一元二次方程公共根问题
一元二次方程公共根
一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 2∆=⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围．(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab b a b a a a --++的值6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简2)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
2019年初中数学一元二次方程的公共根
学科：数学专题：一元二次方程公共根主讲教师：黄炜 北京四中数学教师金题精讲题一题面：设方程270x kx --=和()2610x x k --+=有公共根，求k 的值．判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求公共根的值．判别式，整数根题二题面：二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求 b ab aa b a b --++的值．讲义参考答案金题精讲题一答案：设公共根为a ，则270a ka --= ①()2610a a k --+= ②①-②得()660k a k -+-=()()610k a --=∴∴61k a ==或当1a =时，2170k --=∴6k =-经检验6k =±均合题意∴6k =±．满分冲刺题一答案：⑴ 设上述三个方程的公共根为0x ，则有2000ax bx c ++=，2000bx cx a ++=，2000cx ax b ++=三式相加并提取公因式可得，200()(1)0a b c x x ++++= 又22000131()024x x x ++=++>，故0a b c ++=， (2)公共根为01x =或01b x a=--． 题二答案：[]222(1)(2)(2)0()(1)(2)0a x a x a a x a a x a --+++=⇒---+=，故两根为a 和21a a +- 同理，222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=的两根为b 和21b b +-． 由题意可知，11a b a b -≠-⇒≠，故21b a b +=-或21a b a +=-． 均可化简为：20ab a b ---=，即(1)(1)3a b --=由a ，b 为正整数，故1113a b -=⎧⎨-=⎩或1311a b -=⎧⎨-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，42a b =⎧⎨=⎩． 也可采取与之前相同的解法：设公共根为0x ，则22200(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=，22200(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= 消去20x 项并因式分解可得，0()(2)(1)0a b ab a b x -----=(由已知可得a b ≠) 若01x =，则有1a =(或1b =)，与已知矛盾；若20ab a b ---=，解法同上．故256b ab a b aa b a b a b --+==+．。
一元二次方程公共根问题
一元二次方程公共根问题1、若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ①α2+aα-1=0 ②①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．2、若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（）A．a=b B．a+b=0 C．a+b=1 D．a+b=-13、关于x的方程x2+bx+1=0与x2-x-b=0有且只有一个公共根，求b的值．解：设方程的公共根为x=t，则t2+bt+10 (1)t2−t−b＝0 (2)，由（2）得b=t2-t （3）将（3）代入（1）得：t3+1=0，解得，t=-1，当t=-1时，b=2．4、已知关于x的方程x2+x-3m=0与x2-mx+3=0只有一个相同的实数根，求m的值．解：将方程x2+x-3m=0和x2-mx+3=0组成方程组得，x2+x−3m＝0x2−mx+3＝0，解得x=3，m=4．4、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．2 B．0 C．-1 D．无法确定5、若关于x的方程x2-mx+2=0与x2-（m+1）x+m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．3 B．2 C．4 D．-36.（2014春•太湖县校级月考）若方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，则m的值为7.已知方程x2+mx+4=0和x2-（m-2）x-16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根．。
一元二次方程的公共根
学科：数学专题：一元二次方程公共根 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师金题精讲题一题面：设方程270x kx --=和()2610x x k --+=有公共根，求k 的值．判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=； ⑵ 求公共根的值．判别式，整数根 题二题面：二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值．判别式，整数根讲义参考答案金题精讲题一答案：设公共根为a ，则270a ka --= ①()2610a a k --+= ②①-②得()660k a k -+-= ()()610k a --=∴∴61k a ==或当1a =时，2170k --= ∴6k =-经检验6k =±均合题意 ∴6k =±．满分冲刺题一 答案：⑴ 设上述三个方程的公共根为0x ，则有2000ax bx c ++=，2000bx cx a ++=，2000cx ax b ++=三式相加并提取公因式可得，200()(1)0a b c x x ++++=又22000131()024x x x ++=++>，故0a b c ++=，(2)公共根为01x =或01bx a =--．题二答案：[]222(1)(2)(2)0()(1)(2)0a x a x a a x a a x a --+++=⇒---+=，故两根为a 和21a a +- 同理，222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=的两根为b 和21b b +-． 由题意可知，11a b a b -≠-⇒≠，故21b a b +=-或21a b a +=-．均可化简为：20ab a b ---=，即(1)(1)3a b --= 由a ，b 为正整数，故1113a b -=⎧⎨-=⎩或1311a b -=⎧⎨-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，42a b =⎧⎨=⎩．也可采取与之前相同的解法： 设公共根为0x ，则22200(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=，22200(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= 消去20x 项并因式分解可得，0()(2)(1)0a b ab a b x -----=(由已知可得a b ≠) 若01x =，则有1a =(或1b =)，与已知矛盾； 若20ab a b ---=，解法同上．故256b a b ab aa b a b a b --+==+．。
公共根
一元二次方程是中学代数中最重要的
内容之一，它是代数式简单方程的发展，同时
也是学习其他方程、函数、不等式的重要基
础．尤其，探索一元二次方程的公共根、有理
根、整数根等问题，蕴含着丰富的数学思想．
成为各类竞赛中重要考点之一，近几年的中
考中，逐渐渗透了类似题型及数学思想，值得
观注．
下面简单介绍一下此类题的常用解题方
法及经验。
l 公共根
例1 如果方程x2-px+2q=0,x2-qx+2p=0(p≠q)有公共根，求公共根．解因为两方程有公共根，则两式相
减，整理得(p—q)(菇+2)=0，
因为p≠g，所以茄=一2．
即戈=一2是方程的公共根．
例2 已知两方程菇2+僦+凡=O，石2+
麟+m=O有且仅有一个公共根，求m，凡的
关系．
解两式相减，整理得：
(m—n)(舅一1)=O，
因为方程公共根唯一，所以m一凡≠0．
所以口=1，把Ⅱ=l代入任意一个方程
得m，，n的关系：m+n+l=0且m≠儿．
小结因为有公共根，所以常采用“两
方程相减”的方法解题
2 有理根
例3 设矗为整数，且后≠0，方程k2一
(七一1)戈+l=0有有理根，求Jj}的值．
解若方程有有理根，则△=(忌一1)2
一诎为完全平方数，
设(奄一1)2—4．j}=m2(m为正整数)，
贝0七‘一6后+1一m‘=0。
所以(Ji}一3)2一m2=8，(Jj}一3+m)(尼。
新-34.一元二次方程整数根和公共根
个方程没有公共根．
7. 【中】（平谷区 2010）已知一元二次方程 x2 − 4x + k = 0 有两个不相等的实数根，
⑴求 k 的取值范围；
⑵如果 k 是符合条件的最大整数，且关于 x 的方程 x2 − 4x + k = 0 与 x2 − mx −1 = 0 有一
个相同的根，求此时 m 的值．
【答案】⑴ k < 4 ．
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6. 【中】（河南省中考题已知 a > 2 ,b > 2 ，试判断关于 x 的方程 x2 − (a + b)x + ab = 0 与
x2 − abx + (a + b) = 0 有没有公共根，请说明理由．
【答案】设两方程公共根为 m ，则有
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整理，得 m(3m + 2b) = 0 .
