概率与概率分布PPT课件
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概率论随机变量的分布函数ppt课件
因此， A 是不可能事件
P{A} 0.
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12
例1: 设随机变量X具有概率密度
ke 3 x
x0
f (x)
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于
f (x)dx
ke3xdx k 1
，解得k=3.
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x)
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x)
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1
2
e dt x
(t )2 2 2
28
标准正态分布
当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).
例3 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧～1000
欧，求R的概率密度及R落在850欧～950欧的概率.
解: 由题意，R的概率密度为
1 f (r) 1000 800
， 800 r 1000
0
, 其它
950 1
而 P{850 X 950}
dr 0.5
200 ppt课件
850
18
2. 指数分布
注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示 了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些 关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推 出另一个．
ppt课件
10
连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
1. F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。
新版概率与概率分布
2024/10/4
22
[例 ] 为了研究父代文化程度对子代文 化程度旳影响，某大学统计出学生中爸爸 具有大学文化程度旳占30％，母亲具有大 学文化程度旳占20％，而双方都具有文化 程度旳占有10％，问从学生中任抽一名， 父代至少有一名具有大学文化程度旳概率 是多少？
2024/10/4
23
在抽样措施中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。如前所
概率论起源于17世纪，当初在人口统计、人寿保险 等工作中，要整顿和研究大量旳随机数据资料，这就需 要一种专门研究大量随机现象旳规律性旳数学。
参赌者就想：假如同步掷两颗骰子 ，则点数之和为 9 和点数之和为10 ，哪种情况出现旳可能性较大？
例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发觉：将一枚骰子 连掷四次，出现一种6 点旳机会比较多，而同步将两枚 掷24次，出现一次双6 旳机会却极少。
事件B至少有一种事件发生所构成旳事件C称为A 与B旳事件和，记作
A B或A B
（2）事件积(As-well-as conjunction)——事 件A与事件B同步发生所构成旳事件C称为A与B 旳事件积，记作
AB或A B
2024/10/4
9
（3）事件旳包括与相等——事件A发生必然 造成事件B发生，则称为B包括A记作
600 202
3
总和
600120012 Nhomakorabea03000
2024/10/4
21
[例] 根据统计成果，男婴出生旳概率是 22/43，女婴出生旳概率是21/43，某单位有两
名 孕妇，问两名孕妇都生男婴旳概率是多少？都 生女婴旳概率是多少？其中一男一女旳概率是 多少？ [例] 某居民楼共20户，其中关键家庭为2 户，问访问两户都是关键家庭旳概率是多少？ 问访问第二户才是关键家庭旳概率是多少？
概率论二维随机变量及其分布 ppt课件
二维随机变量的分布函数
F ( x , y ) P { X x , Y y } 就是随机点 (X,Y)落入区域
{t,s ( )|t x ,s y }
的概率(如图1).
由概率的加法法则，随机点(X,Y)落入矩形域
{ x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 }
的概率
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F (x ,y)1 2 2arc 2 x t 2a anrc 3 y .ta
(2)由 (1)式得
P { 2 X , 0 Y 3 } F ( , 3 ) F ( , 0 ) F ( 2 , 3 ) F ( 2 , 0 ) 1/1.6
完 21
三、二维离散型随机变量及其概率分布
Pi1
i
Pi 2
Pij
i
27
联合概率分布表
对离散型随机变量而言，联合概率分布不仅比联合
分布函数更加直观，而且能够更加方便地确定(X,Y)
取值于任何区域 D上的概率. 设二维离散型随机变
量的概率分布为
P { X x i , Y y j } p i ( i j , j 1 , 2 , )
二维离散型随机变量及其概率分布
分布:
p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
p i P {X x i} p i,ji 1 ,2 , j
p j P { Y y j}p i,jj 1 ,2 ,25 i
二维离散型随机变量及其概率分布
分布: p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } F(x, )
生物统计学课件1、概率及概率分布
04
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件
0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
随机事件与概率随机变量与概率分布PPT教学课件
天气系统，如高压、冷锋等
⑵锋是影响天气的重要天气系统，
冷暖空气的交界面叫锋面。
向 东 南 移 动
大风 降温 降雨
向东北移动
升温 降雨
如何从锋的图例 上知道它是向哪 个方向移动呢?
