量子力学 第二章PPT课件
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量子力学_第二章_线性谐振子
其中 2
2E
此式是变系数 二阶常微分方程
（2）求解
d 2 [ 2 ] ( x ) 0 2 d
1. 渐近解
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
d 2 0 2 d
为此考察相邻 两项之比：
2
bk 2 k 2 2k 1 2 (k 1)(k 2) bk k
k
2 2 k
exp[ 2 ] 1
1 !
4
2!
k 2
k
( )!
k 2
k 2
( 1)!
考察幂级数exp[ξ 2}的 展开式的收敛性
§2.7 线性谐振子
（一）引言
l
（1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子
l
l
l
（二）线性谐振子
（1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式
l
l
l
（一）引言
（1）何谓谐振子
d2x 2 kx dt
其解为 x = 简谐振动，
在经典力学中，当质量为 的粒 子，受弹性力F = - kx作用，由牛 顿第二定律可以写出运动方程为：
2
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
2 d d 2 / 2 e / 2 e d d
其解为：ψ∞ =exp[±ξ2/2]
ξ2 >> ± 1
d d 2 d [ 2 1] 2 [ ] 2 d d d
第二章量子力学
原子的总角动量 总角动量量子数 J 原子的总角动量 PJ = J ( J + 1) h 总角动量z分量量子数 mJ = − J , − J + 1,L, J − 1, J 原子总角动量的z分量 PJz = mJ h 角动量及其z分量与量子数之间关系的一般规律性： ⎯⎯角动量与量子数的关系为
PJ = J ( J + 1) h
远远不够。如： 四个量子数的物理含义是什么？ 固体中电子态与孤立原子相比有何差别？ ——结合成键过程中电子态如何改变
各类材料的电导率σ与载流子
材料类 超导体 导体 107～105 半导体 105～10-5 绝缘体 10-9～10-18
σ (Ω-1m-1) ≥1015
载流子
电子对 自由电子 电子、空穴 电子和/或离子
量子力学基础
1. De Broglie假设——微观粒子的波动性
（1） De Broglie假设(1924)
自由粒子 (E 、 p )∼平 面 波 (ν 、λ ) ，其中：
E = hν = hω
p = hk
间的关系为：
h = 2 π h = 6.623 × 10 −34 Js 为普朗克常数，k为粒子的波矢，它与波长之
PS = 6h
PJ = 2 5h
PSz = −2h, − h, 0, h, 2h
PJ Z = −4h, − 3h,L, 3h, 4h
亚电子层未达或超过半满时： 轨道角动量与自旋角动量分别为反平行 和平行。
氢分子中的电子态与原子结合能 固体中原子结合能一般可用下面 公式表达：
a b U (r) = − m + n r r
三、孤立原子中电子的排布与角动量合成 例：基态Fe原子(Z=26)的核外电子排布及角动量 全满的亚电子层—如3p6：L＝S＝J＝0，各角动量都为0； 未满的亚电子层为3d6：电子的排布情况
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
E0=12ћω(2.60) 现在我们安全地站在梯子的最底部(量子谐振
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。
量子力学(全套) ppt课件
1 n2
人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子P的PT课状件态可以用包含整数值的量来描写12 。
从前，希腊人有一种思想认为：
•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光
强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典
理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定
于光的强度而与频率无关。
PPT课件
24
（3） 光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv，
而且具有动量。根据相对论知，速度 为 V 运动的粒子的能量由右式给出：
nm
11
谱系
m
Lyman
1
Balmer
2
Paschen
3
Brackett
4
Pfund
5
氢原子光谱
n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,......
