提公因式法
提公因式法
例１分解因式： (2)-2m3+8m2-12m (3)3x2-6xy+x
1、当多项式第一项的系数是负数时，通常把负号作为公 因式的负号写在括号外，使括号内第一项的系数化为正 数，在提出负号时，多项式的各项都要变号！
2、如果提取公因式与多项式中的某一项相同，那么提 取后多项式中的这一项剩下“1”结果中的“1”不能漏写； 3、多项式有几项，提取公因式后另一项也有几项。
A. 6x2y=3xy· 2x
B. ab+ac+d=a(b+c)+d
C. a2－1=(a+1)(a－1)
D. (a+1)(a－1)= a2－1
例１分解因式：
2a-3a²b· 3b=3a²b (2a-3b) 解: 原式=3a²b·
(1)6a3b-9a2b2
公因式
把公因式提出来，多项式6a³ b-9a² b² 就可以分解成 两个因式3a² b和(2a-3b)的乘积。像这种因式分解的 方法，叫做提公因式法。 1、找出公因式 2、提取公因式得到另一个因式 3、写成积的形式
(1)2a2b+8ab2 (2)3x2-6x3
公因式是2ab 公因式是3x2
(3)9abc-6a2b2+12abc2 公因式是3ab
总结
找一个多项式的公因式的方法一般分 三个步骤： 一看系数：当多项式的各项系数都 是整数时，公因式的系数应取各项系 数的最大公因数。 二看字母：公因式的字母应取多项 式中各项都含有的相同字母。 三看指数：相同字母的指数取次数 最低的。
(2) 3a(x-y)-2b(y-x) (3) 6a(x-y)2-4b(y-x)2
总结：用提公因式法分解因式时，公因式可以 是一个单项式也可以是一个多项式。
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
提公因式法的概念
提公因式法的概念提公因式法是一种数学方法，用于将多项式进行因式分解。
通过找出多项式中的公因式，并提取出来，可以简化多项式的形式，使之更易于理解和计算。
该方法通常应用于代数运算和解方程等数学问题中。
提公因式法的核心思想是将多项式表达式中的每一项进行因式分解，找出它们之间的公因子，并提取出来。
通过这种方式，可以将多项式分解为更简单的形式，使之更易于处理和分析。
具体应用提公因式法进行因式分解的步骤如下：1.首先，将多项式按照加减号分成多个项，如将3x^2 + 5x -2x^3 + 6按照加减号分成四个项。
2.然后，观察每个项之间是否存在公因子。
公因子是指每一项都能够整除的因子。
例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，3是第一个项和第四个项的公因子，而x是第一个项和第三个项的公因子。
3.确定了公因子后，将这个公因子提取出来，并将其乘以剩余的部分，得到分解后的形式。
例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，公因子3可以提取出来，得到3(x^2 + 5/3x - 2x^3/3 + 2)。
4.进一步分解剩余部分的多项式，重复上述步骤，直到无法再分解为止。
提公因式法的优点是可以大大简化多项式的形式，使之更易于处理和计算。
通过找出公因子，并将其提取出来，可以将多项式的求解问题转化为更简单的形式，例如可以将求解方程转化为求解一次方程或二次方程的问题。
此外，提公因式法还可以用于多项式的乘法和约分运算。
在进行多项式的乘法运算时，可以通过提取公因子的方法，将复杂的运算转换为简单的乘法运算。
而在进行多项式的约分运算时，也可以利用公因子提取的方法，将多项式约分为最简形式。
需要注意的是，提公因式法只适用于多项式之间存在公因子的情况。
当多项式之间没有公因子时，无法通过提取公因子的方法进行因式分解。
此时，可以尝试其他的因式分解方法，如配方法、二次差分等。
综上所述，提公因式法是一种数学方法，通过找出多项式中的公因子，并将其提取出来，将多项式进行因式分解。
提公因式法 课件
(2)4a2 1 b2 9
(1)16 25 x2
42 (5x)2
=(4+5x)(4-5x)
(2)4a2 1 b2 9
(2a)2 (1 b)2 3
(2a 1 b)(2a 1 b)
把一个多项式化为几个整式的乘积的形 式,这就是因式分解.