三角形或半圆凸 所指的方向
过境前 过境时 过境后
冷锋
气温高,气压低
出现较大风 雨雪天气
气温下降,气压 上升,天气转好
问题的引伸
随机事件的数量化—随机变量 多个事件的概率描述—概率分布
随机变量及其概率分布
随机变量的分类
离散变量(疗效分级、受教育程度) 计数变量(如单位时间或空间内检出细菌的
数量、发生某事件的数量)
连续变量 如血压、血脂、血糖等
判断：白色的程度越浓，表明云层越厚， 这种云区下面下雨往往就越大。
问题：
古代劳动人民并没有现代科技手段， 他们是如何预知未来的天气形势呢？
燕子低飞要下雨
天气谚语
一场秋雨凉一阵 •东虹日头西虹雨1
暖锋 气温低气压高
多连续性降水
气温上升,气压 下降,天气转晴
常见天气系统
高压 低压 冷锋 暖锋 台风
探 1、请分析当天的天气形势，并说明理由。 究 2、预测北京、上海、广州未来24小时天气形势，并说明理由
活
动
1012.5
1017.5
1007.5
低
1017.5
高
1007.5 1002.5
低
* *
1017.5 1012.5
定小概率事件选择大概率事件
多个随机事件的关系
任一事件发生：和事件 几个事件同时发生：积事件 一事件发生则另一事件不发生：互斥 当只有两种事件时，互斥即对立
⑵锋是影响天气的重要天气系统，
冷暖空气的交界面叫锋面。
向 东 南 移 动
大风 降温 降雨
向东北移动
升温 降雨
如何从锋的图例 上知道它是向哪 个方向移动呢?
三角形或半圆凸 所指的方向
过境前 过境时 过境后
冷锋
气温高,气压低
出现较大风 雨雪天气
气温下降,气压 上升,天气转好
问题的引伸
随机事件的数量化—随机变量 多个事件的概率描述—概率分布
随机变量及其概率分布
随机变量的分类
离散变量(疗效分级、受教育程度) 计数变量(如单位时间或空间内检出细菌的
数量、发生某事件的数量)
连续变量 如血压、血脂、血糖等
判断：白色的程度越浓，表明云层越厚， 这种云区下面下雨往往就越大。
问题：
古代劳动人民并没有现代科技手段， 他们是如何预知未来的天气形势呢？
燕子低飞要下雨
天气谚语
一场秋雨凉一阵 •东虹日头西虹雨1
暖锋 气温低气压高
多连续性降水
气温上升,气压 下降,天气转晴
常见天气系统
高压 低压 冷锋 暖锋 台风
探 1、请分析当天的天气形势，并说明理由。 究 2、预测北京、上海、广州未来24小时天气形势，并说明理由
活
动
1012.5
1017.5
1007.5
低
1017.5
高
1007.5 1002.5
低
* *
1017.5 1012.5
定小概率事件选择大概率事件
多个随机事件的关系
任一事件发生：和事件 几个事件同时发生：积事件 一事件发生则另一事件不发生：互斥 当只有两种事件时，互斥即对立
统计学第五章 概率与概率分布
全概公式
（实例）
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的 次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量 的 25% 、 35% 、 40% ，将它们的产品组合在一起，求任取一 个是次品的概率。 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自 乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到 次品”。根据全概公式有
全概公式
设事件A1，A2，…，An 两两互斥， A1+A2+…+ An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事 件组），且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则对任意事件B， 有 n
P( B) p( Ai ) P( B | Ai )
i 1
我们把事件A1，A2，…，An 看作是引起事件B发 生的所有可能原因，事件B 能且只能在原有A1， A2，…，An 之一发生的条件下发生，求事件B 的 概率就是上面的全概公式
概率的古典定义
（实例）
【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。
从 该公司中随机抽取1人，问： （1）该职工为男性的概率 （2）该职工为炼钢厂职工的概率 某钢铁公司所属企业职工人数
工厂 炼钢厂 炼铁厂 轧钢厂 合计 男职工 4000 3200 900 8500 女职工 1800 1600 600 4000 合计 6200 4800 1500 12500
概率的性质与运算法则
随机事件的几个基本概念
试
1. 2. 3.
