(整理)解析几何的综合应用

专题20 解析几何的综合应用

一、复习目标

1．熟练掌握圆锥曲线的定义,几何性质,利用它们解决有关范围问题； 2．通过数与形的结合,学会圆锥曲线知识的内在联系和综合应用． 二、基础训练

1．设12,F F 为椭圆2

214

x y +=的焦点，P 在椭圆上，当12F PF Δ的面积为1时，12PF PF 的值为 （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．1

2

2．已知12(F F 动点P 满足||,2||||121F PF PF

=-的最小值是（ ）

A 1

B ．1

C 1

D ．2 3．过抛物线)0(22

>=p px y 的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，以AB 为直径作圆，则圆与抛物线的准线的位置关系 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．位置不定

4．如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.

三、典型例题

1．（1）设e 为双曲线122

2=-m

y x 的离心率,且()2,1∈e ,则实数m 的取值范围是 ( ) A ． ()0,6- B ． ()6,0 C ．()1,4-- D ． ()1,6-- （2）以下四个关于圆锥曲线的命题中

①设A 、B 为两定点，k 为非零常数，若k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线； ②方程2

2520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

③双曲线

221259x y -=与椭圆2

2135

x y +=有相同的焦点； ④过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为原点，若1

()2

OP OA OB =+,则动点P 的轨

迹为椭圆；

其中真命题的序号为___________．

2．若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为2

2

，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程.

3．若抛物线2

1y ax =-上存在关于直线0x y +=对称的两点，求实数a 的取值范围．

4设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O . 、

四、课堂练习

1．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为

A. 3－1

B.2－3

C.

22 D.2

3 2．过双曲线22

221(0,>0)x y a b a b

-=>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ,N 两

点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，则双曲线的离心率等于_________． 3如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b （a >0，b ≠0），且交抛

物线y 2

=2px （p >0）于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点.

（1）写出直线l 的截距式方程；

（2）证明：

11y +21y =b

1； （3）当a =2p 时，求∠MON 的大小.

五、巩固练习

1．已知A 、B 分别是椭圆2

2

12

y x +=的左、右顶点，P 是椭圆上第一象限的任一点，若

,PAB αPBA β∠=∠=则必有 （ ）

A ．2tan cot 0αβ+=

B ．2tan cot 0αβ-=

C ．tan 2cot 0αβ+=

D ．tan 2cot 0αβ-=

2．已知12,F F 是双曲线22

221(0,>0)x y a b a b -=>的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形

12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （

）

A ．4+

B 1

C

D 1

3．已知双曲线22

221(0,>0)x y a b a b

-=>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，

OAF Δ的面积为2

2

a ，则两条渐近线的夹角为 （ ）

A ．30°

B ．90°

C ．60°

D ．45°

4．设M 为椭圆

22

1164

x y +=上一点，12,F F 为焦点，且直线1MF 与直线2MF 的夹角为60°，则12ΔMF F 的面积是 ．

5．设P 是椭圆22

143

x y +=上的点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠的最小值是 ．

6．设椭圆中心在原点，长轴在x 轴上，离心率e =

，已知点3

(0,)2

P 到这个椭圆上的点

P 的点的坐标．

7．设椭圆方程为22

14

y x +=，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 是坐标原

点，点P 满足1()2OP OA OB =

+，N 的坐标为11

(,)22

，当l 绕点M 旋转时，求：

（1）动点P 的轨迹方程；（2）求||NP 的最大值与最小值．

8．过定点(,0)(0)A m m <作一直线l 交抛物线)0(22

>=p px y 于P ，Q 两点，Q 关于x 轴的对称点Q 1，连结PQ 1交x 轴于点B ． （1）求证：直线PQ 1恒过一定点； （2）若AP AQ λ=，求证：1PB BQ λ=．