公因式的概念：
多项式ab+bc的各项都含有相同的因式b， 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
例如： b是多项式ab+bc各项的公因式。 b是多项式mb²+nb-b各项的公因式。 x是多项式3x²+x各项的公因式。
提公因式法：
(x 5y)(x 5y) ( y 3z)( y 3z)
回顾与思考:
上面运用了那个乘法公式 平方差公式：
(a b)(a b) a 2 b2
事实上把这个公式反过来 就得到: a2 b2 (a b)(a b)
(1) 多项式x2 25和9x 2 y 2 他们有什么
共同特征?
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
例2 分解因式： (4x 1)2 (3x 1)2
9(a 2b)2 4(a 2b)2
若 x2 y2 44, x y 11, 求 x y 的值
3
3
例2 :把下列各式分解因式
(1)4(m n)2 (m n)2
(2)3x3 12 x
(1)4(m n)2 (m n)2
2(m n)2 (m n)2
2(m n) (m n)2(m n) (m n)
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n) =(3m+n)(m+3n)
2 提公因式法
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)源自C．5a2b(b－a)D．以上均不正确
新课讲解
知识点2
提公因式法
(1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？ (2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同
伴交流.
新课讲解
确定一个多项式的公因式时，要从__数__字__系__数____ 和___字__母__及__其__指__数_____分别进行考虑 . 数字系数
母最低次幂；
新课讲解
典例分析
例 指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y； (42) 8xy3－
9
27
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
x3y2；
新课讲解
解：(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；
有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因 式是3y.
新课讲解
添括号法则： (1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不
变. (2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改
变符号.
新课讲解
典例分析
例 把a(x－y)－b(y－x)提公因式后，所得的另一个
因式是( B )
A．a－b
B．a＋b
C．x＋y
D．x－y
分析：因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转化为 ＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，由此可确
5
5
因式1 是－
5
ab，那么另一个A因式是( )
A．c－b＋5ac
B．c＋b－5ac
C．c－b＋ 1 ac
5
ac
1D．c＋b－
因式分解———提公因式公式法
因式分解———提公因式公式法因式分解是数学中的一个重要的方法，它可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。
常用的因式分解方法有提公因式法和公式法。
一、提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法，它的基本思想是找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式3x^2+9x分解因式。
解题步骤：1.观察多项式中的每个项，找出它们的公因式。
在这个例子中，3和9都是3的倍数，所以可以提取出公因式3来，即3x^2+9x=3(x^2+3x)。
2.检查提取出的公因式是否是多项式的最大公因子。
这一步其实是用求最大公因子的方法来验证的。
在这个例子中，公因式3是最大公因子，因为3x^2和3x都可以被3整除，而且没有其他的公因子。
3.将提取出来的公因式和剩下的部分组合在一起。
在这个例子中，可以将公因式3和剩下的部分(x^2+3x)组合在一起，即3(x^2+3x)。
