第三章向量线性关系秩(2)解读
第三章 向量 线性关系 秩
第三章 向量 线性关系 秩基本要求：1. 理解n 维向量的概念.2. 理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念.3. 掌握向量组的线性相关、线性无关的有关性质及判别方法.4. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 一、向量及其运算 1. 向量向量是用有序数组表示的既有大小又有方向的量，又称矢量. n 维向量有两种表示形式：12n a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 ()12,,,na a a .前者称为n 维列向量，后者称为n 维行向量.列向量常记作a 、或a、或α等.有大小无方向的量，称为数量或标量.注：列向量可视为或等同于列矩阵，行向量可视为或等同于行矩阵 2. 向量运算及其运算规律 零向量、负向量(1)运算①相等 ②加法 ③数乘 ④转置若12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()12,,,T n a a a a = .⑤内积(向量与向量的乘法)(见下一章)注：相等、加法、内积运算要求向量同型、同维.向量没有“逆”运算，即向量没有逆向量. (2)运算规律同矩阵的运算规律，故略.定义了加法与数乘法两种运算的所有n 维列(行)向量的全体构成一个所谓的n 维线性空间(见第五章)，亦称向量空间.以下讨论一般在n 维向量空间中进行. 3. 应用用向量表示线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (1) 设12(1,2,,)i i i in a a a i n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组(1)可表示为 1122n n x a x a x a b +++=. (2)作业：P63 1. 2. 二、向量组的线性关系 1. 基本概念定义1 若存在一组数s k k k ,,,21 使1122s s k k k βααα=+++ ， (3)则称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示，也称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合.例如：3112210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23可由向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111，线性表示. 例如：10532436327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，而1052236327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的另一个线性组合. 其实，可以利用(分块)矩阵乘积的形式表示(3)式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k 2121),,,(αααβ. (当12,,,s ααα 为列向量时)或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k αααβ 2121),,,(. (当12,,,s ααα 为行向量时)定义2 若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21使1122s s k k k αααο+++= . (4)则向量组12,,,s ααα 称为线性相关.不线性相关的向量组称为线性无关.定义2表明，向量组12,,,s ααα 线性相关仅当齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解s k k k ,,,21.定义2表明，向量组12,,,s ααα 不线性相关，若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21总有οβββ≠+++s s k k k 2211.换句话说，1122s s k k k αααο+++= 成立仅当021====s k k k .例如：3112210ο--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，表明向量组311,,210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.0700230321321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k ，即齐次线性方程组0723032001321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k 当且仅当1230k k k ===，所以向量组1002,3,0327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关.2. 基本结论(1)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其它向量线性表示. P55 证向量组12,,,s ααα 线性无关⇔12,,,s ααα 中任意一个向量不能由其它向量线性表示.证(2)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解. P54 证推论 n 个n 维向量线性相关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式为0.向量组12,,,s ααα 线性无关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 只有零解. P54 推论 n 个n 维向量线性无关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式不为0. (3)一个向量α线性相关αο⇔=. P54 证一个向量α线性无关αο⇔≠. 例如，(4)两个向量,αβ线性相关k l αββα⇔=或＝(几何上，即,αβ共线或平行). 证两个向量,αβ线性无关k l αββα⇔≠≠且(几何上，即,αβ不共线或不平行). 例如，(5)标准单位向量组是线性无关的向量组. P54 证(6)若向量组中的一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关) P55 证若向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关.(整体无关，部分无关) P55 推论 含有零向量的向量组线性相关. P55 (7)设向量组12,,,s ααα 线性无关，向量组12,,,,s αααβ 线性相关，则β可由向量组12,,,s ααα 唯一线性表示.(表示系数称为β关于向量组12,,,s ααα 的坐标) P55证(8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关. 证 设1122s s k k k αααο+++= ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0221122221211212111s ms m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 不妨去掉最后一个方程，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---,0,0,0121211122221211212111s s m m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 即12,,,s ααα 的少一个分量的缩短向量组也线性相关.线性无关向量组的加长向量组线性无关. P56(9)任意1n +个n 维向量线性相关. P59 推论 任意()m m n >个n 维向量线性相关.3. 向量组线性相关/线性无关的判定方法(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)秩法(下面讲). 作业：P64 6. 7. 8. 9. 10.-11. 三、秩1. 向量组的秩设有两个向量组(Ⅰ)12,,,s ααα ；(Ⅱ)12,,,t βββ .定义3 若向量组(Ⅰ)中的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出. P57线性表出的性质: 1)反身性；2)传递性.定义4 若两个向量组可以互相线性表出，则称它们等价. P57向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，当它们都是列向量组时，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .向量组等价的性质: 1)反身性；2)对称性；3)传递性.定义5 若一个向量组的某个部分向量组线性无关，且向量组中没有包含该部分向量组的更大线性无关组，则称这个部分向量是向量组的一个极大线性无关组. P57注：一个向量组可能有极大线性无关组，也可能没有极大线性无关组；可能有一个极大线性无关组，也可能有多个极大线性无关组.例如，1)只有零向量的向量组没有极大线性无关组；2)线性无关的向量组只有一个极大线性无关组.如：标准单位向量组只有一个极大线性无关组；3)102,,013⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有多个极大线性无关组.定理1(P57 命题3.5) 向量组与它的任意一个极大线性无关组等价. 推论1(P57 推论) 向量组中的任意两个极大线性无关组等价.定理2(P57 引理3.6) 若列向量组12,,,r ααα 线性无关，且()12,,,r A O ααα= ，则A O =. 定理3(P58 定理3.7) 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等.证 设向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，且它们都是线性无关的列向量组，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .从而(12,,,s ααα )=(12,,,s ααα )BA .