∵m ≠ 0，
∴ 3m + 2b = 0 .
解得 m = − 2b . 3
把
m
=
−
2b 3
代入方程③得
−
2 3
b
2
+
2b
−
2 3
b
+
c
=
0
.
∴ − 8b2 + c = 0 ，即 8b2 = 9c . 9
m2 − (a + b)m + ab = 0 m2 − abm + (a + b) = 0
① ．②－①得， (m +1)(a + b − ab) = 0
奥数新讲义-一元二次方程-整数根公共根4学
第三讲一元二次方程4：整数根、公共根一、基础知识1.一元二次方程的根为有理数对于有理系数的一元二次方程ax2+bx + c = o（«^0）,在△=夕_4心二0时，方程有实根，且：方程有有理根匸二△ = /一仏为完全平方数（有理数平方）2.一元二次方程的根为整数（1）对于整系数的一元二次方程+ ° = °（dH（））,如果有整数根，则必须满足以下两个条件：△ =，-4心为完全平方数（自然数平方）；"土一4皿是加的整数倍;（2）在首项系数为1的整系数方程x2 + px + e/ = O （p、q为整数）的判别式△==，-4必为一个完全平方数，则方程的根为整数，反之，亦成立；（3）对于整系数的一元二次方程川+加+ “。
《工°）,若“ b是偶数，c是奇数，则该方程无整数根；⑷ 整系数的一元二次方程局+加+2° （心0）,若a、匕c都是奇数，且△ = /异一心。
＞0, 则方程+hx + © = °⑺工°）无整数根.3.一元二次方程公共根：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程（两个或以上），然后通过恒等变形求出参数的值和公共根.二、整数根问题例1已知方程»-4（加-l）x + 3〃『-2〃? + 4k= 0对任意有理数m都有有理根，求k的值.1.整数根讨论：利用判别式例2不解方程，判定下列各方程的实数根是否是整数根：① / +3.K-18 = 0；② F +8x-59 = 0；（3）2x2 +4x-5 = 0；④ 3/ + 23x-87 = 0例3已知45加＜20,当m为何值时，方程x2 -2(2/n-3)x + 4m2 - 14/H + 8 = 0有两个整数根?例4整数a取何值时，方程%2 - (" - 6)x + " = 0有两个整数根?例5设a n为整数，证明方程疋+ 10〃沈-5允+ 3 =()没有整数根;例6当m为什么整数时,关于x的一元二次方程〃用一4兀+ 4 = 0与十一4mx + 4m2一4也一5 = 0的根都是整数？2.整数根讨论：利用求根公式例7若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程"用—2x-加+ 1 = 0的根，m为整数，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长，若不存在，请说明理由.例8设关于x的二次方程伙2一6«+8)疋+(2疋-6k-4)x + I= 4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.3.整数根讨论：利用韦达定理例9求所有正实数m使得方程疋一似+ 4" = 0仅有整数根;例10当m为什么整数时，关于x的方程.V2+(/»-!)%+ /» + ! = 0的两根都是整数?例11求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程2+伙+小+比-1 = 0的根都是整数;例12试确定所有的有理数“使得关于x的方程/-x2+(r + 2)x + 3r-2 = 0有且只有整数根;4.整数根讨论：变换主元例13试求所有这样的正整数/使方程心2+2“(2a-l)x + 4(a-3) = 0至少有一个整数根.例14设方程+俶+ 1_7/ = 0的两根都是整数，求所有正数a；5.整数根讨论：综合运用例15求所有的正整数a、b、c,使得关于x的方程疋_3心+ ” = 0 ； F —3bx + 2c = 0； x2-3cx + 2ci =0的所有根都是正整数•例16若方程疋-〃皿+川+和=0有整数根，且a n为自然数，则m、n可以分别为多少?三、公共根问题【例1】求£的值，使得一元二次方程F+也-1 = 0, F+x +伙-2) = 0有相同的根■并求两个方程的根•【例2】设a.b.c为A4BC的三边，且二次三项式疋+2心+，与十+2小-，有一次公因式，证明: AABC—定是直角三角形.【例3】三个二次方程cix2 +bx + c = O 9 bx2 +cx + a = O 9 ex2 + or + b = 0有公共根.(1)求证：a + b + c = Q；⑵求—的值.abc【例4】试求满足方程/ _总_ 7 = 0与疋- 6x -伙+1) = 0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根.【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a-\)x2-(a2+2)x + (a2+2“) = 0和(―(“2)Z")訓其和，方为正整数)有-个公共根，求得的值.练习题1.b、C是整数，如果一元二次方程x2-2bx-c = 0有整数根，那么，必有()A. b = c = 0B. b2 +c = 0c.戸+c是整数的平方 D. b2+c是偶数的平方2.若・0+〃技_6 = 0的两根都是整数，则m可以取值的个数是()A. 2B. 4C. 6D.以上都不对3.设二次方程疋+2风+ 2§ = 0有实根，其中a q都是奇数，那么它的根一定是()A.奇数B.偶数C.分数D.无理数4己知关于x的一元二次方程x2 + p.x + q = 0有两个不相等的整数根，p、q是自然数，且是质数，这个方程的根为_______ :5.方程x2 + px + q = O的两根都是正整数，且p+ @ = 1992,则方程较大根与较小根的比等于_________ ；6.已知p为质数，且方程x2 + /7X-444p = 0有两个整数根，则戸= ________ ；7.已知方程(/一1庆一2(5o + l)x + 24 = 0有两个不等的负整数根，则a的值是多少？&方程(x_a)(x_8)_l= 0有两个整数根，求a的值;9.若关于工的方程(67)(9 7)川-(117-15灯“54 = 0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.10.已知关于x的方程(°-1)，+2—1 = 0的根都是整数，那么符合条件的整数d有_________ 个.11.当加为整数时，关于兀的方程⑵〃-1)/-(加+ 1)乂 + 1 = 0是否有有理根？如果有，求出加的值；如果没有，请说明理由.。
初中数学 一元二次方程的公共根与整数根
内容 基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题公共根问题：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根． 整数根问题：对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 方程的根的取值范围问题：先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．【例 1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根． 中考要求例题精讲一元二次方程的公共根与整数根【例 2】 ⒈ 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC ∆一定是直角三角形．(北京数学竞赛试题)⒉ 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根． ⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求333a b c abc++的值．