2014年八年级数学下17.1勾股定理(第2课时)课件
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人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
八年级下册17.1 勾股定理 课件 (共30张PPT)
探究:生活中的数学问题 应用知识回归生活
1、一个门框尺寸如下图所示． ①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否通过此门？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
对角线= 12 22 5
2.236 2.2
∴能通过此门.
想 一 想
2、小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。
2
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
∴a2+b2=c2
归纳定理： 勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
如果直角三角形两直角边分
别为a，b，斜边为c，那么
勾a
c弦
a2 b2 c2
股b
即直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
强调：勾股定理反映了直角三角形的 勾
股
三边关系。
一、总统证法 美国第20任总统-伽菲尔德
2、查阅有关勾股定理的历史资料，及 证明方法，与同学交流。
别为a，b，斜边为c，那么
勾a
c弦
a2 b2 c2
股b
即直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
强调：勾股定理反映了直角三角形的 勾
股
三边关系。
变式运用：
cba
bca
cab
a
c
b
确定斜边
？
a2+b2 = c2 a2+c2 = b2 b2+c2 = a2
灵活运 用公式
c2=a2 +b2
a2= c2 - b2 b2= c2 - a2
人教版八年级下册 课件 17.1 勾股定理(共46张PPT)
b c b c b cb c
a
a
a
a
勾股定理的证明方法很多，这里重点的介绍面积 证法。
勾股定理的证法（一）
∵( a+b)2=c2+4 ab a2+b2=c2
勾股定理的证法（二）
∵4× ab= c2－(b－a)2 a2+b2=c2
• 学习目标： 1．能运用勾股定理求线段的长度，并解决一些简单的实 际问题； 2．在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能 从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长．
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形， 把两个正方形如图（左）连在一起，通过剪、拼把它拼成 图（右）的样子。你能做到吗？试试看。
b
a
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
练习2 求下列直角三角形中未知边的长度．
C
A
4
x
5
A
10
C
6
B
x
B
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树．
通过解方程可得．
B
C
A
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？
利用勾股定理解决实际问题 的一般思路：
（1）重视对实际问题题意的 正确理解；
（2）建立对应的数学模型， 运用相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运 用．
B
C
A
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端 3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计 算树折断前的高度吗？
八年级数学第十七章17.1勾股定理(2)
15
10
x
25-x
利用勾股定 理求线段的 长，常借助 于方程求解
答：E站应建在离A站10km处。
10、矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的 点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。 解:设DE为X, 则CE为 (8－ X). 由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10 ∵∠B=90° ∴ AB2+ BF2＝AF2 82+ BF2＝102 10 A D ∴BF＝6 X ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4 8 10 E ∵∠ C=90 ° X (8- X) ∴ CE2+CF2＝EF2 B (8－ X)2+42=X2 6 F 4 C 16X=80 64 －16X+X2+16=X2 X=5 80 －16X=0
∴BC2＝2.52- 2.42
E
9、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km 根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又 ∵ DE=CE ∴ AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x)2 ∴ X=10
挑战自我
4、在长方形ABCD中AB、BC、AC 大小关系？
D C
1、不等关系
AB＜BC＜AC
2、相等关系
A
B
AC AB BC
2 2
2
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么? 连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
10
x
25-x
利用勾股定 理求线段的 长，常借助 于方程求解
答：E站应建在离A站10km处。
10、矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的 点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。 解:设DE为X, 则CE为 (8－ X). 由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10 ∵∠B=90° ∴ AB2+ BF2＝AF2 82+ BF2＝102 10 A D ∴BF＝6 X ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4 8 10 E ∵∠ C=90 ° X (8- X) ∴ CE2+CF2＝EF2 B (8－ X)2+42=X2 6 F 4 C 16X=80 64 －16X+X2+16=X2 X=5 80 －16X=0
∴BC2＝2.52- 2.42
E
9、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km 根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又 ∵ DE=CE ∴ AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x)2 ∴ X=10
挑战自我
4、在长方形ABCD中AB、BC、AC 大小关系？
D C
1、不等关系
AB＜BC＜AC
2、相等关系
A
B
AC AB BC
2 2
2
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么? 连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时勾股定理在实际生活中的应用7
第十七章勾股定理
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角
两点间的距离.
