指数函数和对数函数综合题目与标准答案

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高一数学指数函数和对数函数试题答案及解析

高一数学指数函数和对数函数试题答案及解析

高一数学指数函数和对数函数试题答案及解析一、选择题1. 函数 y = 2^x 的反函数是()A. y = log2(x)B. y = log(x)C. y = log2(x+1)D. y = log2(x-1)答案:A解析:由指数函数与对数函数的关系,我们知道指数函数y = 2^x 的反函数是对数函数 y = log2(x)。

因此,选项A正确。

2. 函数 y = log3(x) 的定义域是()A. x > 0B. x ≥ 1C. x < 0D. x ≤ 1答案:A解析:对数函数 y = log3(x) 的定义域是 x > 0,因为对数函数要求真数大于0。

所以选项A正确。

二、填空题1. 函数 y = 3^x 在 x = 2 时的函数值是________。

答案:9解析:将 x = 2 代入函数 y = 3^x,得到 y = 3^2 = 9。

2. 函数 y = log5(x) 在 x = 25 时的函数值是________。

答案:2解析:将 x = 25 代入函数 y = log5(x),得到 y =log5(25) = 2。

三、解答题1. 已知函数 y = 2^x 和 y = log2(x),求它们的交点坐标。

解析:为了求出两个函数的交点坐标,我们可以将两个函数相等,即:2^x = log2(x)对上式两边取以2为底的对数,得到:log2(2^x) = log2(log2(x))x = log2(log2(x))这是一个关于 x 的方程,我们可以通过换元法求解。

设t = log2(x),则原方程可化为:t = log2(t)2^t = t这是一个二次方程,我们可以通过解二次方程的方法求解。

将方程两边移项,得到:2^t - t = 0设 f(t) = 2^t - t,求导得到 f'(t) = 2^t ln(2) - 1。

令 f'(t) = 0,解得 t = log2(ln(2))。

2023高考数学山西卷指数函数与对数函数历年真题及答案

2023高考数学山西卷指数函数与对数函数历年真题及答案

2023高考数学山西卷指数函数与对数函数历年真题及答案一、指数函数真题1. 2008年山西卷真题已知函数f(x) = 2^x,x为实数。

若f(a) = f(b),则a与b的关系为()。

A. a = bB. a > bC. a < bD. a与b无法比较解析:根据指数函数的性质,若f(a) = f(b),则2^a = 2^b。

两边同时取对数得a = b,因此选项A为正确答案。

2. 2012年山西卷真题已知函数f(x) = 2^x,g(x) = log2(x + 1)。

若f(g(x)) = x,则x的取值范围是()。

A. (-∞, -1)B. [-1, ∞)C. (0, ∞)D. (-1, ∞)解析:将f(g(x))代入得2^(log2(x + 1)) = x,化简得x + 1 = x,显然该方程在任何实数范围内均无解。

因此选项D为正确答案。

二、对数函数真题1. 2009年山西卷真题设a,b为正实数,且满足loga(b^2 + 2ab) = 3,则loga(b + a)的值为()。

A. 2B. 3C. 4D. 5解析:根据对数函数的性质,loga(b^2 + 2ab) = loga((b + a)^2) = 3。

因此,b + a = a^3,化简得b = a^3 - a。

代入loga(b + a)中得loga(a^3) = 3。

根据对数的定义可以得到a^3 = a^3,显然成立。

因此选项B为正确答案。

2. 2015年山西卷真题已知函数f(x) = log2(x - 1),g(x) = log(x^2 - 2x)。

若f(g(x)) = 2a,则x的取值范围是()。

A. (1, ∞)B. (0, ∞)C. (2, ∞)D. (3, ∞)解析:将f(g(x))代入得log2(log(x^2 - 2x - 1)) = 2a,化简得log(x^2 - 2x - 1) = 2^(2a)。

根据对数函数的性质,x^2 - 2x - 1 = 2^(2a)。

(完整版)指数函数对数函数专练习题(含答案).docx

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指数函数及其性质1.指数函数概念一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为.2.指数函数函数性质:函数名称定义图象定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况变化对图象的影响指数函数函数且叫做指数函数图象过定点,即当时,.非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向看图象,逐渐减小 .对数函数及其性质1.对数函数定义一般地,函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域.2.对数函数性质:函数名称定义函数对数函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性图象过定点,即当非奇非偶时,.单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内,从顺时针方向看图象,看图象,逐渐减小 .逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向指数函数习题一、选择题aa ≤ b,则函数 f ( x ) =1?2x 的图象大致为 ()1.定义运算 a ?b =>b a b2.函数 f ( x ) = x 2-bx + c 满足 f (1 + x ) =f (1 - x ) 且 f (0) =3,则 f ( b x ) 与 f ( c x ) 的大小关系是()xxA . f ( b ) ≤ f ( c ) x xB . f ( b ) ≥ f ( c )xxC . f ( b )> f ( c )D .大小关系随 x 的不同而不同3.函数 y = |2 x - 1| 在区间A . ( - 1,+∞ )C . ( - 1,1)( k - 1, k + 1) 内不单调,则 k 的取值范围是 ()B . ( -∞, 1)D . (0,2)4.设函数 f ( x ) =ln [( x -1)(2 -x)] 的定义域是 ,函数 ( ) = lg(x - 2x -1) 的定义域是 ,Ag xaB若 ?,则正数a 的取值范围 ()ABA . a >3B . a ≥ 3C . a > 5D . a ≥ 5.已知函数 f (x = 3- a x -3, x ≤ 7,若数列 { a n 满足 a n = f (n )(n ∈ * ,且 {a n }是递5 ) a x - 6, x >7. } N) 增数列,则实数a 的取值范围是 ()A . [ 9, 3)B . ( 9, 3) 44C . (2,3)D . (1,3)2x16.已知 a >0 且 a ≠ 1,f ( x ) = x - a ,当 x ∈ ( - 1,1) 时,均有 f ( x )< 2,则实数 a 的取值范围 是( )1 1 A . (0 , 2] ∪ [2 ,+∞ ) B . [ 4, 1) ∪ (1,4]11C . [ 2, 1) ∪ (1,2]D . (0 , 4) ∪ [4 ,+∞ )二、填空题xa7.函数 y = a ( a >0,且 a ≠ 1) 在 [1,2] 上的最大值比最小值大 2,则 a 的值是 ________.8.若曲线 | y | = 2 x + 1 与直线 y =b 没有公共点,则b 的取值范围是 ________.| x|的定义域为9. (2011 ·滨州模拟 ) 定义:区间 [x 1,x 2 ]( x 1<x 2) 的长度为 x 2- x 1. 已知函数 y = 2 [a , b] ,值域为 [1,2] ,则区间 [a , b] 的长度的最大值与最小值的差为 ________.三、解答题10.求函数y=2x2 3x 4 的定义域、值域和单调区间.11.(2011 ·银川模拟 ) 若函数y=a2x+ 2a x-1( a>0 且a≠ 1) 在x∈ [- 1,1]上的最大值为14,求a 的值.12.已知函数f (x) = 3x,(a+ 2) = 18, (x) =λ·3ax-4x的定义域为 [0,1] .f g(1)求 a 的值;(2) 若函数g( x) 在区间 [0,1] 上是单调递减函数,求实数λ的取值范围.1. 解析:由? = a a≤ b x2x x≤0,b a>b x>0 .1答案: A2. 解析:∵f (1 +x) =f (1 -x) ,∴f ( x) 的对称轴为直线x=1,由此得 b=2.又 f (0)=3,∴c=3.∴f ( x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增.x≥2x≥ 1,∴ (3 x) ≥(2 x) .若 x≥0,则3f f若 x<0,则3x<2x<1,∴f (3x)> f (2x).∴f (3x)≥ f (2x).答案: A3.解析:由于函数 y=|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在区间 ( k- 1,k+ 1) 内不单调,所以有答案: Ck-1<0<k+1,解得-1<k<1.4.解析:由题意得: A=(1,2)x x>1x x>1在(1,2)上恒成立,即,a- 2且 a>2,由 A? B知 a- 2x x上恒成立,令x x xln a-2xln2>0 ,所以函数a-2 - 1>0 在 (1,2)u( x)=a- 2- 1,则u′( x) =au ( x ) 在 (1,2) 上单调递增,则 u ( x )> u (1) = a - 3,即 a ≥ 3.答案: B*f ( n ) 为增函数,5. 解析: 数列 { a } 满足 a = f ( n )( n ∈ N ) ,则函数nna >18- 6- ) × 7- 3,所以 3- a >0注意 a>(3,解得 2<a <3.aa8-6> 3- a × 7-3答案: C1 2x1 21 x x21的图象,6. 解析: f ( x )<? x -a < ? x - <a ,考查函数 y = a与 y =x - 2222当 a >1 时,必有 a-1≥1,即 1<a ≤ 2,21 1当 0<a <1 时,必有 a ≥ ,即 ≤a <1,2 2 1 综上, 2≤ a <1 或 1<a ≤ 2. 答案: C7. 解析: 当 a >1 时, y x在 [1,2] 上单调递增,故 2a3x= a a - a = ,得 a = . 当 0<a <1 时, y = a2 22a在 [1,2] 上单调递减,故 a -a = 2,得 a = 2. 故 a =2或 2.1131 3答案: 2或28. 解析: 分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.x+1 与直线 y = b 的图象如图所示,由图象可得:如果x+ 1 与直线 y = b曲线 | y | = 2 | y | = 2没有公共点,则 b 应满足的条件是 b ∈ [- 1,1] .答案: [- 1,1]9. 解析: 如图满足条件的区间 [a , b] ,当 a =- 1, b = 0 或 a = 0, b = 1 时区间长度最小,最小值为 1,当 a =- 1,b = 1 时区间长度最大,最大值为2,故其差为 1.答案: 110. 解: 要使函数有意义,则只需- x 2-3x + 4≥ 0,即 x 2+ 3x -4≤ 0,解得- 4≤ x ≤ 1.∴函数的定义域为 { x | -4≤ x ≤ 1} .223225 令 t =- x - 3x + 4,则 t =- x - 3x + 4=- ( x + ) +4,2253∴当-4≤ x ≤ 1 时, t max = 4 ,此时 x =- 2, t min = 0,此时 x =- 4 或 x =1.∴0≤t ≤ 25 . ∴0≤ -x 2- 3x + 4≤ 5 .4 2∴函数 y = ( 1)x 23 x4的值域为 [ 2 , 1] .8223 225由 t =- x - 3x + 4=- ( x + )+4( - 4≤ x ≤ 1) 可知,23当- 4≤ x ≤- 2时, t 是增函数,3当- 2≤ x ≤1 时, t 是减函数.根据复合函数的单调性知:y = ( 1 )x 23 x 4在 [ - 4,- 3 3] 上是减函数,在 [ - ,1] 上是增函数.22 233∴函数的单调增区间是 [ - 2, 1] ,单调减区间是 [ - 4,- 2] . 11. 解: 令x22tt >0y= t+ 2t1= ( t+ 1)2,其对称轴为t =- 1.该二次函数a = ,∴ ,则--在[ - 1,+ ∞ ) 上是增函数.x12①若 a >1,∵x ∈ [ - 1,1] ,∴t = a ∈ [ a , a ] ,故当 t = a ,即 x =1 时, y max =a + 2a - 1=14,解得 a = 3( a =- 5 舍去 ) .②若 0<a <1,∵x ∈ [ - 1,1] ,∴ = x∈1 1=-时,a [ a , ] ,故当 t = ,即 1t a ax12y max = (a + 1) - 2= 14.11∴a =3或- 5( 舍去 ) .1综上可得 a = 3 或 3.12. 解: 法一: (1) 由已知得 a2 aa =log 32.3 += 18? 3 = 2?(2) 此时 g ( x ) = λ·2x - 4 x ,设 0≤ x 1<x 2≤ 1,因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数,所以 g ( x ) - g ( x ) = (2 x - 2x )( λ- 2x - 2x )>0 恒成立,即 λ<2x + 2x 恒成立.1 2 1 2 2 1 2 1由于 2x 2+ 2x 1>2 + 2 = 2,所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.法二: (1) 同法一.(2) 此时 g ( x ) = λ·2x - 4x ,因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数,所以有 g ′( x ) = λln2 ·2x - ln4 ·4x = ln2 [- 2 ·(2x )2+ λ·2x] ≤0 成立.x2 设 2 = u ∈ [1,2] ,上式成立等价于-2u+ λu ≤0 恒成立.因为 u ∈ [1,2] ,只需 λ≤2u 恒成立,所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知 3a2 ,那么 log3 8 2log 3 6 用 a 表示是()A 、 a 2B 、 5a2C 、 3a (1 a)2D 、 3a a 22、 2log a (M 2N ) log a Mlog a N ,则M的值为()A 、1NB 、4C 、1D 、 4 或 1413 、 已 知 x 2 y 2 1, x0, y 0 , 且 log a (1 x) m,log a n,则 log a y 等 于1 x()A 、 m nB 、 m nC 、 1m nD 、 1m n224、如果方程 lg 2 x (lg5lg 7)lgx lg5 glg 7 0 的两根是 ,,则 g的值是()A 、 lg5 glg 7B 、 lg35C 、 35D 、13515、已知 log 7[log 3 (log 2 x)] 0,那么 x2等于( )A 、1B 、13 C 、1D 、1322 2336、函数 ylg2 1 的图像关于()1 xA 、 x 轴对称B 、 y 轴对称C 、原点对称D 、直线 yx 对称7、函数 ylog (2 x 1) 3x2 的定义域是()A 、 2,1 U 1,B 、 1,1 U 1,32C 、 2,D 、 1,328、函数 ylog 1 (x 2 6x17) 的值域是()2A 、 RB 、 8,C 、, 3D 、 3,9、若 log m 9 log n 9 0 ,那么 m, n 满足的条件是( )A 、 m n 1B 、 n m 1C 、 0 n m 1D 、 0 m n 110、 log a 2 1,则 a 的取值范围是()3A 、 0, 2U 1,B 、 2,C 、 2,1D 、 0, 2U 2,3333 311、下列函数中,在 0,2 上为增函数的是()A 、 ylog 1 ( x1)B 、 y log 2 x 2 12C 、 ylog 2 1D 、 ylog 1 ( x 2 4x 5)x212、已知 g( x) log a x+1 ( a 0且a 1) 在 10, 上有 g( x)0 ,则 f ( x)a x 1 是( )A 、在 ,0上是增加的 B 、在 ,0 上是减少的C 、在, 1 上是增加的D 、在,0 上是减少的二、填空题13、若 log a 2 m,log a 3 n, a 2 m n 。

指数函数与对数函数专项训练(解析版)

指数函数与对数函数专项训练(解析版)