【例 3】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．【例 4】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．(1)求证：0a b c ++=；(2)求333a b c abc++的值．【例 5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值．【例 6】 k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？【巩固】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例 7】 (2007年全国初中数学联合竞赛)⒈ 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．⒉ 若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值． (2000年全国联赛试题)⒊ 关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．⒋ 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．⒌ 已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．【例 8】 求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．【例 9】 ⒈已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．⒉已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．【例11】 已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值．【例12】 (2007—2008清华附中初三第一次月考试题)⒈ 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．⒉ 若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩． 试求这个直角三角形的三边长．【例13】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值．【巩固】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例14】 (2008年西城区初三抽样试题)当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例15】 (2007—2008清华附中初三第一次月考试题)已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．【巩固】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【例16】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．【例17】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例18】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例19】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例20】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【例21】 ①已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．②已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求a 的值．【例22】 (1999年全国联赛试题)已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c的值．【例23】 (2007年“数学周报”杯全国数学竞赛试题)⒈ 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．(1993年全国数学联赛试题)⒉ 已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x ''，且120x x >，120x x ''>． ⑴ 求证：10x <，20x <，10x '<，20x '<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤； ⑶ 求,b c 所有可能的值．⒊ 设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．(北京市数学竞赛)⒋ 试证不论n 是什么整数，方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数．【例24】 求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解．【例25】 ⒈ 已知a 为整数，关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a xxy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解，求a 的值． ⒉ 求方程2237x y x xy y+=-+的所有正整数解． ⒊ 求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++．【例26】 设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值．【例27】 (2008年西城区初三抽样试题)当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例28】 (2007年全国联赛试题)a 是正整数，关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例29】 (2004年“信利杯”全国初中数学竞赛)已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组32y x ax bxy ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式．【例30】 (2002年上海市初中数学竞赛)已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值．【例31】 (2000年全国联赛)设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．【例32】 b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【例33】 (2000年全国竞赛题)已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个．【例34】 (1998年全国竞赛题) 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根．【例35】(1996年全国联赛)方程()(8)10---=有两个整数根，求a的值．x a x【例36】(2000年全国联赛C卷) 求所有的正整数a，b，c使得关于x的方程222-+=-+=-+=的所有的根都是正整数．x ax b x bx c x cx a320,320,320【例37】(1993年安徽竞赛题) n为正整数，方程21)60-+-=有一个整数根，则n=__________．