苏州市(高二上学期期末考试数学试卷).doc

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数学试卷

2015-2016 学年江苏省苏州市高二上学期期末考试数学试卷

一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分，将答案填在答题纸上）

1. 若直线经过两点1,2 ，3,4 ，则的倾斜角为．

2. 抛物线 y 1

x2的焦点到其准线的距离为．2

3. 已知两条直线 l1 : 4x 3y 3 0 ，l2: 8x 6 y 9 0 ，则l1与l2的距离是．

4. 函数 y sin x 的图象在点,0 处的切线方程为．

5. 一质点的运动方程为S t 2 10 （位移单位： m ；时间单位：s），则该质点在t 3 时的瞬时速度为

m / s ．

6. 若函数 f x x33x2 a 在区间1,1 上的最大值是 2 ，则实数a的值

为．

7. 将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为 2 的半圆，则原来圆锥的高

为．

8. 设 C 是等腰三角形， C 120 ，则以，为焦点且过点 C 的双曲线的离心

率是．

9.关于异面直线 a， b ，有下列四个命题：

①过直线 a 有且只有一个平面，使得b//；②过直线a有且只有一个平面，使得b；

③在空间存在平面，使得 a//，b//；④在空间不存在平面，使得a，b．其中，正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都填上）．

10. 在平面直角坐标系x y 中，已知点0,2 ，直线 l : x y 4 0 ．点x, y 是圆C: x2y22x 1 0 上的动点， D l ，l ，垂足分别为 D ，，则线段D的最大值是．

11. 已知三棱锥S C 的各个顶点都在一个半径为r 的球面上，球心在上，S

底面 C ，C2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是．

12. 如图，在平面直角坐标系x y 中，F1，F2

x2 y 2

1（ a b 0 ）的左、分别是椭圆

b2

a2

右焦点，， C 分别为椭圆的上、下顶点，直线F2与椭圆的另一个交点为 D ，若

tan F1 3

，则直线 CD 的斜率为．4

13.如图，一根长为 2 米的竹竿斜靠在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹

竿的下端点从距离墙角点米的地方移动到 3 米的地方，则的中点D经过的路程

为米．

14. 已知函数x ln

f x a x a （0 a 1 ），若对于任意x 1,1 ，不等式 f x e 1

（其中 e 是自然对数的底）恒成立，则实数 a 的取值范围是．

二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤 .）

15.（本题满分 14 分）

已知 C 的顶点5,1 ，边上的中线 C 所在直线的方程为 2x y 5 0，边 C 上的高所在直线的方程为 x 2 y 5 0．

（1）求顶点C的坐标；

（2）求直线 C 的方程．

16.（本题满分 14 分）

如图，在三棱锥 C 中，D，，F分别是棱C， C ，的中点．已知 C ，6， C 8，DF 5．

（1）求证：直线

//平面D

F ；

（2）求证：平面

D

平面

C ．

17. （本题满分 14 分）

某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额 s （万元）与

改造投入资金

x （万元）之间满足：

s 51 x 2 1 x 3

x

xln ax （ 1 x 60 ）．当

50 100

x 10 时， s 102 ．景点新增毛收入 f x （万元）为门票新增额扣除改造投入资金．

（1）求 y f

x 的解析式；

f x

x （万元）的大小，使得

（2）若将

定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金

x

ln 5

改造资金的收益率最高，并求出最高收益率． （参考数据：

）

1.61

18. （本小题满分 16 分）

如图，圆

: x 2 y 2 8 内有一点

1,2 ，

是过点

且倾斜角为 135 的弦．

（1）求弦

的长；

（2）若圆 C 与圆

内切且与弦 相切于点

，求圆 C 的方程．

19. （本小题满分 16 分） 已知

2,0 ， 2,0 是椭圆 C 的左、右顶点， F 是其右焦点，

是椭圆 C 上异于

，

的动点，且

面积的最大值为 2 3 ．

（1）求椭圆 C 的方程及离心率；

（2）直线

与过点

关于 x 轴的垂直交于点 D ，当直线

绕点 转动时，试判断以

D

为直径的圆与直线

F 的位置关系，并加以证明．

20.（本小题满分 16 分）

已知函数 f x ln x a

， g x f x ax 6ln x ，其中 a R 为常数．x

（1）当a 1 时，试判断 f x 的单调性；

（2）若g x 在其定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围；

（3）设函数h x x2 mx 4 ，当 a 2 时，若存在 x1 0,1 ，对任意的 x2 1,2 ，总有 g x1 h x2 成立，求实数m 的取值范围．

苏州市 2015-2016 学年第一学期期末考试

高二数学（附加题）

21.（本小题满分 10 分）

求函数

1 x 的最小值．

f x ln

2x 1

22.（本小题满分 10 分）

求与圆 C : x2y24x 0 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程．

23.（本小题满分 10 分）

如图，四棱锥CD 的底面为正方形，侧棱底面CD ，且 D 2 ，，F ，分别是线段， D ，的中点．

（1）求直线与平面 F 所成角的大小；

（2）求二面角 F 的大小．

24.（本小题满分 10 分）

已知抛物线y ax2（ a 0）的准线方程为y1．

（1）求抛物线的方程；

（2）设F是抛物线的焦点，直线l :y kx b（k0 ）与抛物线相交于，两点，记 F ，