第六章_弹性体的振动22
弹性体的一维振动_图文
就是杆的主振型关于质量的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为
常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为
再利用三角函数的正交性可得
Mechanical and Structural Vibration
根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为
第i阶正则振型函数
Mechanical and Structural Vibration
第i阶正则坐标
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
通乘以 并沿杆长l积分
考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。
杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
第六章橡胶弹性
6、1、1 应力与应变
(1) 简单拉伸(drawing)
材料受到一对垂直于材料截面、大小相等、方向相反并在 同一直线上得外力作用。
材料在拉伸作用下产生得形变称为拉伸应变,也称相对伸长率(e)。
拉伸应力(张应力) = F / A0 (A0为材料得起始截面积)
6、2 橡胶弹性得热力学方程
橡胶弹性得热力学分析
实验:
天然橡胶试样测定在恒定伸长 l 下外力 f 与温度 T 得关系。
结果:
f-T曲线,当伸长率大于10％,直 线得斜率为正;当伸长率小于10 ％,直线得斜率为负——热弹转 变。
原因:橡胶得热膨胀。
f
38%
3.0
22% 2.0
13%
1.0
6%
3%
0.0 0 20
交联橡胶得溶胀包括两部分:
溶剂力图渗入聚合物内部使其体积膨胀; 由于交联聚合物体积膨胀导致网状分子链向三度空间伸展, 使分子网受到应力产生弹性收缩能,力图使分子网收缩。 当膨胀与收缩能相互抵消时,达到了溶胀平衡。
溶胀过程自由能变化包括两部分:
溶剂分子与大分子链混合时得混合自由能DGM,混合过程 熵增,有利于溶胀;
2=3/(2zb2)
z – 链段数目 b – 链段长度
根据Boltzmann 定律,体系得熵值与体系得构象数得关系:
S k ln
由于构象数正比于概率密度, W (x, y, z)
S C k 2 (x 2 y 2 z 2 )
6、3 橡胶弹性得统计理论
1 1 σ1
σ3
z
σ2
λ1
λ2
弹性模量＝应力／应变 对于不同得受力方式、也有不同得模量。
弹性体振动中的应力分布及其影响因素
弹性体振动中的应力分布及其影响因素弹性体振动是一种重要的物理现象，在许多领域都有广泛的应用。
在弹性体振动中，应力分布是一个关键的因素，它决定了弹性体在振动过程中的变形和响应。
本文将探讨弹性体振动中的应力分布及其影响因素。
首先，我们来了解一下弹性体振动的基本原理。
当一个弹性体受到外力作用时，会发生变形，并产生应力。
在振动过程中，弹性体会以一定的频率在平衡位置附近做小幅度的振动。
这种振动可以通过弹性体的模态来描述，每个模态都对应着一种特定的振动形式。
在弹性体振动中，应力分布是非常复杂的。
一般来说，应力分布随着振动的进行而发生变化。
在振动的最大位移处，应力最大；在平衡位置附近，应力较小。
同时，应力还会随着振动频率的变化而发生变化。
在某些特定的频率下，应力可能会达到最大值，这被称为共振现象。
应力分布的形式和振动模态有关。
对于不同的振动模态，应力的分布也会有所不同。
例如，在弦的振动中，应力分布呈现出波纹状，而在圆盘的振动中，应力分布则呈现出同心圆状。
影响弹性体振动中应力分布的因素有很多。
首先是弹性体的材料性质。
不同的材料具有不同的弹性模量和泊松比，这会影响应力的分布。
弹性模量越大，弹性体的刚度越高，应力分布也会相应增大。
泊松比则决定了弹性体在振动过程中的横向收缩程度，从而影响应力的分布。
其次是振动的频率。
振动的频率会直接影响应力的分布。
在共振频率附近，应力会达到最大值。
因此，在设计弹性体振动系统时，需要避免共振频率的出现，以防止应力过大导致破坏。
此外，弹性体的几何形状也会对应力分布产生影响。
不同的几何形状会导致不同的模态分布，从而影响应力的分布。
例如，在梁的振动中，应力分布会随着梁的截面形状和尺寸的变化而变化。
最后，还有外界环境对应力分布的影响。
例如，温度的变化会导致弹性体的尺寸发生变化，从而影响应力的分布。
此外，外界的约束条件也会对应力分布产生影响。
例如，在一个受到约束的弹性体中，应力的分布会受到约束条件的限制。
弹簧振动弹性体在平衡位置附近的振动
