人教版高中数学高二 不等关系与不等式 同步学案
学案29：不等关系与不等式
学案29：不等关系与不等式知识梳理：一．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a <b .二．不等式的基本性质三.1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2 D. a 3>b 32.12－1________3＋1(填“>”或“<”)．四.方法：1．不等式的倒数性质(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0<b ⇒1a <1b ；(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d ；(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a. 2．不等式的分数性质(1)真分数的性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m(b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)． [练一练]若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋c b ＋c的大小关系为________．1.已知a 1，a 21212 )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定2．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a的大小．[典例] (1)(2014·太原诊断)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分必要条件D ．必要不充分条件(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[针对训练]若a >b >0，则下列不等式不成立的是( )A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2ab D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12 b[典例]变式1：若本例中条件变为：已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4，求f (－2)的取值范围.[针对训练]若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．课堂练习：题组一1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1bB ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n 3．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)． 6．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________． 题组二：1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m2．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |3．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 4．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0 D ．|a |＋|b |>|a ＋b |5．已知1a <1b<0，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.其中不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．7．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________．8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e (b －d )2.10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？题组三：1．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n2．已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④。
人教版数学高二B数学必修5学案 3.1 不等关系与不等式
3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质学习目标：1.了解不等式的性质．(重点)2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)[自主预习·探新知]1．不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号<，≤，>，≥，≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于＞≥＜≤≤≥≥≤4．常用不等式的重要性质名称式子表达性质1(对称性)a＞b⇔b＜a性质2(传递性)a>b，b>c⇒a>c1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为h≤4.5.()(2)用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0.()(3)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(4)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()[解析](1)√.因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”．不超过用“≤”表示，故此说法正确．(2)×.因为“非负数”即为“不是负数”，所以a－b≥0，故此说法错误．(3)√.因为不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．(4)√.因为不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．用不等号填空：(1)若a>b，则ac2________bc2.(2)若a＋b>0，b<0，则b________a.(3)若a>b，c<d，则a－c________b－d.(4)已知x<1，则x2＋2________3x.[解析](1)因为当c2>0时，有ac2>bc2.当c2＝0时，有ac2＝bc2，故应填“≥”．(2)因为a＋b>0，b<0，所以a>0，故应填“<”．(3)因为c<d，所以－c>－d，又因为a>b，所以a－c>b－d，故应填“>”．(4)因为x2＋2－3x＝(x－2)(x－1)，而x<1，所以x－2<0，x－1<0，则(x－2)(x －1)>0，即x2＋2－3x>0，所以x2＋2>3x，故应填“>”．[答案](1)≥(2)<(3)>(4)>[合作探究·攻重难]用不等式(组)表示不等关系所在班级学生(小李除外)决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上，若该班除小李外共有x人，这笔开学费用共用y元，用不等式(组)表示上述不等关系.【导学号：12232270】[解]由于该班除小李外共有x人，这笔开学费用共y元，则：⎩⎪⎨⎪⎧12x－y＝84，10x<y，11x－y>40，x∈N＋.[规律方法] 1.此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系.2.当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可.3.用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等.(2)适当的设未知数表示变量.(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.[跟踪训练]1．如图3-1-1，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．图3-1-1[解]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(L＋10)(W＋10)＝350，L>4W，L>0，W>0.实数大小的比较设x，y，z∈R2224x＋2z－2的大小.【导学号：12232271】[解]∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．[规律方法] 1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论.2.如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.[跟踪训练]2．已知a ，b ∈R ＋.试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． [解] ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )，当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.不等式的性质应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b <3， ∴13<1b <12， 又∵－6<a <8， ∴－2<ab <4.你认为正确吗？为什么？[提示] 不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a <8.不明确a 值的正负．故不能将13<1b <12与－6<a <8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a <8，－4<b <2，两边分别相减得－2<a －b <6，你认为正确吗？ [提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵2<a －b <4， ∴－4<b －a <－2. 又∵－2<a ＋b <2， ∴0<a <3，－3<b <0， ∴－3<a ＋b <3.这怎么与－2<a ＋b <2矛盾了呢？