一元二次方程的四种解法

一元二次方程的解法

(1) 一元二次方程的概念

一、考点、热点回顾

1、一元二次方程必须同时满足的三个条件：

(1) ________________________________________________________ ⑵ _________________________________________________________ ⑶ _________________________________________________________

2、一元二次方程的一般形式：

二、典型例题

③ x 2 2x 3y 0 ④ x 2 3 (x 1)(x 4)

三、课堂练习

1、 下列方程中，关于x 的一元二次方程是()

2

1 1

A3(x 1) 2(x 1) Br

2 0

x y

2 2 2

C.ax bx c 0

D.x 2x x 1

2、 用换元法解方程(x 2+x)2+ (x 2 + x) = 6时，如果设x 2

+ x= y,那么原方程可变

2 2

C 、 y — y + 6— 0

D 、y + y + 6— 0

例2: 元—

一次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 .

(1)x 2 10x 900 0 ⑵5x 2 10x 2.2 0 (3)2 x 2 15 0

(4)x 2

3x 0 ⑸(x

2)2

3

⑹

(x

3)(x 3) 0

例3: 当m

时

，

关于x 的方程(m+2 x |m| +3mx+1=0是一 儿二次方

程。

⑤ ax 2

bx c 0

⑥mx 2

0 (m 是不为零常数)

例1:判断下列方程是否为

儿二次方程:

① x 2 x 1 ② x 2

1

形为()

2 2

A、y + y — 6— 0

B、y — y— 6— 0

3、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是

4、已知关于x 的一元二次方程x 2 (k 1)x 6 0的一个根是2,求k 的值.

四、课后练习

1. 将方程3 x ( x 1 )

5( x 2)化成一兀二次方程的一般形式，得 _______________ ；

其中二次项系数是 _________ ； 一次项系数是 _________ ；常数项是 .

2. 方程(k 4)x 2 5x 2k 3 0是一元二次方程，则k 就满足的条件

是 _______ . ____

3. ________________________________________________________ 已知m 是

方程x 2-x-2=0的一个根，则代数式 m_m= ____________________________ 4. 在一幅长80cm 宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形

的方程是(

件下是一元一次方程

(2)--直接开方法

一、考点、热点回顾

1、了解形如x 2

=a(a > 0)或(x + h) 2

= k(k > 0)的一元二次方程的解法 ---- 直接 开平方法

小结：如果一个一元二次方程具有(x m)2

n( n 0)的形式，那么就可以 用直接开平方法求解。(用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的 左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯) 【复习回顾】

挂图，如果要使整个挂图的面积是

2

5400cm, 设金色纸边的宽为xcm ，则x 满足

2

(A) x 130x

1400 0

(B) x 2

65 x 350

(C) x 2

130x 1400 0 (D) x 2

65x 350 0

5•关于x 的方程(m 3)x 2

nx m 0

，在什么条件下是一元二次方程在什么条

1.方程(k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程，则k就满足的条件

是_______ . ____

2.____________________________________________________ 若(a+1) x2+(x-1) 2=0 二次项的系数为-2,贝U a _____________________________

二、典型例题

例1:解下列方程：

(1) x2= 2 (2) 4x2— 1 = 0

例2、解下列方程：

2 2 2

⑴(x 1) 2 (2)(x 1) 4 0 ⑶ 12(3 x) 3 0

推荐例3:用直接开平方法解下列方程

/八 1 2 2 2 2 2

(1) 3x 1 15 0 (2) x 3 4 2x 1 (3) x2 2ax a2 b 0

4

三、课堂练习

1.若方程(x-4 ) 2=m-6可用直接开平方法解，则m的取值范围是()

A. m> 6 B . m> o C . m> 6 D . m=6

2.方程(1-x ) 2=2的根是()

、3 、-3 2、1 + -丿2 2、・j2 +1

3.方程(3x — 1)2=— 5的解是 _______________ 。

4.用直接开平方法解下列方程：

2 2

(1)4x =9; (2) (x+2) =16