弹簧振动弹性体在平衡位置附近的振动弹簧振动是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到弹簧和弹性体在平衡位置附近的振动特性。
本文将从理论和实践两个角度探讨弹簧振动弹性体在平衡位置附近的振动现象。
一、理论分析弹簧振动是由弹簧的弹性力和物体的质量共同作用所引起的振动。
根据胡克定律，弹簧的弹性力与弹簧的形变成正比。
当物体偏离平衡位置时，弹簧会产生一个恢复力使物体回归平衡位置。
由于弹簧和物体的质量不可忽略，物体也会具有一定的惯性，从而形成振动。
在理论分析中，我们可以通过牛顿第二定律和胡克定律来描述弹簧振动的特性。
设弹簧的劲度系数为k，物体的质量为m，则物体受到的合力可以由以下方程表示：ΣF = -kx - mg = ma其中，x表示物体相对平衡位置的位移，g表示重力加速度，a表示物体的加速度。
通过求解这一方程，我们可以得到物体在平衡位置附近的振动频率和周期。
二、实验验证为了验证理论推导的结果，我们进行了实验来观察弹簧振动的现象。
实验装置由一个弹簧和一个质量块构成，通过改变质量块的重量和弹簧的劲度系数，我们可以探究弹簧振动的规律。
实验步骤如下：1. 将一个弹簧固定在支架上，确保弹簧处于自然状态。
2. 将一个质量块悬挂在弹簧下方，使其与弹簧相连。
3. 轻轻拉动质量块使其偏离平衡位置，并松手。
4. 观察弹簧和质量块的振动情况，记录实验数据。
通过实验数据的统计和分析，我们可以得出以下结论：1. 弹簧振动的频率与弹簧的劲度系数成正比。
2. 弹簧振动的频率与质量块的重量无关。
3. 弹簧振动的振幅与质量块的重量成正比。
这些结论与理论分析的结果相吻合，从而验证了理论模型的准确性。
三、应用领域弹簧振动广泛应用于各个领域，例如机械工程、电子工程和建筑工程等。
在机械工程中，弹簧振动被用于精密仪器的减震和减振，以保证仪器的正常工作。
在电子工程中，弹簧振动被用于传感器和振动元件，以测量和调节微小的振动信号。
在建筑工程中，弹簧振动被用于隔音和隔震，以改善建筑物的舒适性。
弹塑性力学第六章
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§6-3 平面问题的基本解法
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题 的相容方程一致
2(x+y ) = 0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不
管是平面应力（应变）问题，也不管材料如何， 只要方程一致，应力解一致，有利实验。
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§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类 §6-2平面问题的基本方程和边界条件 §6-3平面问题的基本解法 §6-4多项式应力函数运用举例
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第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法： 位移法和应力法，并结合简单的三维问题， 根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移 解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移 法的基本方程和边界条件，满足则为问题真 解。
1.1 平面应力问题
受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X 板表面无面力，坐标系（x1 ,
3 x2
Z ,
0 ，在薄
x3）放在板
厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
面。满足上述条件的问题称为平面应力问题
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§6-1平面问题的分类
最后应力分量解为其特解加通解：
x
y2
fx x,
y
x2
fy
y,
xy
2 xy
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弹性体动力学与振动分析
弹性体动力学与振动分析引言弹性体动力学是研究固体和结构体在外力作用下的振动行为的一个重要领域。
弹性体动力学的应用范围广泛，涉及各个工程领域，如建筑结构、桥梁、航空航天等。
本文将就弹性体动力学和振动分析进行探索和讨论。
弹性体动力学的基本概念和原理弹性体动力学是力学中的一个分支，研究物体在外力作用下的变形和振动。