指数函数与对数函数专项训练一、单选题1.(23-24高一下·云南玉溪·期末)函数()()2lg 35f x x x =-的定义域为()A .()0,∞+B .50,3⎛⎫⎪C .()5,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪D .5,3⎛⎫+∞ ⎪【答案】C【详解】由题意知,2350x x ->,即(35)0x x ->,所以0x <或53x >.故选:C.2.(23-24高一上·云南昭通·期末)函数()327x f x x =+-的零点所在的区间是()A .()0,1B .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .3,22⎛⎫⎪D .()2,3【答案】B【详解】∵3x y =和27y x =-均在R 上单调递增,∴()327x f x x =+-在R 上单调递增;又()12f =-,327402f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,∴()f x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点,故选:B.3.(23-24高一上·云南昆明·期末)滇池是云南省面积最大的高原淡水湖,一段时间曾由于人类活动的加剧,滇池水质恶化,藻类水华事件频发.在适当的条件下,藻类的生长会进入指数增长阶段.滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长,其模型为23 1.65x y -=⨯.经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华.如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后,鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-,将两函数模型放在同期进行比较,如图所示.下列说法正确的是(参考数据:671.6520.2,1.6533.3≈≈)()A .水华面积占比每月增长率为1.65B .如果不采取有效措施,到8月水华的面积占比就会达到60%左右C .“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用D .7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理【答案】B【详解】对于A ,由于模型23 1.65x y -=⨯呈指数增长,故A 错误;对于B ,当8x =时,8220.63 1.605326.y -⨯==⨯≈,故B 正确;对于C ,因为鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-,所以“以鱼控藻”模式对水华面积占比减少起到作用,故C 错误;对于D ,由两函数模型放在同期进行比较的图象可知,7月后滇池藻类水华并不会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理,故D 错误.故选:B.4.(23-24高一上·云南昭通·期末)()()1log 14a f x x =-+(0a >且1a ≠)的图象恒过定点M ,幂函数()g x 过点M ,则12g ⎛⎫⎪⎝⎭为()A .1B .2C .3D .4【答案】D【详解】()()1log 14a f x x =-+,令11x -=,得2x =,()124f =,则()()1log 14a f x x =-+(0a >且1a ≠)恒过定点12,4M ⎛⎫⎪⎝⎭,设()g x x α=,则124α=,即2α=-,即()2g x x -=,∴142g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故选:D.5.(23-24高一下·云南楚雄·期末)已知0.320.3lo g 3,2,lo g 2a b c -===,则()A .c b a <<B .<<b c aC .<<c a bD .a b c<<【答案】A【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增,且234<<,所以222log 2log 3log 4<<,所以21log 32<<,即12a <<,因为2x y =在R 上递增,且0.30-<,所以0.300221-<<=,即01b <<,因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减,且12<,所以0.30.3log 1log 2>,所以0.3log 20<,即0c <,所以c b a <<.故选:A6.(23-24高一上·云南·期末)若()21()ln 1||f x x x =+-,设()0.3(3),(ln2),2a f b f c f =-==,则a ,b ,c 的大小关系为()A .c a b >>B .b c a >>C .a b c >>D .a c b>>【答案】D【详解】由题意知()(),00,x ∈-∞⋃+∞,由()()()21ln 1f x x f x x⎡⎤-=-+-=⎣⎦-,所以()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,当0x >时,由复合函数的单调性法则知()f x 随x 的增大而增大,即()0,x ∈+∞,()21()ln 1||f x x x =+-单调递增,因为()()33a f f =-=,()0.3(ln2),2b f c f ==,且00.3112222=<<=,0ln2lne 1<<=,所以0.3ln 223<<,所以()()()0.3ln223f f f <<-,即b c a <<,也就是a c b >>.故选:D7.(23-24高一下·云南·期末)设222,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解,则实数a 的取值范围是()A .[]1,2B .(2,3]C .()2,+∞D .()3,+∞【答案】B【详解】方程2[()](2)()20f x a f x a -++=化为[()2][()]0f x f x a --=,解得()2f x =或()f x a =,函数()f x 在(,0]-∞上单调递增,函数值的集合为(2,3],在(0,1]上单调递减,函数值的集合为[0,)+∞,在[1,)+∞上单调递增,函数值的集合为[0,)+∞,在同一坐标系内作出直线2,y y a ==与函数()y f x =的图象,显然直线2y =与函数()y f x =的图象有两个交点,由关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解,则直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点,此时23a <≤,所以实数a 的取值范围是(2,3].故选:B8.(23-24高一下·云南昆明·期末)若()12:lo g 11,:39a p a q --<<,则p 是q 的()条件A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要【答案】A【详解】对于()22:log 11log 2p a -<=,则012a <-<,解得13a <<;对于1:39a q -<,则12a -<,解得3a <;因为{}|13a a <<是{}|3a a <的真子集,所以p 是q 的充分不必要条件.故选:A.二、多选题9.(23-24高一上·云南迪庆·期末)已知函数()()2ln 2f x x x =-,则下列结论正确的是()A .函数()f x 的单调递增区间是[)1,+∞B .函数()f x 的值域是RC .函数()f x 的图象关于1x =对称D .不等式()ln 3f x <的解集是()1,3-【答案】BC【详解】对于A ,当1x =时,2210x x -=-<,此时()()2ln 2f x x x =-无意义,故A 错误;对于B ,由于()22y g x x x ==-的值域为[)1,-+∞,满足()[)0,1,+∞⊆-+∞,所以函数()f x 的值域是R ,故B 正确;对于C ,由题意()()()22ln 2ln 11f x x x x ⎡⎤=-=--⎣⎦,且定义域为()(),02,-∞+∞ ,它满足()()()21ln 11f x x f x+=-=-,即函数()f x 的图象关于1x =对称,故C 正确;对于D ,由于()f x 的定义域为()(),02,-∞+∞ ,故D 错误.故选:BC.10.(23-24高一上·云南昆明·期末)已知函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩,若1234x x x x <<<,且()()()()1234fx fx fx fx ===,则下列结论中正确的是()A .122x x +=-B .1204x x <<C .()41,4x ∈D .342x x +的取值范围是332,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BC【详解】作出函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩的图像如图.对于选项A,根据二次函数的对称性知,12()224x x +=⨯=--,故A 项错误;对于选项B ,因120x x <<,由上述分析知124x x +=-,则21212120()()()42x x x x x x --<=-⋅-≤=,因12x x ≠,故有1204x x <<,即B 项正确;对于选项C ,如图,因0x ≤时,2211()2(2)2222f x x x x =--=-++≤,0x >时,2()|log |f x x =,依题意须使20|log |2x <<,由2|log |0x >得1x ≠,由2|log |2x <解得:144x <<,故有3411,144x x <<<<,即C项正确;对于选项D ,由图知2324log log x x -=,可得341x x =,故431x x =,则343322x x x x ++=,3114x <<,不妨设21,(,1)4y x x x =+∈,显然函数2y x x =+在(1,14)上单调递减,故23334x x <+<,即342x x +的取值范围是(333,4),故D 项错误.故选:BC.11.(23-24高一上·云南昆明·期末)关于函数()ln f x x x =+,以下结论正确的是()A .方程()0f x =有唯一的实数解c ,且(0,1)c ∈B .对,0,()()()x y f xy f x f y ∀>=+恒成立C .对()1212,0x x x x ∀>≠,都有()()1212f x f x x x ->-D .对12,0x x ∀>,均有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪【答案】AC【详解】A 选项,由于1y x =在R 上单调递增,2ln y x =在()0,∞+上单调递增,故()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增,又()11ln 30,11033f f ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭,故由零点存在性定理可得,方程()0f x =有唯一的实数解c ,且(0,1)c ∈,A 正确;B 选项,()ln f xy xy xy =+,()()ln ln ln f x f y x x y y x y xy +=+++=++,显然,0x y ∀>,由于xy 与x y +不一定相等,故()()f x f y +与()f xy 不一定相等,B 错误;C 选项,由A 选项可知,()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增,对()1212,0x x x x ∀>≠,都有()()12120f x f x x x ->-,C 正确;D 选项,12,0x x ∀>,均有121212ln 222x xx x x x f +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()()12112212121212ln ln ln ln 22222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++++==+=+,由于12122x x x x +≥,当且仅当12x x =时,等号成立,故1212ln ln 2x x x x +≥,即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,D 错误.故选:AC 三、填空题12.(23-24高一上·云南昆明·期末)()()2,(1)29,1x a x f x x ax a x ⎧>⎪=⎨-++-≤⎪⎩是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为.【答案】[]2,5【详解】因为在R 递增,则112129a a a a a⎧⎪⎪≥⎨⎪-++-≤⎪⎩>,解得:25a ≤≤,故答案为:[]2,513.(23-24高一下·云南昆明·期末)设函数()ln(1)f x x =+,2()g x x a =-+,若曲线()y f x =与曲线()y g x =有两个交点,则实数a 的取值范围是.【答案】(0,)+∞【详解】当0x ≥时,()ln(1),f x x =+当0x <时()ln(1),f x x =-+函数图象示意图为则2()g x x a =-+与()ln (1)f x x =+有两个零点知a 的取值范围是(0,)+∞.故答案为:(0,).+∞14.(23-24高一下·云南玉溪·期末)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier ,1550-1617)在研究天文学的过程中,经过对运算体系的多年研究后发明的对数,为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =⨯≤<∈Z ,则lg lg (0lg 1)N n a a =+≤<,这样我们可以知道N 的位数为1n +.已知正整数M ,若10M 是10位数,则M 的值为.(参考数据:0.9 1.1107.94,1012.56≈≈)【答案】8或9【详解】依题意可得910101010M ≤<,两边取常用对数可得91010lg10lg lg10M ≤<,即910lg 10M ≤<,所以0.9lg 1M ≤<,即0.91010M ≤<,又M 为正整数,所以8M =或9M =.故答案为:8或9四、解答题15.(23-24高一上·云南昆明·期末)设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠.(1)若(12)3f =,解不等式()0f x >;(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1,求a 的值.【答案】(1)10(,)3+∞(2)2a =或12a =【详解】(1)由(12)3f =可得log (123)13a -+=,解得3a =,即3()log (3)1,(3)f x x x =-+>,则()0f x >,即3log (3)10x -+>,即310,1333x x x >⎧⎪∴>⎨->⎪⎩,故不等式()0f x >的解集为10(,)3+∞;(2)由于()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1,故log 11(log 21)1a a +-+=,即log 21,2a a =∴=或12a =,即a 的值为2a =或12a =.16.(23-24高一上·云南昭通·期末)化简求值:(1)()13103420.027π4160.49--++;(2)ln22311lg125lg40.1e log 9log 1632-+++⨯.【答案】(1)8(2)9【详解】(1)()13103420.027π4160.49--++()()()1313423420.3120.7⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦0.3180.78=-++=;(2)ln22311lg125lg4lg 0.1e log 9log 1632-++++⨯3211112lg34lg2lg5lg23222lg2lg3=+-++⨯lg 5lg28=++9=.17.(23-24高一上·云南·期末)已知定义域为R 的函数()11333xx m f x +-⋅=+是奇函数.(1)求m 的值并利用定义证明函数()f x 的单调性;(2)若对于任意t ∈R ,不等式()()22620f t t f t k -+-<恒成立,求实数k 的取值范围.【答案】(1)1m =,证明见解析(2)3k <-【详解】(1)因为()f x 是奇函数,函数的定义域为R ,所以(0)0f =,所以1033m-=+,所以1m =,经检验满足()()f x f x -=-易知()11312133331x x x f x +-⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭设12x x <,则2112122(33)()()3(31)(31)x x x x f x f x --=++因为3x y =在实数集上是增函数,故12()()0f x f x ->.所以()f x 在R 上是单调减函数(2)由(1)知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.又因为()f x 是奇函数,所以()()22620f t t f t k -+-<等价于()()2262f t t f k t-<-,因为()f x 为减函数,由上式可得:2262t t k t ->-.即对一切t R ∈有:2360t t k -->,从而判别式361203k k ∆=+<⇒<-.所以k 的取值范围是3k <-.18.(23-24高一下·云南昆明·期末)已知函数1()xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (0a >且1a ≠).(1)讨论()f x 的单调性(不需证明);(2)若2a =,(ⅰ)解不等式3()2≤f x x;(ⅱ)若21()(22))2(x g f x t x x f +=-+在区间[]1,1-上的最小值为74-,求t 的值.【答案】(1)答案见解析(2)(ⅰ)(](],10,1-∞-⋃;(ⅱ)2t =-或2t =【详解】(1)若1a >,则1()()x xf x a a=-在R 上单调递增;若01a <<,则1()()x xf x a a=-在R 上单调递减.(2)(ⅰ)3()2≤f x x ,即132()022xx x --≤,设13()2()22xx g x x=--,则(1)0g =,()()g x g x -=-,所以()g x 为奇函数,当0x >时,()g x 单调递增,由()(1)g x g ≤,解得01x <≤,根据奇函数的性质,当0x <时,()(1)g x g ≤的解为1x ≤-,综上所述,3()2≤f x x的解集为(](],10,1-∞-⋃.(ⅱ)2122()2(2)2()222(22)x x x x x g x f x tf x t +--=-+=++-,令22x x m --=,因为[]1,1x ∈-,则33,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以2()()22g x h m m tm ==++,其图象为开口向上,对称轴为m t=-的抛物线,①当32t -≤-,即32t ≥时,min 39177()()3232444h m h t t =-=-+=-=-,解得2t =.②当3322t -<-<,即3322t -<<时,222min 7()()2224h m h t t t t =-=-+=-+=-,解得1152t =,2152t =-矛盾.③当32t -≥,即32t ≤-时,min 39177()()3232444h m h t t ==++=+=-,解得2t =-.综上所述,2t =-或2t =.19.(23-24高一上·云南昆明·期末)函数()e (0)x f x mx m =-<.(1)求(1)f -和(0)f 的值,判断()f x 的单调性并用定义加以证明;(2)设0x 是函数()f x 的一个零点,当1em <-时,()02f x k >,求整数k 的最大值.【答案】(1)1(1)e f m --=+,(0)1f =,()f x 在定义域R 上单调递增,证明见解析,(2)整数k 的最大值为1-【详解】(1)1(1)e f m --=+,(0)1f =,判断()f x 在定义域R 上单调递增,证明如下:在R 上任取1x ,2x ,且12x x <,则1212121212()()e (e )(e e )()x x x x f x f x mx mx m x x -=---=---,因为12x x <,0m <,所以12e e x x <,120x x -<,0m ->,所以12e e 0x x -<,12()0m x x --<,所以1212(e e )()0x x m x x ---<,即12())0(f x f x -<,所以12()()f x f x <,所以()f x 在定义域R 上单调递增.(2)由题意得0()0f x =,即00e 0x mx -=,1em <-,则10e m +<,即0(1)0()f f x -<=,由()f x 是R 上的增函数,所以01x -<,又0(0)10()f f x =>=,所以010x -<<,0200(2)e 2x f x mx =-002e 2e x x =-,令01e (ext =∈,1),则22()2(1)1g t t t t =-=--,所以()g t 在1(e ,1)上单调递减,所以()()11g t g >=-,即0(2)1f x >-,当1em <-时,0(2)f x k >,所以1k ≤-,所以整数k 的最大值为1-.。

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2,10b=3,则log56=()A.a+b1+a B.a+b1−aC.a−b1+aD.a−b1−a答案:B分析:指数式化为对数式求b,再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3,∴b=lg3,∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a.故选:B.2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是()A.B.C.D.答案:C分析:首先判断函数的奇偶性,再根据特殊值判断即可;解:∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x),∴f(x)是偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A,B选项;∵f(1)=2=f(2),∴f(x)在[0,2]上不单调,排除D选项.故选:C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为( )A .1B .m 120C .m 512D .m 答案:D分析:由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选:D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数,实数a 的取值范围是( )A .[1,5]B .[32,5) C .(32,5)D .(1,5) 答案:B分析:由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ,解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数,所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ,解得32≤a <5,故选:B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是( )A .[−1,3)B .(−1,3)C .(−1,3]D .[−1,3] 答案:C分析:由题可得{3−x ≥0x +1>0,即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0,解得−1<x ≤3, 即函数的定义域是(−1,3].故选:C.6、下列函数中是增函数的为( )A .f (x )=−xB .f (x )=(23)xC .f (x )=x 2D .f (x )=√x 3答案:D分析:根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ,f (x )=−x 为R 上的减函数,不合题意,舍. 对于B ,f (x )=(23)x为R 上的减函数,不合题意,舍.对于C ,f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数,不合题意,舍. 对于D ,f (x )=√x 3为R 上的增函数,符合题意, 故选:D.7、下列计算中结果正确的是( ) A .log 102+log 105=1B .log 46log 43=log 42=12C .(log 515)3=3log 515=−3D .13log 28=√log 283=√33答案:A分析:直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得;解:对于A :log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1,故A 正确; 对于B :log 46log 43=log 36,故B 错误;对于C :(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1,故C 错误; 对于D :13log 28=13log 223=13×3log 22=1,故D 错误; 故选:A8、荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365≈37.7834;而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍,大约经过(参考数据:lg101≈2.0043,lg99≈1.9956) ( )天.A .200天B .210天C .220天D .230天 答案:D分析:根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ,求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍,则100×0.99x=1.01x,即(1.010.99)x =100,∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230.故选:D . 多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x,则下面几个结论正确的有( )A .f(x)的图象关于原点对称B .f(x)的图象关于y 轴对称C .f(x)的值域为(−1,1)D .∀x 1,x 2∈R ,且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案:ACD分析:利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误,利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ,f(x)=1−2x1+2x ,则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x), 则f(x)为奇函数,故图象关于原点对称,故A 正确.对于B ,计算f(1)=−13,f(−1)=13≠f(1),故f(x)的图象不关于y 轴对称,故B 错误. 对于C ,f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ,1+2x =t,t ∈(1,+∞),故y =f(x)=−1+2t ,易知:−1+2t ∈(−1,1),故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ,f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ,因为y =1+2x 在R 上为增函数,y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数, 由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减,故∀x 1,x 2∈R ,且x 1≠x 2,f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立,故D 正确.故选:ACD.小提示:方法点睛:复合函数的单调性的研究,往往需要将其转化为简单函数的复合,通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0),则下列说法正确的是( ) A .若f (x )=x 有实根,则方程f(f (x ))=x 有实根 B .若f (x )=x 无实根,则方程f(f (x ))=x 无实根 C .若f (−b 2a)<0,则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D .若f (f (−b 2a))<0,则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案:ABD分析:直接利用代入法可判断A 选项的正误;推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立,结合该不等式可判断B 选项的正误;取f (x )=x 2−x ,结合方程思想可判断C 选项的正误;利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项,设f (x )=x 有实根x =x 0,则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0,A 选项正确; 对于B 选项,因为a >0,若方程f (x )=x 无实根,则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立, 故f(f (x ))>f (x )>x ,从而方程f(f (x ))=x 无实根,B 选项正确;对于C 选项,取f (x )=x 2−x ,则f (12)=−14<0,函数y =f (x )有两个零点, 则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0,可得f (x )=0或f (x )=1,即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1,解方程x 2−x −1=0,解得x =1±√52. 此时,函数y =f(f (x ))有4个零点,C 选项错误;对于D 选项,因为f (f (−b2a ))<0,设t =f (−b2a ),则t =f (x )min , 因为f (t )<0且a >0,所以,函数f (x )必有两个零点,设为x 1、x 2且x 1<x 2, 则x 1<t <x 2,所以,方程f (x )=x 1无解,方程f (x )=x 2有两解,因此,若f(f(−b))<0,则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点,D选项正确.2a故选:ABD.小提示:思路点睛:对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题,求解思路如下:(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u);(2)确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n);(3)确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n,则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km 但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是()A.出租车行驶4km,乘客需付费9.6元B.出租车行驶10km,乘客需付费25.45元C.某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9km答案:BCD分析:根据题意分别计算各个选项的情况,即可得答案.对于A选项:出租车行驶4km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元,故A错误;对于B选项:出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元,故B正确;对于C选项:乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元,乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,故C正确;对于D选项:设出租车行驶x km时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6,知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,故D正确.故选:BCD.小提示:本题考查函数模型的应用,解题要点为认真审题,根据题意逐一分析选项即可,属基础题.12、若log2m=log4n,则()A.n=2m B.log9n=log3mC.lnn=2lnm D.log2m=log8(mn)答案:BCD分析:利用对数运算化简已知条件,然后对选项进行分析,从而确定正确选项.依题意log2m=log4n,所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12,所以m=n 12,m2=n,A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m,B选项正确.lnn=lnm2=2lnm,C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m,D选项正确.故选:BCD13、在平面直角坐标系中,我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”,下列函数的图象中存在完美点的是()A.y=﹣2x B.y=x﹣6C.y=3xD.y=x2﹣3x+4答案:ACD分析:横纵坐标相等的函数即y=x,与y=x有交点即存在完美点,依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x,与y=x有交点即存在完美点,对于A,{y=xy=−2x,解得{x=0y=0,即存在完美点(0,0),对于B,{y=xy=x−6,无解,即不存在完美点,对于C,{y=xy=3x,解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3,即存在完美点(√3,√3),(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4,x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0,解得x=2,即存在完美点(2,2).故选:ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案:a-1分析:根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0,a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是:a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,则满足题意的一个函数解析式为______.答案:f(x)=|log2(x+1)|(答案不唯一,满足f(x)=|log a(x+b)|,a>1,b≥1即可)分析:根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|.所以答案是:f(x)=|log2(x+1)|(答案不唯一)16、函数y=log a(x+1)-2(a>0且a≠1)的图象恒过点________.答案:(0,-2)分析:由对数函数的图象所过定点求解.解:依题意,x+1=1,即x=0时,y=log a(0+1)-2=0-2=-2,故图象恒过定点(0,-2).所以答案是:(0,-2)解答题17、(1)计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1;(2)若x 12+x−12=√6,求x 2+x −2的值.答案:(1)-5;(2)14.分析:(1)由题意利用分数指数幂的运算法则,计算求得结果. (2)由题意两次利用完全平方公式,计算求得结果. (1)0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5.(2)若x 12+x −12=√6,∴x +1x +2=6,x +1x =4,∴x 2+x ﹣2+2=16,∴x 2+x ﹣2=14.18、已知函数f (x )=2x −12x +1.(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性;(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立,求实数k 的取值范围. 答案:(1)f (x )在R 上单调递增;证明见解析 (2)(−∞,43)分析:(1)设x 2>x 1,可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0,由此可得结论;(2)利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数,结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1,由g (x )单调性可求得g (x )≥43,由此可得k 的取值范围.(1)f (x )在R 上单调递增,证明如下: 设x 2>x 1,∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1);∵x 2>x 1,∴2x 2−2x 1>0,又2x 2+1>0,2x 1+1>0,∴f (x 2)−f (x 1)>0, ∴f (x )在R 上单调递增. (2)∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x ),∴f (x )为R 上的奇函数,由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得:f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2),由(1)知:f(x)在R上单调递增,∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立;当x≥1时,3x≥3,∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立;令g(x)=3x−23x−1,∵y=3x在[1,+∞)上单调递增,y=23x在[1,+∞)上单调递减,∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43,∴k<43,即实数k的取值范围为(−∞,43).。

《指数函数对数函数》练习题(附答案)

《指数函数对数函数》练习题(附答案)

