苏州市(高二上学期期末考试数学试卷).doc
江苏省苏州中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(Word无答案)
2020~2021学年第二学期江苏省苏州中学高二年级期末考试数学注意事项：1. 本试卷分选择题与非选择题两部分。
2. 答题前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成， 答在本试题卷或草稿纸上无效。
4. 考试结束后， 将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知过抛物线2y ax =(0a >)的焦点且垂直于x 轴的弦长度为2，则实数a 的值为( ) A. 4B. 2C. 1D. 32.下列选择支中，可以作为曲线221y ax x =--与x 轴有两个交点的充分不必要条件是( ) A ()1,-+∞B. ()()1,00,-+∞ C. ()1,0- D.()2,-+∞3. 某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为( )A. 18B. 36C. 54D. 724. 某社区要为小凯等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求这6人排成一排，小凯必须与2位老人都相邻，且2位老人不排在两端，则不同的排法种数是( )A. 12B. 24C. 36D. 485. 若在二项式(√x +12√x4)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A. 16B. 14C. 13D. 5126. 已知二项式(2x 2−1x )n 的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是( )A. −84B. −14C. 14D. 84★绝密启用前姓名： 考生号： 座位号：上交考点保存7. 已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则8i i 1a =∑＝A ．376B ．382C ．749D ．7668. 在直角坐标系x o y 中，双曲线C :221169x y -=的右支上有一点P ，该点的横坐标为5，1F 、2F 是C 的左､右焦点，则12PF F △的周长为( )A.452B. 18C.814D.352二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省2024届高二上数学期末统考试题含解析
江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高二数学江苏省苏州市高二期末测试数学理科word
苏州市高二期末测试数 学（理科）一． 填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题“x R ∀∈，cos 1x ≥-”的否定是“ ”． 2．设i 是虚数单位，计算复数()221i i ⨯+= ．3．已知423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则01234a a a a a ++++=__________．4．在空间直角坐标系中，点(4,3,7)P -关于平面xOz 的对称点P 的坐标为____________．5.“0k <<”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的_____________条件．6．已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为___________．7．将3个教师分到6个班级任教，每个教师任教两个班，共有不同的分法种数__________． 8．甲、乙、丙三人独立地破译一密码，每人译出此密码的概率为14，则“恰好有2人同时译出此密码”的概率是_________．9．函数()ln f x x x =的单调减区间为______________． 10．底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积为__________．11．已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围为 ．12．已知A ，B ，F 分别是椭圆2222by a x +=1（0>>b a ）的上、下顶点和右焦点，直线AF 与椭圆的右准线交于点M ，若直线MB ∥x 轴，则该椭圆的离心率e = ．13．设,n k 都是正整数，1A =，2A =3A =，k A =，若100300A =，则n = ．14．将一块边界为椭圆的铁皮截成一块梯形铁皮，已知该椭圆的长轴为4，短轴长为2，若以椭圆的短轴为梯形的一条底边，则梯形面积的最大值等于___________．二． 解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．已知某射手一次射击命中目标的概率为23，现该射手只有3发子弹，一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求：（1）X 的概率分布；（2）均值()E X ．16．如图，已知四边形ABCD 是矩形，AD ⊥平面ABE ，AD AE =，点F 在线段DE 上，且AF ⊥平面BDE ； 求证：（1）BE ⊥平面ADE ；（2）BE ∥平面AFC ；（3）平面AFC ⊥平面ADE 。
2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷附答案解析
2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量{a →，b →，c →}是空间向量的一组基底，向量{a →+b →，a →−b →，c →}是空间向量的另外一组基底，若一向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3），则向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（ ） A ．（−12，32，3）B ．（32，−12，3）C ．（3，−12，32）D ．（12，32，3）2．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ＝0关于直线l 1：y ＝x 对称的圆为C ，则圆C 的方程为（ ） A ．x 2+（y +3）2＝9 B ．x 2+（y ﹣3）2＝9 C ．（x +3）2+y 2＝9D ．（x ﹣3）2+y 2＝93．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的右顶点为A 2，直线l ：x ＝m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当∠AA 2B 为钝角时，m 的取值范围是（ ） A ．(0，1513) B ．(1513，3)C ．(−1513，0)∪(0，1513)D ．(−3，−1513)∪(1513，3)4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√35．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32 D ．k ≤−12或k ≥326．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x 7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ）A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行 D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√5108．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√10210．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 ． 14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 ． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 ．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：（1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3． （Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由．18．已知梯形BFEC 如图1所示，其中BF ∥EC ，EC ＝3，BF ＝2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，沿AD 将四边形EDAF 折起，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4和直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0．（1）判断直线l和圆C的位置关系？（2）若直线l和圆C相交，求直线l被圆C截得的最短弦长及此时的直线方程．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．如图正三棱柱ABC﹣A'B'C'的所有棱长均为2，E、F、G、H分别是棱AA'、AB、AC、B'C'的中点．（1）求证：B'C'∥面EFG；（2）求三棱锥H﹣EFG的体积；（3）求二面角E﹣FG﹣H的余弦值．22．过椭圆W：x22+y2＝1的左焦点F作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，﹣1）重合，过F作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求椭圆W的离心率和B点坐标；（Ⅱ）求证：E，G两点关于x轴对称．2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量{a →，b →，c →}是空间向量的一组基底，向量{a →+b →，a →−b →，c →}是空间向量的另外一组基底，若一向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3），则向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（ ）A ．（−12，32，3）B ．（32，−12，3）C ．（3，−12，32）D ．（12，32，3）解：因为向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3）， 则p →=a →−2b →+3c →，设向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（x ，y ，z ）， 则p →=x(a →+b →)+y(a →−b →)+zc →=(x +y)a →+(x −y)b →+zc →， 所以{x +y =1x −y =−2z =3，解得x =−12，y =32，z =3，所以向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为(−12，32，3)． 故选：A ．2．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ＝0关于直线l 1：y ＝x 对称的圆为C ，则圆C 的方程为（ ） A ．x 2+（y +3）2＝9 B ．x 2+（y ﹣3）2＝9 C ．（x +3）2+y 2＝9D ．（x ﹣3）2+y 2＝9解：易知圆心C 1与圆心C 关于直线y ＝x 对称，且两圆半径相等， 方程x 2+y 2+6x ＝0可化为：（x +3）2+y 2＝9，故C 1（﹣3，0），半径为3，结合两点关于y ＝x 对称，则它们的横纵坐标互换，可知C （0，﹣3），半径r ＝3， 故圆C 方程为x 2+（y +3）2＝9． 故选：A ．3．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的右顶点为A 2，直线l ：x ＝m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当∠AA 2B 为钝角时，m 的取值范围是（ ） A ．(0，1513)B ．(1513，3)C ．(−1513，0)∪(0，1513) D ．(−3，−1513)∪(1513，3) 解：设A （m ，y 0），则B （m ，﹣y 0），且|m |＜3，则y 02＝4（1−m 29），所以|y 0|=23√9−m 2，A 2（3，0），当∠AA 2B 为钝角时，则∠AA 2O ＞45°， 所以|y 0|＞3﹣m ，即23√9−m 2＞3﹣m ，|m |＜3，整理可得：13m 2﹣54m +45＜0， 解得：1513＜m ＜3，故选：B ．4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√3解：将正方体中的正△A 1BD 沿A 1D 翻折至与点A 共面，如图所示， 因为AA 1＝AD ，所以当P 为线段A 1D 的中点时，AP +PB 最小值．连接AP ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AP ， 所以直线BP 与平面ADD 1A 1所成角为∠APB ．设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1D =√2a ，又点P 为A 1D 的中点，所以AP =12A 1D =√2a2，tan∠APB =ABAP =√2．故选：C ．5．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32D ．k ≤−12或k ≥32解：直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0化为：k （x ﹣1）﹣（y +1）＝0，令{x −1=0y +1=0，解得x ＝1，y＝﹣1，可得直线经过定点：P （1，﹣1）． k PM =−1−11+3=−12，k PN =−1−21−3=32．∵直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交， 则实数k 的取值范围为：k ≥32或k ≤−12． 故选：D ． 6．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x 解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，可知P 在椭圆的短轴端点，cos ∠APB ＝2cos 2（12∠APB ）﹣1＝2(b√a 2+b )2−1=−35，解得a ＝2b ， 双曲线：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为：x ±2y ＝0．故选：B ．7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ） A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√510解：对于A ，∵P A ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴AE ⊥P A ， ∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，∴AE ⊥AB ，∵P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，∴PE ⊥平面P AB ，故A 正确；对于B ，∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ， ∴P A ⊥AD ，P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°是直线PD 与平面ABC 所成角，故B 正确； 对于C ，∵EF ∥AD ∥BC ，EF ⊂平面PEF ，BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 平行，故C 错误；对于D ，设AB ＝1，则P A ＝2，AE =√12+12−2×1×1×cos120°=√3， PE =√4+3=√7，BE ＝2，PB =√4+1=√5，∵CD ∥BE ，∴∠PBE 是直线CD 与PB 所成的角（或所成角的补角）， ∴直线CD 与PB 所成的角的余弦值为： cos ∠PBE =2×2×√5=√510，故D 正确．故选：C ．8．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12解：由题意设|PF 2|＝m （m ＞0），则|PF 1|＝7m ，|F 1F 2|＝4√3m ， ∴2a ＝8m ，a ＝4m ，2c ＝4√3m ，c =2√3m ， ∴b =√a 2−c 2=√16m 2−12m 2=2m ， ∴ab =4m 2m=2．故选：B ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√102解：三个数1，a ，9成等比数列，可得a ＝±3， 当a ＝3时，曲线x 23+y 22=1的离心率为：e =ca =√3=√33， 当a ＝﹣3时，曲线y 22−x 23=1的离心率为：e =c a =√5√2=√102． 故选：AD ．10．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线解：对于选项A ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以|i →|=|j →|=|k →|=1，且i →⋅j →=0，i →⋅k →=0，j →⋅k →=0，则|i →+j →+k →|=√(i →+j →+k →)2=√i →2+j →2+k →2+2i →⋅j →+2j →⋅k →+2i →⋅k →=√3， 所以向量i →+j →+k →的模是√3， 故选项A 错误；对于选项B ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以i →，j →，k →不共面，而向量i →+j →，i →−j →均与i →，j →共面， 所以i →+j →，i →−j →与k →不共面，则{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底， 故选项B 正确；对于选项C ，设i →+j →+k →与k →的夹角为α， 则cosα=(i →+j →+k →)⋅k→|i →+j →+k →||k →|=i →⋅k →+j →⋅k →+k →⋅k →|i →+j →+k →||k →|=1√3×1=√33，所以向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33， 故选项C 正确；对于选项D ，因为|i →+j →|=√(i →+j →)2=√i →2+2i →⋅j →+j →2=√2， 同理可得|k →−j →|=√2， 则cos ＜i →+j →，k →−j →＞=(i →+j →)⋅(k →−j →)|i →+j →||k →−j →|=−12，所以向量i →+j →与k →−j →的夹角为120°， 则向量i →+j →与k →−j →不共线， 故选项D 错误． 故选：BC ．11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 解：设直线l 的方程为y ＝kx ﹣1， 根据点到直线的距离公式d =00√A +B ，若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则√1+k 2=√1+k 2，解得k =79或13，故A正确，B 错误；若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则（﹣3k +4﹣1）•（6k ﹣3﹣1）＜0，解得k ＜23或k ＞1，故D 正确，C 错误． 故选：AD ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，显然D 1D ∥A 1A ，且A 1A 与AF 不垂直，故D 1D 与AF 不垂直，选项A 错误；过点C 作CM ⊥AE ，交AE 的延长线于M ，连接FM ，由二面角的定义可知，∠FMC 即为二面角F ﹣AE ﹣C 的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则CF =1，CM =1×2√2+1=2√55，∴tan∠FMC =FC CM =2√55=√52，选项B 正确； 取B 1C 1中点H ，连接A 1H ，GH ，则GH ∥EF ，故异面直线A 1G 与EF 所成的角即为直线A 1G 与GH 所成角∠A 1GH ，而A 1H =√22+1=√5，A 1G =√22+1=√5，GH =√1+1=√2，故在△A 1C 1G 中，由余弦定理可得cos∠A 1GH =A 1G 2+GH 2−A 1H 22A 1G⋅GH =2×√5×√2=√1010，选项C 正确；连接CG 交EF 于点N ，则点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离之比为GN CN，而△GNF ∽△CNE ，故GN CN=GF CE=2，选项D 正确．故选：BCD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 49．解：∵向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2）， ∴cos ＜a →，b →＞=43×3=49， ∴a →，b →夹角的余弦值为49．故答案为：49．14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 2x +y ﹣10＝0 ．解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的圆心C （2，1），半径r =√5，点P （4，2）在圆上， 因为PC 的斜率2−14−2=12且切线与PC 垂直，所求切线的斜率K ＝﹣2，故切线方程y ﹣2＝﹣2（x ﹣4）即2x +y ﹣10＝0 故答案为：2x +y ﹣10＝0．15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 2√33． 解：设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的半焦距为c ，由题意可得l ：x ＝c ，F （c ，0），渐近线方程y ＝±b ax ，则A （c ，b 2a），B （c ，bc a），又FB →=2FA →，所以bc a=2b 2a，即c ＝2b ＝2√c 2−a 2，可得2a =√3c ，则双曲线的离心率为e =ca =2√33， 故答案为：2√33． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 3−√33． 解：设直线AP 的倾斜角为：θ，在Rt △P AF 中， 由题意可得tan θ=b 2aa+c=√33，整理可得3b 2=√3（a 2+ac ），即3（a 2﹣c 2）=√3（a 2+ac ），可得3e 2+√3e ﹣3+√3=0，解得e ＝﹣1（舍去），e =3−√33． 故答案为：3−√33．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件： （1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3．（Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵PF 2→⋅F 1F 2→=0， ∴PF 2→⊥F 1F 2→，∴△PF 2F 1为直角三角形， ∴P （c ，b 2a），∴tan ∠PF 1F 2=b 2a2c =b22ac =√312，∵PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3，∴2c＝2√3，即c=√3，∵a2＝b2+c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆的离心率为e=ca=√32，椭圆方程为x24+y2＝1；（Ⅱ）设满足条件的直线为l，其方程为x＝my−√3，两交点坐标为A（x1，y1）B（x2，y2），设线段AB为直径的圆与y相切于点D，由{x=my−√3x24+y2=1，消去x得：（m2+4）y2﹣2√3my﹣1＝0，∴y1+y2=2√3m4+m2，y1y2=−14+m2，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2√3=−8√34+m2，所以AB的中点到y轴的距离d=|x1+x2|2=4√34+m2，所以弦长|AB|=√1+m2√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2•√12m2(4+m2)2−4⋅−14+m2=4•1+m2 4+m2=2d=8√34+m2，解得m2＝2√3−1，所以m＝±√2√3−1直线方程为x=√2√3−1y−√3，或x=−√2√3−1y−√3，即x−√2√3−1y+√3=0或x+√2√3−1y+√3=0．18．已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．（1）证明：∵平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面EDAF ， 平面EDAF ∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊥AD ，∴DE ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵DE 、BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDE ∵AC ⊂平面ACE ，∴平面AEC ⊥平面BDE …（3分） （2）解：过点F 作FG ⊥AE 于点G ，因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，又FG ⊂平面ADEF ，所以AB ⊥FG ， 又AB ∩AE ＝A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，所以FG ⊥平面ABE ， 所以线段FG 的长即为点F 到平面ABE 的距离，在△AEF 中，AF =1，AE =√5，EF =√2，由等积变换AE •FG ＝AF •AD ， 得FG =√55，即点F 到平面ABE 的距离为√55． （说明本题也可以用等体积变换求解，也可用向量法求解）（3）解：建系如图，设平面BEF 的法向量n →=(x ，y ，z)，E （0，0，2），F （1，0，1），B （1，1，0）， {EF →⋅n →=0BF →⋅n →=0，{x −z =0y −z =0，令x ＝1，则y ＝z ＝1， 则n →=(1，1，1)，设H （a ，a ，0），EH →=(a ，a ，−2)，则|cos ＜EH →，n →＞|=2a−2√3√2a +4=13解得a =25或a ＝2（舍）…（10分）故H(25，25，0)，∴DH =25√2⋯（12分） 19．