验
在相同条件下，对事物或现象所进行的观察
例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 试验具有以下特点
可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所 有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
概率分布-说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
(2) P() 1(必然事件）; P() 0 (不可能事件)
(3) o1,o2,,ok
P(o1) P(o2 ) P(ok ) 1 例如: 掷骰子
6
P(oi
i1
)
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1
(4) 对立事件 P( A) 1 P( A)
A={1, 2} P( A) 2 / 6 1/ 3 P( A) 1 P( A) 2 / 3
n=10 个球, x1=绿色: P(x2 | x1=绿色) = ? (1)放回抽样
红黄 蓝
绿
44
1
1
4/10 4/10 1/10 1/10
(2) 不放回抽样
红黄 蓝 绿
44
1
0
4/9 4/9 1/9
0
3.2 随机变量（Random Variable X ）
为了方便研究随机现象，能够把随机事件与一种 变量联系起来。用随机变量的不同取值来表达不 同的基本领件。
Distribution)
Antoine de Moivre (1733)
X 服从正态分布: X ~ N (, 2 )
• 密度函数
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2 2
F(x)
P( X
x)
x
f
( x)dx
E(X )
Var( X ) 2
正态分布的性质
(1) 有关 X= 对称，钟形曲线（见第
n=10, p = 1/5, k = 5,6,7,8,9,10
二项分布的数学盼望值与方差
问题：手上有一枚均匀硬币，持续抛掷100次， 有多少次正面朝上？
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其概率分布见下表
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
离散型随机变量 如果随机变量的所有可能取值是有限多个或可列 多个，这样的随机变量称为离散型随机变量．
三、进一步练习 案例1[摸球] 设某盒中装有编号为0，2，4数字的六个球，分别为1
个，3个，2个．现从盒中任取一球，用 表示“取到球 的号码”，写出 的可能取值和每个取值的概率．
随机变量
如果随机试验的每一个结果A都有一个实数 ( A) 与之对应，则称 为随机变量．随机变量常用字母 ,, X ,Y 等字母表示．
三、进一步练习 练习1 [掷骰子]
可用随机变量 表示掷骰子出现点数，如“ 2 ”
表示“出现2点”这一随机事件．
练习2 [产品取样]
可用随机变量 表示取到废品件数，如“ 2
的可能取值和相应的概率列成下表
1
2
3
4
5
6
P
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
二、 概念和公式的引出
概率分布
设离散型随机变量 可能取值为 x1, x2 , x3,, xk ,,
取每一个值 xk (k 1,2,) 的概率为 Pk ，则下表称为
x1
x2
…
xk
…
P p1
p2
…
pk
…
随机变量 的概率分布，简称为 的分布列
“ 3”表示已通过的信号灯数是3，有 P(＝3) 0.63 0.4 0.0864
“ 4”表示已通过的信号灯数是4，有 P(＝4) 0.64 0.1296
所以 的概率分布见下表
0
1
2
3
4
P
0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296
一、案例 [掷硬币、产品抽样] 抛掷一枚硬币只出现正面或反面；产品抽样检验的 结果为合格品或废品．
3.2 随机变量及其概率分布
3.2.1 随机变量 3.2.2 离散型随机变量及其分布 3.2.3 连续型随机变量及其分布 3.2.4 随机变量的数字特征 3.3 大数定律及中心极限定理
3.2.1 随机变量
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例
案例1 [掷骰子] 掷一枚骰子，观察出现的点数．我们发现这个随 机试验的所有可能结果可以用1，2，3，4，5，6 这6个数字来表示． 案例2 [产品检验]
案例4 [灯泡寿命] 从最长使用寿命为10000h的一批灯泡中，任取一个
检验，观察使用寿命t．我们发现这个随机试验的
可能结果为 0 t 10000
案例5 [候车] 某公共汽车站每15s发一班汽车，观察某人在该站 候车的时间．我们发现这个随机试验的结果为
0 t 10000
二、 概念和公式的引出
解 汽车首次停止前进时，已通过的信号灯数是
一个随机变量，用 表示．显然， 的可能值为
0，1，2，3，4，因为
“ 0”表示已通过的信号灯数是0，有 P( 0) 0.4
“ 1”表示已通过的信号灯数是1，有 P(＝1) 0.6 0.4 0.32
“ 2”表示已通过的信号灯数是2，有 P(＝2) 0.62 0.4 1.44
解 由于 表示“取到球的号码”，因此，
可能取值为0，2，4．
“ 0”表示“取到0号球”P，( 0) 1
6
“
2”表示“取到2号球”P，(
0)
3 6
1 2
“
4”表示“取到4号球”P，(
0)
2 6
1 3
将随机变量取值和相应概率列成下表
0
2
4
P
1/6
1/2
1/3
案例2 [掷骰子]
设 表示掷一枚骰子出现的点数，则可将
概率分布也可简写为
P( xk ) pk
(k 1,2,)