[提示] 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a －b <4与－2<a ＋b <2两边相加得0<a <3，又将－4<b －a <－2与－2<a ＋b <2两边相加得出－3<b <0，又将该式与0<a <3两边相加得出－3<a ＋b <3，多次使用了这种转化，导致了a ＋b 范围的扩大．(1)已知－π2≤α<β≤π2，试求α－β2的取值范围；(2)设f (x )＝ax 2＋bx 且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围.【导学号：12232272】[思路探究] (1)－π2≤α<β≤π2→α－β的范围→α－β2的范围 (2)法一：用f (－1)，f (1)表示f (－2)→f (－2)的范围 法二：用f (－1)，f (1)表示a ，b →用a ，b 表示f (－2) →用f (－1)，f (1)表示f (－2)→f (－2)的范围 [解] (1)∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4， ∴－π4≤－β2<π4， ∴－π2≤α－β2<π2. 又α<β，∴α－β2<0， ∴－π2≤α－β2<0.∴α－β2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0.(2)法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b ) ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即f (－2)的取值范围是[5,10]． 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即f (－2)的取值范围是[5,10]．[规律方法] 1.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2.利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质.(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等.(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误.[跟踪训练]3．(1)已知12<a<60,15<b<36，求a－b与ab的取值范围；(2)若bc－ad≥0，bd>0，求证：a＋bb≤c＋dd.[解](1)∵15<b<36，∴－36<－b<－15，∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.∵136<1b<115，∴1236<ab<6015，∴13<ab<4.∴a－b和ab的取值范围分别是(－24,45)，⎝⎛⎭⎪⎫13，4.(2)证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd>0，两边同除以bd得，a＋bb≤c＋dd.[当堂达标·固双基]1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()【导学号：12232273】A．5x＋4y<200B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200D[据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.]2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是() A．M>－5 B．M<－5C．M≥－5 D．M≤－5A[M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.故M>－5.]3．b g糖水中有a g糖(b>a>0)，若再添上m g糖(m>0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为()【导学号：12232274】A.a＋mb＋m＜ab B．a＋mb＋m＞abC.a－mb－m＜ab D．a－mb－m＞abB[变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．加糖之前糖水的浓度为ab，加糖之后糖水的浓度为a＋m b＋m，故a＋mb＋m>ab.]4．已知－1<2x－1<1，则2x－1的取值范围是_________．(1，＋∞)[－1<2x－1<1⇒0<x<1⇒1x>1⇒2x>2⇒2x－1>1.]5．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；(2)若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：e(a－c)2>e(b－d)2.【导学号：12232275】[解](1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－高中数学打印版校对完成版本 1)(3x 2＋1)．∵x ≤1，∴x －1≤0.又3x 2＋1>0，∴(x －1)(3x 2＋1)≤0， ∴3x 3≤3x 2－x ＋1.(2)证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又a >b >0，∴a －c >b －d >0，则(a －c )2>(b －d )2>0，即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e (a －c )2>e (b －d )2.。
人教版高中数学高二 不等关系与不等式 同步导学案
不等关系与不等式导学（二）【学习目标】1、 复习不等式的基本性质2、 学习比较两个数的大小。
【重难点】不等式的性质，作差比较法。
【自主学习】不等式的基本性质：（1）反身性：如果a b ，那么b a （2）传递性：如果a b ，b c ，那么a c （3）可加性：如果a b ，那么a c b c ++ 如果a b ，c d 那么a cb d ++。
（4）可乘性：如果a b ，0c ，那么ac bc 如果a b ，0c ，那么ac bc 如果0a b ，0c d那么ac bd 。
（5）乘方法则：如果0a b，那么(,2)n n a b n N n ∈≥（6）开方法则：如果0a b ，那么,2)n N n ∈≥ 【课堂学习--互助交流】（先独立思考，有困难时与小组同学探讨）： (1)0a b a b -⇒(2)0a b a b -=⇒(3)0a b ab -⇒ 从这三个式子我们得到这样的启示，比较两个实数的大小，我们只需考察这两个实数的差。
这种方法叫作差比较法。
【练习提高】比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++ (2) ()23x -与()()24x x --（3）当1x时，3x 与21x x -+（4）221x y ++与2(1)x y +-【课堂学习--互助交流】（先独立思考，有困难时与小组同学探讨）：火车站有某公司待运的甲种货物1530t,乙种货物1150t 。
现计划用A 、B 两种型号的车厢共50节运送这批货物。
已知35t 甲种货物和15t 乙种货物可装满一节A 型货厢；25t 甲种货物和35t 乙种货物可装满一节B 型货厢，据此安排A 、B 两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A 型货厢的运费是0.5万元，每节B 型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？提示：（1）把已知的数据用表格列出（2）找等量关系和不等关系【课后知识拓展】比较两数大小方法二------作商比较法 理论依据：若0,0a b >>，且1a b>则a b >【练习提高】1、设0a b >>。
2019-2020年秋季学期人教版高二数学必修5第一章3.1不等关系和不等式学案
2019-2020年秋季学期人教版高二数学必修5第一章3.1不等关系与不等式学案一、学习目标1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系.2．会用差值法比较两实数的大小；3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.二、学习内容一、符号法则与比较大小1. 实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立。
2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<①两个同号实数相乘，积是正数符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>①两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,00a b ab ><⇒<①任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.3.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a 、b①0b a b a ->⇔>；①0b a b a -<⇔<；①0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立。
这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分1.基本性质有：(1) 对称性：a>b b<a ⇔(2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c①R) (4) 可乘性：a>b ，⎪⎩⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 0002.运算性质有：(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅(3) 可乘方性：*0,0n na b n N a b >>∈⇒>> (4)可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>⇒>不等式的性质是不等式同解变形的依据.三、比较两代数式大小的方法1.作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小。
高中数学3.1不等关系与不等式教案新人教A版必修5
3.1 不等关系与不等式（第一课时）【教课目的】1. 经过详细情境让学生感觉和体验现实世界和平时生活中存在着大批的不等关系，鼓舞学生用数学看法进行察看、概括、抽象，使学生感觉数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。