已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4和直线l ：kx ﹣y ﹣4k +3＝0．（1）判断直线l 和圆C 的位置关系？（2）若直线l 和圆C 相交，求直线l 被圆C 截得的最短弦长及此时的直线方程． 解：（1）证明：由直线l 的方程可得，y ﹣3＝k （x ﹣4），则直线l 恒通过点（4，3），把（4，3）代入圆的C 方程，得（4﹣3）2+（3﹣4）2＝2＜4，所以点（4，3）在圆C 的内部，又因为直线l 恒过点（4，3），所以直线l 与圆C 总相交；（2）设定点为A （4，3），由题可知当直线l 与CA 直线垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，因为k CA =4−33−4=−1，所以直线l 的斜率为k ＝1，所以直线l 的方程为y ﹣3＝x ﹣4，即x ﹣y ﹣1＝0…（10分）设圆心C （3，4）到直线l 距离为d ，则d =√2=√2，所以直线l 被圆C 截得最短的弦长为2√4−(√2)2=2√2．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）因为AB →=AP →+PB →，两边平方得|AB →|2=|AP|2+|PB|2+2AP →⋅PB →，而PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，且|AB |＝4，从而16=|AP|2+|PB|2+2(|AP →|⋅|PB →|−8)，即（|AP |+|PB |）2＝32，所以|AP|+|PB|=4√2，由椭圆的定义可知P 的轨迹为椭圆，从而E 的方程为x 28+y 24=1．（2）设存在点Q （0，m ）满足条件，记C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．由{y =kx −1x 2+2y 2=8消去 y ，得 （1+2k 2）x 2﹣4kx ﹣6＝0． 显然其判别式△＞0， 所以x 1+x 2=4k 1+2k 2，x 1x 2=−61+2k 2， 于是k QC k QD =y 1−m x 1⋅y 2−m x 2=[kx 1−(m+1)]⋅[kx 2−(m+1)]x 1x 2 =k 2x 1x 2−(m+1)k(x 1+x 2)+(m+1)2x 1x 2=[1+23(m +1)−(m+1)23]⋅k 2−(m+1)26． 上式为定值，当且仅当 1+23(m +1)−(m+1)23=0． 解得 m ＝2 或 m ＝﹣2． 此时，k QC k QD =−(m+1)26=−32 或 −16． 从而，存在定点 Q （0，2）或者 Q （0，﹣2）满足条件．21．如图正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，E 、F 、G 、H 分别是棱AA '、AB 、AC 、B 'C '的中点．（1）求证：B 'C '∥面EFG ；（2）求三棱锥H ﹣EFG 的体积；（3）求二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值．（1）证明：因为ABC ﹣A 'B 'C '是三棱柱，所以B 'C '∥BC ，又AF ＝FB ，AG ＝GC ，所以BC ∥FG ，所以B 'C '∥FG ，FG ⊂平面EFG ，B 'C '⊄面EFG ，所以B 'C '∥面EFG ；（2）解：由（1）可得，V H ﹣EFG ＝V B ﹣EFG ＝V G ＝EFB ，所以V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ，其中h 为点G 到平面ABB 'A '的距离，因为正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，所以h =12×√22−12=√32， 故V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ=13×(2×2−1×2−12×1×1)×√32=√34，所以三棱锥H ﹣EFG 的体积为√34； （3）解：设二面角E ﹣FG ﹣A ，H ﹣FG ﹣B ，3﹣FG ﹣H 的平面角分别为α，β，γ， 则γ＝π﹣α﹣β，所以cos γ＝cos （π﹣α﹣β）＝﹣cos （α+β）＝sin αsin β﹣cos αcos β，过点A 作AR ⊥FG 于点R ，连结ER ，则∠ARE ＝α，所以sin α=2√7，cos α=√3√7， 同理可得，cos β=√3√19，sin β=4√19， 所以cos γ＝sin αsin β﹣cos αcos β=2√74√19√3√19√3√7=5√133133， 故二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值为5√133133． 22．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆的离心率为e =c a =√22，由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．， 解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合， 因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0）， 设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)， 直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4， 所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2， 所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)，所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2， 联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得 （2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0，因为Δ＝（4k 2）2﹣4（2k 2+1）（2k 2﹣2）＝8k 2+8＞0， 所以x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，所以y G +y E =(1−k)(2⋅2k 2−22k 2+1−3⋅4k 22k 2+1+4)3x 1x 2+4x 2=0，所以y G ＝﹣y E ，综上所述：E ，G 两点关于x 轴对称．。
江苏省苏州市高二第一学期期末数学考试(修订版).doc
学习必备欢迎下载2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学（正题卷）2015.1注意事项：1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第14 题）、解答题（第15 题—第20 题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：球的体积公式：43V R （其中R 是球的半径）3一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70 分，请把答案直接填写在答题．卡．相．应．位．置．．上．1．命题“x 0, ， 2 x x ”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，准线方程为x 1的抛物线的标准方程是▲．3．若直线l 经过点A(2,1) ，且与直线3x y 1 0 垂直，则直线l 的方程为▲．4．函数1y 2ln xx的单调递减区间为_____▲______.5．记函数f( x)＝2 1xx的导函数为 f (x)，则 f (1)的值为▲．6．棱长为 2 的正方体的各顶点均在球O的表面上，则球O的体积等于▲．7．“m 2 ”是“方程2 2x y表示焦点在y 轴上的椭圆”的▲条件．（“充分不必要”、“必要不充2 1m 2 m分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一）8．已知函数cos sin f 处的切线方程是f x f x x，则函数y f x 的图象在点,2 2 2_______▲_____.9．如图，棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，三棱锥C1 D1BC 的体积等于_____▲___.10．过点P 0,1 的直线l 与圆 2 2C : x y 2x 3 0 交于A, B 两点，则当ABC 的面积最大时，直线l 的方程是_______▲_____.11．若l, m,n 是三条互不相同的空间直线，, 是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是▲学习必备欢迎下载(填所有正确答案的序号)．①若// , l , n , 则l // n；②若,l , 则l ；③若l n,m n, 则l // m ；④若l ,l // , 则．12．已知点M 0,2 ，N 2,0 ，直线l : kx y 2k 2 0 （k 为常数），对于l 上任意一点P ，恒有MPN ，则实数k 的取值范围是_______▲________．213．已知 A 是曲线C1：y＝ax－22＋y2＝5 的一个公共点．若C1 在A 处的切线与C2在A ( a＞0)与曲线C2：x处的切线互相垂直，则实数 a 的值是▲．14．直角坐标平面上，已知点 A 1, 0,B 1, 0，直线l : x 1，点P 是平面上一动点，直线PA 的斜率为k，直线PB 的斜率为k2 ，且k1 k2 1，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，则三角形APQ 的面积的最大1值等于______▲_____.二、解答题：本大题共 6 小题，计90 分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．15．(本小题满分14 分)2 ax 4≥0，已知命题p：任意x∈0, ，x命题q：方程2x－a＋252ya＝1 表示双曲线．（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（Ⅱ）若“p 且q”为真命题，求实数 a 的取值范围．16．(本小题满分14 分)已知圆 2 2C : x y Dx Ey 3 0关于直线x y 1 0 对称，半径为 2 ，且圆心C 在第二象限．学习必备欢迎下载C 的方程；（Ⅰ）求圆（Ⅱ）不过原点的直线l 在x轴、y 轴上的截距相等，且与圆 C 相切，求直线l 的方程．17．（本小题满分14 分）如图，直三棱柱A BC A B C 中，点D 是B C上一点.1 1 1D 是B C 的中点，求证A1C // 平面 A B1D ；（Ⅰ）若点（Ⅱ）平面A B D 平面BCC1B1 ，求证AD BC .118．(本小题满分16 分)现有一张长80 厘米、宽60 厘米的长方形ABCD 铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中间，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；方案二：如图(2)，若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值．19．(本小题满分16 分)设F , F2 分别是椭圆1y2x2C : 1 a b 0a b2 2的左，右焦点，M 是C 上一点，MF2 与x 轴垂直，且M 位于x 轴上方，直线MF1 与椭圆C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34 ，求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 交y轴于点P 0,m ，m 是正常数，且M N 5F N ，求椭圆 C 的方程.（用含m 的方程1表示）yMPN F1 O F2 x220．（本小题满分16 分）已知函数 f (x) ax bx, g (x) ln x ．（Ⅰ）当a 0时，①若f ( x) 的图象与g (x) 的图象相切于点P(x , y ) ，求x0 及b的值；0 0②若关于x的方程 f (x) g (x) 在[1, m] 上有解，求b 的范围；（Ⅱ）当b 1时，若f (x) g(x) 在1[ ,n]e上恒成立（n 为正常数），求a 的取值范围．附加题部分（本部分满分40 分，考试时间30 分钟）【必做题】第21 题、第22 题、第23 题、第24 题，每题10 分，共40 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.（本小题满分10 分）在直角坐标系xOy 中，已知A（0，1），点P 是抛物线 2y 2x 1上的动点，点M 是线段AP 的中点，求点M 的轨迹方程．22.（本小题满分10 分）kxf x xe k 0 在区间1, 1上是增函数, 求k 的取值范围.已知函数23.（本小题满分10 分）三棱柱A BC A B C 在如图所示的空间直角坐标系中，已知1 1 1AB 2, AC 4, AA 3，D 是BC 的中点。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（ ）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（ ）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 ．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 ． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '， 由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4． 故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14． 故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2， 因为点A （1，0）在圆M 内，如图， 由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时， 弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2． 故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内； 对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内； 对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内； 对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部， 所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上， 因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2， 所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ， 设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误； 对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确； 由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确； 设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误． （或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一） ．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°， 由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3， 即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4， 故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5， 当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°， 所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ， 则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3， 在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3， 即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ． 解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1， 故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1， 则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297， 因此，所求正整数n 的最大值为59． 故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程． 解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0． （2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）， 可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ， 所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1． 令n ＝1得a 1＝1， 因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1． 所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2）， 所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1， 所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1， 又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1． （2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， 设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ）， 设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2， 即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ， 又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大， 此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)， 又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23， 因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2， 所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2， 因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)， 因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517． 又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5， 所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3， 令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1， 所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ， 所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)， 因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1， 所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12， 所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0， 此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1， 因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。
2020-2021学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）命题“∀x∈R，x2-x+1＞0”的否定为（）A.∀x∈R，x2-x+1≤0B.∀x∈R，x2-x+1＜0C.∃x∈R，x2-x+1≤0D.∃x∈R，x2-x+1＜02.（单选题，5分）已知复数z=-i（1+2i）（i为虚数单位），则复数z的实部为（）A.-2B.-1C.1D.23.（单选题，5分）不等式（x+5）（3-2x）≥6的解集是（）A.{x|x≤-1或x≥ 92}B.{x|-1≤x≤ 92}C.{x|x≤- 92或x≥1}D.{x|- 92≤x≤1}4.（单选题，5分）若0＜b＜1，则“a＞√b”是“a＞b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，5分）在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d= mk，其中d是距离（单位cm），m是质量（单位g），k是弹簧系数（单位g/cm）．弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k = 1k1+ 1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2．已知物体质量为20g，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（）A. 14cmB. 12cmC.1cmD.2cm6.（单选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=2px（p＞0）上的点M与焦点F 的距离为10，点M到x轴的距离为2p，则p的值为（）A.1B.2C.4D.87.（单选题，5分）若正整数m，n满足n+4n+2＜√m＜n+3n+1，则所有满足条件的n的和为（）A.6B.4C.3D.18.（单选题，5分）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如25=13+115，729=16+1 24+158+187+1232，…，现已知2101可以表示成4个单分数的和，记2101=1606+1x+1y+1z，其中x，y，z是以101为首项的等差数列，则y+z的值为（）A.505B.404C.303D.2029.（多选题，5分）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n次方程有n个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程z3-1=0的根的是（）A. 12+√32iB. −12+√32iC. −12−√32iD.110.（多选题，5分）已知a＞b＞0＞c＞d，则（）A.a-c＞b-dB.ad＞bcC. ba ＜b−ca−cD. c2a ＜d2b11.（多选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y24=1与直线y=kx+m（k≠±2，m∈R）有唯一的公共点，则动点P（k，m）与定点Q（0，2）的距离可能为（）A.2B. √6C. 2√2D.312.（多选题，5分）已知等比数列{a n}满足a1=1，其前n项和S n=pa n+1+r（n∈N*，p＞0）．（）A.数列{a n}的公比为pB.数列{a n}为递增数列C.r=-p-1D.当p- 14r取最小值时，a n=3n-113.（填空题，5分）已知复数z满足（1+2i）z=3+4i（i为虚数单位），则复数z的模为___ ．14.（填空题，5分）已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则ab+ 1a + 2b的最小值为___ ．15.（填空题，5分）在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数R0=3，那么初始一名感染者，经过三轮传染后，感染总人数将达到___ 人；若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第___ 轮传染开始前采取紧急防控措施．（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）16.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4√6，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，过O作OD⊥AB交AB于点D，点D 的坐标为（2，1），则椭圆C的方程为___ ．17.（问答题，10分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x2a2−y2b2=1的离心率分别为e1，e2，其中a＞b＞0．（1）求e12+e22的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于√22，求e1和e2的取值范围．18.（问答题，12分）已知不等式ax2+（3-a）x-3b＜0（a，b∈R）的解集为A={x|-3＜x＜1}．（1）求实数a，b的值；（2）设f(x)=ax 2+bx−2x−2（x∈A），当x为何值时f（x）取得最大值，并求出其最大值．19.（问答题，12分）在① 2S n=2n2+a n，② a3+a5=16且S3+S5=42，③ S nS2n =n+14n+2且S7=56这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，___．数列{b n}为等比数列，b1=a1，b2=a3，求数列{1S n+b n}的前n项和T n．20.