于是由定理2有O BA E s =-，即BA E s =.同理有AB E t =.根据第38页上的例2.11知，必有t s =.所以等价的线性无关向量组所含向量的个数相等. 推论2(P58 推论) 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同.定义6 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩. 记作)(⋅r 或)(⋅rank . P58 规定：没有极大线性无关组的向量组的秩为0.例如: 102,,2013r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝.关于向量组还有以下常识结论：(1)对于任意一个向量组12,,,s ααα ，总有{}12,,,s r s ααα≤ .(2)若向量组12,,,s ααα 是向量组12,,,t βββ 的一部分，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(3)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(P58 定理3.8)(4)若线性无关的向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表示，则 s t ≤.(P58 推论2) (5)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，且s t >，则12,,,s ααα 线性相关.(P58 推论3)(6)等价向量组的秩相等.(P58 推论1)(7)对于任意两个向量组12,,,s ααα 和12,,,t βββ ， 总有{}{}{}{}{}{}121212121212max ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,t s s t s t r r r r r βββααααααβββαααβββ≤≤+ 求极大线性无关组的方法：(1)观察法并参考基本结论；(2)初等行变换法(后面讲)；(3)常识结论法.作业：习题A P64 12. 2. 矩阵的秩一个m n ⨯矩阵可以写成如下两种分块形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T m T Tmn m m n n a a a a a a a a a A ααα 21212222111211()TnT Tβββ 21=， 其中T m T T ααα,,,21 叫作A 的行向量组，TnT T βββ,,,21 叫作A 的列向量组. 定义7 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.定理1(P59 引理3.9) 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩. 定理2(P60 定理3.10) 矩阵的行秩等于矩阵的列秩.定理2表明：)()(A r A r T =.推论(P61 定理3.11) 初等变换不改变矩阵的秩.定义8 矩阵的行秩(或者列秩)称为矩阵的秩.记作)(⋅r 或)(⋅rank .定义9 在m n ⨯矩阵A 中任选k 行与k 列(},min{1n m k ≤≤)，则由这些行、列交叉点上的元素(不改变它们的相对位置)所构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式.定理3(P61 定理3.12) r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则所有r 阶以上的子式皆为零.定理4 r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则含该r 阶子式的所有r 阶以上的子式皆为零.定理3、定理4其实给出了求矩阵的秩的一种原则方法. 例(P63 例3.9) 解 分析： 形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000002100015302，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000410083521. 的矩阵称为行阶梯形矩阵. P62形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000210015002，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000010000010080021. 的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.行阶梯形矩阵的特点：(1)； (2)； (3)； (4).定理5(P63 命题3.13) 行阶梯形矩阵的秩等于元素不全为零行的行数.定理6(P63 命题3.14) 任意矩阵都可经过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.例(P63 例3.9)定理7 完全的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性；完全的初等列变换不改变矩阵的行向量组的线性相关性.例(P63 例3.9)关于矩阵还有以下常识结论：(1)()()(),r AB r A r B ≤简证：()()()12 c c B AB AB A AB A O A -⎧⊂⎪⇒⎨→⎪⎩ ()()() r AB r AB A r A ≤=. (2)()()()r AB r A r B A ≥+-的列数(3)()()()()(), r A r B r A B r A r B ≤≤+ 简证：见向量组的基本结论 (4)()()()r A B r A r B ±≤+简证：()()12c c A B A B B A B ±⊂±→()()()()() r A B r A B B r A B r A r B ⇒±≤±=≤+求秩的方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)初等变换法；(4)基本结论法. 作业：习题A P64 13. 15. 16.习题B P65 5*.。
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。
在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。
但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。
例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z yxv vv t z y x ,,,,,,称为七维向量。
更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。
这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。
§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。
数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。
向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。
向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛na a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。
行向量、列向量都表示同一个n 维向量。
设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。
分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0(若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。
下面讨论n 维向量的运算。
定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。
向量组的线性关系与秩
当且仅当存在不全为零的标量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得 $k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_na_n = 0$时，向量组$(a_1, a_2, ..., a_n)$线性相关。
向量线性无关的定义
向量线性无关是指不存在不全为零的 标量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得 $k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_na_n = 0$。
04
CHAPTER
线性方程组解的结构
线性方程组解的判定定理
1 2 3
判定定理1
如果线性方程组中，系数矩阵的行列式值不为0， 则线性方程组有唯一解。
判定定理2
如果线性方程组中，系数矩阵的行列式值为0， 且其对应的二阶子矩阵行列式值不为0，则线性 方程组有无穷多解。
判定定理3
如果线性方程组中，系数矩阵的行列式值为0， 且其对应的二阶子矩阵行列式值也为0，则线性 方程组无解。
秩-零度定理法
利用秩-零度定理，通过计算向量组的零度得到 秩。
最大无关组法
寻找向量组中的极大线性无关组，极大线性无关组中向量的个数即为向量组的 秩。
03
CHAPTER
向量组的线性表示
向量组的线性表示的定义
向量组的线性表示是指一组向量可以由 另一组向量线性组合而成。
线性组合是指通过常数倍的加和、加减运算 以及数乘运算得到的向量。
02
向量组线性无关当且仅当每个向 量都不能被其他向量线性表示。
02
CHAPTER
向量组的秩
向量组的秩的定义
向量组的秩定义为该组向量中线性无关向量的个数。
如果一个向量组中存在一组不全为零的标量系数，使得这组标量与向量组中的每个向量相乘后得到的向 量线性无关，则称这组标量是该向量组的一个极大线性无关组。
线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
2.3向量间的线性关系-2(线性相关与无关)
方程组(**)的系数行列式 1 1 1
方程组(﹡﹡)有非零解, 故存在不全为0 的 k1 , k2 , k3 * 使(**) 式成立, 所以1 ,2 线性相关.