2．成立不等看法，并能用不等式或不等式组表示不等关系。
3．认识不等式或不等式组的实质背景。
4.能用不等式或不等式组解决简单的实质问题。
【要点难点】要点 :１. 经过详细的问题情形，让学生领会不等量关系存在的广泛性及研究的必需性。
２.用不等式或不等式组表示实质问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。
3.理解不等式或不等式组关于刻画不等关系的意义和价值。
难点 :1.用不等式或不等式组正确地表示不等关系。
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实质问题。
【方法手段】1.采纳研究法，依据阅读、思虑、沟通、剖析，抽象概括出数学模型，从详细到抽象再从抽象到详细的方法进行启迪式教课。
2.教师供给问题、素材，并实时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。
3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和踊跃性。
【教课过程】教学教师活动学生活动设计企图环节导平时生活中，同学们发现了哪些实例 1. 某天的天气预告报导，最指引学生想生入数目关系。
你能举出一些例子高气温 35℃，最低气温 29℃。
活中的例子和新吗？实例 2. 若一个数是非负数，则这学过的数学中课个数大于或等于零。
的例子。
在老师实例 3. 两点之间线段最短。
的指引下，学生实例 4. 三角形两边之和大于第一定会迫不及三边，两边之差小于第三边。
待的能说出很多个例子来。
即活跃了讲堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。
推同学们所举的这些例子联系了同学们仔细观看显示屏幕上老让学生们边看进现实生活，又考虑到数学上常有师所举的例子。
边思虑：生活中新的数目关系，特别好。
并且大家有很多的事情课已经考虑到本节课的标题《不等的描绘能够采关系与不等式》，所举的实例都用不等的数目是反应不等量的关系。
高中数学第三章第一节不等关系与不等式导学案新人教A版必修5
第三章第一节：不等关系与不等式导学案学习目标：1 了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 学习重点： 比较两实数大小．学习难点： 差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 学法指导：人与人的年龄大小、 高矮胖瘦， 物与物的形状结构， 事与事成因与结果的不同等等都表 现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相 对的 研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大 小的比较有着密切关系， 这种关系是本章内容的基础， 也是证明不等式与解不等式的主要依 据 因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性 质与大小顺序之间的关系 知识链接：在日常生活中，我们经常看到下列标志：问题 1：你知 道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？提示 ：①最低限速：限制行驶时速 v 不得低于 50 公里； ②限制质量：装载总质量G 不得超过 10 t ； ③限制高度：装载高度 h 不得超过 3.5 米； ④限制宽度：装载宽度 a 不得超过 3 米； ⑤时间范围： t ∈[7.5,10] ．问题 2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 提示：① v ≥50；② G ≤10；③ h ≤3.5 ；④ a ≤3；⑤ 7.5 ≤ t ≤10. 自主学习：不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．[ 化解疑难 ] 1．不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等 式则是表示两者的不等关系，可用“ a > b ”“ a < b ”“ a ≠b ”“ a ≥ b ”“ a ≤b ”等式子表 示，不等关系是可以通过不等式来体现的。
高二人教A版必修5系列教案：不等关系与不等式
課題: §3.1不等式與不等關係第1課時授課類型：新授課【教學目標】1．知識與技能：通過具體情景，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關係，理解不等式（組）的實際背景，掌握不等式的基本性質；2．過程與方法：通過解決具體問題，學會依據具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法；3．情態與價值：通過解決具體問題，體會數學在生活中的重要作用，培養嚴謹的思維習慣。
【教學重點】用不等式（組）表示實際問題的不等關係，並用不等式（組）研究含有不等關係的問題。
理解不等式（組）對於刻畫不等關係的意義和價值。
【教學難點】用不等式（組）正確表示出不等關係。
【教學過程】1.課題導入在現實世界和日常生活中，既有相等關係，又存在著大量的不等關係。
如兩點之間線段最短，三角形兩邊之和大於第三邊，等等。
人們還經常用長與短、高與矮、輕與重、胖與瘦、大與小、不超過或不少於等來描述某種客觀事物在數量上存在的不等關係。
在數學中，我們用不等式來表示不等關係。
下麵我們首先來看如何利用不等式來表示不等關係。
2.講授新課1）用不等式表示不等關係引例1：限速40km/h 的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v 不超過40km/h ，寫成不等式就是：40v ≤引例2：某品牌優酪乳的品質檢查規定，優酪乳中脂肪的含量應不少於2.5%，蛋白質的含量p 應不少於2.3%，寫成不等式組就是——用不等式組來表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩ 問題1：設點A 與平面α的距離為d,B 為平面α上的任意一點，則||d AB ≤。
問題2：某種雜誌原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。
據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本。
若把提價後雜誌的定價設為x 元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低於20萬元呢？解：設雜誌社的定價為x 元，則銷售的總收入為 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 萬元，那麼不等關係“銷售的總收入仍不低於20萬元”可以表示為不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm 的鋼管截成500mm 和600mm 兩種。
高中数学 第三章 3.1不等关系与不等式导学案新人教A版必修5
§3.1 不等关系与不等式 课时目标1．初步学会作差法比较两实数的大小．2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小(1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a >b ； 如果a －b 等于0，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b ，反之也成立．(2)符号表示a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．常用的不等式的基本性质(1)a >b ⇔b <a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)；(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n >b n ；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a >n b .一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C.ac 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>ab >aC.a b >a >ab 2 D.ab >ab 2>a答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a .3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b答案 C解析 对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b ＝－1.4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 C解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0答案 D解析 由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对．可取特值，如a ＝2，b ＝－1，a 3＋b 3＝7>0，故B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错．6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A.二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6.8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________． 答案 f (x )>g (x )解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 答案 x 1＋x 2≤12 解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 221＋x 2＝－x －1221＋x 2≤0， ∴x 1＋x 2≤12. 10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 答案 A >B解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n. ∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b的大小． 解 方法一 作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝a ＋b a 2－b 2－a －b a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b＝a －b [a ＋b 2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b ＝2ab a －b a ＋b a 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab a －b a ＋b a 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1， 即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0，∴f (x )＜g (x )； ②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0，即f (x )＝g (x )； ③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21，a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．。