综上所述，多项式3x^2+9x可以分解因式为3(x^2+3x)。
二、公式法公式法是因式分解中的另一种常用方法，它适用于具有特定形式的多项式。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式x^2+4x+4分解因式。
解题步骤：1.观察多项式的各个项的系数。
在这个例子中，x^2的系数为1，4x的系数为4，4的系数为42.检查多项式是否具有特定形式。
在这个例子中，多项式的形式为x^2+4x+4，它的形式和公式(a+b)^2非常相似。
3.根据公式(a+b)^2，将多项式进行分解。
根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以将多项式x^2 + 4x + 4分解为(x+2)^2综上所述，多项式x^2+4x+4可以分解因式为(x+2)^2综合练习：1.将多项式6x^2+9x+3分解因式。
解：可以观察到，多项式的各个项的系数都是3的倍数，所以可以提取公因式3，即6x^2+9x+3=3(2x^2+3x+1)。
2.将多项式x^3-8分解因式。
提公因式法ppt课件
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x
＋
)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )
提公因式法
⑴提公因式法各项都含有得公共得因式叫做这个多项式各项得公因式。
如果一个多项式得各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积得形式,这种分解因式得方法叫做提公因式法.具体方法：当各项系数都就是整数时,公因式得系数应取各项系数得最大公约数;字母取各项得相同得字母，而且各字母得指数取次数最低得;取相同得多项式,多项式得次数取最低得。
如果多项式得第一项就是负得，一般要提出“-”号，使括号内得第一项得系数成为正数。
提出“－”号时，多项式得各项都要变号.口诀:找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守;提负要变号,变形瞧奇偶。
例如：-am+ｂm+ｃm=-m(ａ—ｂ－c）；a(x-y）＋b（ｙ-x)=a（ｘ-y）—b（x—y)＝（x-y)（a—ｂ）。
注意：把2a+1/２变成2(a+1/４）不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：a^2－b^2=（ａ+b）(a－b）；完全平方公式:a^２±2ab+b^2=（a±b）^2；注意:能运用完全平方公式分解因式得多项式必须就是三项式,其中有两项能写成两个数（或式）得平方与得形式,另一项就是这两个数（或式）得积得2倍。
立方与公式：a^3＋b^3＝（a+ｂ）（a^2－ａb＋b^２);立方差公式:a＾3－b^3=（a—ｂ）（a＾２＋ab＋b^2）；完全立方公式：a＾3±3a＾2b＋3ab^2±ｂ＾3=（a±b)^3.公式：a+b+c-３abc=（a＋b+c）(a＋b+c-ａb-bc-cａ）例如：ａ^２+４aｂ+4b^2 ＝(ａ+２b）＾２。
（3）分解因式技巧1、分解因式与整式乘法就是互为逆变形.2、分解因式技巧掌握:①等式左边必须就是多项式;②分解因式得结果必须就是以乘积得形式表示；③每个因式必须就是整式，且每个因式得次数都必须低于原来多项式得次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
初中数学因式分解常用七大解题方法,分类讲解+例题解析,收藏
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解法(提公因式法、公式法)
【知识要点】1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。
☆提公因式分解因式要特别注意：（1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。
（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。
（3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式，这时要特别注意各项的符号）。
（4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。
（5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。
2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式：()()22a b a b a b -=+-； ()2222a ab b a b ±+=±。