（问答题，12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C1的部分和椭圆C2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy中，C1：x2=2py（p＞0）和C2：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）交于A，B两点，F1是公共焦点，|OF1|=1，|AF1|= 53（如图2）．（1）求C1和C2的方程；（2）过点F1作直线l与“W”形状曲线依次交于C，D，E，F四点，若|CF|=λ|DE|，求实数λ的取值范围．21.（问答题，12分）已知数列{a n}满足a1=1，2a n+1=(1+1n)a n（n∈N*）．（1）求证：数列{a nn}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令b n=M n+m n2，称数列{b n}是数列{a n}的“中程数数列”．① 求“中程数数列”{b n}的前n项和S n；② 若b m=a k（m，k∈N*且m＞k），求所有满足条件的实数对（m，k）．22.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，过原点O的直线交该椭圆于A，B两点（点A在x轴上方），点E（4，0）．当直线AB垂直于x轴时，|AE|=2√5．（1）求a，b的值；（2）设直线AE与椭圆的另一交点为C，直线BE与椭圆的另一交点为D．① 若OC || BE，求△ABE的面积；② 是否存在x轴上的一定点T，使得直线CD恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）命题“∀x∈R，x2-x+1＞0”的否定为（）A.∀x∈R，x2-x+1≤0B.∀x∈R，x2-x+1＜0C.∃x∈R，x2-x+1≤0D.∃x∈R，x2-x+1＜0【正确答案】：C【解析】：欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：① ：“∀”；② ：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】：解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是∃x∈R，x2-x+1≤0，故选：C．【点评】：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．2.（单选题，5分）已知复数z=-i（1+2i）（i为虚数单位），则复数z的实部为（）A.-2B.-1C.1D.2【正确答案】：D【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的实部概念得答案．【解答】：解：z=-i（1+2i）=-i-2i2=-i+2，则z的实部为2．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 3.（单选题，5分）不等式（x+5）（3-2x ）≥6的解集是（ ） A.{x|x≤-1或x≥ 92} B.{x|-1≤x≤ 92 } C.{x|x≤- 92 或x≥1} D.{x|- 92 ≤x≤1} 【正确答案】：D【解析】：把不等式的右边移项到左边，去括号合并化简，分解因式得到（2x+9）（x-1）小于0，分情况2x+9与x-1异号或都等于0讨论得到两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】：解：因为不等式（x+5）（3-2x ）≥6可化为2x 2+7x-9≤0， 分解因式得（2x+9）（x-1）≤0，可化为 {2x +9≥0x −1≤0 或 {2x +9≤0x −1≥0，解得- 92 ≤x≤1，所以不等式（x+5）•（3-2x ）≥6的解集是{x|- 92 ≤x≤1}． 故选：D ．【点评】：本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题． 4.（单选题，5分）若0＜b ＜1，则“a ＞ √b ”是“a ＞b”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：A【解析】：说明命题成立只需证明即可，说明命题不成立可进行列举即可，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】：解：若a ＞ √b ，在0＜b ＜1时，b （1-b ）=b-b 2＞0即 √b ＞b ，故可得a ＞b ， 若a ＞b ，可取 b =19 ， a =29 ，此时 a ＜√b ，所以若0＜b ＜1，则“a ＞ √b ”是“a ＞b”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题主要考查了代数式的大小比较，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生的推理能力．5.（单选题，5分）在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d= mk，其中d是距离（单位cm），m是质量（单位g），k是弹簧系数（单位g/cm）．弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k = 1k1+ 1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2．已知物体质量为20g，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（）A. 14cmB. 12cmC.1cmD.2cm【正确答案】：A【解析】：由已知可得k1k2k1+k2=20，利用基本不等式求解k1+k2的最小值，即可求得并联时弹簧拉伸的最大距离．【解答】：解：根据题意可得，当两个弹簧串联时，弹簧的系数k= md =201=20，由1k = 1k1+ 1k2= k1+k2k1k2，得k= k1k2k1+k2，则串联时，有k1k2k1+k2=20；并联时，弹簧系数k′满足k′=k1+k2，d′= mk′，要使d′最大，则k′最小，即k1+k2最小，由k1k2k1+k2=20，得20（k1+k2）=k1k2≤(k1+k22)2，得80（k1+k2）≤ (k1+k2)2，解得k1+k2≤0（舍去），或k1+k2≥80，当且仅当k1=k2=40时上式等号成立，此时d′= mk′=2080=14（cm）．故选：A．【点评】：本题考查函数模型的选择及应用，考查不等式的性质，考查运算求解能力，是中档题．6.（单选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=2px（p＞0）上的点M与焦点F 的距离为10，点M到x轴的距离为2p，则p的值为（）A.1B.2C.4D.8【正确答案】：C【解析】：由题中的条件可以将点M的坐标用p表示出来，由点M坐标满足抛物线方程，可以直接解决．【解答】：解：设点M（x，y），由题意可知，{x+p2=10 |y|=2p，所以M（10- p2，±2p），又因为M点在抛物线上，所以，4p2=2p（10- p2），∴p=4．故选：C．【点评】：本题考查了抛物线的定义，属于基础题．7.（单选题，5分）若正整数m，n满足n+4n+2＜√m＜n+3n+1，则所有满足条件的n的和为（）A.6B.4C.3D.1【正确答案】：B【解析】：根据题中给出的条件，先得到n+4n+2和n+3n+1的范围，确定m=2或3，分别解对应的分式不等式，求出对应的n即可．【解答】：解：因为m，n均为正整数，所以1＜n+4n+2 = 1+2n+2≤1+21+2=1+23，1＜n+3n+1= 1+2n+1≤2，所以1＜√m＜2，所以m=2或3，若m=2时，则n+4n+2＜√2＜n+3n+1，所以2n+2＜√2−1＜2n+1，解得2√2＜n＜2√2+1，则n=3，若m=3时，则n+4n+2＜√3＜n+3n+1，所以2n+2＜√3−1＜2n+1，解得 √3−1＜n ＜√3 ， 则n=1， 所以n=3+1=4． 故选：B ．【点评】：本题考查了不等式知识的理解和应用，涉及了分式不等式的解法、分离常数法的应用，解题的关键是先确定出m 的取值为2或3．8.（单选题，5分）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如 25=13+115 ， 729=16+124+158+187+1232 ，…，现已知 2101可以表示成4个单分数的和，记2101=1606+1x+1y +1z，其中x ，y ，z 是以101为首项的等差数列，则y+z 的值为（ ） A.505 B.404 C.303 D.202【正确答案】：A 【解析】：根据已知将 2101写出四个单分数的和，从而可求得x ，y ，z 的值，即可得解．【解答】：解： 2101 = 1101 + 1101= 1101 + 2202 =1101 + 1202 + 1202 = 1101 + 1202 + 3606 = 1101 + 1202 + 2606 + 1606 = 1101 + 1202 + 1303 + 1606所以x=101，y=202，z=303满足题目x ，y ，z 是以101为首项的等差数列， 所以y+z=505． 故选：A ．【点评】：本题主要考查等差数列的性质，属于中档题．9.（多选题，5分）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n次方程有n个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程z3-1=0的根的是（）A. 12+√32iB. −12+√32iC. −12−√32iD.1【正确答案】：BCD【解析】：对应各个选项逐个已知即可求解．【解答】：解：选项A：当z= 12+√32i时，z 3−1=(12+√32i)3−1 =（12+√32i）2•(12+√32i)-1=- 14−34−1 =-2，故A错误，选项B：当z=- 12+√32i时，z3-1=（- 12+√32i）3-1=（- 12+√32i）2•(−12+√32i)−1 = 14+34−1=0，故B正确，选项C：当z=- 12−√32i时，z 3−1=(−12−√32i)3−1 =（- 12−√32i）2•(−12−√32i) -1= 14+34−1=0，故C正确，选项D：显然当z=1时满足z3-1=0，故D正确，故选：BCD．【点评】：本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）已知a＞b＞0＞c＞d，则（）A.a-c＞b-dB.ad＞bcC. ba ＜b−ca−cD. c2a ＜d2b【正确答案】：CD【解析】：由a＞b＞0＞c＞d，取a=2，b=1，c=-1，d=-2，即可判断AB；由不等式的基本性质，即可判断CD．【解答】：解：由a＞b＞0＞c＞d，取a=2，b=1，c=-1，d=-2，则AB不成立；若ba ＜b−ca−c，只需b（a-c）＜a（b-c），即bc＞ac，显然bc-ac=c（b-a）＞0，故C正确；若c 2a ＜d2b，只需bc2＜ad2，又c2＜d2，0＜b＜a，显然bc2＜ad2成立，故D正确．故选：CD．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．11.（多选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y24=1与直线y=kx+m（k≠±2，m∈R）有唯一的公共点，则动点P（k，m）与定点Q（0，2）的距离可能为（）A.2B. √6C. 2√2D.3【正确答案】：BCD【解析】：将直线与双曲线联立，由判别式Δ=0，可推出m2-k2+4=0，再结合两点间距离公式和配方法，即可得解．【解答】：解：联立{y=kx+mx2−y24=1，得（4-k2）x2-2kmx-m2-4=0，因为直线与双曲线有唯一公共点，所以Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+4）=16（m2-k2+4）=0，所以m2-k2+4=0，|PQ|2=k2+（m-2）2=m2+4+m2-4m+4=2m2-4m+8=2（m-1）2+6≥6，所以|PQ|≥ √6，所以选项BCD均符合题意，故选：BCD．【点评】：本题考查直线与双曲线的交点个数问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.（多选题，5分）已知等比数列{a n}满足a1=1，其前n项和S n=pa n+1+r（n∈N*，p＞0）．（）A.数列{a n}的公比为pB.数列{a n}为递增数列C.r=-p-1D.当p- 14r取最小值时，a n=3n-1【正确答案】：BD【解析】：利用S n和a n的关系得到以a n+1a n =p+1p，然后通过数列{a n}为等比数列进行分析求解，依次判断四个选项即可．【解答】：解：因为S n=pa n+1+r，所以S n-1=pa n+r（n≥2），所以a n=S n-S n-1=pa n+1-pa n，则pa n+1=（p+1）a n（n≥2），所以a n+1a n =p+1p（n≥2），当n=1时，a1=S1=pa2+r，所以a2=1−rp，因为{a n}为等比数列，又q=p+1p =1+1p＞1，所以数列{a n}为递增数列，故选项A错误，选项B正确；所以q=p+1p =1−rp，解得r=-p，故选项C错误；p- 14r = p+14p≥2√p•14p=1，当且仅当p=14p ，即p= 12时取等号，此时数列{a n}的公比为q=p+1p=3，所以a n=3n-1，故选项D正确．故选：BD．【点评】：本题考查了等比数列的应用，涉及了等比数列前n项和与第n项之间关系的应用，解题的关键是求出a n+1a n =p+1p（n≥2），属于中档题．13.（填空题，5分）已知复数z满足（1+2i）z=3+4i（i为虚数单位），则复数z的模为___ ．【正确答案】：[1] √5【解析】：根据复数的基本运算法则进行化简，然后结合复数的模长公式即可求解．【解答】：解：因为（1+2i）z=3+4i，所以z= 3+4i1+2i = (3+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)= 11−2i5，故|z|= √5．故答案为：√5．【点评】：本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．14.（填空题，5分）已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则ab+ 1a + 2b的最小值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：根据2a+b=4及a＞0，b＞0即可得出ab+1a +2b=ab+4ab≥4，这样即可得出ab+1a +2b的最小值．【解答】：解：∵a＞0，b＞0，且2a+b=4，∴ ab+1a +2b=ab+2a+bab=ab+4ab≥2√ab•4ab=4，当且仅当ab=4ab，即a=1，b=2时等号成立，∴ ab+1a +2b的最小值为：4．故答案为：4．【点评】：本题考查了基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数R0=3，那么初始一名感染者，经过三轮传染后，感染总人数将达到___ 人；若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第___ 轮传染开始前采取紧急防控措施．（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）【正确答案】：[1]64; [2]6【解析】：由题意依次求出经过三轮传染后感染的总人数，则答案可求；分析可知，每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式，求解不等式得答案．【解答】：解：初始一名感染者，经过一轮传染后，感染人数为1+R0=4人，经过二轮传染后，感染人数为4+4R0=16人，经过三轮传染后，感染人数为16+16R0=64人；则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，到第n轮传染后，感染人数为a n=4×4n−1=4n，由4n≤1000，得n≤ lg1000lg4=32lg2≈30.6=5．∴若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第6轮传染开始前采取紧急防控措施．故答案为：64；6．【点评】：本题考查函数模型的选择及应用，考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．16.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4√6，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，过O作OD⊥AB交AB于点D，点D 的坐标为（2，1），则椭圆C的方程为___ ．【正确答案】：[1] x 230+y26=1【解析】：由已知求出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求出A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积，再利用OA与OB以及a，b，c的关系即可求解．【解答】：解：由已知可得k AB•k OD=-1，所以k AB=−1k OD =−112=−2，则直线BA的方程为：y-1=-2（x-2），即y=-2x+5，代入椭圆方程消去y整理可得：（b2+4a2）x2-20a2x+25a2-a2b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），B（x2，y2），则x 1+x2=20a2b2+4a2，x1x2=25a2−a2b2b2+4a2，又由已知可得：2c=4 √6，所以c=2 √6，则a2=b2+24，所以x 1+x2=20a25a2−24，x1x2=49a2−a45a2−24，所以y1y2=（-2x1+5）（-2x2+5）=4x1x2-10（x1+x2）+25= 121a2−4a4−6005a2−24，又由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，所以49a 2−a4+121a2−4a4−6005a2−24=0，即a4-34a2+120=0，解得a2=30或4（舍去），所以a2=30，b2=6，所以椭圆的方程为x 230+y26=1，故答案为：x 230+y26=1．【点评】：本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x2a2−y2b2=1的离心率分别为e1，e2，其中a＞b＞0．（1）求e12+e22的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于√22，求e1和e2的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由椭圆和双曲线中a、b、c的关系以及离心率的定义，即可得解；（2）易知0＜ba ＜√22，再由e1= √1−(ba)2，e2= √1+(ba)2，得解．【解答】：解：（1）由题意知，e12= a2−b2a2，e22= a2+b2a2，∴e12+e22= a2−b2a2 + a2+b2a2=1- b2a2+1+ b2a2=2．（2）双曲线C的渐近线方程为y=± bax，∵双曲线渐近线的斜率小于√22，∴0＜ba ＜√22，∴e1= √1−(ba )2∈（√22，1），e2= √1+(ba )2∈（1，√62），故e1的取值范围为（√22，1），e2的取值范围为（1，√62）．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的几何性质，主要包含渐近线方程和离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.（问答题，12分）已知不等式ax 2+（3-a ）x-3b ＜0（a ，b∈R ）的解集为A={x|-3＜x ＜1}． （1）求实数a ，b 的值； （2）设 f (x )=ax 2+bx−2x−2（x∈A ），当x 为何值时f （x ）取得最大值，并求出其最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据不等式的解集得出对应方程的两实数根，代入方程得列方程组，再求出a ，b 的值；（2）根据条件设x-2=t ，利用基本不等式，求出函数y 的最大值的值和x 的值即可．【解答】：解：（1）不等式ax 2+（3-a ）x-3b ＜0的解集为A={x|-3＜x ＜1}， 所以-3和1是对应方程ax 2+（3-a ）x-3b=0的两根， 所以 {9a −3(3−a )−3b =0a +(3−a )−3b =0 ，解得a=1，b=1；（2）由 f (x )=ax 2+bx−2x−2= x 2+x−2x−2 ，x∈（-3，1）， 设x-2=t ，则x=t+2，且t∈（-5，-1）， 令y=f （x ），则y=(t+2)2+tt=t+ 4t +5≤5-2 √(−t )•4−t=1， 当且仅当-t= 4−t ，即t=-2时取等号，此时x=0； 所以当x=0时f （x ）取得最大值，且最大值为1．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求最值，是中档题．19.（问答题，12分）在 ① 2S n =2n 2+a n ， ② a 3+a 5=16且S 3+S 5=42， ③ S n S 2n=n+14n+2且S 7=56这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，___．数列{b n }为等比数列，b 1=a 1，b 2=a 3，求数列 {1S n+b n } 的前n 项和T n ．【正确答案】：【解析】：本题三个条件均根据等差数列的通项公式及前n 项和公式代入进行计算，列出关于首项a 1与公差d 的方程，解出a 1与d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式，进一步即可计算出 1S n的表达式，以及通过等比数列的通项公式计算出数列{b n }的通项公式，即可计算出数列{1S n+b n } 的通项公式，然后运用分组求和法即可计算出前n 项和T n ．【解答】：解：方案一：选条件 ①依题意，当n=1时，2a 1=2S 1=2×12+a 1，解得a 1=2， 当n≥2时，由数列{a n }为等差数列，可知S n = n (a 1+a n )2 = n (2+a n )2， 则2S n =2×n (2+a n )2=2×n 2+a n ， 化简整理，可得a n =2n ， 当n=1时，a 1=2也满足上式， ∴a n =2n ，n∈N*， S n =n (2+a n )2 = n (2+2n )2 =n （n+1）， ∴ 1S n=1n (n+1) = 1n - 1n+1， 又∵b 1=a 1=2，b 2=a 3=6，设等比数列{b n }的公比为q ，则q= b 2b 1= 62 =3，故b n =2•3n-1，n∈N*， ∴ 1S n+b n = 1n - 1n+1 +2•3n-1，∴T n = 1S 1+b 1+ 1S 2+b 2+…+ 1S n+b n=（ 1S 1+ 1S 2+…+ 1S n）+（b 1+b 2+…+b n ）=（1- 12 + 12 - 13 +…+ 1n - 1n+1 ）+（2+2•31+…+2•3n-1）=1- 1n+1 + 2−2•3n1−3=3n - 1n+1 ． 方案二：选条件 ②依题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则{(a 1+2d )+(a 1+4d )=163a 1+3×22d +5a 1+5×42d =42，化简整理，得 {a 1+3d =88a 1+24d =42，解得 {a 1=2d =2，∴a n =2+2（n-1）=2n ，n∈N*， S n =n (2+a n )2 = n (2+2n )2=n （n+1）， ∴ 1S n= 1n (n+1) = 1n - 1n+1 ， 又∵b 1=a 1=2，b 2=a 3=6，设等比数列{b n }的公比为q ，则q= b 2b 1= 62 =3，故b n =2•3n-1，n∈N*， ∴ 1S n+b n = 1n - 1n+1 +2•3n-1，∴T n = 1S 1+b 1+ 1S 2+b 2+…+ 1S n+b n=（ 1S 1 + 1S 2 +…+ 1S n）+（b 1+b 2+…+b n ）=（1- 12 + 12 - 13 +…+ 1n - 1n+1 ）+（2+2•31+…+2•3n-1） =1- 1n+1 +2−2•3n1−3 =3n - 1n+1 ． 方案三：选条件 ③依题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n =na 1+n (n−1)2 d ，S 2n =2na 1+ 2n (2n−1)2d ， ∴ {na 1+n (n−1)2d 2na 1+2n (2n−1)2d=n+14n+27a 1+7×62d =56 ，化简整理，得 {a 1=da 1+3d =8，解得 {a 1=2d =2，∴a n =2+2（n-1）=2n ，n∈N*， S n =n (2+a n )2 = n (2+2n )2=n （n+1），∴ 1 S n = 1n(n+1)= 1n- 1n+1，又∵b1=a1=2，b2=a3=6，设等比数列{b n}的公比为q，则q= b2b1 = 62=3，故b n=2•3n-1，n∈N*，∴ 1 S n +b n= 1n- 1n+1+2•3n-1，∴T n= 1S1 +b1+ 1S2+b2+…+ 1S n+b n=（1S1 + 1S2+…+ 1S n）+（b1+b2+…+b n）=（1- 12 + 12- 13+…+ 1n- 1n+1）+（2+2•31+…+2•3n-1）=1- 1n+1 + 2−2•3n1−3=3n- 1n+1．【点评】：本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及运用分组求和法求前n 项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20.（问答题，12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C1的部分和椭圆C2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy中，C1：x2=2py（p＞0）和C2：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）交于A，B两点，F1是公共焦点，|OF1|=1，|AF1|= 53（如图2）．（1）求C1和C2的方程；（2）过点F1作直线l与“W”形状曲线依次交于C，D，E，F四点，若|CF|=λ|DE|，求实数λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由焦点的坐标求抛物线的方程，及椭圆的焦点坐标，再由|AF 1|的值，求出椭圆的方程；（2）设直线CF 的方程，与抛物线联立求出两根C ，F 的横坐标，与椭圆联立求出两根D ，E 的横坐标，求出|CF|，|DE|的表达式，由题意可得λ的表达式，由k 的范围，求出λ的范围．