1 1, 0, 0, ... 0 n维单位向量组 1 , 2 ,..., n 线性无关 2 0, 1, 0, ... 0 证 设k1 1 k2 2 ... kn n 0 3 0, 0, 1, ... 0 即 k1 1, 0, 0, ... 0 n 0, 0, 0, ... 1 k2 0, 1, 0, ... 0
1 ( 1, 1, 0 ,0 ) 2 ( 0, 0, 1, 1 )
01 0 2 ( 0, 0, 0 ,0 ) 0
k1 1 k2 2 k1 (1,1,0,0) k2 (0,0,1,1)
( k1 , k1 ,0,0) (0,0, k2 , k2 ) ( k1 , k1 , k2 , k2 ) ( 0, 0, 0 ,0 )
1 2 4 1 3 2 1 3 5 0 1 1
01 0 2 0 3 o 很平常.
例
0 1 0 2 0 3 o 很平常. 有没有凑巧的情况？ 2 0 0 2k1 0 k1 0 0 k 0 k 0 k 0 k11 k2 2 k3 3 k1 k2 1 3 2 2 0 1 1 k2 k3 如果 0 k2 0 只有当系数k1,k2,k3都是0 时,才有 k11 k2 2 k3 3 0 即只有0 1 0 2 0 3 0 没有很凑巧的情况.
向量组线性相关与秩的关系
向量组线性相关与秩的关系摘要：向量组线性相关性对于数学学科中很多问题都具有极其重要的作用，且与向量组线性相关性紧密相关的秩也有极为重要的意义。
本文从定义、特性及性质三方面详细剖析了向量组线性相关性与秩之间的关系并举例说明，最后总结出两者的关联性。
关键词：线性相关性；秩；关系根据定义和特性，向量组线性相关性与秩之间的关系划分如下：一、定义1、向量组线性相关性：指向量组之间存在相同的值，当向量组自身中存在两个不同的元素值出现在多个向量组时，这两个元素之间就具有线性相关性。
2、秩：指向量组的组件元素可以依照一定的次序组合出一系列不同的向量，而这些向量所能形成的矩阵的秩就被称为该向量的秩，用数字表示的时候我们称为秩值。
二、特性1、向量组线性相关性与秩之间存在着一定的联系，当向量组存在线性相关性时，秩值一定要小于其中的维数，因为线性相关性就是说必须要有不同的元素值在向量组中出现两次以上，这样一定会减少可以被组合出新向量的组件维数。
2、向量组线性相关性若是存在，秩值必定小于维数，但若向量组线性相关性不存在，秩值可能和维数相同。
三、性质1、向量组线性相关性和秩之间的关系：若向量组中存在相关性，则秩值必定小于该向量组的维数，反之若无相关性，秩值理论上可以等于其维数。
2、秩的确定性：确定一个向量组的秩依据主元素的构成，若一个向量组是由各位秩相等的多个线性无关子组组成，则它的秩为子组秩之和，即主元素的总数。
3、向量组的线性相关性和秩之间的关系实例：❶若有 A=(1,2,3),B=(2,4,6),C=(3,6,9),则可以看出，ABC三个向量的每个分量的值按照等比数列变化，因此A、B、C三个向量之间存在线性相关性，且它们的秩值只有一（即rank(A)=1）；❷若有 D=(1,2,3),E=(4,8,9),F=(7,14,15),则可以看出，DEF三个向量之间不存在线性相关性，且它们的秩值是３（即rank(D)=3）；分析：从来上可以看出，线性相关性和秩值之间存在着一定的联系，若向量组中存在线性相关性，则秩值一定要小于其维数，即秩值=元素数-线性相关项数，反之，若无线性相关性，秩值可以和维数相同。
向量线性相关性与秩
一、线性表示
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵
1 0 0 0 1 0 E (e1 , e2 ,, en ) 0 0 1 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
(2, 1,1, 1) 2
(3,1, 0,1) 3
方程1加方程2可以消去方程3， 说明方程3多余．
1 2 3
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，如果存在一
组数k1，k2， , km， 使得 k11 k2 2 km m 则称向量 可以由向量组1 , 2， , m的线性表示，
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
线性代数第三章3-3
事实上，α1 ,α2 线性无关是毫无疑问的，此外
α1 = 1⋅ α1 + 0 ⋅ α 2 α 2 = 0 ⋅ α1 + 1⋅ α 2 α3 = 2 ⋅ α1 + 1⋅ α 2
即 α1 ,α2 , α3 中的任一个都可由α1 ,α2 线性表示， 所以 α1 ,α2 就是 α1 ,α2 , α3 的一个极大线性无 关组。
也线性相关； 2）如果 β 1 , β 2 , L , β m 线性无关，那么
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α 1 , α 2 ,L , α m
也线性无关。
证 1）设 α 1 , α 2 , L , α m 线性相关，则存在一组 不全为零的数k1,k2,…,km，使得
k1α1 + k2α 2 + L + kmα m = 0
即
a11k1 + a12 k2 + L + a1m km = 0 LLLLLLLLLLLL ar1k1 + ar 2 k2 + L + arm km = 0 LLLLLLLLLLLL an1k1 + an 2 k2 + L + anm km = 0
β 1 , β 2 , L , β t 线性表示， 所以可设
α
j
=
∑1 k ij β i ( j = 1,2,L, s ) i=
t
即
α1 = k11β1 + k21β 2 + L + kt1β t α 2 = k12 β1 + k22 β 2 + L + kt 2 β t α s = k1s β1 + k2 s β 2 + L + kts β t
向量线性相关性及其秩 - 东北大学
第三讲 向量 线性关系 秩一、向量及其运算 1. 向量既有大小又有方向的量, 又称矢量, 用有序数组表示. 有大小无方向的量, 称为数量或标量. 记作 ()1212 ,,,n na a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或前者称为列向量, 后者称为行向量, 记作a 或a α或等.* 列向量可视为或等同于列矩阵, 行向量可视为或等同于行矩阵 2. 向量运算及其运算规律相等、加法、数乘、内积（向量与向量的乘法） * 相等、加法、内积运算要求向量同型 二、向量的线性关系 1. 基本概念线性表示 已知向量β和向量组12,,,s ααα , 若存在数12,,,,s k k k 使得1122s s k k k βααα=+++ ,则称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示.例如: 3112210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.线性组合 已知向量组12,,,s ααα 和一组数12,,,,s k k k 则1122s s k k k ααα+++称为向量组12,,,s ααα 的一个线性组合.例如: 10532436327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合.线性相关/线性无关 对于向量组12,,,s ααα , 若存在不全为零的数12,,,,s k k k 使得1122s s k k k αααο+++= （1）则称向量12,,,s ααα 线性相关, 或说向量组12,,,s ααα 是线性相关的向量组; 否则称为线性无关.例如: 3112210ο--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 表明向量311,,210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.123100230327k k k ο⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1230k k k ===,表明向量1002,3,0327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关.如何判断向量的线性相关与线性无关呢？ 2. 