区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
RH
C
1 m2
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子 核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的 能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是， 现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。
量子力学课件第二章
2 dW ( p, t ) | c( p, t ) | dp t时刻粒子出现在动量 点附近 p dp体积元内的几率。
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第二章
RETURN
16
三、 波函数的统计解释
1.粒子和波关系
两种错误观点： ①电子波是电子的某种实际结构，即电子是三
维空间连续分布的某种物质的波包。 ②波是由其所描写的粒子分布于空间而形成的
疏密波。
电子所呈现出来的粒子性只是经典粒子概念 中的“颗粒性”，电子呈现的波动性也只是波 动性中最本质的东西——波的“叠加性”。电 子是具有波粒二象性的物质客体。
13
电子的双缝衍射实验
P
s1
dq
q
S
电子源 s2 Q
D
B
以E1和E2分别表示穿过狭缝S1和S2到达P点的 电子波振幅
E1 E0 cost,
E2
E0
cos(t
2πd
sinq )
上图中光程差S2 Q=d sinq ,在P 点电子波振幅为
E
E1
E2
2E0
cos( πd
sinq ) cos(t
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
q Bh mc
(n 0,1, 2,L )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
电子衍射实验： （德布罗意假说验证，1927年）
电子枪
探测器
q
q
↕d
2d sinq k
11
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
量子力学_第二章_薛定谔方程
（2）量子力学情况 1．t = t0 时刻，已知初态ψ ( r,t0) 且只知道这样一个初 条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ 对时间 的一阶导数
2．另一方面，ψ 要满足态叠加原理，即，若ψ 1( r, t ) 和 ψ 2( r, t )是方程的解，那末。 ψ ( r, t)= C1ψ 1( r, t ) + C2ψ 2( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程 中只能包含ψ , ψ 对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次 项，不能含它们的平方或开方项
得到了圆满解决。
（二）引进方程的基本考虑 先回顾经典粒子运动方程 （1）经典情况
dr t t 0时刻，已知初态：0 , p0 m r dt
t t 0
2 d r 粒子满足的方程是牛顿方程：F m 2 dt
• 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的 状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时 间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程
满足上述构造方程 的三个条件
所以
2 2 i t 2
由引出自由粒子波动方程知 若能量关系式 E = p2/2μ
E p 2 p
（3 ）
讨论：
写成如下方程形式：
i t
p2 (E ) 0 2
做算符替换（4）即得自由 粒子满足的方程（3）
而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为：
Ze2 U i (ห้องสมุดไป่ตู้ri ) ri
假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。
2
py
2
pz 2 2 2 z
2
（三）
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子 在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） ②波函数一般用复函数表示。
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
量子力学第二章PPT课件
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( r,t )d ( r,t ) 2d 1
满足此条件的波函数 rr,t 称为归一化波函数。
又因
(rv,t) 2 d C2
(rv,t)
2
d
1
其中 于是
1
C
(rv,t) 2 d
称为归一化常数
(r,t) (r,t) 2
(r,t) 2 (r,t) 2 d
归一化消除了波函数常数因子的一种不确定性。 18
第二章 波函数及薛定谔方程
§1 波函数及其统计解释 §2 态叠加原理 §3 薛定谔方程 §4 定态 §5 一维定态问题
1
学习要求
1.理解微观粒子运动状态的描述 及其统计解释。
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
数随时间演化的规律
薛定谔方程。
波函
4.掌握定态及其性质。
归一化常数 A 1/ 2 h
归一化的平面波：
1/ 2 e 1/ 2
i(
Px
x
Et
)
Px
22
归一化：
2
Px (x,t) dx (Px Px)
同理，三维平面波： v(rv,t)
1
i ( PvrvEt )
eh
P
(2 h)3/2
归一化：
v P
(rv,
t
)
2
d
vv
3(P P)
3 3ei(2x h) / h , 6 (4 2i)ei2x / h.
2.已知下列两个波函数
1
(
x)
A
sin
n 2a
(
x
a)
0
| x | a | x | a
量子力学讲义 第二章(2)
•
在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后
， 进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的概 率将 怎样随时间变化。
设描写粒子状态的波函数是： (r , t ) 在时刻t 在r点周围单位体积内粒子出现的概率（概 2 率密度）： ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | （1）
将（2）代入 （1）式中：
一、定态薛定谔方程
i [ 2 U r ] 2m t
（2）
2
2
（1）
i (r )
d f (t ) f (t )[ 2 U r ] 2 m dt 上式两边除以 ( r ) f (t )
（3）
2 i df 1 [ 2 U r ] f dt 2m
j k 其中 i x y z
（称为动量算符）
（向量算符）
问：p x
?