指数函数及其性质1.指数函数概念一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为.2.指数函数函数性质:函数且叫做指数函数图象过定点,即当时,.在上是增函数在上是减函数变化对图象的影响在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向看图象,逐渐减小.对数函数及其性质1.对数函数定义一般地,函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域.2.对数函数性质:函数且叫做对数函数图象过定点,即当时,.在上是增函数在上是减函数变化对图象的影响在第一象限内,从顺时针方向看图象,逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向看图象,逐渐减小.指数函数习题一、选择题1.定义运算a ⊗b =⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b ),则函数f (x )=1⊗2x的图象大致为( )2.函数f (x )=x 2-bx +c 满足f (1+x )=f (1-x )且f (0)=3,则f (b x )与f (c x)的大小关系是( )A .f (b x )≤f (c x)B .f (b x )≥f (c x)C .f (b x )>f (c x)D .大小关系随x 的不同而不同3.函数y =|2x-1|在区间(k -1,k +1)内不单调,则k 的取值范围是( ) A .(-1,+∞) B .(-∞,1) C .(-1,1) D .(0,2)4.设函数f (x )=ln [(x -1)(2-x )]的定义域是A ,函数g (x )=lg(a x-2x-1)的定义域是B ,若A ⊆B ,则正数a 的取值范围( ) A .a >3 B .a ≥3 C .a >5D .a ≥ 55.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3-a )x -3,x ≤7,a x -6,x >7.若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),且{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( ) A .[94,3) B .(94,3)C .(2,3)D .(1,3)6.已知a >0且a ≠1,f (x )=x 2-a x,当x ∈(-1,1)时,均有f (x )<12,则实数a 的取值范围是( )A .(0,12]∪[2,+∞)B .[14,1)∪(1,4]C .[12,1)∪(1,2]D .(0,14)∪[4,+∞)二、填空题7.函数y =a x(a >0,且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2,则a 的值是________.8.若曲线|y |=2x+1与直线y =b 没有公共点,则b 的取值范围是________.9.(2011·滨州模拟)定义:区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1.已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ],值域为[1,2],则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.三、解答题10.求函数y =2的定义域、值域和单调区间.11.(2011·银川模拟)若函数y =a 2x +2a x-1(a >0且a ≠1)在x ∈[-1,1]上的最大值为14,求a 的值.12.已知函数f (x )=3x ,f (a +2)=18,g (x )=λ·3ax -4x的定义域为[0,1]. (1)求a 的值;(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围.1.解读:由a ⊗b =⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )得f (x )=1⊗2x=⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≤0),1 (x >0).答案:A2. 解读:∵f (1+x )=f (1-x ),∴f (x )的对称轴为直线x =1,由此得b =2. 又f (0)=3,∴c =3.∴f (x )在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增.若x ≥0,则3x ≥2x ≥1,∴f (3x )≥f (2x).若x <0,则3x <2x <1,∴f (3x )>f (2x).∴f (3x )≥f (2x). 答案:A3.解读:由于函数y =|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在区间(k -1,k +1)内不单调,所以有k -1<0<k +1,解得-1<k <1. 答案:C4. 解读:由题意得:A =(1,2),a x -2x >1且a >2,由A ⊆B 知a x -2x>1在(1,2)上恒成立,即a x -2x -1>0在(1,2)上恒成立,令u (x )=a x -2x -1,则u ′(x )=a x ln a -2x ln2>0,所以函数u (x )在(1,2)上单调递增,则u (x )>u (1)=a -3,即a ≥3. 答案:B5. 解读:数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),则函数f (n )为增函数,注意a 8-6>(3-a )×7-3,所以⎩⎪⎨⎪⎧a >13-a >0a 8-6>(3-a )×7-3,解得2<a <3.答案:C6. 解读:f (x )<12⇔x 2-a x <12⇔x 2-12<a x ,考查函数y =a x 与y =x 2-12的图象,当a >1时,必有a -1≥12,即1<a ≤2,当0<a <1时,必有a ≥12,即12≤a <1,综上,12≤a <1或1<a ≤2.答案:C7. 解读:当a >1时,y =a x 在[1,2]上单调递增,故a 2-a =a 2,得a =32.当0<a <1时,y =ax在[1,2]上单调递减,故a -a 2=a 2,得a =12.故a =12或32.答案:12或328. 解读:分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.曲线|y |=2x+1与直线y =b 的图象如图所示,由图象可得:如果|y |=2x+1与直线y =b 没有公共点,则b 应满足的条件是b ∈[-1,1]. 答案:[-1,1]9. 解读:如图满足条件的区间[a ,b ],当a =-1,b =0或a =0,b =1时区间长度最小,最小值为1,当a =-1,b =1时区间长度最大,最大值为2,故其差为1. 答案:110. 解:要使函数有意义,则只需-x 2-3x +4≥0,即x 2+3x -4≤0,解得-4≤x ≤1. ∴函数的定义域为{x |-4≤x ≤1}.令t =-x 2-3x +4,则t =-x 2-3x +4=-(x +32)2+254,∴当-4≤x ≤1时,t max =254,此时x =-32,t min =0,此时x =-4或x =1.∴0≤t ≤254.∴0≤-x 2-3x +4≤52.∴函数y =2341()2x x --+[28,1].由t =-x 2-3x +4=-(x +32)2+254(-4≤x ≤1)可知,当-4≤x ≤-32时,t 是增函数,当-32≤x ≤1时,t 是减函数.根据复合函数的单调性知:y =1()2[-4,-32]上是减函数,在[-32,1]上是增函数.∴函数的单调增区间是[-32,1],单调减区间是[-4,-32].11. 解:令a x=t ,∴t >0,则y =t 2+2t -1=(t +1)2-2,其对称轴为t =-1.该二次函数在[-1,+∞)上是增函数.①若a >1,∵x ∈[-1,1],∴t =a x ∈[1a,a ],故当t =a ,即x =1时,y max =a 2+2a -1=14,解得a =3(a =-5舍去). ②若0<a <1,∵x ∈[-1,1],∴t =a x∈[a ,1a ],故当t =1a,即x =-1时,y max =(1a+1)2-2=14.∴a =13或-15(舍去).综上可得a =3或13.12. 解:法一:(1)由已知得3a +2=18⇒3a=2⇒a =log 32.(2)此时g (x )=λ·2x -4x, 设0≤x 1<x 2≤1,因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数,所以g (x 1)-g (x 2)=(2x 1-2x 2)(λ-2x 2-2x 1)>0恒成立,即λ<2x 2+2x 1恒成立.由于2x 2+2x 1>20+20=2,所以实数λ的取值范围是λ≤2. 法二:(1)同法一.(2)此时g (x )=λ·2x -4x,因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数,所以有g ′(x )=λln2·2x -ln4·4x=ln2[-2·(2x )2+λ·2x ]≤0成立.设2x =u ∈[1,2],上式成立等价于-2u 2+λu ≤0恒成立. 因为u ∈[1,2],只需λ≤2u 恒成立, 所以实数λ的取值范围是λ≤2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知32a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( )A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a -2、2log (2)log log a a a M N M N -=+,则NM的值为( ) A 、41B 、4C 、1D 、4或13、已知221,0,0x y x y +=>>,且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于( ) A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ,则αβ的值是( )A 、lg5lg7B 、lg35C 、35D 、3515、已知732log [log (log )]0x =,那么12x -等于( )A 、13B C D 6、函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于( ) A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称7、函数(21)log x y -= )A 、()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、函数212log (617)y x x =-+的值域是( )A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞9、若log 9log 90m n <<,那么,m n 满足的条件是( )A 、 1 m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<<10、2log 13a <,则a 的取值范围是( )A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、下列函数中,在()0,2上为增函数的是( )A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x =D 、2log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-,上有()0g x >,则1()x f x a +=是( )A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在(),0-∞上是减少的 二、填空题13、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===。

人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测基础卷(含详细解析)

人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测基础卷(含详细解析)

第4章指数函数与对数函数(原卷版)本卷满分150分,考试时间120分钟。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知75x =,则x 的值为ABC .D .2.函数f (x )=2x 与g (x )=-2-x 的图象关于A .x 轴对称B .y 轴对称C .原点对称D .直线y =x 对称3.已知32log log (0)x =,那么x =A .1B .2C .3D .44.设0m >,下列计算中正确的是A .330m m -=B .4334m m m ÷=C .2323m m m ⋅=D .251542()m m--=5.设a ,1b >,且满足1log 2>a b ,则A .a b <B .a b >C .2a b <D .2a b >6.若lg 2,lg 3a b ==,则12log 5=A .12a a b -+B .2a b a b++C .12a a b-+D .2a b a b++7.如果0a b >>,那么下列不等式一定成立的是A .22log log a b<B .1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .11a b<D .22a b <8.已知函数21,2()5,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若关于x 的方程()0f x m -=恰有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围是A .(0,1)B .[1,3)C .(1,3){0}⋃D .[1,3){0}⋃二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设0a >,则下列运算中正确的是A .4334a a a ⋅=B .5233a a a÷=C .55330a a-⋅=D .5335a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭10.若10a =4,10b =25,则A .a +b =2B .b ﹣a =1C .ab >8lg 22D .b ﹣a >lg611.在同一坐标系中,()f x kx b =+与()log b g x x =的图象如图,则下列关系不正确的是A .0k <,01b <<B .0k >,1b >C .()100f x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭,()()00g x x >>D .1x >时,()()0f xg x ->12.已知函数()f x 是定义在R 上的减函数,实数a ,b ,()c a b c <<满足()()()0f a f b f c <,若0x 是函数()f x 的一个零点,则下列结论中可能成立的是A .0x a <B .0a x b <<C .0b x c<<D .0x c>三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13112220.160.363-⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭____________.14.已知函数()2120log 0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩,, ,则()()2f f -=____________.15.已知1log ,log 32aa m n ==,求2m n a +的值____________.16.函数()2()445f x xx =--的单调递减区间为____________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)120.5037(27)0.1(2)39π--++-;(2)2115113366221()(3)()3a b a b a b ⋅-÷.18.(12分)计算求值:(1)()11.530.0014-+(2)(42log 923lg 2lg 250082log 9log 4⨯+⨯++⋅.19.(12分)已知函数()154262xx f x +=-⋅-,其中[]0,3x ∈.(1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若实数a 满足()0f x a +≥恒成立,求实数a 的取值范围.20.(12分)已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--,其中0a >且1a ≠.(1)判断()f x 的奇偶性,并说明理由;(2)若3()25f =,求使()0f x >成立的x 的集合.21.(12分)每年3月3日是国际爱耳日,2020年的主题是“保护听力,终生受益”.声强级是表示声强度相对大小,其值为y (单位dB ),定义0lgIy I =10,其中I 为声场中某点的声强度,其单位为/W m 2(瓦/平方米)12010I -=/W m 2为基准值.(1)如果一辆小轿车内声音是50dB ,求相应的声强度;(2)如果飞机起飞时的声音是120dB ,两人正常交谈的声音是60dB ,那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍?22.(12分)已知函数()12(log 94343)x x f x +=-⨯+,函数()222log 7g x x mx =-+.(1)求不等式()4f x ≤的解集;(2)若[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈,使()()12f x g x ≥,求实数m 的取值范围.第4章指数函数与对数函数(解析版)本卷满分150分,考试时间120分钟。

