量子力学教程Ch7
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第七章
自旋与全同粒子
Spin and undistinguished similar particles
1
前言
前面的理论尚有两方面的局限:
1.未考虑粒子的自旋特征，微观粒子都有自旋特征。 2.仅考虑了单粒子体系，实际粒子体系一般是多粒 子体系。
主
电子的自旋特征
要 具有自旋特征粒子的波函数
研 究
角动量耦合
自旋算符在 S 2 、S z 表象中的矩阵形式，可根据
算符的一般理论，算符在其自身表象中为对角矩 阵，矩阵元就是其本征得到：
Sˆ2 3 4
2 1
0
0 1
ˆ 2
3
1 0
0
1
Sˆz
2
1 0
01
ˆ z
1 0
01
现在来研究 ˆ x 、ˆ y 的矩阵形式
14
由
ˆ
x
ˆ x
故有 a* a
b* c
M sz e
Sz
（SI）
M sz e
Sz
c
轨道磁矩与轨道角动量的关系：
Ml
e
2
L
（SI）
Ml
e
2c
L
（CGS） （CGS）
M l z e （SI）
Lz
2
M lz e
Lz
2c
（CGS）
自磁矩是轨道磁矩的两倍
6
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
1．自旋算符
符 Sˆ为来了表描征述电电子子的的自自旋旋角特动性量，S引入。一个厄米算
所以 Sˆx 、 Sˆy、 Sˆz 的本征值是
2
Sx 2
Sy 2
Sz 2
Sˆ
2 x
、
即
Sˆ
2 y
、
Sˆz 2
的本征值都是 2
4
2
S
2 x
S
2 y
S
2 z
4
Sˆ 2 的本征值
S2
Sx2
S
2 y
S
2 z
3 2 4
若将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的
一般形式:
9
S 2 s(s 1) 2
{ˆ , ˆ } 0
Prove
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆx
0
ˆ yˆz ˆzˆ y 0
ˆzˆx ˆxˆ y 0
ˆxˆ y
ˆ yˆx
1 2i
(ˆ yˆz
ˆzˆ y )ˆ y
1 2i
ˆ
y
(ˆ
yˆ
z
ˆzˆ y )
1 2i
ˆ yˆzˆ y
ˆ
zˆ
2 y
ˆ y2ˆ z
ˆ yˆzˆ y
0
13
4．自旋算符的矩阵表示
The wave function of similar particle system Pauli principle
• 7.8 两个电子的波函数
The spin wave function of two electrons 3
7.1 电子自旋(Electron spin)
➢Stern-Gerlach实验
s为自旋量子数
(s 1) 2
Sz ms
3．泡利算符
ms
为“磁”量子 数
(ms
1) 2
为了讨论问题方便，引入泡利算符 ˆ
Sˆ ˆ
2
Sˆx 2 ˆx Sˆy 2 ˆ y Sˆz 2 ˆz
10
对易关系
ˆ ˆ 2iˆ
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆx
2iˆ z
ˆ yˆz ˆzˆ y 2iˆx
ˆzˆx ˆxˆz 2iˆ y
0 i
i
0
ˆz 10 01
自旋算符矩阵
Sˆx
2
0 1
1 0
Sˆy
2
0i
i 0
Sˆz
2
10
01
18
5.自旋函数
电子既然有自旋，则其波函数就应考虑自旋量子
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数
S
（构成力学量完全集合的力学量数目为4个），
[注意]：自旋角动量是电子内部的一种固有特性， 在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量， 它不能表示为坐标和动量的函数。
S 是自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对
易关系
7
Sˆ Sˆ i Sˆ
自旋角动量平方算符
SSˆˆxy
Sˆ y Sˆz
Sˆy Sˆx Sˆz Sˆy
iSˆz iSˆx
内 多粒子体系
容 实际应用
2
• 7.1 电子自旋 Electron spin
• 7.2 电子自旋算符与自旋波函数
Electron spin operator and spin wave function • 7.3 简单塞曼效应
Simple Zeeman effect • 7.6 全同粒子的性质
The characterization of similar particles • 7.7 全同粒子系统的波函数 泡利原理