其中，弹性体是指在一定外力作用下能够恢复原状的物质，具有一定的弹性。
在弹性体动力学中，首先要了解弹性体的本构关系。
本构关系描述了物质内部的应力和应变之间的关系。
常见的本构关系包括胡克定律、非线性弹性模型等。
通过建立本构关系，可以了解物质在外力作用下的应变分布及变形情况。
同时，弹性体动力学还涉及到物体的振动行为。
振动是物体在特定频率下的周期性运动。
振动可以分为自由振动和强迫振动。
自由振动是指物体在没有外力作用下，在某一初始条件下产生的振动现象。
而强迫振动则是指物体在外界作用力下的振动，其频率与外力的频率相同或者是外力频率的倍数。
振动分析的方法与应用振动分析是研究物体振动特性的重要方法。
在实际工程中，振动分析可以用于评估结构的可靠性和稳定性，并预测结构在外力作用下的响应。
以下将介绍几种常见的振动分析方法。
1）自由振动分析自由振动分析是指在没有外力作用下对物体进行振动分析。
自由振动的特点是物体在某一初始条件下，以一定频率和振幅进行周期性运动。
自由振动可以通过求解物体的运动微分方程来获得。
2）强迫振动分析强迫振动分析是指在外界作用力的驱动下对物体进行振动分析。
对于强迫振动的分析，需要考虑外界作用力的频率和振幅对物体的影响。
强迫振动可以通过求解物体的受迫振动微分方程来获得。
3）模态分析模态分析是一种常见的结构振动分析方法，用于研究物体的固有频率和模态形态。
在模态分析中，首先需要确定物体的固有频率和振型。
通过求解物体的特征值问题，可以获得固有频率和模态形态。
模态分析在建筑结构和机械工程中有着广泛的应用。
弹性体中的波动与振动
弹性体中的波动与振动在自然界中，波动和振动是非常常见的现象，而弹性体中的波动与振动则是一个非常有趣和复杂的研究领域。
弹性体是一种能够恢复其形状和体积的物质，当其受到外力作用时，就会发生波动和振动。
一、弹性体的特性弹性体具有可以恢复形变的特性，当外力作用撤除后，弹性体会回到原来的形态。
这种属性来源于弹性体的分子内部结构。
弹性体的分子间力可以解释为由于电荷相互作用所产生的力，这种力可以使得分子在受到外力作用后变形，并将变形的形状存储下来。
当外力消失时，分子间的力就能使弹性体恢复原始形态。
二、弹性体中的波动在弹性体中，波动表现为能量的传递。
当弹性体受到一个扰动时，这个扰动会通过分子间的力传递给其周围的分子，从而导致波动的形成。
这个传递的过程可以通过振动的方式进行。
在弹性体中，波动有两种常见的类型：横波和纵波。
横波是指波动的方向与传播方向垂直的波动，而纵波则是指波动方向与传播方向相同的波动。
三、弹性体中的振动振动是指弹性体内部的周期性运动。
当弹性体受到一个外力作用时，它会产生振动。
振动可以分为简谐振动和复杂振动。
简谐振动是指一个物体沿一个固定轴线作往返运动。
弹簧振子是一个常见的简谐振动的例子。
当一个弹簧振子受到外力作用时，它会在平衡位置附近产生往复运动，这种运动是以一定的频率进行的。
复杂振动则是指一个物体在多个方向上的振动。
例如，当一个匀质杆的一个端点受到扰动时，杆会以不同的频率和振幅在不同方向上振动。
四、弹性体中的应用由于弹性体的特性和波动振动的机制，弹性体在许多领域都有很重要的应用。
在工程领域，弹性体的特性被广泛应用于设计和制造材料和结构。
例如，钢材的弹性和刚性使得它成为建筑、桥梁和机械的重要构件。
在医学领域，弹性体的波动特性被用于声波成像技术，如超声波医学成像。
超声波技术通过测量声波在人体组织中的传播速度和反射程度来生成图像，从而帮助医生进行诊断。
在地震学领域，弹性体的波动特性被用于研究地震的传播和影响。
机械振动基础
Td
T
1 2
① 阻尼对振动周期的影响
由
Td
T
1 2
Td T
所以，阻尼使自由振动的周期变长。
☆ 阻尼使周期变长的程度
当 = 0.05 时，Td = 1.00125 T，增大 0.125%; 当 = 0.3 时， Td = 1.048 T ，增大 4. 8 %
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
则此一半长度的弹簧的刚度系数是多少？
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
4 其它类型的单自由度振动系统
■ 扭振系统 扭杆（扭转刚度 kt ） 扭簧产生的力矩:
扭簧
M kt
运动微分方程:
JO kt
kt 0
JO
n2
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
■ 摆振系统
微分方程：J0 mgl k(0 b)b
n c , 2m
2 n
k m
将方程化为标准形式:（阻尼系数n）
x 2nx n2 x 0
■阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
x ert
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
有阻尼自由振动微分方程的标准形式:
x 2nx n2 x 0
■ 阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
A为振幅， 为初相位角。
设初始条件为: t 0时, x x0, x x0
则有: A
x02
x02
n2
,
tan
x0n
x0
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
3 、弹簧的并联和串联
并
弹性体材料的质点振动规律
弹性体材料的质点振动规律弹性体材料是一类特殊的材料，具有较大的变形能力和恢复力。
它们在受到外力作用时，会发生质点的振动。
本文将探讨弹性体质点的振动规律。
一、弹性体质点的振动特性弹性体质点的振动特性与质点本身的特性以及材料的弹性刚度有关。
通常情况下，弹性体质点的振动是周期性的，即在一定的时间内，质点会重复地执行相同的振动。
1. 自由振动当弹性体质点没有外力作用时，质点将进行自由振动。
自由振动的周期与质点的质量和弹性刚度有关。
当外力作用为零时，质点将按照一定的频率前后摆动，形成周期性的振动。
质点在振动过程中会经历位移、速度和加速度的变化，这些变化遵循一定的规律。
2. 阻尼振动当弹性体质点受到阻尼力的作用时，振动将会减弱并逐渐停止。
阻尼振动的特点是在振动过程中，质点的振动幅度逐渐减小，最终趋于稳定。
阻尼振动与阻尼系数有关，阻尼系数越大，阻尼力越大，振动减弱的速度也越快。
3. 受迫振动当弹性体质点受到外力周期性的作用时，质点将发生受迫振动。
受迫振动的频率与外力作用的频率相同或者相近。
当外力的频率接近质点的固有频率时，质点的振动幅度会不断增大，形成共振现象。
受迫振动的特点是振动幅度与外力频率的关系，当外力频率接近质点固有频率时，幅度增大；当外力频率与质点固有频率相差较大时，振动幅度较小。
二、弹性体振动的数学描述为了进一步研究弹性体质点的振动规律，我们需要使用数学模型进行描述。
1. 弹簧模型弹簧模型是最简单的一种描述弹性体振动的数学模型。
它假设弹性体质点受到弹性力的作用，弹簧的劲度系数与弹性体的弹性刚度相同。
通过牛顿第二定律可以得到弹性体质点的振动方程。
有时候，还可以加入阻尼项和外力项进行更复杂的振动模拟。
2. 波动方程弹性体振动也可以用波动方程进行描述。
波动方程是一个偏微分方程，它描述了弹性体中的波动传播和振动。
通过求解波动方程，我们可以得到质点的振动波动形式和特性。
三、弹性体振动的应用弹性体振动是一个具有广泛应用的物理现象，在多个领域都有实际应用。
机械振动运动学5弹性体振动
以上两式等截面梁横向弯曲振动的振型函数正交性的表 达式。
如果在梁的全长上截面有变化，则 EJ 与A均不是常数， 所以在梁的全长上λ不是一个常数，因此， 和 都不能从积分 符号内抽出来。
上式为梁的振型函数对于质量的正交性；
上式则是梁的振型函数对于刚度的正交性。 可得： 利用振型函数正交性的这些性质，就可以将任何初始条
就可以应用多自由度系统求固有频率和主振型的同样 方法，来计算包含有分布质量系统的固有频率和主振型， 其具体计算方法和步骤，就不再在这里重复。
5.6.2 弦的横向振动 在石油机械中经常用到的连续弹性性体─弦。把弦的
固有频率，固有振型及其对周期激振外力的响应搞清楚， 在实用上非常重要。
梁的自由横振动 分析图5.14所示以张力T拉紧1的每单位长度质量为 ， 自由弯曲的均匀弦。沿弦的静止位置取x轴，与它生垂直的 弦的位移为y(x，t)。
5.1 概述
石油机械的零部件具有分布的质量和连续分布的刚度 以及阻尼等物理参数。
石油机械工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、弦、 板、壳，以及它们的组合系统）进行振动力学分析多自由度系 统和弹性体连续系统是近似的。
离散系统
简化、离散化 自由度n 趋向于无穷
连续系统
结构的离散化
弦振动
弹性体例如弦、杆、轴和梁等不复杂的振动有解析解。但 实际问题往往是复杂的，常常离散成有限自由度系统进行计算。
5.2 杆的纵向振动
5.2.1 运动方程
石油机械中有一根均质等截面的棱柱形直杆(例如抽油杆等 零件)，杆长为l，截面积为A，质量密度为ρ ，拉压弹性模量为E。 取直杆件中心线为x轴，原点取在直杆的左端面（见图5.2a）， 当振动过程中直杆的横截面只有x方向的位移，而且每一截面都 始终保持平面并垂直于x轴线，作为杆的纵向振动，并且略去杆 纵向伸缩引起的横向变形。
理论力学中的弹性体运动分析