新必修一 指数与对数函数综合练习(精选题)含答案

新必修一 指数与对数函数综合练习(精选题)含答案

指数与对数函数综合练习(精选题)含答案一.选择题(共24小题)1.已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b2.已知正实数a,b,c满足:,则()A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b3.已知x1=1n,x2=e,x3满足e=1nx3,则正确的是()A.x1<x2<x3B.x1<x3<x2C.x2<x1<x3D.x3<x1<x24.若点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则f(x)的零点为()A.1B.C.2D.5.化简的值得()A.8B.10C.﹣8D.﹣106.函数f(x)=lnx+2x﹣6有零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(﹣1,2)7.方程x3﹣lgx=0在区间(0,10)内实数解的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个8.已知0<a<1,则函数y=a x和y=(a﹣1)x2在同坐标系中的图象只能是图中的()A.B.C.D.9.对于函数f(x)=log a x(0<a<1),在其定义域内任意的x1、x2且x1≠x2,有如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)•f(x2);②f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);③;④.上述结论中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.310.已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则实数b的取值范围是()A.0<b<1B.b<0C.﹣2<b<0D.﹣1<b<011.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a等于()A.B.C.D.12.方程的解的个数为()A.0B.1C.2D.313.已知f(x)=3x+3﹣x,若f(a)=4,则f(2a)=()A.4B.14C.16D.1814.函数f(x)=2x+x的零点所在的一个区间是()A.(1,2)B.(0,1)C.(﹣1,0)D.(﹣2,﹣1)15.函数f(x)=的定义域为()A.[1,2)B.(1,2]C.(1,2)D.(﹣∞,2)16.已知lga、lgb是方程6x2﹣4x﹣3=0的两根,则(lg)2等于()A.B.C.D.17.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足条件f(2x+1)<f(5)的x的取值范围是()A.(﹣3,2)B.(﹣2,3)C.(﹣2,2)D.[﹣3,2]18.函数的定义域为()A.(﹣4,﹣1)B.(﹣4,1)C.(﹣1,1)D.(﹣1,1]19.已知0<a<1,函数y=a x与y=log a(﹣x)的图象可能是()A.B.C.D.20.已知函数f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=5﹣x﹣1,则f(log499•log57)的值为()A.﹣4B.﹣2C.D.21.若<,则实数m的取值范围为()A.m B.1C.1D.22.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,若实数a满足f(log3a)<f(1),则a的取值范围是()A.(0,),B.()C.()D.(3,+∞)23.已知a>0.a≠1,且f(x)=a x﹣1+1og a x在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()A.B.C.2D.424.定义在R上的偶函数y=f(x)在[0,+∞)上递减,且,则满足的x的取值范围是()A.(0,)∪(2,+∞)B.(,1)∪(1,2)C.(﹣∞,)∪(2,+∞)D.(,1)∪(2,+∞)二.填空题(共14小题)25.已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=.26.已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.27.已知幂函数过点(2,8),则此幂函数的解析式为.28.已知函数f(x)=的值为.29.函数f(x)=lg(3x﹣2)+2恒过定点.30.若lgx=m,lgy=n,用m,n表示的值为.31.当x∈[﹣1,1]时,函数f(x)=3x﹣2的值域是.32.若指数函数f(x)=(a2﹣1)x(a>0)是减函数,则实数a的取值范围是.33.设,则实数a的取值范围是.34.函数f(x)=lg(x2﹣3x﹣10)的单调递增区间是.35.设f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(1),f(﹣2),f(﹣3)的大小关系是.36.计算:e ln2+lg2+lg5=.37.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是.38.函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值为4,最小值为m,则m=.三.解答题(共12小题)39.化简:(Ⅰ)(a>0,b>0);(Ⅱ).40.计算下列各式的值:(1).(2).41.已知函数f(x)=log a(1﹣x)+log a(x+3)(0<a<1)(1)求函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)的零点;(3)若函数f(x)的最小值为﹣4,求a的值.42.求下列各式中的x值集合:(1)ln(x﹣1)<1(2),其中a>0且a≠1.43.已知函数f(x)=,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求f(x)的值域.44.已知函数f(x)=a x﹣1(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.(1)求a的值;(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.45.已知函数,(1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性.46.已知函数f(x)=x2﹣2|x|.(1)在所给坐标系中,画出函数f(x)的图象并写出f(x)的单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x)+3a﹣1有4个零点,求a的取值范围.47.设f(x)=.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)讨论函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性.48.已知函数f(x)=log a(x+2)﹣1(a>0且a≠1).(Ⅰ)若f(6)=2,求函数f(x)的零点;(Ⅱ)若f(x)在[1,2]上的最大值与最小值互为相反数,求a的值.49.已知函数f(x)=,(Ⅰ)求f(f())的值;(Ⅱ)若f(a)>,求a的取值范围.50.已知函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若g(x)=f(x)﹣2,求函数g(x)的零点.指数与对数函数综合练习(精选题)参考答案与试题解析一.选择题(共24小题)1.已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b【解答】解:由题意,可知:a=log52<1,b=log0.50.2===log25>log24=2.c=0.50.2<1,∴b最大,a、c都小于1.∵a=log52=,c=0.50.2===.而log25>log24=2>,∴<.∴a<c,∴a<c<b.故选:A.2.已知正实数a,b,c满足:,则()A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b【解答】解:作图如下:如图:1<b<a,0<c<1,所以c<b<a.故选:B.3.已知x1=1n,x2=e,x3满足e=1nx3,则正确的是()A.x1<x2<x3B.x1<x3<x2C.x2<x1<x3D.x3<x1<x2【解答】解:∵e﹣x>0;∴lnx3>0;∴x3>1;又;∴x1<x2<x3.故选:A.4.若点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则f(x)的零点为()A.1B.C.2D.【解答】解:根据题意,点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则log1456=k×log147+3,变形可得:k=﹣2,则f(x)=﹣2x+3,若f(x)=0,则x=,即f(x)的零点为,故选:D.5.化简的值得()A.8B.10C.﹣8D.﹣10【解答】解:原式=+=9﹣1=8.故选:A.6.函数f(x)=lnx+2x﹣6有零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(﹣1,2)【解答】解:∵f(1)=﹣4<0,f(2)=ln2﹣2<0 f(3)=ln3>0∴f(2)f(3)<0∴函数的零点在(2,3)故选:C.7.方程x3﹣lgx=0在区间(0,10)内实数解的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个【解答】解:作出y=x3与y=lgx在(0,10)上的函数图象如图所示:由图象可知两函数图象没有公共点,∴方程x3﹣lgx=0在(0,10)上无解.故选:A.8.已知0<a<1,则函数y=a x和y=(a﹣1)x2在同坐标系中的图象只能是图中的()A.B.C.D.【解答】解:∵0<a<1,∴y=a x是减函数,∵0<a<1,∴a﹣1<0,∴y=(a﹣1)x2开口向下,故选:D.9.对于函数f(x)=log a x(0<a<1),在其定义域内任意的x1、x2且x1≠x2,有如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)•f(x2);②f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);③;④.上述结论中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【解答】解:函数f(x)=log a x(0<a<1),由对数函数的性质f(x)在(0,+∞)递减,是凹函数,故③④错误,由f(x1•x2)=log a(x1•x2)=log a x1+log a x2=f(x1)+f(x2),故①错误,②正确,故选:B.10.已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则实数b的取值范围是()A.0<b<1B.b<0C.﹣2<b<0D.﹣1<b<0【解答】解:作出函数f(x)=的图象,令g(x)=0,可得f(x)=b,画出直线y=b,平移可得当﹣1<b<0时,直线y=b和函数y=f(x)有两个交点,则g(x)的零点有两个.故选:D.11.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a等于()A.B.C.D.【解答】解:∵0<a<1,∴f(x)=log a x是减函数.∴log a a=3•log a2a.∴log a2a=.∴1+log a2=.∴log a2=﹣.∴a=.故选:A.12.方程的解的个数为()A.0B.1C.2D.3【解答】解:在同一坐标系中作出函数的图象如下图所示:由图可知函数的图象只有一个交点故方程的解的个数为1个故选:B.13.已知f(x)=3x+3﹣x,若f(a)=4,则f(2a)=()A.4B.14C.16D.18【解答】解:∵f(x)=3x+3﹣x,∴f(a)=3a+3﹣a=4,平方得32a+2+3﹣2a=16,即32a+3﹣2a=14.即f(2a)=32a+3﹣2a=14.故选:B.14.函数f(x)=2x+x的零点所在的一个区间是()A.(1,2)B.(0,1)C.(﹣1,0)D.(﹣2,﹣1)【解答】解:∵f(﹣1)=2﹣1﹣1=﹣<0,f(0)=1>0,∴f(﹣1)f(0)<0,函数f(x)=2x+x的零点所在的一个区间是(﹣1,0)故选:C.15.函数f(x)=的定义域为()A.[1,2)B.(1,2]C.(1,2)D.(﹣∞,2)【解答】解:要使f(x)有意义,则;解得1≤x<2;∴f(x)的定义域为[1,2).故选:A.16.已知lga、lgb是方程6x2﹣4x﹣3=0的两根,则(lg)2等于()A.B.C.D.【解答】解:∵lga、lgb是方程6x2﹣4x﹣3=0的两根,∴lga+lgb=,lgalgb=﹣,∴(lg)2=(lga+lgb)2﹣4lgalgb=﹣4×(﹣)=,故选:D.17.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足条件f(2x+1)<f(5)的x的取值范围是()A.(﹣3,2)B.(﹣2,3)C.(﹣2,2)D.[﹣3,2]【解答】解:根据题意,函数f(x)为偶函数且在区间[0,+∞)上单调递增,f(2x+1)<f(5)⇒|2x+1|<5,即﹣5<2x+1<5,解可得:﹣3<x<2;即x的取值范围为(﹣3,2);故选:A.18.函数的定义域为()A.(﹣4,﹣1)B.(﹣4,1)C.(﹣1,1)D.(﹣1,1]【解答】解:由题意知,函数的定义域为,解得﹣1<x<1,故选:C.19.已知0<a<1,函数y=a x与y=log a(﹣x)的图象可能是()A.B.C.D.【解答】解:函数y=a x与y=log a x互为反函数,其图象关于直线y=x对称,y=log a(﹣x)与y=log a x的图象关于y轴对称,又0<a<1,根据函数的单调性即可得出.故选:D.20.已知函数f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=5﹣x﹣1,则f(log499•log57)的值为()A.﹣4B.﹣2C.D.【解答】解:=;又x<0时,f(x)=5﹣x﹣1,且f(x)为奇函数;∴==﹣2.故选:B.21.若<,则实数m的取值范围为()A.m B.1C.1D.【解答】解:由题意得:,解得:1≤m<,故选:C.22.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,若实数a满足f(log3a)<f(1),则a的取值范围是()A.(0,),B.()C.()D.(3,+∞)【解答】解:根据题意,f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(log3a)<f(1)⇒f(|log3a|)<f(1)⇒|log3a|<1,即﹣1<log3a<1,解可得:<x<3,即a的取值范围为(,3);故选:B.23.已知a>0.a≠1,且f(x)=a x﹣1+1og a x在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()A.B.C.2D.4【解答】解:当a>1时,y=1og a x,y=a x﹣1均为[1,2]上的递增函数,可得f(x)在[1,2]上为递增函数;同样0<a<1时,f(x)在[1,2]上为递减函数;即有f(x)在[1,2]为单调函数,由题意可得f(1)+f(2)=1+0+a+log a2=a,解得a=,故选:B.24.定义在R上的偶函数y=f(x)在[0,+∞)上递减,且,则满足的x的取值范围是()A.(0,)∪(2,+∞)B.(,1)∪(1,2)C.(﹣∞,)∪(2,+∞)D.(,1)∪(2,+∞)【解答】解:∵定义在R上的偶函数y=f(x)在[0,+∞)上递减,且,∴f(﹣)=0,且函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,则由,可得>=,或<﹣=,解得0<x<,或x>2,故选:A.二.填空题(共14小题)25.已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=﹣7.解:函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,可得:log2(9+a)=1,可得a=﹣7.故答案为:﹣7.26.已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是{x|1<x<4}.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是(1,3]∪(4,+∞).【解答】解:当λ=2时函数f(x)=,显然x≥2时,不等式x﹣4<0的解集:{x|2≤x<4};x<2时,不等式f(x)<0化为:x2﹣4x+3<0,解得1<x<2,综上,不等式的解集为:{x|1<x<4}.函数f(x)恰有2个零点,函数f(x)=的草图如图:函数f(x)恰有2个零点,则1<λ≤3或λ>4.故答案为:{x|1<x<4};(1,3]∪(4,+∞).27.已知幂函数过点(2,8),则此幂函数的解析式为y=x3.【解答】解:设幂函数为y=x a,∵幂函数过点(2,8),∴2a=8,解得a=3,∴此幂函数的解析式y=x3.故答案为:y=x3.28.已知函数f(x)=的值为.【解答】解:∵>0∴f()=log3=﹣2∵﹣2<0∴f(﹣2)=2﹣2=故答案为.29.函数f(x)=lg(3x﹣2)+2恒过定点(1,2).【解答】解:由题意,令3x﹣2=1,得x=1,此时y=2函数f(x)=lg(3x﹣2)+2恒过定点(1,2)故答案为:(1,2).30.若lgx=m,lgy=n,用m,n表示的值为.【解答】解:==.故答案为:.31.当x∈[﹣1,1]时,函数f(x)=3x﹣2的值域是.【解答】解:∵函数f(x)=3x的底数3>1∴函数f(x)=3x在R上为增函数∴函数f(x)=3x﹣2在区间[﹣1,1]为增函数当x=﹣1时,函数有最小值3﹣1﹣2=当x=1时,函数有最大值31﹣2=1故当x∈[﹣1,1]时函数f(x)=3x﹣2的值域是故答案为:32.若指数函数f(x)=(a2﹣1)x(a>0)是减函数,则实数a的取值范围是(1,).【解答】解:根据题意,指数函数f(x)=(a2﹣1)x(a>0)是减函数,则有0<a2﹣1<1,又由a>0,则有1<a<,即a的取值范围为(1,);故答案为:(1,).33.设,则实数a的取值范围是.【解答】解:∵,当a>1时,由于,不等式显然成立.当1>a>0时,由=log a a可得0<a<.综上可得,不等式的解集为,故答案为.34.函数f(x)=lg(x2﹣3x﹣10)的单调递增区间是(5,+∞).【解答】解:由x2﹣3x﹣10>0可得x<﹣2或x>5,∵u=x2﹣3x﹣10在(5,+∞)单调递增,而y=lgu是增函数由复合函数的同增异减的法则可得,函数f(x)=lg(x2﹣3x﹣10)的单调递增区间是(5,+∞)故答案为:(5,+∞).35.设f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(1),f(﹣2),f(﹣3)的大小关系是f(1)<f(﹣2)<f(﹣3).【解答】解:根据题意,若f(x)为偶函数,则f(﹣2)=f(2),f(﹣3)=f(3),又由函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(1)<f(2)<f(3),则有f(1)<f(﹣2)<f(﹣3),故答案为:f(1)<f(﹣2)<f(﹣3).36.计算:e ln2+lg2+lg5=3.【解答】解:e ln2+lg2+lg5=2+lg10=2+1=3.故答案为:3.37.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是().【解答】解:∵函数y=f(x)的定义域是[0,2],∴要使函数g(x)=有意义,则,解得:.∴函数g(x)=的定义域为().故答案为:().38.函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值为4,最小值为m,则m=2.【解答】解:若a>1,∵函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值为4,最小值为m,∴a2=4,解得:a=2,而m=a,故m=2,符合题意;若0<a<1,∵函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值为4,最小值为m,∴a=4,m=a2,解得m=16,不合题意,∴m=2,故答案为:2.三.解答题(共12小题)39.化简:(Ⅰ)(a>0,b>0);(Ⅱ).【解答】解:(Ⅰ)原式=…(2分)=…(3分)=…(4分)(Ⅱ)原式=…(6分)==1…(8分)40.计算下列各式的值:(1).(2).【解答】解:(1)原式=﹣1﹣+16=16.(2)原式=+2+2=.41.已知函数f(x)=log a(1﹣x)+log a(x+3)(0<a<1)(1)求函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)的零点;(3)若函数f(x)的最小值为﹣4,求a的值.【解答】解:(1)要使函数有意义:则有,解之得:﹣3<x<1,则函数的定义域为:(﹣3,1)(2)函数可化为f(x)=log a(1﹣x)(x+3)=log a(﹣x2﹣2x+3)由f(x)=0,得﹣x2﹣2x+3=1,即x2+2x﹣2=0,∵,∴函数f(x)的零点是(3)函数可化为:f(x)=log a(1﹣x)(x+3)=log a(﹣x2﹣2x+3)=log a[﹣(x+1)2+4]∵﹣3<x<1,∴0<﹣(x+1)2+4≤4,∵0<a<1,∴log a[﹣(x+1)2+4]≥log a4,即f(x)min=log a4,由log a4=﹣4,得a﹣4=4,∴42.求下列各式中的x值集合:(1)ln(x﹣1)<1(2),其中a>0且a≠1.【解答】解(1)∵ln(x﹣1)<1=lne,∴0<x﹣1<e,∴1<x<1+e故不等式的解集是{x|1<x<1+e}(2)解:可变为a2x﹣1>a2﹣x当a>1时,有2x﹣1>2﹣x得x>1当<0a<1时,有2x﹣1<2﹣x得x<1故不等式的解是a>1:x∈(1,+∞);0<a<1:x∈(﹣∞,1)43.已知函数f(x)=,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求f(x)的值域.【解答】解:(Ⅰ)此函数f(x)=的定义域为R,令t=2x﹣x2=﹣(x﹣1)2+1,则f(x)=2t,f(x)的单调增区间,即t的增区间为(﹣∞,1),f(x)的单调减区间,即t的减区间为(1,+∞).(Ⅱ)∵t=2x﹣x2=﹣(x﹣1)2+1∈(﹣∞,1],则f(x)=2t∈(0,2],即f(x)的值域为(0,2].44.已知函数f(x)=a x﹣1(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.(1)求a的值;(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.【解答】解:(1)由题意得所以(2)由(1)得因为函数在[0,+∞)上是减函数所以当x=0时f(x)由最大值所以f(x)max=2所以f(x)∈(0,2]所以函数y=f(x)(x≥0)的值域为(0,2].45.已知函数,(1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性.【解答】解:(1)由分母1+2x≠0,故定义域为R,函数的解析式可以变为,由于2x+1>1,故1>>0故2>>0∴的取值范围是(﹣1,1)(2)函数是一个奇函数,证明如下,故是一个奇函数.(3)先证f(x)在(0,+∞)是一个减函数,证明如下由于,在(0,+∞)上,2x+1递增且函数值大于0,在(0,+∞)上是减函数,故,在(0,+∞)上是增函数,又因为f(x)是奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在(﹣∞,+∞)是一个增函数.46.已知函数f(x)=x2﹣2|x|.(1)在所给坐标系中,画出函数f(x)的图象并写出f(x)的单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x)+3a﹣1有4个零点,求a的取值范围.【解答】解:(1)f(x)=,其图象如右:由图象可知:f(x)单调递增区间为:[﹣1,0],[1,+∞);(2)因为函数g(x)=f(x)+3a﹣1有4个零点⇔f(x)+3a﹣1=0有4个实根⇔f(x)=﹣3a+1有4个实根⇔函数y=f(x)与函数y=﹣3a+1的图象有4个交点,由图可知:﹣1<﹣3a+1<0,解得:a <,故实数a的取值范围是(,).47.设f(x)=.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)讨论函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性.【解答】解:(1)根据题意,f(x)=,则f(﹣x)====f(x),则函数f(x)为偶函数;(2)因为f(x)==﹣x+,所以f′(x)=﹣1+=﹣1+﹣,因为x>0,所以2x+1>2,∴<1,∴﹣1+<0,∴f′(x)<0,故函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.48.已知函数f(x)=log a(x+2)﹣1(a>0且a≠1).(Ⅰ)若f(6)=2,求函数f(x)的零点;(Ⅱ)若f(x)在[1,2]上的最大值与最小值互为相反数,求a的值.【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=log a(x+2)﹣1(a>0且a≠1),f(6)=2,即log a(6+2)﹣1=2,∴log a8=3,即a3=8,∴a=2,∴f(x)=log2(x+2)﹣1,令f(x)=0,即log2(x+2)﹣1=0,∴x+2=2,∴x=0,即f(x)的零点为x=0;(Ⅱ)∵无论a>1或0<a<1,f(x)均为单调函数,∴最值均在区间端点取得,∵f(x)在x∈[1,2]上的最大值与最小值互为相反数,∴f(1)+f(2)=0,即log a3﹣1+log a4﹣1=0,∴log a12=2,∴a2=12,∴a=,又∵a>0且a≠1,∴a=2.49.已知函数f(x)=,(Ⅰ)求f(f())的值;(Ⅱ)若f(a)>,求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=,∴f()==﹣2,f(f())=f(﹣2)=4﹣2=.…(2分)(Ⅱ)f(a)>等价于或,…(6分)解得a的取值范围是()∪(﹣,0].…(8分)50.已知函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若g(x)=f(x)﹣2,求函数g(x)的零点.【解答】(1)解:∵f(x)是定义在R上的偶函数.∴f(﹣1)=f(1),即,故.函数f(x)=,f(﹣x)===f(x).所以a=1满足题意.(2)依题意=.则由22x+1=2x+2,得(2x)2﹣4(2x)+1=0,令2x=t(t>0),则t2﹣4t+1=0,解得.即.∴函数g(x)有两个零点,分别为和.第21页(共21页)。