x x【例38】(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a，使方程22(21)4(3)0+-+-=至少有一个整ax a x a数根．【例39】(第三届《祖冲之杯》竞赛题) 已知方程22a x a x--++=有两个不等的负整数根，则整(1)2(51)240数a的值是__________．【例40】不解方程，证明方程2199719970-+=无整数根x x【例41】(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程219990-+=有两个质数根，则常数a=________．x x a【例42】 (1996年四川竞赛题)已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．【例43】 (1994年福州竞赛题) 当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？【例44】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例45】 (2007年全国初中数学联合竞赛)已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例46】 若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【例47】 (2008年全国初中数学联赛)设a 为质数，b c ，为正整数，且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值．。
人教版九年级上册数学：《一元二次方程的公共根》课后练习及详解
专题：一元二次方程公共根金题精讲题一题面：设方程x2kx 7 0 和 x26x k 1 0 有公共根，求k的值．（鉴别式，考虑参数范围）满分冲刺题一题面：三个二次方程ax2bx c 0 ， bx2cx a 0 ， cx2ax b 0 有公共根．⑴求证： a b c0；⑵ 求公共根的值．（鉴别式，整数根）题二题面：二次项系数不相等的两个二次方程( a 1)x2( a22) x (a 22a)0和 (b 1)x2(b 22) x (b22b) 0 (此中 a ，b为正整数)有一个公共根，求a b b a的值．b aa b（鉴别式，整数根）讲义参照答案金题精讲题一答案：设公共根为 a ，则a 2ka70①a 26a k10②① ②得6k a k60∴ 6k a10∴ k6或 a1当 a1时，12k70∴ k6经查验 k 6 均合题意∴ k 6 ．满分冲刺题一答案：⑴ 设上述三个方程的公共根为x0，则有ax02bx0 c 0 ， bx02cx0 a 0 ， cx02ax0 b 0三式相加并提取公因式可得， (a b c)( x02x01)0又 x02x01( x0 1 )230 ，故a b c 0，24(2)公共根为x0 1 或 x01 b ．a题二答案： ( a 1)x2(a 22) x(a 22a)0( x a) (a1)x(a2)0 ，故两根为 a 和a2 a1同理， (b1)x2(b 22) x(b 22b) 0的两根为 b 和b2 ．b1由题意可知， a1b1a b ，故a b 2 或 a2 b ．b1a1均可化简为： ab a b 2 0 ，即( a1)(b1)3由 a ，b为正整数，故a11 或 a13，解得a 2 ， a 4 ．b13b11b4b2也可采纳与以前同样的解法：设公共根为 x0，则 (a1)x02(a22) x0 ( a22a)0 ， (b1)x02(b22) x0(b22b) 0消去x02 项并因式分解可得，(a b)(ab a b2)( x01)0 (由已知可得a b )若 x0 1 ，则有a 1(或b 1)，与已知矛盾；若ab a b 2 0 ，解法同上．故 a b b a a b b a256 ．a b b a专题： 一元二次方程的公共根金题精讲 题一：题面：一元二次方程 x 22x5 0 的某个根， 也是一元二次方程 x 2 (k 2)x 9 044的根，求 k 的值．满分冲刺题一：题面： 已知三个对于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0，bx 2+cx +a=0，cx 2 +ax+b=0 恰有一个公共实数根，求a 2b 2c 2bc++的值．caab题二：题面：设 a 22a 1 0,b42b 21 02≠0，则 (ab 2 b 23a 1 5，且 1 ab)a．课后练习详解金题精讲题一：答案： k 的值为 7 或 7．5详解：解 x 2 2x5 0 得 x 1 1 , x 2 5 ．42 2把 x 11 代入 x2(k 2)x9 0 得 ( 1 )2 1(k 2) 9 0 ，解得 k= 7．24 2 24 把 x 25代入x2(k 2)x9 0 得 (5)25(k 2)9 0 ，解得 k= 7 ． 27或 7．4 224 5∴ k 的值为5满分冲刺题一：答案： 3.详解：设三个对于x 的一元二次方程的公共实数根为t ，则 at 2+bt+c=0①， b t 2+ct+a=0 ②， ct 2+at+b=0③， ① +② +③得 ( a+b+c)t 2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0 ， ∴ (a+b+c)( t 2+t+1)=0 ，而 t 2 +t+1=( t+1)2+3，∵ (t+12 4 2)2≥0，∴ t 2+t+1＞ 0，∴ a+b+c=0 ，∴ a+b= c ，原式 = a 3b 3c 3 = (a b)(a 2 ab b 2 ) c 3 = c(a 2ab b 2 ) c 3 =abc abcabcc 2 (a 2 abb 2 )c 2 [( a b)2 3ab] c 2c 23abab=ab=ab =3 ．题二：答案： 32详解：解 a 22a 1 0 得 a2 4 4 2 2 2 12 ，22解 b 42b 2 1 0 得 b 224422212 ．22∵ b 20 ，∴ b 21 2 ．又∵ 1－ ab 2≠0，∴ a12 ．∴ a 12 。
一元二次方程公共解问题
一元二次方程公共解问题一元二次方程，听上去是不是有点儿高深莫测？其实啊，生活中随处可见，真的是“无处不在”！想想吧，咱们平常做的事情，像是买东西、计划旅行，甚至约会，都是在处理各种选择和结果。
说到这里，不得不提公共解的问题。
这玩意儿啊，其实就是两个一元二次方程有共同的解，这听起来好像很复杂，但说白了就是找到两个不同方程的交集，找出它们的共同点，简单得让人忍不住笑。
你说这公共解有什么用呢？哦，别小看了这玩意儿！想象一下，你和你的好朋友同时想要选个地方吃饭，你们都爱吃的那种，像火锅、烤肉，结果找到了一个可以满足你俩的地方，这就是“公共解”呀！好朋友之间的默契可不就是这样来的吗？再比如说，你在商量去哪条路能最方便到达目的地，路口的选择也是千千万，但找到那条既不堵车又能赏风景的路，就像找到方程的公共解一样，简直就是“天上掉下个美少年”般的幸运。
说到一元二次方程，最常见的形式就是ax² + bx + c = 0，听起来有点吓人，但其实并没有你想得那么复杂。
我们只需要搞定这几个参数，像是 a、b、c 就行了。
这就像做菜，准备好食材，接下来就看你的烹饪技巧了，能不能把这道菜做得色香味俱全。
对了，如果你有两个方程，比如说f(x) = ax² + bx + c 和g(x) = dx² + ex + f，你想找到它们的交点，其实就是找出它们共同的 x 值。
要找公共解，最常用的方法就是把一个方程代入另一个。
这过程可谓是“手到擒来”，先解一个方程，算出 x 的值，再把这个 x 带回去另一个方程，咱就能找到公共解啦。
想想看，就像是解谜一样，把两个拼图的共同部分拼到一起，瞬间“啪”的一下，图案就完整了。
咱们得注意，这个公共解不一定总是存在的。
两条曲线可能根本就不相交，那可就“无解”了。
不过，这也没什么大不了，生活中总有一些选择是并不兼容的嘛，像是你爱吃辣，她却不能碰辣的，这可咋整？所以说，找到公共解也挺有难度的，得靠运气和耐心。