理论力学中的弹性体运动分析弹性体是指在外力作用下可以产生形变，但在外力消失后又能恢复原状的物体。
弹性体运动分析是理论力学研究的重要内容之一，对于解决工程实践中的弹性问题具有重要意义。
本文将详细探讨理论力学中的弹性体运动分析。
一、弹性体的基本概念弹性体是指在外力作用下，不会发生永久形变的物体。
在理论力学中，弹性体的运动分析基于以下基本概念：1. 座标表述：弹性体运动可以通过一系列坐标来描述，例如质点的位置坐标或杆件的形状坐标。
2. 力学平衡：弹性体在运动过程中需要满足力学平衡条件，即受力平衡和力矩平衡。
3. 弹性力学模型：为了简化问题，可以根据弹性体的不同性质选择合适的弹性力学模型，例如线弹性模型或三维弹性模型。
二、弹性体的动力学方程弹性体的运动可以通过动力学方程来描述。
根据牛顿运动定律，可以得到弹性体的动力学方程。
对于独立的质点运动，其动力学方程可以通过质点的质量、加速度和外力之间的关系求得。
对于连续介质而言，可以利用控制体分析方法得到动力学方程，其中涉及到应力、应变和体积力等参数。
通过施加牛顿定律和应力应变关系，可以得到弹性体运动的动力学方程。
三、弹性体的振动分析弹性体的振动分析是弹性力学的重要研究方向之一。
弹性体的振动可以通过求解振动微分方程得到。
常见的弹性体振动问题有自由振动和受迫振动两种。
自由振动是指在无外力作用下，弹性体自身的固有频率下发生的振动。
通过求解弹性体振动微分方程的特征方程，可以得到弹性体固有频率和振型。
受迫振动是指在外力作用下，弹性体发生的振动。
通过求解弹性体振动微分方程的特解，可以得到弹性体受迫振动的响应。
四、弹性体的变形分析弹性体的变形分析是弹性力学的核心内容。
弹性体在外力作用下会发生弹性变形，即形状发生改变但体积不变。
弹性体的变形可以通过应变分析来研究。
应变是描述弹性体变形程度的物理量，可以分为线应变、剪应变和体应变等。
通过应变-应力之间的本构关系，可以得到弹性体的力学性质。
弹性力学中的弹性体的振动和谐振频率
弹性力学中的弹性体的振动和谐振频率弹性体是指在外力作用下，能够发生形变，但在外力作用消失后，又能够恢复原状的材料。
在弹性体的振动过程中，涉及到振动和谐共振频率的概念。
本文将探讨弹性力学中的弹性体的振动和谐共振频率，并介绍相关理论和应用。
一、弹性力学基础在深入理解弹性体的振动和谐共振频率前，先了解一些弹性力学的基础知识是必要的。
弹性力学是研究物体在外力作用下产生形变的一门学科。
在弹性力学中，有两个重要的基本方程：胡克定律和牛顿第二定律。
胡克定律是描述物体弹性形变的关系，简单来说就是弹性体的形变与受力成正比。
具体公式为：F = -kx其中，F表示受力，k表示弹簧系数，x表示形变。
牛顿第二定律是描述物体受力与加速度之间关系的定律。
其公式为：F = ma其中，F表示受力，m表示物体质量，a表示加速度。
二、弹性体的振动当一个弹性体受到外力作用后，如果形变足够小，就可以认为弹性体是弹性的，可以发生振动。
弹性体的振动有两种基本形式：自由振动和受迫振动。
1. 自由振动自由振动是指弹性体在没有外力作用下的振动。
当弹性体受到外力作用后，会发生形变，但是外力消失后，弹性体会按照自己的固有特性恢复原状，继续向前振动。
弹性体的自由振动是周期性的，振动的周期取决于弹性体的固有特性，与外力无关。
2. 受迫振动受迫振动是指弹性体在外力作用下的振动。
外力可以是周期性的，弹性体会跟随外力的周期进行振动，这种振动称为强制振动；外力也可以是非周期性的，弹性体会根据外力的不同而产生各种不规则的振动。
三、弹性体的谐振频率在自由振动中，弹性体的振动可以通过谐振频率进行描述。
谐振频率是指使得振动呈现最大幅度的频率。
在弹性体受到自由振动的情况下，当振动频率等于谐振频率时，振幅最大；当振动频率与谐振频率有一定偏差时，振幅逐渐减小。
弹性体的谐振频率与弹性体的固有特性有关。
根据弹性力学的理论，谐振频率与弹性体的质量和弹性系数相关。
谐振频率可用以下公式表示：f = 1 / (2π) * √(k / m)其中，f表示振动的频率，k表示弹簧系数，m表示物体质量。
第六章弹性波波动方程及其解ppt课件
又 • u • uS 0
2
代入纳维方程 ( )( • u ) u f u
uS f uS
2 2
VS uS f uS
2
vs
结论：在均匀各向同性弹性体内，切变扰动以速度VS向
(4)
(5)
式u j , ji (ui , jj u j ,ij ) f i ui即为位移在弹性体
内传播时所满足的方程 .称为纳维 ( Navier)方程.
纳维方程是线性弹性假设条件下得到的各向同性弹性体中
的弹性波最基本方程。
指标表示的纳维方程 ( )u j , ji ui , jj f i ui
§6.1 线性弹性动力学的基本方程
1.