基本结论(1)向量12,,,s ααα 线性相关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解. P54推论 n 个n 维向量线性相关⇔由这n 个向量所构成的矩阵行列式0=.向量12,,,s ααα 线性无关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 只有零解. P54 推论 n 个n 维向量线性无关⇔由这n 个向量所构成的矩阵行列式0≠. (2)向量12,,,s ααα 线性相关⇔其中至少有一个向量可由其它向量线性表示. P55向量12,,,s ααα 线性无关⇔其中任意一个向量都不能由其它向量线性表示. (3)一个向量α线性相关αο⇔=. P54一个向量α线性无关αο⇔≠.(4)两个向量,αβ线性相关k l αββα⇔=或＝(几何上即,αβ共线或平行).两个向量,αβ线性无关k l αββα⇔≠≠且(几何上即,αβ不共线或不平行). 例如,(5)标准单位向量组是线性无关向量组. P54(6)若向量组中的一个部分组线性相关, 则该向量组线性相关.(部分相关, 整体相关) P55若向量组线性无关, 则它的任意一个部分组也线性无关.(整体无关, 部分无关) P55 推论 含有零向量的向量组线性相关. P55(7)设向量12,,,s ααα 线性无关,向量12,,,,s αααβ 线性相关,则β可由向量12,,,s ααα 唯一线性表示.(表示系数即为β关于向量组12,,,s ααα 的坐标) P55 (8)线性相关向量组的缩短向量组也线性相关.线性无关向量组的加长向量组也线性无关. P56 (9)任意1n +个n 维向量线性相关. P59推论 ()m m n >个n 维向量线性相关. 3. 向量线性相关/线性无关的判定方法（1）观察法； （2）定义法； （3）秩法； （4）基本结论法.三、秩1. 向量组的秩 (1)基本概念向量组的线性表出 一个向量组的每一个向量可由另外一个向量组的向量线性表示 P57 * 线性表出的性质: 1)反身性；2)传递性向量组的等价 两个向量组互相线性表出 P57 * 向量组等价的性质: 1)反身性；2)对称性；3)传递性向量组的极大线性无关组 P57* 一个向量组可能有极大线性无关组, 也可能没有极大线性无关组；可能有一个极大线性无关组,也可能有多个极大线性无关组.例如, 1)只有零向量的向量组没有极大线性无关组；2)线性无关的向量组只有一个极大线性无关组； 标准单位向量组只有一个极大线性无关组； 3)102,,013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有多个极大线性无关组.向量组的秩 向量组的极大线性无关组所含向量的个数. 没有极大线性无关组的向量组的秩为0. 记作()()r ⋅⋅或r ank P58 例如: 102,,2013r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝(2)基本结论定理1（P57 命题3.5） 向量组与它的任意一个极大线性无关组等价. 推论2（P57 推论） 向量组中的任意两个极大线性无关组都等价.定理3（P57 引理3.6） 若列向量组12,,,r ααα 线性无关, 且()12,,,r A O ααα= , 则A O =. 定理4（P58 定理3.7）等价的线性无关向量组所含向量个数相等. 推论（P58 推论） 向量组的所有极大线性无关组所含向量个数相同.对于任意一个向量组12,,,s ααα , 总有{}12,,,s r s ααα≤ .若向量组12,,,s ααα 是向量组12,,,t βββ 的一部分, 则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表示, 则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ . P58若线性无关的向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表示, 则 s t ≤. P58若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表示, 且s t >, 则12,,,s ααα 线性相关. P58 等价的向量组的秩相等. P58对于任意两个向量组12,,,s ααα 和12,,,t βββ , 总有{}{}{}{}{}{}121212121212m ax ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,t s s t s t r r r r r βββααααααβββαααβββ≤≤+ 2. 矩阵的秩 (1)基本概念矩阵的行向量组、列向量组 P59 矩阵的行秩、列秩 P59矩阵的秩 记作()()r ⋅⋅或r ank P61 矩阵的k 阶子式 P61行阶梯形矩阵/行最简形矩阵 P62 例如: 20351001020000-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 12038001400000000-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)基本结论定理1（P59 引理3.9） 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩. 定理2（P60 定理3.10） 矩阵的行秩等于矩阵的列秩. 推论（P61 定理3.11） 初等变换不改变矩阵的秩.* 定理3 完全的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性；完全的初等列变换不改变矩阵的行向量组的线性相关性.例(P63 例3.9)定理4（P61 定理3.12）()r A r A =⇔至少有一个r 阶子式不为零, 且若有r 阶以上的子式, 则所有r 阶以上的子式皆为零.* 定理5 ()r A r A =⇔至少有一个r 阶子式不为零, 且若有r 阶以上的子式, 则包含该r 阶子式的所有r 阶以上的子式皆为零.* 定理4、定理5给出了求矩阵的秩的一种原则上的方法定理6（P63 命题3.14） 任意矩阵都可经过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.定理7（P63 命题3.13） 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数.()()(),r AB r A r B ≤简证: ()()()()()()12 c c BAB AB A r AB r AB A r A AB A O A -⎧⊂⎪⇒≤=⎨→⎪⎩()()()r AB r A r B A ≥+-的列数()()()()(), r A r B r A B r A r B ≤≤+简证: 见向量组的基本结论()()()r A B r A r B ±≤+简证: ()()12c c A B A B B A B ±⊂±→()()()()() r A B r A B B r A B r A r B ⇒±≤±=≤+如果A B O =, 则()()r A r B A +≤的列数简证: AB O =表明B 的列向量是A x ο=的解, 故在A x ο=的解空间中, 因此(){}r B rx A x Aο≤==的列数-()r A . 3. 秩的求法(1)观察法；(2)定义法；(3)初等变换法；(4)基本结论法四、习题解答 1. P64 6.提示: （1）、（2）基本结论法；（3）基本结论法或初等变换法；（4）初等变换法 2. P64 8.提示: 方法一（定义法）令 ()()()1122231n n k k k ααααααο++++++= , 即 ()()()111221n n n nk k k k kk αααο-++++++= .因12,,,n ααα 线性无关, 得1212323110100101100 0110010n n n n k k k k k k k A k k k k k κο∆-+=⎧⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⇒==⎨ ⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+=⎪⎝⎭⎝⎭⎩. 