高二人教A版必修5系列教案：不等关系与不等式
3.1不等關係與不等式（第一課時）【教學目標】1.通過具體情境讓學生感受和體驗現實世界和日常生活中存在著大量的不等關係，鼓勵學生用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學、改變學生的數學學習態度。
2．建立不等觀念，並能用不等式或不等式組表示不等關係。
3．瞭解不等式或不等式組的實際背景。
4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。
【重點難點】重點:１.通過具體的問題情景，讓學生體會不等量關係存在的普遍性及研究的必要性。
２.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關係，並用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關係的問題。
3.理解不等式或不等式組對於刻畫不等關係的意義和價值。
難點:1.用不等式或不等式組準確地表示不等關係。
2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關係的實際問題。
【方法手段】1.採用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數學模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發式教學。
2.教師提供問題、素材，並及時點撥，發揮老師的主導作用和學生的主體作用。
3.設計教典型的現實問題，激發學生的學習興趣和積極性。
【教學反思】(【設計說明】)本節課內容很多，都是不等式和不等式組的有關問題，還有很多是生活中的實例，學生學習起來很感興趣，課堂的氣氛也很好，大多數學生都能很積極地回答問題，使課堂的學習氣氛很濃，確實也做到了愉快教學。
設計是按照老師引導式教學，邊講授邊引導，啟發學習思考問題及能自己解決問題，鍛煉學習能自主的學習能力。
【交流評析】一是課堂容量適中，二是實例很好，接近生活，學生感興趣。
三是學生回答問題積極踴躍，和老師配合很好。
四是多媒體應用的恰到好處，教學設備很完善，老師也能很熟練的應用。
姓名：李春霞學校：四十七中聯繫方式26918825--5219時間2007-11月。
高中数学 不等式和不等关系学案 新人教B版必修5高二
高中数学不等式和不等关系学案新人教B版必修5高二班级：组别：课题：不等关系与不等式学案⒈了解不等式的概念，掌握比较实数大小的方法；⒉培养学生数形结合能力和运算能力；⒊通过实际情境的设置，培养学生对客观世界的认知能力。
1.人造地球卫星和绕地球飞行的宇宙飞船的飞行速度（记作vkm/s）应该不小于第一宇宙速度（记作v1km/s），且小于第二宇宙速度（记作v2km/s）。
v,v1,v2的关系用数学符号可怎样表示？2.某人为自己制定的月支出计划中，规定手机电话费不超过150元，他所选用的中国电信卡的收费标准为：月租费30元，每分钟通话费0.40元。
求这个人每月通话时间（记为x小时）的取值范围，请列出式子。
通过上面的两个问题，我们能得到什么启示？我们用哪些符号表示数与代数式之间的关系呢？可举几个例子？一、不等式的定义：二、实数大小比较的方法的依据是什么？实数集与数轴上的点集可以建立一一对应关系，数轴上的点是有次序排列的数轴上一个动点，沿着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来越大。
数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边对应的实数之间的关系怎样？结论一：在数轴上，表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系如何？实数a和b是否也有类似的结论？结论二：三、比较两个实数大小的方法当我们没有度量工具时，要确定甲乙两个同学身高之间的不等关系，应怎样？那么，在数学中如何比较两个数的大小呢？结论：例1比较22--x x x 和的大小。
例2当p,q 都为正数，且p+q=1时，试比较代数式()222qy px qy px ++与的大小。
练习A ，41、设a=2－5，b=5－2，c=5－25，则a 、b 、c 的大小关系为________________．2、5＋7与23的大小关系是 _____________________．3、7－5与13－11的大小关系是练习B ，1~4习题3-1A ，1,2,3习题3-1B ，2,3,4。
人教新课标版数学高二B必修5学案 不等关系与不等式
3.1.1不等关系与不等式明目标、知重点 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.学会作差法比较两实数的大小．1．不等式的概念用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．符号“≥”和“≤”的含义(1)如果a，b是两个实数，那么a≥b，即为a>b或a＝b；(2)a≤b即为a<b或a＝b.3．比较实数a，b大小的依据(1)文字叙述：如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对．(2)符号表示：a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．那么，数学中，如何表示不等关系呢？探究点一 用不等式(组)表示不等关系思考1 人造地球卫星和绕地球飞行的宇宙飞船，它们的飞行速度(记作v km /s)不小于第一宇宙速度(记作v 1 km/s)，且小于第二宇宙速度(记作v 2 km/s)，v ，v 1，v 2之间的关系如何用数学表达式表示？ 答 v 1≤v <v 2.思考2 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？答 ⎩⎪⎨⎪⎧f ≥2.5%p ≥2.3%.思考3 某人为自己制定的月支出的计划中，规定手机话费不超过150元．他所选用的中国电信卡的收费标准为：求这个人月通话时间(解 设通话时间为x 分钟，依题意有30＋0.40x ≤150，解得x ≤300.例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 (8－x －2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍，请写出满足上述所有不等关系的不等式．解 假设截得的500 mm 钢管x 根，截得的600 mm 钢管y 根．根据题意，应满足的不等关系为：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ∈N ，y ∈N .探究点二 实数大小的比较思考1 在数轴上，如果表示实数a 和b 的两个点分别为A 和B ，则点A 和点B 在数轴上的位置关系有哪几种？对应怎样的结论？答 (1)点A 和点B 重合；(2)点A 在点B 的右侧；(3)点A 在点B 的左侧．对应的结论为a ＝b ，a ＞b ，a <b .思考2 如果a ，b 之间的大小关系分别为a ＞b ，a ＝b ，a <b ，那么a －b 分别是怎样的数？ 答 a －b 分别是正数、零、负数．思考3 通常，“如果p ，则q ”为正确命题，则简记为p ⇒q ；如果p ⇒q 且q ⇒p 都是正确的命题，记为p ⇔q .那么a －b 的结果与a ，b 的大小关系如何表示？ 答 a －b >0⇔a >b ，a －b <0⇔a <b ，a －b ＝0⇔a ＝b .小结 (1)对于任意两个实数a ，b ，在a ＞b ，a ＝b ，a <b 三种关系中有且仅有一种成立． (2)a >b ⇔a －b >0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a <b ⇔a －b <0. 例2 比较x 2－x 与x －2的大小．解 (x 2－x )－(x －2)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 因为(x －1)2≥0，所以(x 2－x )－(x －2)>0， 因此x 2－x >x －2.反思与感悟 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差后要进行变形，变形的目的是容易判断差的符号，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2 已知a ，b ∈R ＋.试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.例3 当p ，q 都是正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小． 解 (px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ， 因此(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy ) ＝－pq (x －y )2，因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0. 因此(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立．