理论力学—相对运动动力学PPT

k P O k
ω
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y´ k x´
解： 1、非惯性参考系－O x´ y´ 非惯性参考系－ 动点－物块P 动点－物块P 2、分析相对速度和各种加速度： 分析相对速度和各种加速度： 相对速度v 沿着x 相对速度vr －沿着x´正向 牵连加速度a 牵连加速度aen－由大盘转动引起 P x´
OP kk
ω
科氏加速度a 科氏加速度aC －2ω× vr 3、分析质点(物块)受力： 分析质点(物块)受力： F －弹簧力F＝2k x´ 弹簧力F FIen FN FN －槽对物块的约束力 FIC －科氏力 FIen －法向牵连惯性力 FIen＝m ω2 x´
F = 2m x ωɺ′ N
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5、计算结果分析与讨论
2k ɺ ′ +( −ω2 )x′ = 0 ɺ x m
时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力， 当 ω2 < 2k 时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力， 物块的相对运动为自由振动，其固有频率为 物块的相对运动为自由振动，
m
2m ω0 = −ω2 k
物块在x 物块在x´＝0处的平衡位置为稳定平衡位置。 处的平衡位置为稳定平衡位置 为稳定平衡位置。 牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力， 当 ω2 > 2k 牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力， 处附近作自由振动 物块在x 自由振动， 物块不能在x 物块不能在x´＝0处附近作自由振动，物块在x´＝0处 的平衡是不稳定的。 的平衡是不稳定的。 当 ω2 = 物块在x 物块在x´＝0处为随遇的平衡位置。 处为随遇的平衡位置。
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aC aen
vr F
FIC
y´ k x´
4、建立质点(物块)的相对运动微 建立质点(物块) 分方程： 分方程：
OP kk
P x´
ɺ mɺ′ = −F +Fn = −2kx′ +m 2x′ x ω Ie
ɺ mɺ′ = F −F y N IC
ω
aC aen
vr F
FIC
FIen FN
2k ɺ ′ +( −ω2 )x′ = 0 ɺ x m
a
A
ϕ l
∑X =0 F −F sinϕ =0 Ie T ∑Y =0 F cosϕ−m =0 g T
解得： 解得：
ω
M
FT FIe
M
a+l si ϕ 2 n ω tanϕ = g m g FT= cosϕ
mg
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人造卫星观察到地球海洋处有一逆时针的漩涡， 例 题 2 人造卫星观察到地球海洋处有一逆时针的漩涡，周期为 14小时，问该处在北半球还是南半球？纬度多少？ 14小时，问该处在北半球还是南半球？纬度多少？ 小时
ω地
解：取地球为非惯性参考系，考察任一点M 取地球为非惯性参考系，考察任一点M FIC 应提供其圆周运动的向心力。 应提供其圆周运动的向心力。
F = m C = m⋅ 2 evr = 2m 地vr sinϕ a ω ω IC
该处应在南半球
2 vr m =FIC= 2m 地vr sinϕ ω R
aC vr
m r = F + F +F a Ie IC
9
m r = F +F +F a Ie IC
非惯性系中质点的运动微分方程
d2r′ m 2 = F +F +F Ie IC dt
质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作 用在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏 力的矢量和。 力的矢量和。
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m r = F +F + F a Ie IC
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爬升时： 5g 爬升时：a > 5g
飞行员的黑晕与红视现象
飞机急速俯冲时 飞行员的红视现象 惯性参考系——地球 惯性参考系——地球 非惯性参考系——飞机 非惯性参考系——飞机 动点——血流质点 动点——血流质点 牵连惯性力向上，使血流 牵连惯性力向上， 自下而上加速流动，造成 自下而上加速流动， 大脑充血， 红视现象。 大脑充血，形成红视现象。
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俯冲时： 2g 俯冲时：a > 2g
慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形
惯性参考系——地球 惯性参考系——地球 非惯性参考系——大盘 非惯性参考系——大盘 动点——皮带上的小段质 动点——皮带上的小段质 量∆ m 牵连惯性力—— 牵连惯性力—— 大盘转速 很慢，牵连加速度很小， 很慢，牵连加速度很小， ∆ m的牵连惯性力可以忽略 不计。 不计。
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F +F + F = 0 Ie IC
飞行员的黑晕与红视现象