平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。
完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。
☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：（1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。
具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。
（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。
（3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。
（4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。
【典例分析】例1.分解下列因式：（1）22321084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+（3）323111248ab a b a b --+ （4）y x y x y x x 32223313231+-+-（5）23)(2)(m n a n m -+- （6）32)(4)(2y z y z y x -+-练习：因式分解(1)a(x-y)+b(x-y)-(x-y) (2)6(x+y)-12z(x+y) (3)(2x+1)y 2+(2x+1)2y(4)p(a 2+b 2)+q(a 2+b 2)-l(a 2+b 2) （5）2a(b+c)-3(b+c) （6）6(x-2)+x(2-x)（7）m(a-b)-n(b-a) （8）2a(x+y-z)-3b(x+y-z)+5c(z-x-y)；（9）m(m-n)2-n(n-m)2 （10）2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c)．例2. 把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2 （2）22331b a +-（3）22)2()2(y x y x +-- （4）11622-b a练习：把下列各式分解因式： （1）224b a -（2）11622-y x（3）22481916b a +-（4）2916a -例3.运用完全平方公式因式分解：（1）21449x x ++ （2）25102+-a a（3）229124b ab a +- （4）42242b b a a +-（5）21222+-x x （6）x x x 2718323+-（7）2()6()9m n m n +-++ （8）22224)1(4)1(a a a a ++-+（9）161)(21)(2+---y x y x （10）9)(6)(222+-+-x x x x练习：把下列各式分解因式：（1）221025x xy y -+ （2）222y xy x -+-（3）1692+-t t （4）22816y x xy +-（5）2411x x ++ （6）xy y x 4422-+（7）81224-+-x x （8）ax y ax y ax ++2232（9） 161)(21)(2+---y x y x （10） )(12)(9422n m m n m m ++++例4. 把下列各式分解因式：（1）32231212x x y xy -+ （2）442444)(y x y x -+（3）222)1(4+-a a （4）2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-练习：把下列各式分解因式：（1）222224)(b a b a -+ （2）222)41(+-m m（3）22248)4(3ax x a -+ （4）4224168b b a a +-（5）)()(2x y y x a -+- （6）)()(422m n b n m a -+-例5.已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++。
初二数学上册：因式分解常见八种解题方法
初二数学上册：因式分解常见八种解题方法常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。
在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。
下面通过例题一一介绍。