上海初二数学教学课件(11)一元二次方程公公共根问题
例题4 例题
bxb为何值时，方程x2-bx-2=0和 为何值时， 2x-b(b有相同的根， x2-2x-b(b-1)=0有相同的根，并求出这个相同
的根。 的根。
例题5 例题
已知三个关于x的一元二次方程： 已知三个关于x的一元二次方程：
+ax+b=0。 ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0。
恰有一个公共实数根。 恰有一个公共实数根。 试证明a+b+c=0求 + + 的值 bc ca ab
例题6 例题
• 已知方程x2-3x+1=0的两个根α和β也是方程 的两个根α 的根。 的值。 x6-px2+q=0的根。求p和q的值。
课后作业
一元二次方程（ 一元二次方程（十）
——公共根问题
公共根
• 顾名思义，公共根问题指的是两个方程拥 顾名思义， 有相同的根。 有相同的根。 • 往往和一些含有字母的方程有关。 往往和一些含有字母的方程有关。 • 这类题目题型很活，知识迁移很多。往往 这类题目题型很活，知识迁移很多。 在数学竞赛和自主招生中常见。 在数学竞赛和自主招生中常见。
谢谢
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1.若方程x +ax+b=0和 +bx+a=0有一个公共根 有一个公共根， 1.若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，则（ 若方程 a+b) 2003=________ 答案： （答案：-1）
2.已知x2-x+m=0与x2+x+3m=0有一根相同，那么m的值 有一根相同， 2.已知x x+m=0与 +x+3m=0有一根相同 那么m 已知 是多少？ 是多少？ 答案： （答案：0或-2）
例说一元二次方程有公共根的问题
因为
x
2 0
+
x0 +
1=
( x0 +
1 2
)2
+
3 4
>
0,
所以 a + b + c = 0,
从而 c = - ( a + b ). 于是 a2 + b2 + c2
bc ca ab
=
a3 + b3 + abc
c3
=
a3 +
b3 - ( a + abc
b) 3
=
-
3ab ( a + abc
b) =
3.
例 1 ( 1988年广州等五城市联赛题 ) 如
果 x+
1 x
=
3,
求 x
4
+
x2 x2
+
的
x2 x2
+
1=
x2 +
1 x2
+
1
= (x + 1 )2 - 1 x
= 8,
所以原式 = 18. 二、不求特殊求一般
例 2 ( 1992年山东省初中竞赛题 ) 化简
3
1
3
3.
4+ 6+ 9
a = 0只有一个公共根, 则 ( )
(A) a = b
( B) a + b = 0
( C) a + b = 1 (D ) a + b = - 1
解: 设公共根为 , 则 2 + a + b = 0, 2 + b + a = 0.
把上面两个等式相减, 并整理得
25.怎样解关于一元二次方程有公共根的问题---刘培杰 代数
25 怎样解关于两个一元二次方程有公共根的问题一、关于两个方程仅有一个公共根的问题解这类问题的步骤如下：1．首先作差消去二次项，解出公共根表达式(或公根)．2．把公共根表达式(或公根)代入任一个原方程，求出系数(或关系式)．例1 已知方程0122=--mx x 与04)3(2=-++x m x 有一个公共根，求m 为何值? 解 两方程作差得(3+3m)x=3，所以m≠一l ．当m≠一l 时，x=⋅+11m 代入第一个方程得,0432=+m m 则⋅-==34,021m m例2 方程012=++ax x 与02=++a x x 有且仅有一个公共根，求a 值，并求出公共根．解 两方程作差得(a 一1)x=a 一l ．因为当a=1时，原来两个方程都变为,012=++x x 无实根，所以a≠1，x=1(公根)．把x=1代入前一个方程得a=-2．二、关于两个一元二次方程仅有一个根互为相反数的问题这类问题可转化为两个一元二次方程仅有一个公共根的问题来解决：只要将一个方程的一次项系数变为相反数，得到的新方程与原来另一个方程联立解得一个公共根．例3 方程0122=--mx x 与方程04)3(2=-++x m x 有一个根互为相反数，求m 的值．解 由已知可知0122=--mx x 与方程04)3(2=-+-x m x 必有一个公共根，解得(3一m)x=一3，所以m≠3．当m≠3时，,33m x --=代入-2x 012=-mx 得,02472=-m m 则⋅==724,021m m 三、关于两个一元二次方程有一根互为倒数(或负倒数)的问题只要把一个方程的二次项系数和常数项交换，这类问题也可转化为两个方程仅有一公共根的问题来解决．例4 方程022=-+kx x 和方程03722=++kx x 有一个根互为倒数，求k 的值．解 由已知可知022=-+kx x 和方程02732=++kx x 必有一个公共根．消去二次项可解得觑=一2，即⋅-=k x 2代入,022=-+kx x 整理得=2k 1，即 k =±1时原两方程有一根互为倒数．例5 方程0122=+-ax x 与0122=--bx x 有一根互为负倒数，求a b 的关系式． 解 由已知可知0122=+-ax x 与0122=++-bx x 必有一个公共根，两方程相加得(a 一b)x=1，所以a≠b，所以,1ba x -=代入=+-122ax x 0得.122=-b a 四、关于上述几种情况的综合例6 已知方程062=-+px x 与方程0232=++qx x 有一个公共根，且有一个根互为负倒数，求P ，q 的值．解 由062=-+px x 与0232=++qx x 有一公共根得 ①J p pq q α238322=--又因为062=-+px x 与0232=++qx x 有一根互为负倒数，则+2x 06=-px 与0322=+-qx x有一根为公共根，得②7523222=-+p pq q解①与②得7,1;7,12211=-=-==q p q p例7设nq ≠-l ，P ≠±mq ，方程0022=++-=++q px hx n mx x 有一根互为倒数，另一根互为负倒数，求证：mp=0．证明 由题可知方程02=++n mx x 与012=++px qx 有一公共根，可得 ①0))(()1(2=----np m mq p nq又可知方程02=++n mx x 与012=+-px qx 有一公共根，可得 ②0))(()1(2=+++-np m mq p nq②一①得0))(())((=--+++np m mq p np m mq p展开整理得 0)1(=+nq mp因为 1-=/nq所以 0=mp。
专题2.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入(强化)(解析版)