上任意两点
处放上了点儿火腿肠粒，你
的西8km北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多
求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
第1题图第2题图
如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是
的长度可能是（）
A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.18cm
10cm和6cm，A和B是。
17.1勾股定理第2课时(课件)八年级数学下册(人教版)
B 10
6
C8 A
2
1 C
30° A
3
17
A
8 C
C
2
2
2 45° A
典例精析
人教版数学八年级下册
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析: 1、由题干内容可知，门的高是2米，宽1米，木板 横着 或
竖着 都不能通过，只能试试 斜着 能否通过. 2、门框对角线DB是斜着的最大长度，只要计算出 AC 的 长度，再与木板的 宽 比较，只要__A_C_>_2_._2,就知道能否 通过.
C
人教版数学八年级下册
A′
B C′
B′
互动新授
人教版数学八年级下册
探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1.在数轴上找到点A，使OA=3；
13
2
2.作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2;
l3 B
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧学八年级下册
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8
米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少
飞行多少？ B
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C.
由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)， C
A
AB AC2 BC2 10米.
答：小鸟至少飞行10米.
与数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点.
O 0
1
2 A•3 C4
互动新授
人教版数学八年级下册
类似地，利用勾股定理可以作出长为 2, 3, 5 线段.
人教版初中数学八年级下册精品教学课件 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2课时
只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则小鸟至少飞行___m.
关闭
10
答案
互动课堂理解
勾股定理的实际应用
【例题】 有一正方体礼盒如图所示,在底部A处有一只壁虎,C'处
有一只蚊子,壁虎急于捕捉到蚊子充饥.
(1)试确定壁虎所爬行的最短路线;
(2)若正方体礼盒的棱长为20 cm,壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子,
第2课时
勾股定理的实际应用
快乐预习感知
1.某城市一区域的示意图如图所示,建立平面直角坐标系后,学校
和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是
(
)
A.超市
B.医院
C.体育场
D.学校
关闭
A
答案
快乐预习感知
2.如图,有两棵树,一棵高为12 m,另一棵高为6 m,两树相距8 m,一
多少厘米?
关闭
解 设CB长为x cm,
则AC为(x+10)cm,即CD=(x+10)cm.
在Rt△BCD中,由勾股定理,
得x2+402=(x+10)2,解得x=75.
因此,荷花入水部分BC长为75 cm.
答案
则梯子顶端距离墙角 (
)
A.0.2 m
B.0.4 m
C.2 m
D.4 m
关闭
C
答案
轻松尝试应用
1
2
3
4
5
6
2.如图,一根长度为17 cm的筷子,斜放在底面半径为3 cm的圆柱形
水杯内,量得露在水杯外面的部分AD的长为7 cm,则水杯的高AC是
(
)
A.10 cm B.8 cm
关闭
10
答案
互动课堂理解
勾股定理的实际应用
【例题】 有一正方体礼盒如图所示,在底部A处有一只壁虎,C'处
有一只蚊子,壁虎急于捕捉到蚊子充饥.
(1)试确定壁虎所爬行的最短路线;
(2)若正方体礼盒的棱长为20 cm,壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子,
第2课时
勾股定理的实际应用
快乐预习感知
1.某城市一区域的示意图如图所示,建立平面直角坐标系后,学校
和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是
(
)
A.超市
B.医院
C.体育场
D.学校
关闭
A
答案
快乐预习感知
2.如图,有两棵树,一棵高为12 m,另一棵高为6 m,两树相距8 m,一
多少厘米?
关闭
解 设CB长为x cm,
则AC为(x+10)cm,即CD=(x+10)cm.