于是, ()111nA +=+-.12231122310, 2, ,,n n n n n n αααααααααααα--⇒⎧=⎨⇒⎩+++⎧⇒⎨+++⎩ 为偶数上面的齐次方程组有非零解为奇数上面的齐次方程组只有零解线性相关线性无关,,,,方法二（矩阵法）()12231,n n αααααα-+++ ,,()1210011100,,,0110001n AC ααα∆⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()11223112231110, 2,, ,nn n n n C n C n C αααααααααααα+--=+-⇒⎧=⎨⇒⎩+++⎧⇒⎨+++⎩ 为偶数不可逆为奇数可逆线性相关线性无关,,,,3. P64 9.提示: n 维向量组12,,,n ααα 线性相关()3.63.1212,,,0n ij r n a ααα⇔<⇔= 定义定理.4. P64 10. 11. 10. 提示: 因为()()()()()1212121212,,,,,,,,,,,,,,,n n n n n r e e e r r r e e e r e e e nαααααα≤≤= , 所以()12,,,n r n ααα= , 即12,,,n ααα 线性无关.11. 提示: 充分性见10.；必要性 见基本结论(9). 5. P64 12.提示: （1）观察法；初等变换法（2）基本结论法；初等变换法（3）初等变换法；观察法6. P64 13.提示: 按阶梯形矩阵构造103001100000010000010011⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7. P64 14.提示: 因为()12,,,s r r ααα= , 所以12,,,s ααα 的极大线性无关组所含向量的个数r =, 从而12,,,s ααα 的任意r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组.8. P64 15.3221312232023102310231034300140014047100130013r r r r r r +-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-→→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴= 9. P65 2.提示: 根据极大线性无关组的定义 10. P65 3.提示: 设()()1212,,,,,,s t r r r αααβββ== , 且12,,,s ααα 可由12,,,t βββ 线性表出. 又设12,,,ri i i ααα 和12,,,rj j j βββ 分别是12,,,s ααα 和12,,,t βββ 的极大线性无关组, 即有1212,,,,,,rs i i i αααααα ,1212,,,,,,rt j j j ββββββ . 于是()()1212,,,,,,r r i i i j j j r r A αααβββ⨯= .其中r r A ⨯可逆. 因而()()12121,,,,,,rr r r j j j i i i A βββααα⨯-= ,故12,,,rj j j βββ 可由12,,,ri i i ααα 线性表出, 即12,,,t βββ 可由12,,,s ααα 线性表出, 所以12,,,s ααα 与12,,,t βββ 等价.11. P65 4.提示: ()121,,,,,,mm si i i i ir r ααααα+=()()()12112,,,,,,,,m m smi i i i i i i i r r r s mαααααααα+≤+≤+-()12,,,m i i i r r m s ααα⇒≥+- .12. P64 5.提示: 由命题 2.9可知, 存在n 阶初等矩阵12,,k P P P ,与m 阶初等矩阵12,,l Q Q Q ,,使得2112rk l n mE O P P P AQ Q Q OO ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭ , 故 ()1111111221r kr ln r r m r n n rE A P P PE O QQ QP Q O ∆------⨯⨯⨯⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭ ,且()()n r r m r P r Q r ⨯⨯==.五、知识扩展1. 已知向量组1234,,,αααα线性无关, 则向量组 （1994 数一）(A) 12233441,,,αααααααα++++线性无关; (B) 12233441,,,αααααααα----线性无关; (C) 12233441,,,αααααααα+++-线性无关; (D) 12233441,,,αααααααα++--线性无关. 提示: 观察法2. 设,A B 为满足A B O =的任意两个非零矩阵, 则必有 (2004 数一)(A) A 的列向量组线性相关, B 的行向量组线性相关; (B) A 的列向量组线性相关, B 的列向量组线性相关; (C) A 的行向量组线性相关, B 行向量组线性相关; (D) A 的行向量组线性相关, B 的列向量组线性相关. 提示: ,A O B O ≠≠, ()()r A r B A +≤的列向量数n()()()()1, 11,1r A r B r A n r B n ≥≥⎧⎪⇒⎨≤-≤-⎪⎩, 故选(A). 3. 设n 维列向量组()12,,,m m n ααα< 线性无关, n 维列向量组12,,,m βββ 线性无关的充要条件为 （2000 数一）(A) 向量组12,,,m ααα 可由向量组12,,,m βββ 线性表示； (B) 向量组12,,,m βββ 可由向量组12,,,m ααα 线性表示； (C) 向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,m βββ 等价； (D) 矩阵()12,,,m A ααα= 与矩阵()12,,,m B βββ= 等价. 提示: 因为~,~,m m E E A B A B O O ⎛⎫⎛⎫⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价 * 注意向量组等价与矩阵等价的差别4. 设向量组123,,ααα线性相关, 向量组234,,ααα线性无关, 问:(1) 1α能否由23,αα线性表出？给出证明.(2) 4α能否由123,,ααα线性表出？给出证明. （1992 数一） 5. 设向量组()()()1231,1,1,3,1,3,5,1,3,2,1,2,TTTp ααα==--=-+()42,6,10,Tp α=--,(1) p 为何值时, 该向量组线性无关? 此时用1234,,,αααα表示向量()4,1,6,10Tα=.(2) p 为何值时, 该向量组线性相关? 此时求它的秩和一个极大线性无关组. (1999)（答案: 2p ≠,2p =）提示: 方法一 初等变换法 (1)()12341132413261,,,15110631210p p ααααα--⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪- ⎪⎪+⎝⎭113 24021 43~001 0100021p p --⎛⎫⎪---- ⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭()()()()1000201001212~0010100112p p p p ⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭故2p ≠, 且()()1234211222p p p p ααααα--=+++--.(2) 2p =, 秩为3, 一个极大线性无关组为123,,ααα, 另一个极大线性无关组为134,,ααα. 方法二 行列式法 6. 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭和列向量(),1,1T a α=. 已知A α与α线性相关, 求a . 提示: (),23,34TA a a a α=++, A α与α线性相关2334111a a a a a ++⇒==⇒=-.7. 