第5章57离散时间随机信号

•
Cxx(-m)=Rxx(-m)-m2x=Rxx(m)-m2x=Cxx(m)
•用类似的方法不难证明Rxy(m)=Ryx(-m)和Cxy(m)=Cyx(-m)。
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第5章57离散时间随机信号
性质4：
•特例：
•证明：由于已假设{xn}和{yn}都是实随机过程，因此下列不等式
成立：
•将左式左端展开，得
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第5章57离散时间随机信号
性质6：
•在随机过程中，两随机变量的时间间隔越大，它们的相关性越小。 时间间隔趋于无穷大的两随机变量，它们之间不再相关。这一性 质可用以下公式表示：
•根据性质1，由上列两式可以得出
•和
•性质6说明：相关序列和协方差序列都是非周期序列，而且随 着m值的增加逐渐衰减，当m值很大时，序列值已趋近为零。 因此，相关序列和协方差序列的Z变换或傅里叶变换通常是存 在的。
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第5章57离散时间随机信号
•在0<Ra<1的情况下，由于Sxx(z)的收敛域包含单位圆，所以 Rxx(m)的傅里叶变换总是存在的，即
•(5.61)
•今后，把式(5.59)和(5.61)都作为功率谱的定义。注意，Sxx(ejω)是 ω的周期函数，周期是2π。式(5.61)有时称为维纳-辛欣定理。式 (5.59)和(5.61)对应的逆变换公式分别为
第5章5-7离散时间随机 信号
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2020/11/26
第5章57离散时间随机信号
5.5 相关序列和协方差序列的性质
•根据相关函数和协方差函数的定义，稍加推导就可得到它们的 一些很有用的性质。我们把这些性质列举如下，以备将来参考。
•考虑两个实平稳随机过程{xn}和{yn}，它们的自相关序列、自协 方差序列、互相关序列和互协方差序列分别是
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第5章57离散时间随机信号
•类似地，可以定义两个平稳随机过程{xn}和{yn}的互功率谱：
•或
•根据互相关序列的性质3(式(5.52))，可以得出互功率谱具有以 下性质：
•自功率谱是实偶的，互功率谱却是复函数。因为Rxy(m)既不是偶 函数，也不是奇函数，不像Rxx(m)是实偶的。相关函数和功率谱 函数分别从相关域和频域这两个侧面去描述随机序列，它们反映 的都是随机序列的统计特性，可用于信号检测、时延分析，数字 系统设计和分析、故障诊断，信号谱分析等。
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•例5.9 相位为平稳随机过程的正弦序列仍然是一个平稳随机过 程，它的自相关序列为
•式中，A是正弦序列的振幅，ω0是正弦序列的角频率。求该正 弦序列的功率谱。 •解：由式(5.61)可以计算得到
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•例5.10 设平稳随机过程的自相关序列为
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•不管x(n)是确定性的还是随机性的信号，对于系统来说是没有 区别的，系统的冲激响应、输入信号和输出响应之间总是存在 着下列关系：
•设输入随机过程的均值、方差、自相关序列和功率谱分别为 mx、σ2x、Rxx(m)和Sxx(ejω)，现在来计算输出随机过程的相应的 特征参数，并讨论输入随机过程与输出随机过程之间这些参数 的关系。
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•(2)实平稳随机过程的功率谱是非负的，即
•(3)实平稳随机过程的功率谱是实函数，即 •式中，*号表示复共轭。
•(4)实平稳随机过程的功率谱是ω的偶函数，即
•从变换域的观点看，相关函数是一座桥梁：时域(序列)→相关 域(自相关函数) →频域(自功率谱)。自相关函数将无限能量序列 转变为有限能量序列，将随机序列转变为确定性序列，从而为 谱分析铺平了道路。但是，在这过程中失去了相位信息。所以， 从频谱可以恢复出原时域信号，但从自功率谱不能恢复出原随 机序列，只能得出序列的统计特性Rxx(m)。
•
Cxx(0)=E[(xn-mx)(xn-mx)]
•