一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂。
注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc 十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=、七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如: 14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。
因式分解—提公因式法
因式分解—提公因式法一、因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，也叫做把这个多项式分解因式。
是整式乘法的逆运算。
如：a2-b2=（a+b）(a-b)同类演练一：（1）2m(m-n)=2m2-2mn；（2）x2-2x+1=x（x-2）+1；（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）4x2-4x+1=(2x-1)2；（5）3a2+6a=3a（a+2）；（6）m2-1+ n2=（m+1）（n-1）二、提公因式法公因式：多项式中的每一项都含有一个相同因式，这个相同的因式叫做各项的公因式。
如：ma+mb+mc 每项都含有m，则m是这个多项式的公因式。
把这个公因式提到括号外面，这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积m(a+b+c),即ma+mb+mc= m(a+b+c)。
这种因式分解的方法叫做提公因式法。
（用公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式）。
归纳方法：如何确定多项式各项的公因式？1．定系数：找多项式各项系数的最大公约数．2．定字母：找多项式各项相同的字母．3．定指数：相同字母的最低的次数．同类演练二：1、找出下列多项式的公因式：（1）4ax-8ay；（2）5y3+20y2；（3）a2b-2ab2+ab；（4）-4a3b2-6a2b+2ab；（5）（2a+b）（2a-3b）-3a（2a+b）．2、因式分解：（1）24a3m-18a2m2；（2）5y2-15y +5；（3）28x3-14x2+7x．3、因式分解：对于首项是带有负号的多项式分解因式，多项式第一项的系数是负数，通常先提出“-”号，且括号内各项都要变号．（1）-7ab+49ab2c；（2）-6ax2+9axy -3a；（3）-2a3b2-ab3c +3abc巩固练习1、将分解因式时，应提取的公因式是( )A.a2B.aC.axD.ay2、因式分解（1）；（2）－12a2b+24ab2；（3）xy－x2y2－x3y3；（4）．2．已知a－b＝3，ab＝－1，求a2b－ab2．3．若x2＋3x－2＝0，求2x3＋6x2－4x的值．4．先分解因式，再求值：4a2（x+7）-3（x+7），其中a=-5，x=3．能力提升5、．因式分解（1）；（2）；（3）；（4）．。
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＿＿＿＿提公因式法（一）1．把一个多项式化成＿＿＿＿＿＿＿＿的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式＿＿＿＿＿＿。
2．根据乘法运算： (x ＋2y)(x －2y)＝ x 2－4y 2, (m ＋3)(m －2)＝m 2＋m －6,（x ＋y ）（m －n ）＝mx －nx ＋my －ny ，(a －2b)2＝a 2－4ab ＋4b 2把下列多项式因式分解：x 2－4y 2＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ m 2＋m －6＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ mx －nx ＋my －ny ＝＿＿＿＿＿＿＿＿a 2－4ab ＋4b 2＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。
4．填空：⑴ ab ＋ac 的公因式是＿＿＿。
⑵ 2ab 2－4abc 的公因式是＿＿＿＿。