【解答】：解：（1）因为OF 1=1，所以F 1（0，1），则 p2=1，可得：p=2， 所以抛物线C 1的方程x 2=4y ； 设C 2的焦距为2c ，则c=1，设A （x ，y ）由抛物线的方程可得AF 1=y+1= 53 ，得y= 23 ， x 2=4y= 83 ，{a 2−b 2=149a 2+83b 2=1 ，解得：a 2=4，b 2=3， 所以可得C 2的方程为： y 24 + x 23 =1； （2）设l ：y=kx+1， 当A （- 2√63 ， 23 ）时，k AF 1 = 1−232√63 = 2√6，则k∈（-2√6，2√6{y =kx +1x 2=4y整理可得：x 2-4kx-4=0， 可得x C ，F =2k±2 √1+k 2 ，所以|CF|= √(x C −x F )2+(y C −y F )2 = √1+k 2 |x C -x F |=4（1+k 2）， {y =kx +1y 24+x 23=1整理可得：（4+3k ）2x 2+6kx-9=0，可得x D ，E =−3k±6√1+k 24+3k 2， |DE|= √(x D −x E )2+(y D −y E )2 = √1+k 2 |x D -x E |= 12(1+k 2)4+3k 2，λ= |CF||DE| =k 2+ 43 ，因为k∈（- 2√6 ， 2√6所以k 2∈[0， 124 ），可得λ∈[ 43 ， 118 ）．【点评】：本题考查求抛物线椭圆的方程及直线与圆锥曲线的综合，弦长公式的应用，属于中档题．21.（问答题，12分）已知数列{a n }满足a 1=1， 2a n+1=(1+1n )a n （n∈N *）．（1）求证：数列 {ann } 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）记数列{a n }的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令 b n =M n +m n2，称数列{b n }是数列{a n }的“中程数数列”．① 求“中程数数列”{b n }的前n 项和S n ；② 若b m =a k （m ，k∈N *且m ＞k ），求所有满足条件的实数对（m ，k ）．【正确答案】：【解析】：（1）由已知等式可得 a n+1n+1 = 12 • ann ，由等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2） ① 判断数列{a n }的单调性，计算a n+1-a n ，求得最大项和最小项，可得b n = n+12n−1 - n+22n + 12，再由数列的分组求和和裂项相消求和，计算可得所求和；② 由b m =a k ，结合数列{a n }的单调性，求得k=1，2，3，分别讨论k=1，k=2，k=3，求得m ，即可得到所求．【解答】：解：（1）证明：因为 2a n+1=(1+1n )a n =n+1na n ， 所以 a n+1n+1 = 12 • an n ，又 a 11 =1，所以数列 {a n n } 是首项为1，公比为 12 的等比数列，则 a n n=（ 12）n-1，即a n =n 2n−1；（2） ① a n+1-a n = n+12n - n2n−1 = 1−n2n ， n=1时，a n+1-a n =0，n≥2时，a n+1-a n ＜0， 所以a 1=a 2＞a 3＞a 4＞…＞a n ， 所以M n =a 1=1，m n =a n = n2n−1 ，所以b n = 1+n2n−12 = n 2n + 12 = n+12n−1 - n+22n + 12，所以S n = 220 - 321 + 321 - 422 +…+ n+12n−1 - n+22n + 12 n=2- n+22n + 12n ； ② b m =m 2m + 12 =a k = k2k−1 ，m ＞k ，m ，k∈N*， 显然a k ＞ 12 ，由 ① 可知a 1=a 2=1＞a 3= 34 ＞a 4= 12 ＞a 5＞…＞a n ，故k=1，2，3； k=1时， m2m + 12 =1，即 m2m−1 =1，即a m =1，则m=1，2，又m ＞k ，故m=2； k=2时， m2m + 12 =1，即 m2m−1 =1，即a m =1，则m=1，2，又m ＞k ，故m 无解； k=3时， m2m + 12 = 34 ，即 m2m−1 = 12 ，即a m = 12 ，则m=4． 综上可得，所有满足条件的实数对有（2，1），（4，3）．【点评】：本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和、新定义“中程数数列”的理解和运用，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题． 22.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0）的离心率为 √22 ，过原点O 的直线交该椭圆于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点E （4，0）．当直线AB 垂直于x 轴时， |AE |=2√5 ． （1）求a ，b 的值；（2）设直线AE 与椭圆的另一交点为C ，直线BE 与椭圆的另一交点为D ． ① 若OC || BE ，求△ABE 的面积；② 是否存在x 轴上的一定点T ，使得直线CD 恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设椭圆的焦距为2c ，依题可得关于a ，b ，c 的方程组，求解即可得到a ，b 的值；（2） ① 设A （x 0，y 0），y 0＞0，则B （-x 0，-y 0），由题意列式求得A ，B 的坐标，则三角形ABE 的面积可求；② 联立方程组求得C ，D 的坐标，分CD 与x 轴垂直与不垂直可得直线CD 恒过点T ．【解答】：解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则 {c a=√22b 2=a 2−c 2√b 2+16=2√5 ，解得 {a =2√2b =2；（2） ① 设A （x 0，y 0），y 0＞0，则B （-x 0，-y 0）， ∵O 为AB 的中点，OC || BE ，∴C 是AE 的中点，则C （ x 0+42 ， y02 ），可得 {x 02+2y 02=8(x 0+4)24+y 022=8y 0＞0，解得 {x 0=1y 0=√72，∴ S △ABE =12×4×2y 0=4y 0=2√14 ；② 由 {x 02+2y 02=8y =y 0x 0−4(x −4)x 2+2y 2=8，解得 {x =x 0y =y 0 或 {x =3x 0−8x 0−3y =(1−x 0)y 0(x 0−3)(x 0−4)， 则C （ 3x 0−8x 0−3，−y 0x0−3），同理，D （ 3x 0+8x 0+3 ， −y 0x 0+3 ）， 当 3x 0−8x 0−3=3x 0+8x 0+3，即x 0=0时，CD ：x= 83 ，与x 轴的交点为（ 83 ，0），若存在T 符合题意，则T （ 83，0）； 当x 0≠0时， k CT =−y 0x 0−33x 0−8x 0−3−83=−3y0x 0， k DT=−y 0x 0+33x 0+8x 0+3−83=−3y 0x 0， k CT =k DT ，故CD 过点T （ 83 ，0）．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．。
江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b << D. 若0a b <<，则11a b> 【答案】D 【解析】试题分析：A 中当0c 时不成立；B 中若0,1a b ==-不成立；C 中2,1a b =-=-不成立，所以D 正确 考点：不等式性质2.不等式()43x x -<的解集为（ ） A. {|1x x <或}3x > B. {0x x <或}4x > C. {}13x x << D. {}04x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化成2430x x -+>即可求解.【详解】由题：等式()43x x -<化简为：2430x x -+>()()130x x -->解得：1x <或3x >. 故选：A【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于准确求出二次函数的零点.3.双曲线221916y x -=离心率为（ ）A.53B.54C.3D.4【答案】A 【解析】 【分析】由题：3,4,5a b c ===，即可求得离心率.【详解】在双曲线221916y x -=中，3,4,5a b c ===所以离心率53c e a ==. 故选：A【点睛】此题考查根据双曲线方程求离心率，关键在于准确辨析基本量,,a b c 的取值. 4.椭圆的两个焦点分别为()18,0F -、()28,0F ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A. 22136100x y +=B. 22110036x y +=C. 221400336x y +=D. 2212012x y +=【答案】B 【解析】 【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b ，即可得椭圆的方程.【详解】已知两个焦点的坐标分别是F 1（-8，0），F 2（8，0）， 可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，由a ，b ，c 的关系解得b=22a c -=6∴椭圆方程是22110036x y +=,故选B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定义法求椭圆的标准方程.5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A. 7 B. 8C. 15D. 16【答案】C 【解析】 试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．考点：1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．6.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，直线1A E 与平面1B BC 所成角的正弦值为（ ） A.12B.13C.223【答案】B 【解析】 【分析】直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角，根据定义找出线面角即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1B BC //平面1A AD ，所以直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角， 连接11,A E A D ，CD ⊥与平面1A AD ，所以1EA D ∠就是直线1A E 与平面1A AD 所成角， 在1Rt EA D ∆中，11tan 22DE EA D A D ∠== 所以11sin 3EA D ∠=. 故选：B【点睛】此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可.7.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B 【解析】 用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=， 解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．8.关于x 的不等式()221ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 3443,,2332⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B. 3443,,2332⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 3443,,2332⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 3443,,2332⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围. 【详解】由题：()221ax x -<()2210ax x --<()()()()11110a x a x +---<恰有2个整数解，所以()()110a a +->，即1a >或1a <-，当1a >时，不等式解为1111x a a <<+-，因为110,12a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2， 所以1231a <<-，22133a a -<≤-，解得：4332a ≤<；当1a <-时，不等式解为1111x a a <<+-，因为11,012a ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2--，所以1321a -≤<-+，()()21131a a -+<≤-+，解得：3423a -<≤-， 综上所述：4332a ≤<或3423a -<≤-. 故选：B【点睛】此题考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论.二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.下列判断中正确的是（ ）A. 在ABC ∆中，“60B =︒”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”B. “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C. 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定：“0x ∀≤，都有210x x ++≥”D. 若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 【答案】AB 【解析】 【分析】在ABC ∆中，A ，B ，C 成等差数列，即60B =︒，所以A 选项正确；2320x x -+=的解为1x =或2x =，所以B 选项正确；C 选项中p 的否定应该是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项错误；D 选项中，若这个定点在这条定直线上，则动点的轨迹是一条直线，所以该选项错误. 【详解】A 选项：在ABC ∆中， “A ，B ，C 成等差数列”即2,3B AC B π=+=，等价于“60B =︒”，所以它们互为充要条件，该选项正确；B 选项：“2320x x -+=”即“1x =或2x =”，所以“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，该选项正确；C 选项： 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项说法错误；D 选项：若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，当这个定点在定直线上时，该动点的轨迹是一条直线，所以该选项说法错误. 故选：AB【点睛】此题考查命题真假性的判断，涉及充分条件与必要条件和含有一个量词的命题的否定，关键在于准确判断其说法的正误.10.已知向量a b b c a c ⋅=⋅=⋅，()3,0,1b =-，()1,5,3c =--， 下列等式中正确的是（ ）A. ()a b c b c ⋅=⋅ B. ()()a b c a b c +⋅=⋅+C. ()2222a b ca b c ++=++ D. a b c a b c ++=--【答案】BCD 【解析】 【分析】根据坐标求出3030a b a c b c ⋅=⋅=⋅=-++=，根据向量的运算法则即可判定. 【详解】由题3030b c ⋅=-++=，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=()0,0a b c b c ⋅=⋅=不相等，所以A 选项错误；()()0a b c a b c a b b c a b a c +⋅-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅=，所以()()a b c a b c +⋅=⋅+，所以B 选项正确；()2222222222a b c a b c a b b c a c a b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++，所以C 选项正确； ()2222222222a b ca b c a b b c a c a b c --=++-⋅+⋅-⋅=++，即()()22a b c a b c ++=--，a b c a b c ++=--，所以D 选项正确.故选：BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n S a a =-（其中a 为常数），则下列说法正确的是（ ）A. 数列{}n a 一定是等比数列 B. 数列{}n a 可能是等差数列 C. 数列{}n S 可能是等比数列 D. 数列{}n S 可能是等差数列【答案】BD 【解析】 【分析】根据()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥分析出12n n a a -=，对常数a 分类讨论进行辨析.【详解】()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥，两式相减：122n n n a a a -=-，12n n a a -=，2n ≥若0a =，令()111,20n a a ==-，10a =，则0n a =，此时是等差数列，不是等比数列，若0a ≠，令()111,2n a a a ==-，12a a =，则12n n a a -=，2n ≥，此时不是等差数列， 所以数列{}n a 不一定是等比数列，可能是等差数列，所以A 错B 正确；又()()122,2,n n n n S a a S S a n n N *-=-=--≥∈，得122n n S S a -=+，要使{}n S 为等比数列，必有若0a =，已求得此时令()111,20n a a ==-，10a =， 则0,0n n a S ==，此时{}n S 是一个所有项为0的常数列，所以{}n S 不可能为等比数列，所以C 错误D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查根据数列的前n 项和n S 和通项n a 的关系辨析数列特点，采用通式通法，对参数进行分类讨论.12.已知方程22mx ny mn +=和0mx ny p ++=（其中0mn ≠且,m n R ∈，0p >），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ）A. B. C. D.【答案】AC 【解析】 【分析】将直线和曲线方程化简成m p y x n n =--，221x y n m+=，结合每个选项依次对参数的正负分析.【详解】由题：0mn ≠且,m n R ∈，0p >，方程22mx ny mn +=即221x y n m+=，0mx ny p ++=即m p y x n n =--，斜率m n -，y 轴截距p n-， A 选项根据椭圆，0n m >>，直线斜率10m n -<-<，y 轴截距0pn-<，可能； B 选项根据椭圆，0m n >>，直线斜率1m n -<-，但是y 轴截距0pn->不可能，所以B 选项不可能；C 选项根据双曲线，0,0n m ><，直线斜率0m n ->， y 轴截距0pn-<，可能； D 选项根据双曲线，0,0m n ><，直线斜率应该0mn->，与图中不一致，所以该选项不可能. 故选：AC【点睛】此题考查直线与曲线方程以及图象关系的辨析，根据图象逐一分析.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.已知向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--，若//a b ，则实数t 的值为_______． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求出参数的值.【详解】向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--， //a b ， 所以存在λ使b a λ=，()()2,,61,4,3t λ--=，即2463t λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得：28t λ=-⎧⎨=-⎩.故答案为：8-【点睛】此题考查根据向量平行的坐标表示求参数的值，属于简单题目.14.已知正实数x ，y 满足41x y +=，则11x y+的最小值为_______．【答案】9 【解析】 【分析】对11x y+乘以4x y +，利用基本不等式求解. 【详解】由题：41,0,0x y x y +=>>，则()11114x x y y y x +=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 414x y xy=+++14≥+ 9=当且仅当4y xx y=时，取得等号， 即224y x =时，取得等号，此时2x y =，41x y += 即11,36x y ==时，取得最小值9. 故答案为：9【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，注意利用基本不等式解题口诀“一正二定三取等”，求得最值要考虑能否取等号.15.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系xOy 中，桥拱所在抛物线的方程为_______，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为_______．【答案】 (1). 280x y =-（或2180y x =-） (2). 510,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】①设桥拱所在抛物线的方程22x py =-，经过()20,5-即可求解；②根据四个溢流孔轮廓线相同，从右往左设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，第二个抛物线()22:72C x p y '-=-，根据曲线过点()20,5A -，先求抛物线方程，再求点B 的坐标. 【详解】①设桥拱所抛物线方程22x py =-，由图，曲线经过()20,5-，代入方程()22025p =-⨯-，解得：40p =，所以桥拱所在抛物线方程280x y =-；②四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，第二个抛物线()22:72C x p y '-=-， 由图抛物线1C 经过点()20,5A -，则()()2201425p '-=-⨯-，解得185p '=， 所以()2236:75C x y -=-， 点B 即桥拱所在抛物线280x y =-与()2236:75C x y -=-的交点坐标， 设(),,714B x y x <<由()22803675714x yx y x ⎧=-⎪⎪-=-⎨⎪<<⎪⎩，解得：1054x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以点510,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭. 故答案为：①280x y =-（或2180y x =-）；②510,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解. 16.已知一族双曲线n E ：2221x y n n-=+（n *∈N ，且2020n ≤），设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，由n A 向n E 的两条渐近线作垂线，垂足分别为n B ，n C ．记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232020a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】5052021【解析】 【分析】设出n A 的坐标，依次表示出,n n n n A B B C 的长度，求出n n n A B C ∆的面积，即可求解. 【详解】由题：双曲线渐近线方程为y x =±，即0,0x y x y +=-=，两条渐近线互相垂直， 设()00,n A x y 是双曲线上的点，则220021x y n n-=+ ()00,n A x y 到两条渐近线的距离分别为：n n n n B C A A ==，n n n n A B A C ⊥，所以n n n A B C ∆的面积为()22002111112244n n n n n B C a A A x y n n =⋅==-=⨯+， 即11141n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭所以12320201111111422320202021a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11142021⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭5052021=故答案为：5052021【点睛】此题考查根据双曲线上点的坐标关系表示三角形面积，结合数列裂项相消求和，综合性比较强.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解下列不等式： （1）24120x x --≤； （2）223x x +<-． 【答案】（1）{}|26x x -≤≤ （2）{|3x x <或}8x > 【解析】 【分析】（1）因式分解成()()620x x -+≤，即可求出解集； （2）不等式变形2203x x +-<-，整理得803x x ->-，等价于解()()830x x -->. 【详解】解：（1）由24120x x --≤，可知()()620x x -+≤， 解得26x -≤≤，所以不等式的解集为{}|26x x -≤≤.（2）由223x x +<-可知2203x x +-<-，整理得803x x -+<-，即803x x ->-， 不等式等价于()()830x x -->，解得3x <或8x >，所以不等式的解集为{|3x x <或}8x >.【点睛】此题考查解二次不等式，关键在于进行因式分解，分式不等式一定转化为与之同解的整式不等式.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且35141350,,,S S a a a +=成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}nnb a 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =+；（2）3nn T n =⋅【解析】【详解】试题分析：（1）由3550S S +=，1413,,a a a 成等比数列求出等差数列{}n a 的两个基本量1a 及公差0d ≠从而得数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是一个等差数列与一个等比较数列之积，用错位相减法求其和． 解题时注意不要混淆公式． 