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b | b |2
0
0
0 1
|
b
|2
0
0
1
16
| b |2 1
取 b 1
ˆ x
0 1
1 0
ˆy
1 2i
ˆzˆx ˆxˆ y
1 2i
1 0
0 1
0
1
1 0
1 2i
0 1
1
0
1 0
0 1
0
i
i
0
17
泡利矩阵
ˆ x
0 1
10
ˆ y
（1）每个电子具有自旋角动量 S ，它在空间任意方向
的取值只能有两个
Sz 2
。
（2）每个电子具有自旋磁矩 M S ，它与自旋角动量的关系是
MS
e
S
（SI）
MS
e
c
S
（CGS）
在任意 方面上
M sz
e
2
M B
（SI）
的投影
M sz
e
2c
M
B
（CGS）
5
（M B ——玻尔磁子）
回旋磁比率：
Sˆz Sˆx SˆxSˆy iSˆy
Sˆ2 Sˆx2 Sˆy2 Sˆz2
平方分量间的对易关系 [Sˆ, Sˆ2 ] 0
Sˆ Sˆ
2 2
Sˆ Sˆ
x y
Sˆx Sˆ 2 Sˆy Sˆ 2
0 0
Sˆ 2Sˆz Sˆz Sˆ 2 0
( x, y, z)
8
1.自旋算符的本征值
由于在空间任意方向上的投影只有两个取值 ，
泡利算符平方算符
ˆ
2
ˆ
2
2 x
2 y
2 z
[ˆ
2 ,
ˆ ] 0
[ˆ
2 ,
ˆ x ] 0
[ˆ
2 ,
ˆ y ] 0
[ˆ
2 ,
ˆ z ] 0
11
本征值
ˆ x ˆ y ˆ z 的本征值都是 1
ˆx 2 Sˆx
Sx 2
x 1
2 x
2 y
2 z
1
ˆ 2 的本征值
2
2 x
2 y
2 z
3
12
反对易关系
a* b*
c* d*
a c
b d
d* d （a, d 必为实数）
ˆ x
a b*
b d
15
再由 ˆzˆx ˆxˆz 0 得到
1 0 a b a b 1 0
0
1
b*
d
b*
d
0
1
a b a b 2a 0
b*
d
b*
d
0
2d
0
则 a0 d 0
ˆ x
0
b*
b0
基态氢原子在非均匀磁场中
Conclusion: 磁矩平行或反平行于外加磁场
M (Magnetic moment) parallel or anti-parallel to B (Magnetic field)
Problem：Where does the M come from?
4
乌仑贝克. 哥德斯米脱假设
自旋与全同粒子
Spin and undistinguished similar particles
1
前言
前面的理论尚有两方面的局限:
1.未考虑粒子的自旋特征，微观粒子都有自旋特征。 2.仅考虑了单粒子体系，实际粒子体系一般是多粒 子体系。
主
电子的自旋特征
要 具有自旋特征粒子的波函数
研 究
角动量耦合
自旋算符在 S 2 、S z 表象中的矩阵形式，可根据
算符的一般理论，算符在其自身表象中为对角矩 阵，矩阵元就是其本征得到：
Sˆ2 3 4
2 1
0
0 1
ˆ 2
3
1 0
0
1
Sˆz
2
1 0
01
ˆ z
1 0
01
现在来研究 ˆ x 、ˆ y 的矩阵形式
14
由
ˆ
x
ˆ x
故有 a* a
b* c
M sz e
Sz
（SI）
M sz e
Sz
c
轨道磁矩与轨道角动量的关系：
Ml
e
2
L
（SI）
Ml
e
2c
L
（CGS） （CGS）
M l z e （SI）
Lz
2
M lz e
Lz
2c
（CGS）
自磁矩是轨道磁矩的两倍
6
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
1．自旋算符
符 Sˆ为来了表描征述电电子子的的自自旋旋角特动性量，S引入。一个厄米算
所以 Sˆx 、 Sˆy、 Sˆz 的本征值是
2
Sx 2
Sy 2
Sz 2
Sˆ
2 x
、
即
Sˆ
2 y
、
Sˆz 2
的本征值都是 2
4
2
S
2 x
S
2 y
S
2 z
4
Sˆ 2 的本征值
S2
Sx2
S
2 y
S
2 z
3 2 4
若将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的
一般形式:
9
S 2 s(s 1) 2
{ˆ , ˆ } 0
Prove
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆx
0
ˆ yˆz ˆzˆ y 0
ˆzˆx ˆxˆ y 0
ˆxˆ y
ˆ yˆx
1 2i
(ˆ yˆz
ˆzˆ y )ˆ y
1 2i
ˆ
y
(ˆ
yˆ
z
ˆzˆ y )
1 2i
ˆ yˆzˆ y
ˆ
zˆ
2 y
ˆ y2ˆ z
ˆ yˆzˆ y
0
13
4．自旋算符的矩阵表示