飞机急速爬高时 飞行员的黑晕现象 惯性参考系——地球 惯性参考系——地球 非惯性参考系——飞机 非惯性参考系——飞机 动点——血流质点 动点——血流质点 牵连惯性力向下， 牵连惯性力向下，从心脏 流向头部的血流受阻，造成 流向头部的血流受阻， 大脑缺血， 黑晕现象。 大脑缺血，形成黑晕现象。
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慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形
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由于地球的 自转引起的水 流科氏惯性ຫໍສະໝຸດ Baidu。 流科氏惯性力。
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水流科氏 惯性力对右 岸的冲刷。 岸的冲刷。
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质量为m 长度为l 的单摆， 质量为m，长度为l 的单摆，其 例 题 1 悬挂点随框架以匀角速度ω绕铅 垂轴转动，求单摆相对静止时的ϕ 角和摆杆的 垂轴转动， 张力。摆杆质量不计。 张力。摆杆质量不计。 解：取小球 M 为研究对象 单摆相对静止时，应满足 单摆相对静止时，
2k m
m
牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力
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结论与讨论
关于傅科摆的相对运动轨迹
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结论与讨论
关于傅科摆的相对运动轨迹
惯性参考系－地心系 惯性参考系－ O ηζξ 动参考系－O´x y z 动参考系－ 无科氏力的运动轨迹 A0 O´ A2
有科氏力的运动轨迹 A0 A1 A2´
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结论与讨论
关于傅科摆的相对运动轨迹
质点在非惯性系中的运动
1
几个有意义的实际问题
飞行员的黑晕和红视现象
爬升时： 5g 爬升时：a > 5g
俯冲时：a > 2g 2g 俯冲时：
2
几个有意义的实际问题
3
几个有意义的实际问题
4
几个有意义的实际问题
5
几个有意义的实际问题
6
几个有意义的实际问题
？
北半球由南 向北流动的河 流对河岸将产 生什么作用
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7
质点相对运动动力学的基本方程
惯性参考系－ 惯性参考系 O x y z
z
sr sa
M z′
非惯性参考系－ 非惯性参考系 O´x´y´z´ 绝对运动轨迹 sa－质点M 质点M 在惯性参考系中的运动轨迹 F
y′
r′
O′ O x x′ y
相对运动轨迹 sr－质点M在 质点M 非惯性参考系中的运动轨迹 研究质点在非惯性参考系中 的运动需要先研究质点在惯性 参考系中的运动。 参考系中的运动。 相对位矢 r´ F －作用在质点上的力
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慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形
牵连惯性力 —— 大 盘转速很慢， 盘转速很慢，牵连加速 度很小， 度很小，∆ m的牵连惯 性力可以忽略不计。 性力可以忽略不计。 科氏力 —— ∆ m的科 氏加速度 aC＝2ω ×v,科 ＝－2 氏力 FIC＝－2 ∆ m ω ×v， 使皮带变形。 使皮带变形。
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对质点M 对质点M应用牛顿第二定律
maa = F
根据加速度合成定理
z
sr sa
M z′
aa = ae +ar +aC
F
y′
r′
O′ O x x′ y
F = m e +m r +m C a a a
m r = F −m e −m C a a a
F = −m e a Ie
F = −m C = −2m ×vr a ω IC
M
ω水 π 2 /14 sinϕ = = ω π 2 地 2⋅ 2 / 24
6 = 7
FIC
O
R
纬度 ϕ = 59° 59°
ωe ×
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例 题 3
开有矩形槽的大盘以等角速度 ω绕O轴旋转。矩形槽内安置物 轴旋转。 弹簧系统，物块P的质量为m 块-弹簧系统，物块P的质量为m， 弹簧的刚度系数为k 弹簧的刚度系数为k 。初始状态 物块处于大盘圆心O 下，物块处于大盘圆心O ，这时 弹簧不变形。 弹簧不变形。 求：1、物块的相对运动微分方程； 物块的相对运动微分方程； 2、物块对槽壁的侧压力。 物块对槽壁的侧压力。
(1)当动系相对于定系仅作平动时 (1)当动系相对于定系仅作平动时
m r = F +F a Ie
(2)当动系相对于定系作匀速直线平动时 (2)当动系相对于定系作匀速直线平动时 (3)当质点相对于动参考系静止时 (3)当质点相对于动参考系静止时
m r =F a
F +F =0 Ie
质点相对静止的平衡方程：即质点在非惯性参考系中保持相对 质点相对静止的平衡方程： 静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。 静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。 (4)当质点相对于动参考系匀速直线运动时 (4)当质点相对于动参考系匀速直线运动时 质点相对平衡方程