试题解析：（1）依题得1121113254355022(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得13{2a d ==，1(1)32(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=+，即21n a n ∴=+ （2）1113,3(21)3n n n nn n n b b a n a ---==⋅=+⋅ 2135373(21)3n n T n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅①2313335373(21)3(21)3n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅②两式相减得：2312323232323(21)3n nn T n --=+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅13(13)32(21)31323n nn n n --=+⋅-+⋅-=-⋅ 3n n T n ∴=⋅考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的通项公式；3.数列的前项和公式；4.错位相消法19.如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为()8cm ，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为()220000cm ，设该铝合金窗的宽和高分别()a cm ，()b cm ，铝合金的透光部分的面积为()2S cm（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．（1）试用a ，b 表示S ；（2）若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？【答案】（1）S 6420512243a b ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ （2）宽为4003cm ，高为150cm 【解析】 【分析】（1）根据题意设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ，则324h b +=，243b h -=，即可表示出透光面积； （2）根据基本不等式642051224205126400141123S a b ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，等号成立的时刻即为所求.【详解】解：（1）铝合金窗的宽和高分别为()a cm ，()b cm ，0a >，0b >， 由已知20000ab =，①设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ， 则324h b +=，243b h -=，所以透光部分的面积()()()()22424241633b b S a a --=-+-6420512243a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）因为0a >，0b >，所以642464003a b +≥==， 所以642051224205126400141123S a b ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当64243a b =时等号成立，此时98b a =， 代入①式得4003a =，从而150b =，即当4003a =，150b =时，S 取得最大值.答：铝合金窗的宽度为4003cm ，高为150cm 时，可使透光部分的面积最大. 【点睛】此题考查函数模型的建立，根据函数关系利用基本不等式或勾型函数单调性求解最值.20.已知抛物线24x y =，过点()4,2P 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ．（1）求k 的取值范围；（2）若OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥，求k 的值．【答案】（1）2k >或2k <（2）12k =- 【解析】 【分析】（1）设直线的方程，联立直线和抛物线的方程得241680x kx k -+-=，解2420k k -+>即可；（2）结合韦达定理，计算0OM ON ⋅=的坐标表示即可. 【详解】解：（1）由题意，设直线l 方程为()24y k x -=-，联立方程组()2424x yy k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去x 得241680x kx k -+-=，要使直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ，则()21641680k k ∆=-->，即2420k k -+>，解得2k >或2k <综上，k 的取值范围为2k >+2k <（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）可知1x ，2x 是241680x kx k -+-=的两个根， 则124x x k +=，12168x x k =-，法一：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，因为()()12124242y y kx k kx k =-+⋅-+()()()2212124242k x x k k x x k =--++-()()()()22221684424242k k k k k k =---+-=-，所以有()2168420k k -+-=， 解得12k =或12k =-， 当12k =时，直线过原点，O ，M ，N 不能够构成三角形， 所以12k =-.法二：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，因为()2221212124416x x x x y y =⋅=，所以()21212016x x x x +=， 因为120x x ≠，所以1216x x =-， 即16816k -=-，解得12k =-， 此时满足（1）中k 的取值范围，所以12k =-. 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，根据位置关系求解参数的范围，根据其中的几何关系结合韦达定理求解参数.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点．（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求二面角A DF B --的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（32. 【解析】 【分析】 （1）设ACBD O =，连结AM ，EO ，通过证明OAME 为平行四边形得//AM EO ，或者建立空间直角坐标系，利用向量证明平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法分别求出两个半平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小；（3）根据向量的坐标表示，0PF BE ⋅=得()2210t λ--+=恒有解即可求出t 的范围.【详解】解：（1）法一：设ACBD O =，连结AM ，EO ，因为矩形ACEF 中M 是线段EF 的中点，O 是线段AC 的中点， 所以//EM AO ，EM AO =，所以OAME 为平行四边形， 故//AM EO ，又AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，所以//AM 平面BDE ；法二：由题意，正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， 因为平面ABCD平面ACEF CA =，EC AC ⊥，所以EC ⊥平面ABCD ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为2AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点，则()2,0,0D，()2,2,0A，()0,2,0B ，()0,0,E t ，()2,2,Ft ，22,,22M t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，从而22,,22AM t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,DE t =-，()2,2,0BD =-，()0,2,DF t =，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则由00n DE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可知20220x tz x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令1x =，则1y =，2z =，从而平面BDE 的一个法向量为21,1,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 计算可知2220AM n ⋅=--+=，又AM ⊄平面BDE ， 所以AM n ⊥，从而//AM 平面BDE .（2）若1t =，则()2,2,0BD =-，()0,2,1DF =，平面ADF 的一个法向量为()1,0,0p =，设平面BDF 的法向量为(),,q x y z =，则由00q DF q BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可知20220y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令1x =，则1y =，2z =-，从而平面BDF 的一个法向量为()1,1,2q =-， 设二面角A DF B --的平面角为θ， 因为θ为锐角，所以11cos cos ,122p q θ===⨯， 所以二面角A DF B --的大小为3π. （3）因为点P 在线段AC 上，而()2,2,0CA =，设CP CA λ=，其中[]0,1λ∈， 则()2,2,0CP λλ=，从而P 点坐标为()2,2,0λλ，于是()22,22,PF t λλ=--，而()0,2,BE t =-，则由PF BE ⊥可知0PF BE ⋅=，即()2210t λ--+=， 所以()2212t λ=-≤，解得2t ≤，故t 的最大值为2.【点睛】此题考查立体几何中的证明和计算问题，利用空间向量解决二面角的大小和探索性的问题，解体更加简便.22.如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，P 为椭圆上在第一象限内一点．（1）若1221PF F PAF PBF S S S ∆∆∆==． ①求椭圆的离心率e ；②求直线1PF 的斜率．（2）若2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，且130F BO ∠≤︒，求直线1PF 的斜率的取值范围．【答案】（1）①13e =；②3k = ；（2k ≤<【解析】【分析】 （1）①根据122PF F PAF S S ∆∆=得122F F F A =，即2a c c -=，可得离心率；②设1PF 的直线方程，由121PF F PBF S S ∆∆=，得111122PF PF =即可求得斜率； （2）根据130F BO ∠≤︒得离心率的范围1152e <≤，根据2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，计算化简得6b k c a=-，平方处理成关于离心率e 的函数关系，利用函数单调性求范围. 【详解】解：（1）①因为122PF F PAF S S ∆∆=，所以122F F F A =，所以2a c c -=，即3a c =，所以13e =. ②设1PF 的直线方程为()y k x c =+，因为121PF F PBF S S ∆∆=，所以111122PF PF =， 所以2b kc kc -=，则2b kc kc -=±，因为P 在第一象限，所以0b k c <<， 所以3b kc =，因3a c =，所以b =，所以3k =. （2）设12PF F S t ∆=，则22PAF a c S t c ∆-=，因为P 在第一象限，所以b k c<，1122PBF PF F S b kc S kc ∆∆-==，所以12PBF b kc S t kc∆-=⋅， 因2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，所以222a c b kc t t t c kc--=+⋅， 所以4kc ak ck b kc =-+-，所以()6k c a b -=，所以6b k c a=-， 所以6b b c a c <-，所以115e <<，又由已知130F BO ∠≤︒，所以11sin 2F BO ∠≤， 因为1sin F BO e ∠=，所以1152e <≤， 因为2222222236123612b a c k c ac a c ac a-==-+-+()2222113612161e e e e e --==-+-， 令61m e =-，所以16m e +=， 22221113526136m k m m m +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-- ⎪⎝⎭235111363535m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为1152e <≤，所以125m <≤， 所以1152m ≤<，所以232416k ≤<， 因为P 为椭圆上在第一象限内一点，所以0k >，所以4k ≤<【点睛】此题考查根据椭圆基本量的关系求离心率和直线斜率，根据直线与椭圆形成三角形面积关系，求解斜率范围，涉及函数与方程思想，转化与化归思想.。
高二数学第一学期期末试卷理科及答案(苏州中学)
苏州中学高二数学第一学期期末试卷一、选择题1.椭圆221167y x +=上的点M 到左准线的距离为53，则点M 到左焦点的距离为 ( ) A.8 B.5 C.274 D.542.直线1y kx =+与双曲线221x y -=有且仅有一个公共点，则k 的取值为 ( )A.一切实数B.1±或 D.1±3.动点M 在抛物线221x y =-移动，则点(01)A -，与点M 的连线中点的轨迹方程为 ( ) A.23y x = B.281y x =- C.24y x = D.241y x =+4.椭圆22221y x a b+=(0a b >>)的顶点(0)A a ，，(0)B b ，，焦点(0)F c -，，若90ABF ∠=，则椭圆的离心率等于 ( )5.圆1C ：22460x y x y +-+=与圆2C ：2260x y x +-=的交点为A B ，，则AB 的垂直平分线的方程为 ( )A.30x y ++=B.250x y --=C.390x y --=D.4370x y -+=6.与圆C ：22(5)3x y ++=相切，且纵截距和横截距相等的直线共有 ( )A.2条B.3条C.4条D.6条7.已知抛物线1C ：22y x =与抛物线2C 关于直线y x =-对称，则抛物线2C 的准线方程是 () A.18x = B.12x = C.18x =- D.12x =- 8.设0ab ≠，则不论k 取何值，直线1bx ay k+=与直线bx ay k -=的交点一定在 ( ) A.一个圆上 B.椭圆上 C.双曲线上 D.抛物线上9.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰好有一个空盒的方法数为 ()A.96B.144C.244D.57610.现有8名同学，从中选出2名男生和1名女生分别参加“资”、“生态”、“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的入选方法，那么8名同学中，男生和女生的人数分别为()A.男生2名，女生6名B.男生3名，女生5名C.男生5名，女生3名D.男生6名，女生2名二、填空题11.8个人站成一排，甲、乙两人之间恰有4个人的排法总数为 (结果用数字回答).12.用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，共有 个，其中偶数有 个(结果用数字回答).13.设12F F ，是双曲线22221y x a b-=的两个焦点，离心率为，P 是双曲线上一点，若1290F PF ∠=，121F PF S ∆=，则双曲线的渐近线方程是 ，该双曲线方程为 .14.已知点()P x y ，在曲线2cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，则32x y ω=+的最大值为 . 15.把椭圆221259y x +=绕左焦点按顺时针方向旋转90，则所得椭圆的准线方程为 . 三、解答题16.“渐升数”是指从左边第二位起每个数字都比前面的数字大的正整数，如125，23478等. ⑴问五位“渐升数”有多少个；⑵首位为“1”(即1××××)的“渐升数”有多少个；⑶前两位为“23”(即23×××)的“渐升数”有多少个；⑷若把五位“渐升数”按从小到大的顺序排列，第100个数为多少？(以上结果均用数字回答).17.已知椭圆的中心在原点，焦点12F F ，在x 轴上，P 为椭圆上一点，1PF =，2PF ，且过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.18.已知曲线22116y x m m-=-. ⑴当曲线是椭圆时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标；⑵当曲线是双曲线时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标.19.双曲线222x y a -=(0a >)的左焦点1F ，右焦点2F . 过1F 做倾斜角为α的弦BC ，其中(]42ππα∈，，当2F BC ∆面积最小值为a 的值.20.已知点(80)M -，，点P Q ，分别在x y ，轴上滑动，且MQ PQ ⊥，若点N 为线段PQ 的中点.⑴求动点N 的轨迹C 的方程；⑵点(10)H -，，过点H 做直线l 交曲线C 于A B ，两点，且HA HB λ=(1λ>)，点A 关于x 轴的对称点为D ，已知点(10)F ，，求证：FD FB λ=-； ⑶过点(10)F ，的直线交曲线C 于E K ，两点，点E 关于x 轴的对称点为G ，求证：直线GK 过定点，并求出定点坐标.参考答案一、选择题1～10. DBCAC CACBB二、填空题11.4320. 12.60，24. 13.12y x =±，2214x y -=. 14.11. 15.94y =，414y =-. 三、解答题16.⑴ 59126C =，五位“渐升数”共126个.⑵ 4870C =，首位是“1”的五位“渐升数”有70个. ⑶ 3620C =，前两位是“23”的五位“渐升数”有20个.⑷ ∵前两位是“24”的五位“渐升数”(24×××)有3510C =个，∴若将五位渐升数从小到大排列，第100个数为24789.17.椭圆方程为22221y x a b+=(0a b >>). 由条件，知2a ==a =.又2b a =2103b =. ∴椭圆方程为2231510y x +=. 18.⑴曲线为椭圆160016m m m m ->⎧⎪⇔->⎨⎪-≠-⎩1600m m m <⎧⇔⇔<⎨<⎩. 即m 的取值范围是(0)-∞，. 此时，椭圆的焦点在x 轴上，坐标为(40)±，. ⑵曲线为双曲线(16)0m m ⇔->016m ⇔<<. 即m 的取值范围是(016)，. 此时，双曲线的焦点在x 轴上，坐标为(40)±，.19.1(0)F ，，20)F ，. 设直线BC的方程为：x my =，其中cot m α=. 代入双曲线的方程222x y a -=，并整理得222(1)0m y a --+=.设11()B x y ，，22()C x y ，，则有121y y m +=-，21221a y y m ⋅=-. 212121212F BC S F F y y y y ∆=⋅-=⋅-21a m =-. ∵(]42ππα∈，，∴01m ≤<. 当0m =时，2F BC S ∆取得最小值2. 由条件，知2=∵0a >，∴a =20.⑴设()N x y ，，则(20)P x ，，(02)Q y ，， (82)MQ y =，，(22)PQ x y =-，.∵ MQ PQ ⊥，∴21640x y -+=.∴动点N 的轨迹方程为24y x =. ⑵设11()A x y ，，22()B x y ，，则11()D x y -，. 由HA HB λ=，知1122(1)(1)x y x y λ+=+，，， 即11121(1)x x y y λλ+=+⎧⎨=⎩①②要证明FD FB λ=-，只要证明1122(1)(1)x y x y λ--=--，，，即只要证明11121(1)x x y y λλ-=--⎧⎨=-⎩③④由②知④成立. 由①知，要证③，只要证112211(1)1x x x x +-=--+. 只要证1212(1)(1)(1)(1)0x x x x -+++-=，只要证121x x =.∵AB 过点(10)H -，，∴可设直线AB 的方程为(1)y k x =+， 代入24y x =，并整理得2222(24)0k x k x k +-+=. 由韦达定理，知21221k x x k==. ∵③，④都成立，∴FD FB λ=-. ⑶设233()4y E y ，，244()4y E y ，，则 直线EK 的方程为 34344()0x y y y y y -++=.∵EK 过点(10)F ，，∴34400y y -+=，∴344y y =-. ∵G 与E 关于x 轴对称，∴233()4y G y -，. ∴直线GK 的方程为34344()0x y y y y y --+-=， ∵344y y =-，∴GK 的方程为344()40x y y y --++=，∴ 直线GK 过定点(10)-，.。
苏教版高二年级上期末试题含答案
高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x ﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则z的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；当x＜0时，y=2﹣x2=1，解得x=±1，应取x=﹣1；综上，x的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线mx﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线mx﹣y﹣3m﹣2=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆3x2+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（x0，y0），M（x M，y M），∵，∴=（x0+c，y0）=（x M+c，y M）∴M（x0﹣c，y0），=（x0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（x0，y0）∴（x0﹣c）x0+y02=0即x02+y02=2cx0，联立方程得：，消去y0得：c2x02﹣2a2cx0+a2（a2﹣c2）=0，解得：x0=或x0=，∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，由z+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴z=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0⇒∃x∈[2，16]，有解．又x∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得k∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴k=2；②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（x，y），x2+y2=4，，，因为，所以（x﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（x﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2ax+4y﹣a2﹣8=λ2（2mx+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（x0，y0），M是线段NE的中点，N（2x0﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于x，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8x+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：x2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（x+4），又左准线l：x=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x0，y0），由=λ1，得（x1+2，y1+3）=λ1（x0﹣x1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：x0+y0+2=0，即点Q在定直线x﹣y+2=0上．。
高二数学苏教版高二数学上学期期末试卷