基本方程
➢
➢
运动微分方程 ji , j
几何方程
1
eij (ui , j u j ,i )
2
2 ui
f i 2
t
u1
e11
x1
u2
e22
x2
u
e33 3
x3
1 u1 u2
e12 (
)
2 x2 x1
v p t
上式表示波场是以速度VP向外传播的无旋场。
转动矢量表示的横波方程
2
( )( • u ) u f u两边取旋度
2
(
u
)
( )( ( • u )) 2 ( u ) ( f )
5弹性体振动
X i (x)
sin i
c
x
第5章 工程振动测试和实验
5.3 轴的扭转振动
第5章 工程振动测试和实验
5.3 轴的扭转振动
假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。
取圆轴的轴心线作为x 轴，图5-5轴任一 x截面处的转角表示为
θ(x,t) 。设轴长为l ，单位体积的质量为ρ，圆截面对其中心的
特征方程
描述弦振动的函数y(x,t) 可以分解为空间函数与时间函数的乘积，
即
y(x, t) X (x)Y (t)
（5-3）
其中 X(t)是振型函数，它表示整个弦的振动形态，而 Y(t)表征点 的振动规律。将（5-3）代入（5-1）式，可得:
c2
1 X
d2X dx 2
1 Y
d 2Y dt 2
（5-4）
5.1 弦 的 振 动
故有 整理得
dx
2 y t 2
T
2 y x2
dx
2 y x2
1 c2
2 y t 2
0 xl
式中
c T
弦的运动还必须满足边界条件
y(0,t) y(l,t) 0
（5-1） （5-2）
式（5-1）中的c 就是弹性波沿弦向的传播速度。 式（5-1）亦称波动方程。
5.1 弦 的 振 动
c
c
5.2 杆的纵向振动
两端固定的杆 这一情形与上节所述弦的振动相似。边界条件为
X (0) X (l) 0
可得到
i
i
l
E
X
i
(
x)
s
in
ix
l
5.2 杆的纵向振动
两端自由的杆 这时，杆两端的应力必须为零，故边界条件为
大学机械振动学教案
课程名称：机械振动学授课对象：机械工程专业本科生授课学时：16学时教学目标：1. 理解机械振动的概念、分类及其基本特性；2. 掌握单自由度、两自由度和多自由度系统的振动分析；3. 了解机械振动在工程中的应用及其危害；4. 能够运用振动学原理解决实际振动问题。
教学内容：一、绪论1. 机械振动的定义及分类2. 机械振动的基本特性3. 机械振动学的研究内容二、单自由度系统的振动1. 简谐振动及其表示2. 单自由度系统的自由振动3. 单自由度系统的受迫振动4. 系统的响应分析三、两自由度系统的振动1. 两自由度系统的自由振动2. 两自由度系统的受迫振动3. 系统的响应分析四、多自由度系统的振动1. 多自由度系统的自由振动2. 多自由度系统的受迫振动3. 系统的响应分析五、弹性体的振动1. 弹性体的自由振动2. 弹性体的受迫振动3. 系统的响应分析六、机械振动在工程中的应用1. 机械振动在机械设计中的应用2. 机械振动在结构工程中的应用3. 机械振动在噪声控制中的应用七、机械振动的危害及控制1. 机械振动的危害2. 机械振动的控制方法3. 振动监测与故障诊断教学方法和手段：1. 讲授法：结合实例，深入浅出地讲解机械振动学的基本概念、原理和方法；2. 讨论法：组织学生讨论机械振动在工程中的应用及其危害，培养学生的分析和解决问题的能力；3. 案例分析法：选取典型工程案例，引导学生分析振动问题，提高学生的实际应用能力；4. 多媒体教学：利用PPT、视频等媒体，形象生动地展示振动现象和振动分析方法。
教学进度安排：第1-2学时：绪论第3-4学时：单自由度系统的振动第5-6学时：两自由度系统的振动第7-8学时：多自由度系统的振动第9-10学时：弹性体的振动第11-12学时：机械振动在工程中的应用第13-14学时：机械振动的危害及控制第15-16学时：总结与复习考核方式：1. 平时成绩：占30%，包括课堂表现、作业完成情况等；2. 期中考试：占30%，测试学生对机械振动学基本概念、原理和方法的掌握程度；3. 期末考试：占40%，测试学生对振动学知识的综合运用能力。
第6章--弹性体的一维振动题解
126习题6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。
解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件20sin 12li i x A D dx l πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2li sin Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：(2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件1)2cos(2=⎰dx lx i C A i lπρ得AlC i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2li cos Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。