5．填空⑴ ab －2ac ＝＿＿(b －2c)⑵ 7ab 2c －14a 2bc －7abc ＝7abc(＿＿＿＿＿)⑶ －8a 3b 2c ＋6a 2b 2c 2－12a 3bc 2＝－2a 2bc(＿＿＿＿＿＿) ⑷ a n b －a n c ＝＿＿(b －c)⑸ 21x －2y ＝21(＿＿＿＿)6．把下列各式分解因式⑴ x 2yz －xy 2z ＋xyz 2 ⑵ 14pq ＋28pq 2⑶ 4a 2b －8ab 2 ⑷ －8x 4－16x 3y⑸ 12xyz －9y 2z 2 ⑹ 3a 2b －6ab ＋6b⑺ －x 2＋xy －xz ⑻ －16y 4－32y 3＋8y 27．利用因式分解计算⑴ 2.18×28＋46×2.18＋26×2.18⑵7.56×1.09＋1.09×6－12.56×1.09提公因式法（二）1．把下列各式分解因式⑴a(x＋y)＋b(x＋y) ⑵6(x＋2)＋x(2＋x)⑶x(a＋3)－3(a＋3) ⑷m(a－b)－n(b－a)⑸6m(p－3)＋5n(p－3) ⑹a(x2＋y2)＋b(x2＋y2)⑺4p(p－q)－6q(p－q) ⑻(x－y)2＋2(y－x)⑼x(a＋b)－y(a＋b)＋z(a＋b) ⑽a(a－b)2－b(b－a)2⑾5(m－n)3＋10(n－m)2⑿(x＋y)2－(x＋y)(x－z)＋(x＋y)(y＋z) ⒀(b－a)2－2a＋2b ⒁3(a－b)3x－(b－a)3y⒂－mn(m－n)2＋n(n－m)2⒃x(x－a)(x－b)－y(a－x)(b－x)⒄(2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b) ⒅x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2⒆(m＋n)(p＋q)－(n＋m)(p－q) ⒇x(a－b)－y(b－a)＋z(a－b)2．先分解因式再求值4x2(x＋2)－3x2(x＋2) 其中x＝2提公因式法（三）一、填空⑴ 4x 2＝(＿＿)2 ⑵ 36y 4＝(＿＿)2 ⑶ 0.25a 2＝(＿＿)2⑷ 161p 2＝(＿＿)2 ⑸ 0.01m 2n 4＝(＿＿＿)2 ⑹ 4(2p ＋3q)2＝[＿＿＿＿＿]2二、把下列各式分解因式⑴ x 2－y 2 ⑵ 1－m 2⑶ －a 2＋b 2 ⑷ x 2－91y 2⑸ －9＋16x 2 ⑹ x 2－9y 2⑺ 4x 2－9y 2 ⑻ 0.09a 2－4b 2⑼ 0.36x 2－94y 2 ⑽ x 4－y 2⑾ x 2y 2－z 2 ⑿ －x 2＋41⒀ x 2－(x －y)2 ⒁ 9(x －y)2－y 2⒂ (x ＋2y)2－(2x －y)2 ⒃ 16(a ＋b)2－9(a －b)2⒄ (a 2＋b 2)2－a 2b 2 ⒅ (x ＋y)2－(y ＋z)2三、利用因式分解计算1．7322－2682 2．16×1.42－4×2.32运用公式法（一）把下列各式分解因式1． 4m 2－9n 2 2. a 2－16(a ＋b)23. 2ab 3－2ab4. x 2y 2－x 25.21x 2－2 6. 4a －a 37. a 2(a －b)2－a 2(a ＋b)2 8. 2x 3－8xy 29. 16a 4－1 10. a 4－8111. 9a 2－4(b ＋c)2 12. －x 4＋1613. (a －b)4－(b －a)2 14. 4ax 4－16ay 215． (x －y)4－(x ＋y)4 16. 16a 4－b 417. (x ＋y ＋z)2－(x －y －z)2 18. p 2(p ＋q)2－q 2(p －q)2运用公式法（二）一、填空1．x 2＋＿＿＋4＝(x ＋2)2 ⒉ m 2－4m ＋＿＿＝(m －2)2⒊ ＿＿－4mn ＋n 2＝(＿＿－n)2 ⒋ x 2－xy ＋＿＿＝(x －21y)2二、把下列各式分解因式1． a 2－2ab ＋b 2 2． 4x 2＋4x ＋13． m 2＋m ＋414． a 2－8ab ＋16b 25． 1－6y ＋9y 2 6． 94x 2－32x ＋417． －x 2＋2xy －y 2 8． －4－91a 2＋34a9．x 2－6xyz ＋9y 2z 2 ⒑ x 4＋4x 2＋4⒒ 4x 2－20x ＋25 ⒓ p 2－22p ＋121⒔ 1－4m ＋4m 2 ⒕ 0.01x 2－2x ＋100⒖ x 2＋32x ＋256 ⒗ 4a 4－4a 2b ＋b 2三、利用因式分解计算1．39.82－2×39.8×49.8＋49.82 2．152＋15×10＋52一、把下列各式分解因式⒈a3＋2a2＋a ⒉4ab2－4a2b－b3⒊(x＋y)2＋6(x＋y)＋9 ⒋2x2＋4xy＋2y21⒌9(a－b)2－12(a－b)＋4 ⒍2x2＋x＋8⒎4－4(x－y)＋(x－y)2⒏x＋4xy＋4xy2⒐（m－n）2－2（m－n）（x＋y）＋（x＋y）2⒑(a2＋4ab＋4b2)－4 ⒒(a2＋4a＋2)2－4⒓(x2＋y2)2－4x2y2⒔(a－b)2－8x(b－a)＋16x2⒕a5－2a3b2＋ab4⒖9ab2(x－y)＋6a2b(x－y)－a3(y－x)二、已知正方形的面积是4x2＋4xy＋y2，求正方形的周长。