A BCD第一学期期末考试高二数学试卷(理)（考试时间为120分钟；总分为160分） 一、选择题（每题5分；共计50分） 1．已知()ln f x x =；则()f e '的值为A ．1B ．-1C ．eD ．1e2．设(,4,3)a x =；(3,2,)b z =；且//a b ；则xz 等于 A ．4-B ．9-C ．9D ．6493．函数()y f x =的图象如图所示；则导函数()y f x '=的图象大致是4．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5； 0)的距离是15； 则点P 到点(－5； 0)的距离是 A ．7 B ．23 C ．11或19 D ．7或235．已知实数x ；y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥≤0420y x x y y ；则z = x + 3y 的最小值是A ．316 B ．316-C ．12D ．－126．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的 A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同7．“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不允分也不必要条件8．设P 是ABC ∆所在平面外一点；若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅；则点P 在这 个平面上的射影是ABC ∆的A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心9．删除正整数数列1；2；3；……中的所有完全平方数；得到一个新数列．这个新数列 的第2007项是A ．2050B ．2051C ．2052D ．2053 10．已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立；则正实数a 的最小值为 A ．8 B ．6 C ．4 D ．2二、填空题（每题5分；共计30分）11．双曲线14322=-x y 的渐近线方程是 ▲ ． 12．命题：“若0xy =；则0x =或0y =”的否命题是 ▲ ．13．等差数列的第2；3；6项顺次成等比数列；该等差数列不是常数列；则这个等比数列的公比为 ▲ ．14．设点P 在抛物线212x y =上；且点P 到此抛物线的焦点的距离为6；则点P 的坐标 为 ▲ ．15．在曲线sin y x =(0)x π<<上取一点M ；使过M 点的切线方程与直线y =23x 平行；则M 点的坐标是点 ▲ ．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点；k 为正常数；||||PA PB k +=；则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 ▲ ．三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点；它的准线经过双曲线2C ：22221x y a b -=的一个焦点1F 且垂直于2C 的两个焦点所在的轴；若抛物线1C 与双曲线2C 的一个交点是2(,33M ． （1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标；（2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．18．（本题满分16分）如图；已知长方体1111ABCD A BC D -中；2AB =；11AA =；直 线BD 与平面11AA B B 所成的角为30；AE 垂直 BD 于点E ；F 是11A B 的中点．（1）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； （2）求直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值；19．（本小题满分16分）已知数列1230,,,a a a ；其中1210,,,a a a 是首项为1；公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0d ≠）．（Ⅰ）若20a = 30；求d ；（Ⅱ）试写出a 30关于d 的关系式；并求a 30的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列；可以使得403130,,,a a a 是公差为d 3的等差数列；请你依次类推；把已知数列推广为无穷数列；试写出10n a 关于d 的关系式（n ∈N *）；（Ⅳ）在（Ⅲ）条件下；且1d ≠；试用d 表示此数列的前100项和10012100...S a a a =+++．20．（本小题满分16分）已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时；都取得极值． (1) 求,a b 的值；(2)若3(1)2f -=；求()f x 的单调区间和极值； (3)若对[1,2]x ∈-都有3()f x c< 恒成立；求c 的取值范围．21．（本小题满分18分）已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点；点A 是长轴的一个顶点；BC 过椭圆中心O ；如图；且0AC BC ⋅=；||2||BC AC =． （1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ；则总存在实数λ；使AB PQ λ=；请给出证明．D 1C 1B 1A 1EFDCBA班级________________ 姓名________________ 学号_________________ ……………………………………装…………………………………………………………订…………………………线……………………第一学期期末考试高二数学试卷答卷（理）二、填空题（每题5分；共计30分）11． 12．13． 14． 15． 16．三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）18．（本题满分16分）D 1C 1B 1A 1EFDCB A21．（本题满分18分）…………………………装……………………………………………………订……………………………………………线…………………………………第一学期期末考试高二数学试卷参考答案（理）一、选择题（每题5分；共计50分）二、填空题（每题5分；共计30分）11．2y x =±； 12．若0xy ≠；则0x ≠且0y ≠； 13．3 14．(6,3)±； 15．1(,)62π； 16．②③三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点；它的准线经过双曲线2C ：22221x y a b -=的一个焦点1F 且垂直于2C 的两个焦点所在的轴；若抛物线1C 与双曲线2C 的一个交点是2(,33M ．（1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标； （2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．解：（1）由题意可设抛物线1C 的方程为22y px =． (2分)把2(3M 代入方程为22y px =；得2p = (4分)因此；抛物线1C 的方程为24y x =． (5分) 于是焦点(1,0)F (7分)（2）抛物线1C 的准线方程为1y =-；所以；1(1,0)F - (8分) 而双曲线2C 的另一个焦点为(1,0)F ；于是17522333a MF MF =-=-= 因此；13a =(10分) 又因为1c =；所以22289b c a =-=． 于是；双曲线2C 的方程为2211899x y -=． (12分) 因此；双曲线2C 的离心率3e =． (14分)18．（本题满分16分）如图；已知长方体1111ABCD A BC D -中；2AB =；11AA =；直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30；AE垂直BD 于点E ；F 是11A B 的中点． （1）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； （2）求直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值；解：在长方体1111ABCD A BC D -中；以AB 所在的直线为x 轴；以AD 所在的直线为y 轴；以1AA 所在的直线为z 轴；建立如图 所示空间直角坐标系．由已知2AB =；11AA =；可得(0,0,0)A ；(2,0,0)B ；(1,0,1)F ．又AD ⊥平面11AA B B ；从而BD 与平面11AA B B 所成的角为30DBA ∠=；而2AB =； AE BD ⊥；1AE =；233AD =；因此易得13(,,0)22E ；23(0,,0)3D ． (4分)（1）因为1(2AE =；(1,0,1)BF =-；所以12cos ,42AE BF AE BF AE BF-⋅<>===-⋅．于是；异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为4． (10分) （2）易知直线1AA 的一个方向向量为(0,0,1)m =；设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量；(2,3BD =-；由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩00n BF n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩020x z x y -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x z y =⎧⎪⇒= 取1x =；得(1,3,1)n =；所以5cos ,5m n m n mn⋅<>==⋅；即直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值5． (16分)19．（本小题满分16分）已知数列1230,,,a a a ；其中1210,,,a a a 是首项为1；公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0d ≠）． （Ⅰ）若20a = 30；求d ；（Ⅱ）试写出a 30关于d 的关系式；并求a 30的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列；可以使得403130,,,a a a 是公差为d 3的等差数列；请你依次类推；把已知数列推广为无穷数列；试写出10n a 关于d 的关系式（n ∈N *）；（Ⅳ）在（Ⅲ）条件下；且1d ≠；试用d 表示此数列的前100项和10012100...S a a a =+++． 解：（Ⅰ）1010a =20101030a d =+=于是；2d = (4分)（Ⅱ）1010a =201010a d =+22302010101010a a d d d =+=++ 因此；230110()7.57.52a d =++≥ (8分) （Ⅲ）32340301010101010a a d d d d =+=+++ 11010,11010......1010(1),11n n n n d a d d d d d-=⎧⎪=+++=⎨-≠⎪-⎩ (12分) （Ⅳ）10012100......S a a a =+++12101112209192100(......)(......)......(......)a a a a a a a a a =++++++++++++29102090110110110110(10)(1010)(1010)...(1010)2222a d a d a d ++++=⨯++⨯++⨯+++⨯2910209010(......)55(1......)a a a d d d =++++++++29100(9......)1d d d d =-----+101551d d-⋅- 1110255451055955(1)d d d d +-+=- (16分)20．（本小题满分16分）已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时；都取得极值． (1) 求,a b 的值；(2)若3(1)2f -=；求()f x 的单调区间和极值； (3)若对[1,2]x ∈-都有3()f x c <恒成立；求c 的取值范围． 解：（1）f ′(x )＝3x 2＋2a x ＋b ＝0．由题设；x ＝1；x ＝－错误!为f ′(x )＝0的解．－错误!a ＝1－错误!；错误!＝1×(－错误!)．∴a ＝－错误!；b ＝－2． (4分)经检验得：这时1x =与23x =-都是极值点． (5分)（2）f (x )＝x 3－错误!x 2－2 x ＋c ；由f (－1)＝－1－错误!＋2＋c ＝错误!；c ＝1．∴f (x )＝x 3－错误!x 2－2 x ＋1．错误!；1）． 当x ＝－错误!时；f (x )有极大值；f (－错误!)＝错误!；当x ＝1时；f (x )有极小值；f (1)＝－错误!．(10分)（3）由（1）得；f ′(x )＝(x －1)(3x ＋2)；f (x )＝x 3－错误!x 2－2 x ＋c ；f (x )在[－1；－错误!)及（1；2]上递增；在（－错误!；1）递减．而f (－错误!)＝－错误!－错误!＋错误!＋c ＝c ＋错误!．f (2)＝8－2－4＋c ＝c ＋2． ∴ f (x )在[－1；2]上的最大值为c ＋2．∴ 32c c+< ∴ 2230c c c+-< ∴ 20230c c c >⎧⎨+-<⎩ 或20230c c c <⎧⎨+->⎩∴ 01c <<或3c <-． (16分)21．（本小题满分18分）已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点；点A 是长轴的一个顶点；BC 过椭圆中心O ；如图；且0AC BC ⋅=；||2||BC AC =．（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ；则总存在实数λ；使AB PQ λ=；请给出证明．解：（1）2a =；即2OA =；02AC BC ACB π⋅=⇒∠=． 12OC OB BC AC === ∴ 2OA OC ==∴ (1,1)C (4分)如图建立直角坐标系；设椭圆的方程为22221x y a b+=(0)a b >>． 则由(1,1)C 代入22221x y a b+=得22111a b +=； 把2a =代入22111a b +=得243b =． 所以椭圆的方程为223144x y += (8分) （2）设PCQ ∠的平分线CD 交OA 于点D ；则CD OA ⊥．由PCD QCD ∠=∠可知直线PC 与QC 的倾斜角互补． (10分) 于是直线PC 与QC 的斜率互为相反数；因此可设：直线PC 的方程为1(1)y k x -=-和直线QC 的方程为1(1)y k x -=--．由2231441(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩解得2222361321(,)3131k k k k P k k ----+++； (14分) 同理由2231441(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=--⎩解得2222361321(,)3131k k k k Q k k +--++++． ∴ 直线PQ 的斜率13PQ k =；而13AB k =（特例）． (16分) ∴ //PQ AB∴ 总存在实数λ；使AB PQ λ=． (18分)。
江苏省苏州市数学高二上学期理数期末考试试卷
江苏省苏州市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·安平期末) 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A . 180B . 200C . 128D . 1622. （2分） (2017高二下·临淄期末) "m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件3. （2分） (2020高二上·来宾期末) 命题p：在数列中，“ ，”是“是公比为的等比数列”的充分不必要条件；命题q：若，，则为奇函数，则在四个命题，，，中，真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2019高一上·浠水月考) 若关于的不等式的解集为或 ,则实数的值为（）A . 1B . 0C . 2D .5. （2分）当时，则下列大小关系正确的是（）A .B .C .D .6. （2分）设等差数列｛｝{ }的前n 项和为，，若，则=（）A .B .C .D .7. （2分）双曲线的焦点为（2.0）,则其渐近线方程为（）A .B .C .D .8. （2分）向量，，且//，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二上·和平期末) 已知 =（2，﹣3，1）， =（2，0，3）， =（0，1，﹣2），则 +4 ﹣3 等于（）A . （4，﹣4，6）B . （﹣6，﹣6，﹣5）C . （10，0，7）D . （10，﹣6，19）10. （2分） (2019高一下·广东期末) 三边，满足，则三角形是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等边三角形D . 直角三角形11. （2分）在中，内角A,BC的对边分别是a,b,c，若，，则A的值为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°12. （2分）椭圆上有两点P、Q ,O为原点,若OP、OQ斜率之积为,（）A . 4B . 64C . 20D . 不确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·北京期中) 命题“ ”的否定是________.14. （1分） (2019高二上·河南月考) 椭圆的短轴长是________.15. （1分） (2015高二上·莆田期末) 已知 =（2，﹣3，1）， =（2，0，3），则• =________．16. （1分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是________三、解答题 (共7题；共52分)17. （5分） (2017高二上·阜宁月考) 已知命题；命题. 若“p且q”为真命题，求实数m的取值范围.18. （10分） (2019高二上·西安月考) 如图，在三棱锥中，，，O为的中点．（1）证明：平面；（2）若点M在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．19. （10分） (2017高二上·四川期中) 已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为6．（1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为2，求的值．20. （2分）(2016·太原模拟) 如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1 ．（1）求证：A1B⊥AD；（2）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．21. （10分） (2018高二上·济源月考) 已知a,b,c分别是的三个内角A,B,C的对边，（1）若的面积 = ，c=2，A= ，求a,b的值；（2）若，且，试判断三角形的形状.22. （5分） (2019高二下·雅安月考) 已知中心在原点的双曲线的右焦点为 ,右顶点为 .（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且 (其中为坐标原点)，求实数取值范围.23. （10分）(2019·黄冈模拟) 如图，在四棱锥中，，，，平面 .（1）求证：平面；（2）若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共52分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
2021-2022学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角为( )A. 0B.C.D. 2.已知平面的一个法向量为，则所在直线l 与平面的位置关系为( )A. B.C. l 与相交但不垂直D.3.若数列是等差数列，，则( )A.B.C.D.4.已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，M 是抛物线上一点，过点M 作于若是边长为2的正三角形，则 ( )A.B.C. 1D. 25.在平行六面体中，M 为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )A. B. C. D.6.椭圆上的点P 到直线的最短距离为( )A.B.C.D.7.若数列满足，则称数列为“半差递增”数列．已知“半差递增”数列的前n项和满足，则实数t的取值范围是( )A. B. C. D.8.已知线段AB的端点B在直线l：上，端点A在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线，若曲线与圆有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线l与双曲线右支交于点若，且有一个内角为，则双曲线的离心率可能是( )A. B. 2 C. D.10.如图，已知正方体的棱长为1，，则下列说法正确的有A.B. ，都有C. ，使得D. 若平面，则直线CD与平面所成的角大于11.如图1，曲线为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜宿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用．如图2，苜宿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜宿叶的形状．给出下列结论正确的是A. 曲线C只有两条对称轴B. 曲线C仅经过1个整点即横纵坐标均为整数的点C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2D. 过曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为212.已知数列满足，，其中，下列说法正确的是( )A. 当时，数列是等比数列B. 当时，数列是等差数列C. 当时，数列是常数列D. 数列总存在最大项三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若，则与向量同方向的单位向量的坐标为__________.14.小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支．如图，P为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，，，，双曲线的焦点位于直线PC上，则该双曲线的焦距为__________15.已知数列满足，且，则的值为__________.16.已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于两点，以F为圆心的圆交线段AB于两点从上到下依次为，若，则该圆的半径r的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2021-2022学年江苏省苏州市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省苏州市高二上学期期末数学试题一、单选题 1．直线3x π=的倾斜角为（ ）A ．0B ．2π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】分析出直线3x π=与x 轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.【详解】由题意可知，直线3x π=与x 轴垂直，该直线的倾斜角为2π. 故选：B.【点睛】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题． 2．已知平面α的一个法向量为n =（2，－2，4）， AB =（－1，1，－2），则AB 所在直线l 与平面α的位置关系为（ ） A ．l ⊥αB ．l α⊂C ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α【答案】A【分析】由向量AB 与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系． 【详解】因为2AB n -=，所以//AB n ，所以AB α⊥． 故选：A ．3．若数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，a 1=1，313a =-，则a 5=（ ）A ．79-B ．35 C ．35D ．79【答案】B【分析】令1n =、3n = 可得等差数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出5a . 【详解】令1n =得1211a =+， 令3n =得3231a =+， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为1d =，所以5322232511a a =+=+=++，解得535a ，故选：B.4．已知抛物线y 2= 2px （p > 0）的焦点为F ，准线为l ， M 是抛物线上一点，过点M 作MN ⊥l 于N .若△MNF 是边长为2的正三角形，则p =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】根据正三角形的性质，结合抛物线的性质进行求解即可.【详解】如图所示：准线l 与横轴的交点为A ，由抛物线的性质可知：AF p =， 因为若△MNF 是边长为2的正三角形，所以2NF =，3MNF π∠=， 显然236ANF πππ∠=-=，在直角三角形ANF 中，1sin 1122AF AFANF AF p NF ∠=⇒=⇒=⇒=， 故选：C5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中， AC 与BD 的交点为M .设11111,,,===A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A ．1122a b c --+B ．1122a b c -++C ．1122a b c -+D ．1122a b c ++【答案】B【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD 代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c故选：B.6．椭圆22143x y +=上的点P 到直线x + 2y - 9= 0的最短距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可. 【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为20x y b ++= ，则222222202421203412143x y b y x b x bx b x y x y ++=⎧-=+⎧⎪⇒⇒++-=⎨⎨+=+=⎩⎪⎩ 所以()()222441204b b b ∆=-⨯-=⇒=±所以椭圆上点P 到直线290x y +-=的最短距离为d ==故选：A7．若数列{an }满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<……，则称数列{an }为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn }的前n 项和Sn 满足*221()n n S c t n N +=-∈，则实数t的取值范围是（ ） A ．1(,)2-∞B ．（-∞，1）C ．1(,)2+∞D ．（1， +∞）【答案】A【分析】根据*221()n n S c t n N +=-∈,利用递推公式求得数列{}n c 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数t 的取值范围.【详解】因为*221()n n S c t n N +=-∈所以当2n ≥时, 11221n n S c t --+=-两式相减可得1220n n n c c c -+-=,即123n n c c -=,所以数列{}n c 是以公比23q =的等比数列 当1n =时,1213t c -=所以121233n n t c --⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则1221121221221223363183n n n n n t t t c c -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112121212212233233183nn n n n t t t c c --+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由“差半递增”数列的定义可知21212212183183n n t t ----⎛⎫⎛⎫⋅<⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得()221213t t -<-⨯解不等式可得12t即实数t 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭故选：A.8．