北京林业大学高等数学总结

十七世纪末期， 十七世纪末期，完善微积分理论的需 要，才有柯西的 ε − δ 描述法
Cauchy小传 小传:1789-1857，法国，发表 多篇论文， 小传 ，法国，发表800多篇论文， 多篇论文 7本专著，其父与拉格朗日、拉普拉斯好友。 本专著， 本专著 其父与拉格朗日、拉普拉斯好友。
哲学上，人类了解极限是人类对宏观 哲学上， 和微观世界认识在数学上的反映。 和微观世界认识在数学上的反映。
( 4) 1 ∫ 1 + x 2 dx = arctan x + C
(10) (11)
∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx =
e x dx = e x + C ∫
− csc x + C
( 5)
( 6)
∫
1 dx = arcsin x + C 2 1− x
I 内的不定积分 不定积分， 的原函数称为 f (x) 在区间 内的不定积分，记
为∫ f ( x)dx ．
∫ f ( x)dx = F( x) + C
基本积分表
(1)
∫ kdx = kx + C
µ
是常数) ( k 是常数
(7)
∫ sin xdx = − cos x + C
dx xµ+1 = ∫ sec 2 xdx = tan x + C (2) ∫ x dx = + C (µ ≠ −1) (8)∫ cos 2 x µ +1 dx dx ( 3) ∫ = ln x + C (9)∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = − cot x + C x sin x
数学小知识：数学发展史上的三次危机： 数学小知识：数学发展史上的三次危机：无理数的 诞生，分析基础的完善，数理逻辑的发展。 诞生，分析基础的完善，数理逻辑的发展。
柯西： 柯西：1789-1857，法，为微积分引入 ， 了严格清晰的表述和证明方法， 了严格清晰的表述和证明方法，形成微积 分的现代体系。 分的现代体系。我们现在看到的大部分的 描述和定义方式基本都来自于柯西。 描述和定义方式基本都来自于柯西。
∫ cos xdx = sin x + C
(12)
ax +C (13) ∫ a x dx = ln a
(14) (15)
(16)
( 20)
1 1 x dx = arctan + C ∫ a2 + x 2 a a
∫ shxdx = chx + C ∫ ch xdx = shx + C
∫ tan xdx = − ln cos x + C ∫ cot xdx = ln sin x + C
微积分的确立： 微积分的确立：历史争论
微积分的正式发明在十七世纪。微积分的发明奠定 微积分的正式发明在十七世纪。 了现代分析数学的基础。 了现代分析数学的基础。 牛顿， 最为重要的三大发现： 牛顿，1642-1727，英，最为重要的三大发现： ， 微积分、力学和引力定律、 微积分、力学和引力定律、光谱分析均在躲避鼠 疫期间，时年23岁 疫期间，时年 岁，“从世界开始到牛顿的年代 的全部数学，牛顿的工作超过了一半”（莱布尼 的全部数学，牛顿的工作超过了一半” ），晚年潜心神学 晚年潜心神学。 茨），晚年潜心神学。 莱布尼茨，1646-1716，德，职业外交家，后 莱布尼茨， ， 职业外交家， 人总结其研究范围包括41个领域 个领域。 人总结其研究范围包括 个领域。微积分的另一 发明人，很多数学符号都来自于他， 发明人，很多数学符号都来自于他，曾编辑出版 中国新事萃编》 研究《易经》 《中国新事萃编》，研究《易经》，送过一台计 算机给康熙，一生未婚。 算机给康熙，一生未婚。
高等数学大结局
第一篇 极限论 第二篇 微积分学 第三篇 级数论 第四篇 空间解析几何 第五篇 微分方程 第六篇 差分方程
第一篇 极限论 第二篇 微积分学 第三篇 级数论
解析几何， 解析几何， 第四篇 空间解析几何 线性代数 数学分析
第五篇 微分方程 第六篇 差分方程
常微分方程