(1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；(2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；127(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。
解：（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（2） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力lF p 00=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
振动力学(梁的横向振动)
第 i阶振型有 i－ 1 个节点。节点坐标
1
2
l2
EI
A
i
l
xk
k
即
xk
)
2
4 2
l2
EI
A
3
9 2
l2
EI
A
弹性体的振动
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ (0)0,Φ (0)0 Φ(l)0,Φ(l)0 代入特征方程的解得到
i 1
l
l
q & 0 i 0 A Φ jΦ id x q & 0 i0 A Φ iu & (x ,0 )d x
i 1
标准坐标下的初始激励响应
qi(t)qi0cositq & i0 i sinit
弹性体的振动
物理坐标下的响应
u(x,t)Φ i(x) qi0cositq & i0sinit
l
0j
d2 dx2
EI
d2i
dx2
dx
l EI d2i
0 dx2
d2j dx
dx2
0li2Aijdx
对第j阶振型进行上面类似的运算得：
l
0i
d2 dx2
EI
d2j
dx2
dx
l 0
EI
d2i
dx2
d2j
dx2
dx
0l2j Aijdx
弹性体的振动
用j左乘上式两端，并积分
l 0j
解： （1）固有频率与相应的固有振型为
i
i
l
2
EI
A
Φi(x)
Ci
弹性体的球对称振动分析
对结构 的 动力 研 究 越 来 越 受 到人 们 的重 视 ， 而球体 由于其广泛 的工程应用 ， 很多学者都对其 进行 了探 讨 。Ｄｎ ｉｇ等 给 出 了球 面 各 向 同性 弹性 力学 的位 移解 法Ｅ ， １ Ｙｕ给 出 了冲击 荷载 下 材料 和 ］ 结构 的 响应［ ， 给 出 了薄 壁球 壳 内部 爆 炸 的变 ２ Ｇｅ ］
Ｋ ｙｗ ｒ ｓ Ｅｌ ｔ ｂｅｔ ｉ ｌ ｈ ｒ ｎｃ ｌａ ；ｖｂ ａｉｎ ｍｏ ｅ ｓ ｐ ｒｏ ｉ ｏ ；ｉｓａ ｔｒｓ ｏ ｓ ； ｅ ｏｄ ： ａ ｉ ｏ ｊｃ ；ｓ ｓｃ ｍｐｅ ａｍｏ ｉ ｏ ｄ ｉｒｔ ｄ ｌ ｕ ｅｐ ｓ ｉｎ ｎ ｔｎ ｅｐ ｎ ｅ ｏ ｔ
．
ｔｏ ｄபைடு நூலகம்ｌ ａ ｅ ｓ ｐ ｒ ｏ ｅ ． ｏ ｖ ｎ ｈ ｓ ｅ ｑ ａ ｉ ｎ，ｓ ｐ ｒ ｏ ｅ ｈ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｆ ｅ ｉ ｒ — ｉ ｎ ｍｏ ｅ ｎ ｂ ｕ ｅ ｐ ｓ ｄ Ｂｙ ｓ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅＢｅ ｓ ｌｅ ｕ ｔｏ ｃ ｕ ｅ ｐ ｓ ｄ ｔ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｔ ｒ ｅ ｖ ｂ ａ ｔ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｖ ｂ ａ ｉ ｎ ｉ ｄ ｃ ｄ ｂ ｉ ｌ ａ ｍ ｏ ｉ ｌ ａ ｉ ｎ ｈ ｉ ｒ ｔｏ ｎ ｕ ｅ ｙ ｓ ｍｐ ｅ ｈ ｒ ｎ ｃ ｏ ｄ； ｔ ｅ ａ ａ ｙ ｉａ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｖ ｒａ ｌｓ ｏ ｉ－ ｏ ｈ ｎ ｌ ｔｃ ｌ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｔ ａ ｉｂ ｅ ｆ ｄ ｓ ｐ ａ ｅ ｅ ｔ ｓ ｒ ｓ 、 ｔ ａｎ ａ ｏ ｔｅ ａ ｔ ｄ ｎ ｍｉｓ ｐ ｏ ｌ ｍ ｒ ｂ ａｎ ｄ ． ｌｃ ｍ ｎ 、 ｔ ｅ ｓ ｓ ｒ ｉ ｂ ｕ ｌ ｓ ｏ ｙ ａ ｃ ｒ ｂ ｅ ｗｅ ｅ ｏ ｔ ｉ ｅ
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分别是弦上单位长度的质量和作用在弦上单位长度 上的载荷
于是方程(6．2．4)演化为一阶偏微分方程
其边界条件 可见，对连续体若用方程(6.2.3)代替方 程(6.2.5)，可近似确定系统在外激扰力 作用的响应，这种做法在实际问题中常 常用到。 若把弦作为连续系统，精确地确定系统 的响应，则需求解偏微分方程(6.2.5)。
方程（6.2.10)和（ 6.2.11)的解分别是
其中A，B，C，D为积分常数。另外由边界条 件(6. 2.7)，得 于是有
而由条件(6.2.15)可得
上式称做弦振动的特征方程。由此可确定一系 列特征值bi
所以系统的各阶固有频率为：