指数函数和对数函数综合题目与标准答案

指数函数和对数函数综合题目与标准答案

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较,指数函数和对数函数综合指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【要点链接】1.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较:对数函数增长比较缓慢,指数函数增长的速度最快.2.要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像,并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题. 【随堂练习】 一、选择题1.下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( )A .1100xy e =B .100ln y x =C .100y x =D .1002x y =⨯ 2.若1122a a -<,则a 的取值范围是( )A .1a ≥B .0a >C .01a <<D .01a ≤≤3.xx f 2)(=,xx g 3)(=,xx h )21()(=,当x ∈(-)0,∞时,它们的函数值的大小关系是( )A .)()()(x f x g x h <<B .)()()(x h x f x g <<C .)()()(x f x h x g <<D .)()()(x h x g x f <<4.若b x <<1,2)(log x a b =,x c a log =,则a 、b 、c 的关系是( )A .c b a <<B .b c a <<C .a b c <<D .b a c <<二、填空题5.函数xe y x x y x y x y ====,ln ,,32在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________. 6.若a >0,b >0,ab >1,a 21log =ln2,则log a b 与a 21log 的关系是_________________.7.函数2x y =与xy 2=的图象的交点的个数为____________.三、解答题8.比较下列各数的大小:52)2(-、21)23(-、3)31(-、54)32(-.9.设方程222xx =-在(0,1)内的实数根为m ,求证当x m >时,222xx >-.答案1.A 指数增长最快.2.C 在同一坐标系内画出幂函数21x y =及21-=xy 的图象,注意定义域,可知10<<a .3.B 在同一坐标系内画出xx f 2)(=,xx g 3)(=,xx h )21()(=的图象,观察图象可知.4.D b x <<1,则0log log 1b b x b <<=,则10<<a ,则01log log =<a a x , 可知b a c <<<<10. 5.xy e =指数增长最快.6.log a b <a 21log 由a 21log =ln20>,则10<<a ,而ab >1,则1>b ,则0log <b a ,而0log 21>a ,则log a b <a 21log .7.3 在同一坐标系内作出函数2x y =与xy 2=的图象,显然在0<x 时有一交点, 又2=x 时,2222=,3=x 时,3223>,4=x 时,4224=,而随着x 的增大,指数函数增长的速度更快了,则知共有3个不同的交点.8.解:52)2(-=522、21)23(-=21)32(、3)31(-=-271、54)32(-=54)32(.∵52)2(->1、3)31(-<0,而21)23(-、54)32(-均在0到1之间.考查指数函数y =x)32(在实数集上递减,所以21)32(>54)32(.则52)2(->21)23(->54)32(->3)31(-.9.证明:设函数2()22x f x x =+-,方程222x x =-在(0,1)内的实数根为m , 知()f x 在(0,1)有解x m =,则()0f m =.用定义容易证明()f x 在(0,)+∞上是增函数,所以()()0f x f m >=,即2()220x f x x =+->,所以当x m >时,222x x >-.备选题1.设7210625.0=y ,74203.0=y ,7832.0=y ,则( )A .123y y y >>B .132y y y >>C .213y y y >>D .123y y y >>1.B 74125.0=y ,74304.0=y ,而幂函数74x y =在0>x 上为增函数,则132y y y >>.2.图中曲线是对数函数y =log a x 的图象,已知a 取101,53,54,3四个值,则相应于C 1, C2, C 3,C 4的a 值依次为( )A .101,53,34,3 B .53,101,34,3C .101,53,3,34D .53,101,3,342.C 作直线1=y ,与四个函数的图象各有一个交点,从左至右的底数是逐渐增大的,则知则相应于C 1,C 2, C 3,C 4的a 值依次为101,53,3,34.指数函数复习【要点链接】1.掌握指数的运算法则;2.熟练掌握指数函数的图像,并会灵活运用指数函数的性质,会解决一些较为复杂的 有关于指数函数复合的问题. 【随堂练习】 一、选择题1.函数a y x+=2的图象一定经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知三个实数a ,ab a =,bc a =,其中10<<a ,则这三个数之间的大小关系是( )A .b a c <<B .a b c <<C .a c b <<D .c a b << 3.设1()()2xf x =,x ∈R ,那么()f x 是( )A .奇函数且在(0,)+∞上是增函数B .偶函数且在(0,)+∞上是增函数C .奇函数且在(0,)+∞上是减函数D .偶函数且在(0,)+∞上是减函数 4.函数121xy =-的值域是( ) A .(,1)-∞B .(,1)(0,)-∞-+∞ C .(1,)-+∞D .(,0)(0,)-∞+∞二、填空题5.若函数()f x =_______________.6.函数xa a a x f )33()(2+-=是指数函数,则a 的值为_________. 7.方程2|x |=2-x 的实数解有_________个.三、解答题8.已知()2xf x =,()g x 是一次函数,并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上,点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上,求()g x 的解读式.9.若函数y =1212·---xx aa 为奇函数. (1)确定a 的值;(2)求函数的定义域;(3)讨论函数的单调性.答案1.A 当0=a ,图象不过三、四象限,当1-=a ,图象不过第一象限.而由图象知函数a y x+=2的图象总经过第一象限.2.C 由10<<a ,得101=<<a a a a ,则1<<b a ,所以1a a ab a >>,即ac b <<.3.D 因为函数1()()2x f x ==⎪⎩⎪⎨⎧≥)0(,2)0(,)21(<x x x x,图象如下图.由图象可知答案显然是D .4.B 令12-=xt ,02>x,则12->x ,又作为分母,则1->t 且0≠t ,画出ty 1=的图象,则1->t 且0≠t 时值域是(,1)(0,)-∞-+∞. 5.(,0]-∞由1-2x 0≥ 得2x ≤1,则x ≤0.6.2 知1332=+-a a ,0>a 且1≠a ,解得2=a .7.2 在同一坐标系内画出y=2|x | 和 y=2-x 的图象,由图象知有两个不同交点. 8.解:∵()g x 是一次函数,可设为)0()(≠+=k b kx x g , 则[()]f g x bkx +=2,点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上,可得bk +=222,得12=+b k .又可得[()]g f x b k x+⋅=2,由点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上, 可得b k +=45.由以上两式解得3,2-==b k , ∴()23g x x =-.9.解:先将函数y =1212·---x x a a 化简为y =121--xa . (1)由奇函数的定义,可得f (-x )+f (x )=0,即121---xa +121--x a =0,∴2a +xx 2121--=0,∴a =-21. (2)∵y =-21-121-x ,∴x2-1≠0.∴函数y =-21-121-x 定义域为{x |x ≠0}.(3)当x >0时,设0<x 1<x 2,则y 1-y 2=1212-x -1211-x =)12)(12(221221---x x x x . ∵0<x 1<x 2,∴1<12x<22x.∴12x-22x<0,12x-1>0,22x-1>0.∴y 1-y 2<0,因此y =-21-121-x 在(0,+∞)上递增. 同样可以得出y =-21-121-x 在(-∞,0)上递增.备选题1.函数(1)xy a a =>在区间[0,1]上的最大值是4,则a 的值是( )A .2B .3C .4D .51.C 函数(1)x y a a =>在区间[0,1]上为增函数,则最大值是=1a 4,则4=a .2.函数y =xx a 22-(a >1)的定义域___________,值域___________. 2. {x |x ≥2,或x ≤0} {y |y ≥1}由022≥-x x ,得定义域为{x |x ≥2,或x ≤0}; 此时022≥-x x ,则值域为{y |y ≥1}.对数函数【要点链接】1.掌握对数的运算法则;2.熟练掌握对数函数的图像,并会灵活运用对数函数的性质,会解决一些较为复杂的 有关于对数函数复合的问题. 【随堂练习】 一、选择题1.4123log =x,则x 等于( ) A .91=x B .33=x C .3=x D .9=x2.函数y =lg (x-12-1)的图象关于( )A .y 轴对称B .x 轴对称C .原点对称D .直线y =x 对称3.已知log 0log log 31212>==+x x x a a a, 0<a<1,则x 1、x 2、x 3的大小关系是( )A .x 3<x 2<x 1B .x 2<x 1<x 3C .x 1<x 3<x 2D .x 2<x 3<x 14.若函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且)的定义域和值域都是[0,1],则a 等于( )A .12B C .2 D .2二、填空题5.函数23log 12-=-x y x 的定义域是.6.设函数()f x 满足21()1()log 2f x f x =+⋅,则(2)f =. 7.已知3log 21=a ,31log 21=b ,21log 31=c ,则a 、b 、c 按大小关系排列为___________.三、解答题8.若)(x f 3log 1x +=,)(x g 2log 2x =,试比较)(x f 与)(x g 的大小.9.若不等式0log 2<-x x m 在(0,21)内恒成立,求实数m 的取值范围.答案1.A 2log 24123-==x,则2log 3-=x ,则9132==-x . 2.C y =lg (x -12-1)=xx-+11lg ,易证)()(x f x f -=-,所以为奇函数,则图象关于原点对称.3.D ∵0<a<1,∴a<1<a+1<a2,∴x 2<1<x 3<x 1. 4.A 10≤≤x 时,11121≤+≤x ,要使值域也是[0,1],就有0)(≥x f ,则10<<a , 则)(x f 在[0,1]为增函数,则01log =a ,121log =a ,解得=a 12.5.2(,1)(1,)3+∞可知023>-x ,012>-x 且112≠-x ,解得32>x 且1≠x .6.23由已知得2log )21(1)21(2⋅+=f f ,则21)21(=f ,则x x f 2log 211)(⋅+=,则=⋅+=2log 211)2(2f 23.7.b c a <<03log 2<-=a ,13log 2>=b ,2log 3=c ,则10<<c ,那么有b c a <<.8.解:43log 4log )3(log )()(xx x g x f x x x =-=-.当10<<x 时,1430<<x ,则043log >xx ,则)()(x g x f >;当34=x 时,143=x ,则)()(x g x f =;当341<<x 时,1430<<x ,则043log <xx ,则)()(x g x f <;当34>x 时,143>x ,则043log >x x ,则)()(x g x f >.9.解:由0log 2<-x x m 得x x m log 2<.在同一坐标系中作2x y =和x y m log =的图象.要使x x m log 2<在(0,21)内恒成立, 只要x y m log =在(0,21)内的图象在2x y =的上方,于是0<m<1.∵x=21时y=x 2=41,∴只要x=21时21log m y =≥41. ∴21≤m 41,即161≤m. 又0<m<1,∴所求实数m 的取值范围161≤m<1.备选题1.下列函数中,是奇函数,又在定义域内为减函数的是( )A .1()2xy = B .xy 1=C .)(log 3x y -=D .3x y -= 1.DA 、C 是非奇非偶函数,B 是奇函数,但在定义域内不为减函数,则选D .2.10002.11=a,10000112.0=b,则=-ba 11( ) A .1 B .2 C .3 D .42.A2.11log 11000=a ,0112.0log 11000=b, 则11000log 0112.02.11log 1110001000===-b a .3.如果函数()(3)xf x a =-,()log a g x x =它们的增减性相同,则a 的取值范围是______________. 3.21<<a由03>-a 且13≠-a ,及0>a 且1≠a ,得10<<a ,或21<<a ,或32<<a .当10<<a 或32<<a 时,)(x f 与)(x g 一增一减,当21<<a 时,)(x f 与)(x g 都为增函数.同步测试卷 A 组一、选择题1.已知32a=,那么33log 82log 6-用a 表示是( )A .2a -B .52a -C .23(1)a a -+D .23a a -2.若函数)(log b x y a +=(0>a 且1≠a )的图象过两点)0,1(-和)1,0(,则 ( )A .2,2==b a B .2,2==b aC .1,2==b aD .2,2==b a3.已知(),()log xa f x a g x x ==,(01)a a >≠且,若(3)(3)0f g ⋅< , 则()f x 与()g x 同一坐标系内的图象可能是( )4.若函数xx f 211)(+=,则)(x f 在R 上是( ) A .单调递减,无最小值 B .单调递减,有最小值 C .单调递增,无最大值 D .单调递增,有最大值5.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x,则下列等式中不正确的是( )A .f (x +y )=f(x )·f (y )B .)()(y f x f y x f =-)( C .)()]([)(Q n x f nx f n∈=D .)()]([·)]([])[(+∈=N n y f x f xy f nn n6.函数f (x )=log a 1+x ,在(-1,0)上有f (x )>0,那么( )A .f (x )(- ∞,0)上是增函数B .f (x )在(-∞,0)上是减函数C .f (x )在(-∞,-1)上是增函数D .f (x )在(-∞,-1)上是减函数二、填空题7.已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ,则1[()]4f f =.8.直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ,y=(21)x ,y=2x ,y=10x的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点,则这四点从上到下的排列次序是.9.已知)23(log )(221x x x f --=,则值域是;单调增区间是.三、解答题10.求函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f xx且)最小值.11.已知函数),()(,0|,lg |)(b f a f b a x x f ><<=且如果证明:1<ab .12.已知函数()m mx x x f --=221log )(. (1)若m =1,求函数)(x f 的定义域;(2)若函数)(x f 的值域为R ,求实数m 的取值范围;(3)若函数)(x f 在区间()31,-∞-上是增函数,求实数m 的取值范围.B 组一、选择题1.已知函数y=kx 与y=12log x 图象的交点横坐标为2,则k 的值为( )A .12-B .14C .12D .14- 2.已知函数b a y x+=的图象不经过第一象限,则下列选项正确是( )A .2,21-==b a B .3,2-==b a C .1,21==b a D .0,3==b a3.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为( )A .14B .2C .4D .124.若函数()11x mf x e =+-是奇函数,则m 的值是( )A .0B .21C .1D .2二、填空题5.如图,开始时桶1中有a 升水,t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线1nt y ae -=,那么桶2中水就是2nty a ae -=-.假设过5分钟时桶1和桶2的水相等,则再经过______ 分钟桶1中的水只有8a .6.已知y =a log (2-ax )在[0,1]上是x 的减函数, 则a 的取值范围是__________.三、解答题7.已知函数xxa b y 22++=(a 、b 是常数且a>0,a ≠1)在区间[-23,0]上有y max =3, y min =25,试求a 和b 的值.8.设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--.)1(>p (1)求()f x 的定义域;(2)()f x 是否存在最大值或最小值?如果存在,请把它求出来;若不存在,请说明理由.答案A 组1.A 32a=,则2log 3=a ,33log 82log 6-=+-=)2log 1(22log 3332a -. 2.B 由已知可得)1(log 0-=b a ,则2=b ,又2log log 1a a b ==,则2=a . 3.C (3)(3)0f g ⋅<,则(3)0g <,则10<<a ,则()f x 与()g x 都为减函数.4.A 121>+x ,则12110<+<x,则)(x f 无最大值,也无最小值, 而显然)(x f 为减函数5.D 逐个验证可知D 不正确6.D 01<<-x 时,110<+<x ,而f (x )>0,则10<<a ,画出f (x )=log a 1+x 的图象,知f (x )在(-∞,-1)上是减函数. 7.91241log )41(2-==f ,则913)]41([2==-f f . 8.D 、C 、B 、A 画出图象可知.9.[)+∞-,2,[)1,1-有0232>--x x ,则13<<-x ,在1-=x 时223x x --有最大值4,令223x x t --=,则40≤<t ,则24log log 2121-=≥t ,则值域是[)+∞-,2,在[)1,1-上,223x x t --=递减,则)23(log )(221x x x f --=单调增区间是[)1,1-.10.解:当1>a 时,⎩⎨⎧<≥-=)0(,1)0(,12)(x x a x f x 画出图象,知此时1)(min =x f .当10<<a 时,⎩⎨⎧>≤-=)0(,1)0(,12)(x x a x f x 画出图象,知此时1)(min =x f .由以上讨论知函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f xx且)最小值为1. 11.证明:画出函数x x f lg )(=的图象,可以看出在]1,0(上为减函数,在),1[+∞上为增函数, ∵b a <<0时有)()(b f a f >,则不可能有b a <≤1, 则只有10≤<<b a 及b a ≤<<10这两种情况. 若10≤<<b a ,显然1<ab ;若b a ≤<<10,则)()(b f a f >化为b a lg lg >,则b a lg lg >-,则0lg lg <+b a ,0)lg(<ab ,可得1<ab . 由以上讨论知,总有1<ab .12.解:(1)方程012=--x x 的根为251±=x , 所以012>--x x 的解为251-<x 或251+>x , 于是函数的定义域为),251()251,(+∞+⋃--∞. (2)因为函数的值域为R ,所以(){}m mx x u u --=⊆+∞2,0, 故04042≥-≤⇒≥+=∆m m m m 或.(3)欲使函数在区间()31,-∞-上是增函数,则只须 ()()⎪⎩⎪⎨⎧≥----≤-031312312m m m ⎩⎨⎧≤-≥⇒2322m m , 所以2322≤≤-m .B 组1.A 由y=12log x ,当2=x 时,1-=y ,代入y=kx 中,有k 21=-,则21-=k . 2.A 当2,21-==b a 时,2)21(-=x y ,其图象是x y )21(=的图象向下平移了2个 单位,则就不会经过第一象限了.3.C 知)(x f 在]2,[a a 上为减函数,则最大值是1log =a a ,最小值是2log 1)2(log a a a +=,则)2log 1(31a +=,则322log -=a , 23log 2-=a ,42223==-a . 4.D 由)()(x f x f -=-,得1111---=-+-x x e m e m ,则112--=-+x x x e m e me , 可得112---=x x x e m e me ,则2=m . 5.10根据题设条件得:55n n ae a ae --=-,所以512n e -=. 令8nt a ae -=,则18nt e -=,所以3151()2nt n e e --==, 所以t=15.15-5=10(分钟),即再经过10分钟桶1中的水就只有8a . 6.a ∈(1,2)a >0且a ≠1⇒μ(x )=2-ax 是减函数,要使y =a log (2-ax )是减函数, 则a >1,又2-ax >0⇒a <x2(0<x 1≤)⇒a <2,所以a ∈(1,2)7.解:令u =x 2+2x =(x +1)2-1 x ∈[-23,0], ∴当x =-1时,u min =-1 ;当x =0时,u max =0 ..233222233225310)2222531)10110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+<<⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>--b a b a b a a b a b a b a a b a b a 或综上得解得时当解得时当 8.解:(1)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+001011x p x x x 得1x x p >⎧⎨<⎩, 所以f (x )的定义域为(1,p ).(2)∵22221(1)()log [(1)()]log [()]24p p f x x p x x -+=+-=--+. ∴当112p -≤,即13p <≤时,()f x 既无最大值又无最小值; 当112p p -<<,即3p >时,当12p x -=时,()f x 有最大值22(1)log 4p +, 但没有最小值.综上可知:当13p <≤时,()f x 既无最大值又无最小值;当3p >时,()f x 有最大值22(1)log 4p +,但没有最小值.备选题1.若log 4[log 3(log 2x )]=0,则21-x等于( ) A .42 B .22 C .8 D .4 1.A 依题意可得x =8,则21-x =42.2.函数|,12|)(-=x x f 若a <b <c ,且)()()(b f c f a f >>,则下面四个式子中成立的是( )A .0,0,0<<<c b aB .0,0,0>≥<c b aC .c a 22<-D .222<+a c2.D 画出函数|12|)(-=x x f 的图象,可知a <0,c >0,所以2a -1<0, 2c -1>0, 又由)()(c f a f >,得1-2a >2c -1,所以222<+a c .3.比较log 20.4,log 30.4,log 40.4的大小.3.解:∵对数函数y =log 0.4x 在(0,+∞)上是减函数, ∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41=0.又反比例函数y =x1在(-∞,0)上也是减函数. 所以2log 14.0<3log 14.0<4log 14.0, 即log 20.4<log 30.4<log 40.4.4.已知函数x x f 2)(=.(1)判断函数)(x f 的奇偶性;(2)把)(x f 的图像经过怎样的变换,能得到函数22)(+=x x g 的图像; (3)在直角坐标系下作出函数)(x g 的图像.4.解:(1)函数)(x f 定义域为R ,又 ()22()x xf x f x --===, ∴函数)(x f 为偶函数.(2)把)(x f 的图像向左平移2个单位得到.(3)函数)(x f 的图像如右图所示.。

高一数学指数函数和对数函数试题答案及解析

高一数学指数函数和对数函数试题答案及解析

高一数学指数函数和对数函数试题答案及解析1.已知求的值.【答案】2【解析】解析:由可得x+x-1=7∴=……=18,故原式=2【考点】本题主要考查有理指数幂的运算。

点评:有理指数幂的运算,注意运用乘法公式,简化运算过程。

2.已知在上有,则是()A.在上是增加的B.在上是减少的C.在上是增加的D.在上是减少的【答案】C【解析】因为在上有,所以。

又在是减函数,所以是在上是增加的,故选C。

【考点】本题主要考查指数函数对数函数的性质,复合函数的单调性。

点评:注意讨论对数的底数取值情况。

3.函数的定义域是。

【答案】【解析】由解得,故答案为【考点】本题主要考查对数函数的性质。

点评:简单题,注意利用对数的底数大于0且不等于1。

4.已知函数,(1)求的定义域;(2)判断的奇偶性。

【答案】(1);(2)为非奇非偶函数.【解析】(1)∵,∴,又由得,∴的定义域为。

(2)∵的定义域不关于原点对称,∴为非奇非偶函数。

【考点】本题主要考查对数函数的图象和性质,复合函数,函数的奇偶性。

点评:判断函数的奇偶性,其必要条件是定义域关于原点对称。

5.在下列图象中,二次函数y=ax2+bx+c与函数y=()x的图象可能是()【答案】A【解析】首先由图可知,c=0.根据指数函数y=()x可知a,b同号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴-<0,可排除B与D选项C,a-b>0,a<0,∴>1,则指数函数单调递增,故C 不正确故选:A【考点】本题主要考查二次函数、指数函数的图象和性质。

点评:确定同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系,根据指数函数图象确定出a、b 的正负情况是求解的关键。

6.函数在上的最大值与最小值的和为3,则.【答案】2;【解析】因为,指数函数是单调函数,所以函数在上的最大值与最小值在区间[0,1]端点处取到,=3,a=2.【考点】本题主要考查指数函数的图象和性质,指数不等式解法。

点评:指数函数是重要函数之一,其图象和性质要牢记。

2023-2024学年高考数学指数函数与对数函数专项练习题(含答案)

2023-2024学年高考数学指数函数与对数函数专项练习题(含答案)