=E[(xn-mx)2]
•
=σ2x
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性质3：
•证明：根据定义有
•
Rxx(-m)=E[xnxn-m]
• 令n-m=n’，即n=n’+m，则上式为
•
Rxx(-m)=E[xn'+mxn']=Rxx(m)
• 根据性质1和上式，得到
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•但是，随机过程的自协方差序列或自相关序列却能较全面描述 随机过程的特征，包括时域特征和频域特征。因为不管用哪个 取样序列来计算自协方差序列或自相关序列，得到的结果总是 相同的。换句话说，即使是由一个取样序列计算出来的自相关 序列或自协方差序列，也能作为对随机过程的本质描述。
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•例5.8 假设已知零均值白噪声随机过程的自相关序列为 Rxx(m)=σ2xδ(m)，这里σ2x是随机过程的方差。求该随机 过程的功率谱。 •解：由式(5.59)求得
•即白噪声的功率谱是常数，并等于随机过程的方差。
•即Sxx(z)的极点是关于单位圆对称的。现设Sxx(z)最接近于单位 圆的一个极点位于|z|＝Ra< 1的圆周上，那么Sxx(z)在|z|＝Ra-1>1 的圆周上必存在一个对应的极点，该极点也是最接近于单位圆 的，不过它处在单位圆外。因此，Sxx(z)的收敛域是一个包含 单位圆在内的环形区域Ra<|z|<Ra-1，这里0<Ra<1；如果Ra≥1则 Sxx(z)没有收敛域。
到
•所以
•令xn=yn，则上式化简为 •其余两式可用类似的方法证明。从下式开始证明。
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性质5： •若yn=xn-n0，则有
•证明：令n-n0=n'，根据定义和假设条件yn=xn-n0，有
•根据性质1，得到 •由于my=E[yn]=E[xn-n0]=mx，故上式变为 •利用性质5的第一个结论，即Ryy(m)=Rxx(m)，则上式成为
•求该随机过程的功率谱。 •解：
•以上3个例子中得到的功率谱都是实的、非负的偶函数。
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5.7 离散随机信号通过线性非移变 系统
•在数字信号处理的广泛应用领域中，常常需要用线性移不变 系统对信号进行滤波或处理。这些信号通常都是遍历性平稳随 机过程的取样序列。本节讨论当这样的离散随机信号作用于一 个线性移不变系统时，系统所产生的响应，具体要讨论的是系 统输出的数字特征(均值、方差、自相关序列和功率谱)与输入 的数字特征之间的关系。 •设线性非移变系统的冲激响应用h(n)表示，加在系统输入端的 离散随机信号x(n)是一个平稳随机过程(输入随机过程)的一个 取样序列，系统产生的输出信号(响应)y(n)也是一个离散随机 信号，把它看成是另一随机过程(输出随机过程)的一个取样序 列。
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5.6 功率谱
1、自协方差序列和自相关序列的傅里叶变换和z变换
• 在研究确定性信号时，人们经常用傅里叶变换或Z变换对信 号进行频谱分析。现在来讨论离散随机信号的频谱分析问题。 • 离散随机过程是它的无限多个取样序列的集合。实际中要处 理的离散时间信号，仅仅是无限多个取样序列中的一个。即使 对于遍历性的平稳随机过程，也只能根据它的一个取样序列， 来计算出它的均值、方差、均方值、自相关序列以及协方差序 列等特征量，这些特征量都是对随机过程的时域特征的描述。 • 随机信号不仅不可能用确定信号的表示方法来描述，而且它 们通常都是无限时宽和无限能量的信号，因而它们的傅里叶变 换和Z变换都是不存在的。即使计算它的Z变换，得到的Z变换 往往都没有收敛域。即使有收敛域，这个Z变换对应的频谱与其 它的取样序列的频谱通常也是不同的。
•称为平稳随机过程的功率谱。
•传统上，人们把功率谱定义成自相关序列Rxx(m)的Z变换。但那 样定义会带来不方便，因为当mx≠0时，根据式(5.57)可知，自相 关序列将不是一个有限能量序列，严格地说，它的Z变换是不存 在的。为了克服这个困难，不得不把Z变换的定义推广，即允许 在z＝1(或ω＝0) 处功率谱有一个冲激存在，因为根据Z变换的终 值定理(书本P.49)，有
•这说明，在z＝1处Sxx(z)有一个极点，或者说Sxx(ejω)在ω=0处 存在一个冲激。为减少这个麻烦，常把功率谱定义为自协方差
