围为2≤k≤49
4
.
7．(2018·德州)如图，反比例函数y＝3
x
与一次函数y＝x－2的图象在第三象限相交于点A，点B的坐标为(－3,0)，P是y轴左侧的一点．若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 (－4，－3)，(－2,3) .
8．如图，点A，B在反比例函数y＝1
x
(x>0)的图象上，点C，D在反比例函数y＝
k
x
(k>0)的图
象上，AC∥BD∥y轴．已知点A，B的横坐标分别为1,2，△OAC与△ABD的面积之和为3
2
，则k
的值为 3 .
9．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点
的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝3
x
(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是3≤a≤3＋1.
10．(2018·金华)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝m
x
与y＝
n
x
(x>0,0<m<n)
的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m＝4，n＝20时，
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式；
②若P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
解：(1)①∵m＝4，
∴反比例函数y＝m
x
为y＝
4
x
.当x＝4时，y＝1，
∴点B的坐标为(4,1)．
当y＝2时，2＝4
x
，x＝2，
∴点A的坐标为(2,2)．
设直线AB的表达式为y＝kx＋b.
∴⎩⎨
⎧
2k ＋b ＝2，4k ＋b ＝1，
解得⎩⎨⎧
k ＝－1
2，b ＝3.
∴直线AB 的表达式为y ＝－1
2x ＋3.
②四边形ABCD 是菱形．理由如下： 由题①，知点B 的坐标为(4,1)． ∵BD ∥y 轴，∴点D 的坐标为(4,5)． ∵点P 是线段BD 的中点， ∴点P 的坐标为(4,3)． 当y ＝3时，由y ＝4x ，得x ＝4
3；
由y ＝20x ，得x ＝20
3
.
∴PA ＝4－43＝83，PC ＝203－4＝8
3.∴PA ＝P C.
∵PB ＝PD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． ∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 是菱形．
(2)能．理由如下：当四边形ABCD 是正方形时，记AC ，BD 的交点为P ， ∴BD ＝A C.当x ＝4时，y ＝m x ＝m 4，y ＝n x ＝n
4
，
∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，m 4，点D 的坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，n 4.
∴点P 的坐标为⎝
⎛
⎭⎪⎫4，
m ＋n 8. ∴点A 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫8m m ＋n ，m ＋n 8，点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8n m ＋n ，m ＋n 8. ∵AC ＝BD ，∴8n m ＋n －8m m ＋n ＝n 4－m 4
. ∴m ＋n ＝32.
11．(2018·泰州)在平面直角坐标系xOy 中，横坐标为a 的点A 在反比例函数y 1＝k x
(x >0)的图象上，点A ′与点A 关于点O 对称，一次函数y 2＝mx ＋n 的图象经过点A ′.
(1)设a ＝2，点B (4,2)在函数y 1，y 2的图象上， ①分别求函数y 1，y 2的表达式； ②直接写出使y 1>y 2>0成立的x 的范围．
(2)如图①，设函数y 1，y 2的图象相交于点B ，点B 的横坐标为3a ，△AA ′B 的面积为16，求k 的值．
(3)设m ＝1
2，如图②，过点A 作AD ⊥x 轴，与函数y 2的图象相交于点D ，以AD 为一边向
右侧作正方形ADEF ，试说明函数y 2的图象与线段EF 的交点P 一定在函数y 1的图象上．
解：(1)①∵点B 在y 1的图象上，∴k ＝2×4＝8.
∴y 1＝8
x
.∵a ＝2，点A 在y 1的图象上，∴点A 的坐标为(2,4)，点A ′的坐标为(－2，－
4)．
将点A ′和B 的坐标代入y 2，得⎩⎨
⎧
4m ＋n ＝2，
－2m ＋n ＝－4，
解得⎩⎨
⎧
m ＝1，n ＝－2.
∴y 2＝x －2.②2<x <4.
(2)分别过点A ，B 作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连结O B.
∵O 为AA ′的中点，∴S △AOB ＝1
2S △AA ′B ＝8.
∵点A ，B 在双曲线上，∴S △AOC ＝S △BO D . ∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8.
根据已知，点A ，B 坐标可设为⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ，k a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，k 3a ，
∴12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k 3a ＋k a ×2a ＝8，解得k ＝6. (3)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，则A ′⎝
⎛
⎭⎪⎫－a ，－k a .
把A ′⎝ ⎛
⎭⎪⎫－a ，－k a 代入y ＝12x ＋n ，得－k a ＝－12a ＋n ，∴n ＝12a －k a .
∴A ′D 的表达式为y 2＝12x ＋12a －k
a .
当x ＝a 时，点D 的纵坐标为a －k
a
， ∴AD ＝
2k
a
－a.∵在正方形ADEF 中，AD ＝AF ，
∴点F 和点P 的横坐标为a ＋
2k a －a ＝
2k a
.
∴点P 的纵坐标为12×2k a ＋12a －k a ＝12a ，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2k a ，12a .把点P 的横坐标2k a 代入
y 1＝k x (x >0)，得y 1＝12a.∴点P 在y 1＝k
x
(x >0)的图象上．
12．(自主招生模拟题)如图，反比例函数y ＝k
x
位于第一象限的图象上有A ，B 两点，从点A 作
AD ⊥y 轴于点D ，从点B 作BC ⊥x 轴于点C ，若△OAB 的面积为56，△OCD 的面积为32
，则k 的值为( B )
A ．32
B ．2
C ．5
2
D ．3
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝ －x －1，双曲线y ＝1
x
.在l 上取点A 1，
过A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2.请继续操作并探究：过
A 2作x 轴的垂线交双曲线于点
B 2，过B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…，记点A n 的横坐标为a n .若a 1＝2, 则a 2＝ －32 ，a 2013＝ －1
3 ；
若要将上述操作无限次地进行下去，则a 1不能取的值是 0，－1 .
14．(自主招生模拟题)已知点O 是坐标系的原点，直线y ＝－x ＋m ＋n 与双曲线y ＝1
x
交于两个
不同点A (m ，n )(m ≥2)和B (p ，q )，直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ，求△OBC 的面积S 的取值范围．
解：∵直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ， ∴C (0，m ＋n )．
∵点B (p ，q )在直线y ＝－x ＋m ＋n 上， ∴q ＝－p ＋m ＋n .
又∵点A ，B 在双曲线y ＝1
x
上，
∴1p ＝－p ＋m ＋1m ，即p －m ＝p －m pm
.
∵点A ，B 是不同的点， ∴p －m ≠0. ∴pm ＝1. ∵mn ＝1， ∴p ＝n ，q ＝m . ∵1＞0，
∴在每一个象限内，反比例函数y ＝1
x
的函数值y 随自变量x 的增大而减小．
∴当m ≥2时，0<n ≤1
2
.
∵S ＝12(p ＋q )p ＝12p 2＋12pq ＝12n 2＋12
，
∴当0<n ≤1
2时，S 随自变量n 的增大而增大．
∴12<S ≤58.。