2024....二、多选题.函数,若对任意实数、,,则下列结论错误的是()(32log f x x x =++a b 0a b +>A .方程有且只有6个不同的解B .方程()()0f g x =解C .方程有且只有5个不同的解D .方程()()0f f x =解的零点个数为 .()4log =-y f x x16.已知函数,若方程有4个不同的实根,,,22log (1),13()1357,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩()34f x =1x 2x 3x 且,则.4x 1234x x x x <<<()341211x x x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭答案:1.C【分析】根据函数的单调性,借助中间值比较大小.【详解】因为函数在单调递增,且,所以,即,2log y x =()0,∞+π2>22log π>log 21=1a >因为函数在单调递减,且,所以,即,0.5log y x =()0,∞+π1>0.50.5log π<log 1=00b <因为函数在单调递增,且,所以,即,πxy =(),-∞+∞20-<200<ππ1-<=01c <<所以,a c b >>故选:C 2.A【分析】由提供的数据知,描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系函数不可能是单Q t 调函数,故选取二次函数进行描述,将表格所提供的三组数据代入,即得函2Q at bt c =++Q 数解析式,进而求解.【详解】因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,所以函数不单调,所以选取,且开口向上,2Q at bt c =++将表格中的三组数据分别代入,2Q at bt c =++得解得116360060,8410000100,11632400180,a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩0.01,2.4,224,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩即,对称轴,开口向上,20.01 2.4224Q t t =-+ 2.412020.01t -=-=⨯在对称轴处即120天时函数取最小值.∴t =西红柿种植成本最低时的上市天数是120天.∴故选:A.3.C【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域,从而列方程组01a <<1a >即可得到答案.【详解】函数(且)的值域为,2x y a =-0a >1,11a x ≠-≤≤5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又由指数函数的单调性可知,当时,函数在上单调递减,值域是01a <<2xy a =-[]1,1-12,2a a -⎡⎤--⎣⎦所以有,即,解得;110152321a a a -<<⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=⎪⎩101133a a a -<<⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩13a =当时,函数在上单调递增,值域是1a >2x y a =-[]1,1-12,2a a -⎡⎤--⎣⎦所以有,即 ,解得.11152321a a a ->⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=⎪⎩11133a a a ->⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩3a =综上所述,或.13a =3a =故选:C.4.B【分析】结合已知条件,利用抽象函数的定义域以及对数、分式的定义域求法求解即可.【详解】因为函数的定义域是,()f x [1,2022]所以对于有:,(1)()lg f x g x x +=1120220lg 0x x x ≤+≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩解得:且,02021x <≤1x ≠故函数的定义域是,()()1ln f x g x x+=(01)(1],,2021⋃故选:B .5.A【分析】根据题意,求得,得到,结合零点的存在性定理,3()0,(2)02f f >>3(1)()02f f ⋅<即可求解.【详解】由函数,且,可得,()348f x x x =+-()()10,30f f <>3()70,(2)2602f f =>=>所以,根据零点的存在性定理,3(1)()02f f ⋅<可得方程的近似解落在区间为.3480x x +-=31,2⎛⎫⎪⎝⎭故选:A.6.C【分析】根据给定条件,可得函数在R 上单调递增,再利用分段函数及对数函数单调性()f x 列出不等式求解即得.【详解】函数的定义域为R ,(2)1,1()log ,1a a x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩由对任意,都有,得函数在R 上单调递增,12x x ≠1212()()f x f x x x ->-()f x 于是,解得,20130a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩23a <≤所以实数的取值范围为.a (]2,3故选:C 7.B【分析】利用对数的换底公式和运算法则即可得解.【详解】,,,230x y k ==>Q 23log ,log x k y k ==∴11log 2,log 3k k x y ∴==,,则.12log 2log 3log 61k k k x y ∴=+=+=∴26k =6k =故选:B.8.A【分析】由函数的定义域排除C ,由函数的奇偶性排除D ,由特殊的函数值排除B ,结合奇偶性和单调性判断A.【详解】由得,则函数的定义域为,排除选项C ;30x ->33x -<<()ln 3y x =-()3,3-又,所以为偶函数,则图象关于y 轴对称,排除选项D ;()()ln 3ln 3x x --=-()ln 3y x =-当时,,排除选项B ,52x =1ln 02y =<因为为偶函数,且当时,函数单调递减,()ln 3y x =-30x >>()()ln 3ln 3y x x =-=-选项A 中图象符合.故选:A 9.ACD【分析】分析函数的奇偶性与单调性,由已知可得出,结合函数的奇偶性()f x a b >-()f x与单调性可得出合适的选项.【详解】令,对任意的,,即,()()22log 1g x x x =++x ∈R 21x x x+>≥-210x x ++>所以,函数的定义域为,()g x R 则.()()()()2222221log 1log 1log1g x x x x x g x x x⎛⎫-=+--=+-==- ⎪⎝⎭++所以,函数是定义域为的奇函数,()g x R 因为函数、为上的增函数,1u x =221u x =+[)0,∞+所以,内层函数在上为增函数,21u x x =++[)0,∞+外层函数在上为增函数,2log y u =()0,∞+所以,函数在上为增函数,()()22log 1g x x x =++[)0,∞+由于函数是定义域为的奇函数,则该函数在上为增函数,()g x R (],0-∞所以,函数在上单调递增,()()22log 1g x x x =++R 因为的定义域为,则,()f x R ()()()()()33f x x g x x g x f x -=-+-=--=-所以,函数为奇函数,()f x 又因为函数为上的增函数,所以,函数在上单调递增.3y x =R ()f x R 因为,所以,则,即,A 错B 对,0a b +>a b >-()()()f a f b f b >-=-()()0f a f b +>又、的大小不确定,故CD 错.a b 故选:ACD.方法点睛:函数的三个性质:单调性、奇偶性和周期性,在高考中一般不会单独命题,而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,并结合奇偶性求函数值,多以选择题、填空题的形式呈现,且主要有以下几种命题角度;(1)函数的单调性与奇偶性相结合,注意函数的单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性相结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解;(3)周期性、奇偶性与单调性相结合,解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.10.ABC【分析】根据题意,由函数的定义,只需满足集合中的每一个元素在集合中都有唯一一P Q 个元素与之对应即可,再结合选项逐一分析,即可得到结果.【详解】选项A ,,集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之1:2f x y x→=P Q 对应,故A 正确;选项B ,,集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应,故13:f x y x →=P Q B 正确;选项C ,,集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应,1:2xf x y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭P Q 故C 正确;选项D ,,集合中的1,在集合中没有元素与之对应,故D 错误;:ln f x y x →=P Q 故选:ABC 11.ABD【分析】根据奇偶性的定义即可判断A,根据基本函数的单调性即可判断BC ,根据反函数的性质即可判断D.【详解】对于A ,定义域为,关于原点对称,又由于()f x R ()()e e e e ,,22x x x xf x f x --++=-=,所以为偶函数,A 正确,()()=f x f x -()f x 对于B ,,由于函数在单调递增,所以在()e 121e 1e 1x x x f x -==-++e 1xy =+x ∈R 1e 1x y =+单调递减,因此在单调递增,B 正确,x ∈R ()21e 1xf x =-+x ∈R 对于C ,由于函数为定义域上的偶函数,当时,在区间上单调递lg y x=0x >lg y x =()0,∞+增,故C 错误,对于D ,由于函数与互为反函数,所以两者图象关于,D 正13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭133log log y x x ==-y x =确,故选:ABD 12.ACD【分析】令,结合图象可得有3个不同的解,,,不妨设,()t x g =()0f t =1t 2t 3t 123t t t <<则可知,,,令,结合图象可得有2个不同的解121t -<<-2t =312t <<()m f x =()0g m =,,不妨设,则可知,,再数形结合求出复合函数的解的1m 2m 12m m <121m -<<-201m <<个数.【详解】A 选项,令,结合图象可得有3个不同的解,,,()t x g =()0f t =1t 2t 3t 不妨设,则可知,,,123t t t <<121t -<<-20t =312t <<由图可知有2个不同的解,有2个不同的解,有2个不同的解,()1g x t =()2g x t =()3g x t =即有6个不同的解,A 正确;()()0f g x =B 选项,令,结合图象可得有2个不同的解,,()m f x =()0g m =1m 2m 不妨设,则可知,,12m m <121m -<<-201m <<由图可知有1个解,有3个不同的解,()1f x m =()2f x m =即有4个不同的解,B 错误;()()0g f x =C 选项,令,结合图象可得有3个不同的解,,()m f x =()0f m =1m 2m 3m 且,,,121m -<<-20m =312m <<由图可知有1个解,有3个不同的解,有1个解,()1f x m =()2f x m =()3f x m =即有5个不同的解,C 正确;()()0f f x =D 选项,令,结合图象可得有两个不同的解,()t x g =()0g t =1t2t 不妨设,则可知,,12t t <121t -<<-201t <<由图可知有2个不同的解,有2个不同的解,()1g x t =()2g x t =即有4个不同的解,D 正确.()()0g g x =故选:ACD .13.193【分析】利用位数的定义,结合对数运算法则即可得解.k故答案为.14。

2024全国高考真题数学汇编:指数函数与对数函数章节综合

2024全国高考真题数学汇编:指数函数与对数函数章节综合

2024全国高考真题数学汇编指数函数与对数函数章节综合一、单选题1.(2024天津高考真题)设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 2.(2024天津高考真题)若0.30.3 4.24.24.2log 0.2a b c -===,,,则a b c ,,的大小关系为( ) A .a b c >> B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >>3.(2024全国高考真题)已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .(,0]-∞ B .[1,0]- C .[1,1]- D .[0,)+∞4.(2024北京高考真题)生物丰富度指数 1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标,其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化,生物个体总数由1N 变为2N ,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则( )A .2132N N =B .2123N N =C .2321N N =D .3221N N = 5.(2024北京高考真题)已知()11,x y ,()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点,则( ) A .12122log 22y y x x ++< B .12122log 22y y x x ++> C .12212log 2y y x x +<+ D .12212log 2y y x x +>+ 6.(2024全国高考真题)设函数()()ln()f x x a x b =++,若()0f x ≥,则22a b +的最小值为( )A .18B .14C .12D .1二、填空题 7.(2024全国高考真题)已知1a >且8115log log 42a a -=-,则=a .参考答案1.C【分析】说明二者与同一个命题等价,再得到二者等价,即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件. 故选:C.2.B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增,且0.300.3-<<,所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<,所以0.30.30 4.21 4.2-<<<,即01a b <<<,因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增,且00.21<<,所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=,即0c <,所以b a c >>,故选:B3.B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组,解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增,且0x ≥时,()()e ln 1x f x x =++单调递增,则需满足()02021e ln1a a -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a -≤≤, 即a 的范围是[1,0]-.故选:B.4.D 【分析】根据题意分析可得12112.1, 3.15ln ln S S N N --==,消去S 即可求解. 【详解】由题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N --==,则122.1ln 3.15ln N N =,即122ln 3ln N N =,所以3221N N =. 故选:D.5.B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ;举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设12x x <,因为函数2x y =是增函数,所以12022x x <<,即120y y <<,对于选项AB:可得121222222x x x x ++>=,即12122202x x y y ++>>, 根据函数2log y x =是增函数,所以121212222log log 222x x y y x x +++>=,故B 正确,A 错误;对于选项D :例如120,1x x ==,则121,2y y ==, 可得()12223log log 0,122y y +=∈,即12212log 12y y x x +<=+,故D 错误; 对于选项C :例如121,2x x =-=-,则1211,24y y ==, 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--,即12212log 32y y x x +>-=+,故C 错误, 故选:B.6.C 【分析】解法一:由题意可知:()f x 的定义域为(),b ∞-+,分类讨论a -与,1b b --的大小关系,结合符号分析判断,即可得1b a =+,代入可得最值;解法二:根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号,进而可得x a +的符号,即可得1b a =+,代入可得最值.【详解】解法一:由题意可知:()f x 的定义域为(),b ∞-+,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;若-≤-a b ,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1b a b -<-<-,当(),1x a b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1a b -=-,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+<,此时()0f x >;当[)1,x b ∞∈-+时,可知()0,ln 0x a x b +≥+≥,此时()0f x ≥;可知若1a b -=-,符合题意;若1a b ->-,当()1,x b a ∈--时,可知()0,ln 0x a x b ++,此时()0f x <,不合题意;综上所述:1a b -=-,即1b a =+,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立, 所以22a b +的最小值为12;解法二:由题意可知:()f x 的定义域为(),b ∞-+,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;则当(),1x b b ∈--时,()ln 0x b +<,故0x a +≤,所以10b a -+≤; ()1,x b ∞∈-+时,()ln 0x b +>,故0x a +≥,所以10b a -+≥;故10b a -+=, 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立, 所以22a b +的最小值为12.故选:C.【点睛】关键点点睛:分别求0x a +=、ln()0x b +=的根,以根和函数定义域为临界,比较大小分类讨论,结合符号性分析判断.7.64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-,整理得()2225log 60log a a --=, 2log 1a ⇒=-或2log 6a =,又1a >,所以622log 6log 2a ==,故6264a ==故答案为:64.。

2023年一轮复习《指数函数和对数函数》综合训练(含解析)

2023年一轮复习《指数函数和对数函数》综合训练(含解析)

2023年一轮复习《指数函数和对数函数》综合训练一、单选题(本大题共12小题,共60分)1.(5分)已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数.当x⩾0时f(x)={x 2,0⩽x⩽1f(x−1)+1,x>1.若恰有5个不同的实数x1,x2,…,x5,使得f(x)=mx成立,则实数m的值为()A. √2−1B. 2√2−2C. 2−√2D. 3−2√22.(5分)已知某抽气机每次可抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.2%,则至少要抽的次数是(参考数据:lg2=0.301)()A. 6B. 7C. 8D. 93.(5分)已知函数f(x)=sin(π2x)+a(e x−1+e−x+1)有唯一零点,则a=()A. −1B. −12C. 12D. 14.(5分)已知x1是方程x+≶x=3的根,x2是方程x+10x=3的根,那么x1+x2的值为()A. 6B. 3C. 2D. 15.(5分)函数y=|ln|x−2||+x2−4x的所有零点之和是()A. −8B. −4C. 4D. 86.(5分)已知函数f(x)={xlnx−x,x>0f(x+1),x⩽0,若关于x的方程2f(x)−kx+1=0有四个不同的实根,则实数k的取值范围是()A. (−14,−16]∪(14,12]B. [−14,−16)∪[14,12)C. (−12,−13]∪(12,1]D. [−12,−13]7.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,f(−2)=0,则不等式xf(x+1)>0的解集为()A. (−3,−1)∪(0,+∞)B. (−∞,−3)∪(0,1)C. (−∞,−3)∪(−1,+∞)D. (−3,0)∪(1,+∞)8.(5分)已知函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),满足对任意x∈(0,+∞),恒有f[f(x)−1x]=4,若函数y=f(x)−4的零点个数为有限的n(n∈N∗)个,则n的最大值为()A. 1B. 2C. 3D. 49.(5分)下列函数中,在定义域内单调递增,且在区间(−1,1)内有零点的函数是()A. y=−x3B. y=2x−1C. y=x2−12D. y=log2(x+2)10.(5分)(示范高中)已知x >0,y >0,≶2x +≶4y =≶2,则1x +1y 的最小值是( )A. 6B. 5C. 3+2√2D. 4√211.(5分)已知函数f(x)={|log 2(x +1)|,x ∈(−1,3)5−x,x ∈[3,+∞),则函数g(x)=f(f(x))−1的零点个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 612.(5分)已知函数f(x)在[−3,4]上的图象是一条连续的曲线,且其部分对应值如表:A. (−3,−1)和(−1,1)B. (−3,−1)和(2,4)C. (−1,1)和(1,2)D. (−∞,−3)和(4,+∞)二 、填空题(本大题共4小题,共20分)13.(5分)若log 9(3a +4b )=log 3√ab ,则a +3b 的最小值是________. 14.(5分)已知2a =3,b =log 25,则2b =______,2a+b =______. 15.(5分)若lga ,lgb 是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则ab=____. 16.(5分)计算 log23•log38=____. 三 、解答题(本大题共6小题,共72分) 17.(12分)求值:(1)0.027−13−(−17)−2−3−1+(−78)0; (2)3log 32+lg 16+3lg 5−lg 15.18.(12分)计算下列各式的值. (1)i −i 2+i 3−i 4+…+i 2021−i 2022;(2)log 168+101−lg5−(2764)13+(1−√2)lg1. 19.(12分)已知函数f(x)=a −22x +1(a ∈R) 为定义域上的奇函数.(1)求a 的值;(2)判断f(x)在定义域上的单调性,并加以证明;(3)若关于x 的方程f(x)=23在区间(b,b +1)(b ∈N ∗)内有唯一解,求b 的值. 20.(12分)设二次函数f(x)=ax 2+(b −3)x +3.(1)若函数f(x)的零点为−3,2,求函数f(x); (2)若f(1)=1,a >0,b >0,求1a +4b 的最小值. 21.(12分)解下列方程. (1)log 2[log 2(2x +3)]=2; (2)(12)x .82x =4.22.(12分)已知函数f(x)=−x 2+2ex +m −1,g(x)=x +e 2x(x >0).(1)若y =g(x)−m 有零点,求实数m 的取值范围;(2)求实数m 的取值范围,使得g(x)−f(x)=0有两个不相等的实根. 四 、多选题(本大题共5小题,共25分) 23.(5分)已知a >0,b >0,ln a =ln b 2=ln (3a +2b )3,则下列说法错误的是( )A. b =2aB. 3a +2b =b 3C. ln bln (a+1)=log 23D. eln b a=324.(5分)设函数f(x)={3x ,x ⩽0|log 3x|,x >0,若f(x)−a =0有三个不同的实数根,则实数a 的取值可以是( )A. 12 B. 1 C. −1 D. 225.(5分)若关于x 的不等式ae x +bx +c <0的解集为(−1,1),则( )A. b >0B. |a|<|c|C. a +b +c >0D. 8a +2b +c >026.(5分)下列各选项中,值为1的是( )A. log 26.log 62B. log 62+log 64C. (2+√3)12⋅(2−√3)12D. (2+√3)12−(2−√3)1227.(5分)已知函数f(x)={cosx,x >0kx,x ⩽0,若方程f(x)+f(−x)=0有n 个不同的实根,从小到大依次为x 1,x 2,x 3,…,x n ,则下列说法正确的是( )A. x 1+x 2+x 3+…+x n =0B. 当n =1时,k <−1π C. 当n =3且k <0时,tan x 3=−1x 3D. 当k >12π时,n =3答案和解析1.【答案】B;【解析】解:∵函数y=f(x)是定义域为R的奇函数.x⩾0时f(x)={x 2,0⩽x⩽1f(x−1)+1,x>1.∴f(0)=0,若恰有5个不同的实数x1,x2,…,x5,使得f(x)=mx成立,则f(x)=mx有且仅有两个正根,则m>0,且y=mx的图象,与y=f(x),x∈[1,2]的图象相切,由y=f(x)=(x−1)2+1,x∈[1,2],故mx=(x−1)2+1有且只有一个解,即x2−(m+2)x+2=0的Δ=0,解得:m=2√2−2,或m=−2√2−2(舍去),故m=2√2−2,故选:B由已知中恰有5个不同的实数x1,x2,…,x5,使得f(x)=mx成立,可得f(x)=mx有且仅有两个正根,则m>0,且y=mx的图象,与y=f(x),x∈[1,2]的图象相切,进而可得答案.此题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中结合函数奇偶性的函数特征,分析出f(x)=mx有且仅有两个正根,是解答的关键.2.【答案】B;【解析】解:假设至少要抽的次数是n,则(1−0.6)n<0.002,∴nlg0.4<lg0.002,∴n>lg0.002lg0.4=lg2−32lg2−1≈6.8.∴至少要抽的次数是7.故选:B.假设至少要抽的次数是n,则(1−0.6)n<0.002,化为对数式即可得出.该题考查了指数式化为对数式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.【答案】B;【解析】解:因为函数f(x)=sin(π2x)+a(e x−1+e−x+1),令x−1=t,t∈R,则g(t)=sin(π2(t+1))+a(e t+e−t)=cos(π2t)+a(e t+e−t)为偶函数,因为函数f(x)=sin(π2x)+a(e x−1+e x−1)有唯一零点,t)+a(e t+e−1)有唯一零点,所以g(t)=cos(π2根据偶函数的对称性,则g(0)=1+2a=0,解得a=−1,2故选:B.t)+a(e t+e−t)有唯一零点,根据偶函数的对称性求令x−1=t,转化为g(t)=cos(π2解.此题主要考查了函数的零点问题,属于中档题.4.【答案】B;【解析】解:第一个方程:≶x=3−x,第二个方程,≶(3−x)=x.注意第二个方程如果做变量代换y=3−x,则≶y=3−y,其实是与第一个方程一样的.如果x1,x2是两个方程的解,则必有x1=3−x2,∴x1+x2=3.故选:B.第一个方程:≶x=3−x,第二个方程,≶(3−x)=x.注意第二个方程如果做变量代换y=3−x,则≶y=3−y,由此能求出结果.该题考查两数和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数性质的合理运用.5.【答案】D;【解析】解:根据函数y=|ln|x−2||+x2−4x的零点,转化为|ln|x−2||+x2−4x=0的根,令y=|ln|x−2||,y=−x2+4x,两个函数的对称轴都为x=2,在同一坐标系中,画出函数的图象:x 3,x 2关于x =2对称,所以x 3+x 2=4, x 1,x 4关于x =2对称,所以x 1+x 4=4, 所以x 1+x 2+x 3+x 4=8, 故选:D .根据函数y =|ln |x −2||+x 2−4x 的零点⇒|ln |x −2||+x 2−4x =0的根⇒y =|ln |x −2||,y =−x 2+4x 交点的横坐标,由两个函数都有对称轴x =2,结合图象可得x 3,x 2关于x =2对称,x 1,x 4关于x =2对称,进而得出答案. 该题考查函数的零点,解题中注意转化思想的应用,属于中档题.6.【答案】C;【解析】解:当x >0时,f ′(x)=lnx ,当0<x <1时,f ′(x)<0,当x >1时,f ′(x)>0,所以当x >0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 又当x ⩽0时,f(x)=f(x +1),所以根据周期为1可得:当x ⩽0时f(x)的图象,故f(x)的图象如图所示:将方程2f(x)−kx +1=0,转化为方程f(x)=k2x −12有四个不同的实根, 令g(x)=k2x −12,其图象恒过(0,−12), 因为f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点, 所以k CE <k2⩽k DE 或k BE <k2⩽k AE ,又由A(−3,0),B(−2,0),C(−2,−1),D(−1,−1),E(0,−12), 故k CE =14,k DE =12,k BE =−14,k DE =−16, 所以14<k2⩽12或−14<k2⩽−16, 即12<k ⩽1或−12<k ⩽−13. 故选:C.把方程2f(x)−kx +1=0有四个不同的实根,转化为函数y =f(x)和g(x)=k2x −12的图象有四个交点,作出两个函数的图象,结合图象,即可求解.此题主要考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想,难点在于作出图象,属于中档题.7.【答案】B;【解析】本题查抽象函数的单调性和奇偶性的综合应用,属于中档题。