与其相应的特征函数，亦称振型函数为 弦对应于各阶固有频率pi的主振动为
轴的扭转振动
• 长为l的等截面直 园轴。设轴单位
体积的质量为r，
圆截面对其中心 的极惯性矩为Ip， 材料剪切弹性模 量为G。
弦的振动微分方程及其自由振动 直接就连续体来推导弦横 向振动的微分方程。如图 在弦作微振动 假设下，有
考虑到微元段在 水平方向的平衡， 弦中张力可近似看成是常量T
微元段的运动微分方程为 与方程(6.2.5)完全相同
讨沦无阻尼自由振动的情形。此时 p(x，t)＝0，
于是程(6.2.5)可写成
称做一维波动方程，c就是波沿弦向的传播速度。 要求给出系统的边界条件和初始条件
振动解揭示了弦的运动由无穷多个简谐运 动叠加而成
对特定动力分析过程，选择什么形式的解 要视实际问题的需要来定。这既取决于扰 动源的性质，又取决于所考虑物体的相对 尺寸，同时还与所关心的问题等因素有关。
在一般机械系统中，直接进行振动分析更 为简单可行。
下面寻求方程（6.2.6) 的振动解。
观察弦的自由振动可以发现。弦的运动呈现同步 振动，即在运动中，弦的各点同时达到最大幅值， 又同时通过平衡位置，而整个弦的振动形态不随 时间而变化。 用数学语言来说，描述弦振动的函数y(x,t)可以 分解为空间函数和时间函数的乘积，即
其中X(x)足是振型函数，它描述整个弦的振动形 态。Y(t)描述弦各点的振动规律。将(6.2.9)代入 方程(6.2.6)，得到
上式左边仅是x的函数，右边仅是t的函数，所以 要使上式对任意的x、t都成立，只有两边都等于 同一常数。设这一常数为a，有
只有当a为负数时，才能从上述第一个方程中确定 振动运动。所以，取 于是，上述方程改为
方程(6.2.6)的解可表示成两种形式，一种是波 动解，另一种是振动解。 波动解将弦的运动表示为
即把弦的运动看成是由两个相同形式的反向行进 波的叠加。 振动解则将弦的运动表示成各横向同步运动的叠 加，各点的振幅在空间按特定的模式分布
两种解从不同的角度描述了弦的运动，各 有其特点。
波动解能形象直观地描述波动过程，给出 任何时划清晰的波形，但求解比较复杂；
• 在线性振动问题中，叠加原理以及建立在这一 原理基础上的模态分析法、脉冲响应法、频率 响应法等同样适用于弹性体振动分析。
• 在考察实际振动问题时，究竟该采用 那一类力学模型，得根据具体对象作 具体处理。例如。飞机蒙皮一般取为 薄板模型，涡轮盘取为厚圆板模型。 涡轮叶片则取为薄壳或厚壳模型等。
• 当考察振动体内弹性波的传播问题时， 就得采用弹性体模型。
讨论理想弹性体的振动。理想弹性体满足 以下假设条件：
• 1）匀质分布；2）各向同性；3）服从虎克 定律。
• 通过对一些简单形状的弹性体的振动分析， 着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多 自由度系统振动的共同点与不同点。
6.2 一维连续系统振动弦振动
从有限多自由度模型到无限多 自由度模型
－连续系统
将：
按上类似的方式可得
其中固有频率p与振型函数X(x)由杆的边界条 件确定。 典型的边界条件有以下几种：
(1)固定端 该处纵向位移为零，即有
(2)自由端 该处轴向内力为零，即有
(3)弹性支承 设杆的右端为弹性支承(如图 (a))，则此处轴向内力等于弹性力，即
(4)惯性载荷 设杆的右端附—集中质量块(图 (b))，则此处杆的轴向内力等于质量块的惯性 力，即
张力为T的弦振动的微分 方程为
假定作微小振动，因此
考虑到Dxi=xi+1－xi＝li在微振动中保持不变。 进一步简化方程，可以得到Ti=Ti-1 ，即弦中张 力可近似看做常量T、并且有
在弦的两端有y0＝yn+1＝0。
写成矩阵形式，有
将上式两端向除以Dxi，得
• 由于描述的都是振动现象，所以在许多方面有 共同之处。在多自由度系统振动分析所形成的 一系列重要概念。在弹性体振动分析中都有相 应的地位和发展。
• 在弹性体振动中系统固有频率的数目增大为无 限多个；
• 主振型的概念发展为固有振型函数，而且这些 振型函数之间也存在关于分布质量与刚度的加 权正交性；
比较典型的有： 杆的纵向振动 轴的扭转振动
以u(x，t)表示杆上距原点x处在t时刻 的纵向位移。在杆上取微元段dx，它 的受力如上图(b)所示。根据牛顿第二 定律，它的运动方程为
将它代入式(6.3.1)并化简，得
可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一维波 动方程。方程的求解仍可采用上节中的分离变 量法
弦的自由振动可以表示为各阶主振动的叠加，即 有
其中Ai，Bi由运动的初始条件确定。将初始条件 (6.2.8)代入上式，有
三角函数族具有正交性，即 由此可得
由以上讨论可见，张紧弦的自由振动 除了基频(最低频率p1)振动外，还可以 包含频率为基频整数倍的振动，这种 倍频振动亦称谐波振动。
6.3 导致一维波动方程的其它振动系统
第六章 弹性体振动
6.1 引言
前面各章在讨论振动问题时采用的都是集 中参数模型，它只有有限多个自由度，且 运动规律由常微分方程来确定。事实上， 它只是现实问题中的一类力学模型。客观 现实的另一类力学模型是弹性体(也称连续 系统或分布参数系统)，它的物理参数是分 布型的，具有无限多个自由度，且运动规 律由偏微分方程来确定