4月全国自考复变函数与积分变换试题及答案解析

1
全国2018年4月自学考试复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3
π B.
3
π C.π23 D.π2
3
+2n π 2.w =|z |2在z =0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导
D.解析
3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( ) A.f (z )=x 2-y 2+i 2xy B.f (z )=x -iy C.f (z )=x +i 2y
D.f (z )=2x +iy
4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰C
z z d ||=( )
A.2πi
B.0
C.1
D.2
5.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰
-C
z z z
)
2(d =( )
A.-πi
B.0
C.πi
D.2πi
6.设C 为正向圆周|z |=2，则
⎰
-C
iz i z z e 3
)(d z =( )
A.0
B.e -1
C.2πi
D.-πe -1i
2 7.z =0是3
sin z z 的极点，其阶数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.
z
z
sin B.2
)1(1-z z
C.z
1e
D.
1
e 1-z
9.设f (z )的罗朗展开式为-1
1
)1(22
--
-z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=( ) A.-2 B.-1
C.1
D.2 10.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()
(z f z f '在z =a 的留数为( )
A.-m
B.-m +l
C.m -1
D.m
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________. 12.设z =i i ，则Im z =_______________.
13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰
C
z 3 d z =_______________.
14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 5
6
的菱形的正向边界，则
⎰
-C
i
z e 2
dz=______________. 15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰
C
z cos z d z =_________.
16.函数
2
1
-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.设z =x +iy ,求复数
1
1
+-z z 的实部与虚部.（6分） 18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分)
19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分)
3 20.求f (z )=
)
2)(1(2
--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分)
21.求解方程cos z =2.（7分）
22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分) 23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求
⎰-C
z z z 2
)2(e d z .(7分)
24.设C 为正向圆周|z|=1，求
⎰
C
z
1
sin
d z .(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。

每小题8分，
共16分） 25.（1）指出f (z )=
)
4)(1(222
++z z z 在上半平面内的所有奇点及类型；
（2）计算f (z )在以上奇点的留数； （3）利用以上结果计算实积分
⎰
+∞
∞
-++)
4)(1(222
x x x d x .
26.设D 为Z 平面上的扇形区域0<arg z <
3
π
.试求下列保角映射： （1）w 1=f 1(z )把D 映射为W 1平面的上半平面Im w 1>0;
（2）w =f 2(w 1)把Im w 1>0映射为W 平面上的单位圆盘|w |<1，并且满足f 2(2i )=0; （3）w =f (z )把Z 平面上的区域D 映射为W 平面上的单位圆盘|w |<1. 27.用拉普拉斯变换解方程y (t )=sin t -2⎰
-t
d t y 0)cos()(τττ。