反思与感悟 作差法比较两实数(代数式)大小的一般步骤是：作差⇒变形⇒判断符号⇒结论，即“三步一结论”．跟踪训练3 已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)， ∵(x －12)2＋34>0，x －1<0，∴(x －1)<0， ∴x 3－1＜2x 2－2x .1．下面表示“a 与b 的差是非负数”的不等关系的是( ) A ．a －b >0 B ．a －b <0 C ．a －b ≥0 D ．a －b ≤0答案 C2．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h 满足关系为( ) A ．h <4.5 B ．h >4.5 C ．h ≤4.5D ．h ≥4.5答案 A3．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小； 解 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0. ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．4．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初中、高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初中、高中班级数量)所满足的条件是什么？解 设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1 800.1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．一、基础过关1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y ≥380z >45B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．已知a 、b 分别对应数轴上的A 、B 两点，且A 在原点右侧，B 在原点左侧，则下列不等式成立的是( ) A ．a －b ≤0 B ．a ＋b <0 C ．|a |>|b | D ．a 2＋b 2≥－2ab答案 D解析 a >0，b <0则a －b >0，而a ＋b 的符号不确定，|a |与|b |的大小也不确定． 3．已知m ＝x 2＋2x ，n ＝3x ＋2，则( ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．m 与n 的大小不能确定 答案 D解析 m －n ＝x 2＋2x －(3x ＋2)＝x 2－x －2＝(x －12)2－94≥－94.∵m －n 无法判断与0的大小，∴m 与n 的大小不能确定． 4．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 答案x 1＋x 2≤12解析 x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 5．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________． 答案解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5. ∴－1≤a －b ≤6.6．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2.解 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0. 所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2.7．某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？ 解 设软件数为x ，磁盘数为y ， 根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ，y ≥2且y ∈N .二、能力提升8．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式( ) A.a ＋m b ＋m <ab B.a ＋m b ＋m >ab C.a －m b －m <a b D.a －m b －m >a b答案 B解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．9．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M <N B ．M ≤N C ．M >N D ．M ≥N 答案 C解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .10．武广铁路上，高速列车跑出了350 km /h 的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h ，还不超过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v 1，波音飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.则三种交通工具速度的不等关系分别为______________________________． 答案 2v 1＋100≤v 2，v 1>3v 311．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员，该车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．解 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ，y ∈N .即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ，y ∈N .12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．三、探究与拓展13．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表：含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B .试用x 、y 表示混合食物成本c 元，并写出x 、y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y ，由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000800x ＋400y ＋500z ≥63 000，及z ＝100－x －y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥1603x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎨⎧2x ＋3y ≥1603x －y ≥130x ≥0y ≥0.。
高二人教A版必修5系列教案：3.1不等关系与不等式4
3.1不等关系与不等式（第一课时）【教学目标】1.通过具体情境让学生感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。
2．建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系。
3．了解不等式或不等式组的实际背景。
4.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题。
【重点难点】重点:１.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性。
２.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。
3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。
难点:1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系。
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题。
【方法手段】1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。
3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。
【教学反思】(【设计说明】)本节课内容很多，都是不等式和不等式组的有关问题，还有很多是生活中的实例，学生学习起来很感兴趣，课堂的气氛也很好，大多数学生都能很积极地回答问题，使课堂的学习气氛很浓，确实也做到了愉快教学。
设计是按照老师引导式教学，边讲授边引导，启发学习思考问题及能自己解决问题，锻炼学习能自主的学习能力。
【交流评析】一是课堂容量适中，二是实例很好，接近生活，学生感兴趣。
三是学生回答问题积极踊跃，和老师配合很好。
四是多媒体应用的恰到好处，教学设备很完善，老师也能很熟练的应用。
姓名：李春霞学校：四十七中联系方式26918825--5219时间2019-11月。
人教版数学高二人教B版必修5学案 3.1 不等关系与不等式