在Rt△BCD中,由勾股定理,
得x2+402=(x+10)2,解得x=75.
因此,荷花入水部分BC长为75 cm.
答案
则梯子顶端距离墙角 (
)
A.0.2 m
B.0.4 m
C.2 m
D.4 m
关闭
C
答案
轻松尝试应用
1
2
3
4
5
6
2.如图,一根长度为17 cm的筷子,斜放在底面半径为3 cm的圆柱形
水杯内,量得露在水杯外面的部分AD的长为7 cm,则水杯的高AC是
(
)
A.10 cm B.8 cm
人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理 课件(共35张PPT)
探究 如图，以Rt△ 的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 、S2、S3，请同学们想一想
S1 、S2、S3 之间有何关系呢？
S2 + S3 =a2+b2
S1=c2
B
S1c a S2
b
A S3 C
∵a2+b2=c2
S2 + S3 = S1
探究S1、S2、S3之间的关系
S2
S3
1 2
a 2
2
1 2
b 2
2
1 a2 1 b2
8
8
S1
1 2
c 2
2
1
8
c2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
S2
c
SS3 2
A
S1
S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中
，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别 以AB、BC、AC为直径作三个半圆 ，那么阴影部分的面积为__24_ .
A
E
D
B
F
C
A
A =625
225
400
81
B =144
225
2、如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形 ，其中最大的正方形的边长 是8厘米，则正方形A，B， C，D的面积之和是 __6_4_____平方厘米
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题1— —最短路径问题
人教版 八年级下册 17.1勾股定理(2)(12张PPT)
1．拼成的图1中有 两 个正方形，四___个直角三角形。
2．图中大正方形的边长为__a_+_b_，小正方形的边长为_c 。
3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积， 列出一个等式，验证勾股定理吗？ 分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形
的面积＋ 四 个直角三角形的面积
得： ( a ＋ b )2＝ c 2＋ 4 ×2ab. (1) 化简 可得：
图2
活动三：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a，b，斜 边为c)构成如图所示的梯形．填空： （1）梯形的面积= （上底+ 下底 ） 高
（2）如图ห้องสมุดไป่ตู้梯形的上底=a，下底= b ，高= a+b 。 （3）由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得：
1 （a b） (a b) 2 1 ab 1 c2
2
22
a2 b2 c2
【知识巩固】 1.一个直角三角形的三边分别为3，4，则
25 或 7
2.如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则求CD的长。
3.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部 有 8 米。
独学合作探究 帮扶交流 小组交流
17.1勾股定理（2）
温馨提示：
课本、双色笔、导学案
独学(前置)——1min
要求：组长交叉检查:独立完成导学案 【自主学习】中的问题完成情况。
【学习目标】
1.掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定 理的方法。
2.会用勾股定理解答有关问题，树立数形结 合的思想。
【自主学习】 1.直角三角形的勾股定理： 直角三角形的 两条直角边的平方 等于斜边的平方 . 几何语言表述：和如图1.1-1，在RtΔABC中，∠C＝ 90°，
2．图中大正方形的边长为__a_+_b_，小正方形的边长为_c 。
3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积， 列出一个等式，验证勾股定理吗？ 分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形
的面积＋ 四 个直角三角形的面积
得： ( a ＋ b )2＝ c 2＋ 4 ×2ab. (1) 化简 可得：
图2
活动三：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a，b，斜 边为c)构成如图所示的梯形．填空： （1）梯形的面积= （上底+ 下底 ） 高
（2）如图ห้องสมุดไป่ตู้梯形的上底=a，下底= b ，高= a+b 。 （3）由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得：
1 （a b） (a b) 2 1 ab 1 c2
2
22
a2 b2 c2
【知识巩固】 1.一个直角三角形的三边分别为3，4，则
25 或 7
2.如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则求CD的长。
3.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部 有 8 米。
独学合作探究 帮扶交流 小组交流
17.1勾股定理（2）
温馨提示：
课本、双色笔、导学案
独学(前置)——1min
要求：组长交叉检查:独立完成导学案 【自主学习】中的问题完成情况。
【学习目标】
1.掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定 理的方法。
2.会用勾股定理解答有关问题，树立数形结 合的思想。
【自主学习】 1.直角三角形的勾股定理： 直角三角形的 两条直角边的平方 等于斜边的平方 . 几何语言表述：和如图1.1-1，在RtΔABC中，∠C＝ 90°，
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5. 如图，已知一根长8 m的竹竿在 离地3 m处断裂，竹竿顶部抵着地面， 此时，顶部距底部有 m. 6. 如图，每个小方格的边长都为1．求图中四边 D 形ABCD的周长.