序列的Z变换。
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•采用这个定义，对于mx＝0的随机过程而言，由于Cxx(m)＝ Rxx(m)，所以现在的定义与传统的定义是一致的；对于mx≠0的随 机过程而言，由于Cxx(m)是有限能量序列，它的Z变换始终是存在 的，所以就无需对Z变换的定义进行推广。 •在今后的讨论中，总是假定随机信号的均值为零，即使对于均值 不为零的随机信号，也可以将其均值置为零，即重新定义一个零 均值随机信号{xn}－E[xn]，这对于随机过程的频谱分析不会带来 任何影响。因此，把平稳随机过程的功率谱的定义改写成下式：
•和 •一个随机序列x(n)的自相关函数Rxx(m)与该序列的自功率谱密度 函数Sxx(ejω)也是一个傅里叶变换对。
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•由上式可以得到 •根据自相关序列的性质2，上式即
•该式说明，功率谱在一个周期内的平均值就是随机过程的平 均功率。图5.5画出了功率谱函数在一个周期内的示意图。函 数曲线Sxx(ω)在-π<ω<π频率区间所围的面积恰等于随机过程的 平均功率的2π倍即2πE[x2]。因此，Sxx(ω)具有功率密度的物理 意义。所以，功率谱实际上是指功率密度谱，有时简称为谱。
•(5.59)
•对于该式，假定了mx=0。
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•3、功率谱的性质
•(1)根据自相关序列的性质3即书本P.168 式(5.52)，一个实平稳随 机过程的自相关序列是时间差m的偶函数，即Rxx(m)＝Rxx(－m)， 由Z变换的性质可以得出功率谱的一个性质：
•(5.60)
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性质1：
•当mx=0和my=0时，Cxx(m)=Rxx(m)和Cxy(m)=Rxy(m)。 •证明：根据定义有
•Rxx(m)=E[xnxn+m]
•Cxx(m)=E[(xn-mx)(xn+m-mx)]
•
=E[xnxn+m]-mxE[xn]-mxE[xn+m]+m2x
•此外，前节曾经指出，自协方差序列和在均值等于零情况下的 自相关序列都是有限能量序列，它们的傅里叶变换和Z变换总 是存在的。因此，在对离散随机过程进行频谱分析时，要用自 协方差序列或自相关序列取代随机过程的取样序列。
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2、功率谱的定义
•协方差序列Cxx(m)的Z变换：
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•上面6个性质可归纳成图5.4所示的图形。记住了这个图，也就 记住了这些性质。
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•从这6个性质可以得出以下重要结论： •(1)工程实际中常常要处理的信号是不可预知的具有无限能量 的非周期信号，这类信号不满足绝对可和条件，甚至不满足乘 以指数衰减序列后绝对可和的条件，因此它们的傅里叶变换和 Z变换都不存在。但是，如果将这类信号看成是一个离散随机 过程的取样序列，那么，由于其自相关序列和自协方差序列都 是非周期序列，而且当m趋于无穷大时，自协方差序列的值将 衰减为零，在均值等于零的条件下，其自相关序列的值也将衰 减为零，这说明自相关序列和自协方差序列都是有限能量序列， 它们的Z变换和傅里叶变换是存在的，因而可以在频域或Z域中 表示和分析这些信号。 •(2)自相关序列不仅反映出随机过程中不同时刻的随机变量之 间相关性的大小，而且可以根据自相关序列求出随机过程的均 值、均方值和方差等数字特征，正如性质6、性质2所说明的那 样。因此，自相关序列或自协方差序列是较全面地描述随机过 程特性的重要参量。
•
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=Rxx(m)-m2x
•Rxy(m)=E[xnyn+m]
•Cxy(m)=E[(xn-mx)(yn+m-my)
•
=E[xnyn+m]-mxE[yn+m]-myE[xn]+mxmy
•
=Rxy(m)-mxmy
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第5章57离散时间随机信号
性质2：
•证明：根据定义有
•
Rxx(0)=E[xnxn]=E[x2n]