均值不等式(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件？(2)在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？[新知初探] 1．均值定理 如果a ，b ∈R ＋，那么a ＋b2≥ab 当且仅当a ＝b 时，等号成立，以上结论通常称为均值不等式．对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2称为a ，b 的算术平均值(平均数)，数ab 称为a ，b 的几何平均值(平均数)．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．[点睛] (1)“a ＝b ”是a ＋b 2≥ab 的等号成立的条件．若a ≠b ，则a ＋b 2≠ab ，即a ＋b2＞ab .(2)均值不等式a ＋b2≥ab 与a 2＋b 2≥2ab 成立的条件不同，前者a ＞0，b ＞0，后者a ∈R ，b ∈R.2．利用均值不等式求最值(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[小试身手]预习课本P69～71，思考并完成以下问题1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a ≥2a ·4a ＝4( )(3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22( )解析：(1)错误．任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)错误．只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋4a ≥2a ·4a＝4成立． (3)正确．因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 答案：(1)× (2)× (3)√2．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＞0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2答案：B3．对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.a ＋b 2≥abC ．a 2＋b 2≥2ab D.b a ＋a b ≥2 答案：C4．已知0＜x ＜1，则函数y ＝x (1－x )的最大值是________． 答案：14利用均值不等式比较大小[典例] (1)已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定 (2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．[解析] (1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n .(2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0， 所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R .所以P <Q <R .[答案] (1)A (2)P <Q <R利用均值不等式比较实数大小的注意事项(1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．(2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a >0，b >0.[活学活用]已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小． 解：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 所以 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 同理 b 2＋c 2≥22(b ＋c ), c 2＋a 2≥22(c ＋a )， 所以 a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]， 即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.利用均值不等式证明不等式[典例] 设a ，b ，c 都是正数，求证：ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc .[证明] 因为a ，b ，c 都是正数，所以ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ，所以原不等式成立，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型再使用．[活学活用]已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a .同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号. 利用均值不等式求最值[典例] (1)(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值． [解] (1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由均值不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.(1)应用均值不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．(2)常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式． (3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用．[活学活用]1．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.2．若x >0，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y ＝12时等号成立． 答案：116利用均值不等式解应用题[典例] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ [解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由均值不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米．求实际问题中最值的解题4步骤(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案． [活学活用]某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．解：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8， 当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．层级一 学业水平达标1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x≥2不成立；由均值不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥2解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C.3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥2解析：选B 因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝⎛⎭⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1. 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d 2>bcB.a ＋d 2<bcC.a ＋d 2＝bcD.a ＋d 2≤bc解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5．若x >0，y >0，且2x ＋8y ＝1，则xy 有( ) A ．最大值64 B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64解析：选D 由题意xy ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.答案：4 27．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立． 答案：128．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即xx 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 9．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1.(2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3xy ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.10．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6. 证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋cb ≥2， 所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫b c ＋c b ≥6， 当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c ，即a ＝b ＝c 时，等号成立． 所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.层级二 应试能力达标1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：选A ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．已知实数a ，b ，c 满足条件a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c 的值( ) A ．一定是正数 B ．一定是负数 C ．可能是0D ．正负不确定解析：选B 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，所以a >0，b <0，c <0，且a ＝－(b ＋c )，所以1a ＋1b ＋1c ＝－1b ＋c ＋1b ＋1c， 因为b <0，c <0，所以b ＋c ≤－2bc ，所以－1b ＋c ≤12bc，又1b ＋1c ≤－21bc ， 所以－1b ＋c ＋1b ＋1c ≤12bc －21bc ＝－32bc<0，故选B. 3．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy ＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立．4．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8 解析：选B ∵a ，b 是实数，∴2a ＞0,2b ＞0，于是2a ＋2b ≥2 2a ·2b ＝22a ＋b ＝223＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2. 5．