已知()()()12312341235,,,,,3,,,,4r r r ααααααααααα===, 证明: ()12354,,,4r αααα-α=提示: ()12354,,,ααααα-()()12351122331212353,,,100010,,,001001k k k k k k ααααααααααα=----⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭由于()1235,,,4r αααα=,1231000104001001k k r k -⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, 故()12354,,,4r αααα-α=.8. 若()n m m n n A B E n m ⨯⨯=<, 证明: ()m n r B n ⨯=.提示: 反证法 显然()m n r B n ⨯≤.那么假若()m n r B n ⨯<, 则 ()()(),n n m m n n r E r A r B n n ⨯⨯=≤⇒<, 矛盾.9. 已知向量组()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,2t ααα=-==--的秩是2, 求t . (1997 数二)提示:12312112000452A t ααα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12111211~0422~04520452030t t --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+---⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭,故3t =. 10. 0n A =, 说明什么?提示: 说明 ()r A n <;A 的行向量组线性相关; 行秩n <;A 的列向量组线性相关; 列秩n <;A 的标准形为()r E O r n O O ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 11. 设()m n r A m n ⨯=<, 则下述结论正确的是(A) m n A ⨯的任意m 个列向量必线性无关.(B) m n A ⨯的任意一个m 阶子式不等于零.(C) 若矩阵B 满足B A O =, 则B O =.(D) m n A ⨯通过初等行变换必可以化为() m E O 的形式.提示: T T BA O A B O =⇒=()()()()T T T r A r B r A r B A ⇒+=+≤的列数m =()0r B ⇒=, 故B O =.12. 设A 是m n ⨯矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 矩阵A 的秩为r , 矩阵B A C =的秩为1r , 则(A)1r r >; (B)1r r <; (C)1r r =; (D)r 与1r 的关系依C 而定. (1994 数三)提示: 由B A C =及C 是n 阶可逆矩阵知~B A , 故选(C).13. 设,A B 都是n 阶非零矩阵, 且AB O =, 则A 和B 的秩(A)必有一个等于零; (B)都小于n ;(C)一个小于n ,一个等于n ; (D)都等于n . (1994 数四)提示: 由,A B 都是n 阶非零矩阵, 且AB O =⇒()(),,A O B O r A r B A ≠≠+≤的列向量数n⇒()()()()1, 1 1,1r A r B r A n r B n ≥≥⎧⎪⎨≤-≤-⎪⎩, 故选(B).14. 设A 是43⨯矩阵, 且()2r A =, 而102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则()r AB =2. (1996 数一)提示: B 可逆15. 已知矩阵12324369Q t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及3阶非零矩阵P 满足PQ O =, 则 (A) 6t =时, P 的秩必为1; (B) 6t =时, P 的秩必为2;(C) 6t ≠时, P 的秩必为1; (D) 6t ≠时, P 的秩必为2. (1993 数一)提示: 6t =时, ,()()1,2r A r P =≤;6t ≠时, ()()2,1r A r P =≤,.又因()0r P >, 故选(C).16. 设12243311A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, B 为3阶非零矩阵, 且AB O =,则t =-3 . (1997 数一) 提示: ()()12r B r A ≥⇒≤, 但显然()2,r A ≥ 故()203r A A t =⇒=⇒=-.17. 设矩阵111111111111kk A k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 且()3r A =, 则k =-3 . 提示: 3333111~111111kk k k k A k k ++++⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()330001100~310101001r A kk k k k =+⎛⎫⎪-⎪⇒=-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 18. 设()3n n ≥阶矩阵1111aa a a a a A a aa a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 若矩阵A 的秩为1n -, 则a 必为 (A) 1; (B) 11n -; (C)1-; (D)11n -. (1998 数三)提示:()()()1111111~1n a n a n aa aAa a⎛-+-+-+⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭()()()31111,1 0101~,,110010001=010~, 1101nr A aaar A n anaa aa anr A na a≥⎛⎫⎪==⎧-⎪⎪≠-⇒⎨⎪=≠-⎪⎩⎪⎪-⎝⎭⎛⎫⎪-⇒<-⎪-⎪⇒=-⎪⎪-⎝⎭。
线性相关性与秩.ppt
4时，r( A) 3 4,1,2 ,3,4线性相关。
1,2,3是一个极大无关组。 但，行摆行变换不行！
反例： 1 (1,0,0), 2 (1,1,0), 3 (1,1,0)
1 1 A 2 1
3 1
0 1 1
0 0 0
r3 r1
1 1 2
0 1 1
" ": 1,2 ,,m线性相关,
由定理1知，必有某个向量（不 妨设m )可由其余m 1个
向量线性表示为 m k11 km1m1
写成分量形式为 amj k1a1 j k2a2 j km1am1, j
(j=1,2, …,n)
对A作初等变换
A
1
mm1
a11
am1,1 am1
2.相关性的判定定理
定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。
推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。
定理4：相m个关n的维充向要量条件i 是(a由i1,aii2(,i
, ain ) 1, 2,
(i
1, 2, m)线性 m)构成的矩阵
1 a11
1,2 ,,s线性无关且
1 2
s
a11 a21
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
a
ss
s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s
a2s
ass
证明 : 若r(K ) s，则1, 2 ,, s线性无关。 1,2 ,,s与1, 2 ,, s等价。
a12
am1,2 am2
第三章向量组的线性关系与秩(课堂PPT)
1 0 0
2 0 0
5 2 0
103000
1 0 0
2 0 0
5 1 0
1 3 02
—
性 代 数 教 案 华 南 理
4
0
0
0
1 1
0 0
0 2
0 0
0 0
1 0
3
13
2
3
2 0
4 0 0 0
0 1 0 0
2 2 0 0
0 0 1 0
19 2
13
2
3
2
0
工 大 学 广 州
华 非零解(无非零解(只有零解)).