三、已知x2－2ax＋4是完全平方式，求a把下列各式分解因式⒈m2－n2⒉(a－b)2－c2⒊a－a3⒋(2a＋b)2－(a－2b)2⒌m2＋n2－2mn ⒍(x－y)2－6(x－y)＋9 ⒎(a＋b)2＋4(a＋b)c＋4c2 ⒏x3－xy2⒐a3＋2a2b＋ab2⒑－a2－8ab－16b21⒒x2(m－n)－4x(n－m)－4(n－m) ⒓2x2－2x＋2⒔(x2－y2)(x＋y)－(x－y)3 ⒕p4－q4⒖x5－18x3y2＋81xy4⒗3a(b2＋9)2－108ab2第一单元复习练习一、判断⒈ 2x 2－8y 4＝2(x 2－4y 2)＝2(x ＋2y)(x －2y) （ ） ⒉ a 2－2ab ＋4b 2＝(a －2b)2 （ ） ⒊ －2ab ＋a 2＋b 2＝(－a ＋b)2 （ ） ⒋ x 4－y 4＝(x 2＋y 2)(x 2－y 2) （ ） 二、填空⒈ x 2－(＿＿)＋16y 2＝(x －＿＿)2 ⒉ x 2＋3x ＋(＿＿)＝(x ＋＿＿)2 ⒊ m 4－4m 2＋(＿＿)＝(m 2－＿＿)2 ⒋ (＿＿) －x ＋1＝(＿＿－1)2 ⒌ 4m(m －n)－8n(n －m)＝4(m －n)(＿＿＿＿)⒍ 已知y 2－2my ＋1是一个完全平方式，则m ＝＿＿ 三、选择⒈ 下列变形： ⑴ x 3＋y 3＝(x ＋y)(x 2－xy ＋y 2) ⑵ (x ＋y)(x －y)＝x 2－y 2⑶x 2－4x ＋4＝x(x －4)＋4 ⑷ x 4－2x 2y 2＋y 4＝（x 2－y 2）2＝(x ＋y)2(x －y)2 其中属于因式分解的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 ⒉ 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、－x 2－4y 2B 、p 4－q 2C 、m 2＋n 2D 、a 3－b 2⒊ 在多项式 ⑴ －a 2－b 2－2ab ⑵2ab －a 2－b 2 ⑶ (a ＋b)2－10(a ＋b)＋25 ⑷a 2－b 2＋2ab 中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 ⒋ 下列分解―a2―4ab ―4b2正确的是（ ） A 、－（a ＋２ｂ）2 B 、（a －2b ）2 C 、―（a ―2b ）2 D 、（―ａ―２ｂ）２ ⒌ 已知58－1能被20――30之间的两个整数整除，这两个整数是（ ）A 、25，27B 、26，28C 、24，26D 、22，24 四、把下列各式分解因式 ⒈ ab ＋ac －a 2 ⒉ x 2－4x⒊ －a 2＋4b 2 ⒋ 21－2x ＋2x 2⒌ 5ax 2＋10axy ＋5ay 2 ⒍ x 4－2x 2＋1⒎a(a－2)＋1 ⒏(a－b)2－a＋b⒐－4xy2＋8xy－4x ⒑a4－16b4⒒(x＋y)2－(2x＋y)2 ⒓x2n＋2－2x n＋2＋x2五、已知：⑴x＋y＝7 ,xy＝12．求x2＋y2的值．⑵x－y＝7，xy＝12．求x2＋y2的值．六、利用因式分解计算1．1.3332×4－1.2222×9 2．3242＋648×676＋6762附加题：观察下列计算：22－12＝4－1＝3＝2＋1 32－22＝9－4＝5＝3＋2 42－32＝16－9＝7＝4＋3……⑴可以得到：152－142＝（）＋（）⑵可以发现：（n＋1）2－n2＝()＋( )⑶请你证明你的发现。
分组分解法（一）把下列各式分解因式1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b) 3．m(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－p(a－b)5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b) 7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx 9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2 ⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕3m－3y－ma＋ay⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy分组分解法（二）把下列各式分解因式1．mn＋m－n－1 2．3mx＋4ny＋4my＋3nx3．m3－m2＋m－1 4．m3＋m2－m－15．a2－2b＋ab－2a 6．ax＋by＋ay＋bx7．xy－z＋y－xz 8．a2x＋by－ay－abx9．mx3－mx2－mx＋m 10．a2b－a2c＋a3－abc11．a2x－y＋（x－y）a 12．