高三数学回归书本知识整理代数部分

高三数学回归书本知识整理（代数部分）

一、集合与简易逻辑

1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性.

2.对集合A B 、，A

B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时

是否注意到∅是任何集合的子集、∅是任何非空集合的真子集.

3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n

2，

12-n ，12-n .22-n

4.“交的补等于补的并，即

()U U U C A B C A C B

=”；“并的补等于补的交，即

()U U U C A B C A C B =

5.集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。

注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；

}12|),{(2++==x x y y x F ；},12|{2x

y

z x x y z G =++==

6.符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的。

7.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；

8.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若

B A ⊆，则A 是B

的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系

"A B B A "⇒⇔⇒判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；

9.反证法：当证明“若

p ，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q ⌝则p ⌝”成立，

步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从

而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。 10.书本重要习题：

习题1.3 7，8 习题1.5 7 习题1.7 2，3，4 复习参考题一 (A)11, 12, 13 (B)1, 2, 3, 6

二、函

数

1.指数式、对数式，

m n

a =1m n

m

n

a

a -=，log a N a N = log (0,1,0)

b a a N N b a a N =⇔=>≠>，.

01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，

log log log c a c b b a

=，.log log m

n a a n b b m =.

2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二个集合B 中的元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；

函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.

(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.

(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.

(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）. 注意：①1()()f a b f b a -=⇔=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，

但

11[()][()]f f x f f x --≠.

②函数

(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+.

（5）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法： （6）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：

),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范

围；常用来解，型如：

),(,n m x d

cx b

ax y ∈++=

；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：

)0(>+

=k x

k

x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

3.单调性和奇偶性 判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或

1)

()

(±=-x f x f （f(x)≠0）; (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.

注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 .确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等. 对于偶函数而言有：

()()(||)f x f x f x -==.

（2）若奇函数定义域中有0，则必有

(0)0f =.即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数

的必要非充分条件.

（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等. （4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.

(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”. (6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})f x x =∈有

反函数；既奇又偶函数有无穷多个（

()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”. 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 复合函数要考虑定义域的变化。（即复合有意义） （8）导数与函数的单调性的关系 ㈠

0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数

3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条

件。