南
理 工 大
n个n维向量 1,2,L,n线性相关 1,2,L,n0
学
广 州
n个n维向量 1,2,L,n线性无关 1,2,L,n0
学
院
.
17
与线性相关性有关的性质：
—
联 合 班
① 1,2,L,s线性相关 至少有一个 i 可以用其
他向量线性表示。
线
性 代
②当向量的个数s大于维数n时，1,2,L,一s 定线
—
线 性
则说1,2,L,s线性相关,否则就说它们线性无关.
代
数 教
说明:① 意义和定义是一致的.比如设 c s 不为0,则
案 华 南
sc c1 s 1c c2 s 2Lccs s1 s1
理 ② 当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就
工 大
是它是(不是)零向量.
学
广
州
学
③
学
院
.
12
—
3．等价关系：如果 1,2,,s与 1,2,,t互相可
向量秩知识点总结考研
向量秩知识点总结考研一、向量的线性相关性1. 向量的线性组合向量的线性组合是指通过对向量进行加法和数乘运算得到的新向量。
设有n个向量a1,a2, ..., an，则它们的线性组合为形式如下的表达式：c1·a1 + c2·a2 + ... + cn·an其中c1, c2, ..., cn为实数，称为线性组合的系数。
2. 线性相关与线性无关若存在不全为0的系数c1, c2, ..., cn使得c1·a1 + c2·a2 + ... + cn·an = 0，则称向量a1,a2, ..., an线性相关；否则称它们线性无关。
3. 线性相关的判定条件设有n个向量a1, a2, ..., an，并设有实数c1, c2, ..., cn，使得c1·a1 + c2·a2 + ... + cn·an = 0，则以下结论等价：（1）存在不全为0的c1, c2, ..., cn使得c1·a1 + c2·a2 + ... + cn·an = 0；（2）至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合。
4. 线性相关向量组若向量组中存在线性相关的向量，则称该向量组为线性相关向量组；否则称其为线性无关向量组。
例如，向量组{a1, a2, a3}线性无关的充要条件为它们不共面。
二、向量空间维数1. 向量的极大线性无关组对于给定的向量组{a1, a2, ..., an}，若存在其中一组线性无关的向量组{a1, a2, ..., am}，满足：（1）向量组{a1, a2, ..., am}线性无关；（2）向量组{a1, a2, ..., am}中的任意一个向量加入向量组{a1, a2, ..., am-1}中都变得线性相关；则称向量组{a1, a2, ..., am}为向量组{a1, a2, ..., an}的一个极大线性无关组。
向量组的秩 (2)
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定理1: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩．
证明 设 A (a1, a2 ,, am )， R( A) r，并设有一 个r阶子式 Dr 0 ．
根据第二节定理4，由 Dr 0 知， Dr 所在的r列线
性无关．
由A中所有r+1阶子式均为零，可知A中所有r+1个列 向量都线性相关．
注: 向量组之间的等价关系具有下述性质:
(1)反身性:向量组A与向量组A等价;
(2)对称性:若向量组A与向量组B等价,则向量组B与向量组A 等价;
(3)传递性:若向量组A与向量组B等价,向量组B与向量组C等 价,则向量组A与向量组C等价.
二、最大线性无关向量组
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定义2: 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
1,2 ,,r，满足
（1）向量组A0
:
1
,
2
,,
线性无关；
r
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有r 1
个向量的话）都线性相关，则称向量组A为向量组A0的 一个最大线性无关向量组（简称为最大无关组）；
最大无关组所含向量个数r称为向量组的秩.
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 它的秩为0.
三、矩阵秩与向量组秩的关系
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第三节 向量组的秩
最大 线性 无关组
主要结论
矩阵秩与 向量组秩 的关系
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一、向量组的等价
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定义1: 设有两个n维向量组A和B,如果向量组A中的向
量都可由向量组B线性表示,则称向量组A可由向量组 B线性表示;如果向量组A可由向量组B线性表示,且向 量组B也可由向量组A线性表示,则称向量组A与向量 组B等价.