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________． 解析：x ＋1x －1≥a 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1min ≥a ， ∵x >1，即x －1>0，∴x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． ∴a ≤3，即a 的最大值为3.答案：3 6．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________． 解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2(3a ＋2)(3b ＋2)＝79ab ＋10，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47. 答案：477．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2016年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数；(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x 元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．8．已知k >16，若对任意正数x ，y ，不等式⎝⎛⎭⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立，求实数k 的最小值．解：∵x >0，y >0，∴不等式⎝⎛⎭⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立等价于⎝⎛⎭⎫3k －12x y ＋k y x ≥2恒成立．又k >16， ∴⎝⎛⎭⎫3k －12x y ＋k y x ≥2k ⎝⎛⎭⎫3k －12， ∴2k ⎝⎛⎭⎫3k －12≥2，解得k ≤－13(舍去)或k ≥12， ∴k min ＝12.。
人教B版 3.1.1不等关系与不等式学案
.1.1不等关系与不等式高二数学第三章第一课时学案一、教学目标1. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；2．通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的学习方式，提高学习质量。
二、合作探究1、想一想，我们日常生活当中，存在哪些不等关系？阅读本章开始的关于恩格尔系数的相关材料，能否解决那个实际问题？2、不等关系与不等式的定义：（1）我们用数学符号_______________________连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。
含有这些不等号的式子叫做______________。
（2）我们要注意“≥”和“≤”的含义：a≥b的含义为：___________________________;a≤b的含义为：___________________________。
（3）巩固提高练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。
现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。
请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。
3、数轴上两个实数大小的比较：(1)、在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：（1）点A 和点B _____；（2）点A 在点B 的______；（3）点A 在点B 的______。
在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由此可得到结论：对于任意两个实数a 和b ，在______________________三种关系中有且仅有一种关系成立。
（2）、比较大小的依据：①a>b ⇔__________; ②a<b ⇔__________; ③a=b ⇔__________.(3)、比较大小的方法：①作差比较：作差→将差变形→判断差的正负。
(高中数学教案)高二人教a版必修5系列教案：3.1不等关系与不等式1
3.1 不等关系与不等式（导学案）（集美中学 杨正国）一、学习目标1、了解不等式与不等式组的实际背景；掌握常用不等式的基本基本性质；会将一些基本性质结合起来应用.2、通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；二、本节重点用不等式（组）表示实际问题的不等关系,并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、本节难点用不等式（组）正确表示出不等关系.四、知识储备“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有2200x x ≥-≤≥≤，，|x|0，-|x|0等. ② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.③常用的不等式的基本性质 (1),(2)(3),0(4),0a b b c a ca b a c b c a b c ac bca b c ac bc>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒< 五、通过预习掌握的知识点实数的运算性质与大小顺序之间的关系对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a<b,那么a-b 是负数;如果a-b 等于0.它们的逆命题也正确.即(1)0;(2)0;(3)0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式.例如：a>b,c>d,是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b,c<d,是异向不等式2．不等式的性质：(1),(2)(3),0(4),0a b b c a ca b a c b c a b c ac bca b c ac bc>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒< 六、知识运用①.比较233x x +与的大小,其中x R ∈.②.比较当0a ∉时,2222(1)(1)(1)(1)a a a a a a +++++-+与的大小.③.设实数,,a b c 满足22643,44,,,b c a a c b a a a b c +=-+-=-+则的大小关系是_____________.④.配制,A B 两种药剂需要甲、乙两种原料,已知配一剂A 种药需甲料3毫克,乙料5毫克,配一剂B 药需甲料5毫克,乙料4毫克.今有甲料20毫克,乙料25毫克,若,A B 两种药至少各配一剂,则,A B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.七、重点概念总结1．两个实数a 与b 之间的大小关系(1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b －＞＞；－；－＜＜．⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎩⎪若、，则＞＞；；＜＜． a b R (4)a b 1a b (5)a b=1a =b (6)a b 1a b ∈⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+2．不等式的性质(1)a b b a()＞＜对称性⇔ (2)a b b c a c()＞＞＞传递性⎫⎬⎭⇒(3)a b a c b c()＞＋＞＋加法单调性⇔ a b c 0 ac bc ＞＞＞⎫⎬⎭⇒(4) (乘法单调性) a b c 0 ac bc ＞＜＜⎫⎬⎭⇒(5)a b c a c b()＋＞＞－移项法则⇒ (6)a b c d a c b d()＞＞＋＞＋同向不等式可加⎫⎬⎭⇒ (7)a b c d a c b d()＞＜－＞－异向不等式可减⎫⎬⎭⇒ (8)a b 0c d 0ac bd()＞＞＞＞＞同向正数不等式可乘⎫⎬⎭⇒ (9)a b 00c d b d ()＞＞＜＜＞异向正数不等式可除⎫⎬⎭⇒a c (10)a b 0n N a b ()n n ＞＞＞正数不等式可乘方∈⎫⎬⎭⇒ (11)a b 0n N a ()n ＞＞＞正数不等式可开方∈⎫⎬⎭⇒b n(12)a b 01a ()＞＞＜正数不等式两边取倒数⇒1b。
人教版高中数学必修五 学案 3.1 不等关系与不等式(第2课时)
3.1不等关系与不等式(第2课时)学习目标1.掌握常用不等式的基本性质.2.会将一些基本性质结合起来应用.3.学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来.问题2:根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗?请大家加以探究.二、信息交流,揭示规律问题3:上面得到的结论是否正确,需要我们给出证明.需要证明的不等式,是描述两个数之间的大小关系,可以用什么方法比较呢?其原理是什么呢?问题4:请大家用作差法证明性质(4).问题5:利用上面的性质,证明不等式的下列性质:性质5如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;性质6如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;性质7如果a>b>0,那么a n>b n(n∈N,n≥1);性质8如果a>b>0,那么(n∈N,n≥2).三、运用规律,解决问题【例题】已知a>b>0,c<0,求证.问题6:观察条件和结论中的不等式有什么差异?用不等式的哪些性质可以将条件向结论转化?问题7:请大家思考还有其他证明方法吗?请大家尝试一下.问题8:用作差法比较两个数的大小,一般经历哪几个步骤?四、变式训练,深化提高变式训练1:下列结论的正误,正确的打“√”,错误的打“×”.①若b<a<0,则.()②若a>b,则. ()③若,则a>b. ()④若a+c>b+d,则a>b,c>d.()⑤若a2>b2>0,则a>b>0. ()⑥若,则a>b. ()变式训练2:设x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小.变式训练3:设α∈,β∈,那么2α-的取值范围是()A. B. C.(0,π) D.