专题2.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入【例题精讲】【例1】已知关于x 的方程2(1)10x k x k -++-=．（1）试判断该方程根的情况，说明理由；（2）若该方程与方程22(3)60x k x k --+-=有且只有一个公共根，求k 的值．【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根，理由如下：△222[(1)]41(1)25(1)4k k k k k =-+-´´-=-+=-+．2(1)0k -Q …，2(1)40k \-+>，即△0>，\无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）设两个方程的一个公共根为m ，则()()221102360m k m k m k m k ì-++-=ïí--+-=ïî①②，②-①，得：2450m m +-=，解得：15m =-，21m =．当5m =-时，有255(1)10k k +++-=，解得：296k =-，2929225(3)(5)6066´---´---=Q ，296k \=-符合题意；当1m =时，2(1)110m k m k -++-=-¹，1m \=不符合题意，舍去．k \的值为296-．【例2】关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k +++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k 值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．【解答】（1）证明：Q △22(3)12(3)k k k =+-=-，2(3)0k -Q …，\方程有两个实数根；（3）解：取2k =时，则35k +=，36k =，故方程为2560x x ++=，(3)(2)0x x ++=，解得2x =-或3x =-．【例3】已知a 是方程2202010x x -+=的一个根．求：（1）2240403a a --的值；（2）代数式22202020191a a a -++的值．【解答】解：（1）a Q是方程2202010x x -+=的一个根，220201a a \=-，220201a a \=-，2240403a a \--2(20201)40403a a =---4040240403a a =---5=-；（2）原式2020202012019202011a a a =--+-+11a a=+-211a a+=-2020111a a-+=-20201=-2019=．【题组训练】一．公共根1．方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根，则a 的值是 2 ．【解答】解：Q 方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根，(1)10a x a \+++=，(1)(1)0a x \++=，解得，1x =-，当1x =-时，2112a x x =-=+=．故答案是：2．2．若方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，则200()a b +的值是多少？【解答】解：设公共根为0x ，则20020000x ax b x bx a ì++=ïí++=ïî①②．①-②，得0()(1)0a b x --=，当a b =时，两方程完全一样，不合题意；当01x =时，1a b +=-，则200()1a b +=．答：200()a b +的值是1．3．若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，则( )A ．a b =B ．0a b +=C ．1a b +=D ．1a b +=-【解答】解：设公共根为0x ，则20020000x ax b x bx a ì++=ïí++=ïî①②．①-②，得0()(1)0a b x --=，当a b =时，方程可能有两个公共根，不合题意；当01x =时，1a b +=-．故选：D ．4．若关于x 的方程：2230x x --=和210x mx ++=有且只有一个公共根，则m = 2或103- ．【解答】解：解方程2230x x --=得11x =-，23x =，把1x =-代入210x mx ++=得110m -+=，解得2m =；把3x =代入210x mx ++=得9310m ++=，解得103m =-，综上所述，m 的值为2或103-．故答案为：2或103-．5．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为 3 ．【解答】解：设公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，20ct at b ++=，三式相加得2()()0a b c t a b c t a b c ++++++++=，即2()(1)0a b c t t ++++=，因为22131(024t t t ++=++>，所以0a b c ++=，所以原式333a b c abc++=223()()a b a ab b c abc+-++=23()[()3]a b a b ab c abc++-+=23(3)c c ab c abc --+=3abcabc=3=．故答案为3．6．已知关于x 的一元二次方程220x mx ++=与220x x m ++=有一个公共实数根，则m = 3- ．【解答】解：220x mx ++=Q 与220x x m ++=有一个公共实数根，2222x mx x x m \++=++有一个实数根，1x \=，把1x =代入220x mx ++=得：3m =-．故答案为：3-．7．有三个方程：①2650x x -+=；②2250x -=；③550(0)ax a b bx a b --+=+¹，它们的公共根是( )A ．5B ．5-C ．1D ．以上都不是【解答】解：2650x x -+=，(5)(1)0x x --=，50x -=或10x -=，15x \=，21x =，把15x =，21x =代入②③，5x =能使方程左右相等，\它们的公共根是5，故选：A ．9．已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：2(1(2)102k x k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；（3）若方程①和②有一个公共根a ．求代数式22(42)35a a k a a +-++的值．【解答】解：（1）Q 方程①有两个相等实数根，102k \+¹且△10=，即2(2)4(1)(1)02k k +-+´-=，则(2)(4)0k k ++=，解此方程得12k =-，24k =-，而20k +¹，4k \=-，当4k =-时，方程②变形为：2750x x -+=，解得1x =2x =；（2）Q △2222(21)4(23)41213(23)40k k k k k =+++=++=++>，\无论k 为何值时，方程②总有实数根，Q 方程①、②只有一个方程有实数根，\此时方程①没有实数根，（3）设a 是方程①和②的公共根，2(1)(2)102ka k a \+++-=③，2(21)230a k a k ++--=④，由(③-④)2´得22(1)44ka k a k =---⑤，由④得：2(21)23a k a k =-+++⑥，将⑤、⑥代入，原式2242352(1)44423(21)6955ka ak k a a k a k ak k k a k a =+-++=---+--++++=．10．已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：2(1)(2)102kx k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k 的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．（3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式22(42)35a a k a a +-++的值．【解答】解：（1）Q 方程①有两个相等的实数根，\11020kì+¹ïíï=îV ，则2k ¹-，△222214(2)4(1)(1)4442682kb ac k k k k k k =-=+-+´-=++++=++，则(2)(4)0k k ++=，2k \=-，4k =-，2k ¹-Q ，4k \=-；（2）Q△22222(21)41(23)44181241213(23)40k k k k k k k k =+-´´--=++++=++=++>，\无论k 为何值时，方程②总有实数根，Q 方程①、②只有一个方程有实数根，\此时方程①没有实数根．（3）根据a 是方程①和②的公共根，\2(1(2)102k a k a +++-=③，2(21)230a k a k ++--=④，\③2´得：2(2)(24)20k a k a +++-=⑤，⑤+④得：2(3)(45)25k a k a k +++-=，代数式222(42)35(3)(45)25a a k a a k a k a k =+-++=+++-=．