指数函数对数函数计算题集及答案

指数函数对数函数计算题集及答案

指数函数对数函数计算题11、计算:lg 5·lg 8000+06.0lg 61lg )2(lg 23++.2、解方程:lg 2x +10-lgx +103=4.3、解方程:23log 1log 66-=x .4、解方程:9-x -2×31-x =27.5、解方程:x )81(=128.6、解方程:5x+1=123-x .7、计算:10log 5log )5(lg )2(lg 2233++·.10log 188、计算:1lg 25+lg2·lg50; 2log 43+log 83log 32+log 92.9、求函数121log 8.0--=x x y 的定义域.10、已知log 1227=a,求log 616.11、已知fx=1322+-x xa ,gx=522-+x x a a >0且a ≠1,确定x 的取值范围,使得fx >gx.12、已知函数fx=321121x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-. 1求函数的定义域;2讨论fx 的奇偶性;3求证fx >0.13、求关于x 的方程a x +1=-x 2+2x +2aa >0且a ≠1的实数解的个数.14、求log 927的值.15、设3a =4b =36,求a 2+b1的值.16、解对数方程:log 2x -1+log 2x=117、解指数方程:4x +4-x -2x+2-2-x+2+6=018、解指数方程:24x+1-17×4x +8=019、解指数方程:22)223()223(=-++-x x ±220、解指数方程:01433214111=+⨯------x x21、解指数方程:042342222=-⨯--+-+x x x x22、解对数方程:log2x-1=log22x+123、解对数方程:log2x2-5x-2=224、解对数方程:log16x+log4x+log2x=725、解对数方程:log21+log31+4log3x=126、解指数方程:6x-3×2x-2×3x+6=027、解对数方程:lg2x-12-lgx-32=228、解对数方程:lgy-1-lgy=lg2y-2-lgy+229、解对数方程:lgx2+1-2lgx+3+lg2=030、解对数方程:lg2x+3lgx-4=0指数函数对数函数计算题1 〈答案〉 1、12、解:原方程为lg 2x +10-3lgx +10-4=0,∴lgx +10-4lgx +10+1=0.由lgx +10=4,得x +10=10000,∴x=9990.由lgx +10=-1,得x +10=,∴x=-.检验知: x=9990和-都是原方程的解.3、 解:原方程为36log log 626=x ,∴x 2=2,解得x=2或x=-2. 经检验,x=2是原方程的解, x=-2不合题意,舍去.4、解:原方程为2)3(x --6×3-x -27=0,∴3-x +33-x -9=0. ∵3-x +3≠0,∴由3-x -9=0得3-x =32.故x=-2是原方程的解.5、解:原方程为x 32-=27,∴-3x=7,故x=-37为原方程的解.6、解:方程两边取常用对数,得:x +1lg5=x 2-1lg3,x +1lg5-x -1lg3=0. ∴x +1=0或lg5-x -1lg3=0.故原方程的解为x 1=-1或x 2=1+5log 3.7、18、11;2459、函数的定义域应满足:⎪⎩⎪⎨⎧>≥-≠-,0,01log ,0128.0x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥≠,0,1log ,218.0x x x解得0<x ≤54且x ≠21,即函数的定义域为{x|0<x ≤54且x ≠21}.10、由已知,得a=log 1227=12log 27log 33=2log 2133+,∴log 32=a a 23- 于是log 616=6log 16log 33=2log 12log 433+=aa +-3)3(4.11、若a >1,则x <2或x >3;若0<a <1,则2<x <312、1-∞,0∪0,+∞;2是偶函数;3略.13、2个14、设log 927=x,根据对数的定义有9x =27,即32x =33,∴2x=3,x=23,即log 927=23.15、对已知条件取以6为底的对数,得a 2=log 63, b1=log 62, 于是a 2+b1=log 63+log 62=log 66=1.16、x=217、x=018、x=-21或x=2319、x=±120、x=3721、x=2322、x ∈φ23、x=-1或x=624、x=1625、 x=326、x=127、 x=829或x=123128、y=229、x=-1或x=730、x=10或x=10-4指数函数对数函数计算题21、解对数方程:65lg 21lg 32=+++x x2、解对数方程:2log 4x+2log x 4=53、解对数方程:3log x 3+3log 27x=44、解对数方程:log 7log 3x=-15、解指数方程:4x +4-x -2x -2-x =06、解指数方程:9x +6x -3x+2-9×2x =07、解指数方程:2x+2-2-x +3=08、解指数方程:2x+1-3×2-x +5=09、解指数方程:5x-1+5x-2+5x-3=15510、解指数方程:26x+3×43x+6=8xx11、解指数方程:4x -3·2x+3-432=0.12、解对数方程:lg6·5x +25·20x =x+lg2513、解对数方程:log x-12x 2-5x -3=214、解对数方程:1lg 2-x =2-lgx15、解对数方程:x x 323log log52⋅=40016、解对数方程:log 29-2x =3-x17、解对数方程:101gx+1=471+gx x18、解对数方程:log 22x -1·log 22x+1-2=219、解关于x 的方程.3)lg()](lg[22=--a x a x a20、计算:1log 622+log 63·log 62+log 63; 2lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22.21、计算:129)12(lg log 3-+5225)25.0(lg log -;21-log 632+log 62·log 618·log 46.22、已知:log 23=a,3b =7.求:log 4256.23、已知:log 89=a,log 25=b,求:lg2,lg3,lg5.24、已知:log 189=a,18b =5,求:log 3645.25、已知:12a =27,求:log 616.26、计算:13log 422+; 2b a a log 31.27、计算:13lg 100; 28log 427log 31125525+.28、计算:.18log 7log 37log 214log 3333-+-29、若函数fx 的定义域是0,1,分别求函数f1-2x 和fx +aa >0的定义域.30、若函数fx +1的定义域是-2,3,求函数f x1+2的定义域.指数函数对数函数计算题2〈答案〉 1、x=10或x=105122、x=2或x=163、x=3或x=274、 x=735、x=06、x=27、x=-28、x=-19、x=410、x=-1或x=511、x=2+2log 2312、x=log 253或x=log 25213、x=414、x=10或x=10315、x=916、x=0或x=317、x=10-4或x=1018、x=log 245或x=log 2319、a <0且a ≠-1时,x=0;a >0且a ≠21,x=3a;a=0或a=-1或a=21时,无解20、11 2321、13 2122、13+++ab a ab23、lg2=b +11 lg3=)1(23b a + lg5=bb +124、log 3645=ab a -+225、log 616=aa +-341226、148 23b27、13 2230428、29、{x|0≤x ≤21},{x|-a ≤x ≤1-a}.30、{x|x <-31或x >21}指数函数对数函数计算题31、求函数fx=lg1+x +lg1-x -21<x <0的反函数.2、已知实数x,y 满足log 4y 2=x 21log , 求 yx u =的最大值及其相应的x,y 的值.3、若抛物线y=x 2log 2a +2xlog a 2+8位于x 轴的上方,求实数a 的取值范围.4、已知函数fx=log a bx 2+2log b ax +8的图象在x 轴的上方,求a,b 的取值范围.5、已知fx=log a |log a x|0<a <1.解不等式fx >0.判断fx 在1,+∞上的单调性,并证明之.6、计算:2log 9log 412log 221log 5533525.0log 3)3(--++-.7、解方程)13lg()13lg()1lg(2++-=-x .8、解方程:2lg +x x =1000.9、解方程:64x -9x -5×6x =0.10、解方程:1lg )7(lg 4110++=x x x .11、解方程:log x+24x +5-01)54(log 22=-++x x .12、已知12x =3,12y =2,求y x x +--1218的值.13、已知2lg 2y x -=lgx +lgy,求yx 的值.14、已知log a x 2+1+log a y 2+4=log a 8+log a x +log a ya >0,a ≠1,求log 8xy 的值.15、已知正实数x,y,z 满足3x =4y =6z ,1求证:yx z 2111=-;2比较3x,4y,6z 的大小.16、求7lg20·7.0lg 21⎪⎭⎫ ⎝⎛的值.17、已知函数fx=1+log x 3,gx=2log x 2x >0,且x ≠1,比较fx 与gx 的大小.18、已知函数fx=1log -x a a >0且a ≠1,1求fx 的定义域;2当a >1时,求证fx 在a,+∞上是增函数.19、根据条件,求实数a 的取值范围:1log 1+a 1-a <1;2|lg1-a|>|lg1+a|.20、解方程:9x +4x =25·6x .21、解方程:92x-1=4x22、解方程:x⎪⎭⎫ ⎝⎛271=91-x .23、解方程:9x -2·3x+1-27=0.24、已知函数fx=bx b x a-+log a >0,b >0且a ≠1. 1求fx 的定义域;2讨论fx 的奇偶性;3讨论fx 的单调性;4求fx 的反函数f -1x.25、已知函数fx=)2(log 221x x -.1求它的单调区间;2求fx 为增函数时的反函数.26、已知函数fx=21-x a满足flga=10,求实数a 的值.27、解关于x 的方程:lgax-1-lgx-3=128、解方程:-25.03log x x=4log 35.x o .29、解方程:5)(1log 5=-x x .30、解方程:3·16x +36x =2·81x .指数函数对数函数计算题3 〈答案〉 1、f -1x=-x 101-lg43<x <02、 考虑y x 4log =21-log 42y -log 4y,当x=21,y=41时,u max =2.3、由⎩⎨⎧<⋅-=∆>,08log 4)2log 2(,0log 222a a a 可得2<a <+∞4、a >1,b >a 或0<a <1,0<b <a .5、1a <x <a1且x ≠1;2fx 在1,+∞上是减函数.6、4217、)]13)(13lg[()1lg(2+-=-x ,x -1>0,∴x >1x -12=3-1,∴x=1+28、解:原方程为lgx +2lgx=3,∴lg 2x +2lgx -3=0,设y=lgx,则有 y 2+2y -3=0,∴y 1=1,y 2=-3.由lgx=1,得x=10,由lgx=-3,得x=10001. 经检验,x=10和x=10001都是原方程的解.9、x=-110、x=10或x=11、x=112、3413、3+2214、利用运算法则,得xy -22+2x -y 2=0∴log s xy=3115、1略;23x <4y <6z16、令所求式为t,两边取对数,得原式=1417、当0<x <1或x >34时,fx >gx;当1<x <34时,fx <gx;当x=34时,fx=gx.18、1当0<a <1时,0<x ≤a;当a >1时,x ≥a.2设a ≤x 1≤x 2,则fx 1-fx 2=1log 1log 21---x x a a =1log 1log log 2121-+-x x x x a a a<0.19、1-1<a <0或0<a <1;20<a <120、方程即为2·32x -5·3x ·2x +2·22x =0,即022352322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x .令y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛23,方程又化为2y 2-5y +2=0, 解得y 1=2,y 2=21,于是便可得x 1=2log 23,x 2=-223log .21、 由题意可得x229⎪⎭⎫ ⎝⎛=9,∴2x=9log 29,故x=219log 29.22、方程即为3-3x =32-2x ,∴-3x=2-2x,故x=-2.23、令y=3x >0,则原方程可化为y 2-6y -27=0,由此得y=9另一解y=-3舍去.从而由3x =9解得x=2.24、1-∞,-b ∪b,+∞;2奇函数;3当0<a <1时,fx 在-∞,-b 和b,+∞上是增函数;当a >1时,fx 在-∞,-b 和b,+∞上是减函数;4略;25、1在-∞,0,2,+∞上是减函数;2当x ∈-∞,0时<fx 的反函数是f -1x=1-x⎪⎭⎫ ⎝⎛+211x ∈R.26、a=10或a=101027、 当31<a <10时方程的解为x=-1029 a28、 1,2,34229、51,2530、21。

2023-2024学年高一上数学《指数函数与对数函数》测试卷及答案解析

2023-2024学年高一上数学《指数函数与对数函数》测试卷及答案解析

2023-2024学年高一数学《指数函数与对数函数》一.选择题(共12小题)1.(2022春•鼓楼区校级期中)设,则a,b,c的大小顺序为()A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 2.(2022春•鼓楼区校级期中)关于x的不等式e x≤ax(x﹣lnx)只有唯一实数解,则实数a的取值范围是()A.{e}B.[e,+∞)C.{1}D.(0,1] 3.(2022春•福州期中)已知a=lg2,b=log23,c=log34,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b 4.(2022•福州模拟)折纸是我国民间的一种传统手工艺术.现有一张长10cm、宽8cm的长方形的纸片,将纸片沿着一条直线折叠,折痕(线段)将纸片分成两部分,面积分别为S1,S2.若S1:S2=1:3,则折痕长的最大值为()A .cm B.10cm C.2cm D.2cm 5.(2021秋•福州期末)已知函数f(x)=(x+3)(x﹣e)+(x﹣e)(x﹣π)+(x﹣π)(x+3)的零点x1,x2(x1<x2),则()A.x1x2>0B .<﹣C.x2﹣x1<e D.x1+x2<π6.(2021秋•福州期末)设a=0.123,b=30.4,c=log0.40.12,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<a<b 7.(2021秋•仓山区校级期末)若方程x2+2x+m2+3m=m cos(x+1)+7有且仅有1个实数根,则实数m的值为()A.2B.﹣2C.4D.﹣4 8.(2021秋•鼓楼区校级期中)某科技有限公司为了鼓励员工创新,打破发达国家的芯片垄断,计划逐年增加研发资金投入,若该公司2018年全年投入的研发资金为200万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增加10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是()(参考数据:1.16=1.77,1.17=1.95,1.18=2.14,1.19=2.36)第1页(共23页)。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示,函数y =|2x −2|的图像是( )A .B .C .D .答案:B分析:将原函数变形为分段函数,根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1,∴x =1时,y =0,x ≠1时,y >0. 故选:B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是( ) A .(1,+∞)B .(12,1)C .(13,12)D .(14,13)答案:B分析:结合函数的单调性,利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0, 所以f(12)⋅f(1)<0,又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增, 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12,1), 故选:B .小提示:本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用,属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解,则m 的取值范围是( ) A .[0,34]B .(0,34) C .[0,916]D .(0,916) 答案:D分析:根据题意,作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像,然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示:若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解, 则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点,若直线y =12x +m 经过原点时,m =0,若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切,令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0,令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选:D .4、函数y =2x −2−x ( )A .是R 上的减函数B .是R 上的增函数C .在(−∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数D .无法判断其单调性 答案:B分析:利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数,指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数, 故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选:B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数,且y =a −x 也为增函数,则a 的取值范围是( ) A .(√33,1)B .(0,12)C .(√33,√63)D .(√63,1) 答案:D分析:根据函数单调性,列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解,即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数,则3a 2−1>1,由y =a −x 为增函数得0<a <1.解不等式组{3a 2−1>10<a <1,得a 的取值范围是(√63,1).故选:D.小提示:本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数,涉及不等式的解法,属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a (元/个)的取值范围应是( ) A .90<a <100B .90<a <110C .100<a <110D .80<a <100 答案:A分析:首先设每个涨价x 元,涨价后的利润与原利润之差为y 元,结合条件列式,根据y >0,求x 的取值范围,即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元,涨价后的利润与原利润之差为y 元,则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加,则必须使y >0,即x 2−10x <0,得0<x <10,∴90<x +90<100,所以a 的取值为90<a <100. 故选:A7、已知a =lg2,10b =3,则log 56=( ) A .a+b 1+aB .a+b 1−aC .a−b 1+aD .a−b 1−a答案:B分析:指数式化为对数式求b ,再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3, ∴b =lg3, ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a.故选:B .8、已知2a =5,log 83=b ,则4a−3b =( ) A .25B .5C .259D .53 答案:C分析:根据指数式与对数式的互化,幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出. 因为2a =5,b =log 83=13log 23,即23b =3,所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259.故选:C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ,则( ) A .任意a ∈R ,函数f (x )的值域为R B .任意a ∈R ,函数f (x )都有零点C .任意a ∈R ,存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D .当a ∈(−∞,−4]时,任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案:BD分析:画出分段函数图像,根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1),(x2,y2)对于选项A,由图像可知,当a<x1时,f(x)的值域不为R,故A错误对于选项B,由图像可知,无论a取何值,函数f(x)都有零点,故B正确对于选项C,当x>0时g(−|x|)=g(−x),g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D,若x1<a,x2<a,因为y=−(x+1)2为增函数,所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a,x2>a因为y=e x−1为增函数,所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1,x2不在同一区间时,因为a∈(−∞,−4],所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方,所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选:BD10、已知实数a,b满足等式2a=3b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有()A.①B.②⑤C.②③D.④答案:AB分析:画出指数函数y=2x,y=3x的图象,利用单调生即可得出答案.如图所示,数y=2x,y=3x的图象,由图象可知:( 1 ) 当时x>0,若2a=3b,则a>b;( 2 ) 当x=0时,若2a=3b,则a=b=0;( 3 ) 当x<0时,若2a=3b,则a<b.综上可知,有可能成立的关系式是①②⑤ .故选:AB11、某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若单册价格每提高0.2元,则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元,每册杂志可以定价为()A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元答案:BC分析:设每册杂志定价为x(x>2)元,根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4,解得x的范围,可得答案.0.2依题意可知,要使该杂志销售收入不少于22.4万元,只能提高销售价,×0.5万册,设每册杂志定价为x(x>2)元,则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元,0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4,化简得x2−6x+8.96≤0,解得2.8≤x≤3.2,0.2故选:BC小提示:关键点点睛:理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简:(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________.答案:2−1263分析:分析式子可以发现,若在结尾乘以一个(1−12),则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算,为保证恒等计算,在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是:2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案:a 34分析:本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34, 所以答案是:a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R;②值域为(−∞,1);③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案:f(x)=1−12x(答案不唯一)分析:直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ,定义域为R;12x>0,f(x)=1−12x<1,值域为(−∞,1);是增函数,满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是:f(x)=1−12x(答案不唯一).解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0,a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性并证明;(2)若f(x)在[−1,1]上的最大值为13,求a的值.答案:(1)偶函数;证明见解析;(2)a=2.解析:(1)利用奇偶函数的定义证明;(2)讨论去绝对值,并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性,求函数的最大值,建立方程,求a的值.解:(1)f(x)的定义域为R,又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x),所以f(x)为偶函数;(2)因为f(x)为偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1,若a∈(0,1),f(x)=1−2a x+1,函数单调递减,f(x)max=f(0)=0,若a∈(1,+∞),f(x)=1−2a x+1,函数单调递增,f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2,当−1≤x<0,f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1,若a∈(0,1),f(x)=1−2a−x+1,函数单调递增,f(x)max=f(0)=0,若a∈(1,+∞),f(x)=1−2a−x+1,函数单调递减,f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2,综上,a=2.小提示:关键点点睛:本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值,求参数的取值范围,本题的关键是求函数的单调性,关键是利用函数是偶函数,先去绝对值,再利用复合函数的单调性求函数的单调性,从而确定函数的最值.。