离散型随机变量的分布列具有如下性质：
(1) pk 0(k 1,2,)
(2) pk 1 k 1
三、进一步练习
练习 [信号灯] 汽车需要通过有4盏红绿信灯的道路才能达到目 的地，设汽车在每盏红绿灯前通过的概率为0.6， 停止前进（即遇到红灯）的概率为0.4，求汽车首 次停止前进（遇到红灯或到达目的地）时，己通过 的信号灯数的概率分布．
”表示“取到2件废品”这一随机事 件．
练习3 [抛硬币] 可用随机变量X表示抛出的结果，如“ X=0”表示 “出现正面”这一随机事件．
3.2.1 离散型随机变量及其分布
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
案例 [取球]
上面我们已经知道随机变量可以表示随机试验的 结果，有些随机试验的结果可用随机变量的取值按
中一级品的只数为 ，求 的概率分布．
解 这是一个不放回抽样，但由于这批元件的总数 很大，且抽查的数量相对于元件的总数来说又很小， 因而可以当作放回抽样来处理．我们把检查
一只元件是否为一级品看作是一次试验，检查10
只元件相当于做10重复试验， 为一级品的只数，
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
离散型随机变量 如果随机变量的所有可能取值是有限多个或可列 多个，这样的随机变量称为离散型随机变量．
三、进一步练习 案例1[摸球] 设某盒中装有编号为0，2，4数字的六个球，分别为1
个，3个，2个．现从盒中任取一球，用 表示“取到球 的号码”，写出 的可能取值和每个取值的概率．
随机变量
如果随机试验的每一个结果A都有一个实数 ( A) 与之对应，则称 为随机变量．随机变量常用字母 ,, X ,Y 等字母表示．
三、进一步练习 练习1 [掷骰子]
可用随机变量 表示掷骰子出现点数，如“ 2 ”
表示“出现2点”这一随机事件．
练习2 [产品取样]
可用随机变量 表示取到废品件数，如“ 2
的可能取值和相应的概率列成下表
1
2
3
4
5
6
P
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
二、 概念和公式的引出
概率分布
设离散型随机变量 可能取值为 x1, x2 , x3,, xk ,,
取每一个值 xk (k 1,2,) 的概率为 Pk ，则下表称为
x1
x2
…
xk
…
P p1
p2
…
pk
…
随机变量 的概率分布，简称为 的分布列
“ 3”表示已通过的信号灯数是3，有 P(＝3) 0.63 0.4 0.0864
“ 4”表示已通过的信号灯数是4，有 P(＝4) 0.64 0.1296
所以 的概率分布见下表
0
1
2
3
4
P
0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296
一、案例 [掷硬币、产品抽样] 抛掷一枚硬币只出现正面或反面；产品抽样检验的 结果为合格品或废品．
3.2 随机变量及其概率分布
3.2.1 随机变量 3.2.2 离散型随机变量及其分布 3.2.3 连续型随机变量及其分布 3.2.4 随机变量的数字特征 3.3 大数定律及中心极限定理
3.2.1 随机变量
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例
案例1 [掷骰子] 掷一枚骰子，观察出现的点数．我们发现这个随 机试验的所有可能结果可以用1，2，3，4，5，6 这6个数字来表示． 案例2 [产品检验]
案例4 [灯泡寿命] 从最长使用寿命为10000h的一批灯泡中，任取一个
检验，观察使用寿命t．我们发现这个随机试验的
可能结果为 0 t 10000
案例5 [候车] 某公共汽车站每15s发一班汽车，观察某人在该站 候车的时间．我们发现这个随机试验的结果为
0 t 10000
二、 概念和公式的引出
解 汽车首次停止前进时，已通过的信号灯数是
一个随机变量，用 表示．显然， 的可能值为
0，1，2，3，4，因为
“ 0”表示已通过的信号灯数是0，有 P( 0) 0.4
“ 1”表示已通过的信号灯数是1，有 P(＝1) 0.6 0.4 0.32
“ 2”表示已通过的信号灯数是2，有 P(＝2) 0.62 0.4 1.44
解 由于 表示“取到球的号码”，因此，
可能取值为0，2，4．
“ 0”表示“取到0号球”P，( 0) 1
6
“
2”表示“取到2号球”P，(
0)
3 6
1 2
“
4”表示“取到4号球”P，(
0)
2 6
1 3
将随机变量取值和相应概率列成下表
0
2
4
P
1/6
1/2
1/3
案例2 [掷骰子]
设 表示掷一枚骰子出现的点数，则可将
概率分布也可简写为
P( xk ) pk
(k 1,2,)
离散型随机变量的分布列具有如下性质：
(1) pk 0(k 1,2,)
(2) pk 1 k 1
三、进一步练习
练习 [信号灯] 汽车需要通过有4盏红绿信灯的道路才能达到目 的地，设汽车在每盏红绿灯前通过的概率为0.6， 停止前进（即遇到红灯）的概率为0.4，求汽车首 次停止前进（遇到红灯或到达目的地）时，己通过 的信号灯数的概率分布．
”表示“取到2件废品”这一随机事 件．
练习3 [抛硬币] 可用随机变量X表示抛出的结果，如“ X=0”表示 “出现正面”这一随机事件．
3.2.1 离散型随机变量及其分布
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
案例 [取球]
上面我们已经知道随机变量可以表示随机试验的 结果，有些随机试验的结果可用随机变量的取值按
中一级品的只数为 ，求 的概率分布．
解 这是一个不放回抽样，但由于这批元件的总数 很大，且抽查的数量相对于元件的总数来说又很小， 因而可以当作放回抽样来处理．我们把检查
一只元件是否为一级品看作是一次试验，检查10
只元件相当于做10重复试验， 为一级品的只数，