p x i
x
利用关系式(8)、(9)来建立在力场 中粒子波函数所满足的微分方程。 设粒子在力场中的势能为 U r ，则：
2、薛定谔方程：
三、薛定谔方程
2 p 两边乘以 p U r （10） E E U r 2m r , t 2m 2 E i t 代入上式得 i 2 U r 将 t 2m p i （11）
定态的特点 1）粒子的概率密度和概率流密度
与时间无关 因为
2 Et ( r , t ) ( r )e
t
i 2
一、定态薛定谔方程
2 (r )
显然， 0
2）能量具有确定的值 3）各力学量的平均值不随时间变化
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dW ( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ，其中，C是比例系数。
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω( r, t ) = {dW(r,t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2称为几率 分布密度在源自积V 内，t 时刻找到粒子的几率为
W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ = C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能
用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r,t)
描写粒子状态的
• 3个问题？
波函数，它通常 是一个复函数。
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？
(2) 如何体现波粒二象性的？
(3) 描写的是什么样的波呢？
二、波函数的物理意义
统计解释
P
P
电子源
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅 与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这 是没有意义的，与实验事实相矛盾。而且也意味着单个电子也能呈现 行射条纹。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内， 其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
这是没有意义的。
注意：自由粒子波函数
(r,t)Aexip(p •rE)t
•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。
（3）归一化波函数
Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 这里的 C 是常数。描写状态的 相对几率是相同的。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处
第二章 波函数
和 Schrödinger 方程
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 Schrödinger §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 §2.5 定态Schrödinger §2.6 一维无限深势阱 §2.7 线性谐振子 §2.8 势垒贯穿
§2.1 波函数的统计解释
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电 子 既 不 是 粒
子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，
但是我们
也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统
一。”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中 粒子意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
(r ,t) A i2 ( e r .n / t)
宏观粒子: r, p
微观粒子: (t,r)
可观测量:用实数或实函数表示 不可观测量:用复数或复函数表示
Aexp i(p •rE)t
Aexp i(p •rE)t
描写自由粒子的 平面波
称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量
一、微观粒子状态的描述 二、波函数的物理意义 三、波函数的性质
一、微观粒子状态的描述
自由粒子
单色平面波
Eh
ph/
( x , t ) a c 2 o ( x / st )
初始条件:振幅 a ; 初位相
( r , t 频) 率a ; c 2 波o ( r 长. n ;/s t )
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1
从而得常数
1
C 之值为：
C (r,t) 2 d
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。
若 ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ ∞, 则 C 0,
Q
屏
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个
电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在
此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几率。
假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不同。
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小. 确切的说
|Ψ (r)|2 ΔxΔyΔz 表示在 r 点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子 的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这 点找到粒子的几率成比例.
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子 （只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一 些量子现象。
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波 动性的一面，具有片面性。
2. 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连
续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的 大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概念中 波意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
我们再看一下电子的衍射实验
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
P
P
电子源
O
感
Q光
O
感
Q光
屏
O Q
两种错误的看法 1. 波由粒子组成
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈 现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在 一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观
客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为
几率幅.
这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它 是量子力学的基本原理。
三、波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的统计解释，波函数有如下重要性质：
在t 时刻, r 点，体积元 dτ= dxdydz 内，找到由 波函数Ψ(r,t) 描写的粒子的几率是：
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω( r, t ) = {dW(r,t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2称为几率 分布密度在源自积V 内，t 时刻找到粒子的几率为
W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ = C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能
用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r,t)
描写粒子状态的
• 3个问题？
波函数，它通常 是一个复函数。
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？
(2) 如何体现波粒二象性的？
(3) 描写的是什么样的波呢？
二、波函数的物理意义
统计解释
P
P
电子源
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅 与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这 是没有意义的，与实验事实相矛盾。而且也意味着单个电子也能呈现 行射条纹。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内， 其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
这是没有意义的。
注意：自由粒子波函数
(r,t)Aexip(p •rE)t
•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。
（3）归一化波函数
Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 这里的 C 是常数。描写状态的 相对几率是相同的。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处
第二章 波函数
和 Schrödinger 方程
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 Schrödinger §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 §2.5 定态Schrödinger §2.6 一维无限深势阱 §2.7 线性谐振子 §2.8 势垒贯穿
§2.1 波函数的统计解释
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电 子 既 不 是 粒
子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，
但是我们
也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统
一。”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中 粒子意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
(r ,t) A i2 ( e r .n / t)
宏观粒子: r, p
微观粒子: (t,r)
可观测量:用实数或实函数表示 不可观测量:用复数或复函数表示
Aexp i(p •rE)t
Aexp i(p •rE)t
描写自由粒子的 平面波
称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量
一、微观粒子状态的描述 二、波函数的物理意义 三、波函数的性质
一、微观粒子状态的描述
自由粒子
单色平面波
Eh
ph/
( x , t ) a c 2 o ( x / st )
初始条件:振幅 a ; 初位相
( r , t 频) 率a ; c 2 波o ( r 长. n ;/s t )
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1
从而得常数
1
C 之值为：
C (r,t) 2 d
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。
若 ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ ∞, 则 C 0,
Q
屏
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个
电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在
此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几率。
假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不同。
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小. 确切的说
|Ψ (r)|2 ΔxΔyΔz 表示在 r 点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子 的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这 点找到粒子的几率成比例.
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子 （只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一 些量子现象。
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波 动性的一面，具有片面性。
2. 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连
续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的 大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概念中 波意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
我们再看一下电子的衍射实验
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
P
P
电子源
O
感
Q光
O
感
Q光
屏
O Q
两种错误的看法 1. 波由粒子组成
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈 现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在 一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观
客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为
几率幅.
这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它 是量子力学的基本原理。
三、波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的统计解释，波函数有如下重要性质：
在t 时刻, r 点，体积元 dτ= dxdydz 内，找到由 波函数Ψ(r,t) 描写的粒子的几率是：