大学高年级可能会进一步学习的数学课程 线性代数：行列式，线性方程组，矩阵， 线性代数：行列式，线性方程组，矩阵， 二次型等数学对象及其关系。 二次型等数学对象及其关系。 概率论及数理统计： 概率论及数理统计：研究或然性问题及 统计规律的数学学科。 统计规律的数学学科。 运筹学： 运筹学：将数学理论应用于实际问题的 数学应用学科。包含有众多的分支。 数学应用学科。包含有众多的分支。
一元函数微积分
一元函数微分学 一元函数积分学
在哲学上， 在哲学上，每一个范畴都有相对应的另外一个范畴 存在，运动与静止、物质与意识、对立和统一、 存在，运动与静止、物质与意识、对立和统一、质变 和量变、时间和空间。 和量变、时间和空间。 在数学中，每一种运算总会存在着另外一种与之相 在数学中， 逆的运算，它们对数学的量起着相反的作用。 逆的运算，它们对数学的量起着相反的作用。比如加 与减、乘与除、指数与对数、三角与反三角、 与减、乘与除、指数与对数、三角与反三角、 微分和积分的关系类似于加和减、乘与除的关系， 微分和积分的关系类似于加和减、乘与除的关系， 它们是互逆的。 它们是互逆的。
第二篇 微积分学
一元函数微积分 多元函数微积分 微分学 积分学
微积分的起源： 微积分的起源：几个人物
最初和现代积分概念相关的问题：计算面积、体积 最初和现代积分概念相关的问题：计算面积、 和弧长。 和弧长。 安提丰： 安提丰：前480-前411，古希腊，“智人学派” 前 ，古希腊， 智人学派” 代表人物（倍立方、三等分任意角、 代表人物（倍立方、三等分任意角、化圆为 ）。最早提出用多边形的面积穷竭圆的面积 最早提出用多边形的面积穷竭圆的面积， 方）。最早提出用多边形的面积穷竭圆的面积， 这是积分学的雏形。 这是积分学的雏形。 最初和现代微分概念相关的问题：曲线的切线、 最初和现代微分概念相关的问题：曲线的切线、函 数的极大极小值等。 数的极大极小值等。 费尔马： 明确了函数极值问题。 费尔马：1629年，法，明确了函数极值问题。 年 业余数学家，解析几何的发明者之一。 业余数学家，解析几何的发明者之一。 Fermat大定理。 大定理。 大定理
一元函数微分学
导数： 导数： 基本导数公式 洛必达法则： 洛必达法则： 微分： 微分： 可导与可微的关系： 可导与可微的关系： 中值定理： 中值定理： 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理
导数的应用： 导数的应用： 函数单调性判定 函数极值及其求法 函数最大值以及最小值问题 曲线的凸凹与拐点 函数图像的描绘
极限概念对于高等数学的重要意义
在数学发展的第三阶段， 在数学发展的第三阶段，函数成为数学的主要 研究对象， 研究对象，极限方法就成为分析函数特征的主要 方法。极限法又称为无穷小分析法， 方法。极限法又称为无穷小分析法，这是整个微 积分以及其他数学学科的基础。 积分以及其他数学学科的基础。
初等数学与高等数学的分水岭。 初等数学与高等数学的分水岭。 高等数学其它概念的基础。 高等数学其它概念的基础。
人类对极限的认识： 人类对极限的认识：一点历史知识
公元前450年的几个悖论：芝诺悖论 年的几个悖论： 公元前 年的几个悖论 二分法：线段如果可以无限可分， 二分法：线段如果可以无限可分，则运动是不可能的 箭：如果时间是有不可分的瞬息组成，则运动的箭是 如果时间是有不可分的瞬息组成， 静止的 龟兔赛跑 一尺之捶，日取其半， 一尺之捶，日取其半，万世不竭
发明权的争论：后人认为，莱布尼茨 发明权的争论：后人认为，莱布尼茨1675年发表了 年发表了 历史上第一篇有关微积分的论文，但是牛顿1669年发 历史上第一篇有关微积分的论文，但是牛顿 年发 明流数法（ 流数”就是现在的导数）， 流数法》 ），《 明流数法（“流数”就是现在的导数），《流数法》 写于1671年，但1736年才发表。牛顿的这个习惯使得 年才发表。 写于 年 年才发表 数学的发展至少推迟40年 数学的发展至少推迟 年。 牛顿和莱布尼茨的争论使得英国的数学家认牛顿为 他们的导师，割断了于欧洲大陆的联系，有人估计， 他们的导师，割断了于欧洲大陆的联系，有人估计， 这使英国数学落后了一百年。 这使英国数学落后了一百年。
