初中数学所有函数的知识点总结

初中数学所有函数的知

识点总结

TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

课题§3. 5 正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数

教学目标

1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质

2、会用待定系数法确定函数的解析式

教学重点

掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质

教学难点

掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质

教学方法

讲练结合法

教学过程

（I）知识要点

注：二次函数))((44)2(

22

n x m x a a

b a

c a b x a c bx ax y --=-++=++=（0≠a ）

对称轴a

b

x 2-=，顶点)442(2a b ac a b --，

抛物线与x 轴交点坐标)0()0(，，，n m （II ）例题讲解

例1、求满足下列条件的二次函数的解析式：

（1）抛物线过点A （1，1），B （2，2），C （4，2-） （2）抛物线的顶点为P （1，5）且过点Q （3，3）

（3）抛物线对称轴是2=x ，它在x 轴上截出的线段AB 长为22，且抛物线过点（1，7）。

解：（1）设)0(2≠++=a c bx ax y ，将A 、B 、C 三点坐标分别代入，可得方程组为

（2）设二次函数为5)1(2--=x a y ，将Q 点坐标代入，即35)13(2=--a ，得

2=a ，故3425)1(222--=--=x x x y

（3）∵抛物线对称轴为2=x ；

∴抛物线与x 轴的两个交点A 、B 应关于2-=x 对称；

∴由题设条件可得两个交点坐标分别为)0222()022(，、，

+--B A ∴可设函数解析式为：a x a x x a y 2)2()22)(22(2-+=-

+++=，将（1，

7）代入方程可得1=a

∴所求二次函数为242++=x x y ，

例2：二次函数的图像过点（0，8），)51(--，，（4，0） （1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间 （2）当x 取何值时，①y≥0，②y<0

解：（1）依题意可设函数的解析式为：)0(2≠++=a c bx ax y 将三点坐标分别代入，可得方程组为：

⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=0

41658

c b a c b a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=821c b a

∴函数图像的顶点为（1，9-），对称轴为1=x

又∵01>=a ， ∴函数有最小值，且9m in -=y ，无最大值

函数的增区间为[1，+∞），减区间为]1(，

-∞ （2）由2408202-≤≥≥--≥x x x x y 或，解得可得 由4208202<<-<--

例3：求函数]11[1)(2，，-∈+-=x x x x f 的最值及相应的x 值 解由4

3)21(122+-=+-=x x x y ，知函数的图像开口向上，对称轴为21

=x

∴依题设条件可得)(x f 在]211[，-上是减函数，在]12

1

[，

上是增函数。 ∴当]11[2

1，

-∈=x 时，函数取得最小值，且43

m in =y 又∵2

1

123211->=--

∴依二次函数的对称性可知)1()1(f f >-

∴当1-=x 时函数取得最大值，且31)1()1(2m ax =+---=y

例4、已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f

(1)若函数)(x f 的递减区间是]4(，-∞，求实数a 的取值 (2)若函数)(x f 在区间]4(，-∞上是减函数，求实数a 的取值范围

分析：二次函数的单调区间是由其开口方向及对称轴决定的，要分清函数在区间A 上是单调函数及单调区间是A 的区别与联系

解：（1）)(x f 的对称轴是a a x -=--

=12

)

1(2，且二次项系数为1>0 可得函数图像开口向上

∴)(x f 的单调减区间为]1(a --∞， ∴依题设条件可得341-==-a a ，解得 (2)∵)(x f 在区间]4(，-∞上是减函数 ∴]4(，-∞是递减区间]1(a --∞，的子区间 ∴341-≤≥-a a ，解得

例5、函数2)(2-+=bx x x f ，满足：)3()3(x f x f +=-

（1）求方程0)(=x f 的两根21x x ，的和 （2）比较)1(-f 、)1(f 、)4(f 的大小

解：由)3()3(x f x f -=+知函数图像的对称轴为32

)

3()3(=-++=

x x x

而)(x f 的图像与x 轴交点)0()0(21，、，

x x 关于对称轴3=x 对称 由二次项系数为1>0，可知抛物线开口向上 又134231431=-=-=--，，

∴依二次函数的对称性及单调性可)1()1()4(-<

（Ⅳ）教学后记：