A C
B
7. 直角三角形的两条边长分别是1和2，则第三边 长是多少？
Z``x``x``k
本课我们学习了哪些知识？
用了哪些方法？
实际问题
数学问题
能否通过
比大小
比较线段大小
木板的长、宽分别和门框的宽、高和对 角线进行比较.
练习
1. 一木杆在离地面3 m处折断，木杆顶端落 在离木杆底端4 m处. 木杆折断之前有多高？ 答案：8 m 2. 一个圆锥的高AO=2.4 ，底面半径 OB=0.7 . AB的长是多少？ 答案：2.5
第1题图
9 10 答案：面积是4.5，高是 10
.
例2
在△ABC中，AB＝15 cm，
A
AC＝13 cm，高AD＝12 cm，求BC的长．
A
15
B
12
D
13
C
15 B C
13
12 D
高在BC边上 高在BC延长线上 答案：14 cm或4 cm.
练习 直角三角形的两边长分别是3和5， 求第三条边长. 哪两条边呢？直 角边还是斜边？ 看来要分类讨论 结果了.
你有哪些体会？
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时
Zx```x````k
1. 看图示信息，求直角三角形中第三边的 长，将结果标在图上. 3
4 5 5
13
.
5
3
2
12
ห้องสมุดไป่ตู้
2.（1）如图，两个正方形的面积分别是
S1=18，S2=12，则直角三角形的较短的直角边长
是
6 .
.
2.（2）如图，两个半圆的面积分别是S1=16π， S2=25π，则直角三角形的较短的直角边长是 . 6 2
3. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，
若a=1，c=3，则b= 2 2 .
4. 已知Rt△ABC中，∠A=90°, ∠B=30°， 若a=4，则c= 2 3 .
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5. 已知Rt△ABC中，∠B=90°, ∠A=45°， 若b=7 2 ，则c= 7 .
探究 小明家装修时需要一块薄 木板，已知小明家的门框尺寸 是宽1 m，高2 m，如图所示， 那么长3 m，宽2.2 m的薄木板 能否顺利通过门框呢？
第2题图
例1 在正方形网格中，每个小方格的边长都 是1，△ABC的位置如图所示，回答下列问题： （1）求△ABC的周长； （2）画出BC边上的高，并求△ABC的面积； （3）画出AB边上的高，并求出高.
例1 在正方形网格中，每个小方格的边长都 是1，△ABC的位置如图所示，回答下列问题： （1）求△ABC的周长； （2）画出BC边上的高，并求△ABC的面积；
答案：4或
34 .
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16， 则c的长为（ ） A.26 B.18 C.20 D.21 2. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)， 则OP的长为（ ） A.3 B.4 C.5 D. 7 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10， 则a的长为（ ） A.5 B. 10 C. 5 2 D. 5 4. 等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为 （ ） A. 4 3 B. 3 C. 2 3 D.3
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（3）画出AB边上的高，并求出高. 答案：（1） 2 2 5 4 2； （ 2 ） 4； （3） 2.
BC边上的高 AB边上的高
练习
1．教材习题17.1第8题. 2．如图，△ABC的顶点 都在正方形网格的格点 上，每个小正方形的边 长都是1，求△ABC的面 积和BC边上的高.