几个人物 罗尔， 只受过初等教育， 罗尔，1652-1719，法，只受过初等教育，年轻时穷 ， 困潦倒，后因为数学成求进入法国科学院。主要成就在 困潦倒，后因为数学成求进入法国科学院。 方程方面， 微积分是巧妙的谬论的汇集” 方程方面，“微积分是巧妙的谬论的汇集”。 拉格朗日，1763-1813，法，19岁被聘为教授，数学各 拉格朗日， ， 岁被聘为教授， 岁被聘为教授 个领域均有建树，微分方程的常数变易法为其提出， 个领域均有建树，微分方程的常数变易法为其提出，“死 亡并不可怕，它只不过我遇到的最后一个函数” 亡并不可怕，它只不过我遇到的最后一个函数”。 泰勒，1685-1731，英，皇家学会会员，牛顿莱布尼茨 皇家学会会员， 泰勒， ， 之争的仲裁委员为委员，泰勒在处理泰勒级数时，并没有 之争的仲裁委员为委员，泰勒在处理泰勒级数时， 考虑到收敛性，后由柯西证明，晚年钻研宗教和神学。 考虑到收敛性，后由柯西证明，晚年钻研宗教和神学。 洛必达小传： 贵族， 洛必达小传：1661-1704，法，贵族，其微积分成就许 ， 多来自于其老师贝努利，包括洛必达法则， 多来自于其老师贝努利，包括洛必达法则，当时解决的仅 仅是零比零型，其它的是后人的推广，比如后来的欧拉。 仅是零比零型，其它的是后人的推广，比如后来的欧拉。
一元函数积分学
不定积分 定积分 定积分的应用
不定积分 原函数
如果 F ′( x )wk.baidu.com= f ( x ) 或dF ( x ) = f ( x )dx ，那么函数
F ( x )就称为 f ( x ) 或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数 内原函数.
不定积分定义
在区间I 内，函数 f (x) 的带有任意常数项
历史上看， 历史上看，微积分是为了解决实际问题的需要而产 生的一种计算方法， 生的一种计算方法，它的产生为近现代数学和物理学 提供了强大的工具。 提供了强大的工具。没有微积分就不可能有现代自然 科学的发展。 科学的发展。 我们现在学习的微积分理论， 我们现在学习的微积分理论，已经经过数学家们长 期的补充、完善，无论从理论还是逻辑基础、 期的补充、完善，无论从理论还是逻辑基础、符号表 都和牛顿， 达，都和牛顿，莱布尼茨等人当时的描述方式有很大 的改进， 的改进，当时他们对微积分的叙述和论证建立在大量 的直观的、没有严格、统一的数学定义的基础上。 的直观的、没有严格、统一的数学定义的基础上。 微积分发展初期，对极限并没有一个准确的定义， 微积分发展初期，对极限并没有一个准确的定义， 所以造成了许多概念上的混乱，所以罗尔说： 所以造成了许多概念上的混乱，所以罗尔说：微积分 就是一些巧妙的谬论的集合，对所谓的无穷小的不同 就是一些巧妙的谬论的集合， 理解引起了数学发展的第二次重大危机。 理解引起了数学发展的第二次重大危机。
第一篇 极限论
数学发展简史
一般的， 一般的，数学的发展被分为四个阶段 1. 数学的形成时期：思想和概念的萌芽与形成。 数学的形成时期：思想和概念的萌芽与形成。 2. 初等数学（常量数学）时期：前5世纪 世纪。中 初等数学（常量数学）时期： 世纪-17世纪 世纪 世纪。 学数学主要内容。 学数学主要内容。 3. 高等数学（变量数学）时期：17-19世纪。函数成为 高等数学（变量数学）时期： 世纪。 世纪 数学的主要研究对象，变量进入了数学， 数学的主要研究对象，变量进入了数学，运动进入了数 这个时期的主要成果：解析几何，微积分， 学。这个时期的主要成果：解析几何，微积分，线性代 微分方程，概率论，构成了大学数学主要内容。 数，微分方程，概率论，构成了大学数学主要内容。 4. 现代数学时期：19世纪至今。数学各分支（几何， 现代数学时期： 世纪至今 数学各分支（几何， 世纪至今。 代数，分析）的深刻变化为特征。 代数，分析）的深刻变化为特征。