故代数式的值为5．二．整数根11．关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是( )A ．p 是正数，q 是负数B ．22(2)(2)8p q -+-<C ．q 是正数，p 是负数D ．22(2)(2)8p q -+->【解答】解：设方程20x px q ++=的两根为1x 、2x ，方程20y qy p ++=的两根为1y 、2y ．Q 关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根，120x x q \×=>，120y y p ×=>，故选项A 与C 说法均错误，不符合题意；Q 关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根，240p q \-…，240q p -…，2222(2)(2)44448(p q p q q p p \-+-=-++-+>、q 不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B 说法错误，不符合题意；选项D 说法正确，符合题意；故选：D ．12．关于x 的方程2(3)30(0)m x m x m +--=¹有两个不相等的正整数根，则整数m 的值为 1- ．【解答】解：由题意可知：△2(3)4(3)m m =--´-2269(3)0m m m =++=+…，x \=，1x \=或3x m=-，由题可知：1m =-，故答案为：1-13．已知：关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x -++=．（1）求方程有实数根的实数m 的取值范围；（2）若方程有两个不相等的正整数根，求出此时m 的整数值．【解答】，解：（1）由题意可知：0m ¹，Q △2(2)?8m m=+244?8m m m=++2?44m m =+2(?2)m =，\△0…，故0m ¹，方程总有实数根；（2）2(2)20m x m x -++=Q ，(1)(2)0x mx \--=，1x \=或2x m=，Q 方程有两个不相等的正整数根，1m \=．15．已知关于x 的一元二次方程220x mx n -+=．（1）若此方程总有两个相等的实数根，求n 的值．（用含m 的代数式表示）；（2）当2m =时，此方程有两个不相等的整数根，写出一个满足条件的n 的值，并求此时方程的根．【解答】解：（1）根据题意得△2440m n =-=，所以2n m =；（2）当2m =时，原方程变形为240x x n -+=，Q 方程有两个不相等的根，\△2440n =->，即4n <，当0n =时，方程变形为240x x -=，方程有两个整数根，即10x =，24x =．16．已知关于x 的一元二次方程2(2)20(0)m x m x m ---=¹．（1）求证：方程一定有实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根，求整数m 的值．【解答】（1）证明：0m ¹Q ，△2(2)4(2)m m =--´-2448m m m=-++244m m =++2(2)0m =+…，\方程一定有实数根；（2）2(2)2m m x m-±+=，11x \=，22x m=-，当整数m 取1±，2±时，2x 为整数，Q 方程有两个不相等的整数根，\整数m 为1-，1，2．17．已知关于x 的方程2220x x m ++-=有两个整数根，且m 为正整数，则符合条件的所有正整数的和是( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：根据题意得△224(2)1240m m =--=-…，解得3m …，m Q 为正整数，m \为1、2、3，当1m =时，△8=，所以方程的根为无理数，不合题意舍去；当2m =时，方程化为220x x +=，方程有两个整数解；当3m =时，方程化为2210x x ++=，方程有两个相等整数解；所以符合条件的所有正整数m 的和为235+=．故选：B ．18．已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=有两个不相等的正整数根，则m 的值为( )A ．2B ．1CD ．2或1【解答】解：Q 方程2(2)20mx m x -++=是一元二次方程，0m \¹，2(2)20m x m x -++=Q ，(2)(1)0mx x \--=，1x \=或2x m=，Q 方程有两个不相等的正整数根，\21m ¹，2m是正整数，1m \=．故选：B ．19．已知二次多项式25x ax a -+-．（1）当1x =时，该多项式的值为 4- ；（2）若关于x 的方程250x ax a -+-=，有两个不相等的整数根，则正数a 的值为 ．【解答】解（1）当1x =时，25154x ax a a a -+-=-+-=-，故答案为4-；（2）设1x ，2x 是方程两个不相等的整数根，则12x x a +=，125x x a =-．a \，5a -均为整数，\△222()4(5)420(2)16a a a a a =---=-+=-+为完全平方数，设22(2)16(a t t -+=为整数，且0)t …，则22(2)16a t --=-．于是，(2)(2)16a t a t ---+=-，由于2a t --，2a t -+奇偶性相同，且22a t a t ---+…，\2424a t a t --=-ìí-+=î或2822a t a t --=-ìí-+=î或2228a t a t --=-ìí-+=î，解得24a t =ìí=î或15a t =-ìí=î（舍去）或55a t =ìí=î，经检验2a =，5a =符合要求，2a \=或5a =，故答案为2或5．20．已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=满足12||3x x -=，求k 的值．【解答】解：（1）证明：当10k +=，即1k =-时，原方程为440x --=，解得：1x =-；当10k +¹，即1k ¹-时，△222(31)4(1)(22)69(3)0k k k k k k =--+-=-+=-…，\方程有实数根．综上可知：无论k 取何值，此方程总有实数根．（2）Q 方程有两个整数根，113(3)12(1)k k x k -+-\==-+，213(3)2(1)422(1)11k k k x k k k ----===-++++，且1k ¹-，2x Q 为整数，k 为正整数，1k \=或3k =．（3）由（2）得11x =-，2421x k =-++，且1k ¹-，1244|||1(2||1|311x x k k \-=---+=-=++，解得：3k =-或0k =，经检验3k =-或0k =是原方程的解．故k 的值为3-或0．三．整体思想21．若a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根，则224a a +的值是 6 ．【解答】解：a Q 是一元二次方程2230x x +-=的一个根，2230a a \+-=，223a a \+=，22242(2)236a a a a \+=+=´=，故答案为：6．22．已知xm =是一元二次方程210x x --=的一个根，则代数式22021m m -+的值为( )A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【解答】解：x m =Q 是一元二次方程210x x --=的一个根，210m m \--=，21m m \-=，22021120212022m m \-+=+=．故选：B ．23．m 是方程210x x +-=的根，则式子2222020m m ++的值为( )A ．2018B ．2019C ．2021D ．