2.2向量组的线性相关性和秩
k 1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3 = 0 3k 1 + k 2 − k 3 = 0 k + 2k 3 = 0 1 =0 2k 1 + 5k 2 − 4k 1 + 2k 2 + 3k 3 = 0 3 1 − 1 1 0 2 1 0 2 行变换 0 1 − 7 A= 2 5 0 0 0 31 − 4 2 3 0 0 0 只有零解。 非零行数 r = 3, 齐次方程组 只有零解。 线性无关。 故α 1，α 2，α 3线性无关。 解
取c = 0, β = α 1 − 2α 2 取c = 1, β = −2α 1 − 3α 2 + α 3
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn = 0
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn = 0 ...........................................
n维行向量
α = (a1 , a 2 , ⋯ , an )
a1 a 2 α= ⋮ a n
n维列向量
或α = (a1 , a2 ,⋯ ,an )T 或α T = (a1 , a2 ,⋯ ,an )
n维行向量可看作一个 1 × n矩阵； 矩阵； n维列向量可看作一个 n × 1矩阵。 矩阵。 矩阵的运算法则完全适用于向量的运算
§2.2 向量组的线性相关性和秩
一、线性表示，线性相关和线性无关 线性表示，
定义 数域F上的n个数a1 , a 2 ,⋯ , an 组成的一个有序数组
(a1 , a 2 ,⋯ , an )
(整理)第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。
在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。
但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。
例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z y xv v vt z y x ,,,,,,称为七维向量。
更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。
这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。
§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。
数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。
向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。
向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。
行向量、列向量都表示同一个n 维向量。
设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。
分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0(若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。
下面讨论n 维向量的运算。
定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。
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在解析几何中, 曾引进向量的数量积
x y=|x||y|cos
且在直角坐标系中，有
(x1 , x2 , x3 ) ( y1, y2 , y3 ) x1 y1 x2 y2 x3 y3
但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念, 我们可以按数量积的直角坐标计算公式来推广, 先定义n维 向量内积的概念, 反过来定义n维向量的长度和夹角.
(1) [, ] [ , ];
(2) [ ， ] [, ] [ , ]
(3) [k, ] k[, ] 。 (4) [, ] 0 , 而且, 仅当=0时, [, ]=0.
利用这些性质还可以证明Schwarz不等式:
[ , ]2 [ , ][ , ]
下面定义n维向量的长度和夹角。 定义3.3 设n维向量=(a1, a2, …, an)T, 称非负实数
解 设 =k11+k22+k33 , 即
(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3) 于是有
kk11kk23
2 1
k2 k3 1
解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223
所以向量可由向量组, 2, 3线性表示.表示式也可写成
1
(1，2，3) 2 即
…, …
a…2n),
m=(am1, am2, …, amn),
1
向量组1, 2,…, m, 称为矩阵A的行向量组,
即
A
2
.
m
反之, 由有限个向量组成的向量组也可构成一个矩阵.
线性方程组Ax=b也可以用向量表示成:
x11+x22+ …+xnn=
其中, 1, 2, …, n是矩阵A的列向量组, ＝b.
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn
称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
为向量和的夹角. 可见, , [, ]=0, 于是有
2
定义3.5 若[, ]=0, 则称向量与正交.
向量与的内积[, ]也可以表示成： [, ]＝|||| cos<, >
§2 向量组的线性相关性
若干个同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向
量组. 如: m×n 矩阵A=(aij)对应n 个m 维列向量
如果两个向量维数相等且对应分量都相等称它们相等.
分量都是零的向量称为零向量, 记为0.
将向量的分量都改变符号得到的向量, 称为向量的 负向量, 记为-.
常用的向量运算是向量的加法和乘数两种运算, 统称 为向量的线性运算, 完全按矩阵运算处理, 所以满足:
(ⅰ)交换律：+=+ ( ) 结合律: (+)+=+(+) ( ) +0= ( ) +()=0 (ⅴ) 1= (ⅵ) 结合律：(kl)=k(l) (ⅶ) 数的分配律： (k+l)=k +l (ⅷ) 矩阵的分配律： k(+)=k +k . 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘 数两种运算, 构成了一个n维线性空间, 或称向量空间.
[, ] a12 a22 an2
为向量的长度(或范数), 记为||或‖‖. 当||=1时, 称为单位向量.
当≠0时, 1 是与同方向的单位向量. | |
由Schwarz不等式, 对任意非零向量和都有
[ , ] 1
定义3.4 对任意非零向量, , 称
, arccos [ , ] , 0 ,
k11+k22+ …+kss=0
则称向量组1, 2, …, s线性相关, 否则称线性无关.
可见件是: k11+k22+ …+kss=0
只有当k1,k2 , …,ks全为零时才成立. 例2 讨论向量组 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T=
a11
a12
a1n
1
a21
，
2
am1
a22 am2
，，n
a2n amn
，
向量组1, 2, …, n称为A的列向量组.即A=(1, 2, …, n).
m×n 矩阵A=(aij)也对应m 个n 维行向量
1=(a11, a12, …, a1n),
2…=(a…21,
a…22,
或
a2
an
组成向量的数称为向量的分量, ai 称为向量的第i个 分量. 分量全是实数的向量称为实向量, 分量为复数的向 量称为复向量. 线性代数只讨论实向量.
定义中两种形式分别称为行向量和列向量, 也可以分 别看成1n矩阵和n1矩阵, 向量可以按矩阵运算规律进行 相应运算, 于是列向量也可写成：=(a1, a2, …, an)T.
第三章 向量组的线性相关性
本章引入n维向量的概念, 讨论向量组的线性相关性,
建立向量组的极大无关组和秩的概念, 并给出矩阵秩的概
念及其与向量组秩的关系.
§1 n维向量及其运算
定义3.1 由n 个数a1, a2, …, an组成的一个有次序数组 称为n维向量，记为
(a1, a2 ,, an )
a1
1
1
1
0
0
0 1 0 -1
-1
0
0
1
1
2
1
=
2
-1
0
1
一般地, 对列向量, =k11+k22+…+kss 可写成
k1
(1，
2，,
s
)
k2
ks
对行向量, =k11+k22+…+kss 可写成
1
(k1，k2，
,
ks
)
2
s
定义3.7 若存在一组不全为零的数k1,k2 , …,ks, 使:
定义3.6 对向量和向量组: 1, 2, …, n, 若存在一组 数k1,k2 , …,kn, 使: =k11+k22+ …+knn, 则称向量可 由向量组1, 2, …, n线性表示, 也称向量是向量组1, 2, …, n的线性组合.
例1 设T=(2,1,0,1), 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T=(1, 0, 0, 1), 问能否由向量组1, 2, 3线性表示.
(1, 0, 0, 1)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)