The wave function of similar particle system Pauli principle
• 7.8 两个电子的波函数
The spin wave function of two electrons 3
7.1 电子自旋(Electron spin)
➢Stern-Gerlach实验
s为自旋量子数
(s 1) 2
Sz ms
3．泡利算符
ms
为“磁”量子 数
(ms
1) 2
为了讨论问题方便，引入泡利算符 ˆ
Sˆ ˆ
2
Sˆx 2 ˆx Sˆy 2 ˆ y Sˆz 2 ˆz
10
对易关系
ˆ ˆ 2iˆ
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆx
2iˆ z
ˆ yˆz ˆzˆ y 2iˆx
ˆzˆx ˆxˆz 2iˆ y
0 i
i
0
ˆz 10 01
自旋算符矩阵
Sˆx
2
0 1
1 0
Sˆy
2
0i
i 0
Sˆz
2
10
01
18
5.自旋函数
电子既然有自旋，则其波函数就应考虑自旋量子
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数
S
（构成力学量完全集合的力学量数目为4个），
[注意]：自旋角动量是电子内部的一种固有特性， 在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量， 它不能表示为坐标和动量的函数。
S 是自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对
易关系
7
Sˆ Sˆ i Sˆ
自旋角动量平方算符
SSˆˆxy
Sˆ y Sˆz
Sˆy Sˆx Sˆz Sˆy
iSˆz iSˆx
内 多粒子体系
容 实际应用
2
• 7.1 电子自旋 Electron spin
• 7.2 电子自旋算符与自旋波函数
Electron spin operator and spin wave function • 7.3 简单塞曼效应
Simple Zeeman effect • 7.6 全同粒子的性质
The characterization of similar particles • 7.7 全同粒子系统的波函数 泡利原理
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b | b |2
0
0
0 1
|
b
|2
0
0
1
16
| b |2 1
取 b 1
ˆ x
0 1
1 0
ˆy
1 2i
ˆzˆx ˆxˆ y
1 2i
1 0
0 1
0
1
1 0
1 2i
0 1
1
0
1 0
0 1
0
i
i
0
17
泡利矩阵
ˆ x
0 1
10
ˆ y
（1）每个电子具有自旋角动量 S ，它在空间任意方向
的取值只能有两个
Sz 2
。
（2）每个电子具有自旋磁矩 M S ，它与自旋角动量的关系是
MS
e
S
（SI）
MS
e
c
S
（CGS）
在任意 方面上
M sz
e
2
M B
（SI）
的投影
M sz
e
2c
M
B
（CGS）
5
（M B ——玻尔磁子）
回旋磁比率：
Sˆz Sˆx SˆxSˆy iSˆy
Sˆ2 Sˆx2 Sˆy2 Sˆz2
平方分量间的对易关系 [Sˆ, Sˆ2 ] 0
Sˆ Sˆ
2 2
Sˆ Sˆ
x y
Sˆx Sˆ 2 Sˆy Sˆ 2
0 0
Sˆ 2Sˆz Sˆz Sˆ 2 0
( x, y, z)
8
1.自旋算符的本征值
由于在空间任意方向上的投影只有两个取值 ，
泡利算符平方算符
ˆ
2
ˆ
2
2 x
2 y
2 z
[ˆ
2 ,
ˆ ] 0
[ˆ
2 ,
ˆ x ] 0
[ˆ
2 ,
ˆ y ] 0
[ˆ
2 ,
ˆ z ] 0
11
本征值
ˆ x ˆ y ˆ z 的本征值都是 1
ˆx 2 Sˆx
Sx 2
x 1
2 x
2 y
2 z
1
ˆ 2 的本征值
2
2 x
2 y
2 z
3
12
反对易关系
a* b*
c* d*
a c
b d
d* d （a, d 必为实数）
ˆ x
a b*
b d
15
再由 ˆzˆx ˆxˆz 0 得到
1 0 a b a b 1 0
0
1
b*
d
b*
d
0
1
a b a b 2a 0
b*
d
b*
d
0
2d
0
则 a0 d 0
ˆ x
0
b*
b0
基态氢原子在非均匀磁场中
Conclusion: 磁矩平行或反平行于外加磁场
M (Magnetic moment) parallel or anti-parallel to B (Magnetic field)
Problem：Where does the M come from?
4
乌仑贝克. 哥德斯米脱假设