2022【解答】解：m Q 是方程210x x +-=的根，210m m \+-=，即21m m +=，222220202()2020220202022m m m m \++=++=+=．故选：D ．24．若a 是方程210x x --=的一个根，则322020a a -++的值为( )A ．2020B ．2020-C ．2019D ．2019-【解答】解：a Q是方程210x x --=的一个根，210a a \--=，21a a \-=，21a a -+=-，32222020(1)202020202019a a a a a a a \-++=--++=-++=．故选：C ．25．若1x =-是关于x 的一元二次方程210ax bx +-=的一个根，则202133a b +-的值为( )A ．2018B ．2020C ．2022D ．2024【解答】解：将1x =-代入方程，得：10a b --=，则1a b -=，所以原式20213()a b =+-202131=+´20213=+2024=，故选：D ．26．若关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=¹有一根为2019x =，则一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为( )A ．2017B ．2020C ．2019D ．2018【解答】解：对于一元二次方程2(1)(1)20a x b x -+-+=，设1t x =-，所以220at bt ++=，而关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=¹有一根为2019x =，所以220at bt ++=有一个根为2019t =，则12019x -=，解得2020x =，所以一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为2020x =．故选：B ．27．已知a 是方程2202210x x -+=的一个根，则22202220211a a a -++的值为( )A ．12022B ．2022C ．2021D ．无法计算【解答】解：a Q 是方程2202210x x -+=的一个根，2202210a a \-+=，即212022a a +=，220221a a =-，则2222022112021112022120211a a a a a a a +-+=-+=-=-=+．故选：C ．28．已知a 是方程210x -+=的一个根．则221a a +的值为( )A ．4B ．6C ．D ．【解答】解：把x a =代入方程210x -+=，得210a -+=，所以21a +=，则222211()22826a a a a +=+-=-=-=．故选：B ．29．若x 是方程2310x x ++=的解，则11x x -=+ 2- ．【解答】解：21(1)11111x x x x x x x x +-+--==+++，x Q 是方程2310x x ++=的解，231x x \=--，\原式3111x x x --+-=+2(1)1x x +=-+2=-．故答案为：2-．30．已知实数a 是元二次方程2202110x x -+=的根，求代数式22120202021a a a +--的值为 1- ．【解答】解：a Q 是方程2202110x x -+=根，2202110a a \-+=，220211a a \=-，\原式2021112021120202021a a a -+=---1a a =--1=-．故答案是：1-．31．若a 是方程210x x +-=的根，则代数式12022a a -+的值是 2023 ．【解答】解：a Q 是方程210x x +-=的根，210a a \+-=，11a a\-=-，12022a a\-+12022()a a =--20221=+2023=．故答案为：2023．。
如何解两个一元二次方程有公共根的问题
如何解两个一元二次方程有公共根的问题
王路
【期刊名称】《中学课程辅导：初三版》
【年(卷),期】2003(000)008
【摘要】关于解两个一元二次方程有公共根的问题,有些同学感到困难.下面提供一例题的几种解法,供同学们参考. 例:m为何值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根. 解法一:利用根与系数的关系设公共实根为a,则方程x2+mx-3=0的两根为a,-m-a.
【总页数】2页(P8-9)
【作者】王路
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
【相关文献】
1.关于一元二次方程公共根问题的解法探寻 [J], 段安波;杨书明
2.怎样解两个一元二次方程有公共根的问题 [J], 郭奕津
3.两个一元二次方程有公共根的一个充要条件及公共根的行列式求法 [J], 纪保存;王淑芳
4.涉及两个一元二次方程公根的一类求值问题的解法 [J], 陈荣华
5.两个一元二次方程有公共根的一个定理 [J], 方亚斌
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一元二次方程公共根问题
若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，
两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：
（1） 设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；
（2） 用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；
（3） 把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之
间的关系式．
例1 （2006年广西桂林模拟探究）已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根，
（1） 求k 的取值范围．
（2） 如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相
同的根，求此时m 的值．
解析：（1）∵一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根
∴△=16-4k ＞0，∴k ＜4
（2）当k =3时，解x 2-4x +3=0得x 1=3，x 2=1
当x =3时，32+m ·3-1=0，m =-3
8 当x =1时，12+m ·1-1=0，m =0
例2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值 解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a =0 ①
α2+a α-1=0 ②
①-②得（1-a ）α+a -1=0，即（1-a ）（α-1）=0
因为只有一个公共根，所以a ≠1，所以α=1
把α=1代入x 2+x +a =0得12+1+a =0，a =-2
例3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．
分析：判断两个方程是否有公共解，常假设有公共根，代入两个方程整理，求出这个解，再检验，如有矛盾方程的公共根不存在．
解：不妨设关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有公共根，设有x 0，则
有⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-0
)(0)(020020b a abx x ab x b a x 整理，可得（x 0+1）（a +b -ab ）=0 ∵a ＞2，b ＞2，∴a +b ≠ab ，∴x 0=-1
把x 0=-1代入①得，1+a +b +ab =0这是不可能的
所以，关于x 的两个方程没有公共根． ① ②。