4a2＋3c－3ac－4a13．x2（x－z）－x（yz－xy）14．ab（c2＋d2）＋cd（a2＋b2）15．ab（x＋y）（x－y）－xy（a＋b）（a－b）16．x2a－x2c－ya＋yc＋x2b－yb把下列各式分解因式⒈4x2－y2－4x＋2y ⒉b2－a2＋ax＋bx⒊m－2n＋m2－4n2⒋p＋3q－9q2＋p2⒌s2－t2＋3s－3t⒍x2－2x＋2y－y2⒎4a2－b2－2a－b⒏9a2－6a＋2b－b2⒐x2－2x＋1－y2⒑m2＋2mn＋n2－p2⒒4x2－4xy＋y2－16z2⒓a2－b2－2bc－c2⒔x2－4y2＋4y－1⒕x2－y2－z2－2yz⒖（x2－2xy＋y2）＋（2ax－2ay）⒗25－4x2－8xy－4y2一、把下列各式分解因式⒈3ax＋5ay－6bx－10by ⒉a2－b2－4a－4b⒊m2－4mn＋4n2－4 ⒋4－x2－2xy－y2⒌ax2－ay2＋a2x－a2y ⒍a3＋2a2b＋ab2－a⒎a2b2－a2－2ab－b2 ⒏x3－x2y＋xy2－y3⒐a3－a2b－ab2＋b3⒑（a2－2ab＋b2）－（x2－4xy＋4y2）⒒（x2＋4x＋4）－（2xy＋4y）⒓（ax－by）2＋（bx＋ay）2二、把下列各式分解因式⒈a2－b2＋x2－y2＋2ax－2by２．(a－2b)2＋6a－12b＋93．x2－2xy＋y2＋2x－2y＋14．（m2－4n2）＋（4n－1）５．（a2－m2－n2）2－4m2n2６．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋(c2x2＋c2y2)一、根据公式x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q），填空：⑴若x2＋ax－6＝(x＋3)(x－2), 则a＝＿＿＿⑵若x2－5x＋a＝（x－6）（x＋1），则a＝＿＿＿⑶若x2－mx＋n＝（x－4）（x－2），则m＝＿＿＿n＝＿＿＿⑷若x2＋mx－n＝（x＋5）（x－3），则m＝＿＿＿n＝＿＿＿二、如果a＋b＝5，ab＝4，那么关于x的二次三项式x2－abx－（a＋b）分解因式的结果（）A．（x－1）（x－4）B．（x－5）（x＋1）C．（x＋5）（x－1）D．（x＋1）（x＋4）三、把下列各式分解因式⒈x2＋px＋qx＋pq ⒉x2＋4x＋3⒊y2－5y－6 ⒋m2－7m＋6⒌p2＋9p－10 ⒍n2－5n－36⒎x2＋7x＋10 ⒏y2＋y－20⒐m2－11m＋28 ⒑－x2－3x－2⒒a2b2－6ab－16 ⒓y4－4y2＋4⒔4－5x＋x2⒕－m2＋3mn－2n2⒖a3－4a2－12a ⒗x2－3xy＋2y2第二单元复习练习一、填空⒈x（a－b）－y（a－b）＝＿＿＿＿＿＿＿＿⒉mx－my＋nx－ny＝＿＿＿＿＿＿＿＿⒊x2－y2＋2x－2y＝＿＿＿＿＿＿＿＿⒋x2－7x－18＝＿＿＿＿＿＿＿＿⒌a2＋2ab－8b2＝＿＿＿＿＿＿＿＿⒍x2＋（－a＋b）x－ab＝＿＿＿＿＿＿＿＿二、选择题⒈分解y2－y－6正确的是（）A．（y－3）（y－2）B．（y－3）（y＋2）C．（y－2）（y＋3）D．（y＋3）（y＋2）⒉用分组分解法把多项式m2－4n2＋4n－1分解因式，其中分组正确的是（）A．（m2－4n2）＋（4n－1）B．（m2－1）＋（4n－4n2）C．m2＋（－4n2＋4n－1）D．（m2－4n2＋4n）－1三、把下列各式分解因式⒈a2－5a－14 ⒉x（x－5）－6⒊－y2＋8y－20 ⒋m2＋4m－12⒌2a2－4a－16 ⒍ax－by＋ay－bx⒎m2－n2＋5m－5n ⒏x2y2－3xy＋2⒐m2－4mn＋4n2－9 ⒑1－x2－2xy－y2⒒a3－a2＋3a－3 ⒓9a2x－b2x－9a2＋b2⒔4mn－4m2－n2＋9 ⒕x2－bx＋3b－9⒖n2＋6x－x2－9 ⒗xy（a2＋1）＋（x2＋y2）a四、把下列各式分解因式⒈x2－5xy－6y2⒉（a－b）2－6（a－b）＋5⒊x2＋（3m＋n）x＋3mn ⒋（x2－4x）（x2－4x－2）－15⒌a2－2ab＋b2－4a＋4b－12 ⒍m4－m2－12附加题观察下列因式分解的过程：⑴m2－6m－16＝m2＋2m－8m－16＝（m2＋2m）－（8m＋16）＝m（m＋2）－8（m＋2）＝（m＋2）（m－8）⑵a4＋4b4＝a4＋4b4＋4a2b2－4a2b2＝（a4＋4a2b2＋4b4）－4a2b2＝（a2＋2b2）2－（2ab）2＝（a2＋2b2＋2ab）（a2＋2b2－2ab）＝（a2＋2ab＋2b2）（a2－2ab＋2b2）对于第⑴题，其方法为将－６m拆成（2m－8m），从而运用分组分解法分解因式，这种方法称为拆项法；对于第⑵题，其方法为添加了（4a2b2－4a2b2），构造分组分解的条件，这种方法称为添项法。