已知线段AB 的端点B 在直线l ：y =-x +5上，端点A 在圆C 1：22(1)4x y ++=上运动，线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C 2，若曲线C 2与圆C 1有两个公共点，则点B 的横坐标的取值范围是（ ） A ．（-1，0） B ．（1，4） C ．（0，6） D ．（-1，5）【答案】D【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()M x y ，，由中点坐标公式求得121222x x x y y y =-⎧⎨=-⎩，代入圆C 1：22(1)4x y ++=得点点M 的轨迹方程22221()122x y x y -⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，再根据两圆的位置关系建立不等式13<，代入225y x =-+，求解即可得点B 的横坐标的取值范围.【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()M x y ，，则1212+2+2x x x y y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以121222x x x y y y =-⎧⎨=-⎩， 又因为端点A 在圆C 1：22(1)4x y ++=上运动，所以()2222(21)24x x y y -++-=，即22221()122x y x y -⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，因为曲线C 2与圆C 1有两个公共点，所以212+1-<<，又因B 在直线l ：y =-x +5上，所以225y x =-+，所以212+1-，整理得22224+1318x x <-<，即2222224+11>0450x x x x ⎧-⎨--<⎩，解得215x -<<，所以点B 的横坐标的取值范围是()15-，， 故选：D. 二、多选题9．已知双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 与双曲线右支交于点P .若12||2||PF PF =，且12PF F △有一个内角为120，则双曲线的离心率可能是（ ） AB ．2 CD【答案】AD【分析】当12120F PF ∠=时，由122PF PF a -=，122PF PF =，求得2PF ，1PF ，12F F ，利用余弦定理可得答案；当21120PF F ∠=时， 122PF PF a -=，122PF PF =，求出2PF ，1PF ，12F F ，由余弦定理可得答案.【详解】当12120F PF ∠=时，122PF PF a -=，122PF PF =， 所以22PF a =，14=PF a ，122F F c =，所以22121221212cos 2+-∠=⨯PF PF F F F PF PF PF ，即222224c 116411o 62s 0+-==-c a a a ，化简得227c a=，所以7e =， 当21120PF F ∠=时，122PF PF a -=，122PF PF =， 所以22PF a =，14=PF a ，122F F c =，所以221221212221cos 2+-∠=⨯F F PF PF PF F F F PF ，即22224c s 4112810o 6=--+=ac a c a ，化简得2230c ac a +-=，解得1312e -=， 故选：AD.10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，1AH t AA =（t ∈[0， 1]），则下列说法正确的有（ ）A ．1(1)CH tCA t CA =+-B ．[]0,1t ∀∈，都有0CH BD ⋅=C ．[]0,1t ∃∈，使得1//DH B CD ．若平面α⊥CH ，则直线CD 与平面α所成的角大于4π【答案】BC【分析】根据空间向量的线性运算、数量积运算计算，空间向量平行的向量表示、直线与平面所成角的向量法判断各选项．【详解】111()(1)CH CA AH CA t AA CA t CA CA tCA t CA =+=+=+-=+-，A 错； ()CH BD CA AH BD CA BD AH BD AH BD ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅111()0t AA BA AD t AA BA t AA AD ⋅+=⋅+⋅=，B 正确； 1111BC B B BC A A AD A D =+=+=， 1t =时，11DH DA AH DA AA BC =+=+=-，C 正确；如图，CD ⊥平面11ADD A ，DH ⊂平面11ADD A ，所以CD DH ⊥， 设正方体棱长为1，则AH t =，21DH t =+，2tan 11DHDCH t DC∠==+≥，[0,1]t ∈， 所以4DCH π∠≥，平面α⊥CH ，CH 是平面α的一个法向量，所以CD 与平面α所成的角与DCH ∠互余，因此CD 与平面α所成的角不大于4π．D 错． 故选：BC ．11．如图1，曲线C ：22322()16x y x y +=为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用.如图2，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状给出下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 只有两条对称轴B ．曲线C 仅经过1个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2D ．过曲线C 上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2 【答案】BCD【分析】对于A ，由图象可得答案，对于B ，由图象结合曲线方程判断即可，对于C ，由曲线方程结合基本不等式可判断，对于D ，利用基本不等式判断【详解】因为曲线上任一点(,)x y ，关于x 轴的对称点(,)x y -满足曲线方程，关于y 轴的对称点(,)x y -满足曲线方程，关于直线y x =的对称点(,)y x 满足曲线方程，关于直线y x =-的对称点(,)y x --满足曲线方程，所以可知曲线有4条对称轴，所以A 错误，由222(0,0)x y xy x y +>>≥，得222x y xy ≤+，所以()2223222222216()164()4x y x yx y x y ++=≤=+，所以224x y +≤，当且仅当x y =时等号成立，所以曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2，所以C 正确，由图可知将第一象内的整数点(1,1),(1,2),(2,1)分别代入曲线方程中，等号不成立，所以曲线在第一象限不经过整数点，由对称性可知曲线只经过原点，所以曲线C 仅经过1个整点，所以B 正确，由曲线的对称性，在第一象限内的曲线上任取一点(,)x y ，则过这一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积为2222x y S xy +=≤≤，当且仅当x y =时等号成立，所以所围成的矩形的面积的最大值为2，所以D 正确， 故选：BCD12．已知数列{an }满足*1111,(2,)222n n n a a a n n N λ-==+≥∈，其中λ∈{－1，0，1}，下列说法正确的是（ ）A ．当λ=0时，数列{an }是等比数列B ．当λ=－1时，数列{（－2）nan }是等差数列C ．当λ=1时，数列2n n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是常数列D ．数列{an }总存住最大项. 【答案】ACD【分析】由等比数列的定义判断A ，由等差数列的定义判断BC ，由数列的单调性判断D ．【详解】0λ=时，112n n a a -=，又1102a =≠，所以{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，A 正确；1λ=-时，11122n n n a a -=-，11221n n n n a a --=-，即11221n n n n a a ---=-， 所以数列{2}nn a 是等差数列，因此数列{(2)}n n a -不是等差数列，B 错；1λ=时，11122n n n a a -=+，11221n n n n a a ---=，{2}n n a 是等差数列，又121a =， 所以2nn a n =，2n n n a =，从而02n n n a -=是常数，C 正确；由以上讨论知0λ=时，{}n a 最大值是112a =， 0λ=时，21(1)(1)2nn a n n =+-⨯-=-，22n n na -=，2n ≥时，0na ≤，所以数列最大值为1a 12=； 1λ=时，2n nn a =，11111222n nn n n n n na a ++++--=-=0≤，即1(2)n n a a n +<≥，21a a =，{}n a 有最大项12， D 正确． 故选：ACD ． 三、填空题13．若(11a =-，，，则与向量a 同方向的单位向量的坐标为____________.【答案】1122⎛- ⎝⎭， 【分析】由空间向量的模的计算求得向量的模，再由单位向量的定义求得答案.【详解】解：因为(11a =-，，，所以(21+2a =-，所以与向量a 同方向的单位向量的坐标为112222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 故答案为：112222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，. 14．小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支.如图，P 为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，AB ⊥PC ，AB = 60 cm ，PC = 20cm ，双曲线的焦点位于直线PC 上，则该双曲线的焦距为____cm.【答案】252【分析】建立直角坐标系，利用代入法、双曲线的对称性进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设双曲线的标准方程为：22221(0,0,)x y a b x a a b -=>>≥， 因为该双曲线的渐近线相互垂直，所以a b =，即222x y a -=，因为AB = 60 cm ，PC = 20cm ，所以点B 的坐标为：(20,30)a +，代入222x y a -=，得： 22225(20)302a a a +-=⇒=，因此有22625625252442c a b =+=+=，所以该双曲线的焦距为252222522c =⨯=， 故答案为：25215．已知数列{an }满足an +2=an +1－an （n ∈N ），且a 1= 2，a 2= 3，则a 2022的值为_________. 【答案】1-【分析】根据递推关系求出数列的前几项，得周期性，然后可得结论．【详解】由题意3211a a a =-=，4132a =-=-，5213a =--=-，63(2)1a =---=-，71(3)2a =---=，82(1)3a =--=，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6，所以2022337661a a a ⨯===-． 故答案为：1-．16．已知抛物线C ：y 2= 8x 的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，以F 为圆心的圆交线段AB 于C ，D 两点（从上到下依次为A ，C ，D ，B ），若||||||||AC BD FC FD ≥，则该圆的半径r 的取值范围是____________.【答案】02r <≤【分析】设出直线l 的方程为2x my =+，代入抛物线方程，消去x ，可得关于y 的二次方程，运用韦达定理及抛物线的定义，化简计算可求解.【详解】抛物线C ：y 2= 8x 的焦点为(2,0)F ,设以F 为圆心的圆的半径为r ， 可知||||FC FD r ==，||||,||||AC AF r BD BF r =-=-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为2x my =+，则12||2,||2AF x BF x =+=+， 代入抛物线方程28y x =，可得28160y my --=，即有121216,8y y y y m =-+=， 221212488y y x x =⋅=，222212121212()284888y y y y y y x x m +-+=+==+，2||||||||||||(||)(||)||||AF BF AC BD FC FD AF r BF r r r AF BF ≥⇒--≥⇒≤+，即212122122()416162488x x x x m r x x m ++++≤==+++， 所以02r <≤. 故答案为：02r <≤ 四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知直线l ：mx －（2－m ）y －4=0与直线h ：x +y －2=0的交点M 在第一三象限的角平分线上. (1)求实数m 的值；(2)若点P 在直线l上且|||PM PO =，求点P 的坐标. 【答案】(1)3 (2)(2,2)-【分析】（1）求出直线h 与直线y x =的交点坐标，代入直线l 的方程可得m 值； （2）设(,43)P a a -，代入已知等式可求得a 值，得坐标． (1)由20x y y x +-=⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)M ．所以(2)40m m ---=，3m =． (2)由（1）直线l 方程是340x y +-=，P 在直线l 上，设(,43)P a a -，2a =， 所以P 点坐标为(2,2)-． 18．已知函数(),f x x =，从下列两个条件中选择一个使得数列{an }成等比数列.条件1：数列{f （an ）}是首项为4，公比为2的等比数列； 条件2：数列{f （an ）}是首项为4，公差为2的等差数列. (1)求数列{an }的通项公式；(2)求数列()n n f a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1)12n n a +=(2)332n nn T +=-【分析】（1）根据所给的条件分别计算后即可判断，再通过满足题意的求出通项； （2）由（1）可得()12n n n f a n a +=，再通过错位相减法求和即可. (1)若选择条件1，则有11()422n n n n f a a -+==⨯=，可得22nn a =，不满足题意；若选择条件2，则有()4+2(1)22n n f a n n ==-=+，可得12n n a +=，满足题意，故12n n a +=.(2)由（1）可得1()22212n n n n f a n n a +++==， 所以231234122222n n nn n T -+=+++++………① 因此有234112341222222n n n n n T ++=+++++……….② ①-②可得23111111122222n n n n T ++=++++-，即21111122222n n nn T -+=++++-， 化简得332n nn T +=-. 19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB =60°，PD ⊥底面ABCD ，点F 为棱PD 的中点，二面角D FC B --的余弦值为66.(1)求PD 的长；(2)求异面直线BF 与P A 所成角的余弦值； (3)求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值. 【答案】(1)26705【分析】（1）以DC 为y 轴，DP 为z 轴，x 轴与AB 垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，设(0,0,)F t ，0t >，由空间向量法求二面角，从而求得t ，得PD 长；（2）由空间向量法求异面直线所成的角； （3）由空间向量法求线面角． (1)以DC 为y 轴，DP 为z 轴，x 轴与AB 垂直，由于菱形ABCD 中60DAB ∠=︒，x 轴是AB 的中垂线，建立如图坐标系，则(3,1,0)A -，(3,1,0)B ，(0,2,0)C ，设(0,0,)F t ，0t >，(3,1,)BF t =--，(0,2,)CF t =-，设平面BCF 的一个法向量为(,,)m x y z =，则2030m CF y tz m BF x y tz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令y t =，则2z =，3=x ，即3(,,2)3m t t =，平面DCF 的一个法向量是(1,0,0)n =， 因为二面角D FC B --6所以22336cos ,6143t m n m n m nt t ⋅<>===++，6t =（负值舍去）． 所以226PD t ==；(2)由（1）(0,0,26)P ，(3,1,26)PA =--，(3,6)BF =--， 370cos ,2810BF PA BF PA BF PA⋅-<>===⨯，所以异面直线BF 与P A 70(3)由（1）平面BCF 的一个法向量为(2,6,2)m =，又(3,1,6)AF =-， 66265cos ,1210m AF m AF m AF⋅-++<>===⨯ 所以直线AF 与平面BCF 5． 20．已知数列{}n a 满足*111,4()n n a a a n n N +=+=∈(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)是否存在正实数a ，使得不等式1211231112n n n a a aa a a a a a+⋅⋅<-+++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)21n a n =-(2)a >【分析】（1）通过构造新数列求解； （2）由（1）得121121352121112462n n n a a an a n a a a n+-⋅⋅=⋅⋅⋅+++调性，从而得到最值，再解不等式即可求解. (1)由14n n a a n ++=，假设其变形为1(1)()n n a n a n λμλμ++++=-++，则有242201λλμλμ-==-⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩，所以12(1)1(21)n n a n a n +-++=--+，又1210a -+=. 所以210n a n -+=，即21n a n =-. (2) 由（1）2112n n a n a n-=+， 所以121121352121112462n n n a a an a n a a a n+-⋅⋅=⋅⋅⋅+++令13521()2462n f n n -=⋅⋅⋅13521(1)2462n f n n -+=⋅⋅⋅ 所以(1)1()f n f n +=，所以()f n 是递减数列， 所以max 1()(1)2f n f ===所以使得不等式121231112n n aa a a aa a a⋅⋅-+++对一切正整数n 都成立， 则32a a ->260(0a a a ->⇒->， 因为a 为正实数，所以a >21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2= 4x 经过点A （1，2），直线l ：y = kx + b 与抛物线C 交于M ，N 两点.(1)若4MN OA =，求直线l 的方程；(2)当AM ⊥AN 时，若对任意满足条件的实数k ，都有b =mk +n （m ，n 为常数），求m +2n 的值.【答案】(1)42150x y --= (2)3或9-【分析】（1）由4MN OA =可得2MN OA k k ==，则可得直线l 为2y x b =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，然后将直线方程代入抛物线方程中消去y ，再利用根与系数的关系，由4MN OA =可得214-=x x ，三个式子结合可求出b ，从而可得直线方程，（2）将直线方程代入抛物线方程中消去y ，再利用根与系数的关系表示出1212,x x x x +，再结合直线方程表示出1212,y y y y +，由AM ⊥AN 可得1212(1)(1)(2)(2)0x x y y --+--=，化简结合前面的式子可求出2b k =-或52b k =--，从而可可求出,m n 的值，进而可求得答案 (1)因为A （1，2），4MN OA =， 所以20210MN OA k k -===-， 则直线l 为2y x b =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，由242y x y x b⎧=⎨=+⎩，得224(44)0x b x b +-+=， 由22(44)160b b ∆=-->，得12b < 则212121,4b x x b x x +=-=，因为4MN OA =，所以2121(,)4(1,2)(4,8)x x y y --==，所以214-=x x ，所以()22211212()416x x x x x x -=+-=， 所以22(1)16b b --=，解得152b =-， 所以直线l 的方程为1522y x =-，即42150x y --=， (2)设1122(,),(,)M x y N x y ，由24y xy kx b ⎧=⎨=+⎩，得222(24)0k x kb x b +-+=，由222(24)40kb k b ∆=-->，得10kb -<， 则212122242,kb b x x x x k k-+==， 所以1212424()22kb y y k x x b b k k -+=++=+=， 22121212124()()()by y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=， 因为AM ⊥AN ，所以0AM AN ⋅=， 所以1212(1)(1)(2)(2)0x x y y --+--=， 即12121212()12()40x x x x y y y y -+++-++=， 所以225(68)40k b k b +-+-=， 所以(2)(52)0k b k b +-++=， 所以2b k =-或52b k =--， 所以1,2m n =-=或5,2m n =-=-， 所以23m n +=或29m n +=-22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221x y a b+=（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2点P 是椭圆上的一动点，且P 在第一象限.记12PF F 的面积为S ，当212PF F F ⊥时，S =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如图，PF 1，PF 2的延长线分别交椭圆于点M ， N ，记12MF F 和12NF F 的面积分别为S 1和S 2.（i ）求证：存在常数λ，使得1211S S Sλ+=成立； （ii ）求S 2- S 1的最大值. 【答案】(1)22162x y += (2)(i) 存在常数10λ= ，使得1211S S Sλ+=成立； (ii) 21S S - 83.【分析】(1)求点P 的坐标，再利用面积和离心率，可以求出222a b c ，， ，然后就可以得到椭圆的标准方程；(2)设点的坐标和直线方程，联立方程，解出M N ， 的y 坐标值与P 的坐标之间的关系，求以焦距为底边的三角形面积；利用均值定理2a b ab +≥ 当且仅当a b = 时取等号，求最大值. (1)先求第一象限P 点的坐标：222222222613131x c c c e y b b y a a x y ab ⎧=⎪⎪⎛⎫⎪==⇒=-=⇒=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+=⎪⎩ ，所以P 点的坐标为3c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ， 所以22222213262223624c a ca b c b a c ⎧⋅=⎪=⇒====-⎪⎪⎩，， ， 所以椭圆E 的方程为22162x y +=(2)设()()()()000011220P x y x y M x y N x y >，>0，，，，， ， 易知直线PM 和直线PN 的坐标均不为零，因为()()122020F F -，，， ，所以设直线PM 的方程为2x my += ，直线PN 的方程为2x ny -=，由()()222222221342062162x my my y m y my x y+=⎧-⎪⇒+=⇒+--=⎨+=⎪⎩所以01223y y m =-+ ，因为002x my +=，2200162x y +=， 所以220001222000000223442523y y y y x y x x x y =-=-=-++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭所以01025y y x =-+ 同理由()()222222221342062162x ny ny y n y ny x y-=⎧+⎪⇒+=⇒++-=⎨+=⎪⎩ 所以02223y y n =-+ ，因为002x ny -=，2200162x y +=， 所以220002222000000223445223y y y y x y x x x y =-=-=-+-+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以01052y y x =--，因为1200122S F F y y =⋅⋅= ，11211122S F F y y =⋅⋅=-，21222122S F F y y =⋅⋅=-(i)所以00121200052521111101022222x x S S y y y y y S ⎛⎫+-+=-+=+== ⎪⎝⎭ 所以存在常数10λ= ，使得1211S S Sλ+=成立. (ii)()00002112200022825252254y y x y S S y y x x x -=-=-=-+- 0000222200000000088812525254626262x y x y x y x y x y x y x ===⎛⎫+++- ⎪⎝⎭≤=，当且仅当0x =，0y =时取等号，所以21S S - .。