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指数函数、幂函数、对数函数增长的比较,指数函数和对数函数综合指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【要点链接】1.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较:对数函数增长比较缓慢,指数函数增长的速度最快.2.要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像,并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题. 【随堂练习】 一、选择题1.下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( )A .1100xy e =B .100ln y x =C .100y x =D .1002x y =⨯ 2.若1122a a -<,则a 的取值范围是( )A .1a ≥B .0a >C .01a <<D .01a ≤≤3.xx f 2)(=,xx g 3)(=,xx h )21()(=,当x ∈(-)0,∞时,它们的函数值的大小关系是( )A .)()()(x f x g x h <<B .)()()(x h x f x g <<C .)()()(x f x h x g <<D .)()()(x h x g x f <<4.若b x <<1,2)(log x a b =,x c a log =,则a 、b 、c 的关系是( )A .c b a <<B .b c a <<C .a b c <<D .b a c <<二、填空题5.函数xe y x x y x y x y ====,ln ,,32在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________. 6.若a >0,b >0,ab >1,a 21log =ln2,则log a b 与a 21log 的关系是_________________.7.函数2x y =与xy 2=的图象的交点的个数为____________.三、解答题8.比较下列各数的大小: 52)2(-、21)23(-、3)31(-、54)32(-.9.设方程222xx =-在(0,1)内的实数根为m ,求证当x m >时,222xx >-.答案1.A 指数增长最快.2.C 在同一坐标系内画出幂函数21x y =及21-=xy 的图象,注意定义域,可知10<<a .3.B 在同一坐标系内画出xx f 2)(=,xx g 3)(=,xx h )21()(=的图象,观察图象可知.4.D b x <<1,则0log log 1b b x b <<=,则10<<a ,则01log log =<a a x , 可知b a c <<<<10.5.xy e = 指数增长最快.6.log a b <a 21log 由a 21log =ln20>,则10<<a ,而ab >1,则1>b ,则0log <b a ,而0log 21>a ,则log a b <a 21log .7.3 在同一坐标系内作出函数2x y =与xy 2=的图象,显然在0<x 时有一交点, 又2=x 时,2222=,3=x 时,3223>,4=x 时,4224=,而随着x 的增大,指数函数增长的速度更快了,则知共有3个不同的交点.8.解: 52)2(-=522、21)23(-=21)32(、3)31(-=-271、54)32(-=54)32(.∵52)2(->1、3)31(-<0,而21)23(-、54)32(-均在0到1之间.考查指数函数y =x)32(在实数集上递减,所以21)32(>54)32(.则52)2(->21)23(->54)32(->3)31(-.9.证明:设函数2()22x f x x =+-,方程222x x =-在(0,1)内的实数根为m , 知()f x 在(0,1)有解x m =,则()0f m =.用定义容易证明()f x 在(0,)+∞上是增函数,所以()()0f x f m >=,即2()220x f x x =+->,所以当x m >时,222x x >-.备选题1.设7210625.0=y ,74203.0=y ,7832.0=y ,则( )A .123y y y >>B .132y y y >>C .213y y y >>D .123y y y >>1.B 74125.0=y ,74304.0=y ,而幂函数74x y =在0>x 上为增函数,则132y y y >>.2.图中曲线是对数函数y =log a x 的图象,已知a 取101,53,54,3四个值,则相应于C 1, C 2, C 3,C 4的a 值依次为( )A .101,53,34,3 B .53,101,34,3C .101,53,3,34D .53,101,3,342.C 作直线1=y ,与四个函数的图象各有一个交点,从左至右的底数是逐渐增大的,则知则相应于 C 1,C 2, C 3,C 4的a 值依次为101,53,3,34.指数函数复习【要点链接】1.掌握指数的运算法则;2.熟练掌握指数函数的图像,并会灵活运用指数函数的性质,会解决一些较为复杂的 有关于指数函数复合的问题. 【随堂练习】 一、选择题1.函数a y x+=2的图象一定经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知三个实数a ,ab a =,bc a =,其中10<<a ,则这三个数之间的大小关系是( )A .b a c <<B .a b c <<C .a c b <<D .c a b << 3.设1()()2xf x =,x ∈R ,那么()f x 是( )A .奇函数且在(0,)+∞上是增函数B .偶函数且在(0,)+∞上是增函数C .奇函数且在(0,)+∞上是减函数D .偶函数且在(0,)+∞上是减函数 4.函数121xy =-的值域是( ) A .(,1)-∞ B .(,1)(0,)-∞-+∞U C .(1,)-+∞ D .(,0)(0,)-∞+∞U二、填空题5.若函数()12x f x =-的定义域为是_______________.6.函数xa a a x f )33()(2+-=是指数函数,则a 的值为_________. 7.方程2|x |=2-x 的实数解有_________个.三、解答题8.已知()2xf x =,()g x 是一次函数,并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上,点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上,求()g x 的解析式.9.若函数y =1212·---xx aa 为奇函数. (1)确定a 的值;(2)求函数的定义域;(3)讨论函数的单调性.答案1.A 当0=a ,图象不过三、四象限,当1-=a ,图象不过第一象限.而由图象知函数a y x+=2的图象总经过第一象限. 2.C 由10<<a ,得101=<<a a a a,则1<<b a ,所以1a a a ba>>,即a c b <<.3.D 因为函数1()()2x f x ==⎪⎩⎪⎨⎧≥)0(,2)0(,)21(<x x x x,图象如下图.由图象可知答案显然是D .4.B 令12-=xt ,02>x,则12->x,又作为分母,则1->t 且0≠t ,画出ty 1=的图象,则1->t 且0≠t 时值域是(,1)(0,)-∞-+∞U . 5.(,0]-∞ 由1-2x 0≥ 得2x ≤1,则x ≤0.6.2 知1332=+-a a , 0>a 且1≠a ,解得2=a .7.2 在同一坐标系内画出y=2|x | 和 y=2-x 的图象,由图象知有两个不同交点. 8.解:∵()g x 是一次函数,可设为)0()(≠+=k b kx x g , 则[()]f g x b kx +=2,点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上, 可得b k +=222,得12=+b k .又可得[()]g f x b k x+⋅=2,由点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上, 可得b k +=45.由以上两式解得3,2-==b k , ∴()23g x x =-.9.解:先将函数y =1212·---x x a a 化简为y =121--x a . (1)由奇函数的定义,可得f (-x )+f (x )=0,即121---x a +121--x a =0,∴2a +xx 2121--=0,∴a =-21. (2)∵y =-21-121-x ,∴x 2-1≠0.∴函数y =-21-121-x 定义域为{x |x ≠0}.(3)当x >0时,设0<x 1<x 2,则y 1-y 2=1212-x -1211-x =)12)(12(221221---x x x x . ∵0<x 1<x 2,∴1<12x<22x.∴12x-22x<0,12x-1>0,22x-1>0.∴y 1-y 2<0,因此y =-21-121-x 在(0,+∞)上递增. 同样可以得出y =-21-121-x 在(-∞,0)上递增.备选题1.函数(1)xy a a =>在区间[0,1]上的最大值是4,则a 的值是( )A .2B .3C .4D .51.C 函数(1)xy a a =>在区间[0,1]上为增函数,则最大值是=1a 4,则4=a .2.函数y =xx a 22-(a >1)的定义域___________,值域___________. 2. {x |x ≥2,或x ≤0} {y |y ≥1}由022≥-x x ,得定义域为{x |x ≥2,或x ≤0}; 此时022≥-x x ,则值域为{y |y ≥1}.对数函数【要点链接】1.掌握对数的运算法则;2.熟练掌握对数函数的图像,并会灵活运用对数函数的性质,会解决一些较为复杂的 有关于对数函数复合的问题. 【随堂练习】 一、选择题1.4123log =x,则x 等于( ) A .91=x B .33=x C .3=x D .9=x2.函数y =lg (x-12-1)的图象关于( )A .y 轴对称B .x 轴对称C .原点对称D .直线y =x 对称3.已知log 0log log 31212>==+x x x a a a, 0<a<1,则x 1、x 2、x 3的大小关系是( )A .x 3<x 2<x 1B .x 2<x 1<x 3C .x 1<x 3<x 2D .x 2<x 3<x 14.若函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且)的定义域和值域都是[0,1],则a 等于( )A .12B C .2 D .2二、填空题5.函数23log 12-=-x y x 的定义域是 .6.设函数()f x 满足21()1()log 2f x f x =+⋅,则(2)f = . 7.已知3log 21=a ,31log 21=b ,21log 31=c ,则a 、b 、c 按大小关系排列为___________.三、解答题8.若)(x f 3log 1x +=, )(x g 2log 2x =,试比较)(x f 与)(x g 的大小.9.若不等式0log 2<-x x m 在(0,21)内恒成立,求实数m 的取值范围.答案1.A 2log 24123-==x,则2log 3-=x ,则9132==-x . 2.C y =lg (x -12-1)=xx-+11lg ,易证)()(x f x f -=-,所以为奇函数,则图象关于原点对称.3.D ∵0<a<1,∴a<1<a+1<a2,∴x 2<1<x 3<x 1.4.A 10≤≤x 时,11121≤+≤x ,要使值域也是[0,1],就有0)(≥x f ,则10<<a ,则)(x f 在[0,1]为增函数,则01log =a ,121log =a ,解得=a 12.5.2(,1)(1,)3+∞U 可知023>-x ,012>-x 且112≠-x ,解得32>x 且1≠x .6.23由已知得2log )21(1)21(2⋅+=f f ,则21)21(=f ,则x x f 2log 211)(⋅+=,则=⋅+=2log 211)2(2f 23.7.b c a <<03log 2<-=a ,13log 2>=b ,2log 3=c ,则10<<c ,那么有b c a <<.8.解:43log 4log )3(log )()(xx x g x f x x x =-=-.当10<<x 时,1430<<x ,则043log >xx ,则)()(x g x f >;当34=x 时,143=x ,则)()(x g x f =;当341<<x 时,1430<<x ,则043log <xx ,则)()(x g x f <;当34>x 时,143>x ,则043log >x x ,则)()(x g x f >.9.解:由0log 2<-x x m 得x x m log 2<.在同一坐标系中作2x y =和x y m log =的图象.要使x x m log 2<在(0,21)内恒成立, 只要x y m log =在(0,21)内的图象在2x y =的上方,于是0<m<1.∵x=21时y=x 2=41,∴只要x=21时21log m y =≥41. ∴21≤m 41,即161≤m. 又0<m<1,∴所求实数m 的取值范围161≤m<1.备选题1.下列函数中,是奇函数,又在定义域内为减函数的是( )A .1()2xy = B .xy 1=C .)(log 3x y -=D .3x y -= 1.D A 、C 是非奇非偶函数,B 是奇函数,但在定义域内不为减函数,则选D .2.10002.11=a,10000112.0=b,则=-ba 11( ) A .1 B .2 C .3 D .42.A2.11log 11000=a ,0112.0log 11000=b , 则11000log 0112.02.11log 1110001000===-b a .3.如果函数()(3)xf x a =-,()log a g x x =它们的增减性相同,则a 的取值范围是______________. 3.21<<a由03>-a 且13≠-a ,及0>a 且1≠a ,得10<<a ,或21<<a ,或32<<a .当10<<a 或32<<a 时,)(x f 与)(x g 一增一减,当21<<a 时,)(x f 与)(x g 都为增函数.同步测试题 A 组一、选择题1.已知32a=,那么33log 82log 6-用a 表示是( )A .2a -B .52a -C .23(1)a a -+ D .23a a -2.若函数)(log b x y a +=(0>a 且1≠a )的图象过两点)0,1(-和)1,0(,则 ( )A . 2,2==b a B .2,2==b aC .1,2==b aD .2,2==b a3.已知(),()log xa f x a g x x ==,(01)a a >≠且,若(3)(3)0f g ⋅< , 则()f x 与()g x 同一坐标系内的图象可能是( )4.若函数xx f 211)(+=,则)(x f 在R 上是( ) A .单调递减,无最小值 B .单调递减,有最小值 C .单调递增,无最大值 D .单调递增,有最大值5.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x,则下列等式中不正确的是( )A .f (x +y )=f(x )·f (y )B .)()(y f x f y x f =-)( C .)()]([)(Q n x f nx f n∈= D .)()]([·)]([])[(+∈=N n y f x f xy f nn n6.函数f (x )=log a 1+x ,在(-1,0)上有f (x )>0,那么( )A .f (x )(- ∞,0)上是增函数B .f (x )在(-∞,0)上是减函数C .f (x )在(-∞,-1)上是增函数D .f (x )在(-∞,-1)上是减函数二、填空题7.已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ,则1[()]4f f = .8.直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ,y=(21)x ,y=2x ,y=10x的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点,则这四点从上到下的排列次序是 .9.已知)23(log )(221x x x f --=,则值域是 ;单调增区间是 .三、解答题10.求函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f xx且)最小值.11.已知函数),()(,0|,lg |)(b f a f b a x x f ><<=且如果证明:1<ab .12.已知函数()m mx x x f --=221log )(.(1)若m =1,求函数)(x f 的定义域;(2)若函数)(x f 的值域为R ,求实数m 的取值范围;(3)若函数)(x f 在区间()31,-∞-上是增函数,求实数m 的取值范围.B 组一、选择题1.已知函数y=kx 与y=12log x 图象的交点横坐标为2,则k 的值为( )A . 12- B .14 C .12 D .14-2.已知函数b a y x+=的图象不经过第一象限,则下列选项正确是( )A .2,21-==b a B .3,2-==b a C .1,21==b a D .0,3==b a3.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍,则a 的值 为( )A .14 B .2 C .4 D .124.若函数()11x mf x e =+-是奇函数,则m 的值是( )A .0B .21C .1D .2二、填空题5.如图,开始时桶1中有a 升水,t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线1nt y ae -=,那么桶2中水就是2nty a ae -=-.假设过5分钟时桶1和桶2的水相等,则再经过______ 分钟桶1中的水只有8a .6.已知y =a log (2-ax )在[0,1]上是x 的减函数, 则a 的取值范围是__________.三、解答题7.已知函数xxa b y 22++=(a 、b 是常数且a>0,a ≠1)在区间[-23,0]上有y max =3, y min =25,试求a 和b 的值.8.设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--.)1(>p (1)求()f x 的定义域;(2)()f x 是否存在最大值或最小值?如果存在,请把它求出来;若不存在,请说明理由.答案A 组1.A 32a=,则2log 3=a ,33log 82log 6-=+-=)2log 1(22log 3332a -. 2.B 由已知可得)1(log 0-=b a ,则2=b ,又2log log 1a a b ==,则2=a . 3.C (3)(3)0f g ⋅<,则(3)0g <,则10<<a ,则()f x 与()g x 都为减函数.4.A 121>+x,则12110<+<x,则)(x f 无最大值,也无最小值, 而显然)(x f 为减函数5.D 逐个验证可知D 不正确6.D 01<<-x 时,110<+<x ,而f (x )>0,则10<<a ,画出f (x )=log a 1+x 的图象,知f (x )在(-∞,-1)上是减函数.7.91 241log )41(2-==f ,则913)]41([2==-f f . 8.D 、C 、B 、A 画出图象可知.9.[)+∞-,2,[)1,1-有0232>--x x ,则13<<-x ,在1-=x 时223x x --有最大值4, 令223x x t --=,则40≤<t ,则24log log 2121-=≥t ,则值域是[)+∞-,2,在[)1,1-上,223x x t --=递减,则)23(log )(221x x x f --=单调增区间是[)1,1-.10.解:当1>a 时,⎩⎨⎧<≥-=)0(,1)0(,12)(x x a x f x 画出图象,知此时1)(min =x f .当10<<a 时,⎩⎨⎧>≤-=)0(,1)0(,12)(x x a x f x 画出图象,知此时1)(min =x f .由以上讨论知函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f xx 且)最小值为1.11.证明:画出函数x x f lg )(=的图象,可以看出在]1,0(上为减函数,在),1[+∞上为增函数, ∵b a <<0时有)()(b f a f >,则不可能有b a <≤1, 则只有10≤<<b a 及b a ≤<<10这两种情况. 若10≤<<b a ,显然1<ab ;若b a ≤<<10,则)()(b f a f >化为b a lg lg >,则b a lg lg >-,则0lg lg <+b a ,0)lg(<ab ,可得1<ab . 由以上讨论知,总有1<ab .12.解:(1)方程012=--x x 的根为251±=x , 所以012>--x x 的解为251-<x 或251+>x ,于是函数的定义域为),251()251,(+∞+⋃--∞. (2)因为函数的值域为R ,所以(){}m mx x u u --=⊆+∞2,0,故04042≥-≤⇒≥+=∆m m m m 或.(3)欲使函数在区间()31,-∞-上是增函数,则只须()()⎪⎩⎪⎨⎧≥----≤-031312312m m m ⎩⎨⎧≤-≥⇒2322m m , 所以2322≤≤-m .B 组1.A 由y=12log x ,当2=x 时,1-=y ,代入y=kx 中,有k 21=-,则21-=k .2.A 当2,21-==b a 时,2)21(-=x y ,其图象是x y )21(=的图象向下平移了2个 单位,则就不会经过第一象限了.3.C 知)(x f 在]2,[a a 上为减函数,则最大值是1log =a a ,最小值是2log 1)2(log a a a +=,则)2log 1(31a +=,则322log -=a , 23log 2-=a ,42223==-a . 4.D 由)()(x f x f -=-,得1111---=-+-x x e m e m ,则112--=-+x x x e m e me , 可得112---=x x x e m e me ,则2=m . 5.10 根据题设条件得:55n n ae a ae --=-,所以512n e -=. 令8nt a ae -=,则18nt e -=,所以3151()2nt n e e --==, 所以t=15.15-5=10(分钟),即再经过10分钟桶1中的水就只有8a . 6.a ∈(1,2)a >0且a ≠1⇒μ(x )=2-ax 是减函数,要使y =a log (2-ax )是减函数,则a >1,又2-ax >0⇒a <x2(0<x 1≤)⇒a <2,所以a ∈(1,2) 7.解:令u =x 2+2x =(x +1)2-1 x ∈[-23,0] , ∴当x =-1时,u min =-1 ; 当x =0时,u max =0 ..233222233225310)2222531)10110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+<<⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>--b a b a b a a b a b a b a a b a b a 或综上得解得时当解得时当 8.解:(1)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+001011x p x x x 得1x x p >⎧⎨<⎩, 所以f (x )的定义域为(1,p ). (2)∵22221(1)()log [(1)()]log [()]24p p f x x p x x -+=+-=--+. ∴当112p -≤,即13p <≤时,()f x 既无最大值又无最小值;当112p p -<<,即3p >时,当12p x -=时,()f x 有最大值22(1)log 4p +, 但没有最小值.综上可知:当13p <≤时,()f x 既无最大值又无最小值;当3p >时,()f x 有最大值22(1)log 4p +,但没有最小值.备选题1.若log 4[log 3(log 2x )]=0,则21-x 等于( )A .42B .22C .8D .41.A 依题意可得x =8,则21-x =42.2.函数|,12|)(-=x x f 若a <b <c ,且)()()(b f c f a f >>,则下面四个式子中成立的是()A .0,0,0<<<c b aB .0,0,0>≥<c b aC .c a 22<-D .222<+a c2.D 画出函数|12|)(-=x x f 的图象,可知a <0,c >0,所以2a -1<0, 2c -1>0,又由)()(c f a f >,得1-2a >2c -1,所以222<+a c .3.比较log 20.4,log 30.4,log 40.4的大小.3.解:∵对数函数y =log 0.4x 在(0,+∞)上是减函数,∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41=0.又反比例函数y =x 1在(-∞,0)上也是减函数.所以2log 14.0<3log 14.0<4log 14.0,即log 20.4<log 30.4<log 40.4.4.已知函数x x f 2)(=.(1)判断函数)(x f 的奇偶性;(2)把)(x f 的图像经过怎样的变换,能得到函数22)(+=x x g 的图像;(3)在直角坐标系下作出函数)(x g 的图像.4.解:(1)Q 函数)(x f 定义域为R ,又 ()22()x x f x f x --===,∴函数)(x f 为偶函数.(2)把)(x f 的图像向左平移2个单位得到.(3)函数)(x f 的图像如右图所示.。

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