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境问题1:①对称性:a=b⇔b=a;②传递性a=b,b=c⇔a=c;③加法法则:a=b⇔a±c=b±c;④乘法法则:a=b,c≠0⇒ac=bc.问题2:(1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c⇒a>c.(3)如果a>b,那么a+c>b+c.(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.二、信息交流,揭示规律问题3:可以用作差法比较.a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.问题4:证明:因为a>b,c>0,所以ac-bc=c(a-b)>0,所以ac>bc.同理可证如果a>b,c<0,那么ac<bc.问题5:证明:(5)因为a>b,所以a+c>b+c.①因为c>d,所以b+c>b+d. ②由①②得,a+c>b+d.(6)⇒ac>bd;(7)因为a>b>0,由性质(6)可得a n>b n,(n∈N,n≥1);(8)(反证法)假设,若这都与a>b矛盾,所以.三、运用规律,解决问题【例题】证明:因为a>b>0,所以ab>0,>0.于是a×>b×,即.由c<0,得.问题6:结论中的a,b在分母上,且结论中a,b,c在同一个不等式中;性质(4).问题7:有,用作差法.证明:因为,又因为a>b>0,所以b-a<0,ab>0.又c<0,所以>0,所以.问题8:作差—变形—定号—结论,四个步骤. 四、变式训练,深化提高变式训练1:答案:√、×、×、×、×、√变式训练2:解:方法一:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)=-2xy(x-y),∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0,∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).方法二:∵x<y<0,∴x-y<0,x2>y2,x+y<0.∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0,∴0<<1,∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).变式训练3:解析:由题设得0<2α<π,0≤,-≤-≤0,所以-<2α-<π.答案:D五、反思小结,观点提炼略。
高二人教A版必修5系列教案：不等关系与不等式
固原一中高二數學組第九周集體備課初稿教學內容：3.1不等關係與不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃教學時間：10月21 日至10月26 日主備（講）人：楊彎彎課時教學設計：第一、二課時教學內容 3.1.1不等關係與不等式三維目標一、知識與技能1.通過具體情境建立不等觀念，並能用不等式或不等式組表示不等關係；2.瞭解不等式或不等式組的實際背景。
二、過程與方法1.採用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數學模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發式教學。
2.熟練掌握比較兩個實數大小的基本方法-作差法，及不等式性質的運用三、情感態度與價值觀1.通過具體情境，讓學生去感受、體驗現實世界和日常生活中存在著大量的不等量關係，鼓勵學生用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學、改變學生的數學學習態度。
教學重點 1.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關係，並用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關係的問題；2.比較兩個實數大小的基本方法-作差法及不等式性質的運用教學難點 1.用不等式或不等式組準確地表示不等關係；2.熟練掌握比較兩個實數大小的基本方法-作差法，及不等式性質的運用教學方法啟發式教學教學過程復習引入師日常生活中,同學們發現了哪些數量關係.你能舉出一些例子嗎？生實例1：某天的天氣預報報導，最高氣溫32℃，最低氣溫26℃.生實例2：對於數軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則x a＜x b.(老師協助畫出數軸草圖)生實例3:若一個數是非負數，則這個數大於或等於零.實例4:兩點之間線段最短.實例5:三角形兩邊之和大於第三邊,兩邊之差小於第三邊.(學生迫不及待地說出這麼多,說明課前的預習量很充分,學習數學的興趣濃,此時老師應給以充分的肯定和表揚)新課學習1.不等式與不等關係的異同S:略【問題1】設點A與平面α的距離為d,B為平面α上的任意一點.師請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量關係.(此時,教室一片安靜,同學們在積極思考,時間較長,老師應該及時點撥)師前面我們借助圖形來表示不等量關係,這個問題是否可以?(可以讓學生板演，結合三角形草圖來表達)過點A 作AC ⊥平面α於點C ，則d =|AC |≤|AB |.師 這位同學做得很好,我們在解決問題時應該貫穿數形結合的思想,以形助數,以數解形.師 請同學們繼續來處理問題2.【問題2】 某種雜誌原以每本2.5元的價格銷售,可以售出8萬本.據市場調查,若單價每提高0.1元,銷售量就可能相應減少2 000本.若把提價後雜誌的定價設為x 元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低於20萬元呢?生 可設雜誌的定價為x 元，則銷售量就減少2.01.05.2⨯-x 萬本. 師 那麼銷售量變為多少呢？如何表示？生 可以表示為)2.01.05.28(⨯--x 萬本，則總收入為x x )2.01.05.28(⨯--萬元. 〔老師板書，即銷售的總收入為不低於20萬元的不等式表示為)2.01.05.28(⨯--x x ≥20〕 師 是否有同學還有其他的解題思路？生 可設雜誌的單價提高了0.1n 元，(n ∈N *)，（下麵有討論的聲音，有的同學存在疑問，此時老師應密切關注學生的思維狀況）師 為什麼可以這樣設？生 我只考慮單價的增量.師 很好，請繼續講.生 那麼銷售量減少了0.2n 萬本，單價為(2.5+0.1n )元，則也可得銷售的總收入為不低於20萬元的不等式，表示為(2.5+0.1n )(8-0.2n )≥20.師 這位同學回答得很好，表述得很準確.請同學們對兩種解法作比較.（留下讓學生思考的時間）師 請同學們繼續思考第三個問題.【問題3】 某鋼鐵廠要把長度為4 000 mm 的鋼管截成500 mm 和600 mm 兩種,按照生產的要求,600 mm 鋼管的數量不能超過500 mm 鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關係的不等式?師 假設截得500 mm 的鋼管x 根，截得600 mm 的鋼管y 根.根據題意，應當有什麼樣的不等量關係呢？生 截得兩種鋼管的總長度不能超過4 000 mm .生 截得600 mm 鋼管的數量不能超過500 mm 鋼管的3倍.生 截得兩種鋼管的數量都不能為負.師 上述的三個不等關係是“或”還是“且”的關係呢？生 它們要同時滿足條件，應該是且的關係.生 由實際問題的意義，還應有x ,y ∈N.師 這位同學回答得很好，思維很嚴密.那麼我們該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關係呢？生 要同時滿足上述三個不等關係，可以用下麵的不等式組來表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 師 這位同學回答很準確.通過上述三個問題的探究，同學們對如何用不等式或不等組把實際問題中所隱含的不等量關係表示出來，這一點掌握得很好.請同學們再完成下麵這個練習.2.實數大小的比較T ：回顧初中時有那些比較方法？S:（1）用數軸比較（2）a,b 都是實數0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a3.不等的性質1.a b b a <⇔>2.a>b,b>c ⇒a>c3.a>b ⇒a+c>b+c4.a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc5a>b,c>d ⇒a+c>b+d6.a>b>0,c>d>0⇒ac>bd7.a>b>0⇒n n b a >(*N n ∈)8.a>b>0⇒)2,(≥∈>n N n b a n n證明1,4。
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不等关系与不等式导学（一）【学习目标】
1.判断生活中的不等关系
2.生活中的不等关系用不等式刻化
3.不等式的性质
【重难点】不等式的性质，不等式刻化不等关系
【自主学习】解不等式11
23 32
x x
+-
【课堂学习--互助交流】（先独立思考，有困难时与小组同学探讨）
1.生活中的不等关系：限速40km／h的路标用不等式表示为：
2.几个具体的不等关系
（1）设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，
用不等式表示为：
（2）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
（3）某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。
按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式
呢？
【练习提高】教材P74练习1，2
【课堂学习--互助交流】（先独立思考，有困难时与小组同学探讨）不等式的基本性质：
（1）如果a b，那么b a
（2）如果
a b，
b c，那么a c
（3）如果a b，那么a c b c
++
（4）如果a b，0
c，那么ac bc
如果a b，0
c，那么ac bc
（5）如果a b，c d那么a c b d
++。
你能证明吗？
（6）如果
a b，0
c d那么ac bd。
你能证明吗？
（7）如果
a b，那么(,2)
n n
a b n N n
∈≥
（8）如果
a b，那么,2)
n N n
∈≥
【练习提高】教材P74练习3
【课堂学习--互助交流】（先独立思考，有困难时与小组同学探讨） 已知0a b ，0c ，求证c c a b
（请同学们先用不等式的基本性质证明，再思考用函数的单调性来证明）
【例题拓展】比较3+与+的大小（是证明题该怎么书写？）
【精练小结】通过本节课的学习，你收获了什么？
【巩固作业】P75 A 组第2，3题。