2022-2023学年江苏省苏州市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年江苏省苏州市高二上册期末数学质量检测试题一、填空题1．半径为1cm 的球的体积是___________3cm .【正确答案】4π3【分析】根据球体积公式计算．【详解】由题意球体积为()3344π1πcm 33V =⨯=．故4π3．2．设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.【分析】设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，可知O 为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．【详解】如图，设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，四面体为正四面体，∴O 为底面正三角形的中心，连接CO 并延长交BD 于G ，则G 为BD 中点，底面边长为1，23CO CG ∴==AO ∴∴该正四面体的高为3．故3．3．两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.【正确答案】35##0.6【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为：35=.故答案为.354．若直线l 的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.【正确答案】0x =【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.【详解】若直线l 的一个法向量为(-，可设直线方程为0x c -++=，由直线过原点，∴0c =，故所求直线方程为0x -=，即0x -=.故0x -=5．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.【分析】根据直观图和平面图的关系可求出O A ''，进而利用面积公式可得三角形A B C '''的面积【详解】由已知可得122O A ''=⨯则122A B C S '''=⨯故答案为6．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．【正确答案】2π【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积12222S ππ=⨯⨯=．故2π.7．一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.【正确答案】2根据已知可知：2a b =，再代入离心率公式e =即可.【详解】由题知：222a b =⨯，即2a b =.2c e a=====.本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.8．已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.【正确答案】π3π[0,][,π)44⋃【分析】由题意可得直线l 的斜率cos [1,1]k θ=-∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]β∈-，[0,π)β∈，再根据正切函数的性质即可求得答案.【详解】解：因为直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，所以直线l 的斜率cos k θ=-，所以[1,1]k ∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]k β=∈-，又因为[0,π)β∈，所以π3π[0,][,π)44β∈⋃.故π3π[0,][,π)44⋃9．已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为111sin 602⨯⨯⨯︒122sin 602⨯⨯⨯︒=三棱台的体积为1713412⎛⨯⨯= ⎝.故1210．已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.【正确答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(1,1)--，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线()():20l a b x b a y a -+--=化为(21)()0a x y b x y --+-+=，210101x y x x y y --==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩，恒过定点(1,1)--，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(1,1)--=圆心到直线()():20l a b x b a y a -+--=，此时直线弦长为最小值=故答案为.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.【正确答案】8π【分析】由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．【详解】如图，取PQ 中点K ，11A D AD H = ，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，1B K =，1KP =，设外接球半径为R ，则1OK =在直角三角形OPK 中，222(11R =+，解得R =．所以球表面积为248S R ππ==．故8π．关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．12．如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ 的取值范围为______.【正确答案】22⎡⎣【分析】由题意求得点Q 轨迹，根据轨迹判断计算AQ 的取值范围.【详解】F '为椭圆右焦点，连接PF '，如图所示：,O N 分别为,FF FP '的中点，12ON PF '=，PF 为直径，12NQ PF =，()1112222OQ ON NQ PF PF PF PF ''=+=+=+=，所以点Q 轨迹是以O 为圆心2为半径的圆，(0,3A -在圆内，所以AQ 的最小值为23，最大值为23，即AQ 的取值范围为23,23⎡⎤+⎣⎦.故23,23⎡⎣二、单选题13．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【正确答案】A【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上,但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;14．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP⋅ 的最小值为A ．22-B ．12C ．22+D ．1【正确答案】B【详解】试题分析：设点，所以，由此可得(,)(1,)OP FP x y x y ⋅=⋅-，[2,2]x ∈，所以OP FP ⋅ 的最小值为12.向量数量积以及二次函数最值．15．已知曲线C ：()3222216x y x y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C 上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A ．p 、q 都是真命题B ．p 是真命题，q 是假命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．p 、q 都是假命题【正确答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22x y =时，等号成立，以及224x y +≤，从而可判断命题q 的真假性，检验点()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------是否在曲线上即可判断命题p 的真假性.【详解】因为()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22x y =时，等号成立，所以224x y +≤，因此曲线C 所围成的区域的在圆224x y +=2£，故曲线C 上的点到原点的最大距离是2，因此命题q 为真命题，圆224x y +=上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------，其中点()0,0显然在曲线C 上，但是()()()()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------不在曲线上，故曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p 为真命题，故选：A.16．四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A ．1,22⎤⎢⎣⎦B ．12⎤⎥⎣⎦C ．142⎤⎥⎣⎦D ．4⎣⎦【正确答案】D【分析】设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，分别讨论11C D 、在11A B 两侧、11C D 、其中一点在11A B 上、11C D 、在11A B 同侧时的投影图形，其中11C D 、在11A B 同侧时，CD α⊥时面积最小、平面ABD α 时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积.【详解】四面体ABCD 的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知AB CD ⊥,正四面体的侧面上的高为2h ¢=，正四面体的高3h ==.∵棱AB 平面α，设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，则111A B AB ==，i.当11C D 、在11A B 两侧时，构成的图形即为四边形1111A C B D ，此时1111A B C D ^，11h C D CD <£，即111C D <£，则所求面积即1111111111,262A B C D S A B C D ç=鬃ç棼；ii.当11C D 、在11A B 同侧或其中一点在11A B 上时，构成的图形即为111A B C △，1D 在111A B C △的高1C E 上（或1C 在111A B D 的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中①当平面ABD α^时，1C E h ==②当平面ABD α 时，1C E h ¢==；③当CD α⊥时，1C E 为CD 到面α的距离，即12C E ==.故122C E＃，则所求面积即11111112A B C S A B C E =鬃臌.综上，四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是,44⎥⎣⎦.故选：D 三、解答题17．已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【正确答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或【详解】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为=1x -；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试题解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=，解方程组260{2x y y x-+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径r AC ==C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，所以有=解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.18．如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.(1)求证：直线//EF 平面ABD ；(2)若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.【正确答案】(1)证明见解析；(2)45【分析】（1）根据//EF BD 即可证明；（2）证明AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，进而结合已知条件证明ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠= ，再根据二面角的概念求解即可.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.所以，在BCD △中，//EF BD ，因为EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以，直线EF P 平面ABD（2）解：因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，AD ⊂平面ACD AD AC ⊥,所以AD ⊥平面ABC ，所以，DCA ∠是直线CD 与平面ABC 所成的角，因为直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，所以，45DCA ∠= ，所以AD AC=因为AD ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，AD AB ⊥，因为AB BC ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，所以，BDC ∠是直线CD 与平面ABD 所成角，因为直线CD 与平面ABD 所成角为30°，所以30BDC ∠=o ，所以1,2BC CD BD ==，不妨设1BC =，则2,1CD BD AD AC AB =====，所以，ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠=因为AD AB ⊥，AD AC ⊥，所以BAC ∠是二面角B AD C --的平面角，所以二面角B AD C --的大小为4519．如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.(1)求码头Q 点的坐标；(2)海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.【正确答案】(1)()42Q ，(2)(1,5)C 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON 方程，再求解Q 点坐标.（2）由直线AQ 的方程求解B 点坐标，进而求解AB 的直线方程.由（1）知C 为垂足，可联立直线AB 与PC 方程，即可求解C 点坐标.【详解】（1）由已知得，(6,0)A ，直线ON 方程：3y x=-设00(,2)(0)Q x x >5=及图，得04x =，()42Q ∴，.（2）直线AQ 的方程为(6)y x =--即60x y +-=由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得39x y =-⎧⎨=⎩，即(3,9)B -则直线AB 方程60x y +-=，点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C ，因为PQ OM ⊥，且6km PQ =，()42Q ，，(4,8)P ∴，则直线PC 方程为40x y -+=联立6040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标为(1,5).20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.(1)证明：11B C D E ⊥；(2)设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CF CC 的值，若不存在，说明理由；(3)求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.【正确答案】(1)证明详见解析(2)存在，且112CF CC =(3)1arcsin 3⎡⎢⎣⎦【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11B C D E ⊥.（2）根据向量法列方程，从而求得1CF CC .（3）利用向量法求得直线AB 与平面1DEC 所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()1110,0,1,1,2,1,0,2,0,1,0,1D B C B C =-- ，设()1,,0,02E t t ≤≤，则()11,,1D E t =- ，111010D E B C ⋅=-++= ，所以11B C D E ⊥.（2）若E 是AB 的中点，则()1,1,0E ，()10,2,1C ，设平面1DEC 的法向量为()111,,x n y z = ，则11111020n DE x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，故可设()1,1,2n =-- ，设()0,2,,01F λλ≤≤，()()1,2,0,1,0,B BF λ=- ，若//BF 平面1DEC ，BF ⊄平面1DEC ，则1120,2n BF λλ⋅=-== ，所以F 是1CC 的中点，所以112CF CC =.（3）()0,2,0AB = ，设()1,,0,02E t t ≤≤，设平面1DEC 的法向量为()222,,m x y z = ，则22122020m DE x ty m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可设(),1,2m t =-- ，设直线AB 与平面1DEC 所成角为π,02θθ≤≤，则2221sin 255m AB m AB t t θ⋅===⋅⨯++ ，由于22202,04,559,553t t t t ≤≤≤≤≤+≤≤+≤，所以2115sin ,355t θ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，所以15arcsin ,arcsin 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.21．已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y (1)若点N 的坐标为()2,0-，求PNQ V 的周长；(2)设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；(3)求直线AB 倾斜角的最小值.【正确答案】(1)8(2)证明见解析(3)直线AB倾斜角的最小值为arctan 2【分析】（1）利用椭圆C 的标准方程和点N 的坐标，结合题中条件可得PNQ V 为焦点三角形，周长为4a ；（2）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，求出直线PM 的斜率，QM 的斜率，推出k k'为定值．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．直线PA 的方程为y kx m =+直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB 坐标，然后求解AB 的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB 倾斜角的最小值．【详解】（1）椭圆22:142x y C +=，由方程可知，椭圆两焦点坐标为()，若点N的坐标为()，点N 为左焦点，点()0,M m 是线段PN 的中点，故点P的坐标为)m ，PQ 垂直于x 轴，则PQ 与x 轴交点为椭圆右焦点，可得PNQ V 的周长为点P 到两焦点距离之和加上点Q 到两焦点距离之和，,P Q 都在椭圆上，所以PNQ V 的周长为8.（2）证明：设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，所以直线PM 的斜率002m m m k x x -==，QM 的斜率0023m m m k x x '--==-，所以0033mk x m k x -'==-，所以k k'为定值．（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(21)4240k x mkx m +++-=，根据根与系数可得20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=+，同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++，所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----==++++，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m k m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111644ABy y kk kx x k k-+⎛⎫===+⎪-⎝⎭．由0m>，00x>，可得0k>，所以16kk+≥16kk=，即6k=时，取得等号，=m=所以直线AB斜率的最小值为2AB倾斜角的最小值为arctan2．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
VIP 免费欢迎下载
数学试卷
2015-2016 学年江苏省苏州市高二上学期期末考试数学试卷
一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分，将答案填在答题纸上）
1. 若直线经过两点1,2 ，3,4 ，则的倾斜角为．
2. 抛物线 y 1
x2的焦点到其准线的距离为．2
3. 已知两条直线 l1 : 4x 3y 3 0 ，l2: 8x 6 y 9 0 ，则l1与l2的距离是．
4. 函数 y sin x 的图象在点,0 处的切线方程为．
5. 一质点的运动方程为S t 2 10 （位移单位： m ；时间单位：s），则该质点在t 3 时的瞬时速度为
m / s ．
6. 若函数 f x x33x2 a 在区间1,1 上的最大值是 2 ，则实数a的值
为．
7. 将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为 2 的半圆，则原来圆锥的高
为．
8. 设 C 是等腰三角形， C 120 ，则以，为焦点且过点 C 的双曲线的离心
率是．
9.关于异面直线 a， b ，有下列四个命题：
①过直线 a 有且只有一个平面，使得b//；②过直线a有且只有一个平面，使得b；
③在空间存在平面，使得 a//，b//；④在空间不存在平面，使得a，b．其中，正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都填上）．
10. 在平面直角坐标系x y 中，已知点0,2 ，直线 l : x y 4 0 ．点x, y 是圆C: x2y22x 1 0 上的动点， D l ，l ，垂足分别为 D ，，则线段D的最大值是．
11. 已知三棱锥S C 的各个顶点都在一个半径为r 的球面上，球心在上，S
底面 C ，C2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是．
12. 如图，在平面直角坐标系x y 中，F1，F2
x2 y 2
1（ a b 0 ）的左、分别是椭圆
b2
a2
右焦点，， C 分别为椭圆的上、下顶点，直线F2与椭圆的另一个交点为 D ，若
tan F1 3
，则直线 CD 的斜率为．4
13.如图，一根长为 2 米的竹竿斜靠在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹
竿的下端点从距离墙角点米的地方移动到 3 米的地方，则的中点D经过的路程
为米．
14. 已知函数x ln
f x a x a （0 a 1 ），若对于任意x 1,1 ，不等式 f x e 1
（其中 e 是自然对数的底）恒成立，则实数 a 的取值范围是．
二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤 .）
15.（本题满分 14 分）
已知 C 的顶点5,1 ，边上的中线 C 所在直线的方程为 2x y 5 0，边 C 上的高所在直线的方程为 x 2 y 5 0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线 C 的方程．
16.（本题满分 14 分）
如图，在三棱锥 C 中，D，，F分别是棱C， C ，的中点．已知 C ，6， C 8，DF 5．
（1）求证：直线
//平面D
F ；
（2）求证：平面
D
平面
C ．
17. （本题满分 14 分）
某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额 s （万元）与
改造投入资金
x （万元）之间满足：
s 51 x 2 1 x 3
x
xln ax （ 1 x 60 ）．当
50 100
x 10 时， s 102 ．景点新增毛收入 f x （万元）为门票新增额扣除改造投入资金．
（1）求 y f
x 的解析式；
f x
x （万元）的大小，使得
（2）若将
定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金
x
ln 5
改造资金的收益率最高，并求出最高收益率． （参考数据：
）
1.61
18. （本小题满分 16 分）
如图，圆
: x 2 y 2 8 内有一点
1,2 ，
是过点
且倾斜角为 135 的弦．
（1）求弦
的长；
（2）若圆 C 与圆
内切且与弦 相切于点
，求圆 C 的方程．
19. （本小题满分 16 分） 已知
2,0 ， 2,0 是椭圆 C 的左、右顶点， F 是其右焦点，
是椭圆 C 上异于
，
的动点，且
面积的最大值为 2 3 ．
（1）求椭圆 C 的方程及离心率；
（2）直线
与过点
关于 x 轴的垂直交于点 D ，当直线
绕点 转动时，试判断以
D
为直径的圆与直线
F 的位置关系，并加以证明．
20.（本小题满分 16 分）
已知函数 f x ln x a
， g x f x ax 6ln x ，其中 a R 为常数．x
（1）当a 1 时，试判断 f x 的单调性；
（2）若g x 在其定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围；
（3）设函数h x x2 mx 4 ，当 a 2 时，若存在 x1 0,1 ，对任意的 x2 1,2 ，总有 g x1 h x2 成立，求实数m 的取值范围．
苏州市 2015-2016 学年第一学期期末考试
高二数学（附加题）
21.（本小题满分 10 分）
求函数
1 x 的最小值．
f x ln
2x 1
22.（本小题满分 10 分）
求与圆 C : x2y24x 0 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程．
23.（本小题满分 10 分）
如图，四棱锥CD 的底面为正方形，侧棱底面CD ，且 D 2 ，，F ，分别是线段， D ，的中点．
（1）求直线与平面 F 所成角的大小；
（2）求二面角 F 的大小．
24.（本小题满分 10 分）
已知抛物线y ax2（ a 0）的准线方程为y1．
（1）求抛物线的方程；
（2）设F是抛物线的焦点，直线l :y kx b（k0 ）与抛物线相交于，两点，记 F ，
F 的斜率之和为m ．求常数 m ，使得对于任意的实数k （ k0 ），直线恒过定点，并求
出该定点的坐标．
苏州市 2015-2016 学年第